Chương I. Đa thức

Luyện tập chung

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Bài 1.33★★Trang 25— Thu gọn đa thức nhiều biến, chứng tỏ không phụ thuộc vào một biến

Bài 1.33 (trang 25). Cho biểu thức

P = 5 x (3 x^{2} y - 2 x y^{2} + 1) - 3 x y (5 x^{2} - 3 x y) + x^{2} y^{2}

. a) Bằng cách thu gọn, chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức

P

chỉ phụ thuộc vào biến

x

mà không phụ thuộc vào biến

y

. b) Tìm giá trị của

x

sao cho

P = 10

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các kết quả.
Đa thức không phụ thuộc vào một biến khi sau khi thu gọn, mọi hạng tử chứa biến đó triệt tiêu hết.

1Cách 1. Nhân phá ngoặc rồi thu gọn các hạng tử đồng dạng.

Định hướng. Nhân từng đơn thức với đa thức trong ngoặc để đưa $P$ về dạng tổng các đơn thức, thu gọn các hạng tử đồng dạng để thấy phần chứa $y$ triệt tiêu hết.

P = 5 x \cdot 3 x^{2} y + 5 x \cdot (- 2 x y^{2}) + 5 x \cdot 1 - 3 x y \cdot 5 x^{2} - 3 x y \cdot (- 3 x y) + x^{2} y^{2}

= 15 x^{3} y - 10 x^{2} y^{2} + 5 x - 15 x^{3} y + 9 x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2}

= (15 x^{3} y - 15 x^{3} y) + (- 10 x^{2} y^{2} + 9 x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2}) + 5 x = 5 x

.
b) Với

P = 10

ta có

5 x = 10

, suy ra

x = 10 : 5 = 2

Vậy a) $P = 5 x$ , chỉ phụ thuộc vào biến $x$ , không phụ thuộc vào biến $y$ ; b) $x = 2$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay hai giá trị khác nhau của $y$ với cùng $x$ vào biểu thức ban đầu để kiểm tra $P$ không đổi theo $y$ , rồi thay trực tiếp $x = 2$ để kiểm tra $P = 10$ .

Với

x = 1, y = 1

P = 5 \cdot 1 \cdot (3 - 2 + 1) - 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (5 - 3) + 1 = 10 - 6 + 1 = 5

.
Với

x = 1, y = 2

P = 5 \cdot 1 \cdot (6 - 8 + 1) - 3 \cdot 1 \cdot 2 \cdot (5 - 6) + 4 = - 5 + 6 + 4 = 5

, giá trị của

P

không đổi khi

y

thay đổi.
Với

x = 2, y = 0

P = 5 \cdot 2 \cdot (0 - 0 + 1) - 3 \cdot 2 \cdot 0 \cdot (20 - 0) + 0 = 10

Vậy kết quả thay số khớp với Cách 1: $P$ không phụ thuộc vào $y$ và tại $x = 2$ thì $P = 10$ .

Đáp số. a)

P = 5 x

, không phụ thuộc vào

y

; b)

x = 2

Sai lầm thường gặp. Nhân sai dấu khi phá ngoặc số hạng

- 3 x y (5 x^{2} - 3 x y)

, hoặc quên gộp hết các hạng tử chứa

y

nên nhầm tưởng

P

vẫn phụ thuộc vào

y

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 25

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 1.34★★★Trang 25— Rút gọn tổng của một tích hai đa thức và một thương đa thức cho đơn thức

Bài 1.34 (trang 25). Rút gọn biểu thức:

(3 x^{2} - 5 x y - 4 y^{2}) \cdot (2 x^{2} + y^{2}) + (2 x^{4} y - x^{3} y^{3} - x^{2} y^{4}) : (\frac{1}{5} x y)

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân từng hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các kết quả.
Muốn chia đa thức cho đơn thức, ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức rồi cộng các kết quả.

1Cách 1. Nhân đa thức và chia đa thức riêng biệt rồi cộng, thu gọn.

Định hướng. Tính riêng tích hai đa thức và thương của đa thức cho đơn thức $\frac{1}{5} x y$ , sau đó cộng hai kết quả và thu gọn các hạng tử đồng dạng.

