Chương I. Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Mở đầu — HĐ1, HĐ2, HĐ3 (trang 21)★★Trang 21— Lập hệ phương trình từ bài toán hợp kim (khối lượng — thể tích)

Mở đầu — HĐ1, HĐ2, HĐ3 (trang 21). Một vật có khối lượng 124 g và thể tích 15 cm

^{3}

là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng 1 cm

^{3}

đồng nặng 8,9 g và 1 cm

^{3}

kẽm nặng 7 g.
Gọi

x

là số gam đồng,

y

là số gam kẽm cần tính.
HĐ1. Biểu thị khối lượng của vật qua

x

và

y

.
HĐ2. Biểu thị thể tích của vật qua

x

và

y

.
HĐ3. Giải hệ gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn

x

y

nhận được ở HĐ1 và HĐ2, từ đó trả lời câu hỏi của bài toán.

Kiến thức cần nhớ

Khối lượng = khối lượng riêng × thể tích, nên thể tích = khối lượng chia cho khối lượng riêng.
Khi gọi hai ẩn cho một bài toán thực tế, phải đặt điều kiện đúng nghĩa thực tế (ở đây $x, y$ là số gam nên $x > 0$ , $y > 0$ ).

1Cách 1. Lập hệ theo khối lượng đồng, khối lượng kẽm, giải bằng phương pháp thế

Định hướng. Gọi thẳng số gam đồng và số gam kẽm làm hai ẩn, một phương trình đến từ tổng khối lượng, phương trình còn lại đến từ tổng thể tích.

Gọi

x

(g) là khối lượng đồng,

y

(g) là khối lượng kẽm trong vật, điều kiện

x > 0

y > 0

.
Khối lượng của vật:

x + y = 124

(1)
Thể tích của

x

g đồng:

\frac{x}{8 , 9}

^{3}

; thể tích của

y

g kẽm:

\frac{y}{7}

^{3}

Thể tích của vật:

\frac{x}{8 , 9} + \frac{y}{7} = 15

(2)
Từ (1):

y = 124 - x

Thay vào (2):

\frac{x}{8 , 9} + \frac{124 - x}{7} = 15

7 x + 8, 9 (124 - x) = 15 \cdot 8, 9 \cdot 7

7 x + 1103, 6 - 8, 9 x = 934, 5

- 1, 9 x = - 169, 1

x = 89

y = 124 - 89 = 35

Vậy vật có $89$ g đồng và $35$ g kẽm.

2Cách 2. Lập hệ theo thể tích đồng, thể tích kẽm

Định hướng. Đổi vai trò ẩn số: gọi thẳng thể tích của mỗi kim loại, phương trình tổng thể tích trở nên đơn giản, còn khối lượng đồng và kẽm được suy ra ở bước cuối.

Gọi

a

(cm

^{3}

) là thể tích đồng,

b

(cm

^{3}

) là thể tích kẽm trong vật, điều kiện

a > 0

b > 0

.
Thể tích của vật:

a + b = 15

(1)
Khối lượng đồng:

8, 9 a

(g); khối lượng kẽm:

7 b

(g)
Khối lượng của vật:

8, 9 a + 7 b = 124

(2)
Từ (1):

b = 15 - a

Thay vào (2):

8, 9 a + 7 (15 - a) = 124

8, 9 a + 105 - 7 a = 124

1, 9 a = 19

a = 10

b = 15 - 10 = 5

Khối lượng đồng:

8, 9 \cdot 10 = 89

(g); khối lượng kẽm:

7 \cdot 5 = 35

(g)

Vậy vật có $89$ g đồng và $35$ g kẽm, khớp với kết quả ở Cách 1.

Nhận xét. Hai cách chọn ẩn khác nhau (khối lượng hoặc thể tích) đều dẫn tới cùng một đáp số, vì khối lượng và thể tích của mỗi kim loại luôn tỉ lệ với nhau qua khối lượng riêng.

