Chương VII. Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất

Luyện tập chung

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Ví dụ 1★★Trang 55— Xác định hệ số góc từ một điểm cho trước rồi vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

Ví dụ 1 (trang 55). Cho hàm số bậc nhất

y = a x + 5

.
a) Xác định hệ số

a

, biết đồ thị hàm số đi qua điểm

A (1; 3)

.
b) Vẽ đồ thị hàm số đã cho với giá trị

a

tìm được ở câu a.

Kiến thức cần nhớ

Đồ thị hàm số $y = a x + b$ đi qua điểm $(x_{0}; y_{0})$ khi và chỉ khi $y_{0} = a x_{0} + b$ .
Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm $(x_{1}; y_{1})$ , $(x_{2}; y_{2})$ (với $x_{1} \neq = x_{2}$ ) là $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .
Đồ thị hàm số bậc nhất là một đường thẳng, vẽ nhanh nhất bằng hai giao điểm với trục tung và trục hoành.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một điểm cụ thể mà đồ thị đi qua — dấu hiệu để thế toạ độ điểm đó vào công thức hàm số nhằm tìm hệ số

a

còn thiếu. Hàm số đã có sẵn tung độ gốc

5

, tức đồ thị luôn đi qua

(0; 5)

, nên cũng có thể tìm

a

trực tiếp bằng công thức hệ số góc giữa hai điểm

(0; 5)

và

A (1; 3)

mà không cần lập phương trình. Bẫy ở câu b: phải vẽ đúng bằng hai giao điểm với hai trục toạ độ, không được chọn hai điểm bất kỳ rồi nối ẩu.

1Cách 1. Thế toạ độ điểm A vào công thức hàm số

Định hướng. Đồ thị đi qua $A (1; 3)$ nên toạ độ điểm này thoả mãn công thức hàm số; thế vào để có phương trình một ẩn $a$ .

y = a x + 5

đi qua

A (1; 3)

3 = a \cdot 1 + 5

a = 3 - 5

a = - 2

Vậy $a = - 2$ , hàm số cần tìm là $y = - 2 x + 5$ .

Nhận xét. Vẽ đồ thị: cho $x = 0$ thì $y = 5$ , được điểm $P (0; 5)$ ; cho $y = 0$ thì $x = \frac{5}{2}$ , được điểm $Q (\frac{5}{2}; 0)$ . Đồ thị hàm số $y = - 2 x + 5$ là đường thẳng $P Q$ .

2Cách 2. Dùng công thức hệ số góc giữa hai điểm

Định hướng. Đường thẳng $y = a x + 5$ luôn đi qua điểm $(0; 5)$ trên trục tung; hệ số $a$ chính là hệ số góc của đường thẳng nối điểm này với $A (1; 3)$ .

a = \frac{y _{A} - 5}{x _{A} - 0}

a = \frac{3 - 5}{1 - 0}

a = \frac{- 2}{1}

a = - 2

Vậy $a = - 2$ , hàm số cần tìm là $y = - 2 x + 5$ .

Nhận xét. Đồ thị vẽ như Cách 1, đi qua $P (0; 5)$ và $Q (\frac{5}{2}; 0)$ .

3Cách 3. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm rồi đối chiếu hệ số

Định hướng. Đường thẳng qua hai điểm $(0; 5)$ và $(1; 3)$ có phương trình $y - 5 = \frac{3 - 5}{1 - 0} (x - 0)$ ; khai triển rồi so sánh với dạng $y = a x + 5$ để đọc ra $a$ .

y - 5 = \frac{3 - 5}{1 - 0} (x - 0)

y - 5 = - 2 x

y = - 2 x + 5

Vậy so với dạng $y = a x + 5$ ta được $a = - 2$ , hàm số cần tìm là $y = - 2 x + 5$ .

Nhận xét. Đồ thị vẽ như Cách 1, đi qua $P (0; 5)$ và $Q (\frac{5}{2}; 0)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ một dòng chia hiệu tung độ cho hiệu hoành độ là ra ngay

a

, khỏi phải lập và giải phương trình như Cách 1.

