Chương III. Tứ giác

Luyện tập chung

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Ví dụ★★Trang 73— Chứng minh tứ giác là hình vuông từ giao điểm của hai đường tròn

Ví dụ (trang 73). Cho ba điểm

A

B

D

sao cho

A B = A D

và

A B

vuông góc với

A D

. Vẽ hai đường tròn cùng đi qua

A

, lần lượt có tâm là

B

và

D

. Hai đường tròn đó còn cắt nhau tại điểm

C

. Chứng minh

A B C D

là một hình vuông.

Kiến thức cần nhớ

Điểm nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ thì cách $O$ một khoảng bằng $R$ .
Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi (định nghĩa).
Hình thoi có một góc vuông là hình vuông (Chú ý, Bài 14).

🧠 Phân tích tư duy

Điểm

C

nằm trên cả hai đường tròn nên cho ngay hai cặp bán kính bằng nhau:

C B = A B

(đường tròn tâm

B

) và

C D = A D

(đường tròn tâm

D

). Ghép với giả thiết

A B = A D

, bốn cạnh

A B, B C, C D, D A

bằng nhau ngay lập tức — đúng dấu hiệu định nghĩa hình thoi; chỉ còn góc vuông có sẵn ở

A

để chốt hình vuông, không cần dựng thêm đường phụ nào.

1Cách 1. Dùng bán kính hai đường tròn (như SGK gợi ý)

Định hướng. $C$ là giao điểm của hai đường tròn nên $C$ nằm trên cả hai, cho ngay $C B = A B$ và $C D = A D$ ; ghép với giả thiết $A B = A D$ là đủ bốn cạnh bằng nhau.

C

nằm trên đường tròn tâm

B

đi qua

A

nên

B C = B A

C

nằm trên đường tròn tâm

D

đi qua

A

nên

D C = D A

Theo giả thiết

A B = A D

nên bốn cạnh

D C = A D = A B = B C

bằng nhau, tức

A B C D

là hình thoi (định nghĩa)
Theo giả thiết

A B ⊥ A D

nên góc

A

của hình thoi

A B C D

bằng

9 0^{\circ}

Vậy hình thoi $A B C D$ có một góc vuông tại $A$ nên $A B C D$ là một hình vuông.

2Cách 2. Toạ độ hoá với gốc tại A

Định hướng. Vì $A B ⊥ A D$ nên đặt luôn hai tia đó làm hai trục toạ độ, giải hệ phương trình hai đường tròn để tìm toạ độ $C$ rồi đọc thẳng ra hình vuông.

Chọn hệ trục

O x y

với gốc

A

, tia

A B

là trục hoành dương, tia

A D

là trục tung dương (hợp lệ vì

A B ⊥ A D

); đặt

A B = A D = a

thì

B (a; 0)

D (0; a)

C

thuộc đường tròn tâm

B

bán kính

a

(x - a)^{2} + y^{2} = a^{2}

;

C

thuộc đường tròn tâm

D

bán kính

a

x^{2} + (y - a)^{2} = a^{2}

Trừ hai phương trình:

(x - a)^{2} - x^{2} = (y - a)^{2} - y^{2} \Leftrightarrow - 2 a x + a^{2} = - 2 a y + a^{2} \Leftrightarrow x = y

Thế

x = y

vào phương trình đầu:

(x - a)^{2} + x^{2} = a^{2} \Leftrightarrow 2 x^{2} - 2 a x = 0 \Leftrightarrow x = 0

(ứng với điểm

A

, loại) hoặc

x = a

Vậy

C (a; a)

, tức bốn đỉnh

A (0; 0)

B (a; 0)

C (a; a)

D (0; a)

Vậy $A B C D$ có bốn cạnh cùng bằng $a$ và các cạnh liên tiếp cùng phương với hai trục toạ độ vuông góc, nên $A B C D$ là hình vuông cạnh $a$ .

3Cách 3. Dùng hai đường trung trực (đường chéo AC, BD)

Định hướng. $A$ và $C$ đều cách đều $B, D$ ; $B$ và $D$ đều cách đều $A, C$ — hai lần áp tính chất đường trung trực cho ngay hai đường chéo vừa vuông góc vừa cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, tức $A B C D$ là hình thoi mà không cần đếm cạnh trực tiếp.

B A = B C = a

(bán kính đường tròn tâm

B

) nên

B

cách đều

A, C

;

D A = D C = a

(bán kính đường tròn tâm

D

) nên

D

cách đều

A, C

\Rightarrow

B, D

cùng nằm trên đường trung trực của

A C

, tức đường thẳng

B D

là đường trung trực của

A C

A B = A D = a

(giả thiết) nên

A

cách đều

B, D

;

C B = C D = a

(vừa chứng minh ở trên) nên

C

cách đều

B, D

\Rightarrow

đường thẳng

A C

là đường trung trực của

B D

Gọi

O

là giao điểm của

A C

và

B D

: vì

B D

là trung trực của

A C

nên

O

là trung điểm

A C

và

B D ⊥ A C

; vì

A C

là trung trực của

B D

nên

O

cũng là trung điểm

B D

Hai đường chéo

A C

B D

cắt nhau tại trung điểm

O

của mỗi đường và vuông góc với nhau nên

A B C D

là hình thoi (Định lí 2b, Bài 14)

Vậy hình thoi $A B C D$ có góc $A$ vuông (giả thiết $A B ⊥ A D$ ) nên $A B C D$ là hình vuông.

