Bài 1 · HĐ1★Trang 49— So sánh tích hai căn với căn của tích
HĐ1 (trang 49). Tính và so sánh 100⋅4 và 100⋅4.
Kiến thức cần nhớ
Với A≥0, B≥0 thì A⋅B=AB.
A2=∣A∣ với mọi số thực A.
Căn bậc hai số học của a≥0 là số m≥0 duy nhất thoả mãn m2=a.
🧠 Phân tích tư duy
Hai biểu thức chỉ khác nhau ở chỗ đặt dấu căn: một bên khai căn từng thừa số rồi nhân, một bên nhân trước rồi mới khai căn — dấu hiệu của bài dẫn tới quy tắc khai căn một tích. Nên tính thẳng từng vế vì 100 và 4 đều là số chính phương, kết quả ra ngay số nguyên. Bẫy là vội kết luận “lúc nào cũng tách được căn”: đẳng thức này chỉ đúng khi hai số dưới căn đều không âm.
1Cách 1. Tính riêng từng vế rồi đối chiếu
Định hướng. Cả 100 và 4 đều là số chính phương nên khai căn được ngay, tính xong hai vế là so sánh được.
100⋅4=10⋅2=20 100⋅4=400=20
Vậy100⋅4=100⋅4=20.
2Cách 2. Đưa mỗi số về một bình phương rồi dùng A2=∣A∣
Định hướng. Viết 100, 4, 400 dưới dạng bình phương để khai căn bằng dấu trị tuyệt đối, khi đó hai vế lộ ra cùng một tích 10⋅2.
3Cách 3. Dùng định nghĩa căn bậc hai số học, không tính số
Định hướng. Chỉ cần chỉ ra tích 100⋅4 hội đủ hai đặc trưng của 100⋅4: không âm và có bình phương bằng 100⋅4.
đặt m=100⋅4 100≥0 và 4≥0 nên m≥0 m2=(100)2⋅(4)2=100⋅4 m=100⋅4
Vậy100⋅4=100⋅4, giá trị chung là 20.
Nhận xét. Lập luận ở Cách 3 không dùng riêng hai số 100 và 4 nên chép nguyên được cho mọi A≥0, B≥0: đó chính là quy tắc A⋅B=AB của bài học. Điều kiện không âm là bắt buộc, vì A chỉ tồn tại khi A≥0.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1 vì hai số dưới căn đều chính phương, một dòng là xong; nhưng phải thuộc lập luận ở Cách 3 vì đó mới là chỗ giải thích quy tắc và nêu rõ điều kiện A≥0, B≥0.
Đáp số.100⋅4=100⋅4=20.
Sai lầm thường gặp.Nhớ công thức mà bỏ điều kiện, viết AB=A⋅B cho cả số âm. Phản ví dụ: (−4)(−9)=36=6, trong khi −4 và −9 đều không tồn tại nên vế phải vô nghĩa — công thức chỉ đúng khi A≥0 và B≥0.
🚀 Mở rộng.Cùng cách chứng minh, quy tắc mở rộng cho nhiều thừa số: A⋅B⋅C=ABC với A≥0, B≥0, C≥0; thử với 4⋅9⋅25=900=30.
Bài 2 · Luyện tập 1★★Trang 49— Nhân hai căn bậc hai — số và biểu thức
Luyện tập 1 (trang 49). a) Tính 3⋅75. b) Rút gọn 5ab3⋅5ab (với a<0, b<0).
Kiến thức cần nhớ
Với A≥0, B≥0 thì A⋅B=AB.
A2=∣A∣; ∣A∣=A khi A≥0 và ∣A∣=−A khi A<0.
Với A≥0 thì (A)2=A.
🧠 Phân tích tư duy
Câu a cho hai căn mà tích hai số dưới căn là 225 — một số chính phương, dấu hiệu rõ của việc gộp hai căn thành một. Câu b cho điều kiện dấu của a và b ngay trong đề, đó là lời nhắc rằng sau khi gộp sẽ gặp A2 và phải bỏ dấu trị tuyệt đối theo dấu thật của biểu thức. Bẫy là viết a2=a rồi cho ra kết quả âm, trong khi tích hai căn bậc hai số học luôn không âm.
1Cách 1. Gộp hai căn thành một rồi khai căn
Định hướng. Nhân hai biểu thức dưới căn để được một bình phương, rồi khai căn bằng dấu trị tuyệt đối và xét dấu.
a) 3⋅75=3⋅75=225=15 b) a<0, b<0 nên ab3>0 và ab>0 5ab3⋅5ab=5ab3⋅5ab=25a2b4=(5ab2)2=5ab2 b2>0 và a<0 nên 5ab2<0 5ab2=−5ab2
Vậy3⋅75=15 và 5ab3⋅5ab=−5ab2.
2Cách 2. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn trước rồi mới nhân
Định hướng. Tách phần chính phương của mỗi biểu thức dưới căn ra ngoài, hai căn còn lại giống hệt nhau nên nhân với nhau cho ngay biểu thức dưới căn.
a) 75=25⋅3=25⋅3=53 3⋅53=5(3)2=5⋅3=15 b) 5ab3=b2⋅5ab=b2⋅5ab=∣b∣⋅5ab b<0 nên ∣b∣=−b, do đó 5ab3=−b5ab 5ab3⋅5ab=−b(5ab)2=−b⋅5ab=−5ab2
Vậy hai kết quả lần lượt là 15 và −5ab2.
3Cách 3. Dùng định nghĩa căn bậc hai số học
Định hướng. Gọi giá trị cần tìm là m, chỉ ra m≥0 và tính m2; căn bậc hai số học của m2 chính là m.
a) đặt m=3⋅75, m≥0 m2=3⋅75=225 m=15 b) đặt M=5ab3⋅5ab, M≥0 M2=5ab3⋅5ab=25a2b4 −5ab2>0 và (−5ab2)2=25a2b4 M=−5ab2
Vậy3⋅75=15; 5ab3⋅5ab=−5ab2.