Đáp số.

a = - 2

; đồ thị hàm số

y = - 2 x + 5

là đường thẳng đi qua

P (0; 5)

và

Q (\frac{5}{2}; 0)

Sai lầm thường gặp. Có bạn thế nhầm thứ tự toạ độ, viết

1 = a \cdot 3 + 5

(đổi chỗ hoành độ và tung độ của

A

) dẫn tới kết quả sai; phải nhớ

A (1; 3)

nghĩa là

x_{A} = 1

y_{A} = 3

, thế đúng thứ tự vào

y = a x + 5

🚀 Mở rộng. Nếu đồ thị đi qua hai điểm chưa biết trước tung độ gốc, chẳng hạn

y = a x + b

qua

(1; 3)

và

(2; 1)

, vẫn dùng công thức hệ số góc ở Cách 2 để tìm

a = \frac{1 - 3}{2 - 1} = - 2

rồi thế ngược lại một điểm để tìm

b

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Ví dụ 2★★Trang 55— Tính giá trị hàm số và giải phương trình tìm biến từ một tình huống thực tế (tiền điện)

Ví dụ 2 (trang 55). Số tiền điện phải trả trong tháng khi lượng điện sử dụng

x

(kWh) trong khoảng từ 51 kWh đến 100 kWh được cho bởi công thức sau:

T (x) = 1734 x - 2800

(đồng).
a) Tính số tiền điện phải trả khi lượng điện tiêu thụ trong tháng là 90 kWh.
b) Nếu số tiền điện phải trả trong tháng là 144 590 đồng thì gia đình đó đã sử dụng bao nhiêu kWh điện?

Kiến thức cần nhớ

Giá trị hàm số tại $x = x_{0}$ tính bằng cách thế trực tiếp $x_{0}$ vào công thức.
Tìm $x$ khi biết $T (x)$ là giải phương trình bậc nhất một ẩn $1734 x - 2800 = T (x)$ .
Hàm số bậc nhất $y = a x + b$ với $a > 0$ đồng biến: $x$ tăng bao nhiêu thì $y$ tăng $a$ lần bấy nhiêu.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) chỉ là tính giá trị hàm số tại

x = 90

— thế số trực tiếp. Câu b) ngược lại: biết

T (x)

, phải tìm

x

, tức đưa về giải phương trình bậc nhất

1734 x - 2800 = 144590

. Vì hệ số

1734 > 0

nên

T (x)

đồng biến, mỗi kWh tăng thêm làm tiền điện tăng đúng 1 734 đồng — đây là chìa khoá cho cách giải nhanh bằng tỉ lệ mà không cần giải phương trình đầy đủ.

1Cách 1. Thế số trực tiếp và giải phương trình bậc nhất

Định hướng. Câu a) thế $x = 90$ vào công thức; câu b) cho $T (x) = 144590$ rồi giải phương trình ẩn $x$ .

T (90) = 1734 \cdot 90 - 2800

T (90) = 156060 - 2800

T (90) = 153260

1734 x - 2800 = 144590

1734 x = 144590 + 2800

1734 x = 147390

x = 85

Vậy a) số tiền phải trả là 153 260 đồng; b) gia đình đó đã dùng 85 kWh điện.

2Cách 2. Dùng tỉ lệ tăng của hàm số đồng biến (không giải phương trình đầy đủ)

Định hướng. Từ kết quả câu a) đã biết $T (90) = 153260$ ; vì hệ số góc $1734 > 0$ nên cứ giảm 1 kWh thì $T (x)$ giảm đúng 1 734 đồng — dùng ngay tỉ lệ này để suy ra $x$ ở câu b) mà không cần lập lại phương trình từ đầu.

T (90) = 1734 \cdot 90 - 2800 = 153260

b) Chênh lệch tiền:

153260 - 144590 = 8670

Số kWh chênh lệch:

8670 : 1734 = 5

x = 90 - 5 = 85

Vậy a) 153 260 đồng; b) $x = 85$ kWh, khớp Cách 1.

3Cách 3. Lập bảng giá trị rồi nội suy

Định hướng. Tính $T (x)$ tại vài mốc $x$ tròn chục quanh giá trị cần tìm, quan sát quy luật tăng đều 1 734 đồng mỗi kWh để xác định đúng $x$ cho $T (x) = 144590$ .