Nhận xét. Cách này không cần đếm bốn cạnh bằng nhau trực tiếp mà đi thẳng vào tính chất đường chéo — hữu ích khi đề chỉ cho dữ kiện về đường tròn thay vì về cạnh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (bán kính hai đường tròn) đúng theo gợi ý SGK: chỉ bốn dòng là ra hình thoi có góc vuông, ngắn gọn nhất.

Đáp số.

A B C D

là hình vuông (bốn cạnh bằng nhau và có một góc vuông tại

A

Sai lầm thường gặp. Có bạn chỉ nêu

B C = B A

D C = D A

rồi kết luận ngay “

A B C D

là hình vuông” mà quên ghép với giả thiết

A B = A D

để có đủ chuỗi bốn đoạn bằng nhau

D C = A D = A B = B C

— thiếu bước này thì mới chỉ có hai cặp cạnh kề bằng nhau chứ chưa chắc là hình thoi.

🚀 Mở rộng. Nếu bỏ điều kiện

A B ⊥ A D

(chỉ giữ

A B = A D

), lập luận y hệt vẫn cho

A B C D

là hình thoi nhưng chưa chắc là hình vuông — điều kiện vuông góc tại

A

chính là mảnh ghép còn thiếu để lên hình vuông.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 3.34★★★Trang 73— Tứ giác dựng từ trung điểm cạnh và điểm đối xứng — nhận diện hình đặc biệt qua đường trung bình

3.34 (trang 73). Cho tam giác

A B C

;

M

và

N

lần lượt là trung điểm của hai cạnh

A B

và

A C

. Lấy điểm

P

sao cho

N

là trung điểm của đoạn thẳng

M P

. a) Hỏi tứ giác

A M C P

là hình gì? Vì sao? b) Với điều kiện nào của tam giác

A B C

thì tứ giác

A M C P

là hình chữ nhật; hình thoi; hình vuông?

Kiến thức cần nhớ

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật; có hai đường chéo vuông góc là hình thoi; có cả hai điều kiện là hình vuông.

🧠 Phân tích tư duy

Hai đường chéo của tứ giác

A M C P

chính là

A C

và

M P

; đề đã cho sẵn

N

là trung điểm của cả

A C

(vì

N

là trung điểm cạnh

A C

) lẫn

M P

(theo cách dựng

P

) — đúng dấu hiệu “hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường” nên câu a) gần như cho không. Ở câu b), mấu chốt là nhận ra

M N

chính là đường trung bình của tam giác

A B C

(song song và bằng nửa

B C

), nên

M P = 2 M N = B C

và

M P ∥ B C

— từ đó chỉ cần so sánh

A C

với

B C

(bằng nhau ⇒ chữ nhật) hoặc vuông góc với

B C

(⇒ thoi) là quy được bài toán về đúng ngôn ngữ quen thuộc của tam giác

A B C

1Cách 1. Đọc thẳng trung điểm chung của hai đường chéo

Định hướng. Hai đường chéo của tứ giác $A M C P$ là $A C$ và $M P$ ; chỉ cần đọc đúng giả thiết là thấy ngay cả hai đều nhận $N$ làm trung điểm, cho hình bình hành tức khắc.

N

là trung điểm của

A C

(giả thiết:

N

là trung điểm cạnh

A C

)

N

là trung điểm của

M P

(giả thiết:

N

là trung điểm đoạn thẳng

M P

)
Tứ giác

A M C P

có hai đường chéo

A C

M P

cắt nhau tại

N

là trung điểm của mỗi đường
Suy ra

A M C P

là hình bình hành (a)
Trong tam giác

A B C

M

N

lần lượt là trung điểm

A B

A C

nên

M N

là đường trung bình, do đó

M N ∥ B C

và

M N = \frac{1}{2} B C

N

là trung điểm

M P

nên

M P = 2 M N = B C

, đồng thời

M P

nằm trên đường thẳng

M N

nên

M P ∥ B C

Hình bình hành

A M C P

là hình chữ nhật

\Leftrightarrow

hai đường chéo bằng nhau

A C = M P \Leftrightarrow A C = B C

Hình bình hành

A M C P

là hình thoi

\Leftrightarrow

hai đường chéo vuông góc

A C ⊥ M P \Leftrightarrow A C ⊥ B C

(vì

M P ∥ B C

)

A M C P

là hình vuông

\Leftrightarrow

đồng thời cả hai điều kiện trên

Vậy a) $A M C P$ là hình bình hành. b) $A M C P$ là hình chữ nhật $\Leftrightarrow △ A B C$ cân tại $C$ ( $A C = B C$ ); là hình thoi $\Leftrightarrow △ A B C$ vuông tại $C$ ; là hình vuông $\Leftrightarrow △ A B C$ vuông cân tại $C$ .

