Chương IV. Định lí Thalès

Luyện tập chung

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Ví dụ 1★★Trang 87— Tìm độ dài đoạn thẳng nhờ dấu hiệu hai đường thẳng song song và định lí Thalès

Ví dụ 1 (trang 87). Tìm độ dài

x

trong Hình 4.27, biết trên hình hai góc

A M N

và

A B C

được đánh dấu bằng nhau.

Kiến thức cần nhớ

Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song: hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng song song.
Định lí Thalès trong tam giác: đường thẳng song song với một cạnh của tam giác định ra trên hai cạnh còn lại những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

🧠 Phân tích tư duy

Đề đánh dấu hai góc

A M N

và

A B C

bằng nhau — đây là dấu hiệu đồng vị để nhận ra

M N ∥ B C

, không phải cho sẵn

x

trực tiếp. Một khi có

M N ∥ B C

, bài toán trở về đúng dạng quen thuộc: định lí Thalès trong tam giác

A B C

nối hai cặp đoạn tỉ lệ. Bẫy hay gặp là ghép nhầm cặp đoạn tỉ lệ vì bốn đoạn

16, x, 20, 15

nằm liên tiếp trên hình, dễ nhìn lộn thứ tự.

1Cách 1. Dấu hiệu song song rồi Thalès (tỉ số từng phần)

Định hướng. Hai góc $A M N = A B C$ ở vị trí đồng vị nên $M N ∥ B C$ ; áp dụng định lí Thalès trong tam giác $A B C$ để lập tỉ lệ thức chứa $x$ .

Ta có

A M N = A B C

(giả thiết), mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên

M N ∥ B C

(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).
Suy ra

\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C}

(định lí Thalès trong tam giác

A B C

),
hay

\frac{16}{x} = \frac{20}{15}

,
suy ra

x = \frac{16 \cdot 15}{20}

x = 12

Vậy $x = 12$ .

2Cách 2. Tam giác đồng dạng (tỉ số toàn phần)

Định hướng. Từ $M N ∥ B C$ suy ra $△ A M N ∽ △ A B C$ (góc $A$ chung, $A M N = A B C$ ); dùng tỉ số đồng dạng theo hai cạnh toàn phần $A B, A C$ để tính $x$ .

△ A M N ∽ △ A B C

(

A

chung,

A M N = A B C

),
suy ra

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}

,
mà

A C = A N + N C = 20 + 15 = 35

,
nên

\frac{16}{A B} = \frac{20}{35}

A B = \frac{16 \cdot 35}{20} = 28

x = M B = A B - A M = 28 - 16

x = 12

Vậy $x = 12$ , khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 dùng tỉ số đồng dạng toàn phần $A M / A B$ nên phải tính thêm $A C$ và $A B$ trung gian, dài hơn Cách 1; tuy nhiên nó cho luôn cạnh $A B$ , hữu ích nếu đề còn hỏi thêm về $A B$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ hai dòng tỉ lệ thức rồi ra

x

ngay, không phải tính thêm cạnh phụ như Cách 2.

Đáp số.

x = 12

Sai lầm thường gặp. Ghép sai cặp tỉ lệ, ví dụ viết

\frac{A M}{N C} = \frac{A N}{M B}

thay vì

\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C}

— bốn đoạn thẳng nằm liên tiếp trên hình rất dễ ghép lộn thứ tự, phải luôn ghép theo đúng đỉnh chung

A

🚀 Mở rộng. Nếu chỉ đổi vai trò ẩn số sang

N C

(giữ

A M = 16, M B = 12, A N = 20

) thì cách làm không đổi, chỉ hoán vị tỉ lệ thức — luyện phản xạ nhận ra

M N ∥ B C

trước khi tính là mục tiêu chính của bài.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Ví dụ 2★★★Trang 87— Chứng minh hai đoạn thẳng song song bằng tính chất đường phân giác trong tam giác

Ví dụ 2 (trang 87). Cho tam giác

A B C

với đường trung tuyến

A M

. Tia phân giác của góc

A M B

cắt cạnh

A B

tại

D

, tia phân giác của góc

A M C

cắt cạnh

A C

tại

E

. Chứng minh

D E ∥ B C

Kiến thức cần nhớ

Tính chất đường phân giác trong tam giác: đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề.
Định lí Thalès đảo: đường thẳng định ra trên hai cạnh của tam giác những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì song song với cạnh còn lại.
Trung tuyến của tam giác đi qua trung điểm cạnh đối diện.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai tia phân giác trong hai tam giác con

A M B

A M C

có chung cạnh

A M

và hai cạnh đáy bằng nhau (

M B = M C

A M

là trung tuyến) — dấu hiệu để dùng tính chất đường phân giác trong tam giác, rồi ghép hai tỉ lệ thức lại nhờ

M B = M C

. Hướng an toàn là xét riêng từng tam giác con, tránh nhầm sang đường phân giác của tam giác

A B C

lớn. Bẫy: dễ bỏ qua việc nêu

M B = M C

trong khi đây chính là mắt xích nối hai tỉ lệ thức của hai tam giác con.

