Bài 3. Luyện tập chung

Định hướng. Hai phương trình đều có hệ số thập phân một chữ số sau dấu phẩy, nhân cả hai vế của mỗi phương trình với $10$ sẽ đưa hệ về hệ số nguyên, dễ khử ẩn bằng phép cộng.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(2;-1)$.

Định hướng. Từ hệ đã nhân bỏ hệ số thập phân, rút $x$ theo $y$ ở phương trình thứ nhất rồi thế vào phương trình còn lại.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(2;-1)$, trùng với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 khử ẩn nhanh gọn nhờ hệ số đẹp sau khi nhân với $10$; Cách 2 dùng phương pháp thế nhưng phải làm việc với phân số nên tính toán cồng kềnh hơn.

Định hướng. Phản ứng $3\text{Fe}+x{\text{O}}_2\to y{\text{Fe}}_3{\text{O}}_4$ cân bằng khi số nguyên tử Fe và số nguyên tử O ở hai vế bằng nhau; từ đó lập hệ hai phương trình với ẩn $x$, $y$.

Vậy $x=2$, $y=1$.

Định hướng. Cân số nguyên tử Fe trước để xác định $y$, rồi dùng đúng giá trị $y$ đó để cân số nguyên tử O tìm $x$, không cần viết hệ phương trình.

Vậy $x=2$, $y=1$, trùng với Cách 1.

Nhận xét. Hai cách cho cùng kết quả; Cách 1 trình bày chuẩn mực bằng hệ phương trình, Cách 2 cân bằng nguyên tố trực tiếp nên nhanh hơn khi phản ứng chỉ có hai nguyên tố.

Định hướng. Thay toạ độ của $A$ và $B$ vào $y=ax+b$ được hai phương trình bậc nhất với ẩn $a$, $b$; cộng vế theo vế để khử ẩn $a$.

Vậy $a=1$, $b=1$, tức là đường thẳng $y=x+1$.

Định hướng. Từ phương trình thứ hai rút $b$ theo $a$ rồi thế vào phương trình thứ nhất để chỉ còn một ẩn $a$.

Vậy $a=1$, $b=1$, đường thẳng cần tìm là $y=x+1$, trùng với Cách 1.

Nhận xét. Hình vẽ minh hoạ cho thấy đường thẳng $y=x+1$ đi đúng qua cả hai điểm $A$ và $B$ đã cho.

Định hướng. Kiểm tra một cặp số có là nghiệm của phương trình hay không chỉ cần thay hoành độ và tung độ vào vế trái rồi so với vế phải.

Vậy a) nghiệm của (1) là $(-1;1)$ và $(4;3)$; b) nghiệm của (2) là $(1;-1)$, $(4;3)$ và $(-2;-5)$; c) cặp số vừa là nghiệm của (1) vừa là nghiệm của (2) chỉ có $(4;3)$.

Định hướng. Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn ứng với một đường thẳng; một điểm nằm trên đường thẳng nào thì cặp số đó là nghiệm của phương trình tương ứng, còn giao điểm của hai đường thẳng chính là nghiệm của hệ.

Vậy a) $(-1;1)$ và $(4;3)$; b) $(1;-1)$, $(4;3)$, $(-2;-5)$; c) giao điểm của hai đường thẳng là $(4;3)$, trùng hoàn toàn với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 tính bằng đại số nên chính xác tuyệt đối; Cách 2 nhìn hình trực quan, thường dùng để kiểm tra lại kết quả đại số.

Định hướng. Ở mỗi hệ, rút một ẩn có hệ số $1$ từ phương trình đơn giản hơn rồi thế vào phương trình còn lại.

Vậy a) hệ có nghiệm $(1;1)$; b) hệ có vô số nghiệm với $x=y+1$ ($y$ tuỳ ý); c) hệ có nghiệm $(4;-2)$.

Định hướng. Nhân các phương trình với số thích hợp để hệ số của một ẩn bằng nhau rồi trừ vế theo vế, dùng để kiểm tra lại kết quả của phương pháp thế.

Vậy a) $(1;1)$; b) vô số nghiệm $x-y=1$; c) $(4;-2)$, trùng hoàn toàn với Cách 1.

Nhận xét. Ở câu b, hai phương trình thực chất là cùng một đường thẳng $x-y=1$ (phương trình sau chỉ là phương trình trước nhân với $2,4$), nên hệ có vô số nghiệm chứ không phải vô nghiệm hay có nghiệm duy nhất.

Định hướng. Nhân hai phương trình với các số thích hợp để hệ số của $x$ hoặc $y$ bằng nhau, sau đó cộng hoặc trừ vế theo vế để khử ẩn.

Vậy a) hệ có nghiệm $(-3;2)$; b) hệ vô nghiệm; c) hệ có nghiệm $(1,8;0,4)$.

Định hướng. Với câu a, c dùng phép thế để kiểm tra lại; với câu b, so sánh tỉ số các hệ số của $x$, $y$, hằng số để nhận ra ngay hai đường thẳng song song mà không cần biến đổi.

Vậy a) $(-3;2)$; b) hệ vô nghiệm (hai đường thẳng song song); c) $(1,8;0,4)$, trùng hoàn toàn với Cách 1.

Nhận xét. Ở câu b, dấu hiệu tỉ số hệ số của $x$, $y$ bằng nhau nhưng khác tỉ số hằng số cho phép nhận ra hệ vô nghiệm ngay, không cần biến đổi dài dòng như phương pháp cộng đại số.

Định hướng. Phản ứng $4\text{Al}+x{\text{O}}_2\to y{\text{Al}}_2{\text{O}}_3$ cân bằng khi số nguyên tử Al và số nguyên tử O ở hai vế bằng nhau.

Vậy $x=3$, $y=2$.

Định hướng. Cân số nguyên tử Al trước để tìm $y$, rồi dùng đúng giá trị đó để cân số nguyên tử O tìm $x$.

Vậy $x=3$, $y=2$, trùng với Cách 1.

Nhận xét. Hai cách cho cùng kết quả; cách lập hệ phù hợp khi phản ứng có nhiều nguyên tố, còn cách cân bằng trực tiếp nhanh gọn khi chỉ có hai nguyên tố như ở đây.

Định hướng. Hệ có nghiệm $(1;-2)$ nghĩa là thay $x=1$, $y=-2$ vào cả hai phương trình đều phải đúng; từ đó lập hệ mới với ẩn là $a$, $b$ rồi giải.

Vậy không tồn tại giá trị nào của $a$ và $b$ để hệ đã cho có nghiệm là $(1;-2)$.

Định hướng. Hai phương trình của hệ đều có cùng hệ số $a$ đứng trước $x$; trừ vế theo vế để loại hẳn $a$ và cả $x$, chỉ còn lại một điều kiện bắt buộc cho $y$, đúng với mọi $a$, $b$.

Vậy với mọi $a$, $b$, một khi hệ có nghiệm thì tung độ của nghiệm đó luôn bằng $-1$; đề bài lại yêu cầu nghiệm có tung độ $-2\ne -1$ nên không tồn tại $a$, $b$ thoả mãn.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy ngay lí do sâu xa: vì hai phương trình có chung hệ số $a$ của $x$, hiệu của chúng luôn triệt tiêu $x$ và cho ra một ràng buộc cố định cho $y$, không phụ thuộc tham số — đó cũng chính là điều Cách 1 phát hiện ra nhưng qua nhiều bước tính hơn.