Bài 5. Bất đẳng thức và tính chất

Định hướng. Đưa mỗi cặp số về cùng dạng (số thập phân hoặc phân số có mẫu dương) rồi so sánh trực tiếp trên trục số.

Vậy a) $-34,2<-27$; b) $\frac{6}{-8}=-\frac{3}{4}$; c) $2024>1954$.

Định hướng. Dùng tính chất so sánh hai số bằng dấu của hiệu $a-b$ để kiểm tra lại từng kết quả.

Vậy hiệu ở câu a) âm nên $-34,2<-27$; hiệu ở câu b) bằng $0$ nên $\frac{6}{-8}=-\frac{3}{4}$; hiệu ở câu c) dương nên $2024>1954$, khớp với cách 1.

Nhận xét. Xét dấu của hiệu là cách tổng quát, dùng được cho cả số nguyên, số thập phân lẫn phân số.

Định hướng. "Tốc độ không nhỏ hơn $60$" nghĩa là tốc độ lớn hơn $60$ hoặc bằng $60$, dùng đúng kí hiệu $\ge$.

Vậy $a$ phải thoả mãn $a\ge 60$, chọn đáp án C.

Định hướng. Thử hai giá trị $a=60$ và $a=70$ vào yêu cầu của biển báo để loại các phương án không phù hợp.

Vậy đáp án đúng là C: $a\ge 60$, khớp với cách 1.

Nhận xét. Sai lầm phổ biến là chọn D vì đọc nhầm "tốc độ tối thiểu" thành "tốc độ tối đa".

Định hướng. Tính hiệu vế trái trừ vế phải, nếu hiệu dương thì bất đẳng thức đúng.

Vậy cả hai hiệu đều dương nên $\frac{2024}{1000}>1,9$ và $-\frac{2022}{2023}>-1,1$.

Định hướng. Chèn một số trung gian dễ so sánh với cả hai vế, rồi dùng tính chất bắc cầu của bất đẳng thức.

Vậy $\frac{2024}{1000}>1,9$ và $-\frac{2022}{2023}>-1,1$, khớp với cách 1.

Nhận xét. Cách 2 dùng đúng hai tính chất trọng tâm của bài: nhân với số âm đổi chiều, và tính chất bắc cầu.

Định hướng. Xác định đúng làn xe đang xét trong Hình 2.4 rồi đọc trị số tốc độ tối đa ghi trên biển của làn đó, sau đó dịch "không vượt quá" sang kí hiệu $\le$.

Vậy a) $a\le 50$; b) $b\le 50$.

Định hướng. So sánh trị số của làn giữa và làn phải với trị số $60$ của làn trái bằng tính chất thứ tự, để kiểm tra chiều của bất đẳng thức vừa lập.

Vậy kết quả khớp cách 1: a) $a\le 50$; b) $b\le 50$.

Nhận xét. Làn giữa và làn phải cùng giới hạn $50$ km/h nhưng dành cho các loại xe khác nhau; chỉ làn trái dành riêng cho ô tô mới được phép tới $60$ km/h.

Định hướng. Cộng đúng số được yêu cầu vào cả hai vế của $(1)$, tính ra giá trị cụ thể rồi so sánh hai kết quả.

Vậy a) $-1+2<2+2$; b) $-1+(-2)<2+(-2)$; c) $-1+c<2+c$ với mọi số $c$.

Định hướng. Xem phép cộng cùng một số vào hai vế như phép tịnh tiến hai điểm $-1$ và $2$ trên trục số cùng một đoạn bằng số đó, để nhận ra thứ tự không đổi.

Vậy điểm $-1+c$ vẫn nằm trước điểm $2+c$ nên $-1+c<2+c$ với mọi số $c$, khớp với cách 1.

Nhận xét. Đây chính là tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng: cộng cùng một số vào hai vế không làm đổi chiều bất đẳng thức.

Định hướng. So sánh hai số hạng thay đổi trước ($19$ với $-31$, $\sqrt{2}$ với $2$), rồi cộng cùng một số vào hai vế để suy ra bất đẳng thức cần tìm mà không cần tính giá trị cụ thể.

Vậy a) $19+2023>-31+2023$; b) $\sqrt{2}+2<4$.