(3 x^{2} - 5 x y - 4 y^{2}) (2 x^{2} + y^{2}) = 6 x^{4} + 3 x^{2} y^{2} - 10 x^{3} y - 5 x y^{3} - 8 x^{2} y^{2} - 4 y^{4}

= 6 x^{4} - 10 x^{3} y - 5 x^{2} y^{2} - 5 x y^{3} - 4 y^{4}

(2 x^{4} y - x^{3} y^{3} - x^{2} y^{4}) : \frac{1}{5} x y = 10 x^{3} - 5 x^{2} y^{2} - 5 x y^{3}

.
Tổng:

6 x^{4} - 10 x^{3} y - 5 x^{2} y^{2} - 5 x y^{3} - 4 y^{4} + 10 x^{3} - 5 x^{2} y^{2} - 5 x y^{3}

= 6 x^{4} - 10 x^{3} y + 10 x^{3} - 10 x^{2} y^{2} - 10 x y^{3} - 4 y^{4}

Vậy biểu thức rút gọn bằng $6 x^{4} - 10 x^{3} y + 10 x^{3} - 10 x^{2} y^{2} - 10 x y^{3} - 4 y^{4}$ .

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay một cặp giá trị cụ thể của $x, y$ vào biểu thức ban đầu và vào kết quả đã rút gọn để đối chiếu.

Với

x = 1, y = 2

: biểu thức ban đầu

= (3 - 10 - 16) (2 + 4) + (4 - 8 - 16) : \frac{2}{5} = (- 23) \cdot 6 + (- 20) : 0, 4 = - 138 - 50 = - 188

.
Kết quả đã rút gọn tại

x = 1, y = 2

6 - 20 + 10 - 40 - 80 - 64 = - 188

Vậy hai giá trị bằng nhau, xác nhận kết quả rút gọn ở Cách 1 là đúng.

Đáp số.

6 x^{4} - 10 x^{3} y + 10 x^{3} - 10 x^{2} y^{2} - 10 x y^{3} - 4 y^{4}

Sai lầm thường gặp. Quên đổi dấu khi nhân đa thức với đa thức (nhất là hạng tử

- 5 x y \cdot y^{2}

- 4 y^{2} \cdot 2 x^{2}

), hoặc tính sai phép chia cho

\frac{1}{5} x y

do quên đưa về phép nhân với

\frac{5}{x y}

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 25

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 1.35★★Trang 26— Lập đa thức từ bài toán thực tế bằng phép nhân hai đa thức

Bài 1.35 (trang 26). Bà Khanh dự định mua

x

hộp sữa, mỗi hộp giá

y

đồng. Nhưng khi đến cửa hàng, bà Khanh thấy giá sữa đã giảm

1500

đồng mỗi hộp nên quyết định mua thêm

3

hộp nữa. Tìm đa thức biểu thị số tiền bà Khanh phải trả cho tổng số hộp sữa đã mua.

Kiến thức cần nhớ

Số tiền phải trả bằng số hộp thực mua nhân với giá tiền một hộp sau khi thay đổi.
Nhân hai đa thức: nhân từng hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các kết quả.

1Cách 1. Lập đa thức số hộp và giá mới rồi nhân hai đa thức.

Định hướng. Viết đa thức biểu thị số hộp thực mua và giá tiền mỗi hộp sau khi giảm, rồi nhân hai đa thức đó để được số tiền phải trả.

Số hộp sữa bà Khanh thực mua là

x + 3

(hộp).
Giá tiền mỗi hộp sau khi giảm là

y - 1500

(đồng).
Số tiền bà Khanh phải trả là

(x + 3) (y - 1500) = x y - 1500 x + 3 y - 4500

(đồng).

Vậy đa thức biểu thị số tiền bà Khanh phải trả là $x y - 1500 x + 3 y - 4500$ (đồng).

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo theo tình huống thực tế.

Định hướng. Thay một cặp giá trị cụ thể của $x, y$ , tính trực tiếp số tiền theo nghĩa thực tế của bài toán rồi so sánh với đa thức đã lập.

Với

x = 10

và

y = 20000

(đồng): số hộp thực mua là

10 + 3 = 13

(hộp), giá mỗi hộp còn

20000 - 1500 = 18500

(đồng), số tiền thực tế là

13 \cdot 18500 = 240500

(đồng).
Thay

x = 10, y = 20000

vào đa thức

x y - 1500 x + 3 y - 4500

được

10 \cdot 20000 - 1500 \cdot 10 + 3 \cdot 20000 - 4500 = 240500

(đồng).

Vậy kết quả thay số khớp với Cách 1, khẳng định đa thức $x y - 1500 x + 3 y - 4500$ là đúng.

Đáp số.

x y - 1500 x + 3 y - 4500

(đồng).

