Chương I. Đa thức

Luyện tập chung

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Ví dụ★★Trang 17— Cộng, trừ đa thức nhiều biến và xác định bậc

Ví dụ (trang 17). Cho hai đa thức:

A = 5 x^{2} - 2 x^{3} y + 7 x^{3} y^{2} - 118

;

B = - 7 x^{3} y^{2} + x^{3} y - 5 x y^{2} - 4 x^{2} + y

.
a) Liệt kê các hạng tử của đa thức

A

, trong đó hạng tử nào có bậc cao nhất?
b) Tìm tổng

A + B

và xác định bậc của đa thức

A + B

;
c) Tìm hiệu

A - B

và tính giá trị của hiệu tại

x = 1

và

y = - 2

Kiến thức cần nhớ

Bậc của một hạng tử (đơn thức) bằng tổng số mũ của tất cả các biến có trong hạng tử đó.
Bậc của đa thức (khác đa thức không) là bậc cao nhất trong các hạng tử ở dạng thu gọn.
Muốn cộng (trừ) hai đa thức, ta viết tổng (hiệu) hai đa thức rồi thu gọn các hạng tử đồng dạng.

1Cách 1. Nhóm hạng tử đồng dạng ngay trên một dòng

Định hướng. Mỗi hạng tử của $A + B$ hay $A - B$ chỉ đến từ các hạng tử đồng dạng có sẵn trong $A$ và $B$ , nên gom đúng các cặp đồng dạng lại là ra kết quả.

A = 5 x^{2} - 2 x^{3} y + 7 x^{3} y^{2} - 118

gồm bốn hạng tử:

5 x^{2}

- 2 x^{3} y

7 x^{3} y^{2}

- 118

Bậc của

5 x^{2}

là

2

; bậc của

- 2 x^{3} y

là

3 + 1 = 4

; bậc của

7 x^{3} y^{2}

là

3 + 2 = 5

; bậc của

- 118

là

0

Hạng tử có bậc cao nhất của

A

là

7 x^{3} y^{2}

, bậc

5

A + B = (5 x^{2} - 2 x^{3} y + 7 x^{3} y^{2} - 118) + (- 7 x^{3} y^{2} + x^{3} y - 5 x y^{2} - 4 x^{2} + y)

= (5 x^{2} - 4 x^{2}) + (- 2 x^{3} y + x^{3} y) + (7 x^{3} y^{2} - 7 x^{3} y^{2}) - 5 x y^{2} + y - 118

A + B = x^{2} - x^{3} y - 5 x y^{2} + y - 118

Hạng tử

- x^{3} y

có bậc

4

, cao nhất trong

A + B

, nên

A + B

là đa thức bậc

4

A - B = (5 x^{2} - 2 x^{3} y + 7 x^{3} y^{2} - 118) - (- 7 x^{3} y^{2} + x^{3} y - 5 x y^{2} - 4 x^{2} + y)

= (5 x^{2} + 4 x^{2}) + (- 2 x^{3} y - x^{3} y) + (7 x^{3} y^{2} + 7 x^{3} y^{2}) + 5 x y^{2} - y - 118

A - B = 9 x^{2} - 3 x^{3} y + 14 x^{3} y^{2} + 5 x y^{2} - y - 118

Tại

x = 1

y = - 2

A - B = 9 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1^{3} \cdot (- 2) + 14 \cdot 1^{3} \cdot (- 2)^{2} + 5 \cdot 1 \cdot (- 2)^{2} - (- 2) - 118

= 9 + 6 + 56 + 20 + 2 - 118

A - B = - 25

Vậy hạng tử bậc cao nhất của $A$ là $7 x^{3} y^{2}$ ; $A + B = x^{2} - x^{3} y - 5 x y^{2} + y - 118$ là đa thức bậc $4$ ; $A - B = 9 x^{2} - 3 x^{3} y + 14 x^{3} y^{2} + 5 x y^{2} - y - 118$ và tại $x = 1$ , $y = - 2$ thì $A - B = - 25$ .

2Cách 2. Đặt các hạng tử đồng dạng thẳng cột; thử lại giá trị bằng cách thế số vào riêng A, B

Định hướng. Xếp $A$ và $B$ theo đúng các loại hạng tử $x^{2}$ , $x^{3} y$ , $x^{3} y^{2}$ , $x y^{2}$ , $y$ , hằng số thành từng cột thẳng hàng thì phép cộng, trừ chỉ còn là cộng, trừ các số ở từng cột; giá trị của hiệu còn kiểm chứng được bằng cách tính riêng $A$ và $B$ rồi trừ hai số.

