Chương III. Căn bậc hai và căn bậc ba

Bài 8. Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 13 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngIII #SGK_Tập1 #trang49–51 #CùngBàiBênSBT #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 49— So sánh tích hai căn với căn của tích

HĐ1 (trang 49). Tính và so sánh

100 \cdot 4

và

100 \cdot 4

Kiến thức cần nhớ

Với $A \geq 0$ , $B \geq 0$ thì $A \cdot B = A B$ .
$A^{2} = ∣ A ∣$ với mọi số thực $A$ .
Căn bậc hai số học của $a \geq 0$ là số $m \geq 0$ duy nhất thoả mãn $m^{2} = a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai biểu thức chỉ khác nhau ở chỗ đặt dấu căn: một bên khai căn từng thừa số rồi nhân, một bên nhân trước rồi mới khai căn — dấu hiệu của bài dẫn tới quy tắc khai căn một tích. Nên tính thẳng từng vế vì

100

và

4

đều là số chính phương, kết quả ra ngay số nguyên. Bẫy là vội kết luận “lúc nào cũng tách được căn”: đẳng thức này chỉ đúng khi hai số dưới căn đều không âm.

1Cách 1. Tính riêng từng vế rồi đối chiếu

Định hướng. Cả $100$ và $4$ đều là số chính phương nên khai căn được ngay, tính xong hai vế là so sánh được.

100 \cdot 4 = 10 \cdot 2 = 20

100 \cdot 4 = 400 = 20

Vậy $100 \cdot 4 = 100 \cdot 4 = 20$ .

2Cách 2. Đưa mỗi số về một bình phương rồi dùng

A^{2} = ∣ A ∣

Định hướng. Viết $100$ , $4$ , $400$ dưới dạng bình phương để khai căn bằng dấu trị tuyệt đối, khi đó hai vế lộ ra cùng một tích $10 \cdot 2$ .

100 \cdot 4 = 1 0^{2} \cdot 2^{2} = ∣10∣ \cdot ∣2∣ = 20

100 \cdot 4 = (10 \cdot 2)^{2} = 2 0^{2}

100 \cdot 4 = 2 0^{2} = ∣20∣ = 20

Vậy hai biểu thức bằng nhau, cùng bằng $20$ .

3Cách 3. Dùng định nghĩa căn bậc hai số học, không tính số

Định hướng. Chỉ cần chỉ ra tích $100 \cdot 4$ hội đủ hai đặc trưng của $100 \cdot 4$ : không âm và có bình phương bằng $100 \cdot 4$ .

đặt

m = 100 \cdot 4

100 \geq 0

và

4 \geq 0

nên

m \geq 0

m^{2} = (100)^{2} \cdot (4)^{2} = 100 \cdot 4

m = 100 \cdot 4

Vậy $100 \cdot 4 = 100 \cdot 4$ , giá trị chung là $20$ .

Nhận xét. Lập luận ở Cách 3 không dùng riêng hai số $100$ và $4$ nên chép nguyên được cho mọi $A \geq 0$ , $B \geq 0$ : đó chính là quy tắc $A \cdot B = A B$ của bài học. Điều kiện không âm là bắt buộc, vì $A$ chỉ tồn tại khi $A \geq 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì hai số dưới căn đều chính phương, một dòng là xong; nhưng phải thuộc lập luận ở Cách 3 vì đó mới là chỗ giải thích quy tắc và nêu rõ điều kiện

A \geq 0

B \geq 0

Đáp số.

100 \cdot 4 = 100 \cdot 4 = 20

Sai lầm thường gặp. Nhớ công thức mà bỏ điều kiện, viết

A B = A \cdot B

cho cả số âm. Phản ví dụ:

(- 4) (- 9) = 36 = 6

, trong khi

- 4

và

- 9

đều không tồn tại nên vế phải vô nghĩa — công thức chỉ đúng khi

A \geq 0

và

B \geq 0

🚀 Mở rộng. Cùng cách chứng minh, quy tắc mở rộng cho nhiều thừa số:

A \cdot B \cdot C = A B C

với

A \geq 0

B \geq 0

C \geq 0

; thử với

4 \cdot 9 \cdot 25 = 900 = 30

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Luyện tập 1★★Trang 49— Nhân hai căn bậc hai — số và biểu thức

Luyện tập 1 (trang 49). a) Tính

3 \cdot 75

. b) Rút gọn

5 a b^{3} \cdot 5 ab

(với

a < 0

b < 0

Kiến thức cần nhớ

Với $A \geq 0$ , $B \geq 0$ thì $A \cdot B = A B$ .
$A^{2} = ∣ A ∣$ ; $∣ A ∣ = A$ khi $A \geq 0$ và $∣ A ∣ = - A$ khi $A < 0$ .
Với $A \geq 0$ thì $(A)^{2} = A$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a cho hai căn mà tích hai số dưới căn là

225

— một số chính phương, dấu hiệu rõ của việc gộp hai căn thành một. Câu b cho điều kiện dấu của

a

và

b

ngay trong đề, đó là lời nhắc rằng sau khi gộp sẽ gặp

A^{2}

và phải bỏ dấu trị tuyệt đối theo dấu thật của biểu thức. Bẫy là viết

a^{2} = a

rồi cho ra kết quả âm, trong khi tích hai căn bậc hai số học luôn không âm.

1Cách 1. Gộp hai căn thành một rồi khai căn

Định hướng. Nhân hai biểu thức dưới căn để được một bình phương, rồi khai căn bằng dấu trị tuyệt đối và xét dấu.

3 \cdot 75 = 3 \cdot 75 = 225 = 15

a < 0

b < 0

nên

a b^{3} > 0

và

ab > 0

5 a b^{3} \cdot 5 ab = 5 a b^{3} \cdot 5 ab = 25 a^{2} b^{4} = (5 a b^{2})^{2} = 5 a b^{2}

b^{2} > 0

và

a < 0

nên

5 a b^{2} < 0

5 a b^{2} = - 5 a b^{2}

Vậy $3 \cdot 75 = 15$ và $5 a b^{3} \cdot 5 ab = - 5 a b^{2}$ .

2Cách 2. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn trước rồi mới nhân

Định hướng. Tách phần chính phương của mỗi biểu thức dưới căn ra ngoài, hai căn còn lại giống hệt nhau nên nhân với nhau cho ngay biểu thức dưới căn.

75 = 25 \cdot 3 = 25 \cdot 3 = 53

3 \cdot 53 = 5 (3)^{2} = 5 \cdot 3 = 15

5 a b^{3} = b^{2} \cdot 5 ab = b^{2} \cdot 5 ab = ∣ b ∣ \cdot 5 ab

b < 0

nên

∣ b ∣ = - b

, do đó

5 a b^{3} = - b 5 ab

5 a b^{3} \cdot 5 ab = - b (5 ab)^{2} = - b \cdot 5 ab = - 5 a b^{2}

Vậy hai kết quả lần lượt là $15$ và $- 5 a b^{2}$ .

3Cách 3. Dùng định nghĩa căn bậc hai số học

Định hướng. Gọi giá trị cần tìm là $m$ , chỉ ra $m \geq 0$ và tính $m^{2}$ ; căn bậc hai số học của $m^{2}$ chính là $m$ .

a) đặt

m = 3 \cdot 75

m \geq 0

m^{2} = 3 \cdot 75 = 225

m = 15

b) đặt

M = 5 a b^{3} \cdot 5 ab

M \geq 0

M^{2} = 5 a b^{3} \cdot 5 ab = 25 a^{2} b^{4}

- 5 a b^{2} > 0

và

(- 5 a b^{2})^{2} = 25 a^{2} b^{4}

M = - 5 a b^{2}

Vậy $3 \cdot 75 = 15$ ; $5 a b^{3} \cdot 5 ab = - 5 a b^{2}$ .

