Bài 2. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Định hướng. Phương trình thứ nhất cho ngay $y$ theo $x$; thế biểu thức đó vào phương trình thứ hai để chỉ còn một ẩn $x$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(2;1)$.

Định hướng. Nhân phương trình thứ nhất với $3$ để hệ số của $y$ đối nhau với phương trình thứ hai, rồi cộng vế theo vế để khử $y$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(2;1)$, trùng với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 dùng phương pháp thế theo đúng hướng dẫn của hoạt động; Cách 2 dùng phương pháp cộng đại số, khử $y$ bằng cách nhân hệ số cho phù hợp; cả hai cách đều cho cùng một nghiệm.

Định hướng. Ở mỗi hệ, rút ẩn có hệ số bằng $1$ từ một phương trình rồi thế vào phương trình còn lại.

Vậy a) hệ có nghiệm $(-13;-5)$; b) hệ có nghiệm $(1;-5)$.

Định hướng. Nhân mỗi phương trình với hệ số thích hợp để hệ số của $x$ ở hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, rồi cộng hoặc trừ vế theo vế.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: a) $(-13;-5)$; b) $(1;-5)$.

Nhận xét. Cách 1 rút ẩn rồi thế trực tiếp; Cách 2 nhân hệ số cho bằng nhau rồi cộng hoặc trừ để khử một ẩn; cả hai cách cho cùng kết quả.

Định hướng. Rút $y$ theo $x$ từ phương trình thứ nhất rồi thế vào phương trình thứ hai.

Vậy không có giá trị nào của $x$ thoả mãn hệ thức $-6=-4$, nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Định hướng. Nhân phương trình thứ nhất với $2$ để hệ số của $x$ đối nhau với phương trình thứ hai, rồi cộng vế theo vế.

Vậy hệ thức $0=2$ vô lý với mọi $x,y$, nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm, trùng với Cách 1.

Nhận xét. Hai phương trình của hệ có cùng hệ số góc khi viết dưới dạng $y=ax+b$ nhưng khác tung độ gốc nên tương ứng với hai đường thẳng song song, không cắt nhau.

Định hướng. Rút $x$ theo $y$ từ phương trình thứ nhất rồi thế vào phương trình thứ hai.

Vậy hệ thức $-3=-3$ đúng với mọi giá trị của $y$, nên hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(-1-3y;y)$ với $y\in \mathbb{R}$ tuỳ ý.

Định hướng. Nhân hai vế phương trình thứ nhất với $3$ rồi so sánh với phương trình thứ hai.

Vậy hai phương trình của hệ tương đương nhau, nên hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm, là $(-1-3y;y)$ với $y\in \mathbb{R}$ tuỳ ý, trùng với Cách 1.

Nhận xét. Hai phương trình của hệ biểu diễn cùng một đường thẳng nên trùng nhau; mọi điểm trên đường thẳng đó đều là nghiệm của hệ.

Định hướng. Số cải bắp cả vườn là $xy$; hai giả thiết cho hai phương trình liên hệ $x,y$ sau khi khai triển và rút gọn, các số hạng $xy$ tự triệt tiêu.

Vậy vườn có $60$ luống, mỗi luống trồng $12$ cây cải bắp, nên số cây cải bắp trồng trên cả vườn là $60\cdot 12=720$ cây.

Định hướng. Dùng cùng hệ phương trình đã lập ở câu a, nhân phương trình $x-2y=36$ với $3$ để khử $x$ bằng phép cộng.

Vậy vườn có $60$ luống, mỗi luống $12$ cây, số cải bắp cả vườn là $720$ cây, trùng với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 rút $x$ từ phương trình đơn giản hơn rồi thế; Cách 2 nhân phương trình $x-2y=36$ với $3$ để khử $x$ bằng phép cộng; cả hai đều dẫn tới cùng một nghiệm hợp lý với điều kiện $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Định hướng. Hệ số của $y$ trong hai phương trình là $2$ và $-2$, đối nhau, nên cộng vế theo vế để khử $y$.

Vậy hệ phương trình (II) có nghiệm là $\left(3;-\frac{3}{2}\right)$.

Định hướng. Rút $x$ theo $y$ từ phương trình thứ hai rồi thế vào phương trình thứ nhất.