2Cách 2. Vectơ — công thức trung điểm

Định hướng. Biểu diễn $M, N, P$ theo $A, B, C$ bằng công thức trung điểm rồi tính trực tiếp hai vectơ cạnh đối và hai vectơ đường chéo — không cần vẽ hình để "thấy" trung điểm chung.

M = \frac{A + B}{2}

N = \frac{A + C}{2}

; vì

N

là trung điểm

M P

nên

P = 2 N - M = \frac{A}{2} + C - \frac{B}{2}

A M = M - A = \frac{B - A}{2}

;

P C = C - P = C - (\frac{A}{2} + C - \frac{B}{2}) = \frac{B - A}{2}

Suy ra

A M = P C

, tức

A M ∥ P C

và

A M = P C

(a)

A C = C - A

;

M P = P - M = (\frac{A}{2} + C - \frac{B}{2}) - \frac{A + B}{2} = C - B = B C

A M C P

là hình chữ nhật

\Leftrightarrow ∣ A C ∣ = ∣ M P ∣ \Leftrightarrow A C = B C

A M C P

là hình thoi

\Leftrightarrow A C \cdot M P = 0 \Leftrightarrow A C \cdot B C = 0 \Leftrightarrow A C ⊥ B C

Vậy a) $A M C P$ có một cặp cạnh đối $A M$ , $P C$ vừa song song vừa bằng nhau nên là hình bình hành. b) Kết quả trùng Cách 1: hình chữ nhật khi $A C = B C$ , hình thoi khi $A C ⊥ B C$ , hình vuông khi cả hai.

Nhận xét. Đẳng thức vectơ $M P = B C$ cho luôn cả độ dài lẫn phương song song trong một bước, không cần xét riêng đường trung bình.

3Cách 3. Hai tam giác bằng nhau ΔANM = ΔCNP

Định hướng. Không dùng thẳng định lí "trung điểm chung hai đường chéo", mà dựng lại từ hai tam giác bằng nhau tạo bởi giao điểm $N$ — cách trình bày quen thuộc với học sinh mới học dấu hiệu hình bình hành.

Xét

△ A N M

và

△ C N P

A N = C N

(

N

trung điểm

A C

M N = P N

(

N

trung điểm

M P

A N M = C N P

(hai góc đối đỉnh)

\Rightarrow △ A N M = △ C N P

(c.g.c)

\Rightarrow A M = C P

và

M A N = P C N

Hai góc

M A N

P C N

ở vị trí so le trong của hai đường thẳng

A M

C P

cắt bởi cát tuyến

A C

nên

A M ∥ C P

Tứ giác

A M C P

có

A M = C P

và

A M ∥ C P

nên là hình bình hành (a)
Trong

△ A B C

M N

là đường trung bình nên

M N ∥ B C

M N = \frac{1}{2} B C

, suy ra

M P = B C

và

M P ∥ B C

(vì

M, N, P

thẳng hàng)

Vậy a) $A M C P$ là hình bình hành. b) Áp lại hai đường chéo $A C$ , $M P = B C$ như Cách 1: hình chữ nhật khi $△ A B C$ cân tại $C$ , hình thoi khi $△ A B C$ vuông tại $C$ , hình vuông khi $△ A B C$ vuông cân tại $C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc thẳng

N

là trung điểm chung của

A C

M P

để ra hình bình hành trong một dòng, không cần chứng minh lại bằng tam giác bằng nhau.

Đáp số. a)

A M C P

là hình bình hành. b) Hình chữ nhật

\Leftrightarrow A C = B C

(

△ A B C

cân tại

C

); hình thoi

\Leftrightarrow A C ⊥ B C

(

△ A B C

vuông tại

C

); hình vuông

\Leftrightarrow △ A B C

vuông cân tại

C

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn ở câu b) so sánh nhầm điều kiện với cạnh

A B

(đường trung bình

M N

chứ không phải

M P

) — cần nhớ đường chéo cần so sánh với

A C

là

M P

(bằng cả đoạn

B C

, không phải nửa

B C

), vì

N

đã nhân đôi

M N

thành

M P

🚀 Mở rộng. Nếu thay

N

là trung điểm

A C

bằng một điểm bất kì trên

A C

(không phải trung điểm) thì

A M C P

không còn chắc là hình bình hành — chính tính chất trung điểm kép mới đảm bảo hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 3.35★★★Trang 73— Tứ giác tạo bởi các tia phân giác góc của hình bình hành

3.35 (trang 73). Cho hình bình hành

A B C D

. Các tia phân giác của các góc

A

B

C

D

cắt nhau như trên Hình 3.58. Chứng minh rằng

E F G H

là hình chữ nhật.