Nhận xét. Thay thử $a = - 1$ , $b = - 2$ : $5 \cdot (- 1) \cdot (- 8) \cdot 5 \cdot (- 1) (- 2) = 40 \cdot 10 = 400 = 20$ , còn $- 5 a b^{2} = - 5 \cdot (- 1) \cdot 4 = 20$ — khớp, và kết quả dương đúng như dự đoán.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gộp một lần rồi khai căn, ít phép biến đổi nhất nên khó sai dấu; Cách 2 lợi khi hai căn không nhân ra được bình phương đẹp, còn Cách 3 dùng để soát lại.

Đáp số. a)

3 \cdot 75 = 15

. b)

5 a b^{3} \cdot 5 ab = - 5 a b^{2}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b viết

25 a^{2} b^{4} = 5 a b^{2}

vì tưởng

a^{2} = a

. Phản ví dụ ngay trong đề: lấy

a = - 1

b = - 2

thì vế trái là

400 = 20 > 0

, còn

5 a b^{2} = - 20 < 0

; kết quả đúng phải là

- 5 a b^{2}

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm,

k a b^{2 n + 1} \cdot k ab = - k a b^{2 n}

khi

k > 0

a < 0

b < 0

; thử với

2 a b^{5} \cdot 2 ab

để thấy quy luật dấu không đổi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 2★★Trang 50— Khai căn một tích và đặt nhân tử chung có chứa căn

Luyện tập 2 (trang 50). a) Tính nhanh

25 \cdot 49

. b) Phân tích thành nhân tử:

ab - 4 a

(với

a \geq 0

b \geq 0

Kiến thức cần nhớ

Với $A \geq 0$ , $B \geq 0$ thì $A B = A \cdot B$ .
Đặt nhân tử chung: $m x - n x = x (m - n)$ .
Một tích các bình phương là một bình phương: $p^{2} q^{2} = (pq)^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a cho tích của hai số chính phương

25

và

49

— đề đã nói “tính nhanh”, nghĩa là tách căn ra chứ đừng nhân

25 \cdot 49

rồi mới khai. Câu b có

ab

và

a

nên phải tách

ab = a \cdot b

mới thấy nhân tử chung

a

. Bẫy ở câu b là quên điều kiện

a \geq 0

b \geq 0

— thiếu nó thì phép tách

ab = a b

không dùng được.

1Cách 1. Tách căn của tích thành tích hai căn

Định hướng. Câu a khai căn từng thừa số chính phương; câu b tách $ab$ để lộ nhân tử chung $a$ .

25 \cdot 49 = 25 \cdot 49 = 5 \cdot 7 = 35

a \geq 0

b \geq 0

nên

ab = a \cdot b

ab - 4 a = a \cdot b - 4 a = a (b - 4)

Vậy $25 \cdot 49 = 35$ và $ab - 4 a = a (b - 4)$ .

2Cách 2. Phân tích ra thừa số nguyên tố và đặt ẩn phụ

Định hướng. Câu a phân tích $25 \cdot 49$ ra thừa số nguyên tố để gom thành một bình phương; câu b đặt ẩn phụ cho hai căn, bài trở thành phân tích đa thức quen thuộc.

25 \cdot 49 = 5^{2} \cdot 7^{2} = (5 \cdot 7)^{2} = 3 5^{2}

25 \cdot 49 = 3 5^{2} = ∣35∣ = 35

b) đặt

t = a \geq 0

và

u = b \geq 0

ab = a \cdot b = t u

t u - 4 t = t (u - 4)

ab - 4 a = a (b - 4)

Vậy kết quả lần lượt là $35$ và $a (b - 4)$ .

3Cách 3. Đi ngược từ kết quả — nhân phá ngoặc để kiểm chứng

Định hướng. Câu a dùng định nghĩa bình phương để thử số; câu b nhân ngược tích vừa dự đoán xem có trở về biểu thức ban đầu hay không.

35 \geq 0

và

3 5^{2} = 1225 = 25 \cdot 49

25 \cdot 49 = 35

a (b - 4) = a \cdot b - 4 a

a \geq 0

b \geq 0

nên

a \cdot b = ab

a (b - 4) = ab - 4 a

Vậy phép phân tích $ab - 4 a = a (b - 4)$ là đúng, và $25 \cdot 49 = 35$ .

Nhận xét. Bấm MTCT $1225$ cũng cho $35$ , nhưng cách tách căn ở Cách 1 mới đúng tinh thần “tính nhanh” của đề vì không phải nhân $25 \cdot 49$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khai căn từng thừa số chính phương và tách

ab

là xong cả hai ý, mỗi ý một dòng; Cách 2 chỉ cần khi biểu thức có nhiều căn lồng nhau dễ rối mắt.

Đáp số. a)

25 \cdot 49 = 35

. b)

ab - 4 a = a (b - 4)

Sai lầm thường gặp. Ở câu b đặt nhân tử chung thành

ab

rồi viết

ab (1 - \frac{4}{b})

— vừa không phải nhân tử hoá (còn phân thức), vừa hỏng khi

b = 0

. Lỗi nặng hơn là bỏ điều kiện mà tách

ab = a b

cho số âm: với

a = - 1

b = - 4

thì

ab = 4 = 2

, còn

- 1

và

- 4

không tồn tại.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm,

ab - k a = a (b - k)

với

a \geq 0

b \geq 0

; thử với

ab - 4 a + b - 4

để thấy nhóm hạng tử cho tích

(a + 1) (b - 4)

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ2★Trang 50— So sánh thương hai căn với căn của thương

HĐ2 (trang 50). Tính và so sánh

100 : 4

và

100 : 4

Kiến thức cần nhớ

Với $A \geq 0$ , $B > 0$ thì $\frac{A}{B} = \frac{A}{B}$ .
Với $A \geq 0$ , $B \geq 0$ thì $A \cdot B = A B$ .
$A^{2} = ∣ A ∣$ với mọi số thực $A$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề lặp lại đúng cấu trúc của HĐ1 nhưng đổi phép nhân thành phép chia — dấu hiệu bài đang dẫn tới quy tắc khai căn một thương. Tính thẳng hai vế là nhanh nhất vì

100

4

25

đều chính phương. Bẫy nằm ở điều kiện: mẫu phải dương chứ không chỉ không âm, vì

s q r t B

nằm dưới mẫu nên

B = 0

là không được.

1Cách 1. Tính riêng từng vế rồi đối chiếu

Định hướng. Khai căn từng số chính phương ở vế trái, còn vế phải chia trong căn trước rồi khai.

100 : 4 = 10 : 2 = 5

100 : 4 = 25 = 5

Vậy $100 : 4 = 100 : 4 = 5$ .

2Cách 2. Đưa mỗi số về một bình phương rồi dùng

A^{2} = ∣ A ∣

Định hướng. Viết $100 = 1 0^{2}$ , $4 = 2^{2}$ , $25 = 5^{2}$ để thấy hai vế cùng dẫn về thương $10 : 2$ .

100 : 4 = 1 0^{2} : 2^{2} = ∣10∣ : ∣2∣ = 5

100 : 4 = 25 = 5^{2}

100 : 4 = 5^{2} = ∣5∣ = 5

Vậy hai biểu thức bằng nhau, cùng bằng $5$ .

3Cách 3. Suy từ quy tắc nhân đã học, không tính số

Định hướng. Nhân $100 : 4$ với $4$ rồi dùng quy tắc khai căn một tích, kết quả sẽ tự trả về $100$ .

100 : 4 \geq 0

và

4 > 0

100 : 4 \cdot 4 = (100 : 4) \cdot 4 = 100

4 \neq = 0

100 : 4 = 100 : 4

Vậy $100 : 4 = 100 : 4$ , giá trị chung là $5$ .

