Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Định hướng. Số cam là $x$, số quýt là $y$; "tổng số cam và số quýt là $17$" nghĩa là cộng hai đại lượng đó lại bằng $17$.

Vậy hệ thức cần tìm là $x+y=17$.

Định hướng. Thử một phương án cụ thể rồi đối chiếu với hệ thức vừa lập để chắc chắn hệ thức đó đúng nghĩa "mười bảy quả tươi".

Vậy hệ thức cần tìm là $x+y=17$.

Nhận xét. Cách 1 lập hệ thức ngay từ nghĩa của câu thơ; Cách 2 chỉ dùng để kiểm tra lại hệ thức bằng một trường hợp riêng, không thay thế được cho việc lập luận tổng quát.

Định hướng. Đếm số miếng do quýt tạo ra, số miếng do cam tạo ra, rồi cộng hai kết quả đó bằng đúng số miếng chia cho $100$ người.

Vậy hệ thức cần tìm là $10x+3y=100$.

Định hướng. Bài toán cổ có đáp số $7$ cam, $10$ quýt; thay bộ số đó vào hệ thức vừa lập để kiểm chứng hệ thức đúng.

Vậy hệ thức $10x+3y=100$ đúng với đáp số của bài toán cổ.

Nhận xét. Cách 1 lập hệ thức từ nghĩa các câu thơ, Cách 2 chỉ dùng một nghiệm đã biết trước để soát lại chứ không tự lập ra hệ thức được.

Định hướng. Chọn sẵn ba hệ số $a,b,c$ sao cho $a\ne 0$ hoặc $b\ne 0$, rồi chọn tuỳ ý một giá trị $x$ để tính ra $y$ tương ứng.

Vậy phương trình $2x-y=3$ có một nghiệm là $(2;1)$.

Định hướng. Chọn tuỳ ý một cặp số $(x_0;y_0)$ làm nghiệm, rồi chọn hệ số $a,b$ và tính $c=a{x}_0+b{y}_0$ để phương trình nhận đúng cặp số đó làm nghiệm.

Vậy phương trình $x+y=3$ có một nghiệm là $(1;2)$.

Nhận xét. Bài toán có vô số đáp án đúng; Cách 1 xuất phát từ phương trình rồi suy ra nghiệm, Cách 2 xuất phát từ nghiệm rồi suy ngược ra phương trình.

Định hướng. Với mỗi phương trình, rút ẩn còn lại theo ẩn tự do để viết nghiệm tổng quát, sau đó lấy hai giá trị cụ thể để xác định đường thẳng.

Vậy a) đường thẳng $2x-3y=5$ qua $(1;-1)$ và $(4;1)$; b) đường thẳng $y=3$ song song trục hoành; c) đường thẳng $x=-2$ song song trục tung.

Định hướng. Không cần biến đổi, chỉ cần nhìn hệ số $a,b$ để nhận ra ngay dạng đường thẳng theo nhận xét trong SGK.

Vậy kết luận về dạng của ba đường thẳng trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 luôn áp dụng được và cho luôn toạ độ điểm để vẽ; Cách 2 nhanh hơn khi chỉ cần biết dạng đường thẳng (xiên, ngang hay dọc) mà chưa cần điểm cụ thể.

Định hướng. Một cặp số là nghiệm của hệ khi nó thoả mãn đồng thời cả hai phương trình, nên chỉ cần thay lần lượt vào từng phương trình.

Vậy cặp $(0;-2)$ không là nghiệm của hệ, còn cặp $(2;-1)$ là nghiệm của hệ.

Định hướng. Tìm thẳng nghiệm duy nhất của hệ bằng cách khử bớt một ẩn, rồi so sánh với hai cặp số đã cho.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(2;-1)$, trùng với cặp số đã cho, nên $(2;-1)$ là nghiệm của hệ còn $(0;-2)$ thì không.

Nhận xét. Cách 1 chỉ kiểm tra được các cặp số đã cho sẵn; Cách 2 giải ra hẳn nghiệm duy nhất của hệ nên áp dụng được cho mọi cặp số khác.

Định hướng. Cặp số nào thoả mãn đồng thời cả hai phương trình của hệ mới là số cam, số quýt hợp lệ.

Vậy cặp $(7;10)$ là nghiệm của hệ, cặp $(10;7)$ không là nghiệm.

Định hướng. Từ phương trình đơn giản hơn, rút một ẩn rồi thế vào phương trình còn lại để tìm thẳng nghiệm của hệ.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(7;10)$, trùng với cặp $(7;10)$ đã cho.