Đáp số. Đồng:

89

g; kẽm:

35

Sai lầm thường gặp. Nhầm khối lượng riêng với khối lượng: viết thể tích là

8, 9 x

(nhân) thay vì

\frac{x}{8 , 9}

(chia), do quên rằng khối lượng riêng

=

khối lượng chia cho thể tích nên thể tích

=

khối lượng chia cho khối lượng riêng.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 21

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Ví dụ 1 (trang 21–22)★★Trang 21— Toán tìm hai số biết tổng và phép chia có dư

Ví dụ 1 (trang 21). Tìm hai số tự nhiên có tổng bằng

1006

, biết rằng nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là

2

và số dư là

124

Kiến thức cần nhớ

Trong phép chia có dư, số bị chia $=$ số chia $\times$ thương $+$ số dư, và số dư luôn nhỏ hơn số chia.
Điều kiện của ẩn phải phản ánh đúng vai trò số lớn — số nhỏ trong phép chia.

1Cách 1. Lập hệ, giải bằng phương pháp thế

Định hướng. Gọi số nhỏ và số lớn làm hai ẩn, một phương trình đến từ tổng hai số, phương trình còn lại đến từ hệ thức chia có dư, rồi thế để đưa về một ẩn.

Gọi

x

là số nhỏ,

y

là số lớn (

x < y

). Vì số dư

124

trong phép chia

y

cho

x

nên

x > 124

; điều kiện

x, y \in N

và

124 < x < y

.
Tổng hai số:

x + y = 1006

(1)
Chia

y

cho

x

được thương

2

, dư

124

y = 2 x + 124

(2)
Thay (2) vào (1):

x + 2 x + 124 = 1006

3 x = 882

x = 294

y = 2 \cdot 294 + 124 = 712

Vậy giá trị $x = 294$ , $y = 712$ thoả mãn $124 < x < y$ ; hai số cần tìm là $294$ và $712$ .

2Cách 2. Giải bằng phương pháp cộng đại số

Định hướng. Đưa hệ thức chia dư về dạng cùng vế với phương trình tổng rồi trừ hai phương trình cho nhau để khử luôn ẩn $y$ .

{x + y = 1006 - 2 x + y = 124

Trừ vế theo vế:

(x + y) - (- 2 x + y) = 1006 - 124

3 x = 882

x = 294

y = 1006 - 294 = 712

Vậy hai số cần tìm là $294$ và $712$ , thoả mãn $124 < 294 < 712$ .

Nhận xét. Cách 2 khử ẩn $y$ ngay bằng phép trừ hai phương trình, không cần rút $y$ ra trước như Cách 1.

Đáp số. Hai số cần tìm là

294

và

712

Sai lầm thường gặp. Quên đặt điều kiện

x > 124

(vì số dư phải nhỏ hơn số chia) nên không kiểm tra được nghiệm có hợp lệ hay không.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 21–22

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1 (trang 22)★★★Trang 22— Toán chuyển động ngược chiều, xuất phát lệch giờ

Luyện tập 1 (trang 22). Một chiếc xe khách đi từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Cần Thơ, quãng đường dài

170

km. Sau khi xe khách xuất phát

1

giờ

40

phút, một chiếc xe tải bắt đầu đi từ Cần Thơ về Thành phố Hồ Chí Minh và gặp xe khách sau đó

40

phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải

15

km.

Kiến thức cần nhớ

Hai xe đi ngược chiều, xuất phát không cùng lúc thì gặp nhau khi tổng quãng đường mỗi xe đã đi (tính từ lúc xe đó xuất phát đến lúc gặp) bằng quãng đường ban đầu.
Đổi phút ra giờ trước khi lập phương trình: $1$ giờ $40$ phút $= \frac{5}{3}$ giờ, $40$ phút $= \frac{2}{3}$ giờ.

1Cách 1. Lập hệ, giải bằng phương pháp thế

Định hướng. Gọi vận tốc hai xe làm hai ẩn, một phương trình đến từ chênh lệch vận tốc, phương trình còn lại đến từ tổng quãng đường hai xe đã đi tới lúc gặp nhau.

