Chương II. Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Luyện tập chung

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Bài 2.16★★Trang 41— Tính nhanh giá trị biểu thức bằng hằng đẳng thức

Bài 2.16 (trang 41). Tính nhanh giá trị của biểu thức

x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16}

tại

x = 99, 75

Kiến thức cần nhớ

Bình phương của một tổng: $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ .
Hai chi tiết giúp nhận dạng: $\frac{1}{16} = (\frac{1}{4})^{2}$ và $\frac{1}{2} x = 2 \cdot x \cdot \frac{1}{4}$ .
Nhân cả biểu thức với $16$ để khử mẫu: $16 (x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16}) = 16 x^{2} + 8 x + 1 = (4 x + 1)^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề bảo “tính nhanh” và cho một số lẻ

99, 75

— dấu hiệu chắc chắn phải gấp biểu thức thành hằng đẳng thức chứ không thay số vào tính thô. Ba hạng tử với

x^{2}

đứng đầu và

\frac{1}{16} = (\frac{1}{4})^{2}

đứng cuối gợi ngay dạng

A^{2} + 2 A B + B^{2}

; thử lại hạng tử giữa thấy

2 \cdot x \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} x

— khớp. Bẫy là nhiều bạn thấy phân số liền cộng ba phân số bằng tay, vừa dài vừa dễ sai; giá trị

99, 75

được chọn chỉ vì

99, 75 + 0, 25 = 100

tròn trịa.

1Cách 1. Thay số rồi tính trực tiếp bằng phân số

Định hướng. Đổi $99, 75$ thành phân số để ba hạng tử cùng mẫu $16$ , rồi cộng một lần.

x = 99, 75 = \frac{399}{4}

x^{2} = \frac{39 9 ^{2}}{16} = \frac{159 201}{16}

\frac{1}{2} x = \frac{399}{8} = \frac{798}{16}

x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16} = \frac{159 201}{16} + \frac{798}{16} + \frac{1}{16}

= \frac{159 201 + 798 + 1}{16} = \frac{160 000}{16} = 10000

Vậy giá trị của biểu thức tại $x = 99, 75$ là $10000$ .

2Cách 2. Viết

x = 100 - \frac{1}{4}

rồi khai triển

Định hướng. Tách $99, 75$ thành $100 - \frac{1}{4}$ để mọi phép nhân đều rơi vào số tròn trăm.

x = 99, 75 = 100 - \frac{1}{4}

x^{2} = (100 - \frac{1}{4})^{2} = 10 0^{2} - 2 \cdot 100 \cdot \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^{2} = 10000 - 50 + \frac{1}{16}

\frac{1}{2} x = \frac{1}{2} (100 - \frac{1}{4}) = 50 - \frac{1}{8}

x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16} = 10000 - 50 + \frac{1}{16} + 50 - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}

= 10000 + (\frac{1}{16} + \frac{1}{16} - \frac{1}{8}) = 10000 + 0 = 10000

Vậy giá trị của biểu thức là $10000$ .

3Cách 3. Nhân

16

để khử mẫu rồi dùng hằng đẳng thức

Định hướng. Nhân biểu thức với $16$ thì hết phân số và lộ ra ngay một bình phương với hệ số nguyên.

A = x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16}

16 A = 16 x^{2} + 8 x + 1 = (4 x)^{2} + 2 \cdot 4 x \cdot 1 + 1^{2} = (4 x + 1)^{2}

4 x + 1 = 4 \cdot 99, 75 + 1 = 399 + 1 = 400

16 A = 40 0^{2} = 160000

A = \frac{160 000}{16} = 10000

Vậy giá trị của biểu thức là $10000$ .

4Cách 4. Gấp thẳng thành bình phương của một tổng

Định hướng. Nhận ra ngay biểu thức chính là $(x + \frac{1}{4})^{2}$ thì chỉ còn một phép cộng.

x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^{2} = (x + \frac{1}{4})^{2}

x + \frac{1}{4} = 99, 75 + 0, 25 = 100

(x + \frac{1}{4})^{2} = 10 0^{2} = 10000

Vậy giá trị của biểu thức tại $x = 99, 75$ là $10000$ .

Nhận xét. Bốn cách cùng cho $10000$ ; càng về sau càng ít phép tính vì ta khai thác đúng chỗ đề gài — số $99, 75$ chỉ cách $100$ đúng $\frac{1}{4}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 4: chỉ hai dòng, cả bài gói trong một phép cộng

99, 75 + 0, 25 = 100

nên hầu như không có chỗ để sai; Cách 1 tuy dễ nghĩ nhưng phải bình phương một số có bốn chữ số.

