Chương VI. Phân thức đại số

Luyện tập chung

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Ví dụ 1★★★Trang 23— Tách phân thức mẫu tích hai thừa số liên tiếp thành hiệu (phương pháp khử liên tiếp/kính viễn vọng) để rút gọn tổng

Ví dụ 1 (trang 23). a) Tính hiệu

\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}

.
b) Sử dụng kết quả câu a, rút gọn biểu thức sau:

\frac{1}{x ( x + 1 )} + \frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 )} + \frac{1}{( x + 2 ) ( x + 3 )}

.
c) Sử dụng kết quả câu b, tính nhanh:

\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4}

Kiến thức cần nhớ

Với mẫu là tích hai biểu thức liên tiếp $n (n + 1)$ : $\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ .
Tổng nhiều hiệu liên tiếp $(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}) + (\frac{1}{b} - \frac{1}{c}) + \dots$ thì các số hạng giữa triệt tiêu, chỉ còn số hạng đầu và số hạng cuối.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho công thức mẫu

\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}

với mẫu là tích hai số hạng liên tiếp — dấu hiệu của phương pháp tách-triệt tiêu: mỗi số hạng của tổng ở câu b đều có mẫu là tích hai biểu thức liên tiếp, viết lại thành hiệu rồi các số hạng ở giữa tự khử nhau. Câu c chỉ là trường hợp riêng của câu b khi thay

x = 1

, không cần tính lại từ đầu. Bẫy ở câu b: phải đổi đúng biến cho từng số hạng (

\frac{1}{( x + 2 ) ( x + 3 )} = \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3}

), không phải chép nguyên công thức câu a cho cả ba số hạng.

1Cách 1. Quy đồng trực tiếp theo mẫu thức chung của cả bốn thừa số

Định hướng. Quy đồng câu a theo đúng quy tắc; ở câu b không dùng kết quả câu a mà quy đồng thẳng ba phân thức về mẫu chung $x (x + 1) (x + 2) (x + 3)$ rồi rút gọn.

\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} = \frac{1 \cdot x+1}{x \cdot x+1} - \frac{1 \cdot x}{( x + 1 ) \cdot x} = \frac{( x + 1 ) - x}{x ( x + 1 )} = \frac{1}{x ( x + 1 )}

\frac{1}{x ( x + 1 )} + \frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 )} + \frac{1}{( x + 2 ) ( x + 3 )}

= \frac{1 \cdot (x+2)(x+3)}{x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 )} + \frac{1 \cdot x(x+3)}{x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 )} + \frac{1 \cdot x(x+1)}{x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 )}

= \frac{( x + 2 ) ( x + 3 ) + x ( x + 3 ) + x ( x + 1 )}{x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 )} = \frac{3 x ^{2} + 9 x + 6}{x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 )}

= \frac{3 (x+1)(x+2)}{x \cdot (x+1)(x+2) \cdot ( x + 3 )} = \frac{3}{x ( x + 3 )}

c) Đây là biểu thức ở câu b tại

x = 1

\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{3}{1 \cdot ( 1 + 3 )} = \frac{3}{4}

Vậy a) $\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x ( x + 1 )}$ ; b) tổng rút gọn thành $\frac{3}{x ( x + 3 )}$ ; c) $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{3}{4}$ .

2Cách 2. Dùng kết quả câu a tách từng số hạng rồi khử liên tiếp

Định hướng. Áp dụng công thức câu a cho từng số hạng của câu b (đổi biến $x \to x + 1$ và $x \to x + 2$ ), các số hạng ở giữa tự triệt tiêu.

\frac{1}{x ( x + 1 )} + \frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 )} + \frac{1}{( x + 2 ) ( x + 3 )}

= (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) + (\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}) + (\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3})

= \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 3}

= \frac{1 \cdot x+3}{x \cdot x+3} - \frac{1 \cdot x}{( x + 3 ) \cdot x} = \frac{( x + 3 ) - x}{x ( x + 3 )} = \frac{3}{x ( x + 3 )}

c) Thay

x = 1

vào

\frac{3}{x ( x + 3 )}

\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{3}{1 \cdot 4} = \frac{3}{4}

Vậy kết quả giống Cách 1 nhưng đi thẳng bằng cách khử liên tiếp, đúng ý đồ "sử dụng kết quả câu a" của đề.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị số cụ thể

Định hướng. Thay $x = 2$ vào biểu thức gốc câu b và vào kết quả rút gọn $\frac{3}{x ( x + 3 )}$ để đối chiếu, đồng thời kiểm tra trực tiếp câu c bằng phép cộng số học.

Tại

x = 2

\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} = \frac{10 + 5 + 3}{60} = \frac{18}{60} = \frac{3}{10}

Kết quả rút gọn tại

x = 2

\frac{3}{2 \cdot ( 2 + 3 )} = \frac{3}{10}

, khớp
Kiểm tra trực tiếp câu c bằng số học:

\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{6 + 2 + 1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}

, khớp với Cách 1, 2

Vậy phép rút gọn $\frac{3}{x ( x + 3 )}$ được xác nhận đúng bằng số, kết quả câu c là $\frac{3}{4}$ .

Nhận xét. Cách 2 nhanh nhất vì tận dụng ngay kết quả câu a; Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra, không thay cho lời giải chính.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tận dụng ngay kết quả câu a viết mỗi số hạng thành một hiệu, các số hạng giữa tự triệt tiêu, không phải quy đồng bốn mẫu như Cách 1.

Đáp số. a)

\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x ( x + 1 )}

. b)

\frac{1}{x ( x + 1 )} + \frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 )} + \frac{1}{( x + 2 ) ( x + 3 )} = \frac{3}{x ( x + 3 )}

(với

x \neq = 0, x \neq = - 1, x \neq = - 2, x \neq = - 3

). c)

\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{3}{4}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b, nhiều học sinh áp dụng máy móc công thức câu a cho cả ba số hạng mà không đổi biến tương ứng, viết nhầm

\frac{1}{( x + 2 ) ( x + 3 )} = \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x}

(lấy nhầm mẫu đầu

x

thay vì

x + 3

); phải thay đúng cặp mẫu liên tiếp của từng số hạng rồi mới khử.

