Chương II. Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Bài tập cuối chương II

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Bài 2.28★★Trang 47— Trắc nghiệm — phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử

Bài 2.28 (trang 47). Đa thức

x^{2} - 9 x + 8

được phân tích thành tích của hai đa thức
A.

x - 1

và

x + 8

.
B.

x - 1

và

x - 8

.
C.

x - 2

và

x - 4

.
D.

x - 2

và

x + 4

Kiến thức cần nhớ

Tách hạng tử giữa: $x^{2} + S x + P = (x + m) (x + n)$ khi $m + n = S$ và $mn = P$ .
Nhóm hạng tử rồi đặt nhân tử chung: $A B + A C = A (B + C)$ .
Hiệu hai bình phương: $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đa thức bậc hai có hệ số cao nhất bằng

1

, hạng tử tự do

8

và hệ số giữa

- 9

— dấu hiệu của dạng tách hạng tử giữa theo cặp số có tích

8

và tổng

9

. Vì đây là câu trắc nghiệm nên còn hai đường tắt: khai triển ngược bốn phương án, hoặc thay một giá trị

x

dễ tính rồi so kết quả. Bẫy của đề nằm ở dấu — tích

8

dương còn tổng lại âm nên hai số phải cùng âm; chọn nhầm

x - 1

và

x + 8

là mất điểm.

1Cách 1. Tách hạng tử giữa rồi nhóm

Định hướng. Tìm hai số có tích bằng $8$ và tổng bằng $9$ để tách $- 9 x$ thành hai phần, khi đó hai nhóm cùng chứa một nhân tử.

x^{2} - 9 x + 8

= x^{2} - x - 8 x + 8

= x (x - 1) - 8 (x - 1)

= (x - 1) (x - 8)

Vậy chọn đáp án B: $x^{2} - 9 x + 8 = (x - 1) (x - 8)$ .

2Cách 2. Thêm bớt để đưa về hiệu hai bình phương

Định hướng. Hoàn chỉnh $x^{2} - 9 x$ thành bình phương của một hiệu, phần dư biến bài toán thành hiệu hai bình phương.

x^{2} - 9 x + 8

= x^{2} - 2 \cdot x \cdot \frac{9}{2} + \frac{81}{4} - \frac{81}{4} + 8

= (x - \frac{9}{2})^{2} - \frac{49}{4}

= (x - \frac{9}{2})^{2} - (\frac{7}{2})^{2}

= (x - \frac{9}{2} - \frac{7}{2}) (x - \frac{9}{2} + \frac{7}{2})

= (x - 8) (x - 1)

Vậy chọn đáp án B.

3Cách 3. Khai triển ngược bốn phương án

Định hướng. Đề đã cho sẵn bốn tích, nhân từng tích ra rồi đối chiếu với đa thức ban đầu.

(x - 1) (x + 8) = x^{2} + 7 x - 8

(x - 2) (x - 4) = x^{2} - 6 x + 8

(x - 2) (x + 4) = x^{2} + 2 x - 8

(x - 1) (x - 8) = x^{2} - 9 x + 8

Vậy chỉ có B cho đúng $x^{2} - 9 x + 8$ .

4Cách 4. Thay một giá trị của

x

để loại nhanh

Định hướng. Một đẳng thức đúng với mọi $x$ thì phải đúng khi $x = 2$ ; giá trị này làm ba phương án còn lại lộ ngay sai số.

x = 2

x^{2} - 9 x + 8 = 4 - 18 + 8 = - 6

(2 - 1) (2 + 8) = 10

(2 - 2) (2 - 4) = 0

(2 - 2) (2 + 4) = 0

(2 - 1) (2 - 8) = - 6

Vậy chọn đáp án B.

Nhận xét. Thay số chỉ giúp LOẠI phương án chứ chưa khẳng định được, vì hai đa thức khác nhau vẫn có thể trùng giá trị tại một điểm; muốn chắc chắn phải nhân ra như Cách 3 hoặc phân tích như Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ hai dòng tách rồi nhóm là ra kết quả và dùng lại được nguyên xi khi đề hỏi dạng tự luận; Cách 4 tuy nhanh nhưng chỉ loại được phương án chứ không chứng minh được điều gì.

Đáp số. Chọn B:

x^{2} - 9 x + 8 = (x - 1) (x - 8)

Sai lầm thường gặp. Nhớ nhầm quy tắc dấu, thấy tích

8

dương liền lấy hai số

- 1

và

8

rồi chọn A. Phản ví dụ ngay ở dòng khai triển:

(x - 1) (x + 8) = x^{2} + 7 x - 8

— hạng tử tự do là

- 8

chứ không phải

8

, hệ số của

x

là

+ 7

chứ không phải

- 9

🚀 Mở rộng. Cùng cách tách hạng tử,

x^{2} - (m + n) x + mn = (x - m) (x - n)

với mọi

m

n

; thử tiếp với

x^{2} - 9 x y + 8 y^{2} = (x - y) (x - 8 y)

để thấy quy tắc giữ nguyên khi đa thức có thêm biến thứ hai.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 47

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 2.29★Trang 47— Trắc nghiệm — nhận dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương

Bài 2.29 (trang 47). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

(A - B) (A + B) = A^{2} + 2 A B + B^{2}

.
B.

(A + B) (A - B) = A^{2} - 2 A B + B^{2}

.
C.

(A + B) (A - B) = A^{2} + B^{2}

.
D.