Sai lầm thường gặp. Viết nhầm giá tiền mới thành

y + 1500

thay vì

y - 1500

(nhầm giảm giá thành tăng giá), hoặc quên cộng thêm

3

hộp vào số hộp thực mua.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 26

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 1.36★★Trang 26— Tìm đơn thức chưa biết từ đẳng thức chia, kết hợp chia đa thức cho đơn thức

Bài 1.36 (trang 26). a) Tìm đơn thức

B

nếu

4 x^{3} y^{2} : B = - 2 x y

. b) Với đơn thức

B

tìm được ở câu a, hãy tìm đơn thức

H

để

(4 x^{3} y^{2} - 3 x^{2} y^{3}) : B = - 2 x y + H

Kiến thức cần nhớ

Nếu $A : B = Q$ ( $B \neq = 0$ ) thì $B = A : Q$ .
Muốn chia đa thức cho đơn thức, ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức rồi cộng các kết quả.

1Cách 1. Suy luận quan hệ chia rồi chia đa thức cho B.

Định hướng. Từ đẳng thức phép chia ở câu a suy ra $B$ bằng số bị chia chia cho thương; sau đó dùng $B$ vừa tìm để chia đa thức ở câu b theo từng hạng tử.

a) Từ

4 x^{3} y^{2} : B = - 2 x y

suy ra

B = 4 x^{3} y^{2} : (- 2 x y) = - 2 x^{2} y

.
b) Với

B = - 2 x^{2} y

(4 x^{3} y^{2} - 3 x^{2} y^{3}) : B = (4 x^{3} y^{2} : (- 2 x^{2} y)) + (- 3 x^{2} y^{3} : (- 2 x^{2} y)) = - 2 x y + \frac{3}{2} y^{2}

.
Vì

(4 x^{3} y^{2} - 3 x^{2} y^{3}) : B = - 2 x y + H

nên

H = \frac{3}{2} y^{2}

Vậy a) $B = - 2 x^{2} y$ ; b) $H = \frac{3}{2} y^{2}$ .

2Cách 2. Thử lại bằng phép nhân ngược.

Định hướng. Nhân $B$ với thương $- 2 x y$ để kiểm tra câu a; nhân $B$ với $(- 2 x y + H)$ với $H$ vừa tìm để kiểm tra câu b.

(- 2 x^{2} y) \cdot (- 2 x y) = 4 x^{3} y^{2}

, đúng như đề bài.
b)

(- 2 x^{2} y) \cdot (- 2 x y + \frac{3}{2} y^{2}) = 4 x^{3} y^{2} - 3 x^{2} y^{3}

, đúng bằng đa thức đã cho.

Vậy cả hai kết quả ở Cách 1 đều được kiểm tra đúng: $B = - 2 x^{2} y$ và $H = \frac{3}{2} y^{2}$ .

Đáp số. a)

B = - 2 x^{2} y

; b)

H = \frac{3}{2} y^{2}

Sai lầm thường gặp. Nhầm vai trò số bị chia và số chia khi tìm

B

(lấy

- 2 x y : 4 x^{3} y^{2}

thay vì

4 x^{3} y^{2} : (- 2 x y)

), hoặc quên rằng

H

chỉ là phần còn lại sau khi đã trừ đi

- 2 x y

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 26

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 1.37★★Trang 26— Tìm đơn thức chưa biết từ đẳng thức nhân

Bài 1.37 (trang 26). a) Tìm đơn thức

C

nếu

5 x y^{2} \cdot C = 10 x^{3} y^{3}

. b) Với đơn thức

C

tìm được ở câu a, hãy tìm đơn thức

K

sao cho

(K + 5 x y^{2}) \cdot C = 6 x^{4} y + 10 x^{3} y^{3}

Kiến thức cần nhớ

Nếu $A \cdot C = D$ ( $A \neq = 0$ ) thì $C = D : A$ .
Muốn chia đa thức cho đơn thức, ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức rồi cộng các kết quả.

1Cách 1. Suy luận quan hệ nhân - chia.

Định hướng. Từ đẳng thức nhân ở câu a suy ra $C$ bằng tích chia cho thừa số đã biết; ở câu b, chia hai vế cho $C$ rồi trừ đi $5 x y^{2}$ để tìm $K$ .

a) Từ

5 x y^{2} \cdot C = 10 x^{3} y^{3}

suy ra

C = 10 x^{3} y^{3} : 5 x y^{2} = 2 x^{2} y

.
b) Từ

(K + 5 x y^{2}) \cdot C = 6 x^{4} y + 10 x^{3} y^{3}

và

C = 2 x^{2} y

suy ra

K + 5 x y^{2} = (6 x^{4} y + 10 x^{3} y^{3}) : 2 x^{2} y = 3 x^{2} + 5 x y^{2}

K = 3 x^{2} + 5 x y^{2} - 5 x y^{2} = 3 x^{2}

Vậy a) $C = 2 x^{2} y$ ; b) $K = 3 x^{2}$ .