Nhận xét. Thay thử a=−1, b=−2: 5⋅(−1)⋅(−8)⋅5⋅(−1)(−2)=40⋅10=400=20, còn −5ab2=−5⋅(−1)⋅4=20 — khớp, và kết quả dương đúng như dự đoán.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: gộp một lần rồi khai căn, ít phép biến đổi nhất nên khó sai dấu; Cách 2 lợi khi hai căn không nhân ra được bình phương đẹp, còn Cách 3 dùng để soát lại.
Đáp số.a) 3⋅75=15. b) 5ab3⋅5ab=−5ab2.
Sai lầm thường gặp.Ở câu b viết 25a2b4=5ab2 vì tưởng a2=a. Phản ví dụ ngay trong đề: lấy a=−1, b=−2 thì vế trái là 400=20>0, còn 5ab2=−20<0; kết quả đúng phải là −5ab2.
🚀 Mở rộng.Cùng cách làm, kab2n+1⋅kab=−kab2n khi k>0, a<0, b<0; thử với 2ab5⋅2ab để thấy quy luật dấu không đổi.
Bài 3 · Luyện tập 2★★Trang 50— Khai căn một tích và đặt nhân tử chung có chứa căn
Luyện tập 2 (trang 50). a) Tính nhanh 25⋅49. b) Phân tích thành nhân tử: ab−4a (với a≥0, b≥0).
Kiến thức cần nhớ
Với A≥0, B≥0 thì AB=A⋅B.
Đặt nhân tử chung: mx−nx=x(m−n).
Một tích các bình phương là một bình phương: p2q2=(pq)2.
🧠 Phân tích tư duy
Câu a cho tích của hai số chính phương 25 và 49 — đề đã nói “tính nhanh”, nghĩa là tách căn ra chứ đừng nhân 25⋅49 rồi mới khai. Câu b có ab và a nên phải tách ab=a⋅b mới thấy nhân tử chung a. Bẫy ở câu b là quên điều kiện a≥0, b≥0 — thiếu nó thì phép tách ab=ab không dùng được.
1Cách 1. Tách căn của tích thành tích hai căn
Định hướng. Câu a khai căn từng thừa số chính phương; câu b tách ab để lộ nhân tử chung a.
a) 25⋅49=25⋅49=5⋅7=35 b) a≥0, b≥0 nên ab=a⋅b ab−4a=a⋅b−4a=a(b−4)
Vậy25⋅49=35 và ab−4a=a(b−4).
2Cách 2. Phân tích ra thừa số nguyên tố và đặt ẩn phụ
Định hướng. Câu a phân tích 25⋅49 ra thừa số nguyên tố để gom thành một bình phương; câu b đặt ẩn phụ cho hai căn, bài trở thành phân tích đa thức quen thuộc.
a) 25⋅49=52⋅72=(5⋅7)2=352 25⋅49=352=∣35∣=35 b) đặt t=a≥0 và u=b≥0 ab=a⋅b=tu tu−4t=t(u−4) ab−4a=a(b−4)
Vậy kết quả lần lượt là 35 và a(b−4).
3Cách 3. Đi ngược từ kết quả — nhân phá ngoặc để kiểm chứng
Định hướng. Câu a dùng định nghĩa bình phương để thử số; câu b nhân ngược tích vừa dự đoán xem có trở về biểu thức ban đầu hay không.
a) 35≥0 và 352=1225=25⋅49 25⋅49=35 b) a(b−4)=a⋅b−4a a≥0, b≥0 nên a⋅b=ab a(b−4)=ab−4a
Vậy phép phân tích ab−4a=a(b−4) là đúng, và 25⋅49=35.
Nhận xét. Bấm MTCT 1225 cũng cho 35, nhưng cách tách căn ở Cách 1 mới đúng tinh thần “tính nhanh” của đề vì không phải nhân 25⋅49.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: khai căn từng thừa số chính phương và tách ab là xong cả hai ý, mỗi ý một dòng; Cách 2 chỉ cần khi biểu thức có nhiều căn lồng nhau dễ rối mắt.
Đáp số.a) 25⋅49=35. b) ab−4a=a(b−4).
Sai lầm thường gặp.Ở câu b đặt nhân tử chung thành ab rồi viết ab(1−b4) — vừa không phải nhân tử hoá (còn phân thức), vừa hỏng khi b=0. Lỗi nặng hơn là bỏ điều kiện mà tách ab=ab cho số âm: với a=−1, b=−4 thì ab=4=2, còn −1 và −4 không tồn tại.
🚀 Mở rộng.Cùng cách làm, ab−ka=a(b−k) với a≥0, b≥0; thử với ab−4a+b−4 để thấy nhóm hạng tử cho tích (a+1)(b−4).
Bài 4 · HĐ2★Trang 50— So sánh thương hai căn với căn của thương
HĐ2 (trang 50). Tính và so sánh 100:4 và 100:4.
Kiến thức cần nhớ
Với A≥0, B>0 thì BA=BA.
Với A≥0, B≥0 thì A⋅B=AB.
A2=∣A∣ với mọi số thực A.
🧠 Phân tích tư duy
Đề lặp lại đúng cấu trúc của HĐ1 nhưng đổi phép nhân thành phép chia — dấu hiệu bài đang dẫn tới quy tắc khai căn một thương. Tính thẳng hai vế là nhanh nhất vì 100, 4, 25 đều chính phương. Bẫy nằm ở điều kiện: mẫu phải dương chứ không chỉ không âm, vì sqrtB nằm dưới mẫu nên B=0 là không được.
1Cách 1. Tính riêng từng vế rồi đối chiếu
Định hướng. Khai căn từng số chính phương ở vế trái, còn vế phải chia trong căn trước rồi khai.