(A + B) (A - B) = A^{2} - B^{2}

Kiến thức cần nhớ

Hiệu hai bình phương: $(A + B) (A - B) = A^{2} - B^{2}$ .
Bình phương của một tổng: $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ .
Bình phương của một hiệu: $(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án đều có vế trái là tích của một tổng với một hiệu — đúng khuôn của hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, nên việc còn lại chỉ là nhớ chính xác vế phải. Hướng nhân phá ngoặc an toàn nhất vì nó vừa cho đáp án vừa chỉ rõ ba phương án kia sai ở đâu. Bẫy của đề là ba phương án nhiễu đều mượn vế phải của những hằng đẳng thức khác nên rất quen mắt, dễ chọn theo cảm giác.

1Cách 1. Nhân phá ngoặc vế trái

Định hướng. Nhân trực tiếp hai đa thức rồi thu gọn, kết quả thu được chính là vế phải đúng.

(A + B) (A - B)

= A \cdot A - A \cdot B + B \cdot A - B \cdot B

= A^{2} - A B + A B - B^{2}

= A^{2} - B^{2}

Vậy chọn đáp án D.

2Cách 2. Đối chiếu dạng của vế phải

Định hướng. Vế trái của cả bốn phương án đều là tích tổng với hiệu nên kết quả bắt buộc mang dạng hiệu hai bình phương; chỉ cần viết lại ba vế phải kia dưới dạng quen thuộc là thấy chúng thuộc hằng đẳng thức khác.

(A + B) (A - B) = A^{2} - B^{2}

A^{2} + 2 A B + B^{2} = (A + B)^{2}

A^{2} - 2 A B + B^{2} = (A - B)^{2}

A^{2} + B^{2} = (A^{2} - B^{2}) + 2 B^{2}

Vậy A và B lấy nhầm vế phải của $(A + B)^{2}$ và $(A - B)^{2}$ , C thừa ra $2 B^{2}$ ; chọn đáp án D.

3Cách 3. Thay một bộ số cụ thể

Định hướng. Một đẳng thức đúng thì đúng với mọi số, chọn $A = 3$ và $B = 1$ cho phép nhẩm được cả bốn vế phải.

A = 3

B = 1

(A + B) (A - B) = 4 \cdot 2 = 8

A^{2} + 2 A B + B^{2} = 9 + 6 + 1 = 16

A^{2} - 2 A B + B^{2} = 9 - 6 + 1 = 4

A^{2} + B^{2} = 9 + 1 = 10

A^{2} - B^{2} = 9 - 1 = 8

Vậy chỉ có $A^{2} - B^{2}$ khớp với $8$ ; chọn đáp án D.

Nhận xét. Ba cách trên bổ trợ nhau: Cách 1 chứng minh, Cách 2 giúp nhớ vì sao ba phương án nhiễu được đặt ra, Cách 3 là công cụ kiểm tra nhanh khi đang phân vân giữa hai đáp án.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân phá ngoặc mất đúng một dòng và hoàn toàn không phụ thuộc trí nhớ nên không sợ nhớ nhầm dấu; Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra lại lần cuối.

Đáp số. Chọn D:

(A + B) (A - B) = A^{2} - B^{2}

Sai lầm thường gặp. Lẫn hiệu hai bình phương với bình phương của một hiệu nên chọn B. Phản ví dụ với

A = 3

B = 1

: vế trái

(3 + 1) (3 - 1) = 8

, còn

A^{2} - 2 A B + B^{2} = 9 - 6 + 1 = 4

— hai vế khác nhau nên B sai.

🚀 Mở rộng. Cùng khuôn tổng nhân hiệu nhưng lên bậc ba:

(A + B) (A^{2} - A B + B^{2}) = A^{3} + B^{3}

và

(A - B) (A^{2} + A B + B^{2}) = A^{3} - B^{3}

; hãy tự nhân phá ngoặc để thấy vì sao hạng tử giữa đổi dấu so với hằng đẳng thức bậc hai.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 47

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 2.30★★Trang 47— Trắc nghiệm — đưa tam thức về bình phương của một tổng

Bài 2.30 (trang 47). Biểu thức

25 x^{2} + 20 x y + 4 y^{2}

viết dưới dạng bình phương của một tổng là:
A.

[5 x + (- 2 y)]^{2}

.
B.

[2 x + (- 5 y)]^{2}

.
C.

(2 x + 5 y)^{2}

.
D.

(5 x + 2 y)^{2}

Kiến thức cần nhớ

Bình phương của một tổng: $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ .
Bình phương của một hiệu: $(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$ .
Mô hình diện tích: hình vuông cạnh $A + B$ ghép từ hai hình vuông cạnh $A$ , cạnh $B$ và hai hình chữ nhật kích thước $A$ và $B$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hạng tử đầu và hạng tử cuối đều là bình phương đúng vì

25 x^{2} = (5 x)^{2}

và

4 y^{2} = (2 y)^{2}

, còn hạng tử giữa mang dấu dương — dấu hiệu chuẩn của

A^{2} + 2 A B + B^{2}

, việc còn lại chỉ là kiểm tra

2 A B

có đúng bằng

20 x y

hay không. Hướng nhận dạng

A

và

B

nhanh hơn hẳn hướng khai triển cả bốn phương án. Bẫy của đề là hai phương án C và D cùng cho hạng tử giữa

20 x y

, phải nhìn thêm hệ số của

x^{2}

mới phân biệt được.

1Cách 1. Nhận dạng

A

B

rồi kiểm tra hạng tử giữa

Định hướng. Lấy căn bậc hai của hạng tử đầu và hạng tử cuối để đoán $A$ , $B$ , sau đó thử lại $2 A B$ .

25 x^{2} + 20 x y + 4 y^{2}

= (5 x)^{2} + 20 x y + (2 y)^{2}

2 \cdot 5 x \cdot 2 y = 20 x y

25 x^{2} + 20 x y + 4 y^{2} = (5 x)^{2} + 2 \cdot 5 x \cdot 2 y + (2 y)^{2}

= (5 x + 2 y)^{2}

Vậy chọn đáp án D.