T (80) = 1734 \cdot 80 - 2800 = 136120

T (90) = 1734 \cdot 90 - 2800 = 153260

144590

nằm giữa hai giá trị trên

(144590 - 136120) : 1734 = 5

x = 80 + 5 = 85

Vậy a) $T (90) = 153260$ đồng; b) $x = 85$ kWh, khớp hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: giải phương trình bậc nhất trực tiếp là chắc chắn nhất, không phụ thuộc kết quả câu trước nên không bị sai dây chuyền.

Đáp số. a) 153 260 đồng. b) 85 kWh.

Sai lầm thường gặp. Ở câu b) có bạn quên đổi dấu khi chuyển

- 2800

sang vế phải, viết nhầm

1734 x = 144590 - 2800 = 141790

dẫn tới

x

không phải số nguyên; phải cộng

2800

vào cả hai vế cho đúng dấu.

🚀 Mở rộng. Với công thức tổng quát

T (x) = a x + b

(

a > 0

), nếu biết

T (x_{0})

tại một mốc thì luôn tìm nhanh

x

ứng với

T (x)

khác bằng công thức

x = x_{0} + \frac{T ( x ) - T ( x _{0} )}{a}

như Cách 2, không cần giải lại phương trình từ đầu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 7.36★★Trang 56— Vẽ đồ thị hai hàm số bậc nhất và tìm toạ độ giao điểm

Bài 7.36 (trang 56). Cho hai hàm số

y = 2 x - 1

và

y = - x + 2

.
a) Trong cùng mặt phẳng toạ độ

O x y

, vẽ đồ thị của hai hàm số đã cho.
b) Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị trên.

Kiến thức cần nhớ

Đồ thị hàm số $y = a x + b$ ( $a \neq = 0$ ) là một đường thẳng, vẽ nhanh nhất bằng hai điểm đặc biệt.
Toạ độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm chung của hai phương trình, tìm được bằng cách cho hai vế phải bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Hai hàm số đều là hàm bậc nhất, có hệ số góc khác nhau (

2 \neq = - 1

) nên đồ thị chắc chắn cắt nhau tại đúng một điểm — không nhất thiết phải vẽ hình mới tìm được toạ độ giao điểm, chỉ cần cho hai vế phải của hai công thức bằng nhau. Bẫy hay gặp là quên thế lại kết quả vào cả hai công thức để kiểm tra khớp.

1Cách 1. Giải phương trình hoành độ giao điểm

Định hướng. Vẽ mỗi đường thẳng bằng hai giao điểm với trục toạ độ, sau đó tìm hoành độ giao điểm bằng cách cho hai công thức hàm số bằng nhau.

y = 2 x - 1

x = 0 \Rightarrow y = - 1

;

y = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}

y = - x + 2

x = 0 \Rightarrow y = 2

;

y = 0 \Rightarrow x = 2

2 x - 1 = - x + 2

2 x + x = 2 + 1

3 x = 3

x = 1

y = 2 \cdot 1 - 1 = 1

Vậy hai đồ thị cắt nhau tại điểm $I (1; 1)$ .

2Cách 2. Đọc toạ độ giao điểm trên đồ thị đã vẽ

Định hướng. Dựa vào hai đường thẳng đã vẽ chính xác ở câu a), đọc trực tiếp toạ độ điểm chung của chúng rồi thế lại vào cả hai công thức để kiểm chứng.

Quan sát đồ thị: hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có hoành độ

1

, tung độ

1

Kiểm tra:

2 \cdot 1 - 1 = 1

(đúng với

y = 2 x - 1

)

- 1 + 2 = 1

(đúng với

y = - x + 2

)

Vậy giao điểm là $I (1; 1)$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Lập bảng giá trị rồi so sánh trực tiếp

Định hướng. Tính $y$ của cả hai hàm số tại vài giá trị $x$ nguyên liên tiếp, tìm $x$ làm hai giá trị $y$ trùng nhau.

x = 0

y_{1} = - 1

y_{2} = 2

(chưa bằng nhau)

x = 1

y_{1} = 2 \cdot 1 - 1 = 1

y_{2} = - 1 + 2 = 1

(bằng nhau)

x = 2

y_{1} = 3

y_{2} = 0

(đã đổi dấu hiệu, chỉ có một giao điểm)

Vậy tại $x = 1$ hai hàm số cùng cho $y = 1$ , nên giao điểm là $I (1; 1)$ , khớp hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: giải phương trình hoành độ giao điểm cho kết quả chính xác tuyệt đối, không phụ thuộc độ chính xác của hình vẽ như Cách 2.

