Chương II. Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Luyện tập chung

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 5 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Ví dụ 1★★Trang 45— Phân tích đa thức bốn hạng tử bằng nhóm hạng tử kết hợp hằng đẳng thức

Ví dụ 1 (trang 45). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)

x^{2} - x + 2 y - 4 y^{2}

;
b)

3 x y + 2 z^{2} - 6 y - x z^{2}

Kiến thức cần nhớ

$A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .
Nhóm hạng tử: gom vào một nhóm những hạng tử có nhân tử chung, hoặc lập thành một hằng đẳng thức.
Quy tắc đổi dấu: $A - B = - (B - A)$ , do đó $z^{2} (2 - x) = - z^{2} (x - 2)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai đa thức đều có bốn hạng tử mà không có nhân tử chung cho cả bốn — dấu hiệu quen thuộc của phương pháp nhóm hạng tử. Ở câu a,

x^{2}

ghép với

- 4 y^{2}

thành hiệu hai bình phương, hai hạng tử còn lại

- x + 2 y

chính là

- (x - 2 y)

nên nhân tử chung

x - 2 y

lộ ra ngay; ở câu b thì

3 x y

đi với

- 6 y

(chung

3 y

), còn

2 z^{2}

đi với

- x z^{2}

(chung

z^{2}

). Bẫy nằm ở câu b:

2 z^{2} - x z^{2} = z^{2} (2 - x)

ngược dấu với

x - 2

, phải đổi dấu mới thấy nhân tử chung.

1Cách 1. Nhóm hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức rồi đặt nhân tử chung

Định hướng. Ghép $x^{2}$ với $- 4 y^{2}$ thành hiệu hai bình phương, phần còn lại gom thành $- (x - 2 y)$ ; câu b gom từng cặp có nhân tử chung rồi đổi dấu cho khớp.

x^{2} - x + 2 y - 4 y^{2}

= (x^{2} - 4 y^{2}) - (x - 2 y)

= (x - 2 y) (x + 2 y) - (x - 2 y)

= (x - 2 y) (x + 2 y - 1)

3 x y + 2 z^{2} - 6 y - x z^{2}

= (3 x y - 6 y) + (2 z^{2} - x z^{2})

= 3 y (x - 2) + z^{2} (2 - x)

= 3 y (x - 2) - z^{2} (x - 2)

= (3 y - z^{2}) (x - 2)

Vậy a) $x^{2} - x + 2 y - 4 y^{2} = (x - 2 y) (x + 2 y - 1)$ ; b) $3 x y + 2 z^{2} - 6 y - x z^{2} = (3 y - z^{2}) (x - 2)$ .

2Cách 2. Thêm bớt hạng tử rồi nhóm chéo

Định hướng. Câu a thêm bớt $2 x y$ để ba nhóm cùng lộ nhân tử $x - 2 y$ ; câu b ghép hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ tư, thứ hai với thứ ba, tức gom theo biến $x$ .

x^{2} - x + 2 y - 4 y^{2}

= x^{2} - 2 x y + 2 x y - x + 2 y - 4 y^{2}

= (x^{2} - 2 x y) + (2 x y - 4 y^{2}) - (x - 2 y)

= x (x - 2 y) + 2 y (x - 2 y) - (x - 2 y)

= (x - 2 y) (x + 2 y - 1)

3 x y + 2 z^{2} - 6 y - x z^{2}

= (3 x y - x z^{2}) + (2 z^{2} - 6 y)

= x (3 y - z^{2}) - 2 (3 y - z^{2})

= (3 y - z^{2}) (x - 2)

Vậy a) $(x - 2 y) (x + 2 y - 1)$ ; b) $(3 y - z^{2}) (x - 2)$ — trùng khớp Cách 1.

3Cách 3. Hệ số bất định

Định hướng. Đoán trước dạng của tích rồi nhân ra và đồng nhất từng hệ số; cách này không cần nhìn thấy hằng đẳng thức nào.

a) Giả sử

x^{2} - x + 2 y - 4 y^{2} = (x + a y + b) (x + cy + d)

(x + a y + b) (x + cy + d) = x^{2} + (a + c) x y + (b + d) x + a c y^{2} + (a d + b c) y + b d

a + c = 0

;

a c = - 4

;

b + d = - 1

;

a d + b c = 2

;

b d = 0

a = 2

;

c = - 2

;

b = - 1

;

d = 0

x^{2} - x + 2 y - 4 y^{2} = (x + 2 y - 1) (x - 2 y)

b) Giả sử

3 x y + 2 z^{2} - 6 y - x z^{2} = (x + m) (a y + b z^{2})

(x + m) (a y + b z^{2}) = a x y + b x z^{2} + am y + bm z^{2}

a = 3

;

b = - 1

;

am = - 6

;

bm = 2

m = - 2

3 x y + 2 z^{2} - 6 y - x z^{2} = (x - 2) (3 y - z^{2})

Vậy a) $(x - 2 y) (x + 2 y - 1)$ ; b) $(3 y - z^{2}) (x - 2)$ .