Định hướng. Ước lượng giá trị gần đúng hoặc tính trực tiếp cả hai vế để kiểm tra lại kết luận ở cách 1.

Vậy kết quả khớp cách 1: a) $19+2023>-31+2023$; b) $\sqrt{2}+2<4$.

Nhận xét. Đề yêu cầu "không thực hiện phép tính" nên cách 1 dùng tính chất bất đẳng thức mới là cách làm phù hợp; cách 2 chỉ dùng để kiểm tra lại.

Định hướng. Nhân đúng số được yêu cầu vào cả hai vế của bất đẳng thức, tính ra giá trị cụ thể rồi so sánh hai kết quả.

Vậy a) $(-2)\cdot 7<5\cdot 7$ (giữ nguyên chiều vì nhân với số dương); b) $(-2)\cdot (-7)>5\cdot (-7)$ (đổi chiều vì nhân với số âm).

Định hướng. Xét số nhân là dương hay âm để dự đoán bất đẳng thức mới cùng chiều hay đổi chiều, không cần tính giá trị cụ thể trước.

Vậy kết quả khớp cách 1: a) $(-2)\cdot 7<5\cdot 7$; b) $(-2)\cdot (-7)>5\cdot (-7)$.

Nhận xét. Chỉ cần biết dấu của số nhân là đủ để xác định bất đẳng thức mới cùng chiều hay ngược chiều.

Định hướng. So sánh $-10,5$ và $11,2$ trước, sau đó dựa vào dấu của số nhân ($13$ dương, $-13$ âm) để xác định chiều của bất đẳng thức mới.

Vậy a) điền dấu $<$; b) điền dấu $>$.

Định hướng. Tính cụ thể giá trị mỗi vế của từng bất đẳng thức rồi so sánh hai số vừa tính được để kiểm tra lại cách 1.

Vậy kết quả khớp cách 1: a) điền dấu $<$; b) điền dấu $>$.

Nhận xét. Hai bất đẳng thức ở câu a) và b) chỉ khác nhau ở dấu của số nhân ($13$ và $-13$) nên có chiều ngược nhau dù giá trị tuyệt đối bằng nhau.

Định hướng. Gọi số bạn tham gia là $n$ (bạn, $n$ nguyên dương), biểu diễn tổng chi phí theo $n$ rồi lập bất đẳng thức tổng chi phí không vượt quá số tiền tài trợ, dùng tính chất cộng và nhân với số dương để tìm điều kiện của $n$.

Vậy $n$ là số nguyên dương lớn nhất thoả mãn $n\le 144,\overline{4}$ nên $n=144$; có thể tổ chức cho nhiều nhất $144$ bạn tham gia.

Định hướng. Ước lượng số bạn có thể tham gia bằng cách chia đều số tiền còn lại cho chi phí một bạn, rồi thử hai giá trị liền kề để xác định chính xác số bạn lớn nhất.

Vậy $n=144$ là số bạn nhiều nhất có thể tham gia, khớp với cách 1.

Nhận xét. Không được làm tròn $144,\overline{4}$ lên $145$ vì $n$ là số bạn tham gia, phải là số nguyên không vượt quá $144,\overline{4}$.

Định hướng. Đối chiếu từng cụm từ trong đề với đúng kí hiệu bất đẳng thức đã học ($<,>,\le ,\ge$).

Vậy a) $x\le -2$; b) $m<0$; c) $y>0$; d) $p\ge 2024$.

Định hướng. Chọn một giá trị cụ thể thoả mãn phát biểu bằng lời rồi thay vào bất đẳng thức vừa viết để kiểm tra tính hợp lí.

Vậy cả bốn bất đẳng thức đều đúng với giá trị thử, khớp với cách 1: a) $x\le -2$; b) $m<0$; c) $y>0$; d) $p\ge 2024$.

Nhận xét. Các cụm từ "nhỏ hơn hoặc bằng", "lớn hơn hoặc bằng" luôn ứng với kí hiệu có gạch dưới ($\le$, $\ge$) để bao gồm cả trường hợp bằng.

Định hướng. Gọi đại lượng cần mô tả là một ẩn, sau đó dịch đúng nghĩa của cụm từ "ít nhất", "tối đa", "tối thiểu" sang kí hiệu bất đẳng thức phù hợp.