Vậy hệ phương trình (II) có nghiệm là $\left(3;-\frac{3}{2}\right)$, trùng với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 tận dụng ngay đặc điểm hệ số của $y$ đối nhau để cộng vế; Cách 2 dùng phương pháp thế vẫn cho cùng kết quả nhưng qua nhiều bước tính phân số hơn.

Định hướng. Ở câu a) hệ số của $x$ đối nhau nên cộng vế theo vế; ở câu b) hệ số của $y$ bằng nhau nên trừ vế theo vế.

Vậy a) hệ có nghiệm $(3;4)$; b) hệ có nghiệm $(-3;4)$.

Định hướng. Rút một ẩn từ phương trình đơn giản hơn rồi thế vào phương trình còn lại.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: a) $(3;4)$; b) $(-3;4)$.

Nhận xét. Cách 1 tận dụng hệ số đối nhau hoặc bằng nhau để cộng/trừ trực tiếp, nhanh gọn; Cách 2 dùng phép thế cũng cho cùng kết quả nhưng phải tính với phân số ở câu a).

Định hướng. Nhân phương trình thứ nhất với $2$, phương trình thứ hai với $3$ để hệ số của $y$ bằng nhau, rồi trừ vế theo vế.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(0;2)$.

Định hướng. Rút $y$ theo $x$ từ phương trình thứ nhất rồi thế vào phương trình thứ hai.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(0;2)$, trùng với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 nhân hệ số để hệ số của $y$ bằng nhau rồi trừ vế; Cách 2 dùng phép thế phải tính với phân số nhưng vẫn cho cùng kết quả.

Định hướng. Nhân hai vế phương trình thứ nhất với $4$ để có cùng hệ số như phương trình thứ hai, rồi so sánh.

Vậy hệ thức $0=-4$ vô lý, nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Định hướng. Rút $y$ theo $x$ từ phương trình thứ nhất rồi thế vào phương trình thứ hai.

Vậy hệ thức $4=8$ vô lý với mọi $x$, nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm, trùng với Cách 1.

Nhận xét. Hai phương trình khi rút gọn đều có dạng $-x+y=$ hằng số nhưng hai hằng số đó khác nhau ($2$ và $4$), nên tương ứng với hai đường thẳng song song, không cắt nhau.

Định hướng. Nhân hệ số thích hợp rồi cộng hoặc trừ vế theo vế để khử một ẩn ở từng hệ, sau khi đã đưa mỗi hệ về đúng dạng $a_{1}x+b_{1}y=c_1$.

Vậy a) hệ có nghiệm $\left(\frac{11}{5};-\frac{14}{5}\right)$; b) hệ vô nghiệm (MTCT báo No-Solution); c) hệ có vô số nghiệm (MTCT báo Infinite Sol), nghiệm tổng quát $(x;4x-3)$ với $x\in \mathbb{R}$ tuỳ ý.

Định hướng. Rút một ẩn từ phương trình đơn giản hơn rồi thế vào phương trình còn lại, để kiểm chứng kết quả của Cách 1.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: a) $\left(\frac{11}{5};-\frac{14}{5}\right)$; b) vô nghiệm; c) vô số nghiệm $(x;4x-3)$, $x\in \mathbb{R}$.

Nhận xét. Ba kết quả minh hoạ đúng ba thông báo của MTCT: nghiệm duy nhất ở câu a), No-Solution ở câu b) (hai đường thẳng song song), Infinite Sol ở câu c) (hai đường thẳng trùng nhau).

Định hướng. Đổi $2$ lít $=2000$ ml; lập hai phương trình từ thể tích và từ khối lượng acid nguyên chất, rồi giải hệ bằng phương pháp thế.

Vậy cần lấy $\frac{2000}{3}$ ml (khoảng $666,7$ ml) dung dịch acid HCl nồng độ $20\%$ và $\frac{4000}{3}$ ml (khoảng $1333,3$ ml) dung dịch acid HCl nồng độ $5\%$.

Định hướng. Dùng cùng hệ đã lập ở câu a, b), nhân phương trình thể tích với $0,05$ để khử $y$ bằng phép trừ.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: cần $\frac{2000}{3}$ ml dung dịch $20\%$ và $\frac{4000}{3}$ ml dung dịch $5\%$.