Nhận xét. Ba cách cho cùng một kết quả. Cách 3 chắc chắn nhưng phải giải năm điều kiện, chỉ nên dùng khi không nhìn ra cách nhóm nào.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ ba dòng, nhóm xong là hằng đẳng thức và nhân tử chung hiện ra ngay; Cách 3 tuy luôn dùng được nhưng phải giải một hệ năm điều kiện, mất gấp ba thời gian.

Đáp số. a)

(x - 2 y) (x + 2 y - 1)

; b)

(3 y - z^{2}) (x - 2)

Sai lầm thường gặp. Lỗi nặng nhất là quên đổi dấu ở câu b: viết

2 z^{2} - x z^{2} = z^{2} (x - 2)

rồi kết luận

(3 y + z^{2}) (x - 2)

; thử

x = y = z = 1

thấy đa thức gốc bằng

- 2

còn kết quả sai bằng

- 4

. Lỗi thứ hai là phân tích chưa triệt để ở câu a: dừng lại ở

(x - 2 y) (x + 2 y) - (x - 2 y)

và coi đó là đáp số, trong khi đây vẫn là một hiệu chứ chưa phải một tích.

🚀 Mở rộng. Cùng cách nhóm ấy, đa thức

x^{2} - x + n y - n^{2} y^{2}

luôn phân tích được thành

(x - n y) (x + n y - 1)

với mọi số

n

— bài trong sách chỉ là trường hợp

n = 2

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 45

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Ví dụ 2★★★Trang 45— Phân tích đa thức bằng cách gom ba hoặc bốn hạng tử thành một bình phương, một lập phương

Ví dụ 2 (trang 45). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)

4 x^{2} - 4 x + 1 - 4 y^{2}

;
b)

8 x^{3} - 27 y^{3} - 27 y^{2} - 9 y - 1

Kiến thức cần nhớ

$(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$ và $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .
$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ và $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ .
Hai đồng nhất thức đổi hướng: $A^{2} - B^{2} = (A - B)^{2} + 2 B (A - B)$ và $a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3} + 3 ab (a - b)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a có ba hạng tử đầu

4 x^{2} - 4 x + 1

đúng là bình phương của một hiệu, hạng tử cuối là

- (2 y)^{2}

— dấu hiệu rõ của hiệu hai bình phương sau khi nhóm. Câu b thì

8 x^{3} = (2 x)^{3}

, còn bốn hạng tử sau khi đổi dấu thành

27 y^{3} + 27 y^{2} + 9 y + 1

lại đúng là

(3 y + 1)^{3}

, nên cả đa thức là một hiệu hai lập phương. Bẫy là nhìn thấy

- 27 y^{3}

rồi vội tách

8 x^{3} - 27 y^{3}

riêng ra: làm vậy thì

- 27 y^{2} - 9 y - 1

còn lại không đi cùng ai được.

1Cách 1. Nhóm hạng tử đưa về hằng đẳng thức rồi phân tích

Định hướng. Gom ba hạng tử đầu của câu a thành $(2 x - 1)^{2}$ , gom bốn hạng tử cuối của câu b thành $(3 y + 1)^{3}$ , rồi áp thẳng hằng đẳng thức.

4 x^{2} - 4 x + 1 - 4 y^{2}

= (4 x^{2} - 4 x + 1) - (2 y)^{2}

= (2 x - 1)^{2} - (2 y)^{2}

= (2 x - 1 - 2 y) (2 x - 1 + 2 y)

8 x^{3} - 27 y^{3} - 27 y^{2} - 9 y - 1

= (2 x)^{3} - (27 y^{3} + 27 y^{2} + 9 y + 1)

= (2 x)^{3} - (3 y + 1)^{3}

= (2 x - 3 y - 1) [4 x^{2} + 2 x (3 y + 1) + (3 y + 1)^{2}]

Vậy a) $4 x^{2} - 4 x + 1 - 4 y^{2} = (2 x - 1 - 2 y) (2 x - 1 + 2 y)$ ; b) $8 x^{3} - 27 y^{3} - 27 y^{2} - 9 y - 1 = (2 x - 3 y - 1) [4 x^{2} + 2 x (3 y + 1) + (3 y + 1)^{2}]$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ đưa về đúng hằng đẳng thức gốc

Định hướng. Gọi tên hai biểu thức đang đóng vai $A$ , $B$ (hoặc $a$ , $b$ ) để hằng đẳng thức trở về dạng thuộc lòng, phân tích xong mới thay ngược lại.

a) Đặt

u = 2 x - 1

v = 2 y

4 x^{2} - 4 x + 1 - 4 y^{2} = u^{2} - v^{2}

= (u - v) (u + v)

= (2 x - 1 - 2 y) (2 x - 1 + 2 y)

b) Đặt

a = 2 x

b = 3 y + 1

8 x^{3} - 27 y^{3} - 27 y^{2} - 9 y - 1 = a^{3} - b^{3}

= (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

= (2 x - 3 y - 1) [4 x^{2} + 2 x (3 y + 1) + (3 y + 1)^{2}]

Vậy a) $(2 x - 1 - 2 y) (2 x - 1 + 2 y)$ ; b) $(2 x - 3 y - 1) [4 x^{2} + 2 x (3 y + 1) + (3 y + 1)^{2}]$ .