Nhận xét. Lập luận này không phụ thuộc hai số cụ thể nên đúng cho mọi $A \geq 0$ , $B > 0$ : $\frac{A}{B} = \frac{A}{B}$ . Chỗ dùng $B \neq = 0$ chính là lí do mẫu phải dương thật sự chứ không được bằng $0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì mọi số đều chính phương, tính nhẩm là ra; Cách 3 đáng nhớ vì nó chứng minh được quy tắc chia từ quy tắc nhân và chỉ đúng chỗ cần điều kiện

B > 0

Đáp số.

100 : 4 = 100 : 4 = 5

Sai lầm thường gặp. Chép công thức thành

\frac{A}{B} = \frac{A}{B}

với

B \geq 0

. Phản ví dụ: lấy

B = 0

thì vế trái

\frac{A}{0}

vô nghĩa và vế phải có mẫu

0 = 0

— chia cho

0

; điều kiện đúng phải là

A \geq 0

và

B > 0

🚀 Mở rộng. Cùng cách chứng minh, với

A \geq 0

B > 0

ta có

\frac{A}{B} = \frac{A B}{B}

— dạng đã trục căn ở mẫu; thử với

\frac{3}{7} = \frac{21}{7}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 3★★Trang 50— Chia hai căn bậc hai — số và biểu thức

Luyện tập 3 (trang 50). a) Tính

18 : 50

. b) Rút gọn

16 a b^{2} : 4 a

(với

a > 0

b < 0

Kiến thức cần nhớ

Với $A \geq 0$ , $B > 0$ thì $\frac{A}{B} = \frac{A}{B}$ .
$A^{2} = ∣ A ∣$ , nên $b^{2} = - b$ khi $b < 0$ .
Đưa thừa số chính phương ra ngoài dấu căn: $k^{2} m = ∣ k ∣ m$ với $m \geq 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a cho hai căn mà thương hai số dưới căn là

\frac{9}{25}

— thương của hai số chính phương, dấu hiệu gộp hai căn vào một dấu căn. Câu b lại nêu dấu của

a

và

b

ngay trong đề, báo trước rằng sau khi gộp sẽ còn

b^{2}

và phải xét dấu để bỏ trị tuyệt đối. Bẫy là quen tay viết

4 b^{2} = 2 b

trong khi

b < 0

làm kết quả âm, vô lí với một căn bậc hai số học.

1Cách 1. Gộp hai căn vào một dấu căn rồi rút gọn

Định hướng. Chia hai biểu thức dưới căn cho nhau, phần rút gọn xong đều là bình phương nên khai căn được ngay.

18 : 50 = \frac{18}{50} = \frac{9}{25} = \frac{3}{5}

a > 0

nên

16 a b^{2} \geq 0

và

4 a > 0

16 a b^{2} : 4 a = \frac{16 a b ^{2}}{4 a} = 4 b^{2} = (2 b)^{2} = ∣2 b ∣

b < 0

nên

∣2 b ∣ = - 2 b

Vậy $18 : 50 = \frac{3}{5}$ và $16 a b^{2} : 4 a = - 2 b$ .

2Cách 2. Rút gọn từng căn rồi mới chia

Định hướng. Đưa thừa số chính phương của mỗi biểu thức ra ngoài dấu căn, phần căn còn lại giống nhau nên tự triệt tiêu khi chia.

18 = 9 \cdot 2 = 32

và

50 = 25 \cdot 2 = 52

\frac{3 2}{5 2} = \frac{3}{5}

16 a b^{2} = 16 \cdot b^{2} \cdot a = 4∣ b ∣ a = - 4 b a

4 a = 2 a

\frac{- 4 b a}{2 a} = - 2 b

Vậy hai kết quả lần lượt là $\frac{3}{5}$ và $- 2 b$ .

3Cách 3. Dùng định nghĩa căn bậc hai số học

Định hướng. Gọi giá trị cần tìm là $m$ , chỉ ra $m \geq 0$ rồi tính $m^{2}$ ; số không âm có bình phương ấy chính là đáp số.

a) đặt

m = 18 : 50

m \geq 0

m^{2} = \frac{18}{50} = \frac{9}{25}

m = \frac{3}{5}

b) đặt

M = 16 a b^{2} : 4 a

M \geq 0

M^{2} = \frac{16 a b ^{2}}{4 a} = 4 b^{2}

- 2 b > 0

và

(- 2 b)^{2} = 4 b^{2}

M = - 2 b

Vậy $18 : 50 = \frac{3}{5}$ ; $16 a b^{2} : 4 a = - 2 b$ .

Nhận xét. Thay thử $a = 1$ , $b = - 3$ : $16 \cdot 9 : 4 = 12 : 2 = 6$ , còn $- 2 b = 6$ — khớp, và giá trị dương đúng như đòi hỏi của một thương hai căn bậc hai số học.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gộp một lần rồi rút gọn phân số dưới căn, chỉ hai dòng và không phải kéo theo

a

ở cả tử lẫn mẫu như Cách 2.

Đáp số. a)

18 : 50 = \frac{3}{5}

. b)

16 a b^{2} : 4 a = - 2 b

Sai lầm thường gặp. Ở câu b viết

4 b^{2} = 2 b

. Phản ví dụ ngay trong điều kiện đề: với

a = 1

b = - 3

thì vế trái bằng

6 > 0

, còn

2 b = - 6 < 0

; đúng phải là

4 b^{2} = 2∣ b ∣ = - 2 b

vì

b < 0

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm,

16 a b^{2} : 4 a = 2∣ b ∣

với mọi

a > 0

và

b \neq = 0

— kết quả là

2 b

khi

b > 0

và

- 2 b

khi

b < 0

; thử đổi đề thành

b > 0

để thấy dấu đáp số đổi theo.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập 4★★★Trang 51— Khai căn số thập phân và rút gọn biểu thức có căn ở mẫu

Luyện tập 4 (trang 51). a) Tính

6, 25

. b) Rút gọn

(a^{2} - 1) \cdot \frac{5}{( a - 1 ) ^{2}}

(với

a > 1

Kiến thức cần nhớ

Với $A \geq 0$ , $B > 0$ thì $\frac{A}{B} = \frac{A}{B}$ .
$A^{2} = ∣ A ∣$ ; với $a > 1$ thì $∣ a - 1∣ = a - 1$ .
Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $a^{2} - 1 = (a - 1) (a + 1)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a cho một số thập phân dưới căn — dấu hiệu phải đổi về phân số rồi khai căn tử và mẫu, vì

6, 25

không nằm trong bảng bình phương của số nguyên. Câu b có

(a - 1)^{2}

dưới mẫu trong dấu căn, mà tử

a^{2} - 1

chứa nhân tử

a - 1

: khai căn xong sẽ rút gọn được, nên hướng đi là tách căn của thương trước rồi mới nhân. Bẫy ở câu b là bỏ luôn dấu trị tuyệt đối mà không dùng giả thiết

a > 1

1Cách 1. Đưa về phân số rồi khai căn tử và mẫu

Định hướng. Câu a viết $6, 25$ thành phân số có tử và mẫu đều chính phương; câu b tách căn của thương để lộ nhân tử $a - 1$ rồi rút gọn với tử.

6, 25 = \frac{625}{100}

6, 25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{10} = 2, 5

a > 1

nên

(a - 1)^{2} > 0

\frac{5}{( a - 1 ) ^{2}} = \frac{5}{( a - 1 ) ^{2}} = \frac{5}{∣ a - 1∣} = \frac{5}{a - 1}

(a^{2} - 1) \cdot \frac{5}{a - 1} = \frac{( a - 1 ) ( a + 1 ) 5}{a - 1} = (a + 1) 5

Vậy $6, 25 = 2, 5$ và $(a^{2} - 1) \cdot \frac{5}{( a - 1 ) ^{2}} = (a + 1) 5$ .

