Bài 7. Căn bậc hai và căn thức bậc hai

Định hướng. Vật chạm đất khi quãng đường rơi đúng bằng độ cao thả, nên thay $S=122,5$ vào công thức rồi tìm $t$.

Vậy sau $5$ giây thì vật chạm đất.

Định hướng. Rút $t$ theo $S$ một lần cho mọi độ cao, sau này đổi độ cao chỉ việc thay số vào công thức.

Vậy vật chạm đất sau $5$ giây.

Định hướng. Quãng đường rơi tăng theo $t$, nên cho $t$ nhận các giá trị nguyên nhỏ dần đến khi $S$ đạt $122,5$.

Vậy $t=5$ giây.

Nhận xét. Cách thử chỉ tiện khi đáp số là số nguyên nhỏ; gặp độ cao lẻ như $80$ m thì phải quay về công thức $t=\sqrt{\frac{S}{4,9}}$ ở Cách 2 rồi bấm máy tính.

Định hướng. Tìm số có bình phương bằng $49$, nhớ rằng hai số đối nhau cho cùng một bình phương.

Vậy $x=7$ hoặc $x=-7$.

Định hướng. Đưa hết về một vế để có hiệu hai bình phương, khi đó hai nghiệm tự hiện ra đầy đủ.

Vậy $x=7$ hoặc $x=-7$.

Định hướng. Lấy căn bậc hai hai vế; vế trái cho $|x|$ chứ không cho $x$, và chính dấu trị tuyệt đối sinh ra hai nghiệm.

Vậy $x=7$ hoặc $x=-7$.

Nhận xét. Cách 3 nói rõ vì sao luôn có hai nghiệm: $\sqrt{x^2}$ bằng $|x|$ chứ không bằng $x$; nếu viết $\sqrt{x^2}=x$ thì mất ngay nghiệm âm.

Định hướng. Tìm số có bình phương bằng $121$ rồi lấy thêm số đối của nó.

Vậy $121$ có hai căn bậc hai là $11$ và $-11$.

Định hướng. Phân tích $121$ ra thừa số nguyên tố để đưa nó về một bình phương, khi đó căn bậc hai số học lộ ra ngay.

Vậy $121$ có hai căn bậc hai là $11$ và $-11$.

Định hướng. Kẹp $121$ giữa hai số chính phương đã thuộc để biết căn bậc hai số học của nó nằm trong khoảng nào, rồi thử số nguyên duy nhất còn lại.

Vậy $121$ có hai căn bậc hai là $11$ và $-11$.

Nhận xét. Bấm MTCT phím căn rồi nhập $121$ cũng cho $11$, nhưng máy chỉ trả về căn bậc hai số học nên vẫn phải tự thêm số đối $-11$.

Định hướng. Nhập nguyên phân số vào trong dấu căn để máy chỉ làm tròn đúng một lần ở kết quả cuối.

Vậy hai căn bậc hai của $\frac{7}{11}$ là $0,80$ và $-0,80$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Định hướng. Dùng quy tắc khai căn một thương để đưa về hai căn quen thuộc, rồi mới chia; đây là cách kiểm tra chéo kết quả của Cách 1.

Vậy hai căn bậc hai của $\frac{7}{11}$ là $0,80$ và $-0,80$.

Định hướng. Muốn biết làm tròn thành $0,79$ hay $0,80$, chỉ cần so $\frac{7}{11}$ với bình phương của mốc giữa là $0,795$.

Vậy $\sqrt{\frac{7}{11}}\approx 0,80$, hai căn bậc hai của $\frac{7}{11}$ là $0,80$ và $-0,80$.

Nhận xét. Trục căn thức cho dạng gọn $\sqrt{\frac{7}{11}}=\frac{\sqrt{77}}{11}$, bấm máy được $\frac{8,774964}{11}\approx 0,797724$, khớp với cả ba cách trên.