3Cách 3. Đổi hướng bằng đồng nhất thức rồi đặt nhân tử chung

Định hướng. Thay vì dùng công thức tách sẵn, viết hiệu hai bình phương thành $(A - B)^{2} + 2 B (A - B)$ và hiệu hai lập phương thành $(a - b)^{3} + 3 ab (a - b)$ , khi đó nhân tử chung $A - B$ , $a - b$ hiện ra ngay.

4 x^{2} - 4 x + 1 - 4 y^{2} = (2 x - 1)^{2} - (2 y)^{2}

= (2 x - 1 - 2 y)^{2} + 4 y (2 x - 1 - 2 y)

= (2 x - 1 - 2 y) (2 x - 1 - 2 y + 4 y)

= (2 x - 1 - 2 y) (2 x - 1 + 2 y)

8 x^{3} - 27 y^{3} - 27 y^{2} - 9 y - 1 = (2 x)^{3} - (3 y + 1)^{3}

= (2 x - 3 y - 1)^{3} + 6 x (3 y + 1) (2 x - 3 y - 1)

= (2 x - 3 y - 1) [(2 x - 3 y - 1)^{2} + 6 x (3 y + 1)]

= (2 x - 3 y - 1) (4 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2} + 2 x + 6 y + 1)

Vậy a) $(2 x - 1 - 2 y) (2 x - 1 + 2 y)$ ; b) $(2 x - 3 y - 1) (4 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2} + 2 x + 6 y + 1)$ .

Nhận xét. Ngoặc vuông ở Cách 1 và ngoặc tròn ở Cách 3 nhìn khác nhau, nhưng khai triển đều cho $4 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2} + 2 x + 6 y + 1$ — hai kết quả là một.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn ra

(2 x - 1)^{2}

và

(3 y + 1)^{3}

rồi áp thẳng hai hằng đẳng thức, mỗi câu đúng ba dòng; Cách 3 luyện tư duy rất tốt nhưng phải khai triển thêm một bình phương nên dễ sai dấu.

Đáp số. a)

(2 x - 1 - 2 y) (2 x - 1 + 2 y)

; b)

(2 x - 3 y - 1) [4 x^{2} + 2 x (3 y + 1) + (3 y + 1)^{2}] = (2 x - 3 y - 1) (4 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2} + 2 x + 6 y + 1)

Sai lầm thường gặp. Ở câu a hay gặp lỗi nhớ nhầm bình phương: viết

4 x^{2} - 4 x + 1 - 4 y^{2} = (2 x - 1)^{2} - (4 y)^{2}

rồi ra

(2 x - 1 - 4 y) (2 x - 1 + 4 y)

; thử

x = 2

y = 1

thấy đa thức gốc bằng

5

còn kết quả sai bằng

(3 - 4) (3 + 4) = - 7

. Ở câu b là lỗi quên đổi dấu khi đưa dấu trừ ra trước ngoặc: viết

8 x^{3} - (27 y^{3} - 27 y^{2} - 9 y - 1)

thì phần trong ngoặc không còn là

(3 y + 1)^{3}

nữa, bài tắc ngay. Lỗi thứ ba là phân tích chưa triệt để: dừng ở

(2 x)^{3} - (3 y + 1)^{3}

và coi đó đã là một tích.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, mọi đa thức viết được dưới dạng

(2 x)^{3} - (m y + 1)^{3}

đều tách như trên; hãy thử với

8 x^{3} - 8 y^{3} - 12 y^{2} - 6 y - 1

(ứng với

m = 2

) và tự trả lời: nếu số hạng cuối đổi thành

+ 1

thì còn nhóm được thành lập phương nữa không?

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 45

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Ví dụ 3★★★Trang 45— Phân tích đa thức bậc ba bằng nhóm hạng tử, hằng đẳng thức lập phương và nhẩm nghiệm

Ví dụ 3 (trang 45). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)

x^{3} - x + 2 y - 8 y^{3}

;
b)

2 x^{3} - 8 x^{2} - 24 x + 54

Kiến thức cần nhớ

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ và $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ .
Luôn đặt nhân tử chung của mọi hạng tử ra ngoài trước khi nhóm.
Định lí Bézout (trang 46): nếu đa thức $f (x)$ có nghiệm $x = a$ thì $f (x)$ chứa nhân tử $x - a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a lặp lại đúng ý của Ví dụ 1a nhưng nâng lên bậc ba:

x^{3}

ghép với

- 8 y^{3}

thành hiệu hai lập phương, còn

- x + 2 y = - (x - 2 y)

, thế là nhân tử chung

x - 2 y

hiện ra. Câu b có nhân tử chung

2

ở cả bốn hạng tử nên phải rút

2

ra trước, sau đó

x^{3} + 27

là tổng hai lập phương còn

- 4 x^{2} - 12 x

có chung

- 4 x

, hai nhóm cùng cho nhân tử

x + 3

. Bẫy ở câu b là quên rút

2

rồi loay hoay nhóm

2 x^{3} - 8 x^{2}

với

- 24 x + 54

: hai nhóm này không có nhân tử chung nào.