2Cách 2. Dùng định nghĩa ở câu a và đưa thừa số vào trong căn ở câu b

Định hướng. Câu a tìm thẳng số không âm có bình phương bằng $6, 25$ ; câu b đưa cả $a^{2} - 1$ vào trong dấu căn để mọi thứ rút gọn ngay dưới một dấu căn duy nhất.

2, 5 \geq 0

và

2, 5^{2} = 6, 25

6, 25 = 2, 5

a > 1

nên

a^{2} - 1 > 0

(a^{2} - 1) \cdot \frac{5}{( a - 1 ) ^{2}} = \frac{5 ( a ^{2} - 1 ) ^{2}}{( a - 1 ) ^{2}} = \frac{5 ( a - 1 ) ^{2} ( a + 1 ) ^{2}}{( a - 1 ) ^{2}} = 5 (a + 1)^{2}

a + 1 > 0

5 (a + 1)^{2} = ∣ a + 1∣ 5 = (a + 1) 5

Vậy hai kết quả lần lượt là $2, 5$ và $(a + 1) 5$ .

3Cách 3. Chặn giữa hai bình phương ở câu a và đặt ẩn phụ ở câu b

Định hướng. Câu a kẹp $6, 25$ giữa hai bình phương đã biết để khoanh vùng rồi thử; câu b đặt $t = a - 1 > 0$ để biểu thức chỉ còn một chữ, mọi phép rút gọn thành hiển nhiên.

2^{2} = 4

và

3^{2} = 9

4 < 6, 25 < 9

nên

2 < 6, 25 < 3

2, 4^{2} = 5, 76

và

2, 6^{2} = 6, 76

2, 5^{2} = 6, 25

nên

6, 25 = 2, 5

b) đặt

t = a - 1

t > 0

và

a = t + 1

a^{2} - 1 = (t + 1)^{2} - 1 = t^{2} + 2 t = t (t + 2)

\frac{5}{t ^{2}} = \frac{5}{t ^{2}} = \frac{5}{t}

t (t + 2) \cdot \frac{5}{t} = (t + 2) 5 = (a + 1) 5

Vậy $6, 25 = 2, 5$ ; $(a^{2} - 1) \cdot \frac{5}{( a - 1 ) ^{2}} = (a + 1) 5$ .

Nhận xét. Thay $a = 3$ để soát: vế trái là $8 \cdot \frac{5}{4} = 8 \cdot \frac{5}{2} = 45$ , còn $(a + 1) 5 = 45$ — khớp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khai căn thương rồi rút gọn phân thức, đường đi ngắn nhất và ở câu b chỉ phải xét dấu đúng một lần cho

∣ a - 1∣

; Cách 3 dành cho lúc muốn tránh nhầm dấu vì mọi chữ đều dương.

Đáp số. a)

6, 25 = 2, 5

. b)

(a^{2} - 1) \cdot \frac{5}{( a - 1 ) ^{2}} = (a + 1) 5

Sai lầm thường gặp. Ở câu b viết

(a - 1)^{2} = a - 1

mà không nhắc giả thiết

a > 1

, rồi quen tay dùng luôn cho đề khác. Phản ví dụ: nếu

a = 0

thì

(a - 1)^{2} = 1 = 1

, còn

a - 1 = - 1

; lúc đó kết quả rút gọn đổi thành

- (a + 1) 5

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá,

(a^{2} - 1) \frac{k}{( a - 1 ) ^{2}} = (a + 1) k

khi

a > 1

k \geq 0

, còn khi

a < 1

kết quả đổi dấu thành

- (a + 1) k

; thử với

k = 5

a = 0

để kiểm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Vận dụng★★★Trang 51— Vận dụng khai căn tích vào công thức vật lí

Vận dụng (trang 51). Công suất

P

(W), hiệu điện thế

U

(V), điện trở

R

(ôm) trong đoạn mạch một chiều liên hệ với nhau theo công thức

U = P R

. Nếu công suất tăng gấp

8

lần, điện trở giảm

2

lần thì tỉ số giữa hiệu điện thế lúc đó và hiệu điện thế ban đầu bằng bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Với $A \geq 0$ , $B \geq 0$ thì $A B = A \cdot B$ .
$k^{2} m = ∣ k ∣ m$ với $m \geq 0$ .
Đại lượng tăng gấp $k$ lần nghĩa là nhân với $k$ ; giảm $m$ lần nghĩa là nhân với $\frac{1}{m}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề không cho số đo cụ thể nào mà chỉ hỏi tỉ số — dấu hiệu của bài “đại lượng thay đổi theo hệ số”, nên đặt hiệu điện thế mới theo

P

và

R

rồi lập tỉ số, mọi chữ sẽ tự triệt tiêu. Vì

P > 0

và

R > 0

nên được phép tách

P R = P \cdot R

thoải mái. Bẫy là hiểu “điện trở giảm

2

lần” thành trừ đi

2

, trong khi nó nghĩa là nhân với

\frac{1}{2}

1Cách 1. Tính hiệu điện thế lúc sau rồi lập tỉ số

Định hướng. Viết công suất và điện trở lúc sau theo $P$ và $R$ , thay vào công thức để có hiệu điện thế mới, rồi đem chia cho hiệu điện thế ban đầu.

U_{1} = P R

với

P > 0

R > 0

P_{2} = 8 P

và

R_{2} = \frac{R}{2}

U_{2} = P_{2} R_{2} = 8 P \cdot \frac{R}{2} = 4 P R = 4 \cdot P R = 2 P R

\frac{U _{2}}{U _{1}} = \frac{2 P R}{P R} = 2

Vậy hiệu điện thế lúc sau gấp $2$ lần hiệu điện thế ban đầu.

2Cách 2. Lập tỉ số trước, gộp vào một dấu căn rồi rút gọn

Định hướng. Viết ngay tỉ số hai căn rồi dùng quy tắc khai căn một thương, phần chứa $P$ và $R$ tự rút gọn trong dấu căn.

\frac{U _{2}}{U _{1}} = \frac{8 P \cdot \frac{R}{2}}{P R} = \frac{8 P \cdot \frac{R}{2}}{P R}

\frac{8 P \cdot \frac{R}{2}}{P R} = \frac{4 P R}{P R} = 4

\frac{U _{2}}{U _{1}} = 4 = 2

Vậy tỉ số cần tìm bằng $2$ .

3Cách 3. Dùng hệ số tổng quát cho mọi mức thay đổi

Định hướng. Giải một lần cho trường hợp công suất nhân $k$ và điện trở nhân $\frac{1}{m}$ , rồi chỉ việc thay $k = 8$ , $m = 2$ ; công thức thu được dùng lại cho mọi câu hỏi cùng kiểu.

P_{2} = k P

và

R_{2} = \frac{R}{m}

với

k > 0

m > 0

U_{2} = k P \cdot \frac{R}{m} = \frac{k}{m} \cdot P R = \frac{k}{m} \cdot P R

\frac{U _{2}}{U _{1}} = \frac{k}{m}

k = 8

m = 2

\frac{U _{2}}{U _{1}} = \frac{8}{2} = 4 = 2

Vậy tỉ số giữa hiệu điện thế lúc sau và lúc đầu bằng $2$ .

Nhận xét. Lấy số cụ thể để soát: $P = 100$ , $R = 2$ cho $U_{1} = 200 \approx 14, 142$ ; lúc sau $P_{2} = 800$ , $R_{2} = 1$ cho $U_{2} = 800 \approx 28, 284$ — đúng gấp đôi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ một dấu căn, các chữ

P

và

R

rút gọn ngay bên trong nên không phải viết lại

P R

nhiều lần; Cách 3 đáng học vì cho công thức

\frac{k}{m}

dùng được cho mọi đề đổi hệ số.

Đáp số. Tỉ số bằng

2

, tức hiệu điện thế lúc sau gấp

2

lần hiệu điện thế ban đầu.