Định hướng. Thay số vào rồi tính riêng $\sqrt{a^2}$ và $|a|$ ở mỗi trường hợp để so sánh.

Vậy trong cả hai trường hợp $\sqrt{a^2}=|a|$.

Định hướng. Chỉ cần chỉ ra $|a|$ hội đủ hai tính chất đặc trưng của $\sqrt{a^2}$: không âm và bình phương bằng $a^2$.

Vậy $\sqrt{a^2}=|a|$, cụ thể cả hai trường hợp đều cho giá trị $3$.

Định hướng. $|a|$ là khoảng cách từ điểm $a$ đến gốc $0$, mà hai số đối nhau cách gốc bằng nhau và có cùng bình phương — đó chính là lí do $\sqrt{a^2}$ chỉ phụ thuộc khoảng cách chứ không phụ thuộc dấu.

Vậy $\sqrt{3^2}=|3|=3$ và $\sqrt{(-3{)}^2}=|-3|=3$.

Nhận xét. Kết quả đúng cho mọi số thực chứ không riêng $a=\pm 3$: $\sqrt{a^2}=|a|$, và chỉ khi $a\ge 0$ mới được viết gọn thành $\sqrt{a^2}=a$.

Định hướng. Câu a khai căn bằng dấu trị tuyệt đối rồi xét dấu từng biểu thức; câu b viết $3$ thành một căn để so sánh hai biểu thức dưới dấu căn.

Vậy $\sqrt{6^2}=6$; $\sqrt{(-5{)}^2}=5$; $\sqrt{5}-\sqrt{{\left(\sqrt{5}-1\right)}^2}=1$ và $3<\sqrt{10}$.

Định hướng. Câu a tìm số không âm có bình phương bằng biểu thức dưới căn; câu b so sánh hai số dương bằng cách so bình phương của chúng.

Vậy ba giá trị ở câu a lần lượt là $6$; $5$; $1$ và $3<\sqrt{10}$.

Định hướng. Dùng máy tính để kiểm tra chéo kết quả vừa tìm, đây cũng là cách thứ nhất mà câu b yêu cầu.

Vậy kết quả gần đúng khớp với lời giải chính xác: $1$ và $3<\sqrt{10}$.

Nhận xét. MTCT chỉ để kiểm tra chéo, không thay được lập luận: với $\sqrt{{\left(\sqrt{5}-1\right)}^2}$ máy vẫn cho số dương, nhưng chỉ lập luận dấu ở Cách 1 mới giải thích được vì sao bỏ được dấu trị tuyệt đối mà giữ nguyên biểu thức.

Định hướng. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên bình phương cạnh huyền $BC$ bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông $AB$ và $AC$.

Vậy $BC=\sqrt{9+x^2}$ (cm), với $x>0$.

Định hướng. Coi $BC$ là ẩn: nó là số dương có bình phương bằng $9+x^2$, tức đúng là căn bậc hai số học của $9+x^2$.

Vậy $BC=\sqrt{9+x^2}$ (cm).

Định hướng. Thay vài giá trị của $x$ mà kết quả đã biết trước để soát lại công thức vừa lập.

Vậy công thức $BC=\sqrt{9+x^2}$ cho kết quả đúng ở mọi giá trị thử.

Nhận xét. Biểu thức $\sqrt{9+x^2}$ có dạng $\sqrt{A}$ với $A=9+x^2$; ở đây $A>0$ với mọi $x$ nên căn thức luôn xác định, khác hẳn những căn thức như $\sqrt{2x-1}$ chỉ xác định trên một phần trục số.

Định hướng. Tính giá trị của $2x-1$ ở từng trường hợp rồi mới khai căn.

Vậy tại $x=5$ thì $C=3$; tại $x=0$ thì không tính được giá trị của $C$.

Định hướng. Xác định một lần xem $x$ phải thoả mãn gì để $C$ có nghĩa, sau đó chỉ việc soi từng giá trị vào điều kiện đó.

