Bài 4. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Định hướng. Cả hai số hạng của $P(x)$ đều chứa nhân tử $(x+1)$ nên đặt nhân tử chung để đưa $P(x)$ về dạng tích rồi giải phương trình tích.

Vậy $P(x)=(x+1)(3x-1)$ và phương trình $P(x)=0$ có hai nghiệm $x=-1$ và $x=\frac{1}{3}$.

Định hướng. Khai triển toàn bộ $P(x)$ để đưa về phương trình bậc hai dạng chuẩn $a{x}^2+bx+c=0$, rồi dùng công thức nghiệm để tìm $x$.

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=\frac{1}{3}$ và $x=-1$, khớp với cách 1.

Nhận xét. Kết quả $3x^2+2x-1=(x+1)(3x-1)$ cho thấy hai cách phân tích khác nhau vẫn dẫn đến cùng một phương trình tích.

Định hướng. Câu a) đã có sẵn dạng tích nên giải hai phương trình thành phần; câu b) chuyển vế rồi phân tích vế trái thành nhân tử bằng cách nhóm hạng tử.

Vậy a) phương trình có nghiệm $x=-\frac{1}{3}$ và $x=\frac{1}{2}$; b) phương trình có nghiệm $x=2$ và $x=3$.

Định hướng. Khai triển cả hai phương trình về dạng $a{x}^2+bx+c=0$ rồi dùng công thức nghiệm để tìm $x$, đối chiếu với cách 1.

Vậy kết quả khớp cách 1: a) $x=-\frac{1}{3}$ và $x=\frac{1}{2}$; b) $x=2$ và $x=3$.

Nhận xét. Với phương trình tích có sẵn như câu a), phân tích trực tiếp thường nhanh hơn khai triển rồi dùng công thức nghiệm.

Định hướng. Phần đất còn lại là hình vuông có cạnh bằng cạnh khu vườn trừ hai lần bề rộng lối đi; lập phương trình diện tích rồi đưa về hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để giải.

Vậy chỉ có $x=1$ thoả mãn điều kiện $0<x<7,5$; bề rộng lối đi là $x=1$ (m).

Định hướng. Diện tích lối đi bằng diện tích cả khu vườn trừ diện tích phần đất còn lại; biểu diễn diện tích lối đi theo $x$ rồi đưa về phương trình bậc hai và dùng công thức nghiệm.

Vậy chỉ $x=1$ thoả mãn $0<x<7,5$, khớp với cách 1.

Nhận xét. Giá trị $x=14$ bị loại vì lối đi rộng 14 m thì không thể nằm trong khu vườn cạnh 15 m.

Định hướng. Chuyển hạng tử chứa ẩn ở mẫu từ vế phải sang vế trái để hai hạng tử $\frac{1}{x+1}$ triệt tiêu nhau, thu được phương trình đơn giản; sau đó đối chiếu nghiệm tìm được với ĐKXĐ.

Vậy $x=-1$ không thoả mãn ĐKXĐ nên không phải là nghiệm của phương trình đã cho.

Định hướng. Thay thẳng $x=-1$ vào từng mẫu thức của phương trình ban đầu để kiểm tra phương trình có xác định tại giá trị này hay không, không cần qua bước biến đổi đại số.

Vậy phương trình đã cho không xác định tại $x=-1$ nên $x=-1$ không phải là nghiệm, khớp với cách 1.

Nhận xét. Đây là ví dụ cho thấy khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, biến đổi đại số có thể sinh ra nghiệm ngoại lai cần loại bỏ bằng ĐKXĐ.

Định hướng. Liệt kê tất cả các mẫu thức xuất hiện trong phương trình rồi cho từng mẫu khác 0.

Vậy a) ĐKXĐ là $x\ne \frac{1}{2}$; b) ĐKXĐ là $x\ne 0$ và $x\ne 1$.

Định hướng. Nhân tất cả các mẫu thức riêng lẻ lại thành một mẫu chung rồi cho tích đó khác 0, dựa vào tính chất tích khác 0 khi mọi thừa số đều khác 0.

Vậy kết quả khớp cách 1: a) $x\ne \frac{1}{2}$; b) $x\ne 0$ và $x\ne 1$.

Nhận xét. Xét mẫu chung $x(x-1)\ne 0$ tương đương với xét từng mẫu riêng lẻ $x\ne 0$ và $x-1\ne 0$.

Định hướng. Tìm ĐKXĐ, quy đồng hai vế theo mẫu chung $x(x-3)$, khử mẫu để đưa về phương trình bậc nhất, giải rồi đối chiếu ĐKXĐ.

Vậy d) $x=-1$ thoả mãn ĐKXĐ nên phương trình có nghiệm $x=-1$.

Định hướng. Thay giá trị vừa tìm được vào cả hai vế của phương trình ban đầu để kiểm tra tính đúng đắn và sự xác định của phương trình tại giá trị đó.

Vậy $x=-1$ đúng là nghiệm của phương trình, khớp với cách 1.

Nhận xét. Cách kiểm tra trực tiếp giúp khẳng định chắc chắn nghiệm mà không cần lặp lại toàn bộ phép biến đổi đại số.