1Cách 1. Tỉ số từng phần trong hai tam giác con

Định hướng. Áp dụng tính chất đường phân giác trong hai tam giác $A M B$ và $A M C$ để có hai tỉ lệ thức theo $M A, M B, M C$ ; dùng $M B = M C$ để ghép hai tỉ lệ thức bằng nhau rồi suy ra $D E ∥ B C$ theo Thalès đảo.

Trong

△ A M B

M D

là phân giác của

A M B

nên

\frac{D A}{D B} = \frac{M A}{M B}

(tính chất đường phân giác trong tam giác). (1)
Trong

△ A M C

M E

là phân giác của

A M C

nên

\frac{E A}{E C} = \frac{M A}{M C}

(tính chất đường phân giác trong tam giác). (2)
Mặt khác,

M B = M C

(do

M

là trung điểm của

B C

). (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra

\frac{D A}{D B} = \frac{E A}{E C}

.
Do đó

D E ∥ B C

(định lí Thalès đảo).

Vậy $D E ∥ B C$ .

2Cách 2. Tỉ số toàn phần trên cạnh AB, AC

Định hướng. Biến đổi hai tỉ lệ thức ở Cách 1 sang dạng tỉ số toàn phần $\frac{D A}{A B}$ , $\frac{E A}{A C}$ rồi so sánh trực tiếp.

Từ

\frac{D A}{D B} = \frac{M A}{M B}

, cộng

1

vào hai vế:

\frac{D A}{D B} + 1 = \frac{M A}{M B} + 1

\frac{D A + D B}{D B} = \frac{M A + M B}{M B}

, hay

\frac{A B}{D B} = \frac{M A + M B}{M B}

,
suy ra

\frac{D A}{A B} = \frac{M A}{M A + M B}

. (1\')
Tương tự,

\frac{E A}{A C} = \frac{M A}{M A + M C}

. (2\')
Vì

M B = M C

nên vế phải của (1\') và (2\') bằng nhau, suy ra

\frac{D A}{A B} = \frac{E A}{A C}

.
Do đó

D E ∥ B C

(định lí Thalès đảo, dạng tỉ số toàn phần).

Vậy $D E ∥ B C$ .

Nhận xét. Cách 2 dùng đúng các tỉ lệ thức của Cách 1 nhưng quy về tỉ số toàn phần trên $A B, A C$ — hữu ích khi đề cho sẵn tỉ số toàn phần thay vì từng phần.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba dòng (1), (2), (3) rõ ràng, không phải biến đổi tỉ lệ thức thêm bước nào.

Đáp số.

D E ∥ B C

(đã chứng minh).

Sai lầm thường gặp. Áp dụng tính chất đường phân giác trực tiếp cho tam giác

A B C

lớn (viết nhầm

\frac{D A}{D B} = \frac{A C}{B C}

) — sai vì

D

là chân đường phân giác của góc

A M B

trong tam giác

A M B

, không phải chân đường phân giác của góc

A

trong tam giác

A B C

🚀 Mở rộng. Kết quả

\frac{D A}{D B} = \frac{E A}{E C} = \frac{M A}{M B}

vẫn đúng nếu thay trung tuyến

A M

bằng một cevian

A M^{'}

bất kì miễn

M^{'}

vẫn là trung điểm

B C

; nếu

M^{'}

không là trung điểm thì

D E

không còn song song

B C

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Ví dụ 3★★★Trang 87— Chứng minh vuông góc bằng đường trung bình và trực tâm tam giác

Ví dụ 3 (trang 87). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

, đường cao

A H

(

H \in B C

). Gọi

I

và

K

lần lượt là trung điểm của

A H

và

H B

. Chứng minh rằng:
a)

I K ⊥ A C

;
b)

A K ⊥ C I

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.
Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại trực tâm; qua trực tâm, đường nối đỉnh với trực tâm vuông góc với cạnh đối diện.
Hai đường thẳng song song thì đường vuông góc với đường này cũng vuông góc với đường kia.

🧠 Phân tích tư duy

Tam giác vuông tại

A

với đường cao

A H

cùng hai trung điểm

I, K

gợi ngay đường trung bình

I K

của tam giác

A H B

— dấu hiệu quen thuộc để suy ra

I K ∥ A B

rồi ghép với

A B ⊥ A C

ra câu a. Câu b nhìn vào hai đường cao

A H

K I

của tam giác

A K C

cùng đi qua

I

— dấu hiệu của trực tâm, cho lời giải ngắn hơn hẳn so với tính toán độ dài.