100:4=10:2=5 100:4=25=5
Vậy100:4=100:4=5.
2Cách 2. Đưa mỗi số về một bình phương rồi dùng A2=∣A∣
Định hướng. Viết 100=102, 4=22, 25=52 để thấy hai vế cùng dẫn về thương 10:2.
3Cách 3. Suy từ quy tắc nhân đã học, không tính số
Định hướng. Nhân 100:4 với 4 rồi dùng quy tắc khai căn một tích, kết quả sẽ tự trả về 100.
100:4≥0 và 4>0 100:4⋅4=(100:4)⋅4=100 4=0 100:4=100:4
Vậy100:4=100:4, giá trị chung là 5.
Nhận xét. Lập luận này không phụ thuộc hai số cụ thể nên đúng cho mọi A≥0, B>0: BA=BA. Chỗ dùng B=0 chính là lí do mẫu phải dương thật sự chứ không được bằng 0.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1 vì mọi số đều chính phương, tính nhẩm là ra; Cách 3 đáng nhớ vì nó chứng minh được quy tắc chia từ quy tắc nhân và chỉ đúng chỗ cần điều kiện B>0.
Đáp số.100:4=100:4=5.
Sai lầm thường gặp.Chép công thức thành BA=BA với B≥0. Phản ví dụ: lấy B=0 thì vế trái 0A vô nghĩa và vế phải có mẫu 0=0 — chia cho 0; điều kiện đúng phải là A≥0 và B>0.
🚀 Mở rộng.Cùng cách chứng minh, với A≥0, B>0 ta có BA=BAB — dạng đã trục căn ở mẫu; thử với 73=721.
Bài 5 · Luyện tập 3★★Trang 50— Chia hai căn bậc hai — số và biểu thức
Luyện tập 3 (trang 50). a) Tính 18:50. b) Rút gọn 16ab2:4a (với a>0, b<0).
Kiến thức cần nhớ
Với A≥0, B>0 thì BA=BA.
A2=∣A∣, nên b2=−b khi b<0.
Đưa thừa số chính phương ra ngoài dấu căn: k2m=∣k∣m với m≥0.
🧠 Phân tích tư duy
Câu a cho hai căn mà thương hai số dưới căn là 259 — thương của hai số chính phương, dấu hiệu gộp hai căn vào một dấu căn. Câu b lại nêu dấu của a và b ngay trong đề, báo trước rằng sau khi gộp sẽ còn b2 và phải xét dấu để bỏ trị tuyệt đối. Bẫy là quen tay viết 4b2=2b trong khi b<0 làm kết quả âm, vô lí với một căn bậc hai số học.
1Cách 1. Gộp hai căn vào một dấu căn rồi rút gọn
Định hướng. Chia hai biểu thức dưới căn cho nhau, phần rút gọn xong đều là bình phương nên khai căn được ngay.
a) 18:50=5018=259=53 b) a>0 nên 16ab2≥0 và 4a>0 16ab2:4a=4a16ab2=4b2=(2b)2=∣2b∣ b<0 nên ∣2b∣=−2b
Vậy18:50=53 và 16ab2:4a=−2b.
2Cách 2. Rút gọn từng căn rồi mới chia
Định hướng. Đưa thừa số chính phương của mỗi biểu thức ra ngoài dấu căn, phần căn còn lại giống nhau nên tự triệt tiêu khi chia.
a) 18=9⋅2=32 và 50=25⋅2=52 5232=53 b) 16ab2=16⋅b2⋅a=4∣b∣a=−4ba 4a=2a 2a−4ba=−2b
Vậy hai kết quả lần lượt là 53 và −2b.
3Cách 3. Dùng định nghĩa căn bậc hai số học
Định hướng. Gọi giá trị cần tìm là m, chỉ ra m≥0 rồi tính m2; số không âm có bình phương ấy chính là đáp số.
a) đặt m=18:50, m≥0 m2=5018=259 m=53 b) đặt M=16ab2:4a, M≥0 M2=4a16ab2=4b2 −2b>0 và (−2b)2=4b2 M=−2b
Vậy18:50=53; 16ab2:4a=−2b.
Nhận xét. Thay thử a=1, b=−3: 16⋅9:4=12:2=6, còn −2b=6 — khớp, và giá trị dương đúng như đòi hỏi của một thương hai căn bậc hai số học.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: gộp một lần rồi rút gọn phân số dưới căn, chỉ hai dòng và không phải kéo theo a ở cả tử lẫn mẫu như Cách 2.
Đáp số.a) 18:50=53. b) 16ab2:4a=−2b.
Sai lầm thường gặp.Ở câu b viết 4b2=2b. Phản ví dụ ngay trong điều kiện đề: với a=1, b=−3 thì vế trái bằng 6>0, còn 2b=−6<0; đúng phải là 4b2=2∣b∣=−2b vì b<0.
🚀 Mở rộng.Cùng cách làm, 16ab2:4a=2∣b∣ với mọi a>0 và b=0 — kết quả là 2b khi b>0 và −2b khi b<0; thử đổi đề thành b>0 để thấy dấu đáp số đổi theo.
Bài 6 · Luyện tập 4★★★Trang 51— Khai căn số thập phân và rút gọn biểu thức có căn ở mẫu
Luyện tập 4 (trang 51). a) Tính 6,25. b) Rút gọn (a2−1)⋅(a−1)25 (với a>1).
Kiến thức cần nhớ
Với A≥0, B>0 thì BA=BA.
A2=∣A∣; với a>1 thì ∣a−1∣=a−1.
Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: a2−1=(a−1)(a+1).