🚀 Mở rộng. Tổng quát với

n

số hạng:

\frac{1}{x ( x + 1 )} + \frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 )} + \dots + \frac{1}{( x + n - 1 ) ( x + n )} = \frac{n}{x ( x + n )}

, đúng với mọi số nguyên dương

n

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Ví dụ 2★★★★Trang 23— Rút gọn biểu thức phân thức nhiều tầng — quy đồng trong ngoặc rồi phân tích nhân tử để rút gọn toàn bộ

Ví dụ 2 (trang 23). Rút gọn biểu thức

P = \frac{x + 1}{x ^{3} - 1} [(4 x^{2} - 1) (\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} + 1) - 5]

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ , áp dụng cho $4 x^{2} - 1 = (2 x - 1) (2 x + 1)$ .
Hằng đẳng thức hiệu hai lập phương $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ , áp dụng cho $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .
ĐKXĐ của phân thức nhiều tầng phải xét mẫu ở MỌI tầng: $x^{3} - 1 \neq = 0$ , $2 x - 1 \neq = 0$ , $2 x + 1 \neq = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức có ba tầng ngoặc lồng nhau với các mẫu

x^{3} - 1

2 x - 1

2 x + 1

khác nhau — dấu hiệu phải xử lí từ trong ra ngoài: nhận ra

4 x^{2} - 1 = (2 x - 1) (2 x + 1)

đúng bằng tích hai mẫu bên trong ngoặc, nên nhân vào sẽ khử mẫu ngay; sau đó phân tích

x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)

để rút gọn với tử

x + 1

. Bẫy: nếu không nhận ra

4 x^{2} - 1

là tích hai mẫu mà quy đồng đầy đủ trong ngoặc trước thì bài vẫn ra đúng nhưng dài hơn hẳn; và dễ quên ĐKXĐ của cả ba mẫu khi kết luận.

1Cách 1. Nhân

4 x^{2} - 1 = (2 x - 1) (2 x + 1)

trực tiếp vào ngoặc để khử mẫu ngay

Định hướng. Thay $4 x^{2} - 1$ bằng $(2 x - 1) (2 x + 1)$ rồi nhân phân phối vào từng số hạng trong ngoặc tròn — mỗi số hạng bị khử một mẫu ngay lập tức.

ĐKXĐ:

x \neq = 1; x \neq = \frac{1}{2}; x \neq = - \frac{1}{2}

(1)

P = \frac{x + 1}{x ^{3} - 1} [(4 x^{2} - 1) (\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} + 1) - 5]

= \frac{x + 1}{x ^{3} - 1} [(2 x - 1) (2 x + 1) (\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} + 1) - 5]

= \frac{x + 1}{x ^{3} - 1} [\frac{( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 )}{2 x - 1} - \frac{( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 )}{2 x + 1} + (4 x^{2} - 1) - 5]

= \frac{x + 1}{x ^{3} - 1} [2x+1 - 2x-1 + 4 x^{2} - 6]

= \frac{x + 1}{x ^{3} - 1} [4 x^{2} - 4] = \frac{( x + 1 ) \cdot 4 ( x - 1 ) ( x + 1 )}{x ^{3} - 1}

= \frac{4 ( x + 1 ) ^{2} \cdot (x-1)}{(x-1) ( x ^{2} + x + 1 )} = \frac{4 ( x + 1 ) ^{2}}{x ^{2} + x + 1}

Vậy $P = \frac{4 ( x + 1 ) ^{2}}{x ^{2} + x + 1}$ (với $x \neq = 1, x \neq = \frac{1}{2}, x \neq = - \frac{1}{2}$ ).

2Cách 2. Quy đồng đầy đủ trong ngoặc tròn trước rồi mới nhân với

4 x^{2} - 1

Định hướng. Quy đồng ba số hạng $\frac{1}{2 x - 1}$ , $- \frac{1}{2 x + 1}$ , $1$ về cùng mẫu $4 x^{2} - 1 = (2 x - 1) (2 x + 1)$ trước, rồi mới nhân với $4 x^{2} - 1$ ở ngoài.

\dfrac{1}{2x-1}-\dfrac{1}{2x+1}+1=\dfrac{1\cdot \colorbox{#FFDA7B}{2x+1}}{(2x-1)\cdot \colorbox{#FFDA7B}{2x+1}}-\dfrac{1\cdot \colorbox{#7EF0D0}{2x-1}}{(2x+1)\cdot \colorbox{#7EF0D0}{2x-1}}+\dfrac{1\cdot \colorbox{#FF8088}{4x^{2}-1}}{4x^{2}-1}

= \frac{( 2 x + 1 ) - ( 2 x - 1 ) + ( 4 x ^{2} - 1 )}{4 x ^{2} - 1} = \frac{4 x ^{2} + 1}{4 x ^{2} - 1}

P = \frac{x + 1}{x ^{3} - 1} [(4 x^{2} - 1) \cdot \frac{4 x ^{2} + 1}{4 x ^{2} - 1} - 5] = \frac{x + 1}{x ^{3} - 1} [4 x^{2} + 1 - 5] = \frac{x + 1}{x ^{3} - 1} (4 x^{2} - 4)

= \frac{4 ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} = \frac{4 ( x + 1 ) ^{2}}{x ^{2} + x + 1}

Vậy kết quả giống Cách 1: $P = \frac{4 ( x + 1 ) ^{2}}{x ^{2} + x + 1}$ , ĐKXĐ như trên.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay một giá trị

x

cụ thể

Định hướng. Chọn $x = 2$ (thoả ĐKXĐ) thay vào biểu thức gốc và vào kết quả đã rút gọn để đối chiếu.

Tại

x = 2

4 x^{2} - 1 = 15

;

\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + 1 = \frac{5 - 3 + 15}{15} = \frac{17}{15}

P = \frac{3}{7} [15 \cdot \frac{17}{15} - 5] = \frac{3}{7} [17 - 5] = \frac{3}{7} \cdot 12 = \frac{36}{7}

Kết quả rút gọn tại

x = 2

\frac{4 ( 2 + 1 ) ^{2}}{2 ^{2} + 2 + 1} = \frac{4 \cdot 9}{7} = \frac{36}{7}

, khớp

Vậy $P = \frac{4 ( x + 1 ) ^{2}}{x ^{2} + x + 1}$ được xác nhận đúng bằng số tại $x = 2$ .

