Bài 6. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Định hướng. Kiểm tra bậc của ẩn $x$ trong từng bất phương trình: nếu là bậc nhất (số mũ bằng $1$) và hệ số của $x$ khác $0$ thì đó là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Vậy a) và b) là bất phương trình bậc nhất một ẩn $x$; c) không phải vì $x^3$ là đa thức bậc ba.

Định hướng. Thử viết mỗi bất phương trình dưới dạng chuẩn $ax+b$; bất phương trình nào chứa lũy thừa của $x$ lớn hơn $1$ thì bị loại ngay.

Vậy kết luận giống cách 1: a), b) là bất phương trình bậc nhất một ẩn $x$; c) không phải.

Nhận xét. Chỉ cần kiểm tra số mũ cao nhất của ẩn bằng $1$ là đủ để nhận biết bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Định hướng. Thay từng số $-2$, $0$, $5$ vào bất phương trình $2x-10<0$ và kiểm tra khẳng định nhận được đúng hay sai.

Vậy $-2$ và $0$ là nghiệm của bất phương trình; $5$ không phải là nghiệm.

Định hướng. Giải bất phương trình $2x-10<0$ để tìm tập nghiệm tổng quát, sau đó đối chiếu ba giá trị đã cho với tập nghiệm này.

Vậy tập nghiệm là $\{x\mid x<5\}$; trong ba số đã cho chỉ có $-2$ và $0$ thoả mãn $x<5$, còn $5$ không thoả mãn vì $5<5$ là khẳng định sai, khớp với cách 1.

Nhận xét. Giải trước bất phương trình rồi so sánh giúp kiểm tra được nhiều giá trị cùng lúc mà không cần thay lần lượt.

Định hướng. Thực hiện lần lượt phép cộng với $-3$ rồi phép nhân với $\frac{1}{5}$ vào hai vế của bất phương trình (1) như đề bài yêu cầu, chú ý hệ số nhân $\frac{1}{5}$ là số dương nên giữ nguyên chiều bất đẳng thức.

Vậy nghiệm của bất phương trình (1) là $x<-\frac{3}{5}$.

Định hướng. Chuyển hạng tử tự do sang vế phải rồi chia cả hai vế cho hệ số dương của $x$ để tìm nghiệm, không cần tách thành hai bất phương trình trung gian (1) và (2).

Vậy nghiệm là $x<-\frac{3}{5}$, khớp với cách 1.

Nhận xét. Hai cách cho cùng một kết quả vì bản chất đều dùng hai tính chất: cộng hai vế với cùng một số và nhân hai vế với số dương $\frac{1}{5}$.

Định hướng. Chuyển hạng tử tự do sang vế phải, sau đó chia cả hai vế cho hệ số của $x$, chú ý đổi chiều khi hệ số đó âm.

Vậy a) nghiệm là $x<-\frac{5}{6}$; b) nghiệm là $x<-\frac{7}{2}$.

Định hướng. Thay vì chia hai vế, nhân cả hai vế của bất phương trình với số nghịch đảo của hệ số $x$ để tìm nghiệm, kết quả tương đương với phép chia.

Vậy kết quả khớp cách 1: a) $x<-\frac{5}{6}$; b) $x<-\frac{7}{2}$.

Nhận xét. Nhân với số nghịch đảo $\frac{1}{6}$ hay $-\frac{1}{2}$ chỉ là cách viết khác của phép chia, phải đổi chiều khi số nhân âm.

Định hướng. Chuyển các hạng tử chứa $x$ về một vế, hạng tử tự do về vế kia, thu gọn rồi chia hai vế cho hệ số của $x$, chú ý đổi chiều khi hệ số âm.

Vậy a) nghiệm là $x<4$; b) nghiệm là $x\ge \frac{4}{7}$.

Định hướng. Chuyển hạng tử chứa $x$ sao cho vế còn lại có hệ số của $x$ dương, tránh phải chia cho số âm và đổi chiều.

Vậy kết quả khớp cách 1: a) $x<4$; b) $x\ge \frac{4}{7}$.

Nhận xét. Chuyển hạng tử $x$ sang vế có hệ số lớn hơn giúp tránh chia cho số âm, nhưng vẫn phải đọc đúng chiều bất đẳng thức khi đổi hai vế cho nhau (từ $4>x$ suy ra $x<4$).

Định hướng. Gọi $x$ là số câu trả lời chính xác ($x$ nguyên, $0\le x\le 25$), biểu diễn tổng điểm theo $x$ rồi lập bất phương trình tổng điểm không nhỏ hơn $25$, giải để tìm $x$ nhỏ nhất.