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng song song bị cắt bởi một cát tuyến thì hai góc trong cùng phía bù nhau.
Tổng ba góc của một tam giác bằng $18 0^{\circ}$ .
Tứ giác có bốn góc đều vuông là hình chữ nhật.

🧠 Phân tích tư duy

Hình bình hành có hai cặp góc kề bù dọc theo mỗi cạnh (chẳng hạn

A + D = 18 0^{\circ}

vì

A B ∥ C D

). Khi chia đôi mỗi góc bằng tia phân giác, tổng hai nửa góc kề bù đó luôn bằng

9 0^{\circ}

— đây chính là “máy in” góc vuông tại từng đỉnh của

E F G H

, không cần biết hình bình hành cụ thể ra sao. Bốn lần lặp lại đúng một lập luận ấy ở bốn cạnh cho ngay bốn góc vuông.

1Cách 1. Tính trực tiếp bốn góc vuông từ các cặp góc kề bù

Định hướng. Tại mỗi đỉnh của $E F G H$ (giao điểm hai tia phân giác kề nhau), xét tam giác nhỏ tạo bởi hai nửa góc kề bù của hình bình hành; tổng hai nửa góc ấy luôn là $9 0^{\circ}$ nên góc còn lại của tam giác — cũng là góc của $E F G H$ — bằng $9 0^{\circ}$ .

A B C D

là hình bình hành nên

A B ∥ C D

, suy ra

A + D = 18 0^{\circ}

(hai góc trong cùng phía)
Xét tam giác

A H D

(H là giao điểm của tia phân giác góc

A

và tia phân giác góc

D

H A D = \frac{1}{2} A

H D A = \frac{1}{2} D

, nên

H A D + H D A = \frac{1}{2} (A + D) = 9 0^{\circ}

Trong tam giác

A H D

A H D = 18 0^{\circ} - (H A D + H D A) = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ}

, tức

H = 9 0^{\circ}

Tương tự,

A D ∥ B C

nên

A + B = 18 0^{\circ}

; xét tam giác

A E B

(

E

là giao tia phân giác góc

A

và góc

B

) được

A E B = 9 0^{\circ}

, tức

E = 9 0^{\circ}

Lặp lại với cặp góc

B + C = 18 0^{\circ}

tại

F

và cặp

C + D = 18 0^{\circ}

tại

G

, đều cho

F = G = 9 0^{\circ}

Vậy tứ giác $E F G H$ có cả bốn góc $E = F = G = H = 9 0^{\circ}$ nên $E F G H$ là hình chữ nhật.

2Cách 2. Chứng minh hình bình hành trước rồi chỉ ra một góc vuông

Định hướng. Thay vì tính cả bốn góc, chỉ cần chứng minh $E F G H$ đã là hình bình hành (từ tính chất đối xứng của hình bình hành $A B C D$ qua tâm), rồi dùng đúng một góc vuông đã tính ở Cách 1 để kết luận — ngắn hơn vì không lặp lại lập luận bốn lần.

Gọi

O

là tâm đối xứng của hình bình hành

A B C D

(giao điểm hai đường chéo); phép đối xứng tâm

O

biến

A \leftrightarrow C

B \leftrightarrow D

và biến tia phân giác góc

A

thành tia phân giác góc

C

(vì

A = C

, hai góc đối của hình bình hành), tương tự tia phân giác góc

B

thành tia phân giác góc

D

Do đó phép đối xứng tâm

O

biến giao điểm

E

(của hai phân giác góc

A

B

) thành giao điểm

G

(của hai phân giác góc

C

D

), tức

O

là trung điểm

E G

; tương tự

O

là trung điểm

H F

Tứ giác

E F G H

có hai đường chéo

E G

H F

cùng nhận

O

làm trung điểm nên

E F G H

là hình bình hành
Theo Cách 1,

H = 9 0^{\circ}

(từ tam giác

A H D

có

H A D + H D A = 9 0^{\circ}

)

Vậy $E F G H$ là hình bình hành có một góc vuông tại $H$ nên $E F G H$ là hình chữ nhật.

Nhận xét. Cách này chỉ cần dựng một góc vuông duy nhất thay vì tính đủ bốn góc như Cách 1, nhưng phải biện luận thêm bước đối xứng tâm để có hình bình hành.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ dùng tính chất góc trong cùng phía và tổng ba góc tam giác, không cần biện luận phép đối xứng tâm — dễ trình bày và chấm điểm hơn.

Đáp số.

E F G H

là hình chữ nhật (có bốn góc vuông).

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chỉ tính được một góc vuông (ví dụ

H = 9 0^{\circ}

) rồi kết luận ngay

E F G H

là hình chữ nhật mà chưa chỉ ra

E F G H

là hình bình hành trước — một tứ giác có đúng một góc vuông chưa chắc là hình chữ nhật, phải có đủ bốn góc vuông (Cách 1) hoặc hình bình hành + một góc vuông (Cách 2).