🧠 Phân tích tư duy
Câu a cho một số thập phân dưới căn — dấu hiệu phải đổi về phân số rồi khai căn tử và mẫu, vì 6,25 không nằm trong bảng bình phương của số nguyên. Câu b có (a−1)2 dưới mẫu trong dấu căn, mà tử a2−1 chứa nhân tử a−1: khai căn xong sẽ rút gọn được, nên hướng đi là tách căn của thương trước rồi mới nhân. Bẫy ở câu b là bỏ luôn dấu trị tuyệt đối mà không dùng giả thiết a>1.
1Cách 1. Đưa về phân số rồi khai căn tử và mẫu
Định hướng. Câu a viết 6,25 thành phân số có tử và mẫu đều chính phương; câu b tách căn của thương để lộ nhân tử a−1 rồi rút gọn với tử.
a) 6,25=100625 6,25=100625=1025=2,5 b) a>1 nên (a−1)2>0 (a−1)25=(a−1)25=∣a−1∣5=a−15 (a2−1)⋅a−15=a−1(a−1)(a+1)5=(a+1)5
Vậy6,25=2,5 và (a2−1)⋅(a−1)25=(a+1)5.
2Cách 2. Dùng định nghĩa ở câu a và đưa thừa số vào trong căn ở câu b
Định hướng. Câu a tìm thẳng số không âm có bình phương bằng 6,25; câu b đưa cả a2−1 vào trong dấu căn để mọi thứ rút gọn ngay dưới một dấu căn duy nhất.
a) 2,5≥0 và 2,52=6,25 6,25=2,5 b) a>1 nên a2−1>0 (a2−1)⋅(a−1)25=(a−1)25(a2−1)2=(a−1)25(a−1)2(a+1)2=5(a+1)2 a+1>0 5(a+1)2=∣a+1∣5=(a+1)5
Vậy hai kết quả lần lượt là 2,5 và (a+1)5.
3Cách 3. Chặn giữa hai bình phương ở câu a và đặt ẩn phụ ở câu b
Định hướng. Câu a kẹp 6,25 giữa hai bình phương đã biết để khoanh vùng rồi thử; câu b đặt t=a−1>0 để biểu thức chỉ còn một chữ, mọi phép rút gọn thành hiển nhiên.
a) 22=4 và 32=9 4<6,25<9 nên 2<6,25<3 2,42=5,76 và 2,62=6,76 2,52=6,25 nên 6,25=2,5 b) đặt t=a−1, t>0 và a=t+1 a2−1=(t+1)2−1=t2+2t=t(t+2) t25=t25=t5 t(t+2)⋅t5=(t+2)5=(a+1)5
Vậy6,25=2,5; (a2−1)⋅(a−1)25=(a+1)5.
Nhận xét. Thay a=3 để soát: vế trái là 8⋅45=8⋅25=45, còn (a+1)5=45 — khớp.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: khai căn thương rồi rút gọn phân thức, đường đi ngắn nhất và ở câu b chỉ phải xét dấu đúng một lần cho ∣a−1∣; Cách 3 dành cho lúc muốn tránh nhầm dấu vì mọi chữ đều dương.
Đáp số.a) 6,25=2,5. b) (a2−1)⋅(a−1)25=(a+1)5.
Sai lầm thường gặp.Ở câu b viết (a−1)2=a−1 mà không nhắc giả thiết a>1, rồi quen tay dùng luôn cho đề khác. Phản ví dụ: nếu a=0 thì (a−1)2=1=1, còn a−1=−1; lúc đó kết quả rút gọn đổi thành −(a+1)5.
🚀 Mở rộng.Tổng quát hoá, (a2−1)(a−1)2k=(a+1)k khi a>1, k≥0, còn khi a<1 kết quả đổi dấu thành −(a+1)k; thử với k=5, a=0 để kiểm.
Bài 7 · Vận dụng★★★Trang 51— Vận dụng khai căn tích vào công thức vật lí
Vận dụng (trang 51). Công suất P (W), hiệu điện thế U (V), điện trở R (ôm) trong đoạn mạch một chiều liên hệ với nhau theo công thức U=PR. Nếu công suất tăng gấp 8 lần, điện trở giảm 2 lần thì tỉ số giữa hiệu điện thế lúc đó và hiệu điện thế ban đầu bằng bao nhiêu?
Kiến thức cần nhớ
Với A≥0, B≥0 thì AB=A⋅B.
k2m=∣k∣m với m≥0.
Đại lượng tăng gấp k lần nghĩa là nhân với k; giảm m lần nghĩa là nhân với m1.
🧠 Phân tích tư duy
Đề không cho số đo cụ thể nào mà chỉ hỏi tỉ số — dấu hiệu của bài “đại lượng thay đổi theo hệ số”, nên đặt hiệu điện thế mới theo P và R rồi lập tỉ số, mọi chữ sẽ tự triệt tiêu. Vì P>0 và R>0 nên được phép tách PR=P⋅R thoải mái. Bẫy là hiểu “điện trở giảm 2 lần” thành trừ đi 2, trong khi nó nghĩa là nhân với 21.
1Cách 1. Tính hiệu điện thế lúc sau rồi lập tỉ số
Định hướng. Viết công suất và điện trở lúc sau theo P và R, thay vào công thức để có hiệu điện thế mới, rồi đem chia cho hiệu điện thế ban đầu.
U1=PR với P>0, R>0 P2=8P và R2=2R U2=P2R2=8P⋅2R=4PR=4⋅PR=2PR U1U2=PR2PR=2
Vậy hiệu điện thế lúc sau gấp 2 lần hiệu điện thế ban đầu.
2Cách 2. Lập tỉ số trước, gộp vào một dấu căn rồi rút gọn
Định hướng. Viết ngay tỉ số hai căn rồi dùng quy tắc khai căn một thương, phần chứa P và R tự rút gọn trong dấu căn.
3Cách 3. Dùng hệ số tổng quát cho mọi mức thay đổi
Định hướng. Giải một lần cho trường hợp công suất nhân k và điện trở nhân m1, rồi chỉ việc thay k=8, m=2; công thức thu được dùng lại cho mọi câu hỏi cùng kiểu.