2Cách 2. Khai triển bốn phương án để loại trừ

Định hướng. Bình phương lần lượt từng biểu thức đã cho rồi so với đề bài.

[5 x + (- 2 y)]^{2} = 25 x^{2} - 20 x y + 4 y^{2}

[2 x + (- 5 y)]^{2} = 4 x^{2} - 20 x y + 25 y^{2}

(2 x + 5 y)^{2} = 4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}

(5 x + 2 y)^{2} = 25 x^{2} + 20 x y + 4 y^{2}

Vậy chỉ có D trùng khớp hoàn toàn.

3Cách 3. Thay số hai lần để loại hết phương án

Định hướng. Bộ $x = 1$ , $y = 1$ chưa tách được C với D nên phải thêm bộ $x = 1$ , $y = 0$ để làm biến mất mọi hạng tử chứa $y$ .

x = 1

y = 1

25 + 20 + 4 = 49

(5 - 2)^{2} = 9

; B:

(2 - 5)^{2} = 9

(2 + 5)^{2} = 49

; D:

(5 + 2)^{2} = 49

x = 1

y = 0

25 + 0 + 0 = 25

2^{2} = 4

; D:

5^{2} = 25

Vậy chỉ D đúng cả hai lần thử.

4Cách 4. Đọc trực tiếp trên mô hình diện tích

Định hướng. Hình vuông cạnh $5 x + 2 y$ được cắt thành bốn mảnh; cộng diện tích bốn mảnh sẽ ra dạng khai triển cần tìm.

S = (5 x + 2 y)^{2}

S = (5 x)^{2} + 5 x \cdot 2 y + 2 y \cdot 5 x + (2 y)^{2}

= 25 x^{2} + 10 x y + 10 x y + 4 y^{2}

= 25 x^{2} + 20 x y + 4 y^{2}

Vậy $25 x^{2} + 20 x y + 4 y^{2} = (5 x + 2 y)^{2}$ , chọn đáp án D.

Nhận xét. Mô hình diện tích chỉ vẽ được khi $x > 0$ và $y > 0$ , nhưng hằng đẳng thức rút ra thì đúng với mọi giá trị của $x$ và $y$ — hình vẽ để hiểu và để nhớ, phần chứng minh vẫn là phép nhân đa thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần lấy căn hai hạng tử đầu và cuối rồi thử

2 A B

, mất chưa tới nửa phút và không phải khai triển bốn biểu thức như Cách 2.

Đáp số. Chọn D:

25 x^{2} + 20 x y + 4 y^{2} = (5 x + 2 y)^{2}

Sai lầm thường gặp. Đảo vị trí hai hệ số

5

và

2

nên chọn C. Phản ví dụ:

(2 x + 5 y)^{2} = 4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}

— hạng tử giữa đúng nhưng hạng tử đầu là

4 x^{2}

chứ không phải

25 x^{2}

; chỉ cần thay

y = 0

là thấy

4 x^{2}

khác hẳn

25 x^{2}

🚀 Mở rộng. Tổng quát

a^{2} x^{2} + 2 ab x y + b^{2} y^{2} = (a x + b y)^{2}

; thử với

9 x^{2} - 24 x y + 16 y^{2} = (3 x - 4 y)^{2}

, còn nếu hạng tử giữa khác

2 ab \cdot x y

thì đa thức không viết được thành bình phương.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 47

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 2.31★★★Trang 47— Trắc nghiệm — rút gọn biểu thức chứa lập phương của một tổng

Bài 2.31 (trang 47). Rút gọn biểu thức

A = (2 x + 1)^{3} - 6 x (2 x + 1)

ta được
A.

x^{3} + 8

.
B.

x^{3} + 1

.
C.

8 x^{3} + 1

.
D.

8 x^{3} - 1

Kiến thức cần nhớ

Lập phương của một tổng: $(A + B)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$ .
Tổng hai lập phương: $A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$ .
Đặt nhân tử chung: $A B + A C = A (B + C)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai hạng tử đều chứa khối

2 x + 1

— dấu hiệu nên đặt khối đó làm nhân tử chung thay vì khai triển vội. Hướng khai triển tuy dễ nghĩ nhưng phải cộng trừ bốn hạng tử và dễ sai dấu, còn hướng đặt nhân tử chung chỉ mất hai dòng rồi rơi đúng vào hằng đẳng thức tổng hai lập phương. Bẫy của đề là bốn phương án đều có dạng luỹ thừa bậc ba cộng trừ một số, mà tại

x = 1

thì A và C cho cùng giá trị

9

nên một lần thử số là chưa đủ.

1Cách 1. Khai triển trực tiếp rồi thu gọn

Định hướng. Bung lập phương của một tổng, nhân phá ngoặc hạng tử còn lại rồi rút gọn các hạng tử đối nhau.

A = (2 x + 1)^{3} - 6 x (2 x + 1)

= (2 x)^{3} + 3 (2 x)^{2} \cdot 1 + 3 \cdot 2 x \cdot 1^{2} + 1^{3} - (12 x^{2} + 6 x)

= 8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1 - 12 x^{2} - 6 x

= 8 x^{3} + 1

Vậy $A = 8 x^{3} + 1$ , chọn đáp án C.

2Cách 2. Đặt nhân tử chung

2 x + 1

rồi dùng tổng hai lập phương

Định hướng. Khối $2 x + 1$ có mặt ở cả hai hạng tử nên đặt được ra ngoài; phần trong ngoặc tự thu gọn thành $4 x^{2} - 2 x + 1$ , đúng khuôn $A^{2} - A B + B^{2}$ .

A = (2 x + 1) [(2 x + 1)^{2} - 6 x]

= (2 x + 1) (4 x^{2} + 4 x + 1 - 6 x)

= (2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1)

= (2 x)^{3} + 1^{3}

= 8 x^{3} + 1

Vậy $A = 8 x^{3} + 1$ , chọn đáp án C.

