Luyện tập chung

Định hướng. Phá ngoặc từng vế, chuyển các hạng tử chứa $x$ sang vế trái và hằng số sang vế phải, rồi thu gọn để nhận dạng phương trình.

Vậy phương trình a) có nghiệm $x=1$; phương trình b) có nghiệm $x=7$; phương trình c) vô nghiệm (vì $0x=3$ vô lí); phương trình d) có vô số nghiệm (vì $0x=0$ đúng với mọi $x$).

Định hướng. Chuyển toàn bộ số hạng sang vế trái một lượt để có dạng $ax+b=0$, chỉ cần đọc hệ số $a,b$ là kết luận được số nghiệm.

Vậy theo dấu hiệu $a,b$: a) $a=2\ne 0$ nên $x=1$; b) $a=1\ne 0$ nên $x=7$; c) $a=0,b=-3\ne 0$ nên vô nghiệm; d) $a=0,b=0$ nên vô số nghiệm — kết quả trùng khớp với Cách 1.

Định hướng. Với a), b) thế nghiệm vừa tìm vào hai vế phương trình gốc để xác nhận; với c), d) thế hai giá trị $x$ khác nhau để kiểm tra hiệu hai vế có đổi hay không.

Vậy a) và b) chỉ khớp đúng tại nghiệm đã tìm; ở c) hiệu VT$-$VP luôn bằng $-3\ne 0$ dù $x$ thay đổi nên phương trình vô nghiệm; ở d) hai vế luôn bằng nhau với mọi $x$ thử nên phương trình có vô số nghiệm — xác nhận đúng kết luận của Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 3 không thay thế được việc giải đầy đủ, nhưng là công cụ nhanh để phát hiện ngay từ đầu bài nào rơi vào trường hợp đặc biệt (vô nghiệm/vô số nghiệm).

Định hướng. Không chia hai vế cho $x$, mà phá ngoặc từng vế rồi chuyển vế, thu gọn như một phương trình bình thường.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=0$ — bạn Nam giải sai. Khi chia cả hai vế của $x(x+1)=x(x+2)$ cho $x$, bạn Nam đã ngầm coi $x\ne 0$ nên làm mất đúng nghiệm $x=0$ của phương trình.

Định hướng. Chuyển vế để hai vế cùng nằm một phía, đặt nhân tử chung $x$ rồi dùng tính chất tích bằng $0$.

Vậy phương trình chỉ có nghiệm $x=0$, trùng khớp với Cách 1 — cách đặt nhân tử chung không đòi hỏi chia cho $x$ nên không bỏ sót nghiệm.

Định hướng. Thế lần lượt $x=0$ và một giá trị $x\ne 0$ vào hai vế phương trình gốc để xem giá trị nào thoả mãn, đối chiếu với lời giải của Nam.

Vậy $x=0$ thoả mãn phương trình gốc trong khi lời giải của Nam kết luận vô nghiệm — chứng tỏ Nam sai, nghiệm đúng của phương trình là $x=0$.

Nhận xét. Phương trình $x(x+1)=x(x+2)$ chỉ có một nghiệm $x=0$ chứ không phải vô nghiệm như Nam kết luận; lỗi nằm ở bước chia cả hai vế cho $x$ khi chưa biết $x$ có khác $0$ hay không.

Định hướng. Gọi chiều rộng là $x$, chiều dài là $x+3$, thay vào công thức chu vi để lập phương trình.

Đối chiếu điều kiện $x>0$: giá trị $x=9$ thoả mãn. Vậy chiều rộng của mảnh vườn là $9$ m, chiều dài là $9+3=12$ m.

Định hướng. Gọi chiều dài là $y$, chiều rộng là $y-3$, thay vào công thức chu vi.

Đối chiếu điều kiện $y>3$: giá trị $y=12$ thoả mãn. Vậy chiều dài của mảnh vườn là $12$ m, chiều rộng là $12-3=9$ m — trùng với Cách 1.

Định hướng. Nửa chu vi chính là tổng chiều dài và chiều rộng; biết thêm hiệu hai cạnh nên dùng trực tiếp công thức tìm hai số biết tổng và hiệu.

Vậy chiều dài của mảnh vườn là $12$ m, chiều rộng là $9$ m — kết quả trùng khớp với Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 3 không cần đặt ẩn hay giải phương trình, chỉ dùng công thức tìm hai số biết tổng và hiệu nên nhanh gọn hơn hẳn khi số liệu đơn giản.