P2=kP và R2=mR với k>0, m>0 U2=kP⋅mR=mk⋅PR=mk⋅PR U1U2=mk k=8, m=2: U1U2=28=4=2
Vậy tỉ số giữa hiệu điện thế lúc sau và lúc đầu bằng 2.
Nhận xét. Lấy số cụ thể để soát: P=100, R=2 cho U1=200≈14,142; lúc sau P2=800, R2=1 cho U2=800≈28,284 — đúng gấp đôi.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: chỉ một dấu căn, các chữ P và R rút gọn ngay bên trong nên không phải viết lại PR nhiều lần; Cách 3 đáng học vì cho công thức mk dùng được cho mọi đề đổi hệ số.
Đáp số.Tỉ số bằng 2, tức hiệu điện thế lúc sau gấp 2 lần hiệu điện thế ban đầu.
Sai lầm thường gặp.Hiểu “tăng gấp 8 lần, giảm 2 lần” thành cộng thêm và trừ bớt, viết U2=(P+8)(R−2) — sai bản chất và còn có thể làm biểu thức dưới căn âm. Lỗi thứ hai là kết luận tỉ số bằng 4 vì quên khai căn: PR tăng gấp 4 lần thì U=PR chỉ tăng 4=2 lần.
🚀 Mở rộng.Tổng quát hoá, công suất nhân k và điện trở nhân m1 thì hiệu điện thế nhân mk; thử với k=2, m=8 để thấy hiệu điện thế giảm còn một nửa.
Bài 8 · Tranh luận★★★Trang 51— Phản biện lời giải sai về khai căn một tích
Tranh luận (trang 51). Vuông nói: “Vì (−3)2=−3 và (−12)2=−12 nên (−3)2⋅(−12)2=(−3)⋅(−12)=36”. Theo em, cách làm của Vuông có đúng không? Vì sao?
Kiến thức cần nhớ
A2=∣A∣ với mọi số thực A; đặc biệt A luôn không âm.
Quy tắc AB=A⋅B chỉ dùng được khi A≥0 và B≥0.
∣xy∣=∣x∣⋅∣y∣ với mọi số thực x, y.
🧠 Phân tích tư duy
Đáp số cuối của Vuông là 36 và đúng là 36 thật, nên bài này không hỏi kết quả mà hỏi CÁCH LÀM — dấu hiệu phải soi từng đẳng thức trung gian chứ đừng nhìn số cuối. Ngay đẳng thức đầu (−3)2=−3 đã sai vì căn bậc hai số học không bao giờ âm. Bẫy là thấy 36 trùng khớp rồi kết luận Vuông đúng, trong khi kết quả chỉ trùng nhờ tích hai số âm là số dương.
1Cách 1. Soi lại từng đẳng thức của Vuông
Định hướng. Tính lại hai đẳng thức mà Vuông dùng làm căn cứ, rồi tính giá trị đúng của biểu thức để đối chiếu.
(−3)2=9=3, mà 3=−3 (−12)2=144=12, mà 12=−12 (−3)2⋅(−12)2=9⋅144=1296 1296=36
Vậy cách làm của Vuông sai ngay từ hai đẳng thức đầu, dù con số 36 cuối cùng tình cờ đúng.
2Cách 2. Áp dụng đúng quy tắc khai căn một tích
Định hướng. Quy tắc tách căn dùng cho hai số dưới căn là (−3)2 và (−12)2, tức cho 9 và 144 chứ không phải cho −3 và −12.
(−3)2=9≥0 và (−12)2=144≥0 (−3)2⋅(−12)2=(−3)2⋅(−12)2=9⋅144 9⋅144=3⋅12=36
Vậy giá trị đúng là 36, nhưng phải qua 3⋅12 chứ không phải qua (−3)⋅(−12).
3Cách 3. Gộp thành một bình phương rồi dùng A2=∣A∣
Định hướng. Gom cả tích dưới căn thành bình phương của một số, khi đó dấu trị tuyệt đối chỉ rõ vì sao đáp số của Vuông vẫn ra đúng.
Vậy(−3)2⋅(−12)2=36; kết quả của Vuông trùng đáp số chỉ vì tích hai số âm là số dương nên trị tuyệt đối không làm nó đổi giá trị.
Nhận xét. Đổi đề thành (−3)2⋅122 là lối viết của Vuông lộ ngay: bạn ấy sẽ cho (−3)⋅12=−36, một số âm, trong khi căn bậc hai số học luôn không âm và giá trị đúng vẫn là 36.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1 khi đề hỏi “đúng hay sai, vì sao”: chỉ ra đẳng thức sai đầu tiên là đủ kết luận; Cách 3 dùng thêm khi muốn giải thích vì sao con số cuối vẫn trùng, tránh bị bắt bẻ.
Đáp số.Cách làm của Vuông sai, vì (−3)2=3 chứ không phải −3 và (−12)2=12 chứ không phải −12; giá trị đúng là (−3)2⋅(−12)2=3⋅12=36.
Sai lầm thường gặp.Viết A2=A cho mọi A, và tách AB=A⋅B cho cả số âm. Phản ví dụ cho lỗi thứ hai: (−4)(−9)=36=6, trong khi −4 và −9 đều không tồn tại nên không có “tích hai căn” nào cả; công thức chỉ đúng khi A≥0, B≥0.
🚀 Mở rộng.Tổng quát hoá, x2y2=∣x∣⋅∣y∣=∣xy∣ với mọi số thực x, y — bằng xy khi xy≥0 và bằng −xy khi xy<0; thử với x=−3, y=12 để thấy trường hợp thứ hai.
Bài 9 · Bài 3.7★★Trang 51— Tính giá trị biểu thức chứa căn bậc hai
Bài 3.7 (trang 51). Tính: a) 12⋅(12+3); b) 8⋅(50−2); c) (3+2)2−26.