1Cách 1. Đường trung bình và trực tâm

Định hướng. Câu a: dùng đường trung bình $I K$ của $△ A H B$ để có $I K ∥ A B$ , ghép với $A B ⊥ A C$ . Câu b: nhận ra $I$ là trực tâm của $△ A K C$ vì $A H ⊥ K C$ và $K I ⊥ A C$ (câu a) cùng đi qua $I$ .

a) Tam giác

A H B

có

I

là trung điểm của

A H

K

là trung điểm của

B H

nên

K I

là đường trung bình của

△ A H B

.
Suy ra

K I ∥ A B

(tính chất đường trung bình của tam giác).
Vì

A B ⊥ A C

(do

△ A B C

vuông tại

A

) nên

K I ⊥ A C

.
b) Tam giác

A K C

có:

A H ⊥ K C

(giả thiết, vì

H \in B C

);

K I ⊥ A C

(chứng minh trên).
Vì

A H

cắt

K I

tại

I

nên

I

là trực tâm của

△ A K C

.
Suy ra

C I ⊥ A K

Vậy $I K ⊥ A C$ và $A K ⊥ C I$ .

2Cách 2. Toạ độ — tích vô hướng

Định hướng. Đặt hệ trục toạ độ với $A$ là gốc, hai cạnh góc vuông $A B, A C$ nằm trên hai trục; tính toạ độ $H, I, K$ rồi dùng tích vô hướng bằng $0$ để chứng minh vuông góc.

Chọn hệ trục toạ độ:

A (0; 0)

B (0; b)

C (c; 0)

với

b = A B, c = A C

.
Chân đường cao

H

từ

A

xuống

B C

có toạ độ

H (\frac{b ^{2} c}{b ^{2} + c ^{2}}; \frac{b c ^{2}}{b ^{2} + c ^{2}})

I

là trung điểm

A H

I = (\frac{b ^{2} c}{2 ( b ^{2} + c ^{2} )}; \frac{b c ^{2}}{2 ( b ^{2} + c ^{2} )})

K

là trung điểm

H B

K = (\frac{b ^{2} c}{2 ( b ^{2} + c ^{2} )}; \frac{b ( b ^{2} + 2 c ^{2} )}{2 ( b ^{2} + c ^{2} )})

.
a)

I K = (0; \frac{b}{2})

, mà

A C = (c; 0)

nên

I K \cdot A C = 0

.
Suy ra

I K ⊥ A C

.
b) Tính

A K = K - A

và

C I = I - C

, rút gọn

A K \cdot C I

được kết quả bằng

0

với mọi

b, c > 0

(đã kiểm bằng sympy).
Suy ra

A K ⊥ C I

Vậy $I K ⊥ A C$ và $A K ⊥ C I$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 (toạ độ) chắc chắn đúng với mọi tam giác vuông tại $A$ nhờ tính đại số trực tiếp, không cần phát hiện "trực tâm" như Cách 1, nhưng biểu thức toạ độ của $H$ cồng kềnh nên dài hơn — Cách 1 vẫn tối ưu khi đi thi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phát hiện

I

là trực tâm cho lời giải hai dòng, không cần thiết lập hệ trục toạ độ như Cách 2.

Đáp số.

I K ⊥ A C

và

A K ⊥ C I

(đã chứng minh).

Sai lầm thường gặp. Ngộ nhận

I

là trực tâm của

△ A B C

(tam giác lớn) thay vì

△ A K C

—

I

chỉ là trực tâm của tam giác nhỏ

A K C

vì chỉ có hai đường cao

A H, K I

của tam giác này đi qua

I

🚀 Mở rộng. Nếu

H

không phải chân đường cao thật của

△ A B C

(chỉ là điểm bất kì trên

B C

) thì

A H

không còn vuông góc

B C

, tính chất vuông góc ở cả câu a và câu b đều không còn đúng — điều kiện

A H ⊥ B C

là mấu chốt của cả bài.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 4.13★★Trang 88— Tìm độ dài đoạn thẳng nhờ dấu hiệu song song (so le trong) và định lí Thalès trong tam giác

Bài 4.13 (trang 88). Tìm độ dài

x

trong Hình 4.30, biết trên hình hai góc

D E M

và

E M N

được đánh dấu bằng nhau.

Kiến thức cần nhớ

Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song: hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song song.
Định lí Thalès trong tam giác: đường thẳng song song với một cạnh của tam giác định ra trên hai cạnh còn lại những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

🧠 Phân tích tư duy

Hai góc

D E M

E M N

được đánh dấu bằng nhau ở vị trí so le trong (cát tuyến

E M

) — dấu hiệu để suy ra

M N ∥ D E

. Khi đó nhìn tam giác

D E F

với cát tuyến

M N

song song cạnh

D E

, bài toán trở về đúng dạng Thalès quen thuộc. Bẫy ở chỗ

D M = 3, M F = 2

nằm trên cạnh

D F

còn

E N = 6, N F = x

nằm trên cạnh

E F

— phải ghép đúng hai đoạn kề đỉnh

F

với nhau (

M F

với

N F

1Cách 1. Dấu hiệu song song rồi Thalès (tỉ số từng phần)

Định hướng. Từ hai góc so le trong bằng nhau suy ra $M N ∥ D E$ ; áp dụng Thalès trong tam giác $D E F$ với hai cặp đoạn kề đỉnh $F$ .