Gọi

x

(km/h) là vận tốc xe tải,

y

(km/h) là vận tốc xe khách, điều kiện

x > 0

y > 0

.
Xe khách nhanh hơn xe tải

15

km/h:

y = x + 15

(1)
Tính đến lúc gặp nhau, xe khách đã đi

1

giờ

40

phút cộng

40

phút, tức

2

giờ

20

phút

= \frac{7}{3}

giờ; xe tải đã đi

40

phút

= \frac{2}{3}

giờ
Hai xe đi ngược chiều nên tổng quãng đường đã đi bằng

170

km:

\frac{7}{3} y + \frac{2}{3} x = 170

(2)
Thay (1) vào (2):

\frac{7}{3} (x + 15) + \frac{2}{3} x = 170

7 (x + 15) + 2 x = 510

7 x + 105 + 2 x = 510

9 x = 405

x = 45

y = 45 + 15 = 60

Vậy vận tốc xe tải là $45$ km/h, vận tốc xe khách là $60$ km/h.

2Cách 2. Giải bằng phương pháp cộng đại số

Định hướng. Đưa cả hai phương trình về cùng dạng chứa $x, y$ rồi nhân, trừ để khử một ẩn, không cần thế trực tiếp.

{2 x + 7 y = 510 y - x = 15

Từ phương trình thứ hai:

7 y - 7 x = 105

{2 x + 7 y = 510 - 7 x + 7 y = 105

Trừ vế theo vế:

(2 x + 7 y) - (- 7 x + 7 y) = 510 - 105

9 x = 405

x = 45

y = x + 15 = 60

Vậy vận tốc xe tải là $45$ km/h, vận tốc xe khách là $60$ km/h, thoả mãn $x, y > 0$ .

Nhận xét. Kiểm tra lại: quãng đường xe khách đi được là $\frac{7}{3} \cdot 60 = 140$ km, xe tải đi được $\frac{2}{3} \cdot 45 = 30$ km, tổng đúng bằng $170$ km.

Đáp số. Vận tốc xe tải:

45

km/h; vận tốc xe khách:

60

km/h.

Sai lầm thường gặp. Quên đổi phút ra giờ, hoặc cộng nhầm mốc thời gian (dùng

1

giờ

40

phút cho xe tải thay vì cho xe khách).

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 22

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Ví dụ 2 (trang 22–23)★★★Trang 22— Toán làm chung công việc dùng ẩn phụ (nghịch đảo thời gian)

Ví dụ 2 (trang 22). Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong

24

ngày thì xong. Mỗi ngày, đội I làm được nhiều gấp rưỡi đội II. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu? (Giả sử năng suất của mỗi đội là không đổi.)

Kiến thức cần nhớ

Nếu một đội làm riêng xong việc trong $x$ ngày thì mỗi ngày đội đó làm được $\frac{1}{x}$ công việc.
Khi hai đội làm chung, năng suất chung bằng tổng hai năng suất riêng: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{24}$ .

1Cách 1. Đặt ẩn phụ

u = \frac{1}{x}

v = \frac{1}{y}

, giải bằng thế

Định hướng. Gọi số ngày làm riêng của mỗi đội làm ẩn, biểu diễn năng suất mỗi ngày qua $\frac{1}{x}$ , $\frac{1}{y}$ , rồi đặt ẩn phụ $u = \frac{1}{x}$ , $v = \frac{1}{y}$ để đưa về hệ bậc nhất hai ẩn $u, v$ .

Gọi

x

(ngày) là thời gian đội I làm riêng xong việc,

y

(ngày) là thời gian đội II làm riêng xong việc, điều kiện

x > 0

y > 0

.
Mỗi ngày đội I làm được

\frac{1}{x}

, đội II làm được

\frac{1}{y}

(công việc)
Đội I làm gấp rưỡi đội II:

\frac{1}{x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{y}

(1)
Làm chung xong trong

24

ngày:

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{24}

(2)
Đặt

u = \frac{1}{x}

v = \frac{1}{y}

(

u, v > 0

), hệ (1), (2) trở thành

⎩ ⎨ ⎧ u = \frac{3}{2} v u + v = \frac{1}{24}

Thay

u = \frac{3}{2} v

vào

u + v = \frac{1}{24}

\frac{3}{2} v + v = \frac{1}{24}

\frac{5}{2} v = \frac{1}{24}

v = \frac{1}{60}

u = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{60} = \frac{1}{40}

x = \frac{1}{u} = 40

;

y = \frac{1}{v} = 60

Vậy làm một mình, đội I làm xong đoạn đường trong $40$ ngày, đội II làm xong trong $60$ ngày.