Đáp số. Giao điểm của hai đồ thị là

I (1; 1)

Sai lầm thường gặp. Có bạn quên đổi dấu khi chuyển

- x

sang vế trái, viết nhầm

2 x - x = 2 - 1

thành

2 x - x = 1 - 2

, dẫn tới

x = - 1

sai; phải chuyển vế cẩn thận: hạng chứa

x

sang một vế, hằng số sang vế kia, đổi dấu số hạng khi chuyển vế.

🚀 Mở rộng. Với hai hàm số bậc nhất bất kỳ

y = a_{1} x + b_{1}

và

y = a_{2} x + b_{2}

có

a_{1} \neq = a_{2}

, hoành độ giao điểm luôn tính được bằng công thức tổng quát

x = \frac{b _{2} - b _{1}}{a _{1} - a _{2}}

suy trực tiếp từ Cách 1.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 7.37★★★Trang 56— Tìm tham số m để đồ thị hàm số bậc nhất thoả điều kiện cho trước

Bài 7.37 (trang 56). Cho hàm số bậc nhất

y = (3 - m) x + 2 m + 1

.
Tìm các giá trị của

m

để đồ thị của hàm số đã cho là:
a) Đường thẳng đi qua điểm

(1; 2)

.
b) Đường thẳng cắt đường thẳng

y = x + 1

tại một điểm nằm trên trục tung.

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $y = a x + b$ là hàm bậc nhất khi và chỉ khi $a \neq = 0$ .
Đồ thị hàm số $y = a x + b$ đi qua điểm $(x_{0}; y_{0})$ khi và chỉ khi $y_{0} = a x_{0} + b$ .
Điểm nằm trên trục tung có hoành độ bằng $0$ ; giá trị hàm số tại $x = 0$ chính là tung độ gốc.

🧠 Phân tích tư duy

Hàm số có tham số

m

trong cả hệ số góc

3 - m

lẫn tung độ gốc

2 m + 1

, nên trước tiên phải có điều kiện

3 - m \neq = 0

để đây thực sự là hàm bậc nhất. Câu a) cho hẳn một điểm nên chỉ cần thế toạ độ vào công thức. Câu b) chìa khoá là nhận ra: giao điểm nằm trên trục tung nghĩa là hoành độ giao điểm bằng

0

, mà tại

x = 0

giá trị hàm số chính là tung độ gốc — nên quy về so sánh hai tung độ gốc thay vì giải hệ phức tạp.

1Cách 1. Thế toạ độ điểm; xét tung độ gốc cho câu b

Định hướng. Câu a) thế $x = 1$ , $y = 2$ vào công thức. Câu b) giao điểm trên trục tung có hoành độ $0$ ; tại $x = 0$ , đường thẳng $y = x + 1$ cho $y = 1$ còn hàm số đã cho cho $y = 2 m + 1$ — hai giá trị này phải bằng nhau.

2 = (3 - m) \cdot 1 + 2 m + 1

2 = 3 - m + 2 m + 1

2 = m + 4

m = - 2

2 m + 1 = 1

2 m = 0

m = 0

Vậy a) $m = - 2$ (thoả $3 - m = 5 \neq = 0$ ); b) $m = 0$ (thoả $3 - m = 3 \neq = 0$ ).

2Cách 2. Giải phương trình hoành độ giao điểm tổng quát theo m

Định hướng. Với câu b), không dùng nhận xét đặc thù mà giải trực tiếp phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng theo $m$ , rồi cho hoành độ đó bằng $0$ .

(3 - m) x + 2 m + 1 = x + 1

(3 - m) x - x = 1 - 2 m - 1

(2 - m) x = - 2 m

x = \frac{- 2 m}{2 - m}

(với

m \neq = 2

)
Cho

x = 0

\frac{- 2 m}{2 - m} = 0 \Rightarrow - 2 m = 0 \Rightarrow m = 0

Vậy b) $m = 0$ , khớp Cách 1 (đồng thời thoả $3 - m \neq = 0$ và $2 - m \neq = 0$ ).