Trong Hình 4.30,

D E M = E M N

mà hai góc này ở vị trí so le trong nên

M N ∥ D E

.
Áp dụng định lí Thalès vào tam giác

D E F

có

M N ∥ D E

, ta có

\frac{M F}{M D} = \frac{N F}{N E}

,
hay

\frac{2}{3} = \frac{x}{6}

,
suy ra

x = \frac{2 \cdot 6}{3}

x = 4

Vậy $x = 4$ (đơn vị độ dài).

2Cách 2. Tam giác đồng dạng (tỉ số toàn phần, lập phương trình)

Định hướng. Từ $M N ∥ D E$ suy ra $△ F M N ∽ △ F D E$ (góc $F$ chung); dùng tỉ số đồng dạng toàn phần trên cạnh $F D, F E$ rồi lập phương trình theo $x$ .

M N ∥ D E

(chứng minh trên) nên

△ F M N ∽ △ F D E

(

F

chung,

F M N = F D E

đồng vị).
Suy ra

\frac{F M}{F D} = \frac{F N}{F E}

,
mà

F D = F M + M D = 2 + 3 = 5

và

F E = F N + N E = x + 6

,
nên

\frac{2}{5} = \frac{x}{x + 6}

2 (x + 6) = 5 x

2 x + 12 = 5 x

3 x = 12

x = 4

Vậy $x = 4$ , khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 phải lập phương trình bậc nhất với $x$ ở cả hai vế (vì $F E$ chứa $x$ ), dài hơn Cách 1 vốn ghép tỉ lệ thức trực tiếp bằng các đoạn đã biết số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ghép thẳng

\frac{M F}{M D} = \frac{N F}{N E}

bằng số đã cho, ra

x

ngay không cần lập phương trình.

Đáp số.

x = 4

(đơn vị độ dài).

Sai lầm thường gặp. Ghép sai

\frac{D M}{M F} = \frac{N F}{N E}

(đảo tỉ số so với đúng

\frac{M F}{M D} = \frac{N F}{N E}

) — hai đoạn kề đỉnh

F

phải cùng vị trí tương ứng (tử với tử, mẫu với mẫu) trong tỉ lệ thức.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi vị trí

M, N

sang hai cạnh khác của tam giác nhưng vẫn giữ dấu hiệu so le trong tại đỉnh tương ứng thì cách nhận diện

M N ∥ D E

không đổi, chỉ đổi tên các đoạn trong tỉ lệ thức.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 4.14★★★Trang 88— Chứng minh song song bằng đường trung bình và so sánh độ dài bằng bất đẳng thức tam giác

Bài 4.14 (trang 88). Cho tứ giác

A B C D

, gọi

E

F

K

lần lượt là trung điểm của

A D

B C

A C

.
a) Chứng minh

E K ∥ C D

F K ∥ A B

.
b) So sánh

E F

và

\frac{1}{2} (A B + C D)

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.
Bất đẳng thức tam giác: một cạnh luôn nhỏ hơn hoặc bằng tổng hai cạnh còn lại (kể cả trường hợp ba điểm thẳng hàng, dấu bằng xảy ra).

🧠 Phân tích tư duy

Ba điểm

E, F, K

đều là trung điểm nên dấu hiệu bật ra ngay là đường trung bình:

K

cùng

E

(hoặc

F

) là hai trung điểm của hai cạnh tam giác

A C D

(hoặc

A C B

) có cạnh chung

A C

. Câu b so sánh

E F

với tổng hai đường trung bình gợi bất đẳng thức tam giác trong tam giác

E K F

— bẫy là phải xét cả trường hợp

E, K, F

thẳng hàng (khi

A B ∥ C D

) mới có dấu bằng, chứ không phải lúc nào cũng

E F

nhỏ hơn ngặt.

1Cách 1. Đường trung bình hai tam giác con rồi bất đẳng thức tam giác

Định hướng. Câu a: nhận $E K$ , $F K$ là đường trung bình của $△ A C D$ , $△ A C B$ (cùng cạnh chung $A C$ ). Câu b: xét ba điểm $E, K, F$ , dùng bất đẳng thức tam giác với $E K = \frac{1}{2} C D$ , $F K = \frac{1}{2} A B$ .

a) Tam giác

A C D

có

E

là trung điểm

A D

K

là trung điểm

A C

nên

E K

là đường trung bình của

△ A C D

.
Suy ra

E K ∥ C D

và

E K = \frac{1}{2} C D

.
Tam giác

A C B

có

F

là trung điểm

B C

K

là trung điểm

A C

nên

F K

là đường trung bình của

△ A C B

.
Suy ra

F K ∥ A B

và

F K = \frac{1}{2} A B

.
b) Theo bất đẳng thức tam giác cho ba điểm

E, K, F

(kể cả trường hợp suy biến thẳng hàng),

E F \leq E K + K F

,
mà

E K = \frac{1}{2} C D

và

K F = \frac{1}{2} A B

(câu a),
nên

E F \leq \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} C D = \frac{1}{2} (A B + C D)

Vậy $E K ∥ C D$ , $F K ∥ A B$ và $E F \leq \frac{1}{2} (A B + C D)$ , dấu bằng xảy ra khi $E, K, F$ thẳng hàng (tức $A B ∥ C D$ ).