2Cách 2. Dùng tỉ lệ chung giữa hai năng suất

Định hướng. Hệ thức đội I gấp rưỡi đội II cho biết ngay tỉ lệ $\frac{1}{x} : \frac{1}{y} = 3 : 2$ , nên đặt $\frac{1}{x}$ và $\frac{1}{y}$ theo một tỉ lệ chung rồi dùng phương trình năng suất chung để tìm hằng số tỉ lệ đó.

Từ

\frac{1}{x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{y}

suy ra

\frac{1}{x} : \frac{1}{y} = 3 : 2

Đặt

\frac{1}{x} = 3 k

\frac{1}{y} = 2 k

với

k > 0

Thay vào

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{24}

3 k + 2 k = \frac{1}{24}

5 k = \frac{1}{24}

k = \frac{1}{120}

\frac{1}{x} = 3 k = \frac{1}{40}

nên

x = 40

;

\frac{1}{y} = 2 k = \frac{1}{60}

nên

y = 60

Vậy đội I làm một mình xong trong $40$ ngày, đội II làm một mình xong trong $60$ ngày, đúng bằng kết quả ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 không cần đặt hai ẩn phụ $u, v$ riêng biệt, chỉ cần một tham số $k$ nhờ đã biết trước tỉ lệ giữa hai năng suất.

Đáp số. Đội I làm riêng xong trong

40

ngày; đội II làm riêng xong trong

60

ngày.

Sai lầm thường gặp. Nhầm

x, y

là năng suất thay vì số ngày, dẫn đến lập sai phương trình năng suất chung; hoặc hiểu 'gấp rưỡi' là gấp

2

lần thay vì gấp

1, 5

lần.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 22–23

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 2 (trang 23)★★★Trang 23— Toán vòi nước chảy chung, hai mốc thời gian khác nhau

Luyện tập 2 (trang 23). Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong

1

giờ

20

phút. Nếu mở riêng vòi thứ nhất trong

10

phút và vòi thứ hai trong

12

phút thì chỉ được

\frac{2}{15}

bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu phút?

Kiến thức cần nhớ

Đổi mọi thời gian về cùng đơn vị phút trước khi lập phương trình: $1$ giờ $20$ phút $= 80$ phút.
Trong $t$ phút, vòi chảy đầy bể trong $x$ phút sẽ chảy được $\frac{t}{x}$ bể.

1Cách 1. Đặt ẩn phụ

u = \frac{1}{x}

v = \frac{1}{y}

, giải bằng thế

Định hướng. Gọi thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể làm ẩn, đặt ẩn phụ bằng nghịch đảo để hai dữ kiện của đề trở thành hệ bậc nhất hai ẩn.

Gọi

x

(phút) là thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể,

y

(phút) là thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể, điều kiện

x > 0

y > 0

.
Hai vòi chảy chung trong

1

giờ

20

phút

= 80

phút thì đầy bể:

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{80}

(1)
Vòi một chảy

10

phút, vòi hai chảy

12

phút được

\frac{2}{15}

bể:

\frac{10}{x} + \frac{12}{y} = \frac{2}{15}

(2)
Đặt

u = \frac{1}{x}

v = \frac{1}{y}

(

u, v > 0

), hệ trở thành

⎩ ⎨ ⎧ u + v = \frac{1}{80} 10 u + 12 v = \frac{2}{15}

Từ phương trình đầu:

u = \frac{1}{80} - v

Thay vào phương trình sau:

10 (\frac{1}{80} - v) + 12 v = \frac{2}{15}

\frac{1}{8} + 2 v = \frac{2}{15}

2 v = \frac{2}{15} - \frac{1}{8} = \frac{1}{120}

v = \frac{1}{240}

u = \frac{1}{80} - \frac{1}{240} = \frac{1}{120}

x = \frac{1}{u} = 120

;

y = \frac{1}{v} = 240

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể trong $120$ phút, vòi thứ hai chảy một mình đầy bể trong $240$ phút.