Cột

x^{2}

A

có

5 x^{2}

B

có

- 4 x^{2}

Cột

x^{3} y

A

có

- 2 x^{3} y

B

có

x^{3} y

Cột

x^{3} y^{2}

A

có

7 x^{3} y^{2}

B

có

- 7 x^{3} y^{2}

Cột

x y^{2}

A

có

0

B

có

- 5 x y^{2}

; cột

y

A

có

0

B

có

y

; hằng số:

A

có

- 118

B

có

0

b) Cộng theo cột:

A + B = (5 - 4) x^{2} + (- 2 + 1) x^{3} y + (7 - 7) x^{3} y^{2} + (0 - 5) x y^{2} + (0 + 1) y + (- 118 + 0)

A + B = x^{2} - x^{3} y - 5 x y^{2} + y - 118

, bậc

4

c) Trừ theo cột:

A - B = (5 + 4) x^{2} + (- 2 - 1) x^{3} y + (7 + 7) x^{3} y^{2} + (0 + 5) x y^{2} + (0 - 1) y + (- 118 - 0)

A - B = 9 x^{2} - 3 x^{3} y + 14 x^{3} y^{2} + 5 x y^{2} - y - 118

Thử lại giá trị:

A (1; - 2) = 5 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1^{3} \cdot (- 2) + 7 \cdot 1^{3} \cdot (- 2)^{2} - 118 = 5 + 4 + 28 - 118 = - 81

B (1; - 2) = - 7 \cdot 1^{3} \cdot (- 2)^{2} + 1^{3} \cdot (- 2) - 5 \cdot 1 \cdot (- 2)^{2} - 4 \cdot 1^{2} + (- 2) = - 28 - 2 - 20 - 4 - 2 = - 56

A (1; - 2) - B (1; - 2) = - 81 - (- 56) = - 25

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: $A + B = x^{2} - x^{3} y - 5 x y^{2} + y - 118$ bậc $4$ ; $A - B = 9 x^{2} - 3 x^{3} y + 14 x^{3} y^{2} + 5 x y^{2} - y - 118$ , và tại $x = 1$ , $y = - 2$ giá trị của hiệu bằng $- 25$ .

Nhận xét. Xếp cột theo phần biến giúp không bỏ sót hạng tử khi hai đa thức có nhiều biến; tính riêng giá trị của $A$ và $B$ rồi trừ là cách thử lại độc lập, không phụ thuộc phép rút gọn $A - B$ ở trên.

Đáp số. Hạng tử bậc cao nhất của

A

là

7 x^{3} y^{2}

A + B = x^{2} - x^{3} y - 5 x y^{2} + y - 118

(bậc

4

) ·

A - B = 9 x^{2} - 3 x^{3} y + 14 x^{3} y^{2} + 5 x y^{2} - y - 118

, tại

x = 1

y = - 2

thì

A - B = - 25

Sai lầm thường gặp. Cộng hoặc trừ nhầm các hạng tử KHÔNG đồng dạng với nhau (ví dụ gộp

x^{2}

với

x^{3} y

); khi tính giá trị lại quên đổi dấu tất cả hạng tử của

B

trong phép trừ

A - B

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 17

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.18★★Trang 17— Nhận biết đơn thức, hệ số - phần biến và cộng đơn thức thành đa thức

Bài 1.18 (trang 17). Cho các biểu thức:

\frac{4}{5} x

;

(2 - 1) x y

;

- 3 x y^{2}

;

\frac{1}{2} x^{2} y

;

\frac{1}{x} y^{3}

;

- x y + 2

;

- \frac{3}{2} x^{2} y

;

\frac{x}{5}

.
a) Trong các biểu thức đã cho, biểu thức nào là đơn thức? Biểu thức nào không là đơn thức?
b) Hãy chỉ ra hệ số và phần biến của mỗi đơn thức đã cho.
c) Viết tổng tất cả các đơn thức trên để được một đa thức. Xác định bậc của đa thức đó.

Kiến thức cần nhớ

Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến với số mũ nguyên không âm.
Biểu thức chứa biến ở mẫu, chứa căn của biến, hoặc là tổng của từ hai hạng tử có biến trở lên thì KHÔNG là đơn thức.
Mỗi đơn thức thu gọn gồm một hệ số (phần số) và một phần biến (tích các luỹ thừa của biến).

1Cách 1. Đối chiếu từng biểu thức với định nghĩa đơn thức

Định hướng. Một biểu thức là đơn thức khi nó chỉ là một số, một biến, hoặc một tích của số với các luỹ thừa của biến có số mũ nguyên không âm; cứ theo đúng định nghĩa mà xét từng biểu thức.