Nhận xét. Dấu $=$ chỉ xảy ra khi $A B C D$ là hình thang đáy $A B, C D$ — nếu bỏ qua trường hợp này thì lời giải chưa trọn vẹn.

2Cách 2. Vectơ trung điểm

Định hướng. Biểu diễn $E, F, K$ qua vectơ trung điểm rồi tính trực tiếp $E F = E K + K F$ , dùng bất đẳng thức độ dài vectơ tổng để so sánh.

Với gốc

O

tuỳ ý:

O E = \frac{1}{2} (O A + O D)

O K = \frac{1}{2} (O A + O C)

O F = \frac{1}{2} (O B + O C)

.
Suy ra

E K = O K - O E = \frac{1}{2} (O C - O D) = \frac{1}{2} D C

, tức

E K = \frac{1}{2} C D

và

E K ∥ C D

.
Tương tự

K F = O F - O K = \frac{1}{2} (O B - O A) = \frac{1}{2} A B

, tức

F K = \frac{1}{2} A B

và

F K ∥ A B

.
Vì

E F = E K + K F

nên

∣ E F ∣ \leq ∣ E K ∣ + ∣ K F ∣

E F \leq \frac{1}{2} C D + \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} (A B + C D)

Vậy $E K ∥ C D$ , $F K ∥ A B$ và $E F \leq \frac{1}{2} (A B + C D)$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 gộp cả câu a và câu b trong một mạch tính vectơ duy nhất, gọn nhưng đòi hỏi thành thạo phép cộng vectơ trung điểm — Cách 1 trực quan hơn cho học sinh mới học đường trung bình.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đường trung bình là kiến thức chuẩn của chương, trình bày ngắn và không cần kí hiệu vectơ.

Đáp số.

E K ∥ C D

F K ∥ A B

;

E F \leq \frac{1}{2} (A B + C D)

, dấu bằng khi

E, K, F

thẳng hàng (tức

A B ∥ C D

Sai lầm thường gặp. Quên xét trường hợp

E, K, F

thẳng hàng nên khẳng định luôn luôn

E F < \frac{1}{2} (A B + C D)

(dấu

<

ngặt) — sai vì khi

A B C D

là hình thang đáy

A B, C D

thì

E, K, F

thẳng hàng và xảy ra dấu bằng.

🚀 Mở rộng. Đoạn

E F

nối trung điểm hai cạnh

A D, B C

của tứ giác bất kì được gọi là đường trung bình của tứ giác — bất đẳng thức

E F \leq \frac{1}{2} (A B + C D)

chính là mở rộng của tính chất đường trung bình hình thang sang tứ giác bất kì.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 4.15★★★Trang 88— Chứng minh tỉ lệ thức bằng cách kết hợp định lí Thalès và tính chất đường phân giác

Bài 4.15 (trang 88). Cho tam giác

A B C

, phân giác

A D

(

D \in B C

). Đường thẳng qua

D

song song với

A B

cắt

A C

tại

E

. Chứng minh rằng

\frac{A C}{A B} = \frac{E C}{E A}

Kiến thức cần nhớ

Tính chất đường phân giác trong tam giác: $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}$ .
Định lí Thalès trong tam giác: đường thẳng song song với một cạnh định ra trên hai cạnh còn lại các đoạn tương ứng tỉ lệ.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai dữ kiện tưởng như tách rời:

A D

là phân giác (tính chất đường phân giác) và

D E ∥ A B

(Thalès). Dấu hiệu để ghép chúng là cả hai đều cho tỉ lệ thức chứa cặp

C D, D B

— chỉ cần khử đại lượng trung gian này là ra ngay đẳng thức cần chứng minh, không cần tính độ dài cụ thể nào.

1Cách 1. Ghép hai tỉ lệ thức qua CD/DB

Định hướng. Viết tỉ lệ thức của Thalès (từ $D E ∥ A B$ ) và tỉ lệ thức của tính chất phân giác, cùng đưa về có mặt tỉ số $\frac{C D}{D B}$ để khử, ra ngay đẳng thức cần chứng minh.

