Chương III. Căn bậc hai và căn bậc ba

Bài 9. Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 25 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Tình huống mở đầu★★Trang 54— So sánh hai số dạng một số nhân với một căn bậc hai

Tình huống mở đầu (trang 54). Không sử dụng MTCT, có thể so sánh được hai số

a = 32

và

b = 23

hay không?

Kiến thức cần nhớ

Với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ : $a b = a^{2} b$ .
Với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ : $a < b \Leftrightarrow a < b$ .
Với $u > 0$ , $v > 0$ : $u < v \Leftrightarrow u^{2} < v^{2}$ .
$(a)^{2} = a$ với $a \geq 0$ ; $a \cdot b = ab$ với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai số cùng dạng

k m

nhưng khác cả hệ số ngoài lẫn số dưới căn nên không so trực tiếp được — dấu hiệu phải đưa chúng về cùng một dạng, gọn nhất là đưa hết thừa số vào trong dấu căn để chỉ còn so hai số nguyên. Cả hai số đều dương nên hướng thứ hai cũng rất an toàn: so bình phương của chúng. Bẫy của đề: thấy hệ số

3 > 2

rồi kết luận ngay

32 > 23

là ăn may, vì hệ số ngoài lớn hơn hoàn toàn có thể cho một số nhỏ hơn.

1Cách 1. Đưa thừa số vào trong dấu căn rồi so hai số dưới căn

Định hướng. Đưa hệ số ngoài vào trong dấu căn để hai số cùng dạng $m$ , khi đó chỉ còn so sánh hai số nguyên.

a = 32 = 3^{2} \cdot 2 = 18

b = 23 = 2^{2} \cdot 3 = 12

12 < 18

nên

12 < 18

Vậy $b < a$ , tức $23 < 32$ .

2Cách 2. So sánh bình phương của hai số dương

Định hướng. Hai số đều dương nên số nào có bình phương lớn hơn thì số đó lớn hơn; bình phương làm mất hết dấu căn.

a = 32 > 0

và

b = 23 > 0

a^{2} = 3^{2} \cdot (2)^{2} = 9 \cdot 2 = 18

b^{2} = 2^{2} \cdot (3)^{2} = 4 \cdot 3 = 12

b^{2} < a^{2}

, mà

a > 0

và

b > 0

, nên

b < a

Vậy $23 < 32$ .

3Cách 3. Chặn mỗi số bởi một số thập phân

Định hướng. Chặn $2$ và $3$ bởi hai số thập phân dễ bình phương, rồi tìm một mốc nằm giữa hai số cần so.

1, 4^{2} = 1, 96 < 2

nên

2 > 1, 4

, suy ra

32 > 4, 2

1, 7 5^{2} = 3, 0625 > 3

nên

3 < 1, 75

, suy ra

23 < 3, 5

23 < 3, 5 < 4, 2 < 32

Vậy $23 < 32$ .

Nhận xét. Hệ số ngoài lớn hơn không quyết định: cũng với hệ số $3$ và $2$ nhưng $32 = 18$ còn $25 = 20$ , khi đó $32 < 25$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi số đúng một dòng, đưa vào trong căn xong là so hai số nguyên nên hầu như không sai; Cách 3 chỉ nên dùng khi hai số dưới căn quá lớn, không tiện bình phương.

Đáp số. Có thể so sánh được:

23 = 12 < 18 = 32

, tức

b < a

Sai lầm thường gặp. So sánh bằng hệ số ngoài dấu căn, thấy

3 > 2

là kết luận luôn

32 > 23

. Phản ví dụ bằng số:

32 = 18 \approx 4, 24

và

25 = 20 \approx 4, 47

, hệ số

3 > 2

mà

32 < 25

. Lỗi thứ hai là đưa thừa số vào trong căn mà quên bình phương hệ số, viết

32 = 3 \cdot 2 = 6 \approx 2, 45

trong khi

32 \approx 4, 24

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với

k \geq 0

h \geq 0

thì so

k m

với

h n

chính là so

k^{2} m

với

h^{2} n

— thử so

43

với

35

, vì

48 > 45

nên

43 > 35

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 54

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ1★Trang 54— Xây dựng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn

HĐ1 (trang 54). Tính và so sánh

(- 3)^{2} \cdot 25

với

∣ - 3 ∣ \cdot 25

Kiến thức cần nhớ

$A^{2} = ∣ A ∣$ với mọi số thực $A$ ; $∣ A ∣ = A$ khi $A \geq 0$ và $∣ A ∣ = - A$ khi $A < 0$ .
$ab = a \cdot b$ với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ .
$(- a)^{2} = a^{2}$ với mọi số thực $a$ .
Căn bậc hai số học của một số không âm là một số không âm.

🧠 Phân tích tư duy

Hai vế đều ra số cụ thể nên cách chắc chắn nhất là tính riêng từng vế rồi đối chiếu. Nhưng đích của hoạt động là thấy dấu trị tuyệt đối ở vế phải sinh ra từ đâu, nên phải làm thêm một lần bằng biến đổi tổng quát

A^{2} = ∣ A ∣

chứ không chỉ dừng ở con số. Bẫy: rút gọn

(- 3)^{2} = - 3

sẽ cho vế trái bằng

- 15

, trong khi căn bậc hai số học không bao giờ âm.

1Cách 1. Tính riêng từng vế rồi đối chiếu

Định hướng. Số dưới căn nhỏ nên tính thẳng ra kết quả của hai vế là thấy ngay.

(- 3)^{2} \cdot 25 = 9 \cdot 25 = 225

(- 3)^{2} \cdot 25 = 225 = 15

∣ - 3 ∣ \cdot 25 = 3 \cdot 5 = 15

Vậy $(- 3)^{2} \cdot 25 = ∣ - 3 ∣ \cdot 25 = 15$ .

2Cách 2. Tách căn của một tích

Định hướng. Tách căn của tích thành tích hai căn, phần chứa bình phương khai ra dấu trị tuyệt đối; cách này khỏi cần tính số.

(- 3)^{2} \geq 0

và

25 \geq 0

nên

(- 3)^{2} \cdot 25 = (- 3)^{2} \cdot 25

(- 3)^{2} = ∣ - 3 ∣ = 3

(- 3)^{2} \cdot 25 = ∣ - 3 ∣ \cdot 25 = 3 \cdot 5 = 15

Vậy hai biểu thức bằng nhau và cùng bằng $15$ .

3Cách 3. Gộp cả tích thành một bình phương

Định hướng. Đổi $(- 3)^{2}$ thành $3^{2}$ rồi gộp cả tích dưới căn thành bình phương của một số, khai căn một lần là xong.

(- 3)^{2} = 3^{2}

nên

(- 3)^{2} \cdot 25 = 3^{2} \cdot 5^{2} = (3 \cdot 5)^{2} = 1 5^{2}

(- 3)^{2} \cdot 25 = 1 5^{2} = ∣15∣ = 15

∣ - 3 ∣ \cdot 25 = 3 \cdot 5 = 15

Vậy $(- 3)^{2} \cdot 25 = ∣ - 3 ∣ \cdot 25$ .

Nhận xét. Thay bộ số khác vẫn đúng: $(- 7)^{2} \cdot 2 = 98 = 72$ và $∣ - 7 ∣ \cdot 2 = 72$ — đó chính là công thức $a^{2} b = ∣ a ∣ b$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nó không phụ thuộc vào con số cụ thể nên dùng lại được cho mọi bài đưa thừa số ra ngoài dấu căn; Cách 1 chỉ trả lời được đúng bộ số của đề.

Đáp số. Hai biểu thức bằng nhau, cùng bằng

15

(- 3)^{2} \cdot 25 = ∣ - 3 ∣ \cdot 25 = 15

Sai lầm thường gặp. Bỏ dấu trị tuyệt đối khi đưa thừa số ra ngoài, viết

(- 3)^{2} \cdot 25 = - 3 \cdot 5 = - 15

. Phản ví dụ bằng số:

(- 3)^{2} \cdot 25 = 225

mà

225 = 15 > 0

, còn

- 15 < 0

; căn bậc hai số học của một số không âm không thể âm. Lỗi thứ hai là nhầm khai căn với bình phương, viết

(- 3)^{2} = 9

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

a^{2} b = ∣ a ∣ b

với mọi số

a

và mọi

b \geq 0

— thử với

a = - 7

b = 2

để thấy dấu trị tuyệt đối là bắt buộc, đáp số là

72

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 54

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Ví dụ 1★★Trang 54— Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Ví dụ 1 (trang 54). Viết nhân tử số của biểu thức dưới dấu căn thành tích các luỹ thừa rồi đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
a)

45

;
b)

243 a

(a \geq 0)

Kiến thức cần nhớ

$a^{2} b = ∣ a ∣ b$ với $b \geq 0$ ; khi $a \geq 0$ thì $a^{2} b = a b$ .
$ab = a \cdot b$ với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ .
Căn thức $A$ xác định khi và chỉ khi $A \geq 0$ .
Một căn thức coi là rút gọn xong khi số dưới căn không còn thừa số chính phương nào lớn hơn $1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Muốn đưa thừa số ra ngoài dấu căn thì phải nhìn ra thừa số chính phương lớn nhất của số dưới căn — dấu hiệu là số đó chia hết cho

4

9

25

49

81

. Ở ý b) số

243

không quen mắt nên phân tích ra thừa số nguyên tố là an toàn nhất, vì

243 = 3^{5}

cho ngay luỹ thừa chẵn

3^{4}

. Bẫy: tách thừa số chính phương chưa lớn nhất, chẳng hạn

243 = 9 \cdot 27

, thì đưa ra ngoài xong vẫn còn căn rút gọn tiếp được.

1Cách 1. Tách thừa số chính phương lớn nhất

Định hướng. Tìm thừa số chính phương lớn nhất của số dưới căn rồi khai căn thừa số đó.

45 = 9 \cdot 5 = 3^{2} \cdot 5

45 = 3^{2} \cdot 5 = 35

a \geq 0

nên

243 a \geq 0

, căn thức xác định

243 = 81 \cdot 3 = 9^{2} \cdot 3

243 a = 9^{2} \cdot 3 a = 9 3 a

Vậy a) $45 = 35$ ; b) $243 a = 9 3 a$ .

2Cách 2. Phân tích ra thừa số nguyên tố rồi ghép luỹ thừa chẵn

Định hướng. Phân tích số dưới căn ra thừa số nguyên tố, mọi luỹ thừa chẵn đều khai căn được nên chắc chắn rút gọn hết.