1Cách 1. Nhóm hạng tử và dùng hằng đẳng thức tổng, hiệu hai lập phương

Định hướng. Câu a ghép hai lập phương với nhau, hai hạng tử còn lại thành $- (x - 2 y)$ ; câu b rút $2$ ra trước rồi ghép $x^{3}$ với $27$ thành tổng hai lập phương.

x^{3} - x + 2 y - 8 y^{3}

= (x^{3} - 8 y^{3}) - (x - 2 y)

= [x^{3} - (2 y)^{3}] - (x - 2 y)

= (x - 2 y) (x^{2} + 2 x y + 4 y^{2}) - (x - 2 y)

= (x - 2 y) (x^{2} + 2 x y + 4 y^{2} - 1)

2 x^{3} - 8 x^{2} - 24 x + 54

= 2 (x^{3} - 4 x^{2} - 12 x + 27)

= 2 [(x^{3} + 27) - (4 x^{2} + 12 x)]

= 2 [(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) - 4 x (x + 3)]

= 2 (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 - 4 x)

= 2 (x + 3) (x^{2} - 7 x + 9)

Vậy a) $x^{3} - x + 2 y - 8 y^{3} = (x - 2 y) (x^{2} + 2 x y + 4 y^{2} - 1)$ ; b) $2 x^{3} - 8 x^{2} - 24 x + 54 = 2 (x + 3) (x^{2} - 7 x + 9)$ .

2Cách 2. Hệ số bất định

Định hướng. Thay $x = 2 y$ vào câu a và $x = - 3$ vào câu b đều được $0$ nên đoán chắc được một nhân tử; nhân tử còn lại để ẩn hệ số rồi đồng nhất.

a) Giả sử

x^{3} - x + 2 y - 8 y^{3} = (x - 2 y) (x^{2} + a x y + b y^{2} + c)

(x - 2 y) (x^{2} + a x y + b y^{2} + c) = x^{3} + (a - 2) x^{2} y + (b - 2 a) x y^{2} - 2 b y^{3} + c x - 2 cy

a - 2 = 0

;

b - 2 a = 0

;

- 2 b = - 8

;

c = - 1

;

- 2 c = 2

a = 2

;

b = 4

;

c = - 1

x^{3} - x + 2 y - 8 y^{3} = (x - 2 y) (x^{2} + 2 x y + 4 y^{2} - 1)

2 x^{3} - 8 x^{2} - 24 x + 54 = 2 (x^{3} - 4 x^{2} - 12 x + 27)

Giả sử

x^{3} - 4 x^{2} - 12 x + 27 = (x + 3) (x^{2} + p x + q)

(x + 3) (x^{2} + p x + q) = x^{3} + (p + 3) x^{2} + (q + 3 p) x + 3 q

p + 3 = - 4

;

3 q = 27

;

q + 3 p = - 12

p = - 7

;

q = 9

2 x^{3} - 8 x^{2} - 24 x + 54 = 2 (x + 3) (x^{2} - 7 x + 9)

Vậy a) $(x - 2 y) (x^{2} + 2 x y + 4 y^{2} - 1)$ ; b) $2 (x + 3) (x^{2} - 7 x + 9)$ .

3Cách 3. Nhẩm nghiệm rồi tách hạng tử để rút nhân tử

Định hướng. Định lí Bézout ở mục Em có biết trang 46 cho biết: tìm được một nghiệm là biết ngay một nhân tử bậc nhất; việc còn lại chỉ là tách hạng tử sao cho nhân tử ấy lặp lại ở mọi nhóm.

a) Thay

x = 2 y

8 y^{3} - 2 y + 2 y - 8 y^{3} = 0

, vậy có nhân tử

x - 2 y

x^{3} - x + 2 y - 8 y^{3}

= x^{3} - 2 x^{2} y + 2 x^{2} y - 4 x y^{2} + 4 x y^{2} - 8 y^{3} - x + 2 y

= x^{2} (x - 2 y) + 2 x y (x - 2 y) + 4 y^{2} (x - 2 y) - (x - 2 y)

= (x - 2 y) (x^{2} + 2 x y + 4 y^{2} - 1)

2 x^{3} - 8 x^{2} - 24 x + 54 = 2 (x^{3} - 4 x^{2} - 12 x + 27)

Thay

x = - 3

- 27 - 36 + 36 + 27 = 0

, vậy có nhân tử

x + 3

x^{3} - 4 x^{2} - 12 x + 27

= x^{3} + 3 x^{2} - 7 x^{2} - 21 x + 9 x + 27

= x^{2} (x + 3) - 7 x (x + 3) + 9 (x + 3)

= (x + 3) (x^{2} - 7 x + 9)

2 x^{3} - 8 x^{2} - 24 x + 54 = 2 (x + 3) (x^{2} - 7 x + 9)

Vậy a) $(x - 2 y) (x^{2} + 2 x y + 4 y^{2} - 1)$ ; b) $2 (x + 3) (x^{2} - 7 x + 9)$ .