Sai lầm thường gặp. Hiểu “tăng gấp

8

lần, giảm

2

lần” thành cộng thêm và trừ bớt, viết

U_{2} = (P + 8) (R - 2)

— sai bản chất và còn có thể làm biểu thức dưới căn âm. Lỗi thứ hai là kết luận tỉ số bằng

4

vì quên khai căn:

P R

tăng gấp

4

lần thì

U = P R

chỉ tăng

4 = 2

lần.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá, công suất nhân

k

và điện trở nhân

\frac{1}{m}

thì hiệu điện thế nhân

\frac{k}{m}

; thử với

k = 2

m = 8

để thấy hiệu điện thế giảm còn một nửa.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Tranh luận★★★Trang 51— Phản biện lời giải sai về khai căn một tích

Tranh luận (trang 51). Vuông nói: “Vì

(- 3)^{2} = - 3

và

(- 12)^{2} = - 12

nên

(- 3)^{2} \cdot (- 12)^{2} = (- 3) \cdot (- 12) = 36

”. Theo em, cách làm của Vuông có đúng không? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

$A^{2} = ∣ A ∣$ với mọi số thực $A$ ; đặc biệt $A$ luôn không âm.
Quy tắc $A B = A \cdot B$ chỉ dùng được khi $A \geq 0$ và $B \geq 0$ .
$∣ x y ∣ = ∣ x ∣ \cdot ∣ y ∣$ với mọi số thực $x$ , $y$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đáp số cuối của Vuông là

36

và đúng là

36

thật, nên bài này không hỏi kết quả mà hỏi CÁCH LÀM — dấu hiệu phải soi từng đẳng thức trung gian chứ đừng nhìn số cuối. Ngay đẳng thức đầu

(- 3)^{2} = - 3

đã sai vì căn bậc hai số học không bao giờ âm. Bẫy là thấy

36

trùng khớp rồi kết luận Vuông đúng, trong khi kết quả chỉ trùng nhờ tích hai số âm là số dương.

1Cách 1. Soi lại từng đẳng thức của Vuông

Định hướng. Tính lại hai đẳng thức mà Vuông dùng làm căn cứ, rồi tính giá trị đúng của biểu thức để đối chiếu.

(- 3)^{2} = 9 = 3

, mà

3 \neq = - 3

(- 12)^{2} = 144 = 12

, mà

12 \neq = - 12

(- 3)^{2} \cdot (- 12)^{2} = 9 \cdot 144 = 1296

1296 = 36

Vậy cách làm của Vuông sai ngay từ hai đẳng thức đầu, dù con số $36$ cuối cùng tình cờ đúng.

2Cách 2. Áp dụng đúng quy tắc khai căn một tích

Định hướng. Quy tắc tách căn dùng cho hai số dưới căn là $(- 3)^{2}$ và $(- 12)^{2}$ , tức cho $9$ và $144$ chứ không phải cho $- 3$ và $- 12$ .

(- 3)^{2} = 9 \geq 0

và

(- 12)^{2} = 144 \geq 0

(- 3)^{2} \cdot (- 12)^{2} = (- 3)^{2} \cdot (- 12)^{2} = 9 \cdot 144

9 \cdot 144 = 3 \cdot 12 = 36

Vậy giá trị đúng là $36$ , nhưng phải qua $3 \cdot 12$ chứ không phải qua $(- 3) \cdot (- 12)$ .

3Cách 3. Gộp thành một bình phương rồi dùng

A^{2} = ∣ A ∣

Định hướng. Gom cả tích dưới căn thành bình phương của một số, khi đó dấu trị tuyệt đối chỉ rõ vì sao đáp số của Vuông vẫn ra đúng.

(- 3)^{2} \cdot (- 12)^{2} = [(- 3) \cdot (- 12)]^{2} = 3 6^{2}

(- 3)^{2} \cdot (- 12)^{2} = 3 6^{2} = ∣36∣ = 36

∣ (- 3) \cdot (- 12) ∣ = ∣ - 3∣ \cdot ∣ - 12∣ = 3 \cdot 12 = 36

Vậy $(- 3)^{2} \cdot (- 12)^{2} = 36$ ; kết quả của Vuông trùng đáp số chỉ vì tích hai số âm là số dương nên trị tuyệt đối không làm nó đổi giá trị.

Nhận xét. Đổi đề thành $(- 3)^{2} \cdot 1 2^{2}$ là lối viết của Vuông lộ ngay: bạn ấy sẽ cho $(- 3) \cdot 12 = - 36$ , một số âm, trong khi căn bậc hai số học luôn không âm và giá trị đúng vẫn là $36$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 khi đề hỏi “đúng hay sai, vì sao”: chỉ ra đẳng thức sai đầu tiên là đủ kết luận; Cách 3 dùng thêm khi muốn giải thích vì sao con số cuối vẫn trùng, tránh bị bắt bẻ.

Đáp số. Cách làm của Vuông sai, vì

(- 3)^{2} = 3

chứ không phải

- 3

và

(- 12)^{2} = 12

chứ không phải

- 12

; giá trị đúng là

(- 3)^{2} \cdot (- 12)^{2} = 3 \cdot 12 = 36

Sai lầm thường gặp. Viết

A^{2} = A

cho mọi

A

, và tách

A B = A \cdot B

cho cả số âm. Phản ví dụ cho lỗi thứ hai:

(- 4) (- 9) = 36 = 6

, trong khi

- 4

và

- 9

đều không tồn tại nên không có “tích hai căn” nào cả; công thức chỉ đúng khi

A \geq 0

B \geq 0

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá,

x^{2} y^{2} = ∣ x ∣ \cdot ∣ y ∣ = ∣ x y ∣

với mọi số thực

x

y

— bằng

x y

khi

x y \geq 0

và bằng

- x y

khi

x y < 0

; thử với

x = - 3

y = 12

để thấy trường hợp thứ hai.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 3.7★★Trang 51— Tính giá trị biểu thức chứa căn bậc hai

Bài 3.7 (trang 51). Tính: a)

12 \cdot (12 + 3)

; b)

8 \cdot (50 - 2)

; c)

(3 + 2)^{2} - 26

Kiến thức cần nhớ

Với $A \geq 0$ , $B \geq 0$ thì $A \cdot B = A B$ .
Với $A \geq 0$ thì $(A)^{2} = A$ .
Bình phương một tổng: $(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả ba ý đều là tích hoặc bình phương của các căn mà mọi tích hai số dưới căn đều ra số chính phương (

12 \cdot 3 = 36

8 \cdot 50 = 400

8 \cdot 2 = 16

) — dấu hiệu bài được thiết kế để gộp căn rồi ra số nguyên. Ở ý c,

26

đúng bằng hạng tử chéo của hằng đẳng thức nên nó sẽ triệt tiêu, đó là chỗ đề muốn ta nhìn ra. Bẫy là phá ngoặc kiểu

(3 + 2)^{2} = 3 + 2

, tức bỏ mất hạng tử chéo.

1Cách 1. Phá ngoặc rồi gộp mỗi tích hai căn thành một căn

Định hướng. Nhân phân phối, mỗi tích hai căn gộp lại thành một căn có số dưới căn chính phương nên ra ngay số nguyên.

12 \cdot (12 + 3) = (12)^{2} + 12 \cdot 3 = 12 + 36 = 12 + 6 = 18

8 \cdot (50 - 2) = 8 \cdot 50 - 8 \cdot 2 = 400 - 16 = 20 - 4 = 16

(3 + 2)^{2} - 26 = (3)^{2} + 23 \cdot 2 + (2)^{2} - 26 = 3 + 26 + 2 - 26 = 5

Vậy ba giá trị lần lượt là $18$ ; $16$ ; $5$ .

2Cách 2. Rút gọn từng căn về dạng

k m

rồi tính

Định hướng. Đưa thừa số chính phương ra ngoài để mọi căn trong cùng một ý đều là bội của một căn duy nhất, khi đó phép nhân trở thành nhân đơn thức.