2Cách 2. Giải trực tiếp bằng phương pháp cộng đại số

Định hướng. Nhân phương trình vòi chảy chung cho một hệ số thích hợp rồi trừ cho phương trình còn lại để khử ngay $\frac{1}{x}$ , khỏi cần gọi tên ẩn phụ.

⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{80} \frac{10}{x} + \frac{12}{y} = \frac{2}{15}

Nhân phương trình đầu với

10

\frac{10}{x} + \frac{10}{y} = \frac{1}{8}

Trừ cho phương trình sau:

(\frac{10}{x} + \frac{12}{y}) - (\frac{10}{x} + \frac{10}{y}) = \frac{2}{15} - \frac{1}{8}

\frac{2}{y} = \frac{1}{120}

y = 240

\frac{1}{x} = \frac{1}{80} - \frac{1}{240} = \frac{1}{120}

x = 120

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể trong $120$ phút, vòi thứ hai chảy một mình đầy bể trong $240$ phút, đúng bằng Cách 1.

Nhận xét. $120$ phút $= 2$ giờ, $240$ phút $= 4$ giờ; hai vòi chảy chung nhanh hơn hẳn từng vòi chảy riêng, đúng như thực tế.

Đáp số. Vòi thứ nhất:

120

phút (

2

giờ); vòi thứ hai:

240

phút (

4

giờ).

Sai lầm thường gặp. Quên đổi

1

giờ

20

phút ra phút (

80

phút) mà lấy luôn số

1, 20

giờ, gây lẫn đơn vị với dữ kiện thứ hai vốn đã tính theo phút.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 23

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 1.15 (trang 23)★★Trang 23— Toán tìm số tự nhiên hai chữ số theo tổng và hiệu khi đảo chữ số

Bài 1.15 (trang 23). Tìm số tự nhiên

N

có hai chữ số, biết rằng tổng của hai chữ số đó bằng

12

, và nếu viết hai chữ số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số lớn hơn

N

là

36

đơn vị.

Kiến thức cần nhớ

Số tự nhiên có hai chữ số dạng $\overline{ab} = 10 a + b$ với $a$ là chữ số hàng chục ( $1 \leq a \leq 9$ ), $b$ là chữ số hàng đơn vị ( $0 \leq b \leq 9$ ).
Số viết theo thứ tự ngược lại là $\overline{ba} = 10 b + a$ .

1Cách 1. Lập hệ theo hai chữ số, giải bằng thế

Định hướng. Gọi hai chữ số của $N$ làm ẩn, một phương trình đến từ tổng hai chữ số, phương trình còn lại đến từ hiệu giữa số viết ngược và số $N$ .

Gọi

a

là chữ số hàng chục,

b

là chữ số hàng đơn vị của

N

, điều kiện

a, b \in N

1 \leq a \leq 9

0 \leq b \leq 9

N = 10 a + b

; số viết ngược lại là

10 b + a

Tổng hai chữ số bằng

12

a + b = 12

(1)
Số viết ngược lớn hơn

N

là

36

(10 b + a) - (10 a + b) = 36

, hay

- 9 a + 9 b = 36

, tức

b - a = 4

(2)
Từ (1):

b = 12 - a

Thay vào (2):

(12 - a) - a = 4

12 - 2 a = 4

2 a = 8

a = 4

b = 12 - 4 = 8

Vậy $a = 4$ , $b = 8$ thoả mãn điều kiện của chữ số; số cần tìm là $N = 48$ .

2Cách 2. Liệt kê thử trực tiếp các cặp chữ số

Định hướng. Vì $a + b = 12$ và $a, b$ là chữ số nên chỉ có một số hữu hạn cặp $(a, b)$ hợp lệ, liệt kê hết rồi kiểm tra điều kiện hiệu $36$ là chọn được ngay số đúng.

a + b = 12

1 \leq a \leq 9

0 \leq b \leq 9

nên

a \in {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

a = 3, b = 9

N = 39

, số ngược

93

, hiệu

93 - 39 = 54

(loại)

a = 4, b = 8

N = 48

, số ngược

84

, hiệu

84 - 48 = 36

(nhận)

a = 5, b = 7

N = 57

, số ngược

75

, hiệu

75 - 57 = 18

(loại)

a = 6, b = 6

N = 66

, số ngược

66

, hiệu

0

(loại)

a = 7, b = 5

N = 75

, số ngược

57

, hiệu

57 - 75 = - 18

(loại)

a = 8, b = 4

N = 84

, số ngược

48

, hiệu

48 - 84 = - 36

(loại)

a = 9, b = 3

N = 93

, số ngược

39

, hiệu

39 - 93 = - 54

(loại)

Vậy chỉ có $N = 48$ thoả mãn đề bài.