\frac{4}{5} x

: tích của số

\frac{4}{5}

với biến

x

— là đơn thức, hệ số

\frac{4}{5}

, phần biến

x

(2 - 1) x y

: tích của số

2 - 1

với các biến

x

y

— là đơn thức, hệ số

2 - 1

, phần biến

x y

- 3 x y^{2}

: tích của số

- 3

với các luỹ thừa của

x

y

— là đơn thức, hệ số

- 3

, phần biến

x y^{2}

\frac{1}{2} x^{2} y

: tích của số

\frac{1}{2}

với các luỹ thừa của

x

y

— là đơn thức, hệ số

\frac{1}{2}

, phần biến

x^{2} y

\frac{1}{x} y^{3} = x^{- 1} y^{3}

: biến

x

có số mũ

- 1

(âm) — KHÔNG là đơn thức

- x y + 2

: là tổng của hai hạng tử

- x y

và

2

— KHÔNG là đơn thức

- \frac{3}{2} x^{2} y

: tích của số

- \frac{3}{2}

với các luỹ thừa của

x

y

— là đơn thức, hệ số

- \frac{3}{2}

, phần biến

x^{2} y

\frac{x}{5} = \frac{1}{5} x^{1/2}

: biến

x

có số mũ

\frac{1}{2}

(không nguyên) — KHÔNG là đơn thức
c) Tổng các đơn thức:

\frac{4}{5} x + (2 - 1) x y - 3 x y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} y - \frac{3}{2} x^{2} y

= \frac{4}{5} x + (2 - 1) x y - 3 x y^{2} + (\frac{1}{2} - \frac{3}{2}) x^{2} y

= \frac{4}{5} x + (2 - 1) x y - 3 x y^{2} - x^{2} y

Vậy có $5$ đơn thức là $\frac{4}{5} x$ , $(2 - 1) x y$ , $- 3 x y^{2}$ , $\frac{1}{2} x^{2} y$ , $- \frac{3}{2} x^{2} y$ ; còn $\frac{1}{x} y^{3}$ , $- x y + 2$ , $\frac{x}{5}$ không là đơn thức. Tổng các đơn thức là đa thức $\frac{4}{5} x + (2 - 1) x y - 3 x y^{2} - x^{2} y$ , có các hạng tử bậc cao nhất là $- 3 x y^{2}$ và $- x^{2} y$ cùng bậc $3$ , nên đa thức có bậc $3$ .

2Cách 2. Loại trừ theo ba dấu hiệu vi phạm, rồi cộng các đơn thức cùng phần biến theo cột

Định hướng. Thay vì kiểm tra dương tính từng biểu thức, ta soi ba dấu hiệu khiến một biểu thức KHÔNG còn là đơn thức: biến ở mẫu, biến trong căn, hoặc biểu thức là tổng của nhiều hạng tử chứa biến; biểu thức nào không vướng dấu hiệu nào mới là đơn thức.

\frac{1}{x} y^{3}

có biến

x

ở mẫu — vi phạm, không là đơn thức

\frac{x}{5}

có biến

x

trong căn — vi phạm, không là đơn thức

- x y + 2

là tổng của hạng tử

- x y

với hạng tử

2

— vi phạm, không là đơn thức
Năm biểu thức còn lại

\frac{4}{5} x

(2 - 1) x y

- 3 x y^{2}

\frac{1}{2} x^{2} y

- \frac{3}{2} x^{2} y

không vướng dấu hiệu nào — đều là đơn thức
Hệ số, phần biến lần lượt là

\frac{4}{5}

và

x

;

2 - 1

và

x y

;

- 3

và

x y^{2}

;

\frac{1}{2}

và

x^{2} y

;

- \frac{3}{2}

và

x^{2} y

Xếp hai đơn thức cùng phần biến

x^{2} y

vào một cột:

\frac{1}{2} x^{2} y - \frac{3}{2} x^{2} y = - x^{2} y

Ba đơn thức còn lại giữ nguyên vì không có đơn thức nào khác cùng phần biến
Tổng:

\frac{4}{5} x + (2 - 1) x y - 3 x y^{2} - x^{2} y

Vậy kết quả trùng với Cách 1: có $5$ đơn thức, $3$ biểu thức không là đơn thức, và tổng các đơn thức là đa thức $\frac{4}{5} x + (2 - 1) x y - 3 x y^{2} - x^{2} y$ , bậc $3$ .

Nhận xét. Cách loại trừ theo dấu hiệu vi phạm giúp phát hiện nhanh những biểu thức KHÔNG là đơn thức mà không cần nhớ đủ mọi trường hợp của định nghĩa.