Vậy $C=3$ tại $x=5$, còn tại $x=0$ biểu thức không xác định.

Định hướng. Coi giá trị cần tìm là số không âm $y$ thoả mãn $y^2=2x-1$, khi đó câu b hỏng ngay vì bình phương không thể âm.

Vậy tại $x=5$ thì $C=3$; tại $x=0$ không có giá trị nào của $C$.

Nhận xét. Bấm MTCT với $x=0$ máy báo lỗi Math ERROR — đó chính là cách máy nói rằng biểu thức dưới dấu căn đang âm.

Định hướng. Căn thức có nghĩa khi $5-2x\ge 0$, giải bất phương trình bậc nhất này ra điều kiện của $x$.

Vậy điều kiện xác định là $x\le \frac{5}{2}$ và giá trị của căn thức tại $x=2$ bằng $1$.

Định hướng. Tìm nghiệm của $5-2x$ rồi dựa vào hệ số âm của $x$ để biết nhị thức dương ở nửa nào của trục số, khỏi phải chia cho số âm.

Vậy căn thức xác định khi $x\le \frac{5}{2}$, giá trị tại $x=2$ bằng $1$.

Định hướng. Thử vài giá trị của $x$ để thấy mốc phân chia nằm ở đâu, sau đó soát lại kết quả bằng máy tính.

Vậy điều kiện xác định là $x\le \frac{5}{2}$ và tại $x=2$ căn thức nhận giá trị $1$.

Nhận xét. Trên trục số, miền xác định là tia gồm điểm $\frac{5}{2}$ và phần bên trái nó; điểm $\frac{5}{2}$ được lấy nên đánh dấu bằng chấm đặc, ứng với dấu $=$ trong $5-2x\ge 0$.

Định hướng. Viết $x^6$ và $4x^2-4x+1$ thành bình phương, khai căn ra dấu trị tuyệt đối, rồi dùng điều kiện của $x$ để bỏ dấu ấy.

Vậy $x\sqrt{x^6}=-x^4$ với $x<0$; còn $x+\sqrt{4x^2-4x+1}=1-x$ khi $x<\frac{1}{2}$ và giá trị tại $x=-2,5$ bằng $3,5$.

Định hướng. Ý a khai căn từng bước qua $\sqrt{x^2}=|x|$ cho quen; ý b thay thẳng $x=-2,5$ vào để biểu thức dưới căn thành một số cụ thể, khỏi phải xét dấu.

Vậy $x\sqrt{x^6}=-x^4$ và giá trị cần tìm ở ý b bằng $3,5$.

Định hướng. Thay vài giá trị âm của $x$ vào cả biểu thức gốc lẫn biểu thức đã rút gọn; nếu hai bên luôn cho cùng một số thì kết quả rút gọn đáng tin.

Vậy hai kết quả rút gọn $-x^4$ và $1-x$ đều khớp ở mọi giá trị thử.

Nhận xét. Thử số chỉ khẳng định kết quả chứ không thay được lập luận; muốn thấy rõ vai trò của điều kiện, hãy thử $x=1$ ở ý b: khi đó $2x-1=1>0$ nên biểu thức rút gọn thành $3x-1=2$ chứ không còn là $1-x$.

Định hướng. Xem $S$ là số đã biết, giải phương trình theo $t$ rồi loại nghiệm âm vì $t$ là thời gian.

Vậy $t=\sqrt{\frac{S}{4,9}}$ (giây) và vật chạm đất sau $5$ giây.

Định hướng. Viết $4,9=\frac{49}{10}$ để mẫu số trong căn là số chính phương, công thức thu được không còn số thập phân nên bấm máy gọn hơn.

Vậy $t=\frac{\sqrt{10S}}{7}$ (giây) và với $S=122,5$ thì $t=5$ giây.

Định hướng. Thay công thức vừa lập trở lại vào $S=4,9t^2$ để chắc chắn không sai ở khâu biến đổi, rồi thử thêm vài mốc thời gian quen thuộc.