3Cách 3. Thử lại bằng cách thay trực tiếp giá trị m vừa tìm

Định hướng. Thay $m = 0$ vào công thức gốc để được hai đường thẳng cụ thể, rồi tìm giao điểm của chúng bằng phương trình hoành độ giao điểm để kiểm chứng giao điểm thật sự nằm trên trục tung.

Với

m = 0

y = (3 - 0) x + 2 \cdot 0 + 1 = 3 x + 1

Giao với

y = x + 1

3 x + 1 = x + 1

2 x = 0

x = 0, y = 1

Vậy với $m = 0$ , giao điểm là $(0; 1)$ — đúng nằm trên trục tung, khẳng định lại Cách 1 và Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: so sánh trực tiếp hai tung độ gốc tại

x = 0

ngắn hơn hẳn việc giải phương trình hoành độ giao điểm tổng quát của Cách 2.

Đáp số. a)

m = - 2

. b)

m = 0

Sai lầm thường gặp. Có bạn quên điều kiện

3 - m \neq = 0

(để hàm số đã cho thực sự là hàm bậc nhất) khi kết luận, dẫn tới không loại được trường hợp

m = 3

nếu nó lỡ xuất hiện trong quá trình biến đổi; luôn phải đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện

m \neq = 3

🚀 Mở rộng. Nếu đổi câu b) thành "cắt đường thẳng

y = x + 1

tại một điểm nằm trên trục hoành" thì lại cần điều kiện tung độ giao điểm bằng

0

, tức tìm

m

sao cho nghiệm của

(3 - m) x + 2 m + 1 = 0

trùng với nghiệm của

x + 1 = 0

(tức

x = - 1

), cách làm hoàn toàn tương tự Cách 2.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 7.38★★★Trang 56— Xác định công thức hàm số bậc nhất từ đồ thị rồi giải phương trình f(x) = k

Bài 7.38 (trang 56). Cho đồ thị của một hàm số bậc nhất

y = f (x)

như Hình 7.18.
Hãy giải các phương trình sau:
a)

f (x) = 70

;
b)

f (x) = 95

;
c)

f (x) = 0

Kiến thức cần nhớ

Hàm số bậc nhất qua hai điểm $(x_{1}; y_{1})$ , $(x_{2}; y_{2})$ có hệ số góc $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .
Giải phương trình $f (x) = k$ với $f (x) = a x + b$ tức là giải $a x + b = k$ .
Trên đồ thị, nghiệm của $f (x) = k$ là hoành độ của điểm có tung độ bằng $k$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đồ thị đã đánh dấu sẵn ba điểm với toạ độ cụ thể — dấu hiệu để xác định công thức

f (x) = a x + b

bằng hai trong ba điểm đó, sau đó "giải phương trình

f (x) = k

" chỉ là tìm

x

khi biết

y = k

. Điều thú vị là ba điểm cho trước có tung độ đúng bằng

0

70

95

— trùng khít với ba giá trị cần giải ở câu a, b, c, nên bài toán thực chất là đọc ngược lại hoành độ của các điểm đã đánh dấu.

1Cách 1. Xác định công thức f(x) rồi giải phương trình đại số

Định hướng. Dùng hai điểm $(- 40; 0)$ và $(30; 70)$ để tìm hệ số góc và tung độ gốc của $f (x) = a x + b$ , rồi giải từng phương trình.

a = \frac{70 - 0}{30 - ( - 40 )} = \frac{70}{70} = 1

0 = 1 \cdot (- 40) + b \Rightarrow b = 40

f (x) = x + 40

x + 40 = 70 \Rightarrow x = 30

x + 40 = 95 \Rightarrow x = 55

x + 40 = 0 \Rightarrow x = - 40

Vậy a) $x = 30$ ; b) $x = 55$ ; c) $x = - 40$ .