12 = 23

23 (23 + 3) = 23 \cdot 33 = 6 \cdot 3 = 18

8 = 22

và

50 = 52

22 (52 - 2) = 22 \cdot 42 = 8 \cdot 2 = 16

26 = 23 \cdot 2

(3 + 2)^{2} - 23 \cdot 2 = (3)^{2} + (2)^{2} = 3 + 2 = 5

Vậy $18$ ; $16$ ; $5$ .

3Cách 3. Đặt ẩn phụ cho các căn rồi tính như biểu thức đại số

Định hướng. Đặt $u = 3$ , $v = 2$ thì $u^{2} = 3$ , $v^{2} = 2$ , $uv = 6$ ; ba biểu thức trở thành đa thức quen thuộc, không còn dấu căn nào để nhầm.

đặt

u = 3

v = 2

với

u^{2} = 3

v^{2} = 2

uv = 6

12 = 2 u

2 u (2 u + u) = 6 u^{2} = 6 \cdot 3 = 18

8 = 2 v

50 = 5 v

2 v (5 v - v) = 8 v^{2} = 8 \cdot 2 = 16

(u + v)^{2} - 2 uv = u^{2} + v^{2} = 3 + 2 = 5

Vậy ba kết quả là $18$ ; $16$ ; $5$ .

Nhận xét. Bấm MTCT để soát: $12 \approx 3, 4641$ cho ý a bằng $18$ ; $8 \approx 2, 8284$ cho ý b bằng $16$ ; $(3 + 2)^{2} \approx 9, 8990$ và $26 \approx 4, 8990$ cho ý c bằng $5$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho ý a và ý b vì gộp căn là ra số ngay; riêng ý c nên dùng Cách 3, chỉ một dòng

(u + v)^{2} - 2 uv = u^{2} + v^{2}

là thấy

26

triệt tiêu, khỏi phải viết hết khai triển.

Đáp số. a)

18

. b)

16

. c)

5

Sai lầm thường gặp. Bỏ hạng tử chéo khi bình phương một tổng, viết

(3 + 2)^{2} = 3 + 2 = 5

rồi kết luận ý c bằng

5 - 26

. Phản ví dụ:

(3 + 2)^{2} \approx 3, 146 3^{2} \approx 9, 899

chứ không phải

5

; giá trị đúng của cả biểu thức mới là

5

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm,

(m + n)^{2} - 2 mn = m + n

với

m \geq 0

n \geq 0

; thử với

m = 7

n = 5

để được

12

mà không phải tính

35

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 3.8★★★Trang 51— Rút gọn tích hai căn thức có nhân tử chung

Bài 3.8 (trang 51). Rút gọn biểu thức

2 (a^{2} - b^{2}) \cdot \frac{3}{a + b}

(với

a \geq b > 0

Kiến thức cần nhớ

Với $A \geq 0$ , $B \geq 0$ thì $A \cdot B = A B$ .
Với $A \geq 0$ , $B > 0$ thì $\frac{A}{B} = \frac{A}{B}$ .
Hiệu hai bình phương: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dưới căn thứ nhất có

a^{2} - b^{2}

, dưới căn thứ hai có

a + b

ở mẫu — hiệu hai bình phương và một trong hai nhân tử của nó, dấu hiệu rõ rằng gộp hai căn lại thì

a + b

sẽ rút gọn hết. Điều kiện

a \geq b > 0

bảo đảm cả

a^{2} - b^{2} \geq 0

lẫn

a + b > 0

nên mọi phép tách căn đều hợp lệ. Bẫy là tách

a^{2} - b^{2}

thành

a - b

hoặc thành

a^{2} - b^{2}

1Cách 1. Gộp hai căn vào một rồi rút gọn dưới dấu căn

Định hướng. Nhân hai biểu thức dưới căn với nhau, phân tích $a^{2} - b^{2}$ để nhân tử $a + b$ triệt tiêu với mẫu.

a \geq b > 0

nên

a^{2} - b^{2} \geq 0

và

a + b > 0

2 (a^{2} - b^{2}) \cdot \frac{3}{a + b} = 2 (a^{2} - b^{2}) \cdot \frac{3}{a + b}

= \frac{6 ( a - b ) ( a + b )}{a + b} = 6 (a - b)

Vậy $2 (a^{2} - b^{2}) \cdot \frac{3}{a + b} = 6 (a - b)$ .

2Cách 2. Tách mỗi căn thành tích các căn đơn giản

Định hướng. Viết mỗi thừa số thành tích những căn nhỏ nhất, khi đó $a + b$ xuất hiện ở cả tử và mẫu và tự triệt tiêu.

2 (a^{2} - b^{2}) = 2 \cdot a - b \cdot a + b

\frac{3}{a + b} = \frac{3}{a + b}

2 \cdot a - b \cdot a + b \cdot \frac{3}{a + b} = 2 \cdot 3 \cdot a - b = 6 a - b

6 a - b = 6 (a - b)

Vậy biểu thức rút gọn bằng $6 (a - b)$ .

3Cách 3. Dùng định nghĩa căn bậc hai số học

Định hướng. Gọi giá trị của biểu thức là $M$ , chỉ ra $M \geq 0$ rồi tính $M^{2}$ ; số không âm có bình phương ấy chính là kết quả.

đặt

M = 2 (a^{2} - b^{2}) \cdot \frac{3}{a + b}

M \geq 0

M^{2} = 2 (a^{2} - b^{2}) \cdot \frac{3}{a + b} = \frac{6 ( a - b ) ( a + b )}{a + b} = 6 (a - b)

a \geq b

nên

6 (a - b) \geq 0

M = 6 (a - b)

Vậy $M = 6 (a - b)$ .

Nhận xét. Thay $a = 7$ , $b = 2$ để soát: $2 \cdot 45 \cdot \frac{3}{9} = 90 \cdot \frac{1}{3} = 30$ , còn $6 \cdot 5 = 30$ — khớp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gộp một lần rồi rút gọn phân thức ngay dưới dấu căn, hai dòng là xong và không phải viết ra bốn căn nhỏ như Cách 2.

Đáp số.

2 (a^{2} - b^{2}) \cdot \frac{3}{a + b} = 6 (a - b)

Sai lầm thường gặp. Tách

a^{2} - b^{2} = a^{2} - b^{2} = a - b

vì tưởng căn của một hiệu bằng hiệu các căn. Phản ví dụ: với

a = 5

b = 3

thì

25 - 9 = 16 = 4

, còn

5 - 3 = 2

; quy tắc tách chỉ có cho tích và thương, không có cho tổng và hiệu.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm,

m (a^{2} - b^{2}) \cdot \frac{n}{a + b} = mn (a - b)

với

m \geq 0

n \geq 0

a \geq b > 0

; thử đổi mẫu thành

a - b

để thấy kết quả chuyển thành

mn (a + b)

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 3.9★★Trang 51— Khai căn một thương và khai căn số thập phân

Bài 3.9 (trang 51). Tính: a)

99 : 11

; b)

7, 84

; c)

1815 : 15

Kiến thức cần nhớ

Với $A \geq 0$ , $B > 0$ thì $\frac{A}{B} = \frac{A}{B}$ .
Với $A \geq 0$ , $B \geq 0$ thì $A B = A \cdot B$ .
Số thập phân đổi được thành phân số: $7, 84 = \frac{784}{100}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a và ý c cho hai căn chia nhau mà thương hai số dưới căn là số chính phương (

99 : 11 = 9

1815 : 15 = 121

) — dấu hiệu gộp về một dấu căn thay vì tính từng căn lẻ. Ý b cho số thập phân nên phải đổi ra phân số có tử và mẫu chính phương. Bẫy là bấm máy từng căn rồi chia số gần đúng, vừa lâu vừa dễ sai chữ số cuối, trong khi đáp số là số hữu tỉ đẹp.