Đáp số.

10000

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là gấp nhầm thành

(x + \frac{1}{2})^{2}

vì thấy hệ số

\frac{1}{2}

ở hạng tử giữa. Phản ví dụ:

(x + \frac{1}{2})^{2} = x^{2} + x + \frac{1}{4}

, khác hẳn

x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16}

— phải nhớ hệ số của

x

là

2 B

chứ không phải

B

, nên

B = \frac{1}{4}

. Lỗi thứ hai là ở Cách 3 tính xong

16 A = 160000

rồi quên chia lại cho

16

, trả lời

160000

🚀 Mở rộng. Tổng quát, mọi biểu thức dạng

x^{2} + 2 b x + b^{2}

đều bằng

(x + b)^{2}

, nên chỉ cần đề cho

x = N - b

là ra ngay

N^{2}

; thử sức với

x^{2} + 0, 4 x + 0, 04

tại

x = 49, 8

, đáp số là

2500

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 41

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 2.17★★★Trang 41— Chứng minh đẳng thức — quy tắc nhẩm bình phương số tận cùng 5

Bài 2.17 (trang 41). Chứng minh đẳng thức

(10 a + 5)^{2} = 100 a (a + 1) + 25

. Từ đó em hãy nêu một quy tắc tính nhẩm bình phương của một số có tận cùng là 5.
Áp dụng: Tính

2 5^{2}

;

3 5^{2}

Kiến thức cần nhớ

Bình phương của một tổng: $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ .
Số tự nhiên có chữ số tận cùng là 5 luôn viết được dưới dạng $10 a + 5$ , với $a$ là số tạo bởi các chữ số còn lại.
Hiệu hai bình phương: $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vế trái là bình phương của một tổng, vế phải đã ở dạng “tích cộng

25

” — dấu hiệu quen thuộc của bài chứng minh đẳng thức: khai triển vế cồng kềnh rồi gom lại cho giống vế kia. Ta đi từ vế trái vì khai triển bao giờ cũng an toàn hơn phân tích ngược. Bẫy nằm ở phần sau: số có tận cùng là 5 luôn viết được thành

10 a + 5

, trong đó

a

là phần đứng TRƯỚC chữ số 5 chứ không phải cả số; hiểu sai chỗ này là nhẩm sai ngay.

1Cách 1. Khai triển vế trái

Định hướng. Bung $(10 a + 5)^{2}$ theo bình phương của một tổng rồi đặt $100 a$ làm nhân tử chung.

(10 a + 5)^{2} = (10 a)^{2} + 2 \cdot 10 a \cdot 5 + 5^{2}

= 100 a^{2} + 100 a + 25

= 100 a (a + 1) + 25

Vậy $(10 a + 5)^{2} = 100 a (a + 1) + 25$ với mọi $a$ .

Quy tắc nhẩm. Muốn bình phương một số có tận cùng là 5, lấy phần đứng trước chữ số 5 (chính là $a$ ) nhân với số liền sau nó là $a + 1$ , rồi viết thêm $25$ vào bên phải kết quả.

2 5^{2} = (10 \cdot 2 + 5)^{2} = 100 \cdot 2 \cdot 3 + 25 = 600 + 25 = 625

3 5^{2} = (10 \cdot 3 + 5)^{2} = 100 \cdot 3 \cdot 4 + 25 = 1200 + 25 = 1225

Vậy $2 5^{2} = 625$ và $3 5^{2} = 1225$ .

2Cách 2. Biến đổi vế phải về vế trái

Định hướng. Bung tích ở vế phải ra rồi ghép ngược lại thành một bình phương.

100 a (a + 1) + 25 = 100 a^{2} + 100 a + 25

= (10 a)^{2} + 2 \cdot 10 a \cdot 5 + 5^{2}

= (10 a + 5)^{2}

Vậy hai vế bằng nhau, đẳng thức được chứng minh.

2 5^{2} = 100 \cdot (2 \cdot 3) + 25 = 625

3 5^{2} = 100 \cdot (3 \cdot 4) + 25 = 1225

Vậy $2 5^{2} = 625$ và $3 5^{2} = 1225$ .

3Cách 3. Dùng hiệu hai bình phương

Định hướng. Chuyển $25$ sang vế trái thì được một hiệu hai bình phương, phân tích thành tích rất gọn.