2Cách 2. Đọc trực tiếp trên đồ thị

Định hướng. Với mỗi giá trị $f (x)$ cho trước, dóng ngang từ trục tung tới đường thẳng $y = f (x)$ rồi dóng xuống trục hoành để đọc $x$ .

a) Từ

y = 70

dóng ngang gặp đường thẳng tại điểm đã đánh dấu

(30; 70)

, dóng xuống được

x = 30

b) Từ

y = 95

gặp điểm

(55; 95)

, dóng xuống được

x = 55

c) Từ

y = 0

gặp điểm

(- 40; 0)

, dóng xuống được

x = - 40

Vậy a) $x = 30$ ; b) $x = 55$ ; c) $x = - 40$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Suy luận theo hệ số góc từ một mốc đã biết

Định hướng. Từ hệ số góc $a = 1$ tìm được ở Cách 1 và mốc $(30; 70)$ , mỗi đơn vị $x$ tăng thì $f (x)$ tăng đúng $1$ đơn vị; dùng tỉ lệ này để suy $x$ từ độ lệch của $f (x)$ so với mốc mà không cần giải lại phương trình.

f (x) - 70 = 70 - 70 = 0 \Rightarrow x = 30 + 0 = 30

f (x) - 70 = 95 - 70 = 25 \Rightarrow x = 30 + 25 = 55

f (x) - 70 = 0 - 70 = - 70 \Rightarrow x = 30 + (- 70) = - 40

Vậy a) $x = 30$ ; b) $x = 55$ ; c) $x = - 40$ , khớp hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: khi đồ thị đã đánh dấu sẵn đúng các điểm cần tìm thì đọc trực tiếp là nhanh nhất, khỏi mất công lập công thức như Cách 1.

Đáp số. a)

x = 30

. b)

x = 55

. c)

x = - 40

Sai lầm thường gặp. Có bạn tính hệ số góc bị đảo ngược tử số và mẫu số, viết

a = \frac{30 - ( - 40 )}{70 - 0}

thay vì

a = \frac{70 - 0}{30 - ( - 40 )}

, dẫn tới công thức

f (x)

sai hẳn; phải nhớ hệ số góc là hiệu tung độ chia cho hiệu hoành độ, đúng thứ tự tương ứng.

🚀 Mở rộng. Nếu đề chỉ cho hai điểm không tròn số như

(- 40; 0)

và

(55; 95)

(bỏ điểm giữa

(30; 70)

), cách làm y hệt Cách 1 vẫn áp dụng được, chỉ khác số liệu khi tính hệ số góc.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 7.39★★Trang 56— Tính giá trị hàm số và giải phương trình tìm biến từ một tình huống thực tế (giá cước taxi)

Bài 7.39 (trang 56). Giá cước taxi của một hãng xe taxi khi quãng đường di chuyển

x

(km) trong khoảng từ trên 1 km đến 30 km được cho bởi công thức sau:

T (x) = 10000 + 13600 \cdot (x - 1)

(đồng).
a) Tính số tiền phải trả khi xe di chuyển 20 km.
b) Nếu một hành khách phải trả 200 400 đồng thì hành khách đó đã di chuyển bao nhiêu kilômét?

Kiến thức cần nhớ

Giá trị hàm số tại $x = x_{0}$ tính bằng cách thế trực tiếp $x_{0}$ vào công thức.
Giải phương trình bậc nhất một ẩn dạng $a + b (x - 1) = c$ bằng cách phá ngoặc hoặc đặt ẩn phụ $t = x - 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Công thức có dạng

10000 + 13600 (x - 1)

gồm phí mở cửa cố định

10000

đồng cộng phần tính theo số km vượt quá km đầu tiên. Câu a) thế trực tiếp

x = 20

. Câu b) ngược lại, biết

T (x)

phải tìm

x

— có thể phá ngoặc giải phương trình như bình thường, hoặc đặt ẩn phụ

t = x - 1

cho gọn hơn vì khi đó phương trình chỉ còn

10000 + 13600 t = 200400

, không phải phá ngoặc.

1Cách 1. Thế số trực tiếp và phá ngoặc giải phương trình

Định hướng. Câu a) thế $x = 20$ vào công thức; câu b) phá ngoặc, chuyển vế để giải phương trình ẩn $x$ .

T (20) = 10000 + 13600 \cdot (20 - 1)

T (20) = 10000 + 13600 \cdot 19

T (20) = 10000 + 258400

T (20) = 268400

10000 + 13600 (x - 1) = 200400

13600 (x - 1) = 190400

x - 1 = 14

x = 15

Vậy a) số tiền phải trả là 268 400 đồng; b) hành khách đã di chuyển 15 km.