1Cách 1. Gộp về một dấu căn rồi khai căn

Định hướng. Ý a và ý c chia hai số dưới căn cho nhau; ý b đổi số thập phân thành phân số rồi khai căn tử và mẫu.

99 : 11 = \frac{99}{11} = 9 = 3

7, 84 = \frac{784}{100} = \frac{784}{100} = \frac{28}{10} = 2, 8

1815 : 15 = \frac{1 815}{15} = 121 = 11

Vậy ba giá trị lần lượt là $3$ ; $2, 8$ ; $11$ .

2Cách 2. Phân tích ra thừa số nguyên tố rồi khai từng thừa số

Định hướng. Tách phần chính phương của mỗi số dưới căn ra ngoài, phần căn còn lại ở tử và mẫu giống nhau nên triệt tiêu.

99 = 3^{2} \cdot 11

nên

99 = 311

\frac{3 11}{11} = 3

784 = 2^{4} \cdot 7^{2} = (2^{2} \cdot 7)^{2} = 2 8^{2}

và

100 = 1 0^{2}

7, 84 = \frac{2 8 ^{2}}{1 0 ^{2}} = \frac{28}{10} = 2, 8

1815 = 3 \cdot 5 \cdot 1 1^{2} = 15 \cdot 1 1^{2}

nên

1815 = 1115

\frac{11 15}{15} = 11

Vậy $3$ ; $2, 8$ ; $11$ .

3Cách 3. Dùng định nghĩa căn bậc hai số học, thử bằng bình phương

Định hướng. Gọi giá trị cần tìm là $m \geq 0$ , tính $m^{2}$ rồi chỉ ra số không âm có bình phương đó; ý b thì chặn giữa hai bình phương để đoán trước.

m \geq 0

m^{2} = \frac{99}{11} = 9

m = 3

2, 7^{2} = 7, 29

và

2, 9^{2} = 8, 41

nên

2, 7 < 7, 84 < 2, 9

2, 8^{2} = 7, 84

7, 84 = 2, 8

m \geq 0

m^{2} = \frac{1 815}{15} = 121

m = 11

Vậy $99 : 11 = 3$ ; $7, 84 = 2, 8$ ; $1815 : 15 = 11$ .

Nhận xét. Bấm MTCT cho $99 \approx 9, 9499$ và $11 \approx 3, 3166$ , chia được $3$ ; nhưng nếu làm tròn sớm thành $9, 95 : 3, 32 \approx 2, 9970$ thì lại lệch mất đáp số nguyên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng cho mỗi ý, chia trong căn xong là gặp ngay số chính phương nên không cần máy tính; Cách 2 chỉ cần khi thương dưới căn chưa gọn.

Đáp số. a)

3

. b)

2, 8

. c)

11

Sai lầm thường gặp. Bấm máy từng căn rồi chia số gần đúng và làm tròn quá sớm, chẳng hạn lấy

1815 \approx 42, 6

và

15 \approx 3, 9

rồi chia được

10, 92

— sai hẳn so với đáp số đúng

11

. Lỗi thứ hai là viết

7, 84 = \frac{784}{10}

rồi lấy

784 = 26

; kiểm lại

2 6^{2} = 676 \neq = 784

, đúng phải là

28

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, mọi số thập phân có hai chữ số sau dấu phẩy và là bình phương đúng đều cho

\frac{n ^{2}}{100} = \frac{n}{10}

; thử với

5, 29

và

0, 0169

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 3.10★★★Trang 51— Rút gọn phân thức chứa căn thức bậc hai

Bài 3.10 (trang 51). Rút gọn

\frac{- 3 16 a + 5 a 16 a b ^{2}}{2 a}

(với

a > 0

b > 0

Kiến thức cần nhớ

$k^{2} m = ∣ k ∣ m$ với $m \geq 0$ ; khi $k > 0$ thì $k^{2} m = k m$ .
Với $A \geq 0$ , $B > 0$ thì $\frac{A}{B} = \frac{A}{B}$ .
Chỉ được rút gọn phân thức khi tử và mẫu đã ở dạng tích.

🧠 Phân tích tư duy

Mọi căn ở tử đều chứa thừa số

16 a

, còn mẫu là

2 a

— dấu hiệu rằng sau khi đưa thừa số chính phương ra ngoài thì

a

sẽ là nhân tử chung của cả tử và rút gọn hết với mẫu. Điều kiện

a > 0

b > 0

cho phép viết thẳng

b^{2} = b

mà không phải xét dấu. Bẫy là rút gọn

a

khi tử chưa được đặt thành tích, tức rút khi tử vẫn là một tổng.

1Cách 1. Rút gọn từng căn ở tử rồi đặt nhân tử chung

Định hướng. Đưa thừa số chính phương của mỗi căn ra ngoài, tử sẽ có chung nhân tử $a$ và rút gọn được với mẫu.

a > 0

b > 0

16 a = 4 a

và

16 a b^{2} = 16 b^{2} \cdot a = 4 b a

- 3 16 a + 5 a 16 a b^{2} = - 12 a + 20 ab a = (20 ab - 12) a

\frac{( 20 ab - 12 ) a}{2 a} = \frac{20 ab - 12}{2} = 10 ab - 6

Vậy $\frac{- 3 16 a + 5 a 16 a b ^{2}}{2 a} = 10 ab - 6$ .

2Cách 2. Tách thành hai phân thức rồi dùng quy tắc chia căn

Định hướng. Chia riêng từng hạng tử của tử cho mẫu, mỗi lần chỉ còn thương hai căn nên gộp được vào một dấu căn và mất hẳn chữ $a$ dưới căn.

\frac{- 3 16 a + 5 a 16 a b ^{2}}{2 a} = \frac{- 3 16 a}{2 a} + \frac{5 a 16 a b ^{2}}{2 a}

\frac{- 3 16 a}{2 a} = \frac{- 3}{2} \frac{16 a}{a} = \frac{- 3}{2} \cdot 4 = - 6

\frac{5 a 16 a b ^{2}}{2 a} = \frac{5 a}{2} \frac{16 a b ^{2}}{a} = \frac{5 a}{2} 16 b^{2} = \frac{5 a}{2} \cdot 4 b = 10 ab

- 6 + 10 ab

Vậy biểu thức rút gọn bằng $10 ab - 6$ .

3Cách 3. Đặt ẩn phụ

t = a

để mất hết dấu căn

Định hướng. Đặt $t = a > 0$ thì $a = t^{2}$ , mọi căn biến thành đơn thức theo $t$ và $b$ , bài trở thành rút gọn phân thức đại số quen thuộc.

đặt

t = a

t > 0

và

a = t^{2}

16 a = 4 t

và

16 a b^{2} = 16 t^{2} b^{2} = 4 t b

- 3 \cdot 4 t + 5 t^{2} \cdot 4 t b = - 12 t + 20 t^{3} b

\frac{- 12 t + 20 t ^{3} b}{2 t} = \frac{2 t ( 10 t ^{2} b - 6 )}{2 t} = 10 t^{2} b - 6 = 10 ab - 6

Vậy giá trị rút gọn là $10 ab - 6$ .

Nhận xét. Thay $a = 3$ , $b = 5$ để soát: tử bằng $- 348 + 151200 = - 123 + 3003 = 2883$ , mẫu bằng $23$ , thương bằng $144$ ; còn $10 ab - 6 = 150 - 6 = 144$ — khớp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chia riêng từng hạng tử nên không cần đặt nhân tử chung, mỗi hạng tử chỉ hai dòng và chữ

a

dưới căn biến mất ngay; Cách 3 hợp với bạn nào ngại dấu căn.

Đáp số.