Nhận xét. Cả hai cách đều khẳng định $(7;10)$ là nghiệm; vì $7,10$ đều là số nguyên dương nên đây là phương án hợp lệ: có $7$ quả cam và $10$ quả quýt.

Định hướng. Xác định $a,b$ của từng hệ thức rồi kiểm tra xem có ít nhất một trong hai hệ số khác $0$ hay không.

Vậy các hệ thức a), b), d) là phương trình bậc nhất hai ẩn; riêng c) không phải, vì cả $a$ và $b$ đều bằng $0$.

Định hướng. Bỏ hẳn số hạng có hệ số $0$, nếu hệ thức viết gọn vẫn còn chứa ít nhất một ẩn thì đó là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vậy kết luận trùng với Cách 1: a), b), d) là phương trình bậc nhất hai ẩn; c) không phải.

Nhận xét. Phương trình bậc nhất hai ẩn được phép khuyết một ẩn (như b, d) nhưng không được khuyết cả hai ẩn (như c).

Định hướng. Thay trực tiếp từng giá trị $x$ đã cho vào công thức $y=2x-1$ để điền vào bảng.

Vậy $6$ nghiệm là $(-1;-3),(-0,5;-2),(0;-1),(0,5;0),(1;1),(2;3)$.

Định hướng. Biến đổi phương trình $2x-y=1$ để có công thức tính $y$, sau đó thay ngược từng cặp số vừa tìm vào chính phương trình gốc để xác nhận đúng.

Vậy bảng giá trị ở Cách 1 đúng, và nghiệm tổng quát của phương trình là $(x;2x-1)$ với $x\in \mathbb{R}$ tuỳ ý.

Nhận xét. Cách 1 tính xuôi từ $x$ ra $y$; Cách 2 kiểm tra ngược bằng phương trình gốc, giúp phát hiện ngay nếu tính nhầm ở Cách 1.

Định hướng. Viết nghiệm tổng quát bằng cách rút ẩn còn lại, sau đó lấy hai giá trị cụ thể để xác định đường thẳng.

Vậy a) đường thẳng $2x-y=3$ qua $(0;-3)$ và $(2;1)$; b) đường thẳng $y=-2$ song song trục hoành; c) đường thẳng $x=\frac{5}{3}$ song song trục tung.

Định hướng. Nhìn hệ số $a,b$ để nhận ra ngay dạng đường thẳng mà không cần biến đổi trước.

Vậy kết luận về dạng của ba đường thẳng trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 nhận ra ngay dạng đường thẳng từ hệ số $a,b$, nhưng vẫn cần Cách 1 để có toạ độ điểm cụ thể phục vụ việc vẽ hình.

Định hướng. Viết mỗi phương trình về dạng đầy đủ $ax+by=c$ để xét điều kiện hệ số, sau đó thay $x=-3,y=4$ vào từng phương trình để kiểm tra nghiệm.

Vậy a) hệ đã cho là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn; b) cặp số $(-3;4)$ là một nghiệm của hệ.

Định hướng. Phương trình $2x=-6$ đã cho ngay giá trị của $x$; thế $x$ đó vào phương trình còn lại để tìm $y$, rồi so sánh với cặp số $(-3;4)$.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(-3;4)$, trùng với cặp số đã cho ở câu b), nên $(-3;4)$ đúng là nghiệm của hệ.

Nhận xét. Cách 2 giải thẳng ra nghiệm duy nhất nên chắc chắn hơn Cách 1 khi phải kiểm tra nhiều cặp số khác nhau.

Định hướng. Thử từng cặp số vào phương trình (1) trước để chọn ra các nghiệm của (1), sau đó thử tiếp các nghiệm đó vào phương trình (2).

Vậy a) hai cặp $(0;2)$ và $(4;-3)$ là nghiệm của (1); b) trong hai cặp đó chỉ $(4;-3)$ là nghiệm của hệ.

Định hướng. Giải thẳng hệ hai phương trình (1), (2) để tìm nghiệm duy nhất, rồi so sánh với các cặp số đã cho; giao điểm của hai đường thẳng trên hình vẽ chính là nghiệm đó.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(4;-3)$, trùng với cặp số đã cho, xác nhận lại kết luận ở câu b); trên hình vẽ, đây chính là giao điểm của hai đường thẳng.

Nhận xét. Cách 1 chỉ kiểm tra được trong số các cặp số cho sẵn; Cách 2 tìm ra nghiệm duy nhất của hệ nên khẳng định chắc chắn không còn cặp nào khác thoả mãn.