45 = 3^{2} \cdot 5

45 = 3^{2} \cdot 5 = 35

243 = 3^{5} = 3^{4} \cdot 3 = (3^{2})^{2} \cdot 3

243 a = (3^{2})^{2} \cdot 3 a = 3^{2} 3 a = 9 3 a

Vậy a) $35$ ; b) $9 3 a$ .

3Cách 3. Đặt hệ số cần tìm rồi bình phương

Định hướng. Kết quả chắc chắn có dạng $k 5$ , tương ứng $k 3 a$ , với $k \geq 0$ ; bình phương hai vế là tìm được $k$ .

a) Đặt

45 = k 5

với

k \geq 0

45 = k^{2} \cdot 5

, suy ra

k^{2} = 9

k \geq 0

nên

k = 3

, do đó

45 = 35

b) Với

a > 0

, đặt

243 a = k 3 a

với

k \geq 0

243 a = k^{2} \cdot 3 a

, suy ra

k^{2} = 81

k \geq 0

nên

k = 9

; với

a = 0

thì hai vế cùng bằng

0

243 a = 9 3 a

với mọi

a \geq 0

Vậy a) $35$ ; b) $9 3 a$ .

Nhận xét. Soát nhanh bằng phép ngược là đưa thừa số vào trong dấu căn: $35 = 9 \cdot 5 = 45$ và $9 3 a = 81 \cdot 3 a = 243 a$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 khi nhìn ra ngay thừa số chính phương; số lạ mắt như

243

thì Cách 2 chắc tay hơn vì phân tích ra thừa số nguyên tố không bao giờ bỏ sót.

Đáp số. a)

45 = 35

; b)

243 a = 9 3 a

với

a \geq 0

Sai lầm thường gặp. Đưa thừa số ra ngoài mà quên khai căn, viết

45 = 9 \cdot 5 = 95

. Phản ví dụ bằng số:

95 \approx 20, 12

trong khi

45 \approx 6, 71

, đúng phải là

35

. Lỗi thứ hai là tách chưa hết, dừng ở

243 a = 3 27 a

mà không thấy

27 = 9 \cdot 3

nên vẫn rút gọn tiếp được.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

3^{2 n + 1} = 3^{n} 3

— thử với

2187

, tức

3^{7}

, đáp số là

273

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 54

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 1★Trang 55— Đưa thừa số ra ngoài dấu căn có hệ số đứng trước

Luyện tập 1 (trang 55). Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
a)

12

;
b)

327

;
c)

548

Kiến thức cần nhớ

$a^{2} b = ∣ a ∣ b$ với $b \geq 0$ .
$ab = a \cdot b$ với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ .
Với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ : $a b = a^{2} b$ .
Các hạng tử cùng chứa $3$ cộng trừ được với nhau như những đơn thức đồng dạng.

🧠 Phân tích tư duy

Cả ba số

12

27

48

đều chia hết cho một số chính phương (

4

9

16

) và phần còn lại đều là

3

— dấu hiệu cho biết ba kết quả sẽ cùng dạng

k 3

, tức là cộng trừ được với nhau. Hệ số đứng trước dấu căn chỉ việc nhân vào sau khi đã khai căn, không được đụng gì tới số dưới căn. Bẫy: nhân hệ số ngoài thẳng vào số dưới căn, viết

327 = 81

1Cách 1. Tách thừa số chính phương lớn nhất rồi nhân hệ số

Định hướng. Khai căn phần chính phương của số dưới căn trước, hệ số ngoài giữ nguyên rồi nhân vào sau cùng.

12 = 2^{2} \cdot 3 = 23

27 = 3^{2} \cdot 3 = 33

nên

327 = 3 \cdot 33 = 93

48 = 4^{2} \cdot 3 = 43

nên

548 = 5 \cdot 43 = 203

Vậy a) $23$ ; b) $93$ ; c) $203$ .

2Cách 2. Phân tích ra thừa số nguyên tố

Định hướng. Viết mỗi số dưới căn thành tích các thừa số nguyên tố, mọi luỹ thừa chẵn khai căn được hết.

12 = 2^{2} \cdot 3

nên

12 = 23

27 = 3^{3} = 3^{2} \cdot 3

nên

327 = 3 \cdot 3^{2} \cdot 3 = 93

48 = 2^{4} \cdot 3 = (2^{2})^{2} \cdot 3

nên

548 = 5 \cdot 2^{2} 3 = 203

Vậy a) $23$ ; b) $93$ ; c) $203$ .

3Cách 3. Đưa hệ số vào trong dấu căn rồi khai một lần

Định hướng. Gộp hệ số ngoài vào trong dấu căn để chỉ còn một số duy nhất, sau đó tách thừa số chính phương một lần.

12 = 4 \cdot 3 = 23

327 = 3^{2} \cdot 27 = 243 = 81 \cdot 3 = 93

548 = 5^{2} \cdot 48 = 1200 = 400 \cdot 3 = 203

Vậy a) $23$ ; b) $93$ ; c) $203$ .

Nhận xét. Ba kết quả đều là bội của $3$ nên cộng trừ được ngay: $12 + 327 - 548 = (2 + 9 - 20) 3 = - 93$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: số luôn nhỏ, khai căn xong mới nhân hệ số nên rất khó nhầm; Cách 3 phải làm việc với

243

và

1200

nên dễ mỏi tay và dễ sai.

Đáp số. a)

23

; b)

93

; c)

203

Sai lầm thường gặp. Nhân hệ số ngoài thẳng vào số dưới căn mà không bình phương, viết

327 = 3 \cdot 27 = 81 = 9

. Phản ví dụ bằng số:

327 = 93 \approx 15, 59

, khác hẳn

9

. Lỗi thứ hai là tách thừa số chính phương chưa lớn nhất ở ý c), dừng ở

548 = 1012

mà quên

12

vẫn còn rút gọn được.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

k 3 m^{2} = k m 3

với

k \geq 0

m > 0

— thử đưa thừa số ra ngoài ở

7300

, đáp số là

703

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 55

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Ví dụ 2★★Trang 55— Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Ví dụ 2 (trang 55). Khử mẫu của biểu thức lấy căn

\frac{4}{7}

Kiến thức cần nhớ

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ với $a \geq 0$ , $b > 0$ .
$A^{2} B = ∣ A ∣ B$ với $B \geq 0$ .
$(a)^{2} = a$ với $a \geq 0$ .
Khử mẫu của biểu thức lấy căn là biến đổi để dưới dấu căn không còn mẫu.

🧠 Phân tích tư duy

Dưới dấu căn là một phân số có mẫu

7

không phải số chính phương — dấu hiệu của phép khử mẫu của biểu thức lấy căn. Ý đồ chung là biến mẫu thành một số chính phương bằng cách nhân cả tử và mẫu với chính mẫu đó, khi ấy mẫu

7^{2}

khai căn được và ra khỏi dấu căn. Bẫy: chỉ nhân tử với

7

mà quên nhân mẫu, làm phân số đổi giá trị.

1Cách 1. Nhân cả tử và mẫu của biểu thức lấy căn với mẫu

Định hướng. Nhân cả tử và mẫu của phân số dưới căn với $7$ để mẫu thành $7^{2}$ , khi đó khai căn được ngay.

\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 7}{7 \cdot 7} = \frac{4 \cdot 7}{7 ^{2}} = (\frac{2}{7})^{2} \cdot 7

= \frac{2}{7} 7 = \frac{2 7}{7}

Vậy $\frac{4}{7} = \frac{2 7}{7}$ .

2Cách 2. Tách căn của thương rồi trục căn thức ở mẫu

Định hướng. Tách thành thương hai căn cho tử hết căn, rồi nhân cả tử và mẫu với $7$ để mẫu sạch căn.

\frac{4}{7} = \frac{4}{7} = \frac{2}{7}

\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7}{7 \cdot 7} = \frac{2 7}{( 7 ) ^{2}} = \frac{2 7}{7}

Vậy $\frac{4}{7} = \frac{2 7}{7}$ .

3Cách 3. Đặt ẩn rồi bình phương

Định hướng. Gọi giá trị cần tìm là $t$ ; $t$ dương nên bình phương rồi khai lại là ra, khỏi phải nhớ công thức nào.

Đặt

t = \frac{4}{7}

, khi đó

t > 0

và

t^{2} = \frac{4}{7}

(7 t)^{2} = 49 t^{2} = 49 \cdot \frac{4}{7} = 28

7 t > 0

nên

7 t = 28 = 27

t = \frac{2 7}{7}

Vậy $\frac{4}{7} = \frac{2 7}{7}$ .

Nhận xét. Soát bằng số: $\frac{4}{7} \approx 0, 5714$ nên $\frac{4}{7} \approx 0, 7559$ ; còn $\frac{2 7}{7} \approx \frac{5 , 2915}{7} \approx 0, 7559$ , khớp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì nó chính là công thức tổng quát

\frac{a}{b} = \frac{ab}{b}

dùng lại được cho mọi bài; Cách 2 dài hơn một dòng vì phải trục căn thêm một lần.

Đáp số.

\frac{4}{7} = \frac{2 7}{7}

Sai lầm thường gặp. Chỉ nhân tử với

7

mà quên nhân mẫu, viết

\frac{4}{7} = \frac{28}{7} = 4 = 2

. Phản ví dụ bằng số:

\frac{4}{7} \approx 0, 756

, không thể bằng

2

. Lỗi thứ hai là viết

\frac{4}{7} = \frac{2}{7}

, tức khai căn tử mà quên khai căn mẫu.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

\frac{a}{b} = \frac{ab}{b}

với

a \geq 0

b > 0

— thử với

\frac{9}{11}

, đáp số là

\frac{3 11}{11}

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 55

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập 2★Trang 55— Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Luyện tập 2 (trang 55). Khử mẫu của biểu thức lấy căn

\frac{3}{5}

Kiến thức cần nhớ

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ với $a \geq 0$ , $b > 0$ .
$a \cdot b = ab$ với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ .
$(a)^{2} = a$ với $a \geq 0$ .
$\frac{a}{b} = \frac{ab}{b}$ với $a \geq 0$ , $b > 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu

5

dưới dấu căn không phải số chính phương — dấu hiệu quen thuộc của phép khử mẫu của biểu thức lấy căn, nhân cả tử và mẫu dưới căn với

5

là mẫu thành

25

. Ở đây tử

3

không phải số chính phương nên kết quả còn căn ở tử, điều đó hoàn toàn bình thường. Bẫy: khai căn tử và mẫu riêng rồi để nguyên

\frac{3}{5}

, vì như thế mẫu vẫn còn căn nên chưa đạt yêu cầu.