Định hướng. Nhận ra $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ là mẫu chung của cả ba phân thức, quy đồng và khử mẫu để đưa về phương trình bậc nhất.

Vậy $x=\frac{1}{2}$ thoả mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình.

Định hướng. Chuyển $\frac{x}{x^2+x+1}$ và $\frac{4x}{(x-1)(x^2+x+1)}$ về cùng vế phải để gộp trước, sau đó quy đồng vế trái với mẫu chung, thay vì quy đồng cả ba mẫu cùng một lúc như cách 1.

Vậy $x=\frac{1}{2}$, khớp với cách 1.

Nhận xét. Có thể gộp các số hạng theo nhiều thứ tự khác nhau trước khi quy đồng, miễn là giữ đúng ĐKXĐ và các phép biến đổi tương đương.

Định hướng. Mỗi phương trình đã có sẵn dạng tích nên cho từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm.

Vậy a) phương trình có nghiệm $x=0$ và $x=2$; b) phương trình có nghiệm $x=-\frac{1}{2}$ và $x=\frac{2}{3}$.

Định hướng. Khai triển hai phương trình về dạng $a{x}^2+bx+c=0$ rồi dùng công thức nghiệm để kiểm tra lại kết quả.

Vậy kết quả khớp cách 1: a) $x=0$ và $x=2$; b) $x=-\frac{1}{2}$ và $x=\frac{2}{3}$.

Nhận xét. Với phương trình đã cho sẵn dạng tích, giải trực tiếp nhanh hơn nhiều so với khai triển rồi dùng công thức nghiệm.

Định hướng. Câu a) dùng hằng đẳng thức $x^2-4=(x-2)(x+2)$ rồi đặt nhân tử chung $(x-2)$; câu b) dùng trực tiếp hằng đẳng thức hiệu hai bình phương với $A=2x+1$, $B=3x$.

Vậy a) phương trình có nghiệm $x=2$ và $x=-1$; b) phương trình có nghiệm $x=1$ và $x=-\frac{1}{5}$.

Định hướng. Khai triển cả hai phương trình về dạng $a{x}^2+bx+c=0$ rồi dùng công thức nghiệm để kiểm tra lại.

Vậy kết quả khớp cách 1: a) $x=2$ và $x=-1$; b) $x=1$ và $x=-\frac{1}{5}$.

Nhận xét. Dùng hằng đẳng thức để phân tích thường gọn hơn khai triển toàn bộ rồi dùng công thức nghiệm.

Định hướng. Tìm ĐKXĐ, quy đồng cả hai vế theo đúng mẫu chung của mỗi phương trình rồi khử mẫu để đưa về phương trình bậc nhất.

Vậy a) $x=0$ thoả mãn ĐKXĐ nên là nghiệm; b) $x=\frac{1}{5}$ thoả mãn ĐKXĐ nên là nghiệm.

Định hướng. Chuyển một số hạng sang vế kia để gộp với số hạng có cùng nhân tử ở mẫu, rút gọn trước khi giải, thay vì quy đồng toàn bộ ngay từ đầu.

Vậy kết quả khớp cách 1: a) $x=0$; b) $x=\frac{1}{5}$.

Nhận xét. Gộp trước các số hạng cùng chứa một nhân tử ở mẫu giúp rút gọn phương trình nhanh hơn khi quy đồng toàn bộ ba mẫu cùng lúc.

Định hướng. Biểu diễn hai kích thước của phần đất làm nhà theo $x$, lập phương trình diện tích rồi rút gọn về hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để giải.

Vậy chỉ có $x=2$ thoả mãn điều kiện $0<x<12$; bề rộng $x$ là 2 m.

Định hướng. Khai triển trực tiếp phương trình diện tích về dạng $a{x}^2+bx+c=0$ rồi dùng công thức nghiệm để tìm $x$, đối chiếu với cách 1.

Vậy chỉ $x=2$ thoả mãn $0<x<12$, khớp với cách 1.

Nhận xét. Giá trị $x=22$ bị loại vì bề rộng sân vườn không thể lớn hơn cả chiều rộng mảnh đất 12 m.

Định hướng. Biểu thị năng suất người thứ hai theo $x$ nhờ năng suất chung, rồi lập phương trình tổng khối lượng công việc bằng 1 và giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 12 giờ; người thứ hai làm trong 1 giờ được $\frac{1}{8}-\frac{1}{12}=\frac{1}{24}$ khối lượng công việc nên cần 24 giờ để một mình làm xong.

Định hướng. Gọi thêm $y$ là thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc, lập hệ hai phương trình theo tổng năng suất và theo khối lượng công việc hoàn thành, rồi dùng phương pháp thế để giải.

Vậy người thứ nhất cần 12 giờ, người thứ hai cần 24 giờ để một mình làm xong công việc, khớp với cách 1.

Nhận xét. Kiểm tra lại: $\frac{1}{12}+\frac{1}{24}=\frac{1}{8}$ (đúng năng suất chung); $4\cdot \frac{1}{8}+12\cdot \frac{1}{24}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ (đúng tổng khối lượng công việc).