Luyện tập chung

Định hướng. Đưa mẫu thức về dạng ĐKXĐ, phân tích tử thức thành nhân tử chứa $(x-2)$ để rút gọn với mẫu.

Vậy $P=Q=x+2$ với $x\ne 2$, và $P(13)=Q(13)=15$, hai kết quả bằng nhau.

Định hướng. Không nhớ hằng đẳng thức thì thực hiện phép chia đa thức $x^2-4$ cho $x-2$ để tìm thương và số dư.

Vậy kết quả rút gọn giống Cách 1: $P=Q=x+2$ và $P(13)=Q(13)=15$.

Định hướng. Xác nhận $P$ và $Q=x+2$ là cùng một phân thức (khi $x\ne 2$) bằng cách thay lần lượt hai giá trị $x$ khác nhau, trong đó có $x=13$ theo yêu cầu câu c.

Vậy ở cả hai giá trị $P$ và $Q$ đều cho cùng kết quả, củng cố $P=Q=x+2$ với $x\ne 2$.

Nhận xét. Không được thay $x=2$ vì đó là giá trị làm mẫu của $P$ bằng $0$, $P$ không xác định dù $Q=x+2$ vẫn tính được — hai phân thức chỉ bằng nhau trên miền xác định của $P$.

Định hướng. Viết chiều rộng và chiều dài mới theo $x$ trước, ghép thành phân thức, rồi mới thay $x=2$.

Vậy phân thức cần tìm là $\frac{12+x}{19+x}$; tại $x=2$ giá trị bằng $\frac{2}{3}$, đúng tỉ lệ tiêu chuẩn 2 : 3 của quốc kì Việt Nam.

Định hướng. Làm ngược lại Cách 1: tính riêng trường hợp cụ thể $x=2$ bằng số học, sau đó khái quát thành công thức chung theo $x$.

Vậy a) phân thức là $\frac{12+x}{19+x}$; b) tại $x=2$ tỉ số bằng $\frac{2}{3}$, đảm bảo tỉ lệ chuẩn.

Định hướng. Thay vì chỉ thay $x=2$ rồi tính, giải phương trình $\frac{12+x}{19+x}=\frac{2}{3}$ để tìm đúng giá trị $x$ làm hình chữ nhật đạt tỉ lệ chuẩn, rồi đối chiếu với $x=2$ của đề.

Vậy đúng $x=2$ là giá trị duy nhất làm tỉ số đạt $\frac{2}{3}$, khớp với đề bài — xác nhận hình chữ nhật của bạn Nam khi $x=2$ đảm bảo tỉ lệ tiêu chuẩn.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy $x=2$ không phải ngẫu nhiên mà là nghiệm duy nhất của phương trình tỉ lệ — nếu đề đổi số đo ban đầu, có thể dùng cách này để tìm ngay lượng tăng cần thiết.

Định hướng. Cách nghĩ đầu tiên: lấy tích hai mẫu làm mẫu chung tạm thời, nhân chéo tử với mẫu còn lại, rồi rút gọn nhân tử thừa để về đúng mẫu chung nhỏ nhất.

Vậy a) $\frac{3x}{12x^2{y}^2}$ và $\frac{10y}{12x^2{y}^2}$; b) $\frac{9x+27}{4(x-3)(x+3{)}^2}$ và $\frac{4x-12}{4(x-3)(x+3{)}^2}$.

Định hướng. Phân tích mỗi mẫu thành nhân tử ngay từ đầu, xác định mẫu chung nhỏ nhất bằng cách lấy mỗi nhân tử với số mũ lớn nhất, rồi xác định lượng cần nhân thêm cho từng phân thức.

Vậy kết quả giống Cách 1 nhưng đi thẳng tới mẫu chung nhỏ nhất, không phải rút gọn lại.

Định hướng. Thay $x=2,y=1$ (câu a) và $x=1$ (câu b, thoả $x\ne 3,-3$) vào cả phân thức gốc lẫn phân thức đã quy đồng để đối chiếu giá trị.

Vậy mọi cặp phân thức quy đồng ở Cách 1, Cách 2 đều được xác nhận đúng bằng số.

Nhận xét. Cách 2 nhanh hơn Cách 1 vì không phải rút gọn lại lần hai; Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra, không thay cho việc trình bày quy đồng.

Định hướng. Đặt nhân tử chung $x$ ở tử, nhận ra phần còn lại là hiệu hai bình phương để phân tích tiếp và rút gọn với mẫu.

Vậy a) $x\ne -2$; b) $P=\frac{x(x-2)}{x+2}$ (với $x\ne -2$); c) $P(98)=\frac{2352}{25}$.

Định hướng. Thay vì phân tích hết tử, chia trực tiếp $x^3-4x$ cho $x+2$ (một nhân tử của mẫu) để tìm thương, rồi so mẫu còn lại.

Vậy kết quả giống hệt Cách 1: $P=\frac{x(x-2)}{x+2}$ và $P(98)=\frac{2352}{25}$.