1Cách 1. Nhân cả tử và mẫu của biểu thức lấy căn với mẫu

Định hướng. Nhân cả tử và mẫu của phân số dưới căn với $5$ để mẫu thành $5^{2}$ , khi đó mẫu ra khỏi dấu căn.

\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{15}{5 ^{2}}

= \frac{15}{5}

Vậy $\frac{3}{5} = \frac{15}{5}$ .

2Cách 2. Tách căn của thương rồi trục căn thức ở mẫu

Định hướng. Tách thành thương hai căn, rồi nhân cả tử và mẫu với $5$ để mẫu hết căn.

\frac{3}{5} = \frac{3}{5}

\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{15}{5}

Vậy $\frac{3}{5} = \frac{15}{5}$ .

3Cách 3. Đặt ẩn rồi bình phương

Định hướng. Gọi giá trị cần tìm là $t$ dương, nhân $t$ với $5$ rồi bình phương để mất căn.

Đặt

t = \frac{3}{5}

, khi đó

t > 0

và

t^{2} = \frac{3}{5}

(5 t)^{2} = 25 t^{2} = 25 \cdot \frac{3}{5} = 15

5 t > 0

nên

5 t = 15

t = \frac{15}{5}

Vậy $\frac{3}{5} = \frac{15}{5}$ .

Nhận xét. Soát bằng số: $\frac{3}{5} = 0, 6$ nên $0, 6 \approx 0, 7746$ ; còn $\frac{15}{5} \approx \frac{3 , 873}{5} \approx 0, 7746$ , khớp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng một dòng biến đổi, mẫu

25

khai căn ra ngay nên nhanh nhất; Cách 2 cho cùng kết quả nhưng phải trục căn thêm một lần nữa.

Đáp số.

\frac{3}{5} = \frac{15}{5}

Sai lầm thường gặp. Dừng lại ở

\frac{3}{5}

và coi như đã xong, trong khi mẫu vẫn còn căn nên chưa khử được mẫu. Phản ví dụ về sự cần thiết của bước cuối: muốn cộng

\frac{3}{5}

với

\frac{2 15}{5}

thì phải viết ở dạng

\frac{15}{5}

mới cộng được, kết quả là

\frac{3 15}{5}

. Lỗi thứ hai là nhân tử với

5

mà giữ nguyên mẫu, viết

\frac{3}{5} = \frac{15}{5} = 3

, trong khi

0, 6 \approx 0, 775

còn

3 \approx 1, 732

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

\frac{a}{b} = \frac{ab}{b}

với

a \geq 0

b > 0

— thử với

\frac{7}{12}

, đáp số là

\frac{21}{6}

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 55

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Tranh luận★★Trang 55— Nhận xét tính đúng sai của một phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Tranh luận (trang 55). Vuông viết

(- 2)^{2} \cdot 5 = - 25

. Em có đồng ý với cách làm của Vuông không? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

$a^{2} b = ∣ a ∣ b$ với $b \geq 0$ ; dấu trị tuyệt đối là bắt buộc khi chưa biết dấu của $a$ .
$A^{2} = ∣ A ∣$ ; $∣ - 2 ∣ = 2$ .
Căn bậc hai số học của một số không âm luôn là một số không âm.
$(- a)^{2} = a^{2}$ nên bình phương làm mất dấu của số ban đầu.

🧠 Phân tích tư duy

Thừa số được đưa ra ngoài là

- 2

, một số âm — đúng chỗ mà công thức

a^{2} b = ∣ a ∣ b

bắt phải lấy trị tuyệt đối, nên phải soi ngay bước đó. Cách kiểm tra nhanh nhất không cần tính gì: vế trái là căn bậc hai số học nên không âm, còn vế phải của Vuông lại âm, hai bên không thể bằng nhau. Bẫy: nhìn thấy

(- 2)^{2}

rồi tự động chép lại dấu trừ, quên rằng bình phương đã xoá sạch dấu.

1Cách 1. Tính thẳng giá trị của vế trái

Định hướng. Tính hẳn số dưới căn rồi khai căn, so kết quả với con số Vuông viết.

(- 2)^{2} \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20

(- 2)^{2} \cdot 5 = 20 = 2^{2} \cdot 5 = 25

25 > 0

còn

- 25 < 0

Vậy không đồng ý với Vuông; kết quả đúng là $(- 2)^{2} \cdot 5 = 25$ .

2Cách 2. Đối chiếu với công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Định hướng. Áp đúng công thức $a^{2} b = ∣ a ∣ b$ với $a = - 2$ , $b = 5$ để chỉ ra Vuông hỏng ở bước nào.

b = 5 \geq 0

nên

(- 2)^{2} \cdot 5 = ∣ - 2 ∣ \cdot 5

∣ - 2 ∣ = 2

nên

(- 2)^{2} \cdot 5 = 25

Vuông đã thay

∣ - 2 ∣

bằng

- 2

Vậy cách làm của Vuông sai ở chỗ bỏ dấu trị tuyệt đối; kết quả đúng là $25$ .

3Cách 3. Xét dấu hai vế

Định hướng. Khỏi cần tính, chỉ so dấu của hai vế là đủ kết luận đẳng thức sai.

(- 2)^{2} \cdot 5 = 20 \geq 0

nên

(- 2)^{2} \cdot 5 \geq 0

5 > 0

nên

- 25 < 0

Một số không âm không thể bằng một số âm

Vậy đẳng thức của Vuông sai; giá trị đúng là $25 \approx 4, 47$ .

Nhận xét. Chỗ hỏng nằm đúng ở bước $(- 2)^{2} = - 2$ ; phải là $(- 2)^{2} = ∣ - 2 ∣ = 2$ . Nếu đề viết $- (- 2)^{2} \cdot 5$ thì kết quả mới là $- 25$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: chỉ một dòng xét dấu là bác bỏ được đẳng thức, không cần tính toán gì; Cách 2 nên viết kèm để chỉ rõ Vuông sai ở bước nào.

Đáp số. Không đồng ý với Vuông. Kết quả đúng là

(- 2)^{2} \cdot 5 = ∣ - 2 ∣ 5 = 25 \approx 4, 47

, còn

- 25 \approx - 4, 47

Sai lầm thường gặp. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn mà quên dấu trị tuyệt đối khi thừa số có thể âm, tức dùng

a^{2} b = a b

. Phản ví dụ bằng số: với

a = - 2

b = 5

thì vế trái bằng

20 \approx 4, 47

còn vế phải bằng

- 25 \approx - 4, 47

, hai số trái dấu nhau. Lỗi thứ hai là tưởng dấu trừ của

- 2

được giữ lại sau khi khai căn, trong khi bình phương đã xoá sạch dấu đó:

(- 2)^{2} = 2^{2} = 4

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

a^{2} b = ∣ a ∣ b

, nên khi

a < 0

thì

a^{2} b = - a b

— thử rút gọn

(- 5)^{2} \cdot 3

, đáp số là

53

chứ không phải

- 53

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 55

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · HĐ2★Trang 55— Xây dựng công thức đưa thừa số vào trong dấu căn

HĐ2 (trang 55). Tính và so sánh:
a)

5 \cdot 4

với

5^{2} \cdot 4

;
b)

- 5 \cdot 4

với

- (- 5)^{2} \cdot 4

Kiến thức cần nhớ

$a^{2} b = ∣ a ∣ b$ với $b \geq 0$ .
$∣ 5 ∣ = 5$ và $∣ - 5 ∣ = 5$ .
Hai số cùng dấu có bình phương bằng nhau thì bằng nhau.
Căn bậc hai số học luôn không âm nên một số âm phải viết dưới dạng có dấu trừ đứng trước dấu căn.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chia hẳn thành hai ý theo dấu của thừa số đứng trước dấu căn — dấu hiệu cho biết công thức sắp rút ra sẽ có hai trường hợp, một cho thừa số không âm và một cho thừa số âm. Số dưới căn đều là số chính phương nên tính thẳng ra kết quả là nhanh nhất, nhưng nên làm thêm một lượt bằng biến đổi tổng quát để thấy vì sao ý b) phải có dấu trừ trước dấu căn. Bẫy: viết

- 54 = (- 5)^{2} \cdot 4

, tức đánh mất dấu trừ.

1Cách 1. Tính riêng từng số

Định hướng. Số dưới căn đều chính phương nên tính thẳng ra bốn con số rồi đối chiếu từng cặp.

5 \cdot 4 = 5 \cdot 2 = 10

5^{2} \cdot 4 = 100 = 10

- 5 \cdot 4 = - 5 \cdot 2 = - 10

- (- 5)^{2} \cdot 4 = - 100 = - 10

Vậy a) $5 \cdot 4 = 5^{2} \cdot 4 = 10$ ; b) $- 5 \cdot 4 = - (- 5)^{2} \cdot 4 = - 10$ .

2Cách 2. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn ở vế phải

Định hướng. Rút gọn vế phải bằng công thức $a^{2} b = ∣ a ∣ b$ , khi đó hai vế lộ ra giống hệt nhau mà không cần tính số.

5^{2} \cdot 4 = ∣5∣ \cdot 4 = 54

(- 5)^{2} \cdot 4 = ∣ - 5 ∣ \cdot 4 = 54

- (- 5)^{2} \cdot 4 = - 54

Vậy ở cả hai ý, hai biểu thức bằng nhau.

3Cách 3. So sánh qua bình phương và dấu

Định hướng. Hai số cùng dấu mà bình phương bằng nhau thì bằng nhau; bình phương làm mất hết dấu căn.

54 > 0

và

5^{2} \cdot 4 > 0

(54)^{2} = 25 \cdot 4 = 100

và

(5^{2} \cdot 4)^{2} = 5^{2} \cdot 4 = 100

- 54 < 0

và

- (- 5)^{2} \cdot 4 < 0

(- 54)^{2} = 100

và

(- (- 5)^{2} \cdot 4)^{2} = (- 5)^{2} \cdot 4 = 100

Vậy mỗi cặp gồm hai số cùng dấu và cùng bình phương nên bằng nhau.