🚀 Mở rộng. Kết quả này đúng cho MỌI hình bình hành (không cần hình chữ nhật hay hình thoi): chỉ cần có hai cặp cạnh đối song song là đã đủ hai cặp góc kề bù để tạo ra bốn góc vuông ở

E F G H

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.36★★Trang 73— Vận dụng dấu hiệu hình bình hành và tính chất cứng của tam giác vào một tình huống thực tế

3.36 (trang 73). Một khung tre hình chữ nhật có lắp đinh vít tại bốn đỉnh. Khi khung tre này bị xô lệch (do các đinh vít bị lỏng), các góc không còn vuông nữa thì khung đó là hình gì? Tại sao? Hỏi khi nẹp thêm một đường chéo vào khung đó thì nó còn bị xô lệch không?

Kiến thức cần nhớ

Tứ giác có các cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
Một tam giác có độ dài ba cạnh xác định thì hình dạng của tam giác đó là duy nhất (không thể biến dạng nếu giữ nguyên ba cạnh).

🧠 Phân tích tư duy

Bốn thanh tre là bốn đoạn thẳng cứng, độ dài không đổi dù đinh vít lỏng; điều duy nhất thay đổi khi khung “xô lệch” là các góc ở đỉnh. Vì hai cặp cạnh đối vẫn giữ nguyên độ dài bằng nhau (đúng dấu hiệu nhận biết hình bình hành), khung luôn là một hình bình hành ở mọi trạng thái xô lệch — chỉ có hình chữ nhật ban đầu là trường hợp đặc biệt khi góc còn vuông. Câu hỏi về đường chéo lại dùng một tính chất khác hẳn: tam giác với ba cạnh cố định thì hình dạng cố định (không xô lệch được), nên nẹp chéo là biến một hình bình hành “mềm” thành hai tam giác “cứng”.

1Cách 1. Dùng dấu hiệu cạnh đối bằng nhau

Định hướng. Bốn đinh vít chỉ cho phép các góc ở đỉnh thay đổi tự do, còn bốn thanh tre (bốn cạnh) vẫn giữ nguyên độ dài như lúc còn là hình chữ nhật; so khớp với đúng dấu hiệu nhận biết hình bình hành bằng cạnh đối.

Gọi khung tre ban đầu là hình chữ nhật

A B C D

với

A B = C D

B C = A D

(hai cặp cạnh đối bằng nhau)
Khi các đinh vít ở bốn đỉnh bị lỏng, các góc

A, B, C, D

có thể thay đổi tự do nhưng độ dài bốn thanh tre

A B, B C, C D, D A

không đổi (thanh tre cứng, không co giãn)
Tứ giác mới vẫn có

A B = C D

và

B C = A D

(hai cặp cạnh đối bằng nhau)
Tứ giác có các cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

Vậy khung tre bị xô lệch trở thành một hình bình hành (không còn là hình chữ nhật vì các góc không còn vuông).

2Cách 2. Dùng phép đối xứng tâm (tính chất biến hình)

Định hướng. Vì khung là một cơ cấu bốn thanh khớp nối tại bốn đỉnh (một “tứ giác khớp bản lề”), điểm cắt hai đường chéo luôn là tâm đối xứng của cơ cấu ở mọi vị trí xô lệch — đây là bản chất cơ khí khác với việc chỉ so cạnh.

Gọi

O

là giao điểm hai thanh chéo ảo nối hai đỉnh đối diện

A, C

và

B, D

của khung ban đầu (hình chữ nhật) — vì hình chữ nhật có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên

O

là trung điểm cả

A C

lẫn

B D

Cơ cấu bốn thanh

A B, B C, C D, D A

khớp nối tại

A, B, C, D

chỉ có thể biến dạng bằng cách quay quanh các khớp, nhưng khoảng cách từ mỗi đỉnh tới các đỉnh kề vẫn giữ nguyên (độ dài thanh không đổi) và toàn bộ cơ cấu vẫn đối xứng nhau từng cặp đỉnh đối diện qua

O

do cấu trúc hình bình hành duy trì
Điều này cho lại đúng kết luận:

O

vẫn là trung điểm của cả hai "đường chéo" nối đỉnh đối diện ở mọi trạng thái xô lệch, tức tứ giác luôn có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Vậy khung tre luôn là hình bình hành ở mọi trạng thái xô lệch (dấu hiệu hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường), khớp với kết luận của Cách 1.