Nhận xét. Cách 1 ngắn nhất vì khử mẫu ngay trong một bước; Cách 2 an toàn hơn khi chưa quen nhìn ra $4 x^{2} - 1$ là tích hai mẫu; Cách 3 chỉ dùng kiểm tra.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra ngay

4 x^{2} - 1 = (2 x - 1) (2 x + 1)

nhân trực tiếp vào ngoặc để hai mẫu

2 x - 1

2 x + 1

bị khử luôn trong một bước, ngắn hơn quy đồng đầy đủ như Cách 2.

Đáp số.

P = \frac{4 ( x + 1 ) ^{2}}{x ^{2} + x + 1}

(với

x \neq = 1, x \neq = \frac{1}{2}, x \neq = - \frac{1}{2}

Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh chỉ xét ĐKXĐ

x \neq = 1

(từ

x^{3} - 1

) mà quên hai điều kiện

x \neq = \frac{1}{2}

x \neq = - \frac{1}{2}

(từ

2 x - 1

2 x + 1

); hoặc khi rút gọn

\frac{4 ( x + 1 ) ^{2} ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )}

lại rút gọn nhầm

(x - 1)

ở tử với

x^{2} + x + 1

ở mẫu — hai biểu thức khác nhau, không được rút gọn cho nhau.

🚀 Mở rộng. Thay

4 x^{2} - 1

bằng dạng tổng quát

a^{2} - 1 = (a - 1) (a + 1)

với

a = 2 x

, cách phân tích và rút gọn hoàn toàn tương tự cho các biểu thức phân thức nhiều tầng khác có cấu trúc

a^{2} - 1

nhân với tổng các nghịch đảo của

a - 1

a + 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 6.31★★Trang 24— Cộng nhiều phân thức khác mẫu — quy đồng theo mẫu thức chung (mẫu đơn thức và mẫu đa thức đối nhau)

Bài 6.31 (trang 24). Trong các bài tập từ 6.31 đến 6.33 dưới đây, hãy thực hiện các phép tính đã chỉ ra.
a)

\frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} + \frac{1}{z x}

;
b)

\frac{x}{2 x - y} + \frac{y}{2 x + y} + \frac{3 x y}{y ^{2} - 4 x ^{2}}

Kiến thức cần nhớ

Quy đồng nhiều phân thức có mẫu là đơn thức: mẫu thức chung là tích các biến với số mũ lớn nhất xuất hiện ở các mẫu.
Hằng đẳng thức $y^{2} - 4 x^{2} = (y - 2 x) (y + 2 x)$ và quy tắc đổi dấu $\frac{A}{- B} = \frac{- A}{B}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a có ba mẫu đơn thức

x y, y z, z x

, mỗi mẫu thiếu đúng một biến so với tích

x y z

— dấu hiệu mẫu chung nhỏ nhất là

x y z

và thừa số phụ của mỗi phân thức chính là biến còn thiếu. Câu b có mẫu

y^{2} - 4 x^{2} = (y - 2 x) (y + 2 x) = - (2 x - y) (2 x + y)

đối dấu với hai mẫu còn lại — bẫy là phải đổi dấu cả tử và mẫu của số hạng thứ ba trước khi quy đồng, nếu không sẽ lấy nhầm mẫu chung.

1Cách 1. Quy đồng theo đúng mẫu thức chung nhỏ nhất

Định hướng. Câu a nhân mỗi phân thức với đúng biến còn thiếu để cùng về mẫu $x y z$ . Câu b đổi dấu số hạng thứ ba để ba mẫu cùng dạng $(2 x - y) (2 x + y)$ rồi quy đồng hai số hạng đầu.

\frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} + \frac{1}{z x} = \frac{1 \cdot z}{x y \cdot z} + \frac{1 \cdot x}{y z \cdot x} + \frac{1 \cdot y}{z x \cdot y} = \frac{z + x + y}{x y z} = \frac{x + y + z}{x y z}

y^{2} - 4 x^{2} = - (2 x - y) (2 x + y)

(vì

y^{2} - 4 x^{2} = (y - 2 x) (y + 2 x) = - (2 x - y) (2 x + y)

)

\frac{x}{2 x - y} + \frac{y}{2 x + y} + \frac{3 x y}{y ^{2} - 4 x ^{2}} = \frac{x}{2 x - y} + \frac{y}{2 x + y} - \frac{3 x y}{( 2 x - y ) ( 2 x + y )}

= \frac{x \cdot 2x+y}{( 2 x - y ) \cdot 2x+y} + \frac{y \cdot 2x-y}{( 2 x + y ) \cdot 2x-y} - \frac{3 x y}{( 2 x - y ) ( 2 x + y )}

= \frac{( 2 x ^{2} + x y ) + ( 2 x y - y ^{2} ) - 3 x y}{( 2 x - y ) ( 2 x + y )} = \frac{2 x ^{2} - y ^{2}}{( 2 x - y ) ( 2 x + y )}

Vậy a) $\frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} + \frac{1}{z x} = \frac{x + y + z}{x y z}$ ; b) $\frac{x}{2 x - y} + \frac{y}{2 x + y} + \frac{3 x y}{y ^{2} - 4 x ^{2}} = \frac{2 x ^{2} - y ^{2}}{( 2 x - y ) ( 2 x + y )}$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị số cụ thể

Định hướng. Thay $x = 1, y = 2, z = 3$ (câu a) và $x = 1, y = 2$ (câu b) vào biểu thức gốc và vào kết quả rút gọn để đối chiếu.

a) tại

x = 1, y = 2, z = 3

\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = 1

;

\frac{1 + 2 + 3}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1

, khớp
b) tại

x = 1, y = 2

\frac{1}{0}

không xác định (vì

2 x - y = 0

) nên đổi sang

x = 1, y = 4

\frac{1}{2 - 4} + \frac{4}{2 + 4} + \frac{12}{16 - 4} = - \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + 1 = \frac{7}{6}

;

\frac{2 - 16}{( 2 - 4 ) ( 2 + 4 )} = \frac{- 14}{- 12} = \frac{7}{6}

, khớp

Vậy hai kết quả rút gọn ở Cách 1 đều được xác nhận đúng bằng số.