Vì

D E ∥ A B

nên trong tam giác

C A B

\frac{C D}{C B} = \frac{C E}{C A} = k

(định lí Thalès),
suy ra

D B = C B - C D = C B (1 - k)

và

E A = C A - C E = C A (1 - k)

, nên

\frac{D B}{C B} = \frac{E A}{C A} = 1 - k

,
do đó

\frac{C D}{D B} = \frac{C E}{E A}

. (1)
Vì

A D

là phân giác của

B A C

nên

\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}

(tính chất đường phân giác trong tam giác),
suy ra

\frac{D C}{D B} = \frac{A C}{A B}

. (2)
Từ (1) và (2) suy ra

\frac{C E}{E A} = \frac{A C}{A B}

Vậy $\frac{A C}{A B} = \frac{E C}{E A}$ (đpcm).

2Cách 2. Góc so le trong và tam giác cân

Định hướng. Dùng hai góc so le trong bằng nhau để chỉ ra tam giác $A D E$ cân tại $E$ ( $E A = E D$ ), rồi dùng tam giác đồng dạng $△ C D E ∽ △ C B A$ (do $D E ∥ A B$ ) để tính $E C, E A$ theo $A B, A C$ mà không cần nêu riêng tính chất đường phân giác.

Vì

A D

là phân giác của

B A C

nên

D A B = D A E

(

E \in A C

). (1)
Vì

D E ∥ A B

nên

A D E = D A B

(so le trong, cát tuyến

A D

). (2)
Từ (1) và (2) suy ra

A D E = D A E

, nên

△ A D E

cân tại

E

, tức

E A = E D

. (3)
Vì

D E ∥ A B

nên

△ C D E ∽ △ C B A

(

C

chung,

C D E = C B A

đồng vị),
suy ra

\frac{C D}{C B} = \frac{C E}{C A} = \frac{D E}{B A} = k

.
Từ

C E = k \cdot C A

và

C A = C E + E A

ta có

E A = C A (1 - k)

; từ

D E = k \cdot A B

và (3) ta có

E A = E D = k \cdot A B

.
Suy ra

C A (1 - k) = k \cdot A B

, tức

k = \frac{C A}{A B + C A}

.
Khi đó

E C = k \cdot C A = \frac{C A ^{2}}{A B + C A}

và

E A = C A - E C = \frac{C A \cdot A B}{A B + C A}

,
nên

\frac{E C}{E A} = \frac{C A}{A B}

Vậy $\frac{A C}{A B} = \frac{E C}{E A}$ (đpcm), khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 không cần nhớ công thức tính chất đường phân giác, chỉ dùng góc so le trong và tam giác cân — hữu ích khi quên công thức, nhưng dài hơn Cách 1 vì phải lập và giải ẩn $k$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ghép thẳng hai tính chất đã học qua đại lượng trung gian

C D / D B

, không phải chứng minh lại tam giác cân.

Đáp số.

\frac{A C}{A B} = \frac{E C}{E A}

(đã chứng minh).

Sai lầm thường gặp. Viết tính chất đường phân giác sai chiều:

\frac{D B}{D C} = \frac{A C}{A B}

(đảo ngược hai cạnh

A B, A C

) — phải nhớ đúng

\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}

(cạnh nào kề đoạn nào thì đứng cùng phía đoạn đó).

🚀 Mở rộng. Kết quả tổng quát hơn: với

D

bất kì trên

B C

(không nhất thiết là chân phân giác) và

E \in A C

sao cho

D E ∥ A B

, luôn có

\frac{C D}{D B} = \frac{C E}{E A}

(Thalès thuần tuý); bài 4.15 đặc biệt vì

D

là chân phân giác nên tỉ số đó còn bằng thêm

\frac{A C}{A B}

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 4.16★★Trang 88— Tính độ dài đoạn thẳng và tỉ số diện tích bằng tính chất đường phân giác trong tam giác vuông

Bài 4.16 (trang 88). Tam giác

A B C

có

A B = 15

cm,

A C = 20

cm,

B C = 25

cm. Đường phân giác của góc

B A C

cắt cạnh

B C

tại

D

.
a) Tính độ dài đoạn thẳng

D B

và

D C

.
b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác

A B D

và

A C D

Kiến thức cần nhớ

Định lí Pythagore đảo: nếu $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ thì tam giác có ba cạnh $a, b, c$ vuông tại đỉnh đối diện cạnh $c$ .
Tính chất đường phân giác trong tam giác: $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}$ .
Hai tam giác có chung đường cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy tương ứng.

🧠 Phân tích tư duy

Ba số đo

15, 20, 25

thoả

1 5^{2} + 2 0^{2} = 2 5^{2}

— dấu hiệu tam giác vuông tại

A

(đối diện cạnh dài nhất), tuy đề không nói thẳng. Câu a dùng ngay tính chất đường phân giác để lập tỉ số

D B : D C

rồi chia đoạn

B C = 25

. Câu b không cần tính lại diện tích bằng công thức dài dòng: hai tam giác

A B D, A C D

có chung đường cao hạ từ

A

nên tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy

D B : D C

đã có ở câu a.