Nhận xét. Khi nẹp thêm một đường chéo (ví dụ $A C$ ) vào khung: đường chéo chia hình bình hành thành hai tam giác $A B C$ và $A C D$ , mỗi tam giác có ba cạnh cố định (hai cạnh khung cộng đường chéo mới) nên hình dạng của mỗi tam giác là duy nhất, không thể biến dạng thêm. Do đó khung được nẹp chéo sẽ không còn bị xô lệch nữa — nó trở thành một cơ cấu cứng, giữ nguyên hình dạng tại thời điểm nẹp (hình bình hành lúc đó, có thể không còn là hình chữ nhật nếu đã bị lệch trước khi nẹp).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: so sánh trực tiếp các cặp cạnh đối bằng nhau, ngắn gọn và không cần lập luận về tâm đối xứng.

Đáp số. Khung tre bị xô lệch trở thành một hình bình hành. Khi nẹp thêm một đường chéo, khung không còn bị xô lệch nữa (tam giác có ba cạnh cố định thì hình dạng cố định).

Sai lầm thường gặp. Có bạn cho rằng khung xô lệch có thể trở thành "tứ giác bất kì" (không có tính chất đặc biệt gì) — cần nhớ bốn thanh tre không đổi độ dài, nên hai cặp cạnh đối vẫn luôn bằng nhau, đủ điều kiện là hình bình hành chứ không phải một tứ giác tuỳ ý.

🚀 Mở rộng. Đây chính là nguyên lí thực tế dùng trong xây dựng và cơ khí: giàn giáo, cửa cổng xếp thường dùng khớp bản lề hình bình hành để gấp gọn; ngược lại, muốn khung giữ cố định hình dạng (như khung cửa, dàn mái) người ta luôn nẹp thêm thanh chéo để biến các mặt thành tam giác cứng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 3.37★★★Trang 73— Nhận diện tứ giác từ tia phân giác của hai góc kề bù và hai chân đường vuông góc

3.37 (trang 73). Gọi

O u

và

O v

lần lượt là hai tia phân giác của hai góc kề bù

x O y

và

x^{'} O y

;

A

là một điểm khác

O

trên tia

O x

. Gọi

B

và

C

là chân đường vuông góc hạ từ

A

lần lượt xuống đường thẳng chứa

O u

và

O v

. Hỏi tứ giác

O B A C

là hình gì? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

Hai tia phân giác của một cặp góc kề bù thì vuông góc với nhau.
Tổng bốn góc trong một tứ giác bằng $36 0^{\circ}$ .
Tứ giác có ba góc vuông thì góc còn lại cũng vuông, nên tứ giác đó là hình chữ nhật.

🧠 Phân tích tư duy

Chìa khoá của bài là nhận ra hai tia phân giác của một cặp góc kề bù luôn vuông góc với nhau — đây là một tính chất quen thuộc (tổng hai góc kề bù

18 0^{\circ}

nên tổng hai nửa góc là

9 0^{\circ}

), cho ngay góc

u O v = 9 0^{\circ}

, tức góc

O

của tứ giác

O B A C

đã vuông sẵn. Cộng thêm hai góc vuông có sẵn tại

B

C

(vì

A B

A C

là các đường vuông góc hạ xuống

O u

O v

), tứ giác

O B A C

có tới ba góc vuông — chỉ còn kiểm tra góc thứ tư bằng tổng góc tứ giác là xong.

1Cách 1. Chỉ ra ba góc vuông rồi suy góc thứ tư

Định hướng. Dùng tính chất hai tia phân giác của góc kề bù vuông góc với nhau để có góc $O$ vuông, cộng với hai góc vuông có sẵn tại $B$ , $C$ (theo cách dựng đường vuông góc); tổng bốn góc tứ giác bằng $36 0^{\circ}$ buộc góc còn lại cũng vuông.

x O y

và

x^{'} O y

là hai góc kề bù nên

x O y + x^{'} O y = 18 0^{\circ}

O u

O v

lần lượt là tia phân giác của

x O y

x^{'} O y

nên

u O y = \frac{1}{2} x O y

và

y O v = \frac{1}{2} x^{'} O y

, suy ra

u O v = u O y + y O v = \frac{1}{2} (x O y + x^{'} O y) = \frac{1}{2} \cdot 18 0^{\circ} = 9 0^{\circ}

Vì

B \in O u

C \in O v

nên

B O C = u O v = 9 0^{\circ}

, tức

O = 9 0^{\circ}

trong tứ giác

O B A C

B

là chân đường vuông góc hạ từ

A

xuống đường thẳng

O u

nên

A B ⊥ O B

, tức

O B A = 9 0^{\circ}

C

là chân đường vuông góc hạ từ

A

xuống đường thẳng

O v

nên

A C ⊥ O C

, tức

O C A = 9 0^{\circ}

Tứ giác

O B A C

có

O + B + A + C = 36 0^{\circ}

, mà

O = B = C = 9 0^{\circ}

nên

A = 36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ}

Vậy tứ giác $O B A C$ có cả bốn góc đều vuông nên $O B A C$ là hình chữ nhật.