Nhận xét. Khi chọn giá trị kiểm tra phải tránh làm mẫu bằng 0 (ở câu b tránh $2 x = y$ và $2 x = - y$ ).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: xác định thừa số phụ ngay từ mẫu (biến còn thiếu ở câu a, nhân tử đối dấu ở câu b) rồi quy đồng một lượt, không cần kiểm tra bằng số làm gì thêm bước.

Đáp số. a)

\frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} + \frac{1}{z x} = \frac{x + y + z}{x y z}

(với

x, y, z \neq = 0

). b)

\frac{x}{2 x - y} + \frac{y}{2 x + y} + \frac{3 x y}{y ^{2} - 4 x ^{2}} = \frac{2 x ^{2} - y ^{2}}{( 2 x - y ) ( 2 x + y )}

(với

2 x \neq = y, 2 x \neq = - y

Sai lầm thường gặp. Ở câu b, nhiều học sinh quên đổi dấu

y^{2} - 4 x^{2} = - (2 x - y) (2 x + y)

nên lấy nhầm mẫu thức chung là

(2 x - y) (2 x + y) (y^{2} - 4 x^{2})

— sai vì

y^{2} - 4 x^{2}

và

(2 x - y) (2 x + y)

chỉ khác nhau dấu, không phải hai nhân tử độc lập.

🚀 Mở rộng. Tổng quát câu a: với

n

biến

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

và các mẫu là tích từng cặp biến liên tiếp (kể cả vòng), tổng luôn quy đồng được về một mẫu chung là tích tất cả các biến.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 6.32★★★Trang 24— Nhân, chia phân thức đại số — phân tích nhân tử (đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức) rồi rút gọn nhân tử chung

Bài 6.32 (trang 24). a)

\frac{4 x - 6}{5 x ^{2} - x} \cdot \frac{25 x ^{2} - 10 x + 1}{27 - 8 x ^{3}}

;
b)

\frac{2 x + 10}{( x - 3 ) ^{2}} : \frac{( x + 5 ) ^{3}}{x ^{2} - 9}

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân (chia) hai phân thức: nhân tử với tử, mẫu với mẫu (chia thì nhân với phân thức nghịch đảo), rồi phân tích nhân tử để rút gọn.
Các hằng đẳng thức dùng trong bài: $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ ; $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ ; $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a có

25 x^{2} - 10 x + 1 = (5 x - 1)^{2}

và

27 - 8 x^{3} = (3 - 2 x) (9 + 6 x + 4 x^{2})

— dấu hiệu phải nhận ra hằng đẳng thức bình phương và hiệu hai lập phương trước khi nhân, đồng thời

2 x - 3 = - (3 - 2 x)

nên có một cặp nhân tử đối dấu cần đổi dấu. Câu b chuyển phép chia thành phép nhân với phân thức nghịch đảo rồi phân tích

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

để rút gọn với

(x - 3)^{2}

ở mẫu. Bẫy: quên đổi phép chia thành nhân trước khi rút gọn, hoặc rút gọn nhầm

(x - 3)^{2}

với

(x - 3)

mà không hạ đúng số mũ còn lại.

1Cách 1. Phân tích mọi nhân tử rồi rút gọn trực tiếp

Định hướng. Phân tích từng tử, mẫu thành nhân tử bằng đặt nhân tử chung và hằng đẳng thức, đưa phép chia câu b về phép nhân, rồi rút gọn các nhân tử giống nhau (kể cả nhân tử đối dấu).

4 x - 6 = 2 (2 x - 3)

;

5 x^{2} - x = x (5 x - 1)

;

25 x^{2} - 10 x + 1 = (5 x - 1)^{2}

;

27 - 8 x^{3} = (3 - 2 x) (9 + 6 x + 4 x^{2})

\frac{4 x - 6}{5 x ^{2} - x} \cdot \frac{25 x ^{2} - 10 x + 1}{27 - 8 x ^{3}} = \frac{2 ( 2 x - 3 )}{x ( 5 x - 1 )} \cdot \frac{( 5 x - 1 ) ^{2}}{( 3 - 2 x ) ( 9 + 6 x + 4 x ^{2} )}

= \frac{2 \cdot (2x-3) \cdot ( 5 x - 1 )}{x \cdot (3-2x) \cdot ( 9 + 6 x + 4 x ^{2} )}

(vì

2x-3 = - (3-2x)

)

= \frac{- 2 ( 5 x - 1 )}{x ( 9 + 6 x + 4 x ^{2} )}

\frac{2 x + 10}{( x - 3 ) ^{2}} : \frac{( x + 5 ) ^{3}}{x ^{2} - 9} = \frac{2 x + 10}{( x - 3 ) ^{2}} \cdot \frac{x ^{2} - 9}{( x + 5 ) ^{3}} = \frac{2 ( x + 5 )}{( x - 3 ) ^{2}} \cdot \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x + 5 ) ^{3}}

= \frac{2 \cdot (x+5) \cdot (x-3) ( x + 3 )}{(x-3) ( x - 3 ) \cdot (x+5) ( x + 5 ) ^{2}} = \frac{2 ( x + 3 )}{( x - 3 ) ( x + 5 ) ^{2}}

Vậy a) kết quả bằng $\frac{- 2 ( 5 x - 1 )}{x ( 9 + 6 x + 4 x ^{2} )}$ ; b) kết quả bằng $\frac{2 ( x + 3 )}{( x - 3 ) ( x + 5 ) ^{2}}$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị số cụ thể

Định hướng. Thay $x = 2$ vào biểu thức gốc và vào kết quả đã rút gọn của cả hai câu để đối chiếu.

a) tại

x = 2

\frac{4 \cdot 2 - 6}{5 \cdot 4 - 2} \cdot \frac{25 \cdot 4 - 20 + 1}{27 - 64} = \frac{2}{18} \cdot \frac{81}{- 37} = \frac{- 9}{37}

; kết quả rút gọn:

\frac{- 2 ( 10 - 1 )}{2 ( 9 + 12 + 16 )} = \frac{- 18}{74} = \frac{- 9}{37}

, khớp
b) tại

x = 2

\frac{14}{1} : \frac{343}{- 5} = 14 \cdot \frac{- 5}{343} = \frac{- 10}{49}

; kết quả rút gọn:

\frac{2 \cdot 5}{( - 1 ) \cdot 49} = \frac{10}{- 49} = \frac{- 10}{49}

, khớp

Vậy hai kết quả ở Cách 1 đều được xác nhận đúng bằng số.

