Luyện tập chung

Định hướng. Mỗi hạng tử của $A+B$ hay $A-B$ chỉ đến từ các hạng tử đồng dạng có sẵn trong $A$ và $B$, nên gom đúng các cặp đồng dạng lại là ra kết quả.

Vậy hạng tử bậc cao nhất của $A$ là $7x^3{y}^2$; $A+B=x^2-x^{3}y-5x{y}^2+y-118$ là đa thức bậc $4$; $A-B=9x^2-3x^{3}y+14x^3{y}^2+5x{y}^2-y-118$ và tại $x=1$, $y=-2$ thì $A-B=-25$.

Định hướng. Xếp $A$ và $B$ theo đúng các loại hạng tử $x^2$, $x^{3}y$, $x^3{y}^2$, $x{y}^2$, $y$, hằng số thành từng cột thẳng hàng thì phép cộng, trừ chỉ còn là cộng, trừ các số ở từng cột; giá trị của hiệu còn kiểm chứng được bằng cách tính riêng $A$ và $B$ rồi trừ hai số.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: $A+B=x^2-x^{3}y-5x{y}^2+y-118$ bậc $4$; $A-B=9x^2-3x^{3}y+14x^3{y}^2+5x{y}^2-y-118$, và tại $x=1$, $y=-2$ giá trị của hiệu bằng $-25$.

Nhận xét. Xếp cột theo phần biến giúp không bỏ sót hạng tử khi hai đa thức có nhiều biến; tính riêng giá trị của $A$ và $B$ rồi trừ là cách thử lại độc lập, không phụ thuộc phép rút gọn $A-B$ ở trên.

Định hướng. Hai kết quả của câu b) và câu c) phải thoả $(A+B)+(A-B)=2A$; cộng chúng lại rồi so với $2A$ là soát được cả hai phép tính một lượt, sau đó tính giá trị của hiệu tại bộ số đã cho.

Vậy a) hạng tử bậc cao nhất của $A$ là $7x^3{y}^2$; b) $A+B=x^2-x^{3}y-5x{y}^2+y-118$ có bậc $4$; c) $A-B=9x^2-3x^{3}y+14x^3{y}^2+5x{y}^2-y-118$ và tại $x=1$, $y=-2$ thì $A-B=-25$.

Nhận xét. Phép soát bằng $2A$ bắt được đúng lỗi nguy hiểm nhất của bài: nếu quên đổi dấu một hạng tử của $B$ khi trừ thì tổng hai kết quả lập tức lệch khỏi $2A$ ở đúng hạng tử ấy.

Định hướng. Một biểu thức là đơn thức khi nó chỉ là một số, một biến, hoặc một tích của số với các luỹ thừa của biến có số mũ nguyên không âm; cứ theo đúng định nghĩa mà xét từng biểu thức.

Vậy có $5$ đơn thức là $\frac{4}{5}x$, $\left(\sqrt{2}-1\right)xy$, $-3x{y}^2$, $\frac{1}{2}{x}^{2}y$, $-\frac{3}{2}{x}^{2}y$; còn $\frac{1}{x}{y}^3$, $-xy+\sqrt{2}$, $\frac{\sqrt{x}}{5}$ không là đơn thức. Tổng các đơn thức là đa thức $\frac{4}{5}x+\left(\sqrt{2}-1\right)xy-3x{y}^2-x^{2}y$, có các hạng tử bậc cao nhất là $-3x{y}^2$ và $-x^{2}y$ cùng bậc $3$, nên đa thức có bậc $3$.

Định hướng. Thay vì kiểm tra dương tính từng biểu thức, ta soi ba dấu hiệu khiến một biểu thức KHÔNG còn là đơn thức: biến ở mẫu, biến trong căn, hoặc biểu thức là tổng của nhiều hạng tử chứa biến; biểu thức nào không vướng dấu hiệu nào mới là đơn thức.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: có $5$ đơn thức, $3$ biểu thức không là đơn thức, và tổng các đơn thức là đa thức $\frac{4}{5}x+\left(\sqrt{2}-1\right)xy-3x{y}^2-x^{2}y$, bậc $3$.

Nhận xét. Cách loại trừ theo dấu hiệu vi phạm giúp phát hiện nhanh những biểu thức KHÔNG là đơn thức mà không cần nhớ đủ mọi trường hợp của định nghĩa.

Định hướng. Sau khi lọc ra các đơn thức, ghi mỗi đơn thức thành cặp (số mũ của $x$ ; số mũ của $y$) kèm hệ số; các đơn thức rơi vào cùng một cặp thì cộng hệ số, bậc của tổng là tổng số mũ lớn nhất trong các ô còn khác $0$.