2Cách 2. Thử lại bằng phép nhân.

Định hướng. Nhân $C$ với thừa số $5 x y^{2}$ để kiểm tra câu a; nhân $C$ với $(K + 5 x y^{2})$ với $K$ vừa tìm để kiểm tra câu b.

5 x y^{2} \cdot 2 x^{2} y = 10 x^{3} y^{3}

, đúng như đề bài.
b)

(3 x^{2} + 5 x y^{2}) \cdot 2 x^{2} y = 6 x^{4} y + 10 x^{3} y^{3}

, đúng bằng vế phải đã cho.

Vậy kết quả kiểm tra lại khớp với Cách 1: $C = 2 x^{2} y$ và $K = 3 x^{2}$ .

Đáp số. a)

C = 2 x^{2} y

; b)

K = 3 x^{2}

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn giữa việc tìm thừa số

C

(dùng phép chia trực tiếp) và tìm

K

(phải chia rồi trừ tiếp

5 x y^{2}

), dẫn đến quên bước trừ khi tìm

K

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 26

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 1.38★★Trang 26— Lập đơn thức từ bài toán chuyển động, so sánh thương hai đơn thức

Bài 1.38 (trang 26). Chuyện rằng Rùa chạy đua với Thỏ. Thỏ chạy nhanh gấp

60

lần rùa, nhưng chỉ sau

t

phút chạy, Thỏ đã dừng lại mặc dù chưa đến đích. Do mải chơi, Thỏ không biết rằng Rùa vẫn cần mẫn chạy liên tục trong

90 t

phút và đến đích trước Thỏ. a) Gọi

v

(m/phút) là vận tốc chạy của Rùa. Hãy viết các đơn thức biểu thị quãng đường mà Thỏ và Rùa đã chạy. b) Hỏi Rùa đã chạy được quãng đường dài gấp bao nhiêu lần quãng đường Thỏ đã chạy?

Kiến thức cần nhớ

Quãng đường bằng vận tốc nhân với thời gian.
So sánh hai đơn thức cùng loại bằng phép chia (lập thương).

1Cách 1. Lập đơn thức quãng đường rồi lập thương.

Định hướng. Viết vận tốc và thời gian chạy của Thỏ, của Rùa theo đề bài, nhân lại để được quãng đường mỗi con đã chạy, rồi lập thương giữa hai quãng đường.

a) Vận tốc của Thỏ là

60 v

(m/phút), thời gian Thỏ chạy là

t

(phút), nên quãng đường Thỏ đã chạy là

60 v \cdot t = 60 v t

(m).
Vận tốc của Rùa là

v

(m/phút), thời gian Rùa chạy là

90 t

(phút), nên quãng đường Rùa đã chạy là

v \cdot 90 t = 90 v t

(m).
b) Tỉ số giữa quãng đường Rùa và quãng đường Thỏ là

90 v t : 60 v t = \frac{90}{60} = \frac{3}{2}

Vậy a) quãng đường Thỏ là $60 v t$ (m), quãng đường Rùa là $90 v t$ (m); b) Rùa chạy được quãng đường dài gấp $\frac{3}{2}$ lần quãng đường Thỏ.

2Cách 2. Thay số kiểm tra chéo.

Định hướng. Thay một cặp giá trị cụ thể của $v, t$ để tính trực tiếp hai quãng đường bằng số, rồi so sánh với tỉ số đã tính ở Cách 1.

Với

v = 10

(m/phút) và

t = 2

(phút): quãng đường Thỏ là

60 \cdot 10 \cdot 2 = 1200

(m); quãng đường Rùa là

10 \cdot 90 \cdot 2 = 1800

(m).
Tỉ số quãng đường Rùa so với Thỏ là

1800 : 1200 = \frac{3}{2}

Vậy kết quả thay số khớp với Cách 1: Rùa chạy được quãng đường dài gấp $\frac{3}{2}$ lần quãng đường Thỏ.

Đáp số. a) Quãng đường Thỏ:

60 v t

(m); quãng đường Rùa:

90 v t

(m). b) Rùa gấp

\frac{3}{2}

lần Thỏ.

Sai lầm thường gặp. Gán nhầm thời gian

t

và

90 t

cho từng con vật, hoặc lập tỉ số ngược (quãng đường Thỏ so với quãng đường Rùa) thay vì tỉ số quãng đường Rùa so với Thỏ như đề yêu cầu.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 26

Mở bài này trong app ↗