Nhận xét. Cách 3 là vũ khí tổng quát: kể cả khi đa thức không lộ hằng đẳng thức nào, chỉ cần nhẩm được một nghiệm là tách được nhân tử.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì nhìn ra hằng đẳng thức là xong trong bốn dòng; nhưng khi đa thức một biến không lộ hằng đẳng thức nào thì Cách 3 mới là cách luôn dùng được — nhẩm nghiệm rồi tách hạng tử.

Đáp số. a)

(x - 2 y) (x^{2} + 2 x y + 4 y^{2} - 1)

; b)

2 (x + 3) (x^{2} - 7 x + 9)

Sai lầm thường gặp. Phân tích chưa triệt để là lỗi phổ biến nhất ở câu b: dừng lại ở

2 [(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) - 4 x (x + 3)]

và coi đó là đáp số, trong khi trong ngoặc vuông vẫn còn nhân tử chung

x + 3

chưa rút. Lỗi thứ hai là quên đổi dấu khi nhóm có dấu trừ đằng trước: viết

x^{3} - 4 x^{2} - 12 x + 27 = (x^{3} + 27) - (4 x^{2} - 12 x)

làm hạng tử

- 12 x

sai dấu, khi đó

4 x^{2} - 12 x = 4 x (x - 3)

không còn nhân tử

x + 3

nên bài tắc. Ở câu a hay gặp việc nhớ nhầm

(2 y)^{2} = 2 y^{2}

nên viết

x^{3} - 8 y^{3} = (x - 2 y) (x^{2} + 2 x y + 2 y^{2})

; thử

x = y = 1

thấy đa thức gốc bằng

- 6

còn kết quả sai bằng

- 4

🚀 Mở rộng. Cùng đường lối,

x^{3} - x + 3 y - 27 y^{3} = (x - 3 y) (x^{2} + 3 x y + 9 y^{2} - 1)

; tổng quát

x^{3} - x + n y - n^{3} y^{3} = (x - n y) (x^{2} + n x y + n^{2} y^{2} - 1)

với mọi số

n

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 45

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 2.26★★Trang 46— Phân tích đa thức thành nhân tử bằng nhóm hạng tử

Bài 2.26 (trang 46). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)

x^{2} - 6 x + 9 - y^{2}

;
b)

4 x^{2} - y^{2} + 4 y - 4

;
c)

x y + z^{2} + x z + y z

;
d)

x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} + x z - 2 y z

Kiến thức cần nhớ

$A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .
$(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$ và $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ .
Đặt dấu trừ trước ngoặc thì mọi hạng tử trong ngoặc đổi dấu: $- y^{2} + 4 y - 4 = - (y^{2} - 4 y + 4)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn câu đều là bài nhóm hạng tử, nhưng nhóm theo hai kiểu khác nhau: câu a, b gom ba hạng tử thành một bình phương đủ rồi lấy hiệu hai bình phương; câu c, d gom theo nhân tử chung. Dấu hiệu của kiểu thứ nhất là có đúng ba hạng tử dạng

A^{2} + 2 A B + B^{2}

nằm cạnh nhau, dấu hiệu của kiểu thứ hai là có một biểu thức lặp lại ở nhiều hạng tử, như

x - 2 y

ở câu d. Bẫy lớn nhất ở câu b: dấu trừ đứng trước

y^{2}

nên phải đặt cả cụm

y^{2} - 4 y + 4

vào ngoặc sau dấu trừ, tức đổi dấu cả ba hạng tử.

1Cách 1. Nhóm hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung

Định hướng. Câu a, b gom ba hạng tử thành một bình phương rồi dùng hiệu hai bình phương; câu c, d gom từng cặp có nhân tử chung.

x^{2} - 6 x + 9 - y^{2} = (x^{2} - 6 x + 9) - y^{2}

= (x - 3)^{2} - y^{2}

= (x - 3 - y) (x - 3 + y)

4 x^{2} - y^{2} + 4 y - 4 = 4 x^{2} - (y^{2} - 4 y + 4)

= (2 x)^{2} - (y - 2)^{2}

= (2 x - y + 2) (2 x + y - 2)

x y + z^{2} + x z + y z = (x y + x z) + (y z + z^{2})

= x (y + z) + z (y + z)

= (y + z) (x + z)

x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} + x z - 2 y z = (x^{2} - 4 x y + 4 y^{2}) + (x z - 2 y z)

= (x - 2 y)^{2} + z (x - 2 y)

= (x - 2 y) (x - 2 y + z)

Vậy a) $(x - 3 - y) (x - 3 + y)$ ; b) $(2 x - y + 2) (2 x + y - 2)$ ; c) $(x + z) (y + z)$ ; d) $(x - 2 y) (x - 2 y + z)$ .