(10 a + 5)^{2} - 25 = (10 a + 5)^{2} - 5^{2}

= (10 a + 5 - 5) (10 a + 5 + 5)

= 10 a (10 a + 10) = 100 a (a + 1)

(10 a + 5)^{2} = 100 a (a + 1) + 25

Vậy đẳng thức được chứng minh.

2 5^{2} = 100 \cdot 2 \cdot 3 + 25 = 625

3 5^{2} = 100 \cdot 3 \cdot 4 + 25 = 1225

Vậy $2 5^{2} = 625$ và $3 5^{2} = 1225$ .

4Cách 4. Chứng minh bằng diện tích (ghép hình)

Định hướng. Một hình vuông cạnh $10 a + 5$ cắt được thành bốn mảnh; tổng diện tích bốn mảnh chính là vế phải.

S = (10 a + 5)^{2}

S = 10 a \cdot 10 a + 2 \cdot (10 a \cdot 5) + 5 \cdot 5

= 100 a^{2} + 100 a + 25

= 100 a (a + 1) + 25

Vậy đẳng thức được chứng minh, và $2 5^{2} = 100 \cdot 2 \cdot 3 + 25 = 625$ , $3 5^{2} = 100 \cdot 3 \cdot 4 + 25 = 1225$ .

Nhận xét. Nhìn hình cũng thấy vì sao quy tắc lại “viết thêm 25”: phần $100 a (a + 1)$ luôn là bội của $100$ nên không bao giờ lấn sang hai chữ số cuối.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khai triển vế trái chỉ mất một dòng và không phải nghĩ thêm gì; Cách 3 đẹp nhưng phải nhớ tách

25 = 5^{2}

, còn Cách 4 hợp để giải thích cho người khác hiểu bản chất.

Đáp số. Đẳng thức đúng với mọi

a

. Quy tắc: lấy

a

nhân

a + 1

rồi viết

25

vào sau.

2 5^{2} = 625

;

3 5^{2} = 1225

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn hiểu nhầm

a

là chính số cần bình phương, viết

2 5^{2} = 100 \cdot 25 \cdot 26 + 25

— sai hoàn toàn; với số

25

thì

a = 2

. Lỗi thứ hai là viết thêm

5

thay vì

25

, cho ra

3 5^{2} = 125

; phải nhớ hai chữ số cuối luôn là

25

vì

5^{2} = 25

🚀 Mở rộng. Quy tắc này mở rộng được cho hai số cùng chục có tổng hai chữ số hàng đơn vị bằng

10

: nếu

m + n = 10

thì

(10 a + m) (10 a + n) = 100 a (a + 1) + mn

; thử với

43 \cdot 47 = 100 \cdot 4 \cdot 5 + 3 \cdot 7 = 2021

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 41

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 2.18★★Trang 41— Tính nhanh giá trị biểu thức — lập phương của một tổng, một hiệu

Bài 2.18 (trang 41). Tính nhanh giá trị của các biểu thức:
a)

x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1

tại

x = 99

;
b)

x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}

tại

x = 88

và

y = - 12

Kiến thức cần nhớ

Lập phương của một tổng: $(A + B)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$ .
Lập phương của một hiệu: $(A - B)^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$ .
Tổng và hiệu hai lập phương: $A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$ ; $A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai biểu thức đều có bốn hạng tử với bộ hệ số

1; 3; 3; 1

— dấu hiệu kinh điển của lập phương một tổng hoặc một hiệu. Câu a) toàn dấu cộng nên là

(x + 1)^{3}

; câu b) dấu đan xen nên là

(x - y)^{3}

. Ta chọn hướng gấp hằng đẳng thức vì

x + 1

và

x - y

đều bằng

100

tròn trịa. Bẫy là dấu của

y = - 12

: khi đó

x - y = 88 + 12

chứ không phải

88 - 12

1Cách 1. Thay số rồi tính từng hạng tử

Định hướng. Thay thẳng giá trị đã cho vào từng hạng tử rồi cộng lại — cách chắc chắn nhất để đối chiếu kết quả.

x = 99

x^{3} = 9 9^{3} = 970299

3 x^{2} = 3 \cdot 9 9^{2} = 3 \cdot 9801 = 29403

3 x = 3 \cdot 99 = 297

x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 = 970299 + 29403 + 297 + 1 = 1000000

x = 88

;

y = - 12

x^{3} = 8 8^{3} = 681472

- 3 x^{2} y = - 3 \cdot 8 8^{2} \cdot (- 12) = 278784

3 x y^{2} = 3 \cdot 88 \cdot (- 12)^{2} = 3 \cdot 88 \cdot 144 = 38016

- y^{3} = - (- 12)^{3} = 1728

x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} = 681472 + 278784 + 38016 + 1728 = 1000000

Vậy giá trị của biểu thức ở câu a) và câu b) đều bằng $1000000$ .