2Cách 2. Đặt ẩn phụ t = x − 1 cho phương trình gọn hơn

Định hướng. Đặt $t = x - 1$ (số km vượt quá km đầu tiên), phương trình trở thành bậc nhất đơn giản với $t$ , giải xong rồi cộng $1$ để ra $x$ .

Đặt

t = x - 1

10000 + 13600 t = 200400

13600 t = 190400

t = 14

x = t + 1 = 15

Vậy b) $x = 15$ km, khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng tỉ lệ tăng của hàm số đồng biến

Định hướng. Vì hệ số $13600 > 0$ , cứ mỗi km vượt quá km đầu tiên thì cước tăng thêm đúng 13 600 đồng; từ mốc phí mở cửa $10000$ đồng ứng với $x = 1$ , suy trực tiếp số km từ số tiền chênh lệch.

Chênh lệch so với phí mở cửa:

200400 - 10000 = 190400

Số km vượt quá km đầu:

190400 : 13600 = 14

x = 1 + 14 = 15

Vậy b) $x = 15$ km, khớp hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đặt

t = x - 1

biến phương trình có ngoặc thành phương trình bậc nhất quen thuộc, tránh sai sót khi phá ngoặc trực tiếp.

Đáp số. a) 268 400 đồng. b) 15 km.

Sai lầm thường gặp. Có bạn quên trừ đi phí mở cửa 10 000 đồng trước khi chia cho 13 600, viết nhầm

x - 1 = 200400 : 13600

dẫn tới đáp số sai; phải chuyển

10000

sang vế phải trước, chỉ còn phần

13600 (x - 1)

mới được chia.

🚀 Mở rộng. Với công thức cước taxi tổng quát

T (x) = c + k (x - 1)

(

c

: phí mở cửa,

k

: đơn giá mỗi km tiếp theo), số km luôn tính nhanh bằng

x = 1 + \frac{T ( x ) - c}{k}

như Cách 3, không cần giải lại phương trình từ đầu mỗi lần đổi số tiền.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 7.40★★★Trang 56— Lập hàm số bậc nhất mô tả khấu hao đường thẳng rồi tính giá trị và giải phương trình

Bài 7.40 (trang 56). Trong lí thuyết tài chính, giá trị sổ sách là giá trị của một tài sản mà công ty sử dụng để xây dựng bảng cân đối kế toán của mình. Một số công ty khấu hao tài sản của họ bằng cách sử dụng phương pháp khấu hao đường thẳng để giá trị của tài sản giảm một lượng cố định mỗi năm. Mức suy giảm phụ thuộc vào thời gian sử dụng hữu ích mà công ty đặt vào tài sản đó.
Giả sử một công ty vừa mua một chiếc máy photocopy mới với giá 18 triệu đồng. Công ty lựa chọn cách tính khấu hao chiếc máy photocopy này theo phương pháp khấu hao đường thẳng trong thời gian 3 năm, tức là mỗi năm giá trị của chiếc máy photocopy sẽ giảm

18 : 3 = 6

triệu đồng.
a) Viết hàm số bậc nhất biểu thị giá trị sổ sách

V (x)

của máy photocopy dưới dạng một hàm số theo thời gian sử dụng

x

(năm) của nó.
b) Vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất

y = V (x)

.
c) Giá trị sổ sách của máy photocopy sau 2 năm sử dụng là bao nhiêu?
d) Sau thời gian sử dụng là bao lâu thì máy photocopy có giá trị sổ sách là 9 triệu đồng?

Kiến thức cần nhớ

Khấu hao đường thẳng: giá trị tài sản giảm đều mỗi năm một lượng cố định, cho hàm số bậc nhất $V (x) = V_{0} - k x$ .
Đồ thị hàm số bậc nhất vẽ nhanh nhất bằng hai điểm đặc biệt, ở đây là $(0; 18)$ và $(3; 0)$ .
Giải phương trình $V (x) = k$ bằng cách chuyển vế, chia cho hệ số của $x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã tính sẵn mức giảm mỗi năm là 6 triệu đồng — dấu hiệu để lập hàm số bậc nhất

V (x) = 18 - 6 x

với hệ số góc âm (giá trị giảm dần). Câu c) chỉ là thế số, câu d) là bài toán ngược: biết

V (x)

tìm

x

. Bẫy hay gặp là quên điều kiện

0 ⩽ x ⩽ 3

(chỉ khấu hao trong 3 năm), nếu tính ra

x

ngoài khoảng này thì vô lí về mặt thực tế.