2Cách 2. Tách hạng tử rồi nhóm chéo

Định hướng. Không gom theo thứ tự có sẵn: tách bớt một vài hạng tử rồi ghép chéo sao cho ba nhóm cùng lộ một biểu thức chung.

x^{2} - 6 x + 9 - y^{2}

= x^{2} + x y - 3 x - x y - y^{2} + 3 y - 3 x - 3 y + 9

= x (x + y - 3) - y (x + y - 3) - 3 (x + y - 3)

= (x + y - 3) (x - y - 3)

4 x^{2} - y^{2} + 4 y - 4

= 4 x^{2} - 2 x y + 4 x + 2 x y - y^{2} + 2 y - 4 x + 2 y - 4

= 2 x (2 x - y + 2) + y (2 x - y + 2) - 2 (2 x - y + 2)

= (2 x - y + 2) (2 x + y - 2)

x y + z^{2} + x z + y z = (x y + y z) + (x z + z^{2})

= y (x + z) + z (x + z)

= (x + z) (y + z)

x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} + x z - 2 y z = (x^{2} - 2 x y + x z) - (2 x y - 4 y^{2} + 2 y z)

= x (x - 2 y + z) - 2 y (x - 2 y + z)

= (x - 2 y) (x - 2 y + z)

Vậy a) $(x + y - 3) (x - y - 3)$ ; b) $(2 x - y + 2) (2 x + y - 2)$ ; c) $(x + z) (y + z)$ ; d) $(x - 2 y) (x - 2 y + z)$ — trùng khớp Cách 1.

3Cách 3. Hệ số bất định

Định hướng. Đoán dạng của tích dựa vào bậc và các biến có mặt, nhân ra rồi đồng nhất hệ số của từng đơn thức; cách này không cần nhìn thấy cách nhóm nào.

a) Giả sử

x^{2} - 6 x + 9 - y^{2} = (x + a y + b) (x + cy + d)

= x^{2} + (a + c) x y + (b + d) x + a c y^{2} + (a d + b c) y + b d

a + c = 0

;

a c = - 1

;

b + d = - 6

;

a d + b c = 0

;

b d = 9

a = 1

;

c = - 1

;

b = d = - 3

x^{2} - 6 x + 9 - y^{2} = (x + y - 3) (x - y - 3)

b) Giả sử

4 x^{2} - y^{2} + 4 y - 4 = (2 x + a y + b) (2 x + cy + d)

= 4 x^{2} + 2 (a + c) x y + 2 (b + d) x + a c y^{2} + (a d + b c) y + b d

a + c = 0

;

a c = - 1

;

b + d = 0

;

a d + b c = 4

;

b d = - 4

a = 1

;

c = - 1

;

b = - 2

;

d = 2

4 x^{2} - y^{2} + 4 y - 4 = (2 x + y - 2) (2 x - y + 2)

c) Giả sử

x y + z^{2} + x z + y z = (x + m z) (y + n z)

= x y + n x z + m y z + mn z^{2}

n = 1

;

m = 1

;

mn = 1

x y + z^{2} + x z + y z = (x + z) (y + z)

d) Giả sử

x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} + x z - 2 y z = (x + a y + b z) (x + cy + d z)

= x^{2} + (a + c) x y + (b + d) x z + a c y^{2} + (a d + b c) y z + b d z^{2}

a + c = - 4

;

a c = 4

;

b + d = 1

;

b d = 0

;

a d + b c = - 2

a = c = - 2

;

b = 0

;

d = 1

x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} + x z - 2 y z = (x - 2 y) (x - 2 y + z)

Vậy a) $(x - 3 - y) (x - 3 + y)$ ; b) $(2 x - y + 2) (2 x + y - 2)$ ; c) $(x + z) (y + z)$ ; d) $(x - 2 y) (x - 2 y + z)$ .

Nhận xét. Ba cách cho cùng một đáp số. Cách 3 luôn dùng được nhưng phải giải một hệ điều kiện, chỉ nên chọn khi không nhìn ra cách nhóm nào.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi câu chỉ ba dòng và chỉ cần nhớ hai hằng đẳng thức quen thuộc; Cách 2 dài gấp đôi vì phải tách hạng tử, còn Cách 3 tốn thời gian giải hệ.

Đáp số. a)

(x - 3 - y) (x - 3 + y)

; b)

(2 x - y + 2) (2 x + y - 2)

; c)

(x + z) (y + z)

; d)

(x - 2 y) (x - 2 y + z)

Sai lầm thường gặp. Quên đổi dấu khi nhóm có dấu trừ đằng trước là lỗi số một ở câu b: viết

4 x^{2} - (y^{2} + 4 y - 4)

thì trong ngoặc không còn là

(y - 2)^{2}

, bài tắc ngay (thử

x = 1

y = 3

thấy đa thức gốc bằng

3

còn biểu thức sai bằng

- 13

). Ở câu d cũng vậy, nhóm

- (2 x y - 4 y^{2} + 2 y z)

mà để sót dấu của

2 y z

sẽ cho

(x - 2 y) (x - 2 y - z)

; thử

x = 3

y = z = 1

thấy đa thức gốc bằng

2

còn kết quả sai bằng

0

. Lỗi phân tích chưa triệt để hay gặp ở câu a: dừng ở

(x - 3)^{2} - y^{2}

và coi đó là đáp số, trong khi đó vẫn là một hiệu chứ chưa phải một tích.