Nhận xét. Cách 2 chỉ dùng để kiểm tra chéo, không thay cho việc phân tích nhân tử — với biểu thức chứa nhân tử đối dấu như $2 x - 3$ và $3 - 2 x$ thì kiểm tra bằng số là cách chắc chắn nhất để phát hiện sai dấu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phân tích hết nhân tử một lượt rồi rút gọn, đặc biệt để ý cặp nhân tử đối dấu như

2 x - 3

và

3 - 2 x

để đổi dấu đúng một lần, không lẫn lộn.

Đáp số. a)

\frac{4 x - 6}{5 x ^{2} - x} \cdot \frac{25 x ^{2} - 10 x + 1}{27 - 8 x ^{3}} = \frac{- 2 ( 5 x - 1 )}{x ( 9 + 6 x + 4 x ^{2} )}

(với

x \neq = 0, x \neq = \frac{1}{5}, x \neq = \frac{3}{2}

). b)

\frac{2 x + 10}{( x - 3 ) ^{2}} : \frac{( x + 5 ) ^{3}}{x ^{2} - 9} = \frac{2 ( x + 3 )}{( x - 3 ) ( x + 5 ) ^{2}}

(với

x \neq = 3, x \neq = - 5, x \neq = - 3

Sai lầm thường gặp. Ở câu a, học sinh dễ coi

2 x - 3

và

3 - 2 x

là hai nhân tử giống nhau rồi rút gọn thẳng thành

1

mà quên đổi dấu, làm mất dấu trừ ở kết quả cuối; ở câu b, hay quên đổi phép chia thành phép nhân với phân thức nghịch đảo trước khi rút gọn.

🚀 Mở rộng. Với dạng

\frac{a - b}{b - a}

luôn rút gọn được thành

- 1

(không phụ thuộc

a, b

cụ thể) — nhận ra mẫu hình này giúp rút gọn nhanh mọi bài có cặp nhân tử đối dấu tương tự.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.33★★★Trang 24— Rút gọn biểu thức phân thức có ngoặc — quy đồng trong ngoặc (tô màu thừa số phụ) rồi nhân và rút gọn nhân tử chung

Bài 6.33 (trang 24). a)

\frac{4 x ^{2} - 1}{16 x ^{2} - 1} (\frac{1}{2 x + 1} + \frac{1}{2 x - 1} + \frac{1}{1 - 4 x ^{2}})

;
b)

(\frac{x + y}{x y} - \frac{2}{x}) \frac{x ^{3} y ^{3}}{x ^{3} - y ^{3}}

Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng (trừ) các phân thức trong ngoặc trước khi nhân, phải quy đồng đúng mẫu thức chung, đổi dấu khi cần.
Hằng đẳng thức $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ và $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a có

16 x^{2} - 1 = (4 x - 1) (4 x + 1)

4 x^{2} - 1 = (2 x - 1) (2 x + 1)

và

1 - 4 x^{2} = - (2 x - 1) (2 x + 1)

— dấu hiệu ba mẫu trong ngoặc đều liên quan tới

(2 x - 1) (2 x + 1)

nên quy đồng trong ngoặc trước sẽ rất gọn. Câu b có

\frac{2}{x}

cần đưa về mẫu

x y

để trừ với

\frac{x + y}{x y}

, sau đó nhân với

\frac{x ^{3} y ^{3}}{x ^{3} - y ^{3}}

và dùng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương để rút gọn. Bẫy: ở câu a nếu không đổi dấu

1 - 4 x^{2}

thành

- (2 x - 1) (2 x + 1)

sẽ quy đồng nhầm dấu; ở câu b dễ quên nhân tử

x

chung khi quy đồng trong ngoặc.

1Cách 1. Quy đồng trong ngoặc trước, rồi nhân với phân thức ngoài và rút gọn

Định hướng. Đổi dấu $1 - 4 x^{2} = - (2 x - 1) (2 x + 1)$ để ba số hạng trong ngoặc câu a cùng liên quan một mẫu chung; câu b quy đồng $\frac{x + y}{x y} - \frac{2}{x}$ về mẫu $x y$ trước khi nhân.

16 x^{2} - 1 = (4 x - 1) (4 x + 1)

;

4 x^{2} - 1 = (2 x - 1) (2 x + 1)

;

1 - 4 x^{2} = - (2 x - 1) (2 x + 1)

\frac{1}{2 x + 1} + \frac{1}{2 x - 1} + \frac{1}{1 - 4 x ^{2}} = \frac{1}{2 x + 1} + \frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 )}

= \frac{1 \cdot 2x-1}{( 2 x + 1 ) \cdot 2x-1} + \frac{1 \cdot 2x+1}{( 2 x - 1 ) \cdot 2x+1} - \frac{1}{( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 )} = \frac{( 2 x - 1 ) + ( 2 x + 1 ) - 1}{( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 )} = \frac{4 x - 1}{( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 )}

\frac{4 x ^{2} - 1}{16 x ^{2} - 1} \cdot \frac{4 x - 1}{( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 )} = \frac{(2x-1)(2x+1)}{( 4 x - 1 ) ( 4 x + 1 )} \cdot \frac{4 x - 1}{(2x-1)(2x+1)} = \frac{1}{4 x + 1}

\frac{x + y}{x y} - \frac{2}{x} = \frac{x + y}{x y} - \frac{2 \cdot y}{x \cdot y} = \frac{( x + y ) - 2 y}{x y} = \frac{x - y}{x y}