Vậy người ứng tuyển phải trả lời chính xác ít nhất $15$ câu hỏi.

Định hướng. Ước lượng ngưỡng cần đạt bằng cách thử số câu đúng gần giá trị tìm được ở cách 1, kiểm tra tổng điểm có đạt từ $25$ trở lên hay không.

Vậy $x=15$ là số câu đúng ít nhất cần có, khớp với cách 1.

Nhận xét. Không thể trả lời đúng ít hơn $15$ câu vì khi đó tổng điểm chưa đạt $25$ để được vào vòng tiếp theo.

Định hướng. Chuyển hạng tử tự do sang vế phải, sau đó chia hai vế cho hệ số của $x$ trong từng bất phương trình, chú ý đổi chiều khi hệ số âm.

Vậy a) $x\ge 5$; b) $x\le -5$; c) $x<-3$; d) $x<3$.

Định hướng. Chọn một giá trị nằm trong khoảng nghiệm vừa tìm và một giá trị nằm ngoài để thay vào bất phương trình ban đầu, kiểm tra tính đúng đắn của kết quả.

Vậy các tập nghiệm ở cách 1 đều được kiểm tra đúng: a) $x\ge 5$; b) $x\le -5$; c) $x<-3$; d) $x<3$.

Nhận xét. Thử giá trị trong và ngoài khoảng nghiệm là cách nhanh để phát hiện sai sót khi giải bất phương trình, đặc biệt là lỗi quên đổi chiều.

Định hướng. Chuyển các hạng tử chứa $x$ về một vế, hạng tử tự do về vế kia, thu gọn rồi chia hai vế cho hệ số của $x$.

Vậy a) nghiệm là $x>1$; b) nghiệm là $x<-\frac{3}{4}$.

Định hướng. Xét hiệu vế trái trừ vế phải của bất phương trình ban đầu, rút gọn về dạng $ax+b$ so với $0$ để tìm điều kiện của $x$.

Vậy kết quả khớp cách 1: a) $x>1$; b) $x<-\frac{3}{4}$.

Nhận xét. Xét dấu của hiệu hai vế đưa bất phương trình về đúng dạng bậc nhất một ẩn $ax+b$ so với $0$, cách làm này áp dụng được cho mọi bất phương trình đưa được về dạng bậc nhất.

Định hướng. Gọi $x$ (triệu đồng) là số tiền gửi tiết kiệm, biểu diễn số tiền lãi hằng tháng theo $x$ rồi lập bất phương trình lãi không nhỏ hơn $3$ triệu đồng.

Vậy cần gửi tiết kiệm ít nhất $750$ triệu đồng.

Định hướng. Đổi lãi suất $0,4\%$ sang phân số $\frac{4}{1000}$ rồi lập cùng bất phương trình để kiểm tra lại kết quả bằng phép tính khác.

Vậy kết quả khớp cách 1: số tiền gửi ít nhất là $750$ triệu đồng.

Nhận xét. Vì $750$ là số nguyên nên kết quả không cần làm tròn thêm.

Định hướng. Gọi $x$ (kilômét) là quãng đường di chuyển, biểu diễn tổng chi phí theo $x$ rồi lập bất phương trình chi phí không vượt quá $200$ nghìn đồng.

Vậy $x$ là số nguyên lớn nhất thoả mãn $x\le 15,42$ nên hành khách có thể di chuyển tối đa $15$ kilômét (làm tròn đến hàng đơn vị).

Định hướng. Thử số kilômét bằng số nguyên gần với kết quả ở cách 1 và số nguyên liền sau để xác định số kilômét lớn nhất thoả mãn chi phí cho phép.

Vậy hành khách di chuyển được tối đa $15$ kilômét, khớp với cách 1.

Nhận xét. Phải làm tròn xuống thành $15$ vì $x\le 15,42$; nếu làm tròn lên $16$ thì chi phí vượt quá $200$ nghìn đồng.

Định hướng. Gọi $x$ (thùng) là số thùng bia xe chở, đổi trọng tải $5,25$ tấn sang kilôgam, lập bất phương trình tổng khối lượng không vượt quá trọng tải.

Vậy $x$ là số nguyên lớn nhất thoả mãn $x\le 773,88$ nên xe có thể chở được tối đa $773$ thùng bia.

Định hướng. Thử số thùng bia bằng số nguyên gần với kết quả ở cách 1 và số nguyên liền sau để xác định số thùng lớn nhất thoả mãn trọng tải cho phép.

Vậy xe chở được tối đa $773$ thùng bia, khớp với cách 1.

Nhận xét. Phải làm tròn xuống thành $773$ vì số thùng bia phải là số nguyên và không được vượt trọng tải cho phép.