3Cách 3. Xét hệ số bậc ba và giá trị tại

x = 0

Định hướng. Hạng tử bậc ba của $A$ chỉ sinh ra từ $(2 x)^{3}$ , còn giá trị tại $x = 0$ cho ngay hạng tử tự do; hai thông tin đó đủ loại ba phương án.

(2 x)^{3} = 8 x^{3}

A và B có hệ số bậc ba bằng

1

x = 0

A = 1^{3} - 0 = 1

8 \cdot 0^{3} + 1 = 1

8 \cdot 0^{3} - 1 = - 1

Vậy chỉ còn C thoả mãn cả hai điều kiện.

4Cách 4. Thay hai giá trị của

x

để kiểm tra chéo

Định hướng. Thử $x = 1$ trước, nếu còn hai phương án cùng giá trị thì thử thêm $x = 2$ .

x = 1

A = 3^{3} - 6 \cdot 3 = 27 - 18 = 9

1 + 8 = 9

; B:

1 + 1 = 2

; C:

8 + 1 = 9

; D:

8 - 1 = 7

x = 2

A = 5^{3} - 12 \cdot 5 = 125 - 60 = 65

2^{3} + 8 = 16

; C:

8 \cdot 2^{3} + 1 = 65

Vậy chọn đáp án C.

Nhận xét. Lần thử $x = 1$ để lọt hai phương án cùng cho $9$ — đó chính là cái bẫy của đề; muốn dùng phép thử số thì phải thử tới khi chỉ còn duy nhất một phương án sống sót.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đặt

2 x + 1

ra ngoài thì phần trong ngoặc tự rút gọn thành

4 x^{2} - 2 x + 1

, khớp ngay tổng hai lập phương nên chỉ mất bốn dòng và không phải cộng trừ nhiều hạng tử như Cách 1.

Đáp số. Chọn C:

A = 8 x^{3} + 1

Sai lầm thường gặp. Khai triển nhầm

(2 x + 1)^{3} = 2 x^{3} + 1

vì tưởng luỹ thừa phân phối được cho phép cộng, từ đó ra

A = 2 x^{3} + 1 - 12 x^{2} - 6 x

rồi chọn bừa. Phản ví dụ với

x = 1

(2 \cdot 1 + 1)^{3} = 27

trong khi

2 \cdot 1^{3} + 1 = 3

, hai số hoàn toàn khác nhau.

🚀 Mở rộng. Cùng cách đặt nhân tử chung,

(a x + 1)^{3} - 3 a x (a x + 1) = a^{3} x^{3} + 1

với mọi

a

; thay

a = 3

được

(3 x + 1)^{3} - 9 x (3 x + 1) = 27 x^{3} + 1

, hãy thử chứng minh chỉ bằng bốn dòng như Cách 2.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 47

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 2.32★★Trang 47— Tính nhanh giá trị biểu thức bằng hằng đẳng thức

Bài 2.32 (trang 47). Tính nhanh giá trị của các biểu thức: a)

x^{2} - 4 x + 4

tại

x = 102

; b)

x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1

tại

x = 999

Kiến thức cần nhớ

Bình phương của một hiệu: $(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$ .
Lập phương của một tổng: $(A + B)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$ .
Đặt nhân tử chung: $A B + A C = A (B + C)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) có

4 = 2^{2}

và

4 x = 2 \cdot x \cdot 2

, câu b) có đủ bốn hạng tử

x^{3}

3 x^{2}

3 x

1

— đó là dấu hiệu của bình phương của một hiệu và lập phương của một tổng. Chữ “tính nhanh” cho biết đề cố tình chọn

x = 102

và

x = 999

để sau khi thu gọn ta gặp

100

và

1000

là những số tròn, nên phải thu gọn trước rồi mới thay số. Bẫy là lao vào tính

99 9^{3}

ngay: kết quả vẫn đúng nhưng phép nhân rất dài và dễ sai.

1Cách 1. Thay số rồi tính trực tiếp

Định hướng. Cách nghĩ đầu tiên: cứ thay giá trị của $x$ vào từng hạng tử rồi cộng trừ.

x = 102

10 2^{2} - 4 \cdot 102 + 4

= 10404 - 408 + 4

= 10000

x = 999

99 9^{3} + 3 \cdot 99 9^{2} + 3 \cdot 999 + 1

= 997002999 + 2994003 + 2997 + 1

= 1000000000

Vậy a) $10000$ ; b) $1000000000$ .

2Cách 2. Nhóm hạng tử để bớt phép nhân

Định hướng. Gom bớt hạng tử thành tích trước khi thay số thì mỗi câu chỉ còn một phép nhân.

x^{2} - 4 x + 4 = x (x - 4) + 4

= 102 \cdot 98 + 4

= 9996 + 4 = 10000

x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 = x^{2} (x + 3) + (3 x + 1)

= 99 9^{2} \cdot 1002 + 2998

= 998001 \cdot 1002 + 2998

= 999997002 + 2998 = 1000000000

Vậy a) $10000$ ; b) $1000000000$ .

3Cách 3. Đặt ẩn phụ đưa về số tròn

Định hướng. Đặt $t$ là số tròn gần $x$ rồi viết $x$ theo $t$ ; mọi hạng tử lẻ sẽ triệt tiêu, chỉ còn một luỹ thừa của $t$ .

t = x - 2

, với

x = 102

thì

t = 100

x^{2} - 4 x + 4 = (t + 2)^{2} - 4 (t + 2) + 4

= t^{2} + 4 t + 4 - 4 t - 8 + 4 = t^{2}

= 10 0^{2} = 10000

t = x + 1

, với

x = 999

thì

t = 1000

x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 = (t - 1)^{3} + 3 (t - 1)^{2} + 3 (t - 1) + 1

= t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{2} - 6 t + 3 + 3 t - 3 + 1

= t^{3} = 100 0^{3} = 1000000000

Vậy a) $10000$ ; b) $1000000000$ .