Kiến thức cần nhớ
Với A≥0, B≥0 thì A⋅B=AB.
Với A≥0 thì (A)2=A.
Bình phương một tổng: (x+y)2=x2+2xy+y2.
🧠 Phân tích tư duy
Cả ba ý đều là tích hoặc bình phương của các căn mà mọi tích hai số dưới căn đều ra số chính phương (12⋅3=36, 8⋅50=400, 8⋅2=16) — dấu hiệu bài được thiết kế để gộp căn rồi ra số nguyên. Ở ý c, 26 đúng bằng hạng tử chéo của hằng đẳng thức nên nó sẽ triệt tiêu, đó là chỗ đề muốn ta nhìn ra. Bẫy là phá ngoặc kiểu (3+2)2=3+2, tức bỏ mất hạng tử chéo.
1Cách 1. Phá ngoặc rồi gộp mỗi tích hai căn thành một căn
Định hướng. Nhân phân phối, mỗi tích hai căn gộp lại thành một căn có số dưới căn chính phương nên ra ngay số nguyên.
a) 12⋅(12+3)=(12)2+12⋅3=12+36=12+6=18 b) 8⋅(50−2)=8⋅50−8⋅2=400−16=20−4=16 c) (3+2)2−26=(3)2+23⋅2+(2)2−26=3+26+2−26=5
Vậy ba giá trị lần lượt là 18; 16; 5.
2Cách 2. Rút gọn từng căn về dạng km rồi tính
Định hướng. Đưa thừa số chính phương ra ngoài để mọi căn trong cùng một ý đều là bội của một căn duy nhất, khi đó phép nhân trở thành nhân đơn thức.
a) 12=23 23(23+3)=23⋅33=6⋅3=18 b) 8=22 và 50=52 22(52−2)=22⋅42=8⋅2=16 c) 26=23⋅2 (3+2)2−23⋅2=(3)2+(2)2=3+2=5
Vậy18; 16; 5.
3Cách 3. Đặt ẩn phụ cho các căn rồi tính như biểu thức đại số
Định hướng. Đặt u=3, v=2 thì u2=3, v2=2, uv=6; ba biểu thức trở thành đa thức quen thuộc, không còn dấu căn nào để nhầm.
đặt u=3, v=2 với u2=3, v2=2, uv=6 a) 12=2u: 2u(2u+u)=6u2=6⋅3=18 b) 8=2v, 50=5v: 2v(5v−v)=8v2=8⋅2=16 c) (u+v)2−2uv=u2+v2=3+2=5
Vậy ba kết quả là 18; 16; 5.
Nhận xét. Bấm MTCT để soát: 12≈3,4641 cho ý a bằng 18; 8≈2,8284 cho ý b bằng 16; (3+2)2≈9,8990 và 26≈4,8990 cho ý c bằng 5.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1 cho ý a và ý b vì gộp căn là ra số ngay; riêng ý c nên dùng Cách 3, chỉ một dòng (u+v)2−2uv=u2+v2 là thấy 26 triệt tiêu, khỏi phải viết hết khai triển.
Đáp số.a) 18. b) 16. c) 5.
Sai lầm thường gặp.Bỏ hạng tử chéo khi bình phương một tổng, viết (3+2)2=3+2=5 rồi kết luận ý c bằng 5−26. Phản ví dụ: (3+2)2≈3,14632≈9,899 chứ không phải 5; giá trị đúng của cả biểu thức mới là 5.
🚀 Mở rộng.Cùng cách làm, (m+n)2−2mn=m+n với m≥0, n≥0; thử với m=7, n=5 để được 12 mà không phải tính 35.
Dưới căn thứ nhất có a2−b2, dưới căn thứ hai có a+b ở mẫu — hiệu hai bình phương và một trong hai nhân tử của nó, dấu hiệu rõ rằng gộp hai căn lại thì a+b sẽ rút gọn hết. Điều kiện a≥b>0 bảo đảm cả a2−b2≥0 lẫn a+b>0 nên mọi phép tách căn đều hợp lệ. Bẫy là tách a2−b2 thành a−b hoặc thành a2−b2.
1Cách 1. Gộp hai căn vào một rồi rút gọn dưới dấu căn
Định hướng. Nhân hai biểu thức dưới căn với nhau, phân tích a2−b2 để nhân tử a+b triệt tiêu với mẫu.
a≥b>0 nên a2−b2≥0 và a+b>0 2(a2−b2)⋅a+b3=2(a2−b2)⋅a+b3 =a+b6(a−b)(a+b)=6(a−b)
Vậy2(a2−b2)⋅a+b3=6(a−b).
2Cách 2. Tách mỗi căn thành tích các căn đơn giản
Định hướng. Viết mỗi thừa số thành tích những căn nhỏ nhất, khi đó a+b xuất hiện ở cả tử và mẫu và tự triệt tiêu.
Định hướng. Gọi giá trị của biểu thức là M, chỉ ra M≥0 rồi tính M2; số không âm có bình phương ấy chính là kết quả.
đặt M=2(a2−b2)⋅a+b3, M≥0 M2=2(a2−b2)⋅a+b3=a+b6(a−b)(a+b)=6(a−b) a≥b nên 6(a−b)≥0 M=6(a−b)
VậyM=6(a−b).
Nhận xét. Thay a=7, b=2 để soát: 2⋅45⋅93=90⋅31=30, còn 6⋅5=30 — khớp.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: gộp một lần rồi rút gọn phân thức ngay dưới dấu căn, hai dòng là xong và không phải viết ra bốn căn nhỏ như Cách 2.
Đáp số.2(a2−b2)⋅a+b3=6(a−b).
Sai lầm thường gặp.Tách a2−b2=a2−b2=a−b vì tưởng căn của một hiệu bằng hiệu các căn. Phản ví dụ: với a=5, b=3 thì 25−9=16=4, còn 5−3=2; quy tắc tách chỉ có cho tích và thương, không có cho tổng và hiệu.