Nhận xét. Liệt kê trực tiếp giúp thấy ngay chỉ đúng một số thoả mãn, khớp với nghiệm duy nhất tìm được ở Cách 1.

Đáp số.

N = 48

Sai lầm thường gặp. Không đặt điều kiện

a \geq 1

(chữ số hàng chục khác

0

) nên có thể chấp nhận cả những cặp

(a, b)

không tạo thành số tự nhiên có hai chữ số.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 23

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 1.16 (trang 23)★★★Trang 23— Toán trung bình cộng có trọng số, dùng bảng thống kê

Bài 1.16 (trang 23). Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau

100

lần bắn là

8, 69

điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ không đọc được (đánh dấu "?"):
Điểm số của mỗi lần bắn:

10

;

9

;

8

;

7

;

6

.
Số lần bắn tương ứng:

25

;

42

;

?

;

15

;

?

.
Em hãy tìm lại các số bị mờ trong hai ô đó.

Kiến thức cần nhớ

Điểm trung bình $=$ tổng điểm chia cho tổng số lần bắn.
Tổng số lần bắn ở các mức điểm phải bằng đúng $100$ .

1Cách 1. Lập hệ theo hai ô bị mờ, giải bằng thế

Định hướng. Gọi số lần bắn được $8$ điểm và $6$ điểm làm hai ẩn, một phương trình đến từ tổng số lần bắn, phương trình còn lại đến từ tổng điểm chia cho $100$ bằng $8, 69$ .

Gọi

a

là số lần bắn được

8

điểm,

b

là số lần bắn được

6

điểm, điều kiện

a, b \in N

.
Tổng số lần bắn là

100

25 + 42 + a + 15 + b = 100

, hay

a + b = 18

(1)
Tổng điểm bằng

8, 69 \times 100 = 869

10 \cdot 25 + 9 \cdot 42 + 8 a + 7 \cdot 15 + 6 b = 869

250 + 378 + 8 a + 105 + 6 b = 869

8 a + 6 b = 136

, hay

4 a + 3 b = 68

(2)
Từ (1):

a = 18 - b

Thay vào (2):

4 (18 - b) + 3 b = 68

72 - 4 b + 3 b = 68

- b = - 4

b = 4

a = 18 - 4 = 14

Vậy có $14$ lần bắn được $8$ điểm và $4$ lần bắn được $6$ điểm.

2Cách 2. Giải bằng phương pháp cộng đại số

Định hướng. Nhân phương trình tổng số lần cho hệ số thích hợp rồi trừ cho phương trình tổng điểm để khử ngay ẩn $a$ .

{a + b = 18 4 a + 3 b = 68

Nhân phương trình đầu với

3

3 a + 3 b = 54

Trừ cho phương trình sau:

(4 a + 3 b) - (3 a + 3 b) = 68 - 54

a = 14

b = 18 - 14 = 4

Vậy số lần bắn được $8$ điểm là $14$ , số lần bắn được $6$ điểm là $4$ , đúng bằng Cách 1.

Nhận xét. Kiểm tra lại: tổng điểm $10 \cdot 25 + 9 \cdot 42 + 8 \cdot 14 + 7 \cdot 15 + 6 \cdot 4 = 869$ , chia cho $100$ đúng bằng $8, 69$ .