Định hướng. Gọi giá gốc là $x$, giá sau khi giảm $30\%$ bằng $70\%$ của $x$, cho bằng $399$ để lập phương trình.

Đối chiếu điều kiện $x>0$: giá trị $x=570$ thoả mãn. Vậy giá ban đầu của chiếc áo len là $570$ nghìn đồng.

Định hướng. Giá bán $399$ nghìn đồng ứng đúng với $70\%$ giá gốc, nên chia $399$ cho $70\%$ để ra ngay giá gốc.

Vậy giá ban đầu của chiếc áo len là $570$ nghìn đồng — trùng với Cách 1.

Định hướng. Tìm giá trị ứng với $1\%$ giá gốc từ $70\%$ đã biết, rồi nhân lên $100$ lần để ra giá gốc.

Vậy giá ban đầu của chiếc áo len là $570$ nghìn đồng — kết quả khớp cả ba cách.

Nhận xét. Cách 2 và Cách 3 tính nhanh hơn Cách 1 vì không cần đặt ẩn và giải phương trình, phù hợp khi bài toán phần trăm chỉ có một đại lượng chưa biết.

Định hướng. Gọi năng suất dự định là $x$ (áo/ngày), số áo được giao (kế hoạch) là $25x$; thực tế làm $24$ ngày với năng suất $x+2$, tổng số áo thực tế nhiều hơn kế hoạch $8$ áo.

Đối chiếu điều kiện $x>0$: giá trị $x=40$ thoả mãn. Vậy số áo sơ mi mà xưởng may được giao là $25\times 40=1000$ (áo).

Định hướng. Gọi số áo kế hoạch là $y$, suy ra năng suất dự định $\frac{y}{25}$, năng suất thực tế $\frac{y}{25}+2$, làm trong $24$ ngày được $y+8$ áo.

Đối chiếu điều kiện $y>0$: giá trị $y=1000$ thoả mãn. Vậy số áo sơ mi được giao là $1000$ áo — trùng với Cách 1.

Định hướng. Trong $24$ ngày thực tế, phần sản lượng tăng thêm do năng suất tăng $2$ áo/ngày, trừ đi phần sản lượng bị mất do làm ít hơn dự định $1$ ngày, đúng bằng $8$ áo vượt kế hoạch — từ đó suy ra năng suất dự định mà không cần lập phương trình đầy đủ.

Vậy năng suất dự định là $40$ áo/ngày, số áo được giao theo kế hoạch là $25\times 40=1000$ (áo) — trùng khớp Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 3 tách rõ hai nguyên nhân làm sản lượng thay đổi (tăng năng suất và giảm ngày công), giúp hiểu bản chất bài toán mà không phải quản lí nhiều biểu thức đại số như Cách 2.

Định hướng. Gọi giá mức 1 là $a$, tính tiền $50$ số ở mức 1 và $45$ số ở mức 2 theo $a$, cộng thêm $10\%$ thuế rồi cho bằng $178123$.

Đối chiếu điều kiện $a>0$: giá trị $a=1678$ thoả mãn. Vậy giá của mỗi số điện ở mức 1 là $1678$ đồng.

Định hướng. Từ số tiền đã có thuế, tính ngược ra tiền điện trước thuế trước, sau đó mới lập phương trình đơn giản hơn với ẩn $a$.

Đối chiếu điều kiện $a>0$: giá trị $a=1678$ thoả mãn. Vậy giá của mỗi số điện ở mức 1 là $1678$ đồng — trùng với Cách 1.

Định hướng. Gọi thẳng giá mức 2 là $b$, biểu diễn giá mức 1 qua $b$, lập phương trình theo $b$ rồi suy ra giá mức 1.

Đối chiếu điều kiện $b>56$: giá trị $b=1734$ thoả mãn. Vậy giá mỗi số điện ở mức 2 là $1734$ đồng, suy ra giá mỗi số điện ở mức 1 là $1734-56=1678$ (đồng) — trùng khớp Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Dù chọn ẩn là giá mức nào, kết quả cuối cùng vẫn thống nhất; tách riêng bước "trừ thuế" như Cách 2, Cách 3 giúp phương trình gọn hơn hẳn so với gộp thuế ngay trong Cách 1.