Nhận xét. Hai ý cho đúng hai trường hợp của phép đưa thừa số vào trong dấu căn: $a b = a^{2} b$ khi $a \geq 0$ , còn $a b = - a^{2} b$ khi $a < 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ dựa vào công thức nên đúng với mọi số, không phụ thuộc việc

4

là số chính phương; Cách 1 chỉ kiểm được đúng bộ số của đề.

Đáp số. a)

5 \cdot 4 = 5^{2} \cdot 4 = 10

; b)

- 5 \cdot 4 = - (- 5)^{2} \cdot 4 = - 10

Sai lầm thường gặp. Đưa thừa số âm vào trong dấu căn mà giữ nguyên dấu trừ ở ngoài rồi lại thêm dấu trừ, hoặc ngược lại là làm mất dấu trừ: viết

- 54 = (- 5)^{2} \cdot 4

. Phản ví dụ bằng số: vế trái bằng

- 10

, vế phải bằng

100 = 10

, hai số đối nhau. Lỗi thứ hai là viết

- 54 = - 5^{2} \cdot 4 = - 100

, trong khi số dưới dấu căn bậc hai không được âm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với

b \geq 0

thì

a b = a^{2} b

khi

a \geq 0

và

a b = - a^{2} b

khi

a < 0

— thử viết

- 37

dưới dạng chỉ có một dấu căn, đáp số là

- 63

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 55

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Ví dụ 3★★Trang 56— Đưa thừa số vào trong dấu căn

Ví dụ 3 (trang 56). Đưa thừa số vào trong dấu căn:
a)

52

;
b)

- 2 a

(a \geq 0)

Kiến thức cần nhớ

Với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ : $a b = a^{2} b$ .
Với $a < 0$ , $b \geq 0$ : $a b = - a^{2} b$ .
$a \cdot b = ab$ với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ .
Căn thức $a$ xác định khi và chỉ khi $a \geq 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Việc đầu tiên phải làm là nhìn dấu của thừa số đứng trước dấu căn: ý a) thừa số dương nên vào thẳng trong căn, ý b) thừa số âm nên phải để lại dấu trừ ở ngoài rồi mới đưa

2

vào. Điều kiện

a \geq 0

trong ý b) là để căn thức xác định, cần nêu trước khi biến đổi. Bẫy: viết

- 2 a = (- 2)^{2} a = 4 a

, tức làm biểu thức đang âm thành không âm.

1Cách 1. Áp dụng công thức theo dấu của thừa số

Định hướng. Xét dấu thừa số đứng trước dấu căn rồi dùng đúng một trong hai công thức đã học.

5 > 0

nên

52 = 5^{2} \cdot 2 = 50

a \geq 0

nên

a

xác định

- 2 < 0

nên

- 2 a = - 2^{2} \cdot a = - 4 a

Vậy a) $52 = 50$ ; b) $- 2 a = - 4 a$ .

2Cách 2. Viết hệ số thành một căn bậc hai rồi nhân hai căn

Định hướng. Thay số dương đứng trước bởi căn của bình phương của nó, rồi gộp hai căn thành một.

5 = 25

nên

52 = 25 \cdot 2 = 25 \cdot 2 = 50

a \geq 0

và

2 = 4

nên

2 a = 4 \cdot a = 4 a

- 2 a = - (2 a) = - 4 a

Vậy a) $50$ ; b) $- 4 a$ .

3Cách 3. Bình phương có xét dấu

Định hướng. Đặt tên cho biểu thức, bình phương để mất căn rồi khai lại theo đúng dấu đã xác định.

a) Đặt

M = 52

, khi đó

M > 0

và

M^{2} = 25 \cdot 2 = 50

M > 0

nên

M = 50

a \geq 0

; đặt

N = - 2 a

, khi đó

N \leq 0

và

- N = 2 a \geq 0

(- N)^{2} = 4 a

và

- N \geq 0

nên

- N = 4 a

N = - 4 a

Vậy a) $52 = 50$ ; b) $- 2 a = - 4 a$ với $a \geq 0$ .

Nhận xét. Thử lại bằng phép ngược: $50 = 25 \cdot 2 = 52$ và $- 4 a = - 2 a$ , đúng như đề.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần một lần xét dấu rồi áp công thức, mỗi ý một dòng; Cách 3 dài hơn nhưng rất đáng dùng khi biểu thức đứng trước dấu căn chứa chữ và chưa biết dấu.

Đáp số. a)

52 = 50

; b)

- 2 a = - 4 a

với

a \geq 0

Sai lầm thường gặp. Đưa cả dấu trừ vào trong dấu căn, viết

- 2 a = (- 2)^{2} a = 4 a

. Phản ví dụ bằng số: với

a = 9

thì

- 29 = - 6

còn

4 \cdot 9 = 6

, hai số đối nhau. Lỗi thứ hai là viết

- 2 a = - 4 a

, trong khi

a \geq 0

nên

- 4 a \leq 0

và căn bậc hai không xác định.

🚀 Mở rộng. Mở rộng sang thừa số là chữ chưa biết dấu:

x 5 = 5 x^{2}

khi

x \geq 0

nhưng

x 5 = - 5 x^{2}

khi

x < 0

— thử đưa

x 5

vào trong dấu căn với

x = - 3

để thấy dấu trừ không thể bỏ.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 56

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Ví dụ 4★★Trang 56— So sánh hai căn thức bằng phép đưa thừa số vào trong dấu căn

Ví dụ 4 (trang 56). Trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu: không dùng MTCT, hãy so sánh hai số

a = 32

và

b = 23

Kiến thức cần nhớ

Với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ : $a b = a^{2} b$ .
Với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ : $a < b \Leftrightarrow a < b$ .
Với $u > 0$ , $v > 0$ : $\frac{u}{v} > 1 \Leftrightarrow u > v$ .
$(A - B) (A + B) = A - B$ với $A \geq 0$ , $B \geq 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bài này đứng ngay sau mục đưa thừa số vào trong dấu căn — dấu hiệu rõ ràng rằng ý đồ của sách là biến hai số về cùng dạng

m

rồi so hai số nguyên. Ngoài hướng đó, vì hai số đều dương nên còn hai hướng rất đẹp: xét thương của chúng xem lớn hơn hay nhỏ hơn

1

, hoặc xét hiệu rồi nhân liên hợp để biết dấu. Bẫy: nhìn hệ số ngoài mà đoán, hoặc lấy giá trị gần đúng của

2

3

trong khi đề cấm dùng MTCT.

1Cách 1. Đưa thừa số vào trong dấu căn

Định hướng. Đưa hệ số ngoài vào trong dấu căn để hai số cùng dạng $m$ rồi so hai số nguyên dưới căn.

32 = 3^{2} \cdot 2 = 18

23 = 2^{2} \cdot 3 = 12

12 < 18

nên

12 < 18

Vậy $23 < 32$ , tức $b < a$ .

2Cách 2. Xét thương của hai số dương

Định hướng. Hai số đều dương nên chỉ cần biết thương của chúng lớn hơn hay nhỏ hơn $1$ ; trục căn thức ở mẫu để thương gọn lại.

a = 32 > 0

và

b = 23 > 0

\frac{a}{b} = \frac{3 2}{2 3} = \frac{3 2 \cdot 3}{2 3 \cdot 3} = \frac{3 6}{6} = \frac{6}{2}

6 > 4

nên

6 > 2

, suy ra

\frac{a}{b} > 1

b > 0

nên

a > b

Vậy $23 < 32$ .

3Cách 3. Xét hiệu rồi nhân liên hợp

Định hướng. Đưa hiệu về dạng hiệu hai căn, nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp để tử thành số nguyên, khi đó dấu của hiệu lộ ra ngay.

a - b = 32 - 23 = 18 - 12

18 - 12 = \frac{( 18 - 12 ) ( 18 + 12 )}{18 + 12} = \frac{18 - 12}{18 + 12} = \frac{6}{18 + 12}

18 + 12 > 0

nên

a - b > 0

Vậy $a > b$ , tức $23 < 32$ .

Nhận xét. Cách 3 mạnh ở chỗ nó còn cho biết hiệu nhỏ cỡ nào: $18 + 12 < 5 + 4 = 9$ nên $a - b > \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ , tức hai số cách nhau hơn $\frac{2}{3}$ đơn vị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đúng ý đồ của bài học và chỉ mất hai dòng; Cách 3 để dành cho những bài mà hai số quá sát nhau, khi đó biết dấu của hiệu vẫn chưa đủ mà còn cần ước lượng độ chênh.

Đáp số.

23 = 12 < 18 = 32

, tức

b < a

Sai lầm thường gặp. Bình phương từng số hạng rồi so, viết

32 = 3 \cdot 2 = 6

và

23 = 2 \cdot 3 = 6

rồi kết luận hai số bằng nhau. Phản ví dụ bằng số:

32 \approx 4, 24

còn

23 \approx 3, 46

, khác hẳn nhau và đều khác

6 \approx 2, 45

. Lỗi thứ hai là ở Cách 2 quên điều kiện

b > 0

khi nhân chéo, vì với hai số âm thì thương lớn hơn

1

lại cho kết luận ngược.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: so

k m

với

h n

(với

k \geq 0

h \geq 0

) chính là so

k^{2} m

với

h^{2} n

— thử so

52

với

36

, vì

50 < 54

nên

52 < 36

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 56

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Luyện tập 3★Trang 56— Đưa thừa số vào trong dấu căn

Luyện tập 3 (trang 56). Đưa thừa số vào trong dấu căn:
a)

35

;
b)

- 27

Kiến thức cần nhớ

Với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ : $a b = a^{2} b$ .
Với $a < 0$ , $b \geq 0$ : $a b = - a^{2} b$ .
$a \cdot b = ab$ với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ .
Căn bậc hai số học luôn không âm.

🧠 Phân tích tư duy

Việc phải làm đầu tiên là nhìn dấu của thừa số đứng trước dấu căn: ý a) dương nên vào thẳng, ý b) âm nên dấu trừ phải ở lại ngoài dấu căn. Số dưới căn đều là số nguyên tố nên kết quả chắc chắn không rút gọn thêm được, khỏi phải kiểm tra lại. Bẫy: đưa cả dấu trừ vào trong căn, biến một số âm thành số dương.

1Cách 1. Áp dụng công thức theo dấu của thừa số

Định hướng. Xét dấu thừa số trước dấu căn rồi dùng đúng một trong hai công thức.