Đáp số. 5 đơn thức:

\frac{4}{5} x

(2 - 1) x y

- 3 x y^{2}

\frac{1}{2} x^{2} y

- \frac{3}{2} x^{2} y

· 3 biểu thức không là đơn thức:

\frac{1}{x} y^{3}

- x y + 2

\frac{x}{5}

· tổng

= \frac{4}{5} x + (2 - 1) x y - 3 x y^{2} - x^{2} y

, đa thức bậc

3

Sai lầm thường gặp. Cho rằng

\frac{1}{x} y^{3}

là đơn thức vì chỉ thấy phép nhân với

y^{3}

mà quên biến

x

đang ở mẫu tương ứng với số mũ âm; hoặc khi cộng lại quên gộp hai đơn thức cùng phần biến

x^{2} y

thành một hạng tử duy nhất.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 17

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.19★★★Trang 18— Lập đơn thức biểu thị thể tích từ bài toán thực tế

Bài 1.19 (trang 18). Trong một khách sạn có hai bể bơi dạng hình hộp chữ nhật. Bể thứ nhất có chiều sâu là

1, 2

m, đáy là hình chữ nhật có chiều dài

x

mét, chiều rộng

y

mét. Bể thứ hai có chiều sâu là

1, 5

m, hai kích thước đáy gấp

5

lần hai kích thước đáy của bể thứ nhất.
a) Hãy tìm đơn thức (hai biến

x

và

y

) biểu thị số mét khối nước cần có để bơm đầy cả hai bể bơi.
b) Tính lượng nước bơm đầy hai bể nếu

x = 5

y = 3

Kiến thức cần nhớ

Thể tích hình hộp chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng nhân chiều cao (chiều sâu).
Muốn tính giá trị của một đơn thức tại các giá trị cho trước của biến, ta thay số vào rồi thực hiện phép tính.

1Cách 1. Tính thể tích từng bể rồi cộng lại

Định hướng. Thể tích nước cần bơm đầy một bể chính là thể tích của hình hộp chữ nhật đó; cứ tính thể tích từng bể theo kích thước đề cho rồi cộng hai kết quả.

a) Bể thứ nhất: dài

x

, rộng

y

, sâu

1, 2

nên thể tích

V_{1} = 1, 2 x y

Bể thứ hai: dài

5 x

, rộng

5 y

, sâu

1, 5

nên thể tích

V_{2} = 1, 5 \cdot 5 x \cdot 5 y = 1, 5 \cdot 25 x y = 37, 5 x y

Tổng thể tích:

V = V_{1} + V_{2} = 1, 2 x y + 37, 5 x y = 38, 7 x y

b) Với

x = 5

y = 3

V = 38, 7 \cdot 5 \cdot 3 = 38, 7 \cdot 15

V = 580, 5

Vậy đơn thức biểu thị số mét khối nước cần có là $V = 38, 7 x y$ ; khi $x = 5$ m, $y = 3$ m thì $V = 580, 5$ mét khối.

2Cách 2. Tính theo tỉ số thể tích giữa hai bể

Định hướng. Bể thứ hai gấp bể thứ nhất $5$ lần ở cả hai kích thước đáy nên diện tích đáy gấp $25$ lần; kết hợp thêm tỉ số chiều sâu, ta suy ra thể tích bể hai gấp bao nhiêu lần bể một mà không cần nhân từng kích thước.

Diện tích đáy bể hai gấp diện tích đáy bể một:

5 \cdot 5 = 25

lần
Chiều sâu bể hai so với bể một:

\frac{1 , 5}{1 , 2} = \frac{5}{4}

lần
Thể tích bể hai gấp thể tích bể một:

25 \cdot \frac{5}{4} = \frac{125}{4} = 31, 25

lần
a)

V_{1} = 1, 2 x y

;

V = V_{1} + 31, 25 V_{1} = 32, 25 V_{1} = 32, 25 \cdot 1, 2 x y = 38, 7 x y

b) Với

x = 5

y = 3

V_{1} = 1, 2 \cdot 5 \cdot 3 = 18

V = 32, 25 \cdot 18 = 580, 5

Vậy kết quả trùng với Cách 1: $V = 38, 7 x y$ và khi $x = 5$ m, $y = 3$ m thì $V = 580, 5$ mét khối.

Nhận xét. Cách 2 không cần viết kích thước bể hai theo $x$ , $y$ mà vẫn ra cùng kết quả, vì mọi kích thước bể hai đều đã được biểu thị qua tỉ số so với bể một.

Đáp số.

V = 38, 7 x y

(mét khối) · với

x = 5

y = 3

m thì

V = 580, 5

mét khối

Sai lầm thường gặp. Nhân nhầm hệ số

5

chỉ một lần cho kích thước đáy bể hai (quên rằng cả chiều dài lẫn chiều rộng đều gấp

5

, nên diện tích đáy phải gấp

25

lần chứ không phải

5

lần).