Nhận xét. Cách 1 rút $y$ từ phương trình thể tích rồi thế vào phương trình khối lượng; Cách 2 nhân phương trình thể tích với $0,05$ để khử $y$ bằng phép trừ; cả hai đều dùng chung hệ phương trình lập ở câu a), b).

Định hướng. Rút ẩn có hệ số $\pm 1$ từ một phương trình rồi thế vào phương trình còn lại.

Vậy a) hệ có nghiệm $(10;7)$; b) hệ có nghiệm $(1;-2)$; c) hệ vô nghiệm vì $-1=1$ vô lý.

Định hướng. Nhân hệ số thích hợp rồi cộng hoặc trừ vế theo vế để khử một ẩn, đối chiếu lại với Cách 1.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: a) $(10;7)$; b) $(1;-2)$; c) vô nghiệm.

Nhận xét. Cách 1 dùng phép thế, Cách 2 dùng phép cộng đại số; ở câu c) cả hai cách đều dẫn tới một hệ thức vô lý, khẳng định hệ vô nghiệm.

Định hướng. Cộng, trừ trực tiếp hoặc nhân hệ số thích hợp rồi cộng, trừ vế theo vế để khử một ẩn ở mỗi hệ.

Vậy a) hệ có nghiệm $(4;-3)$; b) hệ có nghiệm $(5;3)$; c) hai phương trình tương đương nhau nên hệ có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát $\left(x;\frac{x+4}{3}\right)$ với $x\in \mathbb{R}$ tuỳ ý.

Định hướng. Rút một ẩn từ phương trình đơn giản hơn rồi thế vào phương trình còn lại, đối chiếu lại với Cách 1.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: a) $(4;-3)$; b) $(5;3)$; c) vô số nghiệm $(3y-4;y)$ với $y\in \mathbb{R}$ tuỳ ý, tương đương với dạng ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 dùng phương pháp cộng đại số, Cách 2 dùng phương pháp thế; ở câu c), hệ thức luôn đúng $-12=-12$ khẳng định lại hệ có vô số nghiệm.

Định hướng. Thay giá trị của $m$ để tính hệ số, đưa hệ về hệ số bằng số rồi rút $y$ từ phương trình thứ nhất để thế vào phương trình thứ hai.

Vậy a) hệ có nghiệm duy nhất $\left(-\frac{12}{5};-\frac{9}{5}\right)$; b) hệ vô nghiệm vì $0=-3$ vô lý; c) hệ vô nghiệm vì $27=18$ vô lý.

Định hướng. Với hệ số vừa thay $m$, nhân phương trình thứ nhất với $9$ để khử $y$ bằng phép cộng, đối chiếu lại với Cách 1.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: a) $\left(-\frac{12}{5};-\frac{9}{5}\right)$; b) và c) đều vô nghiệm.

Nhận xét. Với $m=-3$ và $m=3$ ta đều có $m^2=9$ nên hai phương trình của hệ có hệ số của $x,y$ tỉ lệ với nhau; ở cả hai trường hợp này số hạng tự do không cùng tỉ lệ nên hệ vô nghiệm.

Định hướng. Đưa mỗi hệ về đúng dạng $a_{1}x+b_{1}y=c_1$, rồi nhân hệ số thích hợp và cộng, trừ vế theo vế để khử một ẩn.

Vậy a) hệ có nghiệm $(-2;0)$; b) hai phương trình tương đương nên hệ có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát $(3y+2;y)$ với $y\in \mathbb{R}$ tuỳ ý; c) hệ vô nghiệm vì $0=1$ vô lý; d) hệ có nghiệm $\left(\frac{9}{2};-15\right)$.

Định hướng. Rút một ẩn từ phương trình đơn giản hơn rồi thế vào phương trình còn lại, kiểm chứng kết quả của Cách 1.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: a) $(-2;0)$; b) vô số nghiệm $(3y+2;y)$; c) vô nghiệm; d) $\left(\frac{9}{2};-15\right)$.

Nhận xét. Bốn kết quả minh hoạ đủ ba khả năng MTCT có thể báo: nghiệm duy nhất ở câu a) và d), Infinite Sol ở câu b), No-Solution ở câu c).