Vậy a) $x\ge 18$; b) $y\le 45$; c) $z\ge 20000$.

Định hướng. Thử giá trị đúng bằng mốc quy định và một giá trị vi phạm quy định để kiểm tra bất đẳng thức vừa viết có loại đúng trường hợp vi phạm hay không.

Vậy các bất đẳng thức $x\ge 18$, $y\le 45$, $z\ge 20000$ đều phản ánh đúng điều kiện thực tế, khớp với cách 1.

Nhận xét. Giá trị đúng bằng mốc quy định luôn thoả mãn bất đẳng thức vì đề dùng "ít nhất", "tối đa", "tối thiểu" đều bao gồm trường hợp bằng.

Định hướng. So sánh hai thừa số thay đổi trước, nhân với số đã cho để xác định đúng chiều, rồi cộng cùng một số vào hai vế để hoàn thành bất đẳng thức cần chứng minh.

Vậy a) $2\cdot (-7)+2023<2\cdot (-1)+2023$; b) $(-3)\cdot (-8)+1975>(-3)\cdot (-7)+1975$ (điều phải chứng minh).

Định hướng. Tính trực tiếp giá trị mỗi vế để đối chiếu với kết luận đã suy ra bằng tính chất bất đẳng thức ở cách 1.

Vậy kết quả khớp cách 1: a) $2\cdot (-7)+2023<2\cdot (-1)+2023$; b) $(-3)\cdot (-8)+1975>(-3)\cdot (-7)+1975$.

Nhận xét. Đề yêu cầu "không thực hiện phép tính" nên cách 1 dùng tính chất bất đẳng thức mới là cách làm chính; cách 2 chỉ dùng để kiểm tra lại kết quả.

Định hướng. Từ $a<b$, nhân hai vế với hệ số của $a$, $b$ trong mỗi biểu thức rồi cộng thêm số hạng tự do để suy ra bất đẳng thức cần so sánh.

Vậy a) $5a+7<5b+7$; b) $-3a-9>-3b-9$.

Định hướng. Tính hiệu hai biểu thức cần so sánh, rút gọn về dạng chứa nhân tử $a-b$ rồi dùng dấu của $a-b$ (âm, do $a<b$) để kết luận dấu của hiệu.

Vậy hiệu ở câu a) âm nên $5a+7<5b+7$; hiệu ở câu b) dương nên $-3a-9>-3b-9$, khớp với cách 1.

Nhận xét. Xét dấu của hiệu hai biểu thức là cách tổng quát, không cần nhớ quy tắc đổi chiều khi nhân với số âm mà vẫn ra kết quả đúng.

Định hướng. Cộng hoặc nhân cả hai vế của bất đẳng thức đã cho với cùng một số thích hợp để triệt tiêu hệ số, đưa về dạng so sánh trực tiếp $a$ và $b$.

Vậy cả hai trường hợp đều cho $a<b$.

Định hướng. Giả sử $a\ge b$ rồi dùng tính chất cộng hoặc nhân để suy ra điều mâu thuẫn với giả thiết đã cho, từ đó khẳng định $a<b$ là đúng.

Vậy giả sử $a\ge b$ đều dẫn đến mâu thuẫn nên $a<b$ trong cả hai trường hợp, khớp với cách 1.

Nhận xét. Phản chứng là cách suy luận chặt chẽ để khẳng định chiều duy nhất có thể xảy ra giữa $a$ và $b$.

Định hướng. So sánh mỗi phân số ban đầu với số $1$, từ đó suy ra quan hệ giữa hai phân số bằng tính chất bắc cầu; riêng câu a) cần thêm tính chất nhân với số âm để đổi chiều.

Vậy a) $-\frac{2023}{2024}>-\frac{2024}{2023}$; b) $\frac{34}{11}>\frac{26}{9}$.

Định hướng. Đưa hai phân số về cùng một mẫu số dương rồi so sánh trực tiếp hai tử số để kết luận.

Vậy kết quả khớp cách 1: a) $-\frac{2023}{2024}>-\frac{2024}{2023}$; b) $\frac{34}{11}>\frac{26}{9}$.

Nhận xét. Quy đồng mẫu số là cách làm trực tiếp, không cần dùng đến tính chất bắc cầu hay đổi chiều bất đẳng thức nhưng số liệu tính toán lớn hơn.