\frac{x - y}{x y} \cdot \frac{x ^{3} y ^{3}}{x ^{3} - y ^{3}} = \frac{(x-y) \cdot xy \cdot x ^{2} y ^{2}}{xy \cdot (x-y) ( x ^{2} + x y + y ^{2} )} = \frac{x ^{2} y ^{2}}{x ^{2} + x y + y ^{2}}

Vậy a) biểu thức rút gọn bằng $\frac{1}{4 x + 1}$ ; b) biểu thức rút gọn bằng $\frac{x ^{2} y ^{2}}{x ^{2} + x y + y ^{2}}$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị số cụ thể

Định hướng. Thay $x = 1$ (câu a) và $x = 2, y = 1$ (câu b) vào biểu thức gốc và vào kết quả rút gọn để đối chiếu.

a) tại

x = 1

4 x^{2} - 1 = 3

;

16 x^{2} - 1 = 15

; hệ số ngoài

= \frac{3}{15} = \frac{1}{5}

Tổng trong ngoặc:

\frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{- 3} = 1

Biểu thức gốc

= \frac{1}{5} \cdot 1 = \frac{1}{5}

; kết quả rút gọn

= \frac{1}{4 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{5}

, khớp
b) tại

x = 2, y = 1

(\frac{3}{2} - 1) \cdot \frac{8}{7} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{7} = \frac{4}{7}

; kết quả rút gọn:

\frac{4 \cdot 1}{4 + 2 + 1} = \frac{4}{7}

, khớp

Vậy hai kết quả rút gọn ở Cách 1 đều được xác nhận đúng bằng số.

Nhận xét. Câu a rút gọn được thành một phân thức đơn giản bất ngờ $\frac{1}{4 x + 1}$ — dấu hiệu cho thấy đề được thiết kế để triệt tiêu gần hết, nên kiểm tra bằng số là cách xác nhận nhanh không sai sót.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy đồng gọn trong ngoặc trước (tận dụng mẫu chung đã xuất hiện sẵn ở ngoài ngoặc) để nhân tử chung lộ ra ngay, tránh nhân tràn lan rồi mới rút gọn.

Đáp số. a)

\frac{4 x ^{2} - 1}{16 x ^{2} - 1} (\frac{1}{2 x + 1} + \frac{1}{2 x - 1} + \frac{1}{1 - 4 x ^{2}}) = \frac{1}{4 x + 1}

(với

x \neq = \frac{1}{2}, x \neq = - \frac{1}{2}, x \neq = \frac{1}{4}, x \neq = - \frac{1}{4}

). b)

(\frac{x + y}{x y} - \frac{2}{x}) \frac{x ^{3} y ^{3}}{x ^{3} - y ^{3}} = \frac{x ^{2} y ^{2}}{x ^{2} + x y + y ^{2}}

(với

x \neq = 0, y \neq = 0, x \neq = y

Sai lầm thường gặp. Ở câu a, học sinh hay quên đổi dấu

1 - 4 x^{2} = - (2 x - 1) (2 x + 1)

rồi cộng nhầm dấu khi quy đồng trong ngoặc, làm sai cả kết quả cuối; ở câu b, dễ quên điều kiện

x \neq = y

(từ mẫu

x^{3} - y^{3}

) khi kết luận vì mẫu cuối cùng

x^{2} + x y + y^{2}

không còn chứa nhân tử

(x - y)

🚀 Mở rộng. Câu a là ví dụ điển hình của dạng "biểu thức rút gọn thành kết quả rất đơn giản" — khi gặp đề có cấu trúc mẫu lặp lại nhiều lần dưới các luỹ thừa khác nhau (

16 x^{2} - 1

4 x^{2} - 1

), nên nghĩ ngay tới khả năng hầu hết nhân tử sẽ triệt tiêu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.34★★★Trang 24— Rút gọn tổng hai phân thức (đổi dấu mẫu, hằng đẳng thức) rồi biện luận giá trị nguyên bằng ước số

Bài 6.34 (trang 24). Cho biểu thức

P = \frac{x ^{2} - 6 x + 9}{9 - x ^{2}} + \frac{4 x + 8}{x + 3}

.
a) Rút gọn

P

.
b) Tính giá trị của

P

tại

x = 7

.
c) Chứng tỏ

P = 3 + \frac{2}{x + 3}

. Từ đó tìm tất cả các giá trị nguyên của

x

sao cho biểu thức đã cho nhận giá trị nguyên.

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ và $9 - x^{2} = - (x - 3) (x + 3)$ .
Phân thức $\frac{3 x + 11}{x + 3}$ tách được thành $3 + \frac{2}{x + 3}$ bằng phép chia đa thức (thương $3$ , dư $2$ ).
Phân thức $\frac{a}{b}$ ( $a, b$ nguyên, $b \neq = 0$ ) nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi $b$ là ước của $a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu

9 - x^{2} = - (x - 3) (x + 3)

đối dấu với

x + 3

— dấu hiệu phải đổi dấu trước khi quy đồng. Tử

x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}

nên rút gọn với

(x - 3)

vừa xuất hiện ở mẫu, cho

P

về dạng phân thức bậc nhất trên bậc nhất — chính là dấu hiệu để tách thành

3 + \frac{2}{x + 3}

(thương và số dư của phép chia

3 x + 11

cho

x + 3

). Bẫy: quên đối chiếu ĐKXĐ

x \neq = \pm 3

khi tìm

x

nguyên ở câu c, vì

x = - 3

và

x = 3

không nằm trong tập ước của

2

nên thực ra không ảnh hưởng, nhưng vẫn phải kiểm tra.