3 > 0

nên

35 = 3^{2} \cdot 5 = 45

- 2 < 0

nên

- 27 = - 2^{2} \cdot 7 = - 28

Vậy a) $35 = 45$ ; b) $- 27 = - 28$ .

2Cách 2. Viết hệ số thành một căn bậc hai rồi nhân hai căn

Định hướng. Thay số dương đứng trước bởi căn của bình phương của nó, rồi gộp hai căn lại thành một.

3 = 9

nên

35 = 9 \cdot 5 = 45

2 = 4

nên

27 = 4 \cdot 7 = 28

- 27 = - (27) = - 28

Vậy a) $45$ ; b) $- 28$ .

3Cách 3. Bình phương có xét dấu

Định hướng. Đặt tên cho mỗi số, bình phương để biết số dưới căn, rồi khai lại theo đúng dấu đã xác định.

a) Đặt

M = 35

, khi đó

M > 0

và

M^{2} = 9 \cdot 5 = 45

M > 0

nên

M = 45

b) Đặt

N = - 27

, khi đó

N < 0

và

- N = 27 > 0

(- N)^{2} = 4 \cdot 7 = 28

và

- N > 0

nên

- N = 28

N = - 28

Vậy a) $35 = 45$ ; b) $- 27 = - 28$ .

Nhận xét. Soát bằng phép ngược: $45 = 9 \cdot 5 = 35$ và $- 28 = - 4 \cdot 7 = - 27$ , đúng như đề.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi ý một dòng, chỉ phải nhớ đúng một điều là dấu trừ ở lại bên ngoài; Cách 3 tuy dài nhưng rất hợp khi thừa số là chữ chưa biết dấu.

Đáp số. a)

35 = 45

; b)

- 27 = - 28

Sai lầm thường gặp. Đưa cả dấu trừ vào trong dấu căn, viết

- 27 = (- 2)^{2} \cdot 7 = 28

. Phản ví dụ bằng số:

- 27 \approx - 5, 29

còn

28 \approx 5, 29

, hai số đối nhau. Lỗi thứ hai là quên bình phương hệ số, viết

35 = 15

, trong khi

35 \approx 6, 71

còn

15 \approx 3, 87

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

- k m = - k^{2} m

với

k \geq 0

m \geq 0

— thử đưa

- 43

vào trong dấu căn, đáp số là

- 48

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 56

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · HĐ3★Trang 56— Trục căn thức ở mẫu dạng một căn đơn

HĐ3 (trang 56). Nhân cả tử và mẫu của biểu thức

\frac{3 a}{2 2}

với

2

và viết biểu thức nhận được dưới dạng không có căn thức ở mẫu.

Kiến thức cần nhớ

$(a)^{2} = a$ với $a \geq 0$ .
Với $A$ , $B$ và $B > 0$ : $\frac{A}{B} = \frac{A B}{B}$ .
Nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một số khác $0$ thì giá trị của phân thức không đổi.
$a \cdot b = ab$ với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu chỉ có một căn thức

2

— dấu hiệu đơn giản nhất của phép trục căn thức: nhân cả tử và mẫu với chính căn đó, vì

2 \cdot 2 = 2

là số hữu tỉ. Chữ

a

ở tử không ảnh hưởng gì tới mẫu nên cứ để nguyên, chỉ nhớ rằng

22 \neq = 0

nên phân thức luôn xác định. Bẫy: nhân

2

vào tử mà quên nhân vào mẫu, làm biểu thức đổi giá trị.

1Cách 1. Nhân cả tử và mẫu với căn ở mẫu

Định hướng. Nhân cả tử và mẫu với $2$ đúng như đề yêu cầu, khi đó mẫu có $2 \cdot 2 = 2$ nên hết căn.

22 > 0

nên biểu thức luôn xác định

\frac{3 a}{2 2} = \frac{3 a \cdot 2}{2 2 \cdot 2} = \frac{3 a 2}{2 \cdot 2} = \frac{3 a 2}{4}

Vậy $\frac{3 a}{2 2} = \frac{3 a 2}{4}$ .

2Cách 2. Nhân cả tử và mẫu với chính cả mẫu

Định hướng. Nhân cả tử và mẫu với $22$ để mẫu thành bình phương của chính nó, sau đó rút gọn phân số.

\frac{3 a}{2 2} = \frac{3 a \cdot 2 2}{2 2 \cdot 2 2} = \frac{6 a 2}{( 2 2 ) ^{2}} = \frac{6 a 2}{8}

= \frac{3 a 2}{4}

Vậy $\frac{3 a}{2 2} = \frac{3 a 2}{4}$ .

3Cách 3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn ở thừa số

\frac{1}{2}

Định hướng. Tách riêng phần chứa căn thành $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ , khử mẫu dưới căn rồi ghép lại.

\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{2}{2}

\frac{3 a}{2 2} = \frac{3 a}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3 a}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{3 a 2}{4}

Vậy $\frac{3 a}{2 2} = \frac{3 a 2}{4}$ .

Nhận xét. Thử với $a = 4$ : $\frac{12}{2 2} = \frac{6}{2} \approx 4, 243$ và $\frac{12 2}{4} = 32 \approx 4, 243$ , khớp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ nhân thêm đúng

2

nên số ở mẫu nhỏ nhất, khỏi phải rút gọn phân số lần nữa; Cách 2 cho mẫu

8

rồi mới rút về

4

nên dài hơn.

Đáp số.

\frac{3 a}{2 2} = \frac{3 a 2}{4}

Sai lầm thường gặp. Chỉ nhân

2

vào tử mà giữ nguyên mẫu, viết

\frac{3 a}{2 2} = \frac{3 a 2}{2 2}

rồi rút gọn thành

\frac{3 a 2}{2}

. Phản ví dụ bằng số với

a = 4

: biểu thức ban đầu bằng

\frac{12}{2 2} \approx 4, 243

, còn

\frac{12 2}{2} \approx 8, 485

, gấp đôi. Lỗi thứ hai là viết

22 \cdot 2 = 24 = 4

rồi lại nhầm thành

2

, tức quên nhân hệ số

2

ở mẫu.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

\frac{A}{k B} = \frac{A B}{k B}

với

k \neq = 0

B > 0

— thử trục căn thức ở mẫu của

\frac{5 a}{3 5}

, đáp số là

\frac{a 5}{3}

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 56

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · HĐ4★★Trang 56— Trục căn thức ở mẫu bằng biểu thức liên hợp

HĐ4 (trang 56). Cho hai biểu thức

\frac{- 2}{3 + 1}

và

\frac{1}{3 - 2}

. Hãy thực hiện các yêu cầu sau để viết các biểu thức đó dưới dạng không có căn thức ở mẫu:
a) Xác định biểu thức liên hợp của mẫu.
b) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu.
c) Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để rút gọn mẫu của biểu thức nhận được.

Kiến thức cần nhớ

Biểu thức liên hợp của $A + B$ là $A - B$ ; của $A - B$ là $A + B$ .
$(A + B) (A - B) = A - B^{2}$ với $A \geq 0$ .
$(A + B) (A - B) = A - B$ với $A \geq 0$ , $B \geq 0$ .
Nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một biểu thức khác $0$ thì giá trị không đổi.

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu là một tổng hoặc hiệu có chứa căn — dấu hiệu bắt buộc phải nhân liên hợp chứ không nhân riêng từng căn, vì chỉ tích của hai biểu thức liên hợp mới cho hiệu hai bình phương và làm sạch căn. Liên hợp lấy bằng cách giữ nguyên hai số hạng và đổi dấu ở giữa. Bẫy: nhân thêm liên hợp vào tử mà quên nhân vào mẫu, hoặc lấy liên hợp của

3 + 1

là

- 3 - 1

1Cách 1. Làm theo đúng ba yêu cầu của đề

Định hướng. Viết liên hợp của mẫu, nhân cả tử và mẫu với nó, rồi dùng hiệu hai bình phương để mẫu thành số nguyên.

a) Liên hợp của

3 + 1

là

3 - 1

; liên hợp của

3 - 2

là

3 + 2

3 + 1 > 0

và

3 - 2 > 0

nên hai phân thức đều xác định

\frac{- 2}{3 + 1} = \frac{- 2 ( 3 - 1 )}{( 3 + 1 ) ( 3 - 1 )}

và

\frac{1}{3 - 2} = \frac{3 + 2}{( 3 - 2 ) ( 3 + 2 )}

(3 + 1) (3 - 1) = (3)^{2} - 1^{2} = 3 - 1 = 2

(3 - 2) (3 + 2) = 3 - 2 = 1

\frac{- 2}{3 + 1} = \frac{- 2 ( 3 - 1 )}{2} = 1 - 3

và

\frac{1}{3 - 2} = 3 + 2

Vậy $\frac{- 2}{3 + 1} = 1 - 3$ và $\frac{1}{3 - 2} = 3 + 2$ .

2Cách 2. Dùng công thức trục căn thức ở mẫu

Định hướng. Áp thẳng hai công thức trục căn thức ở mẫu đã học, chỉ cần nhận đúng vai trò của $A$ , $B$ , $C$ .

Với

A = 3

B = 1

C = - 2

\frac{C}{A + B} = \frac{C ( A - B )}{A - B ^{2}}

\frac{- 2}{3 + 1} = \frac{- 2 ( 3 - 1 )}{3 - 1 ^{2}} = \frac{- 2 ( 3 - 1 )}{2} = 1 - 3

Với

A = 3

B = 2

C = 1

\frac{C}{A - B} = \frac{C ( A + B )}{A - B}

\frac{1}{3 - 2} = \frac{3 + 2}{3 - 2} = 3 + 2

Vậy $1 - 3$ và $3 + 2$ .

3Cách 3. Phân tích tử thành tích chứa mẫu

Định hướng. Nhận ra tử chính là hiệu hai bình phương của mẫu và liên hợp, khi đó phân thức rút gọn thẳng mà không phải nhân thêm gì.

(3 + 1) (3 - 1) = 3 - 1 = 2

nên

- 2 = - (3 + 1) (3 - 1)

\frac{- 2}{3 + 1} = \frac{- ( 3 + 1 ) ( 3 - 1 )}{3 + 1} = - (3 - 1) = 1 - 3

(3 - 2) (3 + 2) = 3 - 2 = 1

nên

1 = (3 - 2) (3 + 2)

\frac{1}{3 - 2} = \frac{( 3 - 2 ) ( 3 + 2 )}{3 - 2} = 3 + 2

Vậy $\frac{- 2}{3 + 1} = 1 - 3$ và $\frac{1}{3 - 2} = 3 + 2$ .