1Cách 1. Lập luận trực tiếp theo nghĩa thực tế rồi giải phương trình

Định hướng. Giá trị ban đầu 18 triệu đồng, mỗi năm giảm 6 triệu đồng, nên sau $x$ năm giá trị còn lại là $18 - 6 x$ ; từ đó tính câu c) bằng cách thế số, câu d) bằng cách giải phương trình.

V (x) = 18 - 6 x

(triệu đồng), với

0 ⩽ x ⩽ 3

V (2) = 18 - 6 \cdot 2 = 18 - 12 = 6

18 - 6 x = 9

6 x = 9

x = 1, 5

Vậy a) $V (x) = 18 - 6 x$ ; c) sau 2 năm giá trị còn 6 triệu đồng; d) sau 1,5 năm thì giá trị còn 9 triệu đồng.

Nhận xét. b) Vẽ đồ thị bằng hai điểm $(0; 18)$ và $(3; 0)$ , nối lại được đoạn thẳng biểu diễn $V (x)$ trên miền $0 ⩽ x ⩽ 3$ .

2Cách 2. Dùng công thức tổng quát của khấu hao đường thẳng

Định hướng. Áp dụng công thức tổng quát $V (x) = V_{0} - k x$ với $V_{0} = 18$ (giá trị ban đầu), $k = 6$ (mức giảm mỗi năm), rồi thế số cho câu c) và giải phương trình cho câu d).

V (x) = V_{0} - k x = 18 - 6 x

V (2) = 18 - 6 \cdot 2 = 6

d) Từ

18 - 9 = 9

, số triệu cần giảm là

9

x = 9 : 6 = 1, 5

Vậy a) $V (x) = 18 - 6 x$ ; c) 6 triệu đồng; d) 1,5 năm, khớp Cách 1.

3Cách 3. Xác định hai điểm đặc biệt rồi viết phương trình đường thẳng qua hai điểm

Định hướng. Đồ thị đi qua điểm $(0; 18)$ (lúc mới mua) và điểm $(3; 0)$ (hết khấu hao sau 3 năm); viết phương trình đường thẳng qua hai điểm này để kiểm chứng lại công thức, rồi trả lời câu c), d) bằng cách đọc trên đồ thị.

Hệ số góc:

a = \frac{0 - 18}{3 - 0} = - 6

V (x) - 18 = - 6 (x - 0)

V (x) = 18 - 6 x

c) Dóng

x = 2

lên đồ thị được

V (2) = 6

d) Dóng

y = 9

sang đồ thị được

x = 1, 5

Vậy a) $V (x) = 18 - 6 x$ ; c) 6 triệu đồng; d) 1,5 năm, khớp hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập luận trực tiếp theo nghĩa thực tế (giảm đều mỗi năm) cho công thức nhanh nhất, không cần nhớ công thức tổng quát như Cách 2.

Đáp số. a)

V (x) = 18 - 6 x

(triệu đồng,

0 ⩽ x ⩽ 3

). b) Đồ thị là đoạn thẳng nối

(0; 18)

và

(3; 0)

. c) 6 triệu đồng. d) 1,5 năm.

Sai lầm thường gặp. Có bạn viết nhầm dấu hệ số góc thành

V (x) = 18 + 6 x

(giá trị tăng thay vì giảm), trái với bản chất khấu hao; phải nhớ giá trị tài sản giảm dần nên hệ số góc phải âm.

🚀 Mở rộng. Nếu công ty chọn khấu hao trong 6 năm thay vì 3 năm (mỗi năm giảm

18 : 6 = 3

triệu đồng), hàm số trở thành

V (x) = 18 - 3 x

với

0 ⩽ x ⩽ 6

— cùng cách lập luận như Cách 1 nhưng hệ số góc thoải hơn, đồ thị dốc ít hơn.

Mở bài này trong app ↗