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 18

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.20★★★Trang 18— Thu gọn đa thức nhiều biến, xác định bậc và tính giá trị — trường hợp đặc biệt đa thức không

Bài 1.20 (trang 18). Tìm bậc của mỗi đa thức sau rồi tính giá trị của chúng tại

x = 1

;

y = - 2

P = 5 x^{4} - 3 x^{3} y + 2 x y^{3} - x^{3} y + 2 y^{4} - 7 x^{2} y^{2} - 2 x y^{3}

;

Q = x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - x^{2} y - x y^{2} - x^{3}

Kiến thức cần nhớ

Muốn xác định bậc của một đa thức, trước hết phải thu gọn đa thức đó (gộp hết các hạng tử đồng dạng).
Bậc của đa thức là bậc cao nhất trong các hạng tử ở dạng thu gọn.
Số $0$ cũng là một đa thức, gọi là đa thức không; đa thức không không có bậc.

1Cách 1. Thu gọn rồi mới xác định bậc và thế số

Định hướng. Trước khi nói tới bậc, đa thức phải được thu gọn hết các hạng tử đồng dạng; thu gọn xong mới nhìn ra bậc thật sự và mới thế số cho gọn.

P = 5 x^{4} - 3 x^{3} y + 2 x y^{3} - x^{3} y + 2 y^{4} - 7 x^{2} y^{2} - 2 x y^{3}

= 5 x^{4} + (- 3 x^{3} y - x^{3} y) + (2 x y^{3} - 2 x y^{3}) + 2 y^{4} - 7 x^{2} y^{2}

P = 5 x^{4} - 4 x^{3} y - 7 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}

Bốn hạng tử của

P

đều có bậc

4

, nên

P

là đa thức bậc

4

Tại

x = 1

y = - 2

P = 5 \cdot 1^{4} - 4 \cdot 1^{3} \cdot (- 2) - 7 \cdot 1^{2} \cdot (- 2)^{2} + 2 \cdot (- 2)^{4}

= 5 + 8 - 28 + 32

P = 17

Q = x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - x^{2} y - x y^{2} - x^{3}

= (x^{3} - x^{3}) + (x^{2} y - x^{2} y) + (x y^{2} - x y^{2})

Q = 0

Q

là đa thức không nên không có bậc; tại

x = 1

y = - 2

thì

Q = 0

Vậy $P = 5 x^{4} - 4 x^{3} y - 7 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}$ là đa thức bậc $4$ và $P = 17$ tại $x = 1$ , $y = - 2$ ; còn $Q = 0$ là đa thức không, không có bậc, và $Q = 0$ tại $x = 1$ , $y = - 2$ .

2Cách 2. Thế số trực tiếp vào từng hạng tử ban đầu, không thu gọn trước

Định hướng. Giá trị của đa thức tại $x = 1$ , $y = - 2$ không phụ thuộc việc đã thu gọn hay chưa, nên có thể thế số vào từng hạng tử của biểu thức gốc rồi cộng lại, dùng như một phép thử lại độc lập cho phép thu gọn ở Cách 1.

P (1; - 2) = 5 \cdot 1^{4} - 3 \cdot 1^{3} \cdot (- 2) + 2 \cdot 1 \cdot (- 2)^{3} - 1^{3} \cdot (- 2) + 2 \cdot (- 2)^{4} - 7 \cdot 1^{2} \cdot (- 2)^{2} - 2 \cdot 1 \cdot (- 2)^{3}

= 5 + 6 - 16 + 2 + 32 - 28 + 16

P (1; - 2) = 17

Q (1; - 2) = 1^{3} + 1^{2} \cdot (- 2) + 1 \cdot (- 2)^{2} - 1^{2} \cdot (- 2) - 1 \cdot (- 2)^{2} - 1^{3}

= 1 - 2 + 4 + 2 - 4 - 1

Q (1; - 2) = 0

Gộp các hạng tử của

P

theo từng loại phần biến

x^{4}

x^{3} y

x^{2} y^{2}

y^{4}

đều còn lại sau khi gộp, cao nhất là bậc

4

; còn mọi loại phần biến của

Q

đều triệt tiêu hết nên

Q

là đa thức không

Vậy kết quả trùng với Cách 1: $P$ có bậc $4$ và $P = 17$ ; $Q$ là đa thức không, không có bậc, và $Q = 0$ .

Nhận xét. Thế số vào biểu thức gốc vẫn cho kết quả đúng dù chưa thu gọn, nhưng muốn nói bậc thì bắt buộc phải thu gọn trước — đó là lí do $Q = 0$ dù các hạng tử ban đầu trông như bậc $3$ .