Vậy a) năm đơn thức là $\frac{4}{5}x$, $\left(\sqrt{2}-1\right)xy$, $-3x{y}^2$, $\frac{1}{2}{x}^{2}y$, $-\frac{3}{2}{x}^{2}y$; ba biểu thức còn lại không là đơn thức; b) hệ số và phần biến đọc theo từng ô như trên; c) tổng là $\frac{4}{5}x+\left(\sqrt{2}-1\right)xy-3x{y}^2-x^{2}y$, đa thức bậc $3$.

Nhận xét. Ô $(2;1)$ gom hai đơn thức lại thành một hạng tử hệ số $-1$ — đây chính là chỗ đề gài, vì nếu để rời thì tổng viết ra chưa thu gọn dù bậc vẫn tình cờ đúng.

Định hướng. Thể tích nước cần bơm đầy một bể chính là thể tích của hình hộp chữ nhật đó; cứ tính thể tích từng bể theo kích thước đề cho rồi cộng hai kết quả.

Vậy đơn thức biểu thị số mét khối nước cần có là $V=38,7xy$; khi $x=5$ m, $y=3$ m thì $V=580,5$ mét khối.

Định hướng. Bể thứ hai gấp bể thứ nhất $5$ lần ở cả hai kích thước đáy nên diện tích đáy gấp $25$ lần; kết hợp thêm tỉ số chiều sâu, ta suy ra thể tích bể hai gấp bao nhiêu lần bể một mà không cần nhân từng kích thước.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: $V=38,7xy$ và khi $x=5$ m, $y=3$ m thì $V=580,5$ mét khối.

Nhận xét. Cách 2 không cần viết kích thước bể hai theo $x$, $y$ mà vẫn ra cùng kết quả, vì mọi kích thước bể hai đều đã được biểu thị qua tỉ số so với bể một.

Định hướng. Với $x=5$ m, $y=3$ m thì mọi kích thước đều thành số cụ thể; tính thể tích hai bể bằng số rồi so với giá trị của đơn thức $38,7xy$ tại đúng bộ số ấy, khớp nhau thì hệ số $38,7$ chắc chắn đúng.

Vậy a) lượng nước cần có là đơn thức $38,7xy$ mét khối; b) với $x=5$ m, $y=3$ m thì cần $580,5$ mét khối nước.

Nhận xét. Dòng tính đáy bể thứ hai $25\cdot 15=375$ cho thấy rõ vì sao hệ số là $37,5$ chứ không phải $7,5$: nếu chỉ nhân $5$ một lần thì thể tích bể hai ra $112,5$ và tổng chỉ còn $130,5$, sai hẳn.

Định hướng. Trước khi nói tới bậc, đa thức phải được thu gọn hết các hạng tử đồng dạng; thu gọn xong mới nhìn ra bậc thật sự và mới thế số cho gọn.

Vậy $P=5x^4-4x^{3}y-7x^2{y}^2+2y^4$ là đa thức bậc $4$ và $P=17$ tại $x=1$, $y=-2$; còn $Q=0$ là đa thức không, không có bậc, và $Q=0$ tại $x=1$, $y=-2$.

Định hướng. Giá trị của đa thức tại $x=1$, $y=-2$ không phụ thuộc việc đã thu gọn hay chưa, nên có thể thế số vào từng hạng tử của biểu thức gốc rồi cộng lại, dùng như một phép thử lại độc lập cho phép thu gọn ở Cách 1.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: $P$ có bậc $4$ và $P=17$; $Q$ là đa thức không, không có bậc, và $Q=0$.

Nhận xét. Thế số vào biểu thức gốc vẫn cho kết quả đúng dù chưa thu gọn, nhưng muốn nói bậc thì bắt buộc phải thu gọn trước — đó là lí do $Q=0$ dù các hạng tử ban đầu trông như bậc $3$.

Định hướng. Ghi mỗi hạng tử vào ô mang cặp (số mũ của $x$ ; số mũ của $y$) rồi cộng dồn hệ số trong từng ô; ô nào có tổng khác $0$ mới sinh ra hạng tử của dạng thu gọn, ô có tổng bằng $0$ thì hạng tử biến mất.

Vậy $P=5x^4-4x^{3}y-7x^2{y}^2+2y^4$ có bậc $4$ và $P=17$ tại $x=1$, $y=-2$; còn $Q=0$ là đa thức không, không có bậc, và $Q=0$ tại mọi giá trị của biến.

Nhận xét. Bảng hệ số cho kết luận chắc chắn về $Q$: mọi ô đều bằng $0$ nên $Q$ triệt tiêu với MỌI $x$, $y$, chứ không phải chỉ tình cờ bằng $0$ tại bộ số mà đề cho.