Định hướng. Thay $x=98$ trực tiếp vào phân thức gốc $\frac{x^3-4x}{(x+2{)}^2}$ mà không rút gọn trước, để đối chiếu với kết quả tính từ phân thức đã rút gọn.

Vậy tính từ phân thức gốc cũng ra $\frac{2352}{25}$, khớp với Cách 1 và Cách 2, xác nhận bước rút gọn ở câu b là đúng.

Nhận xét. Cách 3 cho số lớn, khó tính hơn hẳn — đây chính là lí do SGK yêu cầu rút gọn ở câu b trước khi tính giá trị ở câu c.

Định hướng. Rút gọn lần lượt từng phân thức bằng cách đặt nhân tử chung ở tử rồi phân tích mẫu thành nhân tử, sau đó tìm mẫu thức chung của hai kết quả.

Vậy a) $P=\frac{x}{(x-10)(x+5)}$, $Q=\frac{1}{x(x-10)}$ (với $x\ne 0,10,-5$); b) $P=\frac{x^2}{x(x-10)(x+5)}$, $Q=\frac{x+5}{x(x-10)(x+5)}$.

Định hướng. Câu a có thể phân tích $x^4-100x^2$ theo một hướng khác: coi đó là hiệu hai bình phương $(x^2{)}^2-(10x{)}^2$ ngay từ đầu, không cần đặt $x^2$ ra trước.

Vậy kết quả rút gọn và quy đồng giống hệt Cách 1, chỉ khác đường phân tích mẫu $x^4-100x^2$.

Định hướng. Thay $x=2$ (thoả $x\ne 0,10,-5$) vào các phân thức gốc và các phân thức đã rút gọn, quy đồng để đối chiếu.

Vậy mọi kết quả ở câu a và câu b đều được xác nhận đúng bằng số tại $x=2$.

Nhận xét. Hai phân thức $P,Q$ có chung nhân tử $(x-10)$ ở mẫu nhưng khác nhân tử còn lại — đây là tình huống quy đồng điển hình khi các mẫu vừa có phần chung vừa có phần riêng.

Định hướng. Viết đúng công thức $t=\frac{s}{v}$ cho từng đoạn đường theo yêu cầu đề, sau đó thay số tính từng đoạn rồi cộng lại với thời gian nghỉ.

Vậy a) thời gian hai đoạn là $\frac{60}{x}$ và $\frac{140}{x+10}$ (giờ); b) bác Vinh đến Tĩnh Gia lúc 9 giờ 20 phút.

Định hướng. Thay vì tính từng đoạn rồi cộng bằng số, cộng hai phân thức $\frac{60}{x}$ và $\frac{140}{x+10}$ (quy đồng mẫu chung $x(x+10)$) thành một phân thức tổng thời gian di chuyển theo $x$, rồi mới thay $x=60$ một lần duy nhất.

Vậy tổng thời gian di chuyển là $\frac{200x+600}{x(x+10)}$ (giờ); tại $x=60$ bác Vinh vẫn đến Tĩnh Gia lúc 9 giờ 20 phút, khớp Cách 1.

Định hướng. Không tính lại chi tiết mà dùng vận tốc trung bình toàn tuyến bằng tổng quãng đường chia tổng thời gian để kiểm tra kết quả 3 giờ ở Cách 1 có hợp lí không, vì vận tốc trung bình phải nằm giữa 60 km/h và 70 km/h.

Vậy $66,7$ km/h nằm đúng giữa hai vận tốc 60 và 70 km/h, xác nhận thời gian 3 giờ ở Cách 1 và Cách 2 là hợp lí.

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng để kiểm tra sự hợp lí của đáp số, không thay được việc tính chính xác giờ đến ở câu b.

Định hướng. Thay $x=90$ vào công thức chi phí cho câu a; xét mẫu $100-x=0$ để tìm ĐKXĐ và trả lời câu b.

Vậy a) cần $15,3$ tỉ đồng; b) ĐKXĐ là $x\ne 100$, do đó KHÔNG THỂ loại bỏ 100% chất gây ô nhiễm theo mô hình chi phí này.

Định hướng. Viết lại $1,7=\frac{17}{10}$ để đưa phân thức về dạng chỉ có số nguyên, tránh tính toán với số thập phân.

Vậy kết quả giống hệt Cách 1: chi phí $15,3$ tỉ đồng, và $x=100$ vẫn không thoả ĐKXĐ nên không thể loại bỏ 100%.

Định hướng. Thay vì chỉ khẳng định $x=100$ không thoả ĐKXĐ, xét xu hướng chi phí khi $x$ càng gần 100 để thấy rõ vì sao KHÔNG THỂ loại bỏ hết 100% trong thực tế.

Vậy chi phí tăng vọt tới vô hạn khi $x$ tiến gần 100, nên trong thực tế KHÔNG THỂ loại bỏ hết 100% chất gây ô nhiễm.

Nhận xét. Đây là hình ảnh trực quan cho ĐKXĐ $x\ne 100$: không phải vì công thức "cấm" mà vì chi phí sẽ lớn vô hạn, khớp với ý nghĩa thực tế bài toán.