Vậy công thức $t=\sqrt{\frac{S}{4,9}}$ đúng và vật thả từ độ cao $122,5$ m chạm đất sau $5$ giây.

Nhận xét. Căn thức $\sqrt{\frac{S}{4,9}}$ xác định khi $S\ge 0$, đúng với ý nghĩa vật lí vì quãng đường rơi không thể âm.

Định hướng. Tính căn bậc hai số học của mỗi số bằng máy tính, làm tròn đến hàng phần trăm rồi lấy thêm số đối.

Vậy $24,5$ có hai căn bậc hai là $4,95$ và $-4,95$; $\frac{9}{10}$ có hai căn bậc hai là $0,95$ và $-0,95$.

Định hướng. Đưa mỗi số về phân số có tử là số chính phương, rút thừa số ra ngoài dấu căn để chỉ còn dùng hai giá trị đã thuộc là $\sqrt{2}\approx 1,414214$ và $\sqrt{10}\approx 3,162278$.

Vậy hai căn bậc hai của $24,5$ là $4,95$ và $-4,95$; hai căn bậc hai của $\frac{9}{10}$ là $0,95$ và $-0,95$.

Định hướng. So mỗi số với bình phương của mốc giữa hai giá trị hàng phần trăm liên tiếp để biết làm tròn lên hay xuống.

Vậy kết quả làm tròn là $\pm 4,95$ và $\pm 0,95$.

Nhận xét. Cách chặn cho thấy vì sao làm tròn lên: cả hai số đều vượt mốc giữa, dù chỉ hơn rất ít ở ý a.

Định hướng. Dùng công thức quen thuộc $S=\pi R^2$ để rút $R$, sau đó đường kính bằng hai lần bán kính.

Vậy đường kính của mỗi ô đất khoảng $1,60$ m.

Định hướng. Viết diện tích theo $d$ ngay từ đầu để chỉ phải khai căn một lần, tránh sai số trung gian khi làm tròn bán kính.

Vậy đường kính của các ô đất khoảng $1,60$ m.

Định hướng. Thay $\pi$ bằng giá trị gần đúng để tính nhẩm, rồi thay đáp số trở lại công thức diện tích xem có ra khoảng $2$ hay không.

Vậy đường kính khoảng $1,60$ m, cho diện tích khoảng $2,01$ m${}^2$, đúng như đề mô tả.

Nhận xét. Trong thực tế người ta thường lát viên bao quanh theo bội của $10$ cm, nên chọn ô đất đường kính $1,6$ m là hợp lí.

Định hướng. Đặt điều kiện $x+10\ge 0$ rồi chuyển vế để rút $x$, sau đó đối chiếu giá trị $x=-1$.

Vậy điều kiện xác định là $x\ge -10$ và giá trị của căn thức tại $x=-1$ bằng $3$.

Định hướng. Căn thức có giá trị khi tồn tại số $y\ge 0$ với $y^2=x+10$; vì $y^2\ge 0$ nên điều kiện tồn tại chính là $x+10\ge 0$.

Vậy căn thức xác định khi $x\ge -10$ và nhận giá trị $3$ tại $x=-1$.

Định hướng. Thử vài giá trị để tìm mốc phân chia, rồi bình phương kết quả tìm được để soát lại.

Vậy mốc phân chia là $x=-10$, điều kiện xác định là $x\ge -10$ và giá trị tại $x=-1$ bằng $3$.

Nhận xét. Điều kiện $x\ge -10$ vẫn chứa vô số giá trị âm của $x$; điều kiện xác định nói về dấu của biểu thức dưới căn chứ không nói về dấu của $x$.

Định hướng. Khai căn ngay ra dấu trị tuyệt đối rồi bỏ dấu theo dấu của từng số.

Vậy ba giá trị lần lượt là $5,1$; $4,9$ và $-0,001$.