Đáp số. Số lần bắn được

8

điểm:

14

; số lần bắn được

6

điểm:

4

Sai lầm thường gặp. Quên nhân điểm trung bình

8, 69

với

100

để ra tổng điểm, mà đem

8, 69

so sánh trực tiếp với tổng các tích điểm nhân số lần.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 23

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 1.17 (trang 23)★★★Trang 23— Toán tăng phần trăm so với năm trước, tổng hai đại lượng

Bài 1.17 (trang 23). Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được

3600

tấn thóc. Năm nay, hai đơn vị thu hoạch được

4095

tấn thóc. Hỏi năm nay, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc, biết rằng năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức

15%

, đơn vị thứ hai làm vượt mức

12%

so với năm ngoái? Hãy dùng máy tính cầm tay để kiểm tra lại kết quả thu được.

Kiến thức cần nhớ

Nếu năm ngoái là $a$ và năm nay vượt mức $p %$ thì năm nay là $a (1 + \frac{p}{100})$ .
Có thể chọn ẩn là sản lượng năm ngoái hoặc sản lượng năm nay, miễn diễn đạt đúng quan hệ phần trăm.

1Cách 1. Lập hệ theo sản lượng năm ngoái, giải bằng thế

Định hướng. Gọi sản lượng năm ngoái của hai đơn vị làm ẩn, một phương trình từ tổng sản lượng năm ngoái, phương trình còn lại từ tổng sản lượng năm nay sau khi cộng thêm phần trăm vượt mức.

Gọi

x

(tấn) là sản lượng năm ngoái của đơn vị thứ nhất,

y

(tấn) là sản lượng năm ngoái của đơn vị thứ hai, điều kiện

x > 0

y > 0

.
Năm ngoái hai đơn vị thu

3600

tấn:

x + y = 3600

(1)
Năm nay đơn vị thứ nhất vượt mức

15%

nên thu

1, 15 x

tấn; đơn vị thứ hai vượt mức

12%

nên thu

1, 12 y

tấn
Năm nay hai đơn vị thu

4095

tấn:

1, 15 x + 1, 12 y = 4095

(2)
Từ (1):

y = 3600 - x

Thay vào (2):

1, 15 x + 1, 12 (3600 - x) = 4095

1, 15 x + 4032 - 1, 12 x = 4095

0, 03 x = 63

x = 2100

y = 3600 - 2100 = 1500

Năm nay đơn vị thứ nhất thu:

1, 15 \cdot 2100 = 2415

(tấn); đơn vị thứ hai thu:

1, 12 \cdot 1500 = 1680

(tấn)

Vậy năm nay đơn vị thứ nhất thu hoạch $2415$ tấn thóc, đơn vị thứ hai thu hoạch $1680$ tấn thóc.

2Cách 2. Lập hệ theo sản lượng năm nay

Định hướng. Đổi vai trò ẩn số: gọi thẳng sản lượng năm nay của hai đơn vị, sản lượng năm ngoái được suy ngược qua phần trăm vượt mức.

Gọi

m

(tấn) là sản lượng năm nay của đơn vị thứ nhất,

n

(tấn) là sản lượng năm nay của đơn vị thứ hai, điều kiện

m > 0

n > 0

.
Năm nay hai đơn vị thu

4095

tấn:

m + n = 4095

(1)
Sản lượng năm ngoái của đơn vị thứ nhất là

\frac{m}{1 , 15}

, của đơn vị thứ hai là

\frac{n}{1 , 12}

Năm ngoái hai đơn vị thu

3600

tấn:

\frac{m}{1 , 15} + \frac{n}{1 , 12} = 3600

(2)
Từ (1):

n = 4095 - m

Thay vào (2):

\frac{m}{1 , 15} + \frac{4095 - m}{1 , 12} = 3600

1, 12 m + 1, 15 (4095 - m) = 3600 \cdot 1, 15 \cdot 1, 12

1, 12 m + 4709, 25 - 1, 15 m = 4636, 8

- 0, 03 m = - 72, 45

m = 2415

n = 4095 - 2415 = 1680

Vậy năm nay đơn vị thứ nhất thu hoạch $2415$ tấn, đơn vị thứ hai thu hoạch $1680$ tấn, đúng bằng Cách 1.

Nhận xét. Dùng máy tính cầm tay kiểm tra lại: $2415 + 1680 = 4095$ và $\frac{2415}{1 , 15} + \frac{1680}{1 , 12} = 2100 + 1500 = 3600$ , khớp với hai dữ kiện đã cho.