2Cách 2. Nhóm hạng tử, dùng tổng và hiệu hai lập phương

Định hướng. Tách riêng cặp lập phương ở hai đầu, cặp giữa có nhân tử chung, rồi đặt nhân tử chung một lần nữa.

x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 = (x^{3} + 1) + 3 x (x + 1)

= (x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x + 1)

= (x + 1) (x^{2} - x + 1 + 3 x)

= (x + 1) (x^{2} + 2 x + 1) = (x + 1)^{3}

(99 + 1)^{3} = 10 0^{3} = 1000000

x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} = (x^{3} - y^{3}) - 3 x y (x - y)

= (x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) - 3 x y (x - y)

= (x - y) (x^{2} + x y + y^{2} - 3 x y)

= (x - y) (x^{2} - 2 x y + y^{2}) = (x - y)^{3}

[88 - (- 12)]^{3} = 10 0^{3} = 1000000

Vậy cả hai câu đều cho $1000000$ .

3Cách 3. Nhận dạng ngay hằng đẳng thức lập phương

Định hướng. Đọc bộ hệ số $1; 3; 3; 1$ là gấp được ngay thành lập phương, rồi thay số một lần duy nhất.

x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 = x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^{2} + 1^{3} = (x + 1)^{3}

x + 1 = 99 + 1 = 100

(x + 1)^{3} = 10 0^{3} = 1000000

x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} = (x - y)^{3}

x - y = 88 - (- 12) = 88 + 12 = 100

(x - y)^{3} = 10 0^{3} = 1000000

Vậy a) $1000000$ ; b) $1000000$ .

Nhận xét. Đề chọn $x = 99$ và cặp $(88; - 12)$ chính là để $x + 1$ và $x - y$ cùng bằng $100$ — thấy được ý đồ này thì mỗi câu chỉ còn hai dòng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhận dạng hằng đẳng thức rồi thay số đúng một lần, mỗi câu gói gọn hai dòng; Cách 1 chỉ nên dùng để kiểm tra lại vì phải nhân những số rất lớn.

Đáp số. a)

1000000

. b)

1000000

Sai lầm thường gặp. Lỗi nặng nhất ở câu b) là quên dấu âm của

y

: viết

x - y = 88 - 12 = 76

rồi ra

438976

. Phản ví dụ để nhớ: với

y = - 12

thì

- 3 x^{2} y = - 3 \cdot 8 8^{2} \cdot (- 12)

là số dương, còn nếu

y = 12

thì hạng tử đó lại âm — hai kết quả khác hẳn nhau. Lỗi thứ hai là nhầm dấu hằng đẳng thức, gấp câu b) thành

(x + y)^{3}

🚀 Mở rộng. Tổng quát

x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3} = (x + y)^{3}

, nên đề nào cho

x + y

tròn trăm là nhẩm được ngay; thử với

x^{3} + 21 x^{2} + 147 x + 343

tại

x = 93

, đáp số vẫn là

1000000

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 41

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 2.19★★★Trang 41— Rút gọn biểu thức chứa lập phương của một tổng, một hiệu

Bài 2.19 (trang 41). Rút gọn các biểu thức:
a)

(x - 2)^{3} + (x + 2)^{3} - 6 x (x + 2) (x - 2)

;
b)

(2 x - y)^{3} + (2 x + y)^{3}

Kiến thức cần nhớ

$(A + B)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$ và $(A - B)^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$ .
$(A - B) (A + B) = A^{2} - B^{2}$ .
$A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$ .
Cộng hai hằng đẳng thức lập phương: $(m - n)^{3} + (m + n)^{3} = 2 m^{3} + 6 m n^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai biểu thức đều là tổng lập phương của hai biểu thức đối xứng quanh một biểu thức ở giữa:

x - 2

và

x + 2

lệch nhau

\pm 2

, còn

2 x - y

và

2 x + y

lệch nhau

\pm y

. Dấu hiệu đó cho biết khi cộng hai lập phương, các hạng tử bậc lẻ theo phần lệch sẽ triệt tiêu nên kết quả gọn hơn ta tưởng rất nhiều. Bẫy ở câu a) là hạng tử

- 6 x (x + 2) (x - 2)

: phải thu

(x + 2) (x - 2)

thành

x^{2} - 4

trước, và tuyệt đối giữ dấu trừ ở đằng trước.