Nhận xét. Soát bằng số: $3 \approx 1, 732$ nên $\frac{- 2}{2 , 732} \approx - 0, 732$ , đúng bằng $1 - 3$ ; còn $\frac{1}{1 , 732 - 1 , 414} \approx \frac{1}{0 , 318} \approx 3, 146 \approx 3 + 2$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đó là quy trình dùng được cho mọi mẫu có hai số hạng; Cách 3 rất đẹp nhưng chỉ chạy được khi tử vừa vặn bằng hiệu hai bình phương của mẫu.

Đáp số. a) Liên hợp lần lượt là

3 - 1

và

3 + 2

. b), c)

\frac{- 2}{3 + 1} = 1 - 3

và

\frac{1}{3 - 2} = 3 + 2

Sai lầm thường gặp. Nhân liên hợp vào tử mà quên nhân vào mẫu, viết

\frac{1}{3 - 2} = \frac{3 + 2}{3 - 2}

rồi coi như đã trục xong. Phản ví dụ bằng số: biểu thức ban đầu

\approx 3, 146

, còn

\frac{3 + 2}{3 - 2} \approx \frac{3 , 146}{0 , 318} \approx 9, 90

. Lỗi thứ hai là lấy liên hợp của

3 + 1

thành

- 3 - 1

, khi đó tích hai mẫu bằng

- (3 + 1)^{2}

vẫn còn căn nên không trục được.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

\frac{C}{A + B} = \frac{C ( A - B )}{A - B}

với

A \geq 0

B \geq 0

A \neq = B

— thử trục căn thức ở mẫu của

\frac{5}{7 - 2}

, đáp số là

7 + 2

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 56

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Ví dụ 5★★Trang 57— Trục căn thức ở mẫu

Ví dụ 5 (trang 57). Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức:
a)

\frac{2}{3 5}

;
b)

\frac{a}{3 - 2 2}

Kiến thức cần nhớ

Với $A$ , $B$ và $B > 0$ : $\frac{A}{B} = \frac{A B}{B}$ .
$(A - B) (A + B) = A^{2} - B^{2}$ .
$(k m)^{2} = k^{2} m$ với $m \geq 0$ .
Với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ : $a < b \Leftrightarrow a < b$ , nên $22 = 8 < 3$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai ý đại diện cho hai kiểu mẫu khác hẳn nhau: ý a) mẫu chỉ có một căn nên nhân thêm chính căn đó là đủ, ý b) mẫu là một hiệu nên bắt buộc phải nhân liên hợp

3 + 22

. Trước khi biến đổi phải chắc chắn mẫu khác

0

22 = 8 < 9 = 3

nên

3 - 22 > 0

. Bẫy ở ý b): tính

(22)^{2}

thành

2 \cdot 2 = 4

thay vì

4 \cdot 2 = 8

1Cách 1. Nhân thêm căn ở mẫu và nhân thêm liên hợp

Định hướng. Ý a) nhân cả tử và mẫu với $5$ ; ý b) nhân cả tử và mẫu với liên hợp $3 + 22$ của mẫu.

35 > 0

nên biểu thức xác định

\frac{2}{3 5} = \frac{2 \cdot 5}{3 5 \cdot 5} = \frac{2 5}{3 \cdot 5} = \frac{2 5}{15}

22 = 8 < 9 = 3

nên

3 - 22 > 0

, biểu thức xác định

\frac{a}{3 - 2 2} = \frac{a ( 3 + 2 2 )}{( 3 - 2 2 ) ( 3 + 2 2 )} = \frac{a ( 3 + 2 2 )}{3 ^{2} - ( 2 2 ) ^{2}}

= \frac{a ( 3 + 2 2 )}{9 - 8} = (3 + 22) a

Vậy a) $\frac{2 5}{15}$ ; b) $(3 + 22) a$ .

2Cách 2. Dùng công thức trục căn thức ở mẫu

Định hướng. Nhận đúng vai trò của các chữ trong hai công thức đã học rồi thay số vào.

\frac{A}{B} = \frac{A B}{B}

với

A = \frac{2}{3}

B = 5

\frac{2}{3 5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5} = \frac{2 5}{15}

\frac{C}{A - B}

với

A = 3

B = 22

tức

B = 8

C = a

\frac{a}{3 - 2 2} = \frac{a ( 3 + 2 2 )}{9 - 8} = (3 + 22) a

Vậy a) $\frac{2 5}{15}$ ; b) $(3 + 22) a$ .

3Cách 3. Khử mẫu dưới căn ở ý a) và nhận dạng bình phương ở ý b)

Định hướng. Ý a) đưa $\frac{1}{5}$ về $\frac{1}{5}$ rồi khử mẫu dưới căn; ý b) nhận ra $3 - 22$ là một bình phương đúng.

\frac{1}{5} = \frac{1}{5} = \frac{5}{25} = \frac{5}{5}

\frac{2}{3 5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5} = \frac{2 5}{15}

3 - 22 = (2)^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 1 + 1^{2} = (2 - 1)^{2}

và

(2 - 1) (2 + 1) = 1

\frac{a}{3 - 2 2} = \frac{a ( 2 + 1 ) ^{2}}{( 2 - 1 ) ^{2} ( 2 + 1 ) ^{2}} = \frac{a ( 2 + 1 ) ^{2}}{1} = a (3 + 22)

Vậy a) $\frac{2 5}{15}$ ; b) $(3 + 22) a$ .

Nhận xét. Soát bằng số ở ý b) với $a = 1$ : $3 - 22 \approx 0, 1716$ nên $\frac{1}{0 , 1716} \approx 5, 828$ , đúng bằng $3 + 22 \approx 5, 828$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một quy trình duy nhất là nhân thêm liên hợp, chạy được cho mọi mẫu, không phải nhớ công thức theo từng dạng; Cách 3 chỉ nhanh khi may mắn nhìn ra

3 - 22 = (2 - 1)^{2}

Đáp số. a)

\frac{2}{3 5} = \frac{2 5}{15}

; b)

\frac{a}{3 - 2 2} = (3 + 22) a

Sai lầm thường gặp. Bình phương sai ở mẫu, viết

(22)^{2} = 2 \cdot 2 = 4

nên mẫu thành

9 - 4 = 5

và đáp số ra

\frac{a ( 3 + 2 2 )}{5}

. Phản ví dụ bằng số với

a = 1

: giá trị đúng của biểu thức là

\frac{1}{3 - 2 2} \approx 5, 83

, còn

\frac{3 + 2 2}{5} \approx 1, 17

. Lỗi thứ hai là rút gọn ở ý a) khi tử và mẫu chưa cùng thừa số, viết

\frac{2 5}{15} = \frac{2}{3}

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

\frac{1}{A - k B} = \frac{A + k B}{A ^{2} - k ^{2} B}

khi

A^{2} \neq = k^{2} B

— thử trục căn thức ở mẫu của

\frac{1}{5 - 3 2}

, đáp số là

\frac{5 + 3 2}{7}

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 57

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Luyện tập 4★★★Trang 57— Trục căn thức ở mẫu của biểu thức chứa chữ

Luyện tập 4 (trang 57). Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:
a)

\frac{- 5 x ^{2} + 1}{2 3}

;
b)

\frac{a ^{2} - 2 a}{a + 2}

(a \geq 0, a \neq = 2)

Kiến thức cần nhớ

Với $A$ , $B$ và $B > 0$ : $\frac{A}{B} = \frac{A B}{B}$ .
$(A + B) (A - B) = A - B$ với $A \geq 0$ , $B \geq 0$ .
$x^{2} + 1 > 0$ với mọi $x$ nên $x^{2} + 1$ luôn xác định.
Với $a \geq 0$ : $(a)^{2} = a$ và $a a = (a)^{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a) mẫu chỉ có một căn nên nhân thêm

3

là xong; điều đáng để ý là

x^{2} + 1 > 0

với mọi

x

nên căn ở tử luôn xác định, không phải đặt thêm điều kiện. Ý b) mẫu là tổng hai căn nên phải nhân liên hợp

a - 2

, và điều kiện

a \neq = 2

của đề chính là để

a - 2 \neq = 0

sau khi trục. Bẫy ở ý b): nhân liên hợp xong quên rằng tử

a^{2} - 2 a

có nhân tử

a - 2

nên rút gọn được, để nguyên thì lời giải rất dài.

1Cách 1. Nhân thêm căn ở mẫu và nhân thêm liên hợp

Định hướng. Ý a) nhân cả tử và mẫu với $3$ ; ý b) nhân cả tử và mẫu với liên hợp $a - 2$ rồi rút gọn nhân tử chung.

x^{2} + 1 > 0

với mọi

x

nên biểu thức luôn xác định

\frac{- 5 x ^{2} + 1}{2 3} = \frac{- 5 x ^{2} + 1 \cdot 3}{2 3 \cdot 3} = \frac{- 5 3 ( x ^{2} + 1 )}{6} = \frac{- 5 3 x ^{2} + 3}{6}

a \geq 0

nên

a + 2 > 0

;

a \neq = 2

nên

a - 2 \neq = 0

\frac{a ^{2} - 2 a}{a + 2} = \frac{( a ^{2} - 2 a ) ( a - 2 )}{( a + 2 ) ( a - 2 )} = \frac{a ( a - 2 ) ( a - 2 )}{a - 2}

= a (a - 2) = a a - a 2

Vậy a) $\frac{- 5 3 x ^{2} + 3}{6}$ ; b) $a a - a 2$ .

2Cách 2. Dùng công thức trục căn thức ở mẫu

Định hướng. Áp thẳng hai công thức tổng quát, chỉ cần đặt đúng vai trò của các chữ.

\frac{A}{B} = \frac{A B}{B}

với

A = \frac{- 5 x ^{2} + 1}{2}

B = 3

\frac{- 5 x ^{2} + 1}{2 3} = \frac{- 5 x ^{2} + 1}{2} \cdot \frac{3}{3} = \frac{- 5 3 x ^{2} + 3}{6}

\frac{C}{A + B} = \frac{C ( A - B )}{A - B}

với

A = a

B = 2

C = a^{2} - 2 a

, điều kiện

a \geq 0

và

a \neq = 2

\frac{a ^{2} - 2 a}{a + 2} = \frac{( a ^{2} - 2 a ) ( a - 2 )}{a - 2} = a (a - 2)

Vậy a) $\frac{- 5 3 x ^{2} + 3}{6}$ ; b) $a a - a 2$ .