2Cách 2. Toạ độ hoá với hai trục Ou, Ov

Định hướng. Vì đã biết $O u ⊥ O v$ (chứng minh như Cách 1), đặt ngay hai tia đó làm hai trục toạ độ; khi đó $B$ , $C$ chính là hình chiếu của $A$ lên hai trục, và toạ độ cho thấy ngay $O B A C$ là hình chữ nhật.

Theo chứng minh ở trên,

O u ⊥ O v

nên chọn hệ trục

O uv

với gốc

O

, trục hoành là đường thẳng

O u

, trục tung là đường thẳng

O v

Gọi toạ độ của

A

trong hệ trục này là

A (p; q)

với

p, q \neq = 0

(vì

A

không thuộc

O u

hay

O v

, do

A

nằm trên tia

O x

không trùng hai tia phân giác)

B

là chân đường vuông góc từ

A

xuống trục hoành (

O u

) nên

B (p; 0)

;

C

là chân đường vuông góc từ

A

xuống trục tung (

O v

) nên

C (0; q)

Tứ giác

O B A C

có bốn đỉnh

O (0; 0)

B (p; 0)

A (p; q)

C (0; q)

— đây đúng là bốn đỉnh của một hình chữ nhật với hai cạnh

O B = C A = ∣ p ∣

và

O C = B A = ∣ q ∣

, các cạnh cùng phương với hai trục vuông góc

Vậy $O B A C$ là hình chữ nhật (cạnh $∣ p ∣$ và $∣ q ∣$ ), khớp với kết luận của Cách 1.

Nhận xét. Cách toạ độ cho luôn cả độ dài hai cạnh $O B, O C$ theo toạ độ của $A$ , tiện khi đề bài hỏi thêm về diện tích hay chu vi của $O B A C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần cộng góc và áp tổng bốn góc tứ giác, không cần dựng thêm hệ trục toạ độ.

Đáp số. Tứ giác

O B A C

là hình chữ nhật (có bốn góc vuông tại

O

B

A

C

Sai lầm thường gặp. Có bạn quên chứng minh

O u ⊥ O v

mà mặc định “hai tia phân giác luôn vuông góc” như một điều hiển nhiên — cần nêu rõ đây là hệ quả của

x O y + x^{'} O y = 18 0^{\circ}

(kề bù), không phải tính chất đúng với MỌI cặp góc phân giác bất kỳ.

🚀 Mở rộng. Nếu thay điều kiện “kề bù” bằng hai góc phụ nhau (

x O y + x^{'} O y = 9 0^{\circ}

) thì hai tia phân giác sẽ tạo với nhau một góc

4 5^{\circ}

thay vì

9 0^{\circ}

, và tứ giác

O B A C

khi đó không còn là hình chữ nhật nữa.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 3.38★★★★Trang 73— Chứng minh tổng hai đoạn bằng một đoạn thứ ba qua phân giác vuông góc trong hình vuông

3.38 (trang 73). Cho hình vuông

A B C D

. Lấy một điểm

E

trên cạnh

C D

. Tia phân giác của góc

D A E

cắt cạnh

D C

tại

M

. Đường thẳng qua

M

vuông góc với

A E

cắt

B C

tại

N

. Chứng minh

D M + B N = M N

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, hai tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau và một góc nhọn bằng nhau thì bằng nhau (cạnh huyền – góc nhọn).
Hai tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau và một cạnh góc vuông bằng nhau thì bằng nhau (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một tia phân giác (

A M

) và một đường vuông góc với cạnh kia của góc (

M N ⊥ A E

) — dấu hiệu quen thuộc để “gập” một đoạn vào một đoạn khác bằng tam giác bằng nhau. Gọi

K

là giao điểm của

A E

và

M N

(có sẵn vì

M N ⊥ A E

): trong tam giác vuông

A K M

, góc tại

A

đúng bằng

D A M

(vì

K

nằm trên tia

A E

), nên nếu ghép với tam giác vuông

A D M

(cũng có góc

D A M

ở đỉnh

A

) sẽ có hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn, cho

D M = K M

và đặc biệt

A D = A K

. Từ

A D = A K = A B

, lại có thêm một cặp tam giác vuông bằng nhau ở phía

B

N

cho

B N = K N

— cộng hai đẳng thức lại đúng là điều cần chứng minh.

1Cách 1. Dùng điểm K = AE ∩ MN và hai lần tam giác vuông bằng nhau

Định hướng. Gọi $K$ là giao điểm của $A E$ và $M N$ (có sẵn vì $M N ⊥ A E$ theo đề). So sánh tam giác vuông $A D M$ với $A K M$ (chung cạnh huyền $A M$ , cùng góc nhọn $D A M = K A M$ ), rồi tam giác vuông $A B N$ với $A K N$ (chung cạnh huyền $A N$ , cùng cạnh góc vuông $A B = A K$ ) để "gập" cả $D M$ lẫn $B N$ về cùng nằm trên đoạn $M N$ .