Đáp số.

P = 5 x^{4} - 4 x^{3} y - 7 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}

, bậc

4

P (1; - 2) = 17

Q = 0

là đa thức không (không có bậc),

Q (1; - 2) = 0

Sai lầm thường gặp. Kết luận

Q

có bậc

3

vì nhìn thấy các hạng tử ban đầu đều bậc

3

, mà quên thu gọn trước — sau khi thu gọn thì

Q

triệt tiêu hoàn toàn thành đa thức không, không còn bậc nào cả.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 18

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.21★★★Trang 18— Tìm đa thức chưa biết từ một đẳng thức cộng, trừ đa thức

Bài 1.21 (trang 18). Cho hai đa thức:

A = 7 x y z^{2} - 5 x y^{2} z + 3 x^{2} y z - x y z + 1

;

B = 7 x^{2} y z - 5 x y^{2} z + 3 x y z^{2} - 2

.
a) Tìm đa thức

C

sao cho

A - C = B

;
b) Tìm đa thức

D

sao cho

A + D = B

;
c) Tìm đa thức

E

sao cho

E - A = B

Kiến thức cần nhớ

Từ $A - C = B$ suy ra $C = A - B$ (chuyển vế đổi dấu như với số).
Từ $A + D = B$ suy ra $D = B - A$ .
Từ $E - A = B$ suy ra $E = A + B$ .

1Cách 1. Suy luận từ đẳng thức rồi cộng, trừ theo cột các đơn thức cùng phần biến

Định hướng. Từ mỗi đẳng thức, chuyển vế như với số để đưa đa thức cần tìm về dạng $A - B$ , $B - A$ hoặc $A + B$ , sau đó xếp các hạng tử cùng phần biến $x y z^{2}$ , $x y^{2} z$ , $x^{2} y z$ , $x y z$ , hằng số theo cột để cộng, trừ cho chắc.

A - C = B \Rightarrow C = A - B

C = (7 x y z^{2} - 5 x y^{2} z + 3 x^{2} y z - x y z + 1) - (7 x^{2} y z - 5 x y^{2} z + 3 x y z^{2} - 2)

Cột

x y z^{2}

7 - 3 = 4

; cột

x y^{2} z

- 5 + 5 = 0

; cột

x^{2} y z

3 - 7 = - 4

; cột

x y z

- 1

; hằng số:

1 + 2 = 3

C = 4 x y z^{2} - 4 x^{2} y z - x y z + 3

A + D = B \Rightarrow D = B - A = - C

D = - 4 x y z^{2} + 4 x^{2} y z + x y z - 3

E - A = B \Rightarrow E = A + B

Cột

x y z^{2}

7 + 3 = 10

; cột

x y^{2} z

- 5 - 5 = - 10

; cột

x^{2} y z

3 + 7 = 10

; cột

x y z

- 1

; hằng số:

1 - 2 = - 1

E = 10 x y z^{2} - 10 x y^{2} z + 10 x^{2} y z - x y z - 1

Vậy $C = 4 x y z^{2} - 4 x^{2} y z - x y z + 3$ ; $D = - 4 x y z^{2} + 4 x^{2} y z + x y z - 3$ ; $E = 10 x y z^{2} - 10 x y^{2} z + 10 x^{2} y z - x y z - 1$ .

2Cách 2. Thử lại bằng cách thay số cụ thể vào cả A, B và đa thức vừa tìm

Định hướng. Nếu $C$ , $D$ , $E$ tìm được là đúng thì khi thay cùng một bộ số vào $x$ , $y$ , $z$ , các đẳng thức $A - C = B$ , $A + D = B$ , $E - A = B$ vẫn phải đúng về mặt số học; chọn $x = y = z = 1$ để kiểm tra.

A (1; 1; 1) = 7 - 5 + 3 - 1 + 1 = 5

;

B (1; 1; 1) = 7 - 5 + 3 - 2 = 3

C (1; 1; 1) = 4 - 4 - 1 + 3 = 2

;

A - C = 5 - 2 = 3 = B

(đúng)

D (1; 1; 1) = - 4 + 4 + 1 - 3 = - 2

;

A + D = 5 + (- 2) = 3 = B

(đúng)

E (1; 1; 1) = 10 - 10 + 10 - 1 - 1 = 8

;

E - A = 8 - 5 = 3 = B

(đúng)

Vậy cả ba đa thức $C = 4 x y z^{2} - 4 x^{2} y z - x y z + 3$ , $D = - 4 x y z^{2} + 4 x^{2} y z + x y z - 3$ , $E = 10 x y z^{2} - 10 x y^{2} z + 10 x^{2} y z - x y z - 1$ đều thoả mãn đẳng thức đã cho.