4Cách 4. Nhận ra ngay hằng đẳng thức

Định hướng. Đọc thẳng cấu trúc của biểu thức: câu a) là bình phương của một hiệu, câu b) là lập phương của một tổng.

x^{2} - 4 x + 4 = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = (x - 2)^{2}

= (102 - 2)^{2} = 10 0^{2} = 10000

x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 = x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^{2} + 1^{3} = (x + 1)^{3}

= (999 + 1)^{3} = 100 0^{3} = 1000000000

Vậy a) $10000$ ; b) $1000000000$ .

Nhận xét. Bốn cách cho cùng đáp số, nhưng chỉ Cách 4 giữ nguyên tốc độ khi đề đổi thành $x = 1002$ hay $x = 99999$ — đó mới là ưu thế thật sự của hằng đẳng thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 4: nhận ra

(x - 2)^{2}

và

(x + 1)^{3}

rồi thay số, mỗi câu đúng hai dòng, không phải nhân số lớn như Cách 1 nên gần như không còn chỗ để sai.

Đáp số. a)

10000

; b)

1000000000

Sai lầm thường gặp. Viết

x^{2} - 4 x + 4 = (x - 4)^{2}

vì chỉ nhìn hệ số

4

ở giữa mà quên rằng

B

phải là nửa của hệ số đó. Phản ví dụ:

(x - 4)^{2} = x^{2} - 8 x + 16

, thay

x = 102

được

9 8^{2} = 9604

chứ không phải

10000

🚀 Mở rộng. Cùng ý tưởng,

x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1

tại

x = 1001

bằng

(x - 1)^{3} = 100 0^{3}

; nói chung hễ đề cho giá trị của

x

lệch một số tròn đúng một đơn vị thì gần như chắc chắn biểu thức là luỹ thừa của

x + 1

hoặc

x - 1

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 47

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 2.33★★Trang 47— Rút gọn biểu thức bằng hằng đẳng thức

Bài 2.33 (trang 47). Rút gọn các biểu thức: a)

(2 x - 5 y) (2 x + 5 y) + (2 x + 5 y)^{2}

; b)

(x + 2 y) (x^{2} - 2 x y + 4 y^{2}) + (2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + y^{2})

Kiến thức cần nhớ

Hiệu hai bình phương: $(A - B) (A + B) = A^{2} - B^{2}$ .
Bình phương của một tổng: $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ .
Tổng hai lập phương: $(A + B) (A^{2} - A B + B^{2}) = A^{3} + B^{3}$ .
Hiệu hai lập phương: $(A - B) (A^{2} + A B + B^{2}) = A^{3} - B^{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) có cùng khối

2 x + 5 y

ở cả hai hạng tử, câu b) có đúng khuôn

(A + B) (A^{2} - A B + B^{2})

và

(A - B) (A^{2} + A B + B^{2})

— đó là dấu hiệu dùng hằng đẳng thức thay vì nhân bung. Hướng nhận dạng hằng đẳng thức cho lời giải ngắn nhất, riêng câu a) còn đường ngắn hơn nữa là đặt

2 x + 5 y

làm nhân tử chung. Bẫy ở câu b) là

x^{2} - 2 x y + 4 y^{2}

trông rất giống

(x - 2 y)^{2}

nhưng hạng tử giữa chỉ là

- 2 x y

chứ không phải

- 4 x y

, nên nó là phần

A^{2} - A B + B^{2}

của tổng hai lập phương.

1Cách 1. Dùng hằng đẳng thức cho từng hạng tử rồi cộng lại

Định hướng. Mỗi tích trong đề đều là một hằng đẳng thức quen thuộc, chỉ cần viết thẳng kết quả rồi thu gọn.

(2 x - 5 y) (2 x + 5 y) + (2 x + 5 y)^{2}

= [(2 x)^{2} - (5 y)^{2}] + [(2 x)^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot 5 y + (5 y)^{2}]

= 4 x^{2} - 25 y^{2} + 4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}

= 8 x^{2} + 20 x y

(x + 2 y) (x^{2} - 2 x y + 4 y^{2}) + (2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + y^{2})

= [x^{3} + (2 y)^{3}] + [(2 x)^{3} - y^{3}]

= x^{3} + 8 y^{3} + 8 x^{3} - y^{3}

= 9 x^{3} + 7 y^{3}

Vậy a) $8 x^{2} + 20 x y$ ; b) $9 x^{3} + 7 y^{3}$ .

2Cách 2. Nhân phá ngoặc trực tiếp

Định hướng. Không dùng hằng đẳng thức, cứ nhân từng hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi rút gọn.

(2 x - 5 y) (2 x + 5 y) = 4 x^{2} + 10 x y - 10 x y - 25 y^{2} = 4 x^{2} - 25 y^{2}

(2 x + 5 y)^{2} = 4 x^{2} + 10 x y + 10 x y + 25 y^{2} = 4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}

(4 x^{2} - 25 y^{2}) + (4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}) = 8 x^{2} + 20 x y

(x + 2 y) (x^{2} - 2 x y + 4 y^{2}) = x^{3} - 2 x^{2} y + 4 x y^{2} + 2 x^{2} y - 4 x y^{2} + 8 y^{3} = x^{3} + 8 y^{3}

(2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + y^{2}) = 8 x^{3} + 4 x^{2} y + 2 x y^{2} - 4 x^{2} y - 2 x y^{2} - y^{3} = 8 x^{3} - y^{3}

(x^{3} + 8 y^{3}) + (8 x^{3} - y^{3}) = 9 x^{3} + 7 y^{3}

Vậy a) $8 x^{2} + 20 x y$ ; b) $9 x^{3} + 7 y^{3}$ .