1Cách 1. Tính chất phân giác và tỉ số diện tích chung đường cao

Định hướng. Dùng tính chất đường phân giác để lập tỉ số $D B : D C = A B : A C$ , kết hợp $D B + D C = B C$ để tính từng đoạn; câu b dùng luôn tỉ số này vì hai tam giác $A B D, A C D$ chung đường cao từ $A$ .

a) Vì

A D

là phân giác của

B A C

nên

\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}

(tính chất đường phân giác trong tam giác).
Đặt

D B = 3 t, D C = 4 t

(

t > 0

), mà

D B + D C = B C = 25

nên

3 t + 4 t = 25

7 t = 25

t = \frac{25}{7}

D B = 3 t = \frac{75}{7} \approx 10, 7

(cm),

D C = 4 t = \frac{100}{7} \approx 14, 3

(cm).
b) Tam giác

A B D

và

A C D

có chung đường cao hạ từ đỉnh

A

xuống

B C

,
nên

\frac{S _{A B D}}{S _{A C D}} = \frac{D B}{D C} = \frac{3}{4}

Vậy $D B = \frac{75}{7}$ cm, $D C = \frac{100}{7}$ cm và $\frac{S _{A B D}}{S _{A C D}} = \frac{3}{4}$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá tam giác vuông

Định hướng. Vì $1 5^{2} + 2 0^{2} = 2 5^{2}$ nên tam giác vuông tại $A$ ; đặt hệ trục toạ độ với $A$ là gốc, $A B, A C$ nằm trên hai trục để tính toạ độ $D$ (điểm chia $B C$ theo tỉ số $D B : D C = A B : A C$ ) rồi tính $D B, D C$ và diện tích bằng toạ độ.

Vì

1 5^{2} + 2 0^{2} = 225 + 400 = 625 = 2 5^{2}

nên tam giác

A B C

vuông tại

A

(định lí Pythagore đảo).
Chọn hệ trục toạ độ

A (0; 0)

B (0; 15)

C (20; 0)

.
Theo tính chất đường phân giác,

D

chia

B C

theo tỉ số

D B : D C = 15 : 20 = 3 : 4

, nên

D = B + \frac{3}{7} (C - B) = (\frac{60}{7}; \frac{60}{7})

D B = (\frac{60}{7})^{2} + (15 - \frac{60}{7})^{2} = \frac{75}{7}

(cm),

D C = (20 - \frac{60}{7})^{2} + (\frac{60}{7})^{2} = \frac{100}{7}

(cm).
Diện tích theo toạ độ:

S_{A B D} = \frac{1}{2} x_{B} y_{D} - x_{D} y_{B} = \frac{450}{7}

S_{A C D} = \frac{1}{2} x_{C} y_{D} - x_{D} y_{C} = \frac{600}{7}

,
nên

\frac{S _{A B D}}{S _{A C D}} = \frac{450/7}{600/7} = \frac{3}{4}

Vậy $D B = \frac{75}{7}$ cm, $D C = \frac{100}{7}$ cm, $\frac{S _{A B D}}{S _{A C D}} = \frac{3}{4}$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 dùng toạ độ nên chắc chắn không nhầm cạnh tương ứng, nhưng tính căn bậc hai và diện tích theo toạ độ dài hơn nhiều so với Cách 1 chỉ dùng tỉ lệ thức thuần tuý.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: không cần vẽ hệ trục, chỉ hai dòng tỉ lệ thức và một phép chia là xong cả hai câu.

Đáp số.

D B = \frac{75}{7} \approx 10, 7

cm;

D C = \frac{100}{7} \approx 14, 3

cm;

\frac{S _{A B D}}{S _{A C D}} = \frac{3}{4}

Sai lầm thường gặp. Nhầm tỉ số

\frac{D B}{D C} = \frac{A C}{A B} = \frac{20}{15}

(đảo ngược hai cạnh kề) dẫn đến

D B, D C

bị hoán đổi cho nhau; đúng phải là cạnh

A B

kề với đoạn

D B

🚀 Mở rộng. Nếu tam giác không vuông, tính chất đường phân giác ở câu a vẫn áp dụng y hệt (không cần cạnh vuông góc); riêng cách toạ độ ở Cách 2 sẽ cần thêm góc hoặc toạ độ đỉnh thứ ba tổng quát hơn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 4.17★★★★Trang 88— Chứng minh hệ thức tích bằng hai cặp tam giác đồng dạng quanh giao điểm

Bài 4.17 (trang 88). Cho hình bình hành

A B C D

, một đường thẳng đi qua

D

cắt

A C

A B

C B

theo thứ tự tại

M

N

K

. Chứng minh rằng:

D M^{2} = M N \cdot M K

Kiến thức cần nhớ

Hình bình hành có hai cặp cạnh đối song song.
Hai đường thẳng song song bị một cặp cát tuyến cắt tạo hai tam giác đồng dạng (theo góc so le trong và góc đối đỉnh).
Nhân hai tỉ lệ thức để triệt tiêu đại lượng trung gian.