Định hướng. Từ mỗi đẳng thức, chuyển vế như với số để đưa đa thức cần tìm về dạng $A-B$, $B-A$ hoặc $A+B$, sau đó xếp các hạng tử cùng phần biến $xy{z}^2$, $x{y}^{2}z$, $x^{2}yz$, $xyz$, hằng số theo cột để cộng, trừ cho chắc.

Vậy $C=4xy{z}^2-4x^{2}yz-xyz+3$; $D=-4xy{z}^2+4x^{2}yz+xyz-3$; $E=10xy{z}^2-10x{y}^{2}z+10x^{2}yz-xyz-1$.

Định hướng. Nếu $C$, $D$, $E$ tìm được là đúng thì khi thay cùng một bộ số vào $x$, $y$, $z$, các đẳng thức $A-C=B$, $A+D=B$, $E-A=B$ vẫn phải đúng về mặt số học; chọn $x=y=z=1$ để kiểm tra.

Vậy cả ba đa thức $C=4xy{z}^2-4x^{2}yz-xyz+3$, $D=-4xy{z}^2+4x^{2}yz+xyz-3$, $E=10xy{z}^2-10x{y}^{2}z+10x^{2}yz-xyz-1$ đều thoả mãn đẳng thức đã cho.

Nhận xét. Phép thử bằng số chỉ khẳng định đa thức tìm được không sai ở bộ số đã chọn, nên vẫn phải trình bày phép biến đổi đa thức đầy đủ như Cách 1 mới là lời giải hoàn chỉnh.

Định hướng. Xác định vai trò của từng đa thức để quy cả ba câu về hai phép tính duy nhất: $C$ là số trừ nên $C=A-B$; $D$ là số hạng nên $D=B-A$, tức $D$ là số đối của $C$; $E$ là số bị trừ nên $E=A+B$.

Vậy $C=4xy{z}^2-4x^{2}yz-xyz+3$ ; $D=-4xy{z}^2+4x^{2}yz+xyz-3$ ; $E=10xy{z}^2-10x{y}^{2}z+10x^{2}yz-xyz-1$.

Nhận xét. Hạng tử $-5x{y}^{2}z$ có mặt ở cả $A$ và $B$ với cùng hệ số nên nó biến mất khỏi $C$ và $D$ nhưng lại nhân đôi trong $E$ — nhìn ba kết quả cạnh nhau là thấy ngay, đó cũng là cách tự kiểm tra tốt nhất cho bài này.

Định hướng. Cứ tính diện tích cả miếng bìa (tổng hai hình vuông ghép lại) rồi trừ đi tổng diện tích hai hình tròn bị cắt ra, sau đó nhóm các hạng tử cùng phần biến để nhận ra đa thức.

Vậy $S=(4-\pi )x^2+(6,25-\pi )y^2$ centimet vuông; đây là tổng của hai đơn thức nên $S$ là một đa thức, cả hai hạng tử đều bậc $2$ nên $S$ là đa thức bậc $2$.

Định hướng. Thay vì gộp hết miếng bìa rồi mới trừ, có thể coi phần còn lại gồm hai mảnh tách biệt: mảnh hình vuông cạnh $2x$ đã khoét hình tròn bán kính $x$, và mảnh hình vuông cạnh $2,5y$ đã khoét hình tròn bán kính $y$, rồi cộng diện tích hai mảnh đó.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: $S=(4-\pi )x^2+(6,25-\pi )y^2$ là đa thức bậc $2$.

Nhận xét. Tách phần còn lại theo từng hình vuông cho phép hình dung rõ mỗi hình tròn nằm gọn trong hình vuông tương ứng nào, tránh nhầm bán kính $x$ với cạnh $2,5y$.

Định hướng. Cho $x=1$ cm và $y=1$ cm để mọi kích thước thành số cụ thể, tính diện tích phần còn lại bằng số rồi so với giá trị của biểu thức vừa lập tại đúng bộ số đó.

Vậy $S=(4-\pi )x^2+(6,25-\pi )y^2$ centimet vuông; $S$ là tổng hai đơn thức với hệ số $4-\pi$ và $6,25-\pi$ nên $S$ là một đa thức bậc $2$.

Nhận xét. Phép thử này cũng trả lời luôn câu hỏi phụ của đề: $4-\pi$ và $6,25-\pi$ đều là những SỐ xác định, nên chúng hoàn toàn đủ tư cách làm hệ số của một đơn thức.

Định hướng. Viết cả ba đa thức thành một dãy hạng tử với đúng dấu của từng phép cộng, trừ, rồi gộp các hạng tử đồng dạng theo từng loại phần biến $x^3$, $x^{2}y$, $xy$, $x$, $y$.