3Cách 3. Đặt nhân tử chung ở câu a), đặt ẩn phụ ở câu b)

Định hướng. Câu a) rút $2 x + 5 y$ ra ngoài thì phần còn lại tự cộng gọn; câu b) đặt ẩn phụ để hai hằng đẳng thức lập phương hiện ra ở dạng thuần tuý nhất.

(2 x - 5 y) (2 x + 5 y) + (2 x + 5 y)^{2}

= (2 x + 5 y) [(2 x - 5 y) + (2 x + 5 y)]

= (2 x + 5 y) \cdot 4 x = 8 x^{2} + 20 x y

u = 2 y

v = 2 x

(x + u) (x^{2} - xu + u^{2}) = x^{3} + u^{3} = x^{3} + 8 y^{3}

(v - y) (v^{2} + v y + y^{2}) = v^{3} - y^{3} = 8 x^{3} - y^{3}

(x^{3} + 8 y^{3}) + (8 x^{3} - y^{3}) = 9 x^{3} + 7 y^{3}

Vậy a) $8 x^{2} + 20 x y$ ; b) $9 x^{3} + 7 y^{3}$ .

4Cách 4. Hệ số bất định rồi thay số kiểm tra chéo

Định hướng. Sau khi rút gọn, câu a) là đa thức bậc hai còn câu b) là đa thức bậc ba của $x$ và $y$ ; viết dạng tổng quát rồi thay vài bộ số dễ nhẩm là tìm được từng hệ số.

(2 x - 5 y) (2 x + 5 y) + (2 x + 5 y)^{2} = m x^{2} + n x y + p y^{2}

x = 1

y = 0

2 \cdot 2 + 2^{2} = 8

nên

m = 8

x = 0

y = 1

(- 5) \cdot 5 + 5^{2} = 0

nên

p = 0

x = 1

y = 1

(- 3) \cdot 7 + 7^{2} = 28

nên

m + n + p = 28

n = 20

(x + 2 y) (x^{2} - 2 x y + 4 y^{2}) + (2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + y^{2}) = m x^{3} + n x^{2} y + p x y^{2} + q y^{3}

x = 1

y = 0

1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 9

nên

m = 9

x = 0

y = 1

2 \cdot 4 + (- 1) \cdot 1 = 7

nên

q = 7

x = 1

y = 1

3 \cdot 3 + 1 \cdot 7 = 16

nên

n + p = 0

x = 1

y = - 1

(- 1) \cdot 7 + 3 \cdot 3 = 2

nên

p - n = 0

n = p = 0

Vậy a) $8 x^{2} + 20 x y$ ; b) $9 x^{3} + 7 y^{3}$ .

Nhận xét. Cách 4 dài hơn nhưng đáng giá ở chỗ nó vừa cho kết quả vừa tự kiểm tra: bốn bộ số độc lập cùng khớp thì khả năng sai gần như bằng không.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 cho câu a) và Cách 1 cho câu b): câu a) chỉ ba dòng nhờ nhân tử chung

2 x + 5 y

, câu b) chỉ cần đọc đúng hai hằng đẳng thức lập phương là xong, trong khi Cách 2 phải viết tới mười hai hạng tử.

Đáp số. a)

8 x^{2} + 20 x y

; b)

9 x^{3} + 7 y^{3}

Sai lầm thường gặp. Nhìn

x^{2} - 2 x y + 4 y^{2}

thành

(x - 2 y)^{2}

rồi viết câu b) thành

(x + 2 y) (x - 2 y)^{2}

. Phản ví dụ:

(x - 2 y)^{2} = x^{2} - 4 x y + 4 y^{2}

, hạng tử giữa là

- 4 x y

chứ không phải

- 2 x y

; thay

x = 1

y = 1

thì

x^{2} - 2 x y + 4 y^{2} = 3

còn

(x - 2 y)^{2} = 1

🚀 Mở rộng. Cùng cấu trúc câu b),

(x + a y) (x^{2} - a x y + a^{2} y^{2}) + (a x - y) (a^{2} x^{2} + a x y + y^{2}) = (a^{3} + 1) x^{3} + (a^{3} - 1) y^{3}

; đặt

a = 2

là trở về đúng đề bài, đặt

a = 3

sẽ được

28 x^{3} + 26 y^{3}

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 47

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 2.34★★★Trang 47— Phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 2.34 (trang 47). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)

6 x^{2} - 24 y^{2}

; b)

64 x^{3} - 27 y^{3}

; c)

x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}

; d)

(x - y)^{3} + 8 y^{3}

Kiến thức cần nhớ

Đặt nhân tử chung: $A B + A C = A (B + C)$ .
Hiệu hai bình phương: $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .
Bình phương của một hiệu: $A^{2} - 2 A B + B^{2} = (A - B)^{2}$ .
Hiệu hai lập phương: $A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$ .
Tổng hai lập phương: $A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn câu chia thành hai nhóm: a) và c) có nhân tử chung nên phải đặt ra ngoài trước, còn b) và d) không có nhân tử chung nhưng hai hạng tử đều là lập phương đúng. Hướng chung an toàn nhất là “nhân tử chung trước, hằng đẳng thức sau”, vì bỏ qua bước đặt nhân tử chung thì hằng đẳng thức không hiện ra. Bẫy ở câu d) là

8 y^{3} = (2 y)^{3}

và cả khối

x - y

phải được coi như một biểu thức duy nhất, khai triển vội sẽ mất luôn dạng đẹp.