Nhận xét. Phép thử bằng số chỉ khẳng định đa thức tìm được không sai ở bộ số đã chọn, nên vẫn phải trình bày phép biến đổi đa thức đầy đủ như Cách 1 mới là lời giải hoàn chỉnh.

Đáp số.

C = 4 x y z^{2} - 4 x^{2} y z - x y z + 3

D = - 4 x y z^{2} + 4 x^{2} y z + x y z - 3

E = 10 x y z^{2} - 10 x y^{2} z + 10 x^{2} y z - x y z - 1

Sai lầm thường gặp. Từ

A - C = B

suy ra nhầm

C = B - A

thay vì

C = A - B

(nhầm quy tắc chuyển vế đổi dấu); hoặc quên đổi dấu tất cả hạng tử của

A

khi tính

D = B - A

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 18

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.22★★★Trang 18— Lập biểu thức diện tích từ hình ghép thực tế và xét đa thức

Bài 1.22 (trang 18). Từ một miếng bìa, người ta cắt ra hai hình tròn có bán kính

x

centimét và

y

centimét. Tìm biểu thức biểu thị diện tích phần còn lại của miếng bìa, nếu biết miếng bìa có hình dạng gồm hai hình vuông ghép lại và có kích thước (centimét) như Hình 1.2. Biểu thức đó có phải là một đa thức không? Nếu phải thì đó là đa thức bậc mấy?

Kiến thức cần nhớ

Diện tích hình vuông cạnh $a$ bằng $a^{2}$ ; diện tích hình tròn bán kính $r$ bằng $π r^{2}$ .
Diện tích phần còn lại bằng diện tích miếng bìa trừ đi diện tích phần đã cắt.
Một tổng các đơn thức là đa thức; bậc của đa thức là bậc cao nhất trong các hạng tử.

1Cách 1. Tính diện tích cả miếng bìa, trừ diện tích hai hình tròn

Định hướng. Cứ tính diện tích cả miếng bìa (tổng hai hình vuông ghép lại) rồi trừ đi tổng diện tích hai hình tròn bị cắt ra, sau đó nhóm các hạng tử cùng phần biến để nhận ra đa thức.

Diện tích hình vuông cạnh

2 x

(2 x)^{2} = 4 x^{2}

Diện tích hình vuông cạnh

2, 5 y

(2, 5 y)^{2} = 6, 25 y^{2}

Diện tích miếng bìa:

4 x^{2} + 6, 25 y^{2}

Diện tích hai hình tròn bán kính

x

và

y

π x^{2} + π y^{2}

Diện tích phần còn lại:

S = 4 x^{2} + 6, 25 y^{2} - π x^{2} - π y^{2}

S = (4 - π) x^{2} + (6, 25 - π) y^{2}

Vậy $S = (4 - π) x^{2} + (6, 25 - π) y^{2}$ centimet vuông; đây là tổng của hai đơn thức nên $S$ là một đa thức, cả hai hạng tử đều bậc $2$ nên $S$ là đa thức bậc $2$ .

2Cách 2. Trừ diện tích hình tròn ngay trong từng hình vuông rồi cộng hai phần lại

Định hướng. Thay vì gộp hết miếng bìa rồi mới trừ, có thể coi phần còn lại gồm hai mảnh tách biệt: mảnh hình vuông cạnh $2 x$ đã khoét hình tròn bán kính $x$ , và mảnh hình vuông cạnh $2, 5 y$ đã khoét hình tròn bán kính $y$ , rồi cộng diện tích hai mảnh đó.

Mảnh thứ nhất:

(2 x)^{2} - π x^{2} = 4 x^{2} - π x^{2} = (4 - π) x^{2}

Mảnh thứ hai:

(2, 5 y)^{2} - π y^{2} = 6, 25 y^{2} - π y^{2} = (6, 25 - π) y^{2}

Diện tích phần còn lại:

S = (4 - π) x^{2} + (6, 25 - π) y^{2}

Vậy kết quả trùng với Cách 1: $S = (4 - π) x^{2} + (6, 25 - π) y^{2}$ là đa thức bậc $2$ .

Nhận xét. Tách phần còn lại theo từng hình vuông cho phép hình dung rõ mỗi hình tròn nằm gọn trong hình vuông tương ứng nào, tránh nhầm bán kính $x$ với cạnh $2, 5 y$ .

Đáp số.