🚀 Mở rộng.Cùng cách làm, m(a2−b2)⋅a+bn=mn(a−b) với m≥0, n≥0, a≥b>0; thử đổi mẫu thành a−b để thấy kết quả chuyển thành mn(a+b).
Bài 11 · Bài 3.9★★Trang 51— Khai căn một thương và khai căn số thập phân
Bài 3.9 (trang 51). Tính: a) 99:11; b) 7,84; c) 1815:15.
Kiến thức cần nhớ
Với A≥0, B>0 thì BA=BA.
Với A≥0, B≥0 thì AB=A⋅B.
Số thập phân đổi được thành phân số: 7,84=100784.
🧠 Phân tích tư duy
Ý a và ý c cho hai căn chia nhau mà thương hai số dưới căn là số chính phương (99:11=9, 1815:15=121) — dấu hiệu gộp về một dấu căn thay vì tính từng căn lẻ. Ý b cho số thập phân nên phải đổi ra phân số có tử và mẫu chính phương. Bẫy là bấm máy từng căn rồi chia số gần đúng, vừa lâu vừa dễ sai chữ số cuối, trong khi đáp số là số hữu tỉ đẹp.
1Cách 1. Gộp về một dấu căn rồi khai căn
Định hướng. Ý a và ý c chia hai số dưới căn cho nhau; ý b đổi số thập phân thành phân số rồi khai căn tử và mẫu.
a) 99:11=1199=9=3 b) 7,84=100784=100784=1028=2,8 c) 1815:15=151815=121=11
Vậy ba giá trị lần lượt là 3; 2,8; 11.
2Cách 2. Phân tích ra thừa số nguyên tố rồi khai từng thừa số
Định hướng. Tách phần chính phương của mỗi số dưới căn ra ngoài, phần căn còn lại ở tử và mẫu giống nhau nên triệt tiêu.
a) 99=32⋅11 nên 99=311 11311=3 b) 784=24⋅72=(22⋅7)2=282 và 100=102 7,84=102282=1028=2,8 c) 1815=3⋅5⋅112=15⋅112 nên 1815=1115 151115=11
Vậy3; 2,8; 11.
3Cách 3. Dùng định nghĩa căn bậc hai số học, thử bằng bình phương
Định hướng. Gọi giá trị cần tìm là m≥0, tính m2 rồi chỉ ra số không âm có bình phương đó; ý b thì chặn giữa hai bình phương để đoán trước.
a) m≥0, m2=1199=9 m=3 b) 2,72=7,29 và 2,92=8,41 nên 2,7<7,84<2,9 2,82=7,84 7,84=2,8 c) m≥0, m2=151815=121 m=11
Vậy99:11=3; 7,84=2,8; 1815:15=11.
Nhận xét. Bấm MTCT cho 99≈9,9499 và 11≈3,3166, chia được 3; nhưng nếu làm tròn sớm thành 9,95:3,32≈2,9970 thì lại lệch mất đáp số nguyên.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: một dòng cho mỗi ý, chia trong căn xong là gặp ngay số chính phương nên không cần máy tính; Cách 2 chỉ cần khi thương dưới căn chưa gọn.
Đáp số.a) 3. b) 2,8. c) 11.
Sai lầm thường gặp.Bấm máy từng căn rồi chia số gần đúng và làm tròn quá sớm, chẳng hạn lấy 1815≈42,6 và 15≈3,9 rồi chia được 10,92 — sai hẳn so với đáp số đúng 11. Lỗi thứ hai là viết 7,84=10784 rồi lấy 784=26; kiểm lại 262=676=784, đúng phải là 28.
🚀 Mở rộng.Cùng cách làm, mọi số thập phân có hai chữ số sau dấu phẩy và là bình phương đúng đều cho 100n2=10n; thử với 5,29 và 0,0169.
Chỉ được rút gọn phân thức khi tử và mẫu đã ở dạng tích.
🧠 Phân tích tư duy
Mọi căn ở tử đều chứa thừa số 16a, còn mẫu là 2a — dấu hiệu rằng sau khi đưa thừa số chính phương ra ngoài thì a sẽ là nhân tử chung của cả tử và rút gọn hết với mẫu. Điều kiện a>0, b>0 cho phép viết thẳng b2=b mà không phải xét dấu. Bẫy là rút gọn a khi tử chưa được đặt thành tích, tức rút khi tử vẫn là một tổng.
1Cách 1. Rút gọn từng căn ở tử rồi đặt nhân tử chung
Định hướng. Đưa thừa số chính phương của mỗi căn ra ngoài, tử sẽ có chung nhân tử a và rút gọn được với mẫu.
a>0, b>0 16a=4a và 16ab2=16b2⋅a=4ba −316a+5a16ab2=−12a+20aba=(20ab−12)a 2a(20ab−12)a=220ab−12=10ab−6
Vậy2a−316a+5a16ab2=10ab−6.
2Cách 2. Tách thành hai phân thức rồi dùng quy tắc chia căn
Định hướng. Chia riêng từng hạng tử của tử cho mẫu, mỗi lần chỉ còn thương hai căn nên gộp được vào một dấu căn và mất hẳn chữ a dưới căn.
Định hướng. Đặt t=a>0 thì a=t2, mọi căn biến thành đơn thức theo t và b, bài trở thành rút gọn phân thức đại số quen thuộc.
đặt t=a, t>0 và a=t2 16a=4t và 16ab2=16t2b2=4tb −3⋅4t+5t2⋅4tb=−12t+20t3b 2t−12t+20t3b=2t2t(10t2b−6)=10t2b−6=10ab−6
Vậy giá trị rút gọn là 10ab−6.