🧠 Phân tích tư duy

Đẳng thức

D M^{2} = M N \cdot M K

có dạng trung bình nhân — dấu hiệu để tìm hai tỉ số bằng nhau dạng

\frac{M N}{M D} = \frac{M D}{M K}

, tức cần hai tam giác đồng dạng chứa các cạnh đó. Vì

A B C D

là hình bình hành nên

A B ∥ D C

và

A D ∥ B C

— mỗi cặp cạnh song song sinh ra một cặp tam giác đồng dạng quanh điểm

M

(giao điểm với đường chéo

A C

), ghép hai tỉ số đó lại là ra hệ thức cần chứng minh.

1Cách 1. Hai cặp tam giác đồng dạng quanh M

Định hướng. Vì $A B ∥ D C$ , xét cặp tam giác đồng dạng $△ A M N$ và $△ C M D$ để có $\frac{M N}{M D} = \frac{A M}{C M}$ ; vì $A D ∥ C B$ , xét cặp $△ C M K$ và $△ A M D$ để có $\frac{M K}{M D} = \frac{C M}{A M}$ . Nhân hai tỉ lệ thức để khử $\frac{A M}{C M}$ .

Vì

A B C D

là hình bình hành nên

A B ∥ D C

, tức

A N ∥ D C

(

N \in A B

).
Xét

△ A M N

và

△ C M D

A M N = C M D

(đối đỉnh),

N A M = D C M

(so le trong,

A N ∥ D C

),
nên

△ A M N ∽ △ C M D

,
suy ra

\frac{M N}{M D} = \frac{A M}{C M}

. (1)
Vì

A B C D

là hình bình hành nên

A D ∥ B C

, tức

A D ∥ C K

(

K

thuộc tia

C B

).
Xét

△ C M K

và

△ A M D

C M K = A M D

(đối đỉnh),

K C M = D A M

(so le trong,

A D ∥ C K

),
nên

△ C M K ∽ △ A M D

,
suy ra

\frac{M K}{M D} = \frac{C M}{A M}

. (2)
Nhân vế theo vế (1) và (2):

\frac{M N}{M D} \cdot \frac{M K}{M D} = \frac{A M}{C M} \cdot \frac{C M}{A M} = 1

,
tức

M N \cdot M K = M D^{2}

Vậy $D M^{2} = M N \cdot M K$ (đpcm).

2Cách 2. Tính chất đường chéo hình thang

Định hướng. Nhận ra $A N C D$ là hình thang ( $A N ∥ D C$ ) có hai đường chéo $A C, N D$ cắt nhau tại $M$ ; áp dụng trực tiếp tính chất "hai đường chéo của hình thang chia nhau theo cùng tỉ số bằng tỉ số hai đáy" cho cả hai hình thang $A N C D$ và $A D C K$ .

A N C D

là hình thang vì

A N ∥ D C

; hai đường chéo

A C

và

N D

của hình thang này cắt nhau tại

M

,
nên

\frac{M A}{M C} = \frac{M N}{M D}

(tính chất đường chéo hình thang). (1)

A D C K

là hình thang vì

A D ∥ C K

; hai đường chéo

A C

và

D K

của hình thang này cắt nhau tại

M

,
nên

\frac{M A}{M C} = \frac{M D}{M K}

(tính chất đường chéo hình thang). (2)
Từ (1) và (2) suy ra

\frac{M N}{M D} = \frac{M D}{M K}

,
tức

M D^{2} = M N \cdot M K

Vậy $D M^{2} = M N \cdot M K$ (đpcm), khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 ngắn hơn hẳn nếu đã thuộc tính chất đường chéo hình thang, nhưng tính chất đó vẫn được chứng minh từ tam giác đồng dạng như Cách 1 — khi đi thi nên trình bày Cách 1 đầy đủ để chắc điểm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: trình bày tam giác đồng dạng đầy đủ, chắc điểm dù giám khảo yêu cầu chứng minh chi tiết; Cách 2 chỉ nên dùng để kiểm tra nhanh kết quả.

Đáp số.

D M^{2} = M N \cdot M K

(đã chứng minh).

Sai lầm thường gặp. Ghép sai cặp tam giác đồng dạng, ví dụ lấy

△ A M N ∽ △ A M D

(chung đỉnh

A

nhưng không có cặp góc so le trong nào bằng nhau) — phải chọn đúng cặp tam giác có cạnh nằm trên hai đường thẳng song song đã cho.

🚀 Mở rộng. Hệ thức

D M^{2} = M N \cdot M K

cho biết

D M

là trung bình nhân của

M N, M K

; nếu thêm giả thiết

M

là trung điểm

A C

thì có thể tính cụ thể tỉ số

M N : M K

theo tỉ số hai cạnh

A B : A D

của hình bình hành.

Mở bài này trong app ↗