3Cách 3. Đưa thừa số vào trong căn và phân tích tử thành nhân tử

Định hướng. Ý a) gộp cả phân số vào một dấu căn rồi khử mẫu; ý b) phân tích tử thành tích có sẵn nhân tử $a + 2$ nên rút gọn thẳng, khỏi nhân liên hợp.

\frac{- 5 x ^{2} + 1}{2 3} = - \frac{5}{2} \frac{x ^{2} + 1}{3} = - \frac{5}{2} \cdot \frac{3 ( x ^{2} + 1 )}{3} = \frac{- 5 3 x ^{2} + 3}{6}

a \geq 0

a \neq = 2

;

a - 2 = (a)^{2} - (2)^{2} = (a - 2) (a + 2)

a^{2} - 2 a = a (a - 2) = a (a - 2) (a + 2)

\frac{a ^{2} - 2 a}{a + 2} = \frac{a ( a - 2 ) ( a + 2 )}{a + 2} = a a - a 2

Vậy a) $\frac{- 5 3 x ^{2} + 3}{6}$ ; b) $a a - a 2$ .

Nhận xét. Soát ý b) bằng số với $a = 8$ : $\frac{64 - 16}{8 + 2} = \frac{48}{3 2} = 82$ , còn $88 - 82 = 162 - 82 = 82$ , khớp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 ở ý b): thấy ngay

a - 2

là hiệu hai bình phương của

a

và

2

nên rút gọn một nhát, không phải nhân bung rồi mới rút; ý a) thì Cách 1 gọn nhất.

Đáp số. a)

\frac{- 5 3 x ^{2} + 3}{6}

; b)

a a - a 2

với

a \geq 0

a \neq = 2

Sai lầm thường gặp. Rút gọn mà quên điều kiện xác định: bỏ qua

a \neq = 2

rồi vẫn viết

\frac{a ( a - 2 ) ( a - 2 )}{a - 2} = a (a - 2)

cho mọi

a \geq 0

. Phản ví dụ: tại

a = 2

thì mẫu ban đầu

2 + 2 = 22 \neq = 0

nhưng sau khi nhân liên hợp mẫu thành

a - 2 = 0

, phép chia không thực hiện được — chính vì thế đề mới cho

a \neq = 2

. Lỗi thứ hai ở ý a) là viết

x^{2} + 1 = x + 1

, trong khi tại

x = - 3

thì

10 \approx 3, 16

còn

x + 1 = - 2

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

\frac{a ^{2} - b ^{2} a}{a + b}

với

a \geq 0

b > 0

a \neq = b^{2}

rút gọn thành

a (a - b)

— thử với

\frac{a ^{2} - 9 a}{a + 3}

, đáp số là

a a - 3 a

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 57

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Ví dụ 6★★Trang 58— Rút gọn biểu thức số chứa căn bậc hai

Ví dụ 6 (trang 58). Rút gọn biểu thức

A = 23 - 75 + (1 - 3)^{2}

Kiến thức cần nhớ

$A^{2} = ∣ A ∣$ ; $∣ A ∣ = - A$ khi $A < 0$ .
$a^{2} b = ∣ a ∣ b$ với $b \geq 0$ .
Với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ : $a < b \Leftrightarrow a < b$ , nên $1 = 1 < 3$ .
Các hạng tử cùng chứa $3$ cộng trừ được như những đơn thức đồng dạng.

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức gồm ba hạng tử thuộc ba kiểu khác nhau: một hạng tử đã gọn, một hạng tử có thừa số chính phương (

75 = 25 \cdot 3

) và một hạng tử là căn của bình phương. Dấu hiệu đó cho biết phải xử lí hai hạng tử sau về cùng dạng

k 3

thì mới gom lại được. Bẫy nằm ở hạng tử cuối:

1 - 3 < 0

nên khai căn phải đổi dấu, viết thẳng

(1 - 3)^{2} = 1 - 3

là sai.

1Cách 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn rồi phá trị tuyệt đối

Định hướng. Rút gọn $75$ về $53$ , khai hạng tử cuối ra dấu trị tuyệt đối rồi xét dấu, cuối cùng gom các hạng tử chứa $3$ .

75 = 5^{2} \cdot 3 = 53

1 = 1 < 3

nên

1 - 3 < 0

(1 - 3)^{2} = 1 - 3 = 3 - 1

A = 23 - 53 + (3 - 1) = (2 - 5 + 1) 3 - 1

A = - 23 - 1

Vậy $A = - 1 - 23$ .

2Cách 2. Khai triển rồi nhận dạng bình phương của một số dương

Định hướng. Tính hẳn số dưới căn cuối cùng, rồi viết số đó thành bình phương của một hiệu dương để khai căn khỏi cần trị tuyệt đối.

(1 - 3)^{2} = 1 - 23 + 3 = 4 - 23

4 - 23 = 3 - 23 + 1 = (3)^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 1 + 1^{2} = (3 - 1)^{2}

3 - 1 > 0

nên

4 - 23 = 3 - 1

A = 23 - 53 + 3 - 1 = - 23 - 1

Vậy $A = - 1 - 23$ .

3Cách 3. Đặt ẩn phụ

t = 3

Định hướng. Thay $3$ bằng một chữ để biểu thức thành đa thức quen thuộc, chỉ cần nhớ $t > 1$ .

Đặt

t = 3

, khi đó

t > 0

và

t^{2} = 3

t^{2} = 3 > 1

và

t > 0

nên

t > 1

, suy ra

1 - t < 0

75 = 25 \cdot 3 = 5 t

và

(1 - t)^{2} = ∣1 - t ∣ = t - 1

A = 2 t - 5 t + (t - 1) = - 2 t - 1

A = - 1 - 23

Vậy $A = - 1 - 23$ .

Nhận xét. Soát bằng số với $3 \approx 1, 732$ : $23 \approx 3, 464$ , $75 \approx 8, 660$ , $(1 - 3)^{2} \approx 0, 732$ , tổng $\approx - 4, 464$ ; còn $- 1 - 23 \approx - 4, 464$ , khớp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ hai dòng biến đổi, dùng đúng hai công thức trụ cột của bài học và không phải nhìn ra hằng đẳng thức nào; Cách 2 bắt buộc phải thấy

4 - 23 = (3 - 1)^{2}

nên dễ tắc.

Đáp số.

A = - 1 - 23

Sai lầm thường gặp. Khai căn của bình phương mà quên trị tuyệt đối khi biểu thức bên trong âm: viết

(1 - 3)^{2} = 1 - 3

rồi ra

A = - 33 + 1

. Phản ví dụ bằng số:

(1 - 3)^{2} \approx 0, 536

nên căn của nó

\approx 0, 732 > 0

, không thể bằng

1 - 3 \approx - 0, 732

. Lỗi thứ hai là rút gọn

75

thành

253

, tức quên khai căn thừa số chính phương.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

2 a - 25 a + (1 - a)^{2}

bằng

- 1 - 2 a

khi

a > 1

, nhưng bằng

1 - 4 a

khi

0 \leq a \leq 1

— thử với

a = \frac{1}{4}

để thấy đáp số đổi hẳn.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 58

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · Ví dụ 7★★★Trang 58— Trục căn thức ở mẫu và rút gọn biểu thức chứa chữ

Ví dụ 7 (trang 58).
a) Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1}

;

\frac{x ^{2} - x}{x + 1}

với

x > 1

.
b) Sử dụng kết quả câu a, rút gọn biểu thức

P = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} - \frac{x ^{2} - x}{x + 1}

với

x > 1

Kiến thức cần nhớ

$(x - 1) (x + 1) = x - 1$ với $x \geq 0$ .
$x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ và $x^{2} - x = x (x - 1)$ .
Với $x \geq 0$ : $x x = (x)^{3}$ và $(x)^{2} = x$ .
Với $x > 1$ thì $x > 1$ , do đó $x - 1 > 0$ và $x - 1 > 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu của hai phân thức là

x - 1

và

x + 1

— hai biểu thức liên hợp của nhau, tích của chúng bằng

x - 1

; đó là dấu hiệu nhân liên hợp. Điều kiện

x > 1

của đề chính là để

x - 1 > 0

, tức cả hai mẫu đều khác

0

, phải nêu rõ trước khi biến đổi. Bẫy: tử

x^{2} - 1

và

x^{2} - x

đều chia hết cho

x - 1

nên nếu không phân tích thành nhân tử mà cứ nhân bung ra thì bài dài gấp đôi.

1Cách 1. Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp

Định hướng. Nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu để mẫu thành $x - 1$ , rồi rút gọn với nhân tử $x - 1$ có sẵn ở tử.

x > 1

nên

x > 1

, do đó

x - 1 > 0

x + 1 > 0

và

x - 1 > 0

; hai biểu thức đều xác định
a)

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = \frac{( x ^{2} - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x + 1 )}{x - 1}

= (x + 1) (x + 1) = x x + x + x + 1

\frac{x ^{2} - x}{x + 1} = \frac{( x ^{2} - x ) ( x - 1 )}{( x + 1 ) ( x - 1 )} = \frac{x ( x - 1 ) ( x - 1 )}{x - 1} = x (x - 1) = x x - x

P = (x x + x + x + 1) - (x x - x) = 2 x + x + 1

Vậy a) $x x + x + x + 1$ và $x x - x$ ; b) $P = 2 x + x + 1$ .

2Cách 2. Phân tích tử thành nhân tử chứa sẵn mẫu

Định hướng. Viết $x - 1$ thành $(x - 1) (x + 1)$ ngay trong tử, khi đó mẫu triệt tiêu mà không phải nhân thêm gì.

x > 1

nên

x - 1 > 0

và

x + 1 > 0

, hai biểu thức đều xác định

x - 1 = (x)^{2} - 1^{2} = (x - 1) (x + 1)

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = \frac{( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = (x + 1) (x + 1) = x x + x + x + 1

\frac{x ^{2} - x}{x + 1} = \frac{x ( x - 1 ) ( x + 1 )}{x + 1} = x (x - 1) = x x - x

P = x x + x + x + 1 - x x + x = 2 x + x + 1

Vậy $P = 2 x + x + 1$ .

3Cách 3. Đặt ẩn phụ

t = x

Định hướng. Đặt $t = x$ thì hai phân thức thành phân thức đa thức của lớp 8, chia đa thức là xong.