1Cách 1. Đổi dấu mẫu, rút gọn rồi tách phần nguyên bằng phép chia đa thức

Định hướng. Đổi $9 - x^{2} = - (x - 3) (x + 3)$ để cùng mẫu $x + 3$ với số hạng còn lại, rút gọn được $P$ dạng bậc nhất trên bậc nhất, rồi tách phần nguyên để biện luận.

a) ĐKXĐ:

x \neq = 3; x \neq = - 3

(1)

P = \frac{( x - 3 ) ^{2}}{9 - x ^{2}} + \frac{4 x + 8}{x + 3} = \frac{( x - 3 ) ^{2}}{- ( x - 3 ) ( x + 3 )} + \frac{4 x + 8}{x + 3} = \frac{- (x-3)}{1 ( x + 3 )} + \frac{4 x + 8}{x + 3}

= \frac{- ( x - 3 ) + ( 4 x + 8 )}{x + 3} = \frac{3 x + 11}{x + 3}

P (7) = \frac{3 \cdot 7 + 11}{7 + 3} = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}

P = \frac{3 x + 11}{x + 3} = \frac{3 ( x + 3 ) + 2}{x + 3} = 3 + \frac{2}{x + 3}

P

nguyên

\Leftrightarrow \frac{2}{x + 3}

nguyên

\Leftrightarrow (x + 3)

là ước của

2

\Leftrightarrow x + 3 \in {1; - 1; 2; - 2}

\Leftrightarrow x \in {- 2; - 4; - 1; - 5}

, cả bốn giá trị đều thoả ĐKXĐ

x \neq = 3, x \neq = - 3

Vậy a) $P = \frac{3 x + 11}{x + 3}$ (với $x \neq = 3, x \neq = - 3$ ); b) $P (7) = \frac{16}{5}$ ; c) $P$ nguyên khi $x \in {- 5; - 4; - 2; - 1}$ .

2Cách 2. Rút gọn bằng phép chia đa thức trực tiếp, tìm x nguyên bằng liệt kê thử

Định hướng. Rút gọn $P$ giống Cách 1, nhưng ở câu c thay vì lí luận ước số, liệt kê thử các giá trị nguyên nhỏ của $x$ (loại $x = \pm 3$ ) và kiểm tra trực tiếp $P$ có nguyên hay không.

a), b) làm như Cách 1:

P = \frac{3 x + 11}{x + 3}

;

P (7) = \frac{16}{5}

c) Thử

x = - 6

P = \frac{- 18 + 11}{- 3} = \frac{- 7}{- 3} = \frac{7}{3}

, không nguyên
Thử

x = - 5

P = \frac{- 15 + 11}{- 2} = \frac{- 4}{- 2} = 2

, nguyên
Thử

x = - 4

P = \frac{- 12 + 11}{- 1} = \frac{- 1}{- 1} = 1

, nguyên
Thử

x = - 2

P = \frac{- 6 + 11}{1} = 5

, nguyên
Thử

x = - 1

P = \frac{- 3 + 11}{2} = 4

, nguyên
Thử

x = 0

P = \frac{11}{3}

, không nguyên
Với

x + 3

vượt ra ngoài đoạn

[- 2; 2]

về hai phía,

\frac{2}{x + 3} < 1

, nên

P

không thể nguyên

Vậy $P$ nguyên đúng tại $x \in {- 5; - 4; - 2; - 1}$ , khớp kết quả Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 (lí luận ước số) chắc chắn và nhanh hơn Cách 2 (thử từng giá trị) vì không bỏ sót nghiệm ở xa; Cách 2 chỉ nên dùng để kiểm tra một vài giá trị.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị số vào biểu thức gốc (chưa rút gọn)

Định hướng. Thay $x = - 4$ (một nghiệm tìm được ở câu c) vào chính biểu thức $P$ ban đầu (chưa rút gọn) để xác nhận vẫn ra giá trị nguyên.

Tại

x = - 4

P = \frac{( - 4 ) ^{2} - 6 \cdot ( - 4 ) + 9}{9 - ( - 4 ) ^{2}} + \frac{4 \cdot ( - 4 ) + 8}{- 4 + 3} = \frac{16 + 24 + 9}{9 - 16} + \frac{- 8}{- 1} = \frac{49}{- 7} + 8 = - 7 + 8 = 1

Kết quả rút gọn tại

x = - 4

3 + \frac{2}{- 4 + 3} = 3 - 2 = 1

, khớp

Vậy $P (- 4) = 1$ là số nguyên, xác nhận đúng kết luận câu c.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tách

\frac{3 x + 11}{x + 3} = 3 + \frac{2}{x + 3}

rồi dùng lí luận ước số

(x + 3) ∣ 2

— vừa nhanh vừa chắc chắn không bỏ sót nghiệm, hơn hẳn việc thử từng giá trị như Cách 2.

Đáp số. a)

P = \frac{3 x + 11}{x + 3}

(với

x \neq = 3, x \neq = - 3

). b)

P (7) = \frac{16}{5}

. c)

P = 3 + \frac{2}{x + 3}

;

P

nguyên khi

x \in {- 5; - 4; - 2; - 1}

Sai lầm thường gặp. Ở câu a, nhiều học sinh quên đổi dấu

9 - x^{2} = - (x - 3) (x + 3)

, cộng thẳng hai phân thức như thể cùng mẫu

x + 3

và

9 - x^{2}

độc lập, dẫn tới kết quả sai dấu; ở câu c, dễ quên đối chiếu điều kiện

x \neq = 3, x \neq = - 3

với các nghiệm tìm được (may mắn ở bài này không giá trị nào trùng, nhưng bước đối chiếu vẫn bắt buộc phải trình bày).

🚀 Mở rộng. Tổng quát: phân thức

\frac{a x + b}{x + c}

(

a, b, c

nguyên) luôn tách được thành

a + \frac{b - a c}{x + c}

; giá trị nguyên của

x

để biểu thức nguyên chính là các ước của

b - a c

trừ đi

c

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.35★★★Trang 24— Lập phân thức biểu diễn đại lượng thực tế theo biến, rồi tính giá trị cụ thể của phân thức

Bài 6.35 (trang 24). Một xưởng may lập kế hoạch may

80000

bộ quần áo trong

x

(ngày). Nhờ cải tiến kĩ thuật, xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm

11

ngày và may vượt kế hoạch

100

bộ quần áo.
a) Hãy viết phân thức theo biến

x

biểu thị số bộ quần áo mỗi ngày xưởng may được theo kế hoạch.
b) Viết phân thức biểu thị số bộ quần áo thực tế xưởng may được mỗi ngày.
c) Viết biểu thức biểu thị số bộ quần áo mỗi ngày xưởng may được nhiều hơn so với kế hoạch.
d) Nếu theo kế hoạch, mỗi ngày xí nghiệp may

800

bộ quần áo thì nhờ cải tiến kĩ thuật, mỗi ngày xưởng may được nhiều hơn so với kế hoạch bao nhiêu bộ quần áo?