Nhận xét. Thay a=3, b=5 để soát: tử bằng −348+151200=−123+3003=2883, mẫu bằng 23, thương bằng 144; còn 10ab−6=150−6=144 — khớp.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: chia riêng từng hạng tử nên không cần đặt nhân tử chung, mỗi hạng tử chỉ hai dòng và chữ a dưới căn biến mất ngay; Cách 3 hợp với bạn nào ngại dấu căn.
Đáp số.2a−316a+5a16ab2=10ab−6.
Sai lầm thường gặp.Rút gọn a khi tử vẫn còn là một tổng, viết 2a−12a+20aba=−12+10ab vì chỉ chia mỗi hạng tử thứ hai cho 2. Kiểm lại với a=3, b=5: giá trị đúng là 144, còn −12+10⋅15=138; đúng phải chia cả hai hạng tử cho 2, được 10ab−6.
🚀 Mở rộng.Cùng cách làm, 2a−p16a+qa16ab2=2qab−2p với a>0, b>0; thử với b<0 để thấy b2=−b làm đổi dấu hạng tử chứa b.
Bài 13 · Bài 3.11★★★Trang 51— Định lí Pythagore và khai căn tích trong bài toán thực tế
Bài 3.11 (trang 51). Kích thước màn hình ti vi hình chữ nhật được xác định bởi độ dài đường chéo. Một loại ti vi có tỉ lệ hai cạnh màn hình là 4:3. a) Gọi x (inch) là chiều rộng của màn hình ti vi. Viết công thức tính độ dài đường chéo d (inch) của màn hình ti vi theo x. b) Tính chiều rộng và chiều dài (theo centimét) của màn hình ti vi loại 40 inch.
Kiến thức cần nhớ
Định lí Pythagore: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
A2=∣A∣; với độ dài x>0 thì x2=x.
Hai cạnh tỉ lệ 4:3 nghĩa là chúng bằng 4k và 3k với k>0; 1 inch =2,54 cm.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho tỉ lệ hai cạnh 4:3 và gọi chiều rộng là x — dấu hiệu chiều dài phải viết theo x trước, rồi mới dùng định lí Pythagore cho đường chéo. Vì x2+(34x)2 gom lại thành 925x2, một bình phương đúng, nên căn khai hết chứ không còn dấu căn trong đáp số. Bẫy là hiểu nhầm 40 inch là một cạnh, trong khi đề nói rõ kích thước ti vi chính là độ dài đường chéo.
1Cách 1. Dùng định lí Pythagore rồi khai căn trực tiếp
Định hướng. Viết chiều dài theo x nhờ tỉ lệ 4:3, áp định lí Pythagore cho tam giác vuông tạo bởi hai cạnh và đường chéo, rồi khai căn.
a) chiều rộng là x, chiều dài là 34x với x>0 d2=x2+(34x)2=x2+916x2=925x2 d>0 nên d=925x2=925⋅x2=35x b) d=40: 35x=40 x=24 chiều dài =34⋅24=32 24⋅2,54=60,96 32⋅2,54=81,28
Vậyd=35x (inch); màn hình 40 inch có chiều rộng 24 inch =60,96 cm và chiều dài 32 inch =81,28 cm.
2Cách 2. Đặt hệ số tỉ lệ cho hai cạnh
Định hướng. Gọi hai cạnh là 3k và 4k để mọi số hạng dưới căn đều là bội của k2, khi đó đường chéo lộ ra ngay là 5k và câu b chỉ còn là tìm k.
a) hai cạnh là 3k và 4k với k>0 chiều rộng x=3k nên k=3x d=(3k)2+(4k)2=25k2=25⋅k2=5k d=5⋅3x=35x b) 5k=40 nên k=8 chiều rộng =3⋅8=24 (inch), chiều dài =4⋅8=32 (inch) 24⋅2,54=60,96 và 32⋅2,54=81,28
Vậyd=35x; chiều rộng 60,96 cm và chiều dài 81,28 cm.
3Cách 3. Dùng bộ ba Pythagore 3; 4; 5, khỏi khai căn
Định hướng. Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tỉ lệ 3:4 thì ba cạnh tỉ lệ 3:4:5, nên đường chéo và chiều rộng luôn theo tỉ lệ 5:3 — đọc thẳng ra công thức mà không phải tính căn.
a) 32+42=52 nên ba cạnh tỉ lệ 3:4:5 d:x=5:3 d=35x b) d=40: chiều rộng =40⋅53=24 (inch) chiều dài =40⋅54=32 (inch) 24⋅2,54=60,96 và 32⋅2,54=81,28
Vậyd=35x (inch); màn hình 40 inch rộng 60,96 cm và dài 81,28 cm.
Nhận xét. Soát lại bằng Pythagore với số đo cm: 60,962+81,282=3716,12+6606,44=10322,56 và 101,62=10322,56, đúng bằng bình phương của 40 inch đổi ra cm.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 3: nhận ra bộ ba 3; 4; 5 là viết được ngay d=35x và câu b chỉ còn hai phép nhân, không phải khai căn lần nào; Cách 1 dành cho lúc tỉ lệ hai cạnh không đẹp.
Đáp số.a) d=35x (inch), với x>0. b) Chiều rộng 24 inch =60,96 cm; chiều dài 32 inch =81,28 cm.
Sai lầm thường gặp.Coi 40 inch là chiều dài màn hình rồi tính chiều rộng 30 inch và đường chéo 50 inch — sai vì kích thước ti vi được tính theo đường chéo. Lỗi thứ hai là khai căn kiểu x2+916x2=x+34x; kiểm với x=24 thì vế trái bằng 40, còn 24+32=56.
🚀 Mở rộng.Tổng quát hoá, màn hình tỉ lệ m:n có chiều rộng x thì đường chéo d=nxm2+n2; thử với tỉ lệ 16:9 để thấy d=9x337 không còn là số hữu tỉ đẹp như 4:3.