🚀 Mở rộng. Câu d là mẫu của cả một họ bài: mọi đa thức dạng

A^{2} + A z

đều cho

A (A + z)

, chỉ cần nhận ra

A

; hãy thử với

A = 3 x + y

, tức phân tích

9 x^{2} + 6 x y + y^{2} + 3 x z + y z

và so sánh từng bước với câu d.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 46

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 2.27★★★Trang 46— Phân tích đa thức bậc ba bằng tổng và hiệu hai lập phương

Bài 2.27 (trang 46). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)

x^{3} + y^{3} + x + y

;
b)

x^{3} - y^{3} + x - y

;
c)

(x - y)^{3} + (x + y)^{3}

;
d)

x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} + y^{2} - x^{2}

Kiến thức cần nhớ

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ và $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ .
$(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ và $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ .
$y^{2} - x^{2} = - (x^{2} - y^{2}) = - (x - y) (x + y)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a, b lộ ngay

x^{3} + y^{3}

hoặc

x^{3} - y^{3}

ở đầu và

x + y

x - y

ở cuối; mà

x^{3} + y^{3}

lại chứa nhân tử

x + y

còn

x^{3} - y^{3}

chứa

x - y

, nên nhân tử chung có sẵn, chỉ việc nhóm. Câu c là tổng hai lập phương của

x - y

và

x + y

, tổng của hai biểu thức ấy bằng

2 x

nên nhân tử

2 x

chắc chắn xuất hiện. Câu d có bốn hạng tử đầu đúng là khai triển

(x - y)^{3}

, hai hạng tử cuối lại chứa

x - y

. Bẫy ở câu d:

y^{2} - x^{2} = - (x - y) (x + y)

, quên dấu trừ là hỏng cả bài.

1Cách 1. Nhóm hạng tử rồi dùng hằng đẳng thức lập phương

Định hướng. Tách riêng phần lập phương, phân tích nó ra rồi rút nhân tử chung với phần còn lại.

x^{3} + y^{3} + x + y = (x^{3} + y^{3}) + (x + y)

= (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) + (x + y)

= (x + y) (x^{2} - x y + y^{2} + 1)

x^{3} - y^{3} + x - y = (x^{3} - y^{3}) + (x - y)

= (x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) + (x - y)

= (x - y) (x^{2} + x y + y^{2} + 1)

(x - y)^{3} + (x + y)^{3}

= [(x - y) + (x + y)] [(x - y)^{2} - (x - y) (x + y) + (x + y)^{2}]

= 2 x (x^{2} - 2 x y + y^{2} - x^{2} + y^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2})

= 2 x (x^{2} + 3 y^{2})

x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} + y^{2} - x^{2} = (x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}) - (x^{2} - y^{2})

= (x - y)^{3} - (x - y) (x + y)

= (x - y) [(x - y)^{2} - (x + y)]

= (x - y) (x^{2} - 2 x y + y^{2} - x - y)

Vậy a) $(x + y) (x^{2} - x y + y^{2} + 1)$ ; b) $(x - y) (x^{2} + x y + y^{2} + 1)$ ; c) $2 x (x^{2} + 3 y^{2})$ ; d) $(x - y) (x^{2} - 2 x y + y^{2} - x - y)$ .

2Cách 2. Nhẩm nghiệm rồi tách hạng tử để rút nhân tử

Định hướng. Coi mỗi đa thức là đa thức của biến $x$ , thử một giá trị làm nó bằng $0$ để biết trước nhân tử bậc nhất (định lí Bézout trang 46), rồi tách hạng tử cho nhân tử ấy lặp lại ở mọi nhóm.

a) Thay

x = - y

- y^{3} + y^{3} - y + y = 0

, vậy có nhân tử

x + y

x^{3} + y^{3} + x + y = x^{3} + x^{2} y - x^{2} y - x y^{2} + x y^{2} + y^{3} + x + y

= x^{2} (x + y) - x y (x + y) + y^{2} (x + y) + (x + y)

= (x + y) (x^{2} - x y + y^{2} + 1)

b) Thay

x = y

y^{3} - y^{3} + y - y = 0

, vậy có nhân tử

x - y

x^{3} - y^{3} + x - y = x^{3} - x^{2} y + x^{2} y - x y^{2} + x y^{2} - y^{3} + x - y

= x^{2} (x - y) + x y (x - y) + y^{2} (x - y) + (x - y)

= (x - y) (x^{2} + x y + y^{2} + 1)

c) Thay

x = 0

(- y)^{3} + y^{3} = 0

, vậy có nhân tử

x

(x - y)^{3} + (x + y)^{3} = (x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}) + (x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3})

= 2 x^{3} + 6 x y^{2}

= 2 x (x^{2} + 3 y^{2})

d) Thay

x = y

y^{3} - 3 y^{3} + 3 y^{3} - y^{3} + y^{2} - y^{2} = 0

, vậy có nhân tử

x - y

x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} + y^{2} - x^{2}

= x^{3} - x^{2} y - 2 x^{2} y + 2 x y^{2} + x y^{2} - y^{3} - x^{2} + x y - x y + y^{2}

= x^{2} (x - y) - 2 x y (x - y) + y^{2} (x - y) - x (x - y) - y (x - y)

= (x - y) (x^{2} - 2 x y + y^{2} - x - y)

Vậy a) $(x + y) (x^{2} - x y + y^{2} + 1)$ ; b) $(x - y) (x^{2} + x y + y^{2} + 1)$ ; c) $2 x (x^{2} + 3 y^{2})$ ; d) $(x - y) (x^{2} - 2 x y + y^{2} - x - y)$ .