Đáp số. Năm nay đơn vị thứ nhất:

2415

tấn; đơn vị thứ hai:

1680

tấn.

Sai lầm thường gặp. Cộng thẳng

15%

và

12%

vào tổng sản lượng năm ngoái thay vì cộng riêng cho từng đơn vị, dẫn đến phương trình sai.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 23

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 1.18 (trang 23)★★★Trang 23— Toán làm chung công việc với dữ kiện phần trăm

Bài 1.18 (trang 23). Hai người thợ cùng làm một công việc trong

16

giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong

3

giờ và người thứ hai làm trong

6

giờ thì chỉ hoàn thành được

25%

công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?

Kiến thức cần nhớ

Đổi $25%$ công việc thành phân số $\frac{1}{4}$ trước khi lập phương trình.
Gọi $x, y$ là thời gian làm riêng, năng suất mỗi giờ của từng người là $\frac{1}{x}$ , $\frac{1}{y}$ .

1Cách 1. Đặt ẩn phụ

u = \frac{1}{x}

v = \frac{1}{y}

, giải bằng thế

Định hướng. Gọi thời gian làm riêng của mỗi người làm ẩn, đặt ẩn phụ bằng nghịch đảo để đưa hai dữ kiện của đề về hệ bậc nhất hai ẩn $u, v$ .

Gọi

x

(giờ) là thời gian người thứ nhất làm riêng xong việc,

y

(giờ) là thời gian người thứ hai làm riêng xong việc, điều kiện

x > 0

y > 0

.
Làm chung xong trong

16

giờ:

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16}

(1)
Người thứ nhất làm

3

giờ, người thứ hai làm

6

giờ được

25% = \frac{1}{4}

công việc:

\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}

(2)
Đặt

u = \frac{1}{x}

v = \frac{1}{y}

(

u, v > 0

), hệ trở thành

⎩ ⎨ ⎧ u + v = \frac{1}{16} 3 u + 6 v = \frac{1}{4}

Từ phương trình đầu:

u = \frac{1}{16} - v

Thay vào phương trình sau:

3 (\frac{1}{16} - v) + 6 v = \frac{1}{4}

\frac{3}{16} + 3 v = \frac{1}{4}

3 v = \frac{1}{4} - \frac{3}{16} = \frac{1}{16}

v = \frac{1}{48}

u = \frac{1}{16} - \frac{1}{48} = \frac{1}{24}

x = \frac{1}{u} = 24

;

y = \frac{1}{v} = 48

Vậy làm riêng, người thứ nhất hoàn thành công việc trong $24$ giờ, người thứ hai hoàn thành trong $48$ giờ.

2Cách 2. Giải bằng phương pháp cộng đại số

Định hướng. Nhân phương trình làm chung cho hệ số thích hợp rồi trừ cho phương trình còn lại để khử ngay $u$ , không cần rút $u$ ra trước.

⎩ ⎨ ⎧ u + v = \frac{1}{16} 3 u + 6 v = \frac{1}{4}

Nhân phương trình đầu với

3

3 u + 3 v = \frac{3}{16}

Trừ cho phương trình sau:

(3 u + 6 v) - (3 u + 3 v) = \frac{1}{4} - \frac{3}{16}

3 v = \frac{1}{16}

v = \frac{1}{48}

u = \frac{1}{16} - v = \frac{1}{24}

x = \frac{1}{u} = 24

;

y = \frac{1}{v} = 48

Vậy người thứ nhất làm riêng xong trong $24$ giờ, người thứ hai làm riêng xong trong $48$ giờ, đúng bằng Cách 1.

Nhận xét. Kiểm tra lại: $\frac{3}{24} + \frac{6}{48} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$ , đúng bằng $25%$ công việc như đề cho.

Đáp số. Người thứ nhất:

24

giờ; người thứ hai:

48

giờ.

Sai lầm thường gặp. Đổi

25%

thành

0, 25

nhưng lại quên nhân với công việc coi là đơn vị

1

, hoặc cộng nhầm

3

giờ và

6

giờ thành tổng thời gian

9

giờ rồi so với

16

giờ.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 23

Mở bài này trong app ↗