Gọi

K

là giao điểm của đường thẳng

A E

và đường thẳng

M N

(tồn tại vì

M N ⊥ A E

)

A M

là tia phân giác của

D A E

nên

D A M = K A M

(vì

K

thuộc tia

A E

)
Xét hai tam giác vuông

A D M

(vuông tại

D

, vì

A B C D

là hình vuông) và

A K M

(vuông tại

K

, vì

M K ⊥ A E

): có cạnh huyền

A M

chung,

D A M = K A M

\Rightarrow △ A D M = △ A K M

(cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra

A D = A K

và

D M = K M

Vì

A B C D

là hình vuông nên

A B = A D

, kết hợp

A D = A K

ở trên suy ra

A B = A K

Xét hai tam giác vuông

A B N

(vuông tại

B

) và

A K N

(vuông tại

K

, cùng thuộc đường thẳng

M N

): có cạnh huyền

A N

chung, cạnh góc vuông

A B = A K

\Rightarrow △ A B N = △ A K N

(cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra

B N = K N

K

nằm giữa

M

và

N

trên đường thẳng

M N

(vì

K

là giao điểm của đoạn

A E

với đoạn nối

M

trên

D C

và

N

trên

B C

, nằm trong hình vuông) nên

M N = M K + K N

Vậy $M N = M K + K N = D M + B N$ , tức $D M + B N = M N$ (điều phải chứng minh).

2Cách 2. Cũng dùng điểm K nhưng khép lại bằng định lí Pythagore

Định hướng. Giữ nguyên điểm $K = A E \cap M N$ và kết quả $A K = A D = A B$ như Cách 1, nhưng thay vì chứng minh $△ A B N = △ A K N$ bằng trường hợp bằng nhau, tính trực tiếp $K N$ và $B N$ qua định lí Pythagore trong hai tam giác vuông chung cạnh huyền $A N$ — một cách khép bài toán thuần đại số, không gọi tên trường hợp bằng nhau tam giác ở bước cuối.

Gọi

K

là giao điểm của đường thẳng

A E

và đường thẳng

M N

(có vì

M N ⊥ A E

)
Như Cách 1:

△ A D M = △ A K M

(cạnh huyền – góc nhọn, chung

A M

D A M = K A M

)

\Rightarrow A K = A D

và

K M = D M

A B C D

là hình vuông nên

A D = A B

, suy ra

A K = A B

(gọi chung độ dài này là

a

, cạnh của hình vuông)
Tam giác

A K N

vuông tại

K

(vì

K \in M N

M N ⊥ A E ∋ K

, và góc vuông ở

K

là góc giữa

A K

và

K N

... cụ thể

A K \subset A E

K N \subset M N

, mà

M N ⊥ A E

) nên theo Pythagore:

A N^{2} = A K^{2} + K N^{2} = a^{2} + K N^{2}

Tam giác

A B N

vuông tại

B

(góc của hình vuông) nên theo Pythagore:

A N^{2} = A B^{2} + B N^{2} = a^{2} + B N^{2}

So sánh hai biểu thức của

A N^{2}

a^{2} + K N^{2} = a^{2} + B N^{2} \Rightarrow K N^{2} = B N^{2} \Rightarrow K N = B N

(hai độ dài dương)

K

nằm giữa

M

N

trên đường thẳng

M N

nên

M N = M K + K N = D M + B N

Vậy $D M + B N = M N$ , khớp kết luận Cách 1.

Nhận xét. Chìa khoá chung của cả hai cách là $A K = A D = A B$ (ba đoạn cùng bằng cạnh hình vuông) — Cách 1 khép bằng trường hợp bằng nhau của tam giác vuông, Cách 2 khép bằng định lí Pythagore cho cùng một cặp tam giác vuông chung cạnh huyền $A N$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: không cần dựng thêm điểm phụ bên ngoài hình, chỉ cần gọi tên giao điểm K đã có sẵn từ giả thiết

M N ⊥ A E

, hai lần áp trường hợp bằng nhau của tam giác vuông là xong.

Đáp số.

D M + B N = M N

(đã chứng minh bằng hai tam giác vuông bằng nhau qua điểm

K = A E \cap M N

Sai lầm thường gặp. Có bạn ngộ nhận

K

là trung điểm của

M N

nên viết luôn

M K = K N

— thực ra

M K = D M

và

K N = B N

chỉ bằng nhau khi

D M = B N

(tức

E

ở vị trí đặc biệt), trường hợp tổng quát

K

chia

M N

theo tỉ lệ bất kỳ tuỳ vị trí của

E

trên

C D

🚀 Mở rộng. Nếu

E

trùng

C

thì

D A E = D A C = 4 5^{\circ}

(đường chéo hình vuông), lúc đó

M

cũng chính là điểm mà

A M

là phân giác góc

D A C

; bài toán vẫn cho

D M + B N = M N

nhưng cấu hình trở thành trường hợp riêng dễ kiểm tra bằng số để đối chiếu kết quả tổng quát.

Mở bài này trong app ↗