3Cách 3. Hệ số bất định

Định hướng. Nhân tử bậc nhất đã biết từ việc nhẩm nghiệm, nhân tử còn lại để ẩn hệ số rồi nhân ra và đồng nhất; riêng câu c chỉ cần một hệ số nên thay một giá trị là đủ.

a) Giả sử

x^{3} + y^{3} + x + y = (x + y) (x^{2} + a x y + b y^{2} + c)

= x^{3} + (a + 1) x^{2} y + (b + a) x y^{2} + b y^{3} + c x + cy

a + 1 = 0

;

b + a = 0

;

b = 1

;

c = 1

a = - 1

;

b = 1

;

c = 1

x^{3} + y^{3} + x + y = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2} + 1)

b) Giả sử

x^{3} - y^{3} + x - y = (x - y) (x^{2} + a x y + b y^{2} + c)

= x^{3} + (a - 1) x^{2} y + (b - a) x y^{2} - b y^{3} + c x - cy

a - 1 = 0

;

b - a = 0

;

- b = - 1

;

c = 1

a = b = c = 1

x^{3} - y^{3} + x - y = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2} + 1)

c) Đa thức có nhân tử

x

, bậc ba, hệ số của

x^{3}

bằng

2

và không đổi khi thay

y

bởi

- y

, nên giả sử

(x - y)^{3} + (x + y)^{3} = 2 x (x^{2} + m y^{2})

Thay

x = 1

y = 1

0 + 8 = 2 (1 + m)

m = 3

(x - y)^{3} + (x + y)^{3} = 2 x (x^{2} + 3 y^{2})

d) Giả sử

x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} + y^{2} - x^{2} = (x - y) (x^{2} + a x y + b y^{2} + c x + d y)

= x^{3} + (a - 1) x^{2} y + (b - a) x y^{2} - b y^{3} + c x^{2} + (d - c) x y - d y^{2}

a - 1 = - 3

;

b - a = 3

;

- b = - 1

;

c = - 1

;

d - c = 0

;

- d = 1

a = - 2

;

b = 1

;

c = - 1

;

d = - 1

x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} + y^{2} - x^{2} = (x - y) (x^{2} - 2 x y + y^{2} - x - y)

Vậy a) $(x + y) (x^{2} - x y + y^{2} + 1)$ ; b) $(x - y) (x^{2} + x y + y^{2} + 1)$ ; c) $2 x (x^{2} + 3 y^{2})$ ; d) $(x - y) (x^{2} - 2 x y + y^{2} - x - y)$ .

Nhận xét. Câu a và câu b chỉ khác nhau đúng một dấu, kết quả cũng chỉ khác nhau ở dấu của $x y$ — nhớ một câu là suy ra được câu kia.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn ra

x^{3} + y^{3}

x^{3} - y^{3}

rồi rút nhân tử chung, mỗi câu ba dòng và không phải khai triển gì; Cách 2 để dành cho lúc hằng đẳng thức không lộ ra, còn Cách 3 dài nhất vì phải đồng nhất tới sáu hệ số.

Đáp số. a)

(x + y) (x^{2} - x y + y^{2} + 1)

; b)

(x - y) (x^{2} + x y + y^{2} + 1)

; c)

2 x (x^{2} + 3 y^{2})

; d)

(x - y) (x^{2} - 2 x y + y^{2} - x - y)

Sai lầm thường gặp. Phân tích chưa triệt để đứng đầu bảng: ở câu a dừng lại ở

(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) + (x + y)

mà quên rút tiếp

x + y

— kết quả vẫn là một tổng chứ chưa phải một tích. Quên đổi dấu ở câu d: viết

(x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}) + (y^{2} - x^{2}) = (x - y)^{3} + (x - y) (x + y)

vì bỏ sót

y^{2} - x^{2} = - (x - y) (x + y)

, dẫn tới

(x - y) (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x + y)

; thử

x = 2

y = 1

thấy đa thức gốc bằng

- 2

còn kết quả sai bằng

4

. Ở câu c thì nhớ nhầm

(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3}

nên viết ngay

(x - y)^{3} + (x + y)^{3} = (2 x)^{3} = 8 x^{3}

; thử

x = y = 1

cả hai cùng bằng

8

nên tưởng đúng, phải thử thêm

x = 1

y = 2

mới lộ: đa thức gốc bằng

26

còn

8 x^{3}

bằng

8

🚀 Mở rộng. Tổng quát,

x^{3} + y^{3} + k (x + y) = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2} + k)

với mọi số

k

; còn câu c có người anh em đối xứng là

(x + y)^{3} - (x - y)^{3} = 2 y (3 x^{2} + y^{2})

— đổi vai trò

x

và

y

cho nhau.

Nguồn: SGK Toán 8 — KNTT, tập 1, trang 46

Mở bài này trong app ↗