Kiến thức cần nhớ

Năng suất trung bình mỗi ngày $=$ tổng số lượng chia cho số ngày.
"Hoàn thành sớm $11$ ngày" nghĩa là số ngày thực tế bằng số ngày kế hoạch trừ $11$ ; "vượt kế hoạch $100$ bộ" nghĩa là số lượng thực tế bằng số lượng kế hoạch cộng $100$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho quan hệ giữa số ngày kế hoạch

x

và số ngày thực tế

x - 11

(sớm hơn), cùng số lượng kế hoạch

80000

và số lượng thực tế

80000 + 100

— dấu hiệu của dạng "năng suất = tổng số lượng chia số ngày", mỗi phân thức chỉ là một phép chia trực tiếp. Bẫy: câu a dễ nhầm mẫu là

x - 11

(số ngày thực tế) thay vì

x

(số ngày kế hoạch); câu d phải suy ra

x

cụ thể từ điều kiện "mỗi ngày theo kế hoạch may 800 bộ" trước khi tính, không được gán

x = 800

1Cách 1. Lập trực tiếp từng phân thức theo đúng định nghĩa năng suất

Định hướng. Viết số ngày và số lượng cho từng trường hợp (kế hoạch, thực tế) rồi lấy số lượng chia số ngày; câu d suy ra $x$ từ điều kiện năng suất kế hoạch bằng $800$ rồi thay vào các phân thức đã lập.

a) Số bộ quần áo mỗi ngày theo kế hoạch:

\frac{80 000}{x}

(bộ/ngày), điều kiện

x > 11

x

nguyên dương
b) Số ngày thực tế:

x - 11

; số bộ thực tế:

80000 + 100 = 80100

Số bộ quần áo mỗi ngày thực tế:

\frac{80 100}{x - 11}

(bộ/ngày)
c) Số bộ nhiều hơn mỗi ngày so với kế hoạch:

\frac{80 100}{x - 11} - \frac{80 000}{x}

(bộ/ngày)
d) Theo kế hoạch mỗi ngày may

800

bộ nghĩa là

\frac{80 000}{x} = 800 \Rightarrow x = 100

(ngày)
Số ngày thực tế:

100 - 11 = 89

(ngày); số bộ thực tế mỗi ngày:

\frac{80 100}{89} = 900

(bộ/ngày)
Số bộ nhiều hơn mỗi ngày:

900 - 800 = 100

(bộ)

Vậy a) $\frac{80 000}{x}$ ; b) $\frac{80 100}{x - 11}$ ; c) $\frac{80 100}{x - 11} - \frac{80 000}{x}$ ; d) mỗi ngày xưởng may nhiều hơn kế hoạch $100$ bộ quần áo.

2Cách 2. Lập bảng đối chiếu ba đại lượng (số lượng, số ngày, năng suất) trước khi viết phân thức

Định hướng. Tổ chức dữ kiện thành bảng "kế hoạch – thực tế" theo ba cột (tổng số bộ, số ngày, số bộ mỗi ngày) để tránh nhầm mẫu số, sau đó viết đúng các phân thức như Cách 1; riêng câu d tính trực tiếp bằng số học từ dữ kiện $800$ bộ/ngày mà không lập lại phân thức tổng quát.

Kế hoạch: tổng

80000

bộ, số ngày

x

, năng suất

\frac{80 000}{x}

bộ/ngày
Thực tế: tổng

80000 + 100 = 80100

bộ, số ngày

x - 11

, năng suất

\frac{80 100}{x - 11}

bộ/ngày
Chênh lệch năng suất:

\frac{80 100}{x - 11} - \frac{80 000}{x}

bộ/ngày
d) Nếu năng suất kế hoạch là

800

bộ/ngày thì số ngày kế hoạch

= 80000 : 800 = 100

(ngày)
Số ngày thực tế

= 100 - 11 = 89

(ngày); năng suất thực tế

= 80100 : 89 = 900

(bộ/ngày)
Chênh lệch

= 900 - 800 = 100

(bộ/ngày)

Vậy kết quả giống hệt Cách 1: a) $\frac{80 000}{x}$ ; b) $\frac{80 100}{x - 11}$ ; c) $\frac{80 100}{x - 11} - \frac{80 000}{x}$ ; d) $100$ bộ quần áo.

Nhận xét. Lập bảng ba cột giúp không nhầm số ngày kế hoạch $x$ với số ngày thực tế $x - 11$ khi đặt mẫu — sai lầm phổ biến nhất của dạng toán năng suất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 kèm chú ý: viết số ngày kế hoạch là

x

(không phải

x - 11

) và số ngày thực tế là

x - 11

(không phải

x

) ngay từ câu a, b để câu c chỉ còn việc trừ hai phân thức đã có sẵn.

Đáp số. a)

\frac{80 000}{x}

(bộ/ngày). b)

\frac{80 100}{x - 11}

(bộ/ngày). c)

\frac{80 100}{x - 11} - \frac{80 000}{x}

(bộ/ngày). d)

100

bộ quần áo mỗi ngày.

Sai lầm thường gặp. Học sinh hay đặt nhầm mẫu ở câu a, b — lấy

x - 11

làm số ngày kế hoạch hoặc lấy

x

làm số ngày thực tế (đảo ngược ý nghĩa "hoàn thành sớm"); ở câu d, nhiều em gán nhầm

x = 800

(lấy luôn số bộ mỗi ngày làm giá trị của biến

x

, trong khi

x

là SỐ NGÀY kế hoạch, phải giải

80000 : x = 800

mới ra

x = 100

🚀 Mở rộng. Nếu đổi dữ kiện thành "hoàn thành sớm

k

ngày và vượt kế hoạch

m

bộ", công thức chênh lệch năng suất tổng quát là

\frac{80 000 + m}{x - k} - \frac{80 000}{x}

— cùng một cách lập luận, chỉ thay hai số liệu

k, m

Mở bài này trong app ↗