1Cách 1. Đặt nhân tử chung trước, dùng hằng đẳng thức sau

Định hướng. Câu nào có nhân tử chung thì rút ra ngoài, phần còn lại luôn rơi đúng vào một hằng đẳng thức đã học.

6 x^{2} - 24 y^{2} = 6 (x^{2} - 4 y^{2})

= 6 [x^{2} - (2 y)^{2}] = 6 (x - 2 y) (x + 2 y)

64 x^{3} - 27 y^{3} = (4 x)^{3} - (3 y)^{3}

= (4 x - 3 y) [(4 x)^{2} + 4 x \cdot 3 y + (3 y)^{2}]

= (4 x - 3 y) (16 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2})

x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} = x^{2} (x^{2} - 2 x + 1)

= x^{2} (x - 1)^{2}

(x - y)^{3} + 8 y^{3} = (x - y)^{3} + (2 y)^{3}

= [(x - y) + 2 y] [(x - y)^{2} - (x - y) \cdot 2 y + (2 y)^{2}]

= (x + y) (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x y + 2 y^{2} + 4 y^{2})

= (x + y) (x^{2} - 4 x y + 7 y^{2})

Vậy a) $6 (x - 2 y) (x + 2 y)$ ; b) $(4 x - 3 y) (16 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2})$ ; c) $x^{2} (x - 1)^{2}$ ; d) $(x + y) (x^{2} - 4 x y + 7 y^{2})$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ cho từng khối

Định hướng. Gọi tên từng khối bằng một chữ mới, hằng đẳng thức hiện ra ở dạng trần trụi rồi mới thay ngược trở lại.

u = x

v = 2 y

6 x^{2} - 24 y^{2} = 6 (u^{2} - v^{2}) = 6 (u - v) (u + v)

= 6 (x - 2 y) (x + 2 y)

u = 4 x

v = 3 y

64 x^{3} - 27 y^{3} = u^{3} - v^{3} = (u - v) (u^{2} + uv + v^{2})

= (4 x - 3 y) (16 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2})

u = x^{2} - x

x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} = (x^{2} - x)^{2} = u^{2}

= [x (x - 1)]^{2} = x^{2} (x - 1)^{2}

u = x - y

v = 2 y

(x - y)^{3} + 8 y^{3} = u^{3} + v^{3} = (u + v) (u^{2} - uv + v^{2})

= (x + y) [(x - y)^{2} - 2 y (x - y) + 4 y^{2}]

= (x + y) (x^{2} - 4 x y + 7 y^{2})

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1 ở cả bốn câu.

3Cách 3. Tách hạng tử rồi nhóm

Định hướng. Không dùng hằng đẳng thức: tách bớt một hạng tử thành hai phần sao cho các nhóm hiện ra cùng một nhân tử.

6 x^{2} - 24 y^{2} = 6 x^{2} - 12 x y + 12 x y - 24 y^{2}

= 6 x (x - 2 y) + 12 y (x - 2 y) = (x - 2 y) (6 x + 12 y)

= 6 (x - 2 y) (x + 2 y)

64 x^{3} - 27 y^{3} = 64 x^{3} - 48 x^{2} y + 48 x^{2} y - 36 x y^{2} + 36 x y^{2} - 27 y^{3}

= 16 x^{2} (4 x - 3 y) + 12 x y (4 x - 3 y) + 9 y^{2} (4 x - 3 y)

= (4 x - 3 y) (16 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2})

x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} = x^{4} - x^{3} - x^{3} + x^{2}

= x^{3} (x - 1) - x^{2} (x - 1) = (x - 1) (x^{3} - x^{2})

= (x - 1) \cdot x^{2} (x - 1) = x^{2} (x - 1)^{2}

(x - y)^{3} + 8 y^{3} = x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} + 8 y^{3}

= x^{3} + x^{2} y - 4 x^{2} y - 4 x y^{2} + 7 x y^{2} + 7 y^{3}

= x^{2} (x + y) - 4 x y (x + y) + 7 y^{2} (x + y)

= (x + y) (x^{2} - 4 x y + 7 y^{2})

Vậy ba con đường khác nhau cùng dẫn tới một kết quả duy nhất.

4Cách 4. Thay số kiểm tra chéo

Định hướng. Đẳng thức phân tích phải đúng với mọi giá trị của biến, chọn $x = 3$ , $y = 1$ để thử lại cả bốn câu.

6 \cdot 9 - 24 = 30

và

6 (3 - 2) (3 + 2) = 30

64 \cdot 27 - 27 = 1701

và

(12 - 3) (144 + 36 + 9) = 9 \cdot 189 = 1701

81 - 54 + 9 = 36

và

9 \cdot 2^{2} = 36

(3 - 1)^{3} + 8 = 16

và

(3 + 1) (9 - 12 + 7) = 4 \cdot 4 = 16

Vậy cả bốn kết quả phân tích đều khớp giá trị số.

Nhận xét. Thay số chỉ kiểm tra chứ không thay được lời giải: hai đa thức khác nhau vẫn có thể trùng giá trị tại một điểm, muốn chắc chắn phải khai triển lại như Cách 3 hoặc thử thêm bộ số thứ hai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy trình “nhân tử chung trước, hằng đẳng thức sau” áp dụng được cho cả bốn câu và mỗi câu chỉ ba dòng; Cách 3 tuy tổng quát hơn nhưng phải tách rất nhiều hạng tử nên dễ sót dấu.

Đáp số. a)

6 (x - 2 y) (x + 2 y)

; b)

(4 x - 3 y) (16 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2})

; c)

x^{2} (x - 1)^{2}

; d)

(x + y) (x^{2} - 4 x y + 7 y^{2})

Sai lầm thường gặp. Ở câu b) viết

64 x^{3} - 27 y^{3} = (4 x - 3 y) (16 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2})

vì bê nguyên dấu trừ của

A - B

xuống hạng tử giữa. Phản ví dụ với

x = 1

y = 1

: vế trái bằng

64 - 27 = 37

, còn

(4 - 3) (16 - 12 + 9) = 13

— hai số khác hẳn nhau.