Đặt

t = x

;

x > 1

nên

t > 1

, khi đó

x = t^{2}

t - 1 > 0

và

t + 1 > 0

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = \frac{t ^{4} - 1}{t - 1} = \frac{( t - 1 ) ( t ^{3} + t ^{2} + t + 1 )}{t - 1} = t^{3} + t^{2} + t + 1

\frac{x ^{2} - x}{x + 1} = \frac{t ^{4} - t ^{2}}{t + 1} = \frac{t ^{2} ( t - 1 ) ( t + 1 )}{t + 1} = t^{3} - t^{2}

P = (t^{3} + t^{2} + t + 1) - (t^{3} - t^{2}) = 2 t^{2} + t + 1

P = 2 x + x + 1

Vậy $P = 2 x + x + 1$ với $x > 1$ .

Nhận xét. Soát bằng số với $x = 4$ : $\frac{15}{1} - \frac{12}{3} = 15 - 4 = 11$ , còn $2 \cdot 4 + 4 + 1 = 11$ , khớp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: thấy ngay

x - 1 = (x - 1) (x + 1)

nên rút gọn một nhát, không phải nhân bung tích ba thừa số như Cách 1; Cách 3 hợp với bạn nào quen chia đa thức hơn quen căn thức.

Đáp số. a)

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x x + x + x + 1

và

\frac{x ^{2} - x}{x + 1} = x x - x

; b)

P = 2 x + x + 1

Sai lầm thường gặp. Rút gọn mà quên điều kiện xác định, làm bài với mọi

x \geq 0

rồi thay

x = 1

vào kết quả

P = 2 x + x + 1

được

4

. Phản ví dụ: tại

x = 1

thì mẫu

x - 1 = 0

nên

P

không xác định — chính vì thế đề phải cho

x > 1

. Lỗi thứ hai là trừ hai phân thức mà quên đổi dấu cả ngoặc, viết

P = x x + x + x + 1 - x x - x = x + 1

; thử

x = 4

cho

3

trong khi giá trị đúng là

11

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với

x > 1

thì

\frac{x ^{n} - 1}{x - 1} = (x + 1) (x^{n - 1} + x^{n - 2} + \dots + 1)

— thử với

n = 3

, tức rút gọn

\frac{x ^{3} - 1}{x - 1}

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 58

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · Luyện tập 5★★★Trang 58— Rút gọn biểu thức số chứa nhiều căn bậc hai

Luyện tập 5 (trang 58). Rút gọn biểu thức sau:

(\frac{22 - 11}{1 - 2} + \frac{21 - 7}{1 - 3}) (7 - 11)

Kiến thức cần nhớ

$ab = a \cdot b$ với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ .
$(A + B) (A - B) = A - B$ với $A \geq 0$ , $B \geq 0$ .
$\frac{- M}{M} = - 1$ với $M \neq = 0$ ; $1 - 2 \neq = 0$ và $1 - 3 \neq = 0$ .
$(a)^{2} = a$ với $a \geq 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Nhìn tử của phân thức thứ nhất:

22 = 11 \cdot 2

nên

22 = 11 \cdot 2

, tức tử có nhân tử chung

11

và phần còn lại là

2 - 1

— đúng bằng số đối của mẫu. Phân thức thứ hai cũng vậy với

21 = 7 \cdot 3

. Dấu hiệu đó cho biết mỗi phân thức rút gọn được thành một căn đơn, sau đó tích hai ngoặc lại là hiệu hai bình phương. Bẫy: lao vào nhân liên hợp ngay từ đầu thì vẫn ra nhưng dài gấp đôi, còn nếu quên rằng

1 - 2 < 0

thì sẽ nhầm dấu.

1Cách 1. Đặt nhân tử chung ở tử mỗi phân thức

Định hướng. Tách $22 = 112$ và $21 = 73$ để tử lộ ra nhân tử là số đối của mẫu, khi đó mỗi phân thức chỉ còn một căn.

1 - 2 \neq = 0

và

1 - 3 \neq = 0

nên biểu thức xác định

\frac{22 - 11}{1 - 2} = \frac{11 ( 2 - 1 )}{- ( 2 - 1 )} = - 11

\frac{21 - 7}{1 - 3} = \frac{7 ( 3 - 1 )}{- ( 3 - 1 )} = - 7

(- 11 - 7) (7 - 11) = (11 + 7) (11 - 7) = 11 - 7 = 4

Vậy biểu thức đã cho bằng $4$ .

2Cách 2. Trục căn thức ở mẫu từng phân thức

Định hướng. Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với liên hợp của mẫu, mẫu thành số nguyên rồi rút gọn tử.

\frac{22 - 11}{1 - 2} = \frac{( 22 - 11 ) ( 1 + 2 )}{( 1 - 2 ) ( 1 + 2 )} = \frac{22 + 44 - 11 - 22}{1 - 2}

= \frac{2 11 - 11}{- 1} = - 11

\frac{21 - 7}{1 - 3} = \frac{( 21 - 7 ) ( 1 + 3 )}{1 - 3} = \frac{21 + 63 - 7 - 21}{- 2} = \frac{3 7 - 7}{- 2} = - 7

(- 11 - 7) (7 - 11) = 11 - 7 = 4

Vậy biểu thức đã cho bằng $4$ .

3Cách 3. Đặt ẩn phụ cho hai căn chính

Định hướng. Gọi $u = 11$ , $w = 7$ thì mọi căn trong bài viết được qua $u$ , $w$ , $2$ , $3$ và bài thành phép rút gọn phân thức quen thuộc.

Đặt

u = 11

w = 7

với

u > 0

w > 0

u^{2} = 11

w^{2} = 7

22 = u 2

và

21 = w 3

\frac{u 2 - u}{1 - 2} = \frac{u ( 2 - 1 )}{- ( 2 - 1 )} = - u

và

\frac{w 3 - w}{1 - 3} = - w

(- u - w) (w - u) = (u + w) (u - w) = u^{2} - w^{2} = 11 - 7 = 4

Vậy biểu thức đã cho bằng $4$ .

Nhận xét. Soát bằng số: $\frac{22 - 11}{1 - 2} \approx \frac{4 , 690 - 3 , 317}{- 0 , 414} \approx - 3, 317$ và $\frac{21 - 7}{1 - 3} \approx - 2, 646$ ; tích $(- 5, 963) \cdot (2, 646 - 3, 317) \approx 4$ , khớp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần thấy

22 = 112

là mỗi phân thức rút gọn ngay trong một dòng; Cách 2 phải nhân bung bốn tích rồi mới thu gọn nên dài hơn hẳn.

Đáp số. Biểu thức đã cho bằng

4

Sai lầm thường gặp. Rút gọn nhầm dấu ở mẫu, coi

\frac{2 - 1}{1 - 2} = 1

nên mỗi phân thức ra

11

và

7

, kết quả cuối cùng thành

- 4

. Phản ví dụ bằng số:

\frac{22 - 11}{1 - 2} \approx \frac{1 , 373}{- 0 , 414} \approx - 3, 32

, đúng bằng

- 11

chứ không phải

+ 11

. Lỗi thứ hai là viết

22 = 11 + 2

, tức nhầm khai căn của tích với khai căn của tổng:

22 \approx 4, 69

còn

11 + 2 \approx 4, 73

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

\frac{2 m - m}{1 - 2} = - m

với mọi

m \geq 0

— thử với

m = 5

, tức rút gọn

\frac{10 - 5}{1 - 2}

, đáp số là

- 5

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 58

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · Vận dụng★★★Trang 58— Vận dụng trục căn thức ở mẫu vào công thức vật lí

Vận dụng (trang 58–59). Trong thuyết tương đối, khối lượng

m

(kg) của một vật khi chuyển động với tốc độ

v

(m/s) được cho bởi công thức

m = \frac{m _{0}}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}}

, trong đó

m_{0}

(kg) là khối lượng của vật khi đứng yên,

c

(m/s) là tốc độ của ánh sáng trong chân không (Theo sách Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).
a) Viết lại công thức tính khối lượng

m

dưới dạng không có căn thức ở mẫu.
b) Tính khối lượng

m

theo

m_{0}

(làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) khi vật chuyển động với tốc độ

v = \frac{1}{10} c

Kiến thức cần nhớ

Với $A$ , $B$ và $B > 0$ : $\frac{A}{B} = \frac{A B}{B}$ .
$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ với $a \geq 0$ , $b > 0$ .
$a^{2} b = ∣ a ∣ b$ ; với $c > 0$ thì $c^{2} = c$ .
$99 = 9 \cdot 11 = 311$ và $11 \approx 3, 3166$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu là một căn thức nên yêu cầu a) chính là phép trục căn thức ở mẫu: nhân cả tử và mẫu với chính căn đó. Trước khi biến đổi phải nói rõ điều kiện

0 \leq v < c

để biểu thức dưới căn dương, nếu không thì cả công thức vô nghĩa. Ở ý b) nên rút gọn

1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}

thành một phân số cụ thể trước rồi mới khai căn, vì

\frac{99}{100}

cho ngay

\frac{3 11}{10}

. Bẫy: thay

v = \frac{1}{10} c

mà quên bình phương, dùng

\frac{v}{c} = \frac{1}{10}

thay cho

\frac{v ^{2}}{c ^{2}} = \frac{1}{100}

1Cách 1. Nhân cả tử và mẫu với căn ở mẫu

Định hướng. Nhân cả tử và mẫu với $1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}$ để mẫu hết căn, rồi thay $v = \frac{1}{10} c$ vào.

c > 0

và

0 \leq v < c

nên

1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}} > 0

, công thức xác định
a)

m = \frac{m _{0}}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}} = \frac{m _{0} 1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}} \cdot 1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}} = \frac{m _{0} 1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}}

v = \frac{1}{10} c

nên

\frac{v ^{2}}{c ^{2}} = \frac{1}{100}

và

1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}} = \frac{99}{100}

\frac{99}{100} = \frac{99}{10} = \frac{3 11}{10}

m = \frac{m _{0} \cdot \frac{3 11}{10}}{\frac{99}{100}} = \frac{10 11}{33} m_{0} \approx 1, 005 m_{0}

Vậy a) $m = \frac{m _{0} 1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}}$ ; b) $m \approx 1, 005 m_{0}$ .

2Cách 2. Đưa

c

ra khỏi dấu căn trước