\frac{- 3 16 a + 5 a 16 a b ^{2}}{2 a} = 10 ab - 6

Sai lầm thường gặp. Rút gọn

a

khi tử vẫn còn là một tổng, viết

\frac{- 12 a + 20 ab a}{2 a} = - 12 + 10 ab

vì chỉ chia mỗi hạng tử thứ hai cho

2

. Kiểm lại với

a = 3

b = 5

: giá trị đúng là

144

, còn

- 12 + 10 \cdot 15 = 138

; đúng phải chia cả hai hạng tử cho

2

, được

10 ab - 6

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm,

\frac{- p 16 a + q a 16 a b ^{2}}{2 a} = 2 q ab - 2 p

với

a > 0

b > 0

; thử với

b < 0

để thấy

b^{2} = - b

làm đổi dấu hạng tử chứa

b

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 3.11★★★Trang 51— Định lí Pythagore và khai căn tích trong bài toán thực tế

Bài 3.11 (trang 51). Kích thước màn hình ti vi hình chữ nhật được xác định bởi độ dài đường chéo. Một loại ti vi có tỉ lệ hai cạnh màn hình là

4 : 3

. a) Gọi

x

(inch) là chiều rộng của màn hình ti vi. Viết công thức tính độ dài đường chéo

d

(inch) của màn hình ti vi theo

x

. b) Tính chiều rộng và chiều dài (theo centimét) của màn hình ti vi loại

40

inch.

Kiến thức cần nhớ

Định lí Pythagore: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
$A^{2} = ∣ A ∣$ ; với độ dài $x > 0$ thì $x^{2} = x$ .
Hai cạnh tỉ lệ $4 : 3$ nghĩa là chúng bằng $4 k$ và $3 k$ với $k > 0$ ; $1$ inch $= 2, 54$ cm.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tỉ lệ hai cạnh

4 : 3

và gọi chiều rộng là

x

— dấu hiệu chiều dài phải viết theo

x

trước, rồi mới dùng định lí Pythagore cho đường chéo. Vì

x^{2} + (\frac{4 x}{3})^{2}

gom lại thành

\frac{25 x ^{2}}{9}

, một bình phương đúng, nên căn khai hết chứ không còn dấu căn trong đáp số. Bẫy là hiểu nhầm

40

inch là một cạnh, trong khi đề nói rõ kích thước ti vi chính là độ dài đường chéo.

1Cách 1. Dùng định lí Pythagore rồi khai căn trực tiếp

Định hướng. Viết chiều dài theo $x$ nhờ tỉ lệ $4 : 3$ , áp định lí Pythagore cho tam giác vuông tạo bởi hai cạnh và đường chéo, rồi khai căn.

a) chiều rộng là

x

, chiều dài là

\frac{4 x}{3}

với

x > 0

d^{2} = x^{2} + (\frac{4 x}{3})^{2} = x^{2} + \frac{16 x ^{2}}{9} = \frac{25 x ^{2}}{9}

d > 0

nên

d = \frac{25 x ^{2}}{9} = \frac{25 \cdot x ^{2}}{9} = \frac{5 x}{3}

d = 40

\frac{5 x}{3} = 40

x = 24

chiều dài

= \frac{4 \cdot 24}{3} = 32

24 \cdot 2, 54 = 60, 96

32 \cdot 2, 54 = 81, 28

Vậy $d = \frac{5 x}{3}$ (inch); màn hình $40$ inch có chiều rộng $24$ inch $= 60, 96$ cm và chiều dài $32$ inch $= 81, 28$ cm.

2Cách 2. Đặt hệ số tỉ lệ cho hai cạnh

Định hướng. Gọi hai cạnh là $3 k$ và $4 k$ để mọi số hạng dưới căn đều là bội của $k^{2}$ , khi đó đường chéo lộ ra ngay là $5 k$ và câu b chỉ còn là tìm $k$ .

a) hai cạnh là

3 k

và

4 k

với

k > 0

chiều rộng

x = 3 k

nên

k = \frac{x}{3}

d = (3 k)^{2} + (4 k)^{2} = 25 k^{2} = 25 \cdot k^{2} = 5 k

d = 5 \cdot \frac{x}{3} = \frac{5 x}{3}

5 k = 40

nên

k = 8

chiều rộng

= 3 \cdot 8 = 24

(inch), chiều dài

= 4 \cdot 8 = 32

(inch)

24 \cdot 2, 54 = 60, 96

và

32 \cdot 2, 54 = 81, 28

Vậy $d = \frac{5 x}{3}$ ; chiều rộng $60, 96$ cm và chiều dài $81, 28$ cm.

3Cách 3. Dùng bộ ba Pythagore

3

;

4

;

5

, khỏi khai căn

Định hướng. Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tỉ lệ $3 : 4$ thì ba cạnh tỉ lệ $3 : 4 : 5$ , nên đường chéo và chiều rộng luôn theo tỉ lệ $5 : 3$ — đọc thẳng ra công thức mà không phải tính căn.

3^{2} + 4^{2} = 5^{2}

nên ba cạnh tỉ lệ

3 : 4 : 5

d : x = 5 : 3

d = \frac{5 x}{3}

d = 40

: chiều rộng

= 40 \cdot \frac{3}{5} = 24

(inch)
chiều dài

= 40 \cdot \frac{4}{5} = 32

(inch)

24 \cdot 2, 54 = 60, 96

và

32 \cdot 2, 54 = 81, 28

Vậy $d = \frac{5 x}{3}$ (inch); màn hình $40$ inch rộng $60, 96$ cm và dài $81, 28$ cm.

Nhận xét. Soát lại bằng Pythagore với số đo cm: $60, 9 6^{2} + 81, 2 8^{2} = 3716, 12 + 6606, 44 = 10322, 56$ và $101, 6^{2} = 10322, 56$ , đúng bằng bình phương của $40$ inch đổi ra cm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhận ra bộ ba

3

;

4

;

5

là viết được ngay

d = \frac{5 x}{3}

và câu b chỉ còn hai phép nhân, không phải khai căn lần nào; Cách 1 dành cho lúc tỉ lệ hai cạnh không đẹp.

Đáp số. a)

d = \frac{5 x}{3}

(inch), với

x > 0

. b) Chiều rộng

24

inch

= 60, 96

cm; chiều dài

32

inch

= 81, 28

cm.

Sai lầm thường gặp. Coi

40

inch là chiều dài màn hình rồi tính chiều rộng

30

inch và đường chéo

50

inch — sai vì kích thước ti vi được tính theo đường chéo. Lỗi thứ hai là khai căn kiểu

x^{2} + \frac{16 x ^{2}}{9} = x + \frac{4 x}{3}

; kiểm với

x = 24

thì vế trái bằng

40

, còn

24 + 32 = 56

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá, màn hình tỉ lệ

m : n

có chiều rộng

x

thì đường chéo

d = \frac{x m ^{2} + n ^{2}}{n}

; thử với tỉ lệ

16 : 9

để thấy

d = \frac{x 337}{9}

không còn là số hữu tỉ đẹp như

4 : 3

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 7. Căn bậc hai và căn thức bậc hai Bài tiếp theo ›Luyện tập chung (trang 52–53)

📚 Cùng chương: Chương III. Căn bậc hai và căn bậc ba

Bài 7. Căn bậc hai và căn thức bậc hai
▶ Bài 8. Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia
Luyện tập chung (trang 52–53)
Bài 9. Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Bài 10. Căn bậc ba và căn thức bậc ba
Luyện tập chung (trang 63–64)
Bài tập cuối chương III

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Học sâu hơn về Căn bậc hai, căn bậc ba — đọc thử miễn phí trước khi mua.

📘 Sách

Bài 8. Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Chương III. Căn bậc hai và căn bậc ba

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Toán 9 Tập 1 — Phân dạng và bài tập (KNTT)

Tuyển tập 100+ đề giữa kì I Toán 9 (106 đề)

Trọn bộ 77 đề HSG Toán 9

Toán 9 – Luyện thi vào 10

Bồi dưỡng HSG THCS