1Cách 1. Khai triển từng hạng tử rồi thu gọn

Định hướng. Bung hết các lập phương và tích rồi cộng các hạng tử đồng dạng.

(x - 2)^{3} = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8

(x + 2)^{3} = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8

6 x (x + 2) (x - 2) = 6 x (x^{2} - 4) = 6 x^{3} - 24 x

(x - 2)^{3} + (x + 2)^{3} - 6 x (x + 2) (x - 2)

= (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) + (x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8) - (6 x^{3} - 24 x)

= 2 x^{3} + 24 x - 6 x^{3} + 24 x = - 4 x^{3} + 48 x

(2 x - y)^{3} = 8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} - y^{3}

(2 x + y)^{3} = 8 x^{3} + 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + y^{3}

(2 x - y)^{3} + (2 x + y)^{3} = 16 x^{3} + 12 x y^{2}

Vậy a) $- 4 x^{3} + 48 x$ ; b) $16 x^{3} + 12 x y^{2}$ .

2Cách 2. Dùng tổng hai lập phương

Định hướng. Coi mỗi biểu thức trong ngoặc là một chữ rồi dùng $A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$ ; tổng $A + B$ rất gọn nên phép tính nhẹ hẳn.

A = x - 2

;

B = x + 2

A + B = 2 x

A^{2} + B^{2} = (x^{2} - 4 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) = 2 x^{2} + 8

A B = x^{2} - 4

A^{2} - A B + B^{2} = 2 x^{2} + 8 - (x^{2} - 4) = x^{2} + 12

A^{3} + B^{3} = 2 x (x^{2} + 12) = 2 x^{3} + 24 x

2 x^{3} + 24 x - 6 x (x^{2} - 4) = 2 x^{3} + 24 x - 6 x^{3} + 24 x = - 4 x^{3} + 48 x

A = 2 x - y

;

B = 2 x + y

A + B = 4 x

A^{2} + B^{2} = (4 x^{2} - 4 x y + y^{2}) + (4 x^{2} + 4 x y + y^{2}) = 8 x^{2} + 2 y^{2}

A B = 4 x^{2} - y^{2}

A^{2} - A B + B^{2} = 8 x^{2} + 2 y^{2} - (4 x^{2} - y^{2}) = 4 x^{2} + 3 y^{2}

A^{3} + B^{3} = 4 x (4 x^{2} + 3 y^{2}) = 16 x^{3} + 12 x y^{2}

Vậy a) $- 4 x^{3} + 48 x$ ; b) $16 x^{3} + 12 x y^{2}$ .

3Cách 3. Dùng công thức đối xứng cho tổng hai lập phương lệch nhau

Định hướng. Chứng minh một lần công thức $(m - n)^{3} + (m + n)^{3} = 2 m^{3} + 6 m n^{2}$ , rồi dùng chung cho cả hai câu.

(m - n)^{3} + (m + n)^{3}

= (m^{3} - 3 m^{2} n + 3 m n^{2} - n^{3}) + (m^{3} + 3 m^{2} n + 3 m n^{2} + n^{3})

= 2 m^{3} + 6 m n^{2}

m = x

;

n = 2

(x - 2)^{3} + (x + 2)^{3} = 2 x^{3} + 6 \cdot x \cdot 2^{2} = 2 x^{3} + 24 x

6 x (x + 2) (x - 2) = 6 x (x^{2} - 4) = 6 x^{3} - 24 x

2 x^{3} + 24 x - (6 x^{3} - 24 x) = - 4 x^{3} + 48 x

m = 2 x

;

n = y

(2 x - y)^{3} + (2 x + y)^{3} = 2 (2 x)^{3} + 6 \cdot 2 x \cdot y^{2} = 16 x^{3} + 12 x y^{2}

Vậy a) $- 4 x^{3} + 48 x = - 4 x (x^{2} - 12)$ ; b) $16 x^{3} + 12 x y^{2} = 4 x (4 x^{2} + 3 y^{2})$ .