S = (4 - π) x^{2} + (6, 25 - π) y^{2}

(centimet vuông);

S

là đa thức bậc

2

Sai lầm thường gặp. Lấy nhầm cạnh hình vuông chứa hình tròn bán kính

x

là

x

thay vì

2 x

(đọc nhầm số liệu trên Hình 1.2); hoặc cho rằng có

π

trong biểu thức thì không còn là đa thức, trong khi

π

chỉ là một hằng số.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 18

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 1.23★★Trang 18— Cộng, trừ ba đa thức nhiều biến

Bài 1.23 (trang 18). Cho ba đa thức:

M = 3 x^{3} - 4 x^{2} y + 3 x - y

;

N = 5 x y - 3 x + 2

;

P = 3 x^{3} + 2 x^{2} y + 7 x - 1

.
Tính

M + N - P

và

M - N - P

Kiến thức cần nhớ

Muốn tính tổng, hiệu của nhiều đa thức, ta viết liên tiếp các đa thức với đúng dấu rồi thu gọn các hạng tử đồng dạng.
Phép cộng đa thức có tính chất giao hoán, kết hợp nên có thể nhóm các đa thức theo thứ tự khác nhau mà kết quả không đổi.

1Cách 1. Viết liên tiếp M, N, −P rồi nhóm hạng tử đồng dạng

Định hướng. Viết cả ba đa thức thành một dãy hạng tử với đúng dấu của từng phép cộng, trừ, rồi gộp các hạng tử đồng dạng theo từng loại phần biến $x^{3}$ , $x^{2} y$ , $x y$ , $x$ , $y$ .

M + N - P = (3 x^{3} - 4 x^{2} y + 3 x - y) + (5 x y - 3 x + 2) - (3 x^{3} + 2 x^{2} y + 7 x - 1)

= (3 x^{3} - 3 x^{3}) + (- 4 x^{2} y - 2 x^{2} y) + 5 x y + (3 x - 3 x - 7 x) - y + (2 + 1)

M + N - P = - 6 x^{2} y + 5 x y - 7 x - y + 3

M - N - P = (3 x^{3} - 4 x^{2} y + 3 x - y) - (5 x y - 3 x + 2) - (3 x^{3} + 2 x^{2} y + 7 x - 1)

= (3 x^{3} - 3 x^{3}) + (- 4 x^{2} y - 2 x^{2} y) - 5 x y + (3 x + 3 x - 7 x) - y + (- 2 + 1)

M - N - P = - 6 x^{2} y - 5 x y - x - y - 1

Vậy $M + N - P = - 6 x^{2} y + 5 x y - 7 x - y + 3$ và $M - N - P = - 6 x^{2} y - 5 x y - x - y - 1$ .

2Cách 2. Gộp N với −P (hoặc −N với −P) trước, rồi mới cộng với M

Định hướng. Phép cộng đa thức cho phép đổi thứ tự nhóm; gộp $N$ với $- P$ (hay $- N$ với $- P$ ) thành một đa thức trung gian gọn hơn trước khi cộng với $M$ cũng phải ra cùng kết quả, đây là cách kiểm chứng độc lập cho Cách 1.

N - P = (5 x y - 3 x + 2) - (3 x^{3} + 2 x^{2} y + 7 x - 1) = - 3 x^{3} - 2 x^{2} y + 5 x y - 10 x + 3

M + (N - P) = (3 x^{3} - 4 x^{2} y + 3 x - y) + (- 3 x^{3} - 2 x^{2} y + 5 x y - 10 x + 3)

M + N - P = - 6 x^{2} y + 5 x y - 7 x - y + 3

- N - P = - (5 x y - 3 x + 2) - (3 x^{3} + 2 x^{2} y + 7 x - 1) = - 3 x^{3} - 2 x^{2} y - 5 x y - 4 x - 1

M + (- N - P) = (3 x^{3} - 4 x^{2} y + 3 x - y) + (- 3 x^{3} - 2 x^{2} y - 5 x y - 4 x - 1)

M - N - P = - 6 x^{2} y - 5 x y - x - y - 1

Vậy kết quả trùng với Cách 1: $M + N - P = - 6 x^{2} y + 5 x y - 7 x - y + 3$ và $M - N - P = - 6 x^{2} y - 5 x y - x - y - 1$ .

Nhận xét. Gộp hai đa thức thành một trước khi cộng với đa thức thứ ba giúp kiểm tra chéo kết quả của Cách 1 bằng một trình tự tính toán khác.

Đáp số.

M + N - P = - 6 x^{2} y + 5 x y - 7 x - y + 3

M - N - P = - 6 x^{2} y - 5 x y - x - y - 1

Sai lầm thường gặp. Quên đổi dấu tất cả hạng tử của

P

khi trừ, đặc biệt hạng tử hằng số

- 1

của

P

dễ bị bỏ sót dấu trừ ở phía trước.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 18

Mở bài này trong app ↗