🚀 Mở rộng. Cùng cách đặt ẩn phụ ở câu d),

(x - y)^{3} + k^{3} y^{3} = (x - y + k y) [(x - y)^{2} - k y (x - y) + k^{2} y^{2}]

; với

k = 3

nhân tử thứ nhất thành

x + 2 y

, hãy tự tính xem nhân tử thứ hai khi đó bằng bao nhiêu.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 47

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 2.35★★★Trang 47— Giải thích hằng đẳng thức bằng mô hình diện tích

Bài 2.35 (trang 47). Sử dụng Hình 2.3, bằng cách tính diện tích hình vuông

A B C D

theo hai cách, hãy giải thích hằng đẳng thức

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Kiến thức cần nhớ

Diện tích hình vuông cạnh $m$ bằng $m^{2}$ ; diện tích hình chữ nhật hai kích thước $m$ và $n$ bằng $mn$ .
Diện tích một hình bằng tổng diện tích các phần rời nhau ghép thành hình đó.
Bình phương của một tổng: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hình vuông

A B C D

có cạnh

a + b

và được chia thành bốn mảnh

P

Q

R

S

— dấu hiệu của kiểu chứng minh “tính một đại lượng theo hai cách”. Hướng đi là viết diện tích toàn hình theo cạnh, rồi viết lại theo tổng bốn mảnh; hai kết quả cùng đo một diện tích nên phải bằng nhau. Bẫy là nhầm hai mảnh

Q

và

R

thành hình vuông: chúng là hình chữ nhật có hai kích thước

a

và

b

, và chính chúng sinh ra hạng tử

2 ab

1Cách 1. Tính diện tích hình vuông theo hai cách rồi so sánh

Định hướng. Cách thứ nhất dùng cạnh $a + b$ , cách thứ hai cộng diện tích bốn mảnh $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ ; cùng một diện tích nên hai kết quả bằng nhau.

S (A B C D) = (a + b)^{2}

S (P) = a^{2}

;

S (Q) = ab

;

S (R) = ab

;

S (S) = b^{2}

S (A B C D) = S (P) + S (Q) + S (R) + S (S)

= a^{2} + ab + ab + b^{2}

= a^{2} + 2 ab + b^{2}

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Vậy hằng đẳng thức $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ được giải thích bằng diện tích hình vuông $A B C D$ .

2Cách 2. Cắt hình vuông thành hai dải hình chữ nhật

Định hướng. Ghép $P$ với $Q$ thành dải trên, $R$ với $S$ thành dải dưới; mỗi dải là hình chữ nhật có một kích thước bằng $a + b$ .

S (P) + S (Q) = a (a + b)

S (R) + S (S) = b (a + b)

S (A B C D) = a (a + b) + b (a + b)

(a + b)^{2} = a^{2} + ab + ab + b^{2}

= a^{2} + 2 ab + b^{2}

Vậy $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ .

3Cách 3. Lấy diện tích hình vuông lớn trừ đi mảnh

P

Định hướng. Bỏ mảnh $P$ đi thì phần còn lại là một hình chữ L gồm đúng ba mảnh $Q$ , $R$ , $S$ .

S (A B C D) - S (P) = S (Q) + S (R) + S (S)

(a + b)^{2} - a^{2} = ab + ab + b^{2}

(a + b)^{2} - a^{2} = 2 ab + b^{2}

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Vậy $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ .

4Cách 4. Chứng minh thuần đại số bằng phép nhân đa thức

Định hướng. Bỏ hình vẽ sang một bên, dùng thẳng tính chất phân phối để nhân hai đa thức.

(a + b)^{2} = (a + b) (a + b)

= a (a + b) + b (a + b)

= a^{2} + ab + ba + b^{2}

= a^{2} + 2 ab + b^{2}

Vậy $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ .

Nhận xét. Ba cách đầu chỉ vẽ được khi $a > 0$ và $b > 0$ vì độ dài phải dương, còn Cách 4 đúng với mọi số $a$ , $b$ kể cả số âm — hình vẽ để hiểu và để nhớ, phép nhân đa thức mới là chứng minh đầy đủ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đề yêu cầu đúng như vậy: tính diện tích theo hai cách rồi cho hai kết quả bằng nhau; nếu đề chỉ nói “chứng minh hằng đẳng thức” mà không bắt buộc dùng hình thì Cách 4 gọn hơn, chỉ bốn dòng.

Đáp số.

S (A B C D) = (a + b)^{2}

và

S (A B C D) = a^{2} + ab + ab + b^{2}

, suy ra

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Sai lầm thường gặp. Cho rằng

Q

và

R

cũng là hình vuông nên viết tổng bốn mảnh thành

a^{2} + b^{2} + b^{2} + b^{2}

rồi kết luận sai

(a + b)^{2} = a^{2} + 3 b^{2}

. Phản ví dụ với

a = 3

b = 2

(3 + 2)^{2} = 25

nhưng

a^{2} + 3 b^{2} = 9 + 12 = 21

; đếm trên hình thì mỗi mảnh

Q

R

có

3 \cdot 2 = 6

ô vuông đơn vị chứ không phải

4

ô.

🚀 Mở rộng. Cùng cách cắt ghép nhưng lên không gian: khối lập phương cạnh

a + b

chia được thành tám hộp nhỏ và cho

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

; hãy đếm xem trong tám hộp đó có bao nhiêu hộp kích thước

a

a

b

để giải thích hệ số

3

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 47

Mở bài này trong app ↗