Nhận xét. Thay thử $x = 1$ ; $y = 1$ để kiểm tra chéo: câu a) cho $(- 1)^{3} + 3^{3} + 18 = 44$ và $- 4 + 48 = 44$ ; câu b) cho $1^{3} + 3^{3} = 28$ và $16 + 12 = 28$ — khớp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: đã có công thức

(m - n)^{3} + (m + n)^{3} = 2 m^{3} + 6 m n^{2}

thì mỗi câu chỉ một dòng, không phải viết ra tám hạng tử nên gần như không sai dấu; Cách 1 an toàn cho bạn chưa thuộc kĩ nhưng dài gấp ba.

Đáp số. a)

- 4 x^{3} + 48 x = - 4 x (x^{2} - 12)

. b)

16 x^{3} + 12 x y^{2} = 4 x (4 x^{2} + 3 y^{2})

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến là “cộng lập phương như cộng số hạng”, viết

(2 x - y)^{3} + (2 x + y)^{3} = (4 x)^{3}

. Phản ví dụ với

x = 1

;

y = 1

: vế trái bằng

1 + 27 = 28

, còn

4^{3} = 64

— khác hẳn. Lỗi thứ hai ở câu a) là bỏ quên dấu trừ trước

6 x (x + 2) (x - 2)

, khi đó ra

8 x^{3}

thay vì

- 4 x^{3} + 48 x

🚀 Mở rộng. Tổng quát

(m - n)^{3} + (m + n)^{3} = 2 m (m^{2} + 3 n^{2})

, còn hiệu thì

(m + n)^{3} - (m - n)^{3} = 2 n (3 m^{2} + n^{2})

; thử rút gọn

(3 x + 2 y)^{3} - (3 x - 2 y)^{3}

để thấy đáp số là

4 y (27 x^{2} + 4 y^{2})

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 41

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 2.20★★★Trang 41— Chứng minh đẳng thức và tính giá trị biểu thức đối xứng

Bài 2.20 (trang 41). Chứng minh rằng

a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b)

.
Áp dụng, tính

a^{3} + b^{3}

biết

a + b = 4

và

ab = 3

Kiến thức cần nhớ

$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ .
$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ .
$a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab$ và $a^{2} - ab + b^{2} = (a + b)^{2} - 3 ab$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

a + b

và

ab

rồi hỏi

a^{3} + b^{3}

— đây là dạng biểu thức đối xứng: mọi biểu thức đối xứng của

a

và

b

đều viết lại được theo tổng và tích. Vì thế đẳng thức cần chứng minh chính là chiếc cầu nối

a^{3} + b^{3}

với hai dữ kiện đã cho, chứng minh xong thì phần áp dụng chỉ còn việc thay số. Ta khai triển vế phải vì nó chứa hằng đẳng thức quen thuộc; bẫy là nhớ nhầm

a^{2} - ab + b^{2} = (a + b)^{2} - ab

, đúng phải là

(a + b)^{2} - 3 ab

1Cách 1. Khai triển vế phải

Định hướng. Bung $(a + b)^{3}$ rồi trừ đi $3 ab (a + b)$ , hai cặp hạng tử ở giữa triệt tiêu.

(a + b)^{3} - 3 ab (a + b)

= (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}) - (3 a^{2} b + 3 a b^{2})

= a^{3} + b^{3}

Vậy $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b)$ với mọi $a$ , $b$ .

Áp dụng. Thay thẳng $a + b = 4$ và $ab = 3$ vào đẳng thức vừa chứng minh.

a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b)

= 4^{3} - 3 \cdot 3 \cdot 4

= 64 - 36 = 28

Vậy $a^{3} + b^{3} = 28$ .

2Cách 2. Đi từ vế trái bằng tổng hai lập phương

Định hướng. Phân tích $a^{3} + b^{3}$ thành tích rồi viết $a^{2} - ab + b^{2}$ theo tổng và tích.

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

a^{2} - ab + b^{2} = (a^{2} + 2 ab + b^{2}) - 3 ab = (a + b)^{2} - 3 ab

a^{3} + b^{3} = (a + b) [(a + b)^{2} - 3 ab]

= (a + b)^{3} - 3 ab (a + b)

Vậy đẳng thức được chứng minh.

a + b = 4

;

ab = 3

a^{2} - ab + b^{2} = 4^{2} - 3 \cdot 3 = 16 - 9 = 7

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = 4 \cdot 7 = 28

Vậy $a^{3} + b^{3} = 28$ .

3Cách 3. Xét hiệu hai vế và kiểm tra chéo bằng hai số cụ thể

Định hướng. Chứng tỏ hiệu hai vế bằng $0$ ; ở phần áp dụng, hai số có tổng $4$ và tích $3$ nhẩm ra ngay nên tính thẳng cho chắc.

(a + b)^{3} - 3 ab (a + b) - (a^{3} + b^{3})

= (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}) - (3 a^{2} b + 3 a b^{2}) - a^{3} - b^{3}

= 0

Vậy hai vế bằng nhau với mọi $a$ , $b$ .

a + b = 4

;

ab = 3

(a; b) = (1; 3)

hay

(a; b) = (3; 1)

a^{3} + b^{3} = 1^{3} + 3^{3} = 1 + 27 = 28

Vậy $a^{3} + b^{3} = 28$ , đúng bằng kết quả của hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 chỉ tiện khi $a$ , $b$ là hai số nguyên dễ nhẩm. Nếu đề đổi thành $a + b = 4$ và $ab = 1$ thì $a$ , $b$ không còn là số hữu tỉ, lúc đó bắt buộc phải dùng đẳng thức như ở Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khai triển vế phải chỉ hai dòng, rồi phần áp dụng thay số thẳng vào

(a + b)^{3} - 3 ab (a + b)

mà không cần biết

a

b

bằng bao nhiêu.

Đáp số. Đẳng thức đúng với mọi

a

b

; với

a + b = 4

và

ab = 3

thì

a^{3} + b^{3} = 28

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết

a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3}

, tức bỏ hẳn phần

- 3 ab (a + b)

. Phản ví dụ: với

a = 1

b = 3

thì

a^{3} + b^{3} = 28

còn

(a + b)^{3} = 64

. Lỗi thứ hai là nhớ nhầm

a^{2} - ab + b^{2} = (a + b)^{2} - ab = 13

, dẫn tới đáp số sai

4 \cdot 13 = 52

🚀 Mở rộng. Cùng cách nghĩ đó,

a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3} + 3 ab (a - b)

và

a^{4} + b^{4} = [(a + b)^{2} - 2 ab]^{2} - 2 (ab)^{2}

; với

a + b = 4

ab = 3

ta được

a^{4} + b^{4} = 1 0^{2} - 2 \cdot 3^{2} = 82

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 41

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 2.21★★★Trang 41— Bài toán lãi kép — giá trị biểu thức và khai triển lập phương của một tổng

Bài 2.21 (trang 41). Bác Tùng gửi vào ngân hàng 200 triệu đồng theo thể thức lãi kép theo định kì với lãi suất

x

mỗi năm (tức là nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp). Biểu thức

S = 200 (1 + x)^{3}

(triệu đồng) là số tiền bác Tùng nhận được sau 3 năm.
a) Tính số tiền bác Tùng nhận được sau 3 năm khi lãi suất là

x = 5, 5%

.
b) Khai triển

S

thành đa thức theo

x

và xác định bậc của đa thức.

Kiến thức cần nhớ

Lãi kép: sau mỗi kì số tiền được nhân với $1 + x$ , nên gửi $A$ đồng thì sau $n$ kì nhận được $A (1 + x)^{n}$ .
Đổi phần trăm ra số: $m % = \frac{m}{100}$ , do đó $5, 5% = 0, 055$ .
$(1 + x)^{3} = 1 + 3 x + 3 x^{2} + x^{3}$ .
Bậc của đa thức một biến là số mũ lớn nhất của biến trong các hạng tử có hệ số khác $0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cụm “lãi kép” cho biết cứ sau mỗi năm số tiền lại được nhân thêm cùng một hệ số

1 + x

, nên sau 3 năm vốn được nhân ba lần — đó chính là lí do có luỹ thừa bậc ba trong công thức. Câu a) chỉ là thay số nhưng phải đổi

5, 5%

thành

0, 055

trước đã; câu b) là lập phương của một tổng với

A = 1

, khai triển xong nhân

200

vào từng hạng tử. Bẫy quen thuộc là thay thẳng

x = 5, 5

, ra con số hàng chục nghìn tỉ đồng vô lí.

1Cách 1. Tính theo từng năm đúng nghĩa lãi kép

Định hướng. Mỗi năm lấy số tiền đầu năm nhân với $1, 055$ , làm ba lần liên tiếp; câu b) nhân $(1 + x)^{2}$ với $(1 + x)$ .

x = 5, 5% = 0, 055

1 + x = 1, 055

S_{1} = 200 \cdot 1, 055 = 211

S_{2} = 211 \cdot 1, 055 = 222, 605

S_{3} = 222, 605 \cdot 1, 055 = 234, 848275

Vậy sau 3 năm bác Tùng nhận được $234, 848275$ triệu đồng.

(1 + x)^{2} = 1 + 2 x + x^{2}

(1 + x)^{3} = (1 + 2 x + x^{2}) (1 + x) = 1 + 3 x + 3 x^{2} + x^{3}

S = 200 (1 + 3 x + 3 x^{2} + x^{3}) = 200 + 600 x + 600 x^{2} + 200 x^{3}

Vậy $S = 200 + 600 x + 600 x^{2} + 200 x^{3}$ là đa thức bậc 3 theo biến $x$ .

2Cách 2. Khai triển thành đa thức trước rồi mới thay số

Định hướng. Làm câu b) trước, khi đó câu a) chỉ còn là phép cộng bốn số — rất tiện nếu phải tính lại với nhiều mức lãi suất.

S = 200 (1 + x)^{3} = 200 (1^{3} + 3 \cdot 1^{2} \cdot x + 3 \cdot 1 \cdot x^{2} + x^{3})

= 200 (1 + 3 x + 3 x^{2} + x^{3})

= 200 + 600 x + 600 x^{2} + 200 x^{3}

Vậy $S$ là đa thức bậc 3 theo biến $x$ .

x = 0, 055

600 x = 600 \cdot 0, 055 = 33

600 x^{2} = 600 \cdot 0, 003025 = 1, 815

200 x^{3} = 200 \cdot 0, 000166375 = 0, 033275

S = 200 + 33 + 1, 815 + 0, 033275 = 234, 848275

Vậy số tiền nhận được sau 3 năm là $234, 848275$ triệu đồng.

3Cách 3. Thay thẳng vào luỹ thừa bậc ba

Định hướng. Tính $1, 05 5^{3}$ bằng hai phép nhân rồi nhân với $200$ — đường ngắn nhất cho câu a).

x = 5, 5% = 0, 055

1, 05 5^{2} = 1, 113025

1, 05 5^{3} = 1, 113025 \cdot 1, 055 = 1, 174241375

S = 200 \cdot 1, 174241375 = 234, 848275

S = 200 (1 + x)^{3} = 200 + 600 x + 600 x^{2} + 200 x^{3}

Vậy a) bác Tùng nhận được $234, 848275$ triệu đồng, tức $234848275$ đồng; b) $S = 200 + 600 x + 600 x^{2} + 200 x^{3}$ là đa thức bậc 3 theo biến $x$ .

Nhận xét. Ba cách cho cùng một số $234, 848275$ triệu đồng. Cách 1 bám sát bản chất lãi kép nên rất tiện khi đề hỏi thêm số tiền sau từng năm; Cách 2 tiện khi phải tính lại với nhiều mức lãi suất khác nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 cho câu a) vì chỉ hai phép nhân là xong, rồi dùng khai triển ở Cách 2 cho câu b); nên nhớ thêm Cách 1 để trả lời được khi đề hỏi số tiền sau 1 năm hay sau 2 năm.

Đáp số. a)

234, 848275

triệu đồng. b)

S = 200 + 600 x + 600 x^{2} + 200 x^{3}

, là đa thức bậc 3 theo biến

x

Sai lầm thường gặp. Sai lầm nghiêm trọng nhất là quên đổi phần trăm, thay

x = 5, 5

và ra

S = 200 \cdot 6, 5^{3} = 54925

triệu đồng — gửi

200

triệu mà thành gần

55

tỉ sau 3 năm là vô lí. Lỗi thứ hai là hiểu lãi kép thành lãi đơn, tính

200 + 200 \cdot 0, 055 \cdot 3 = 233

triệu đồng, tức thiếu mất phần lãi sinh ra từ tiền lãi.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, gửi

A

triệu đồng với lãi suất

x

mỗi năm trong

n

năm thì nhận được

A (1 + x)^{n}

; thử khai triển

S

khi kì hạn là 4 năm để thấy các hệ số

1; 4; 6; 4; 1

, hoặc tìm xem sau bao nhiêu năm số tiền của bác Tùng vượt

250

triệu đồng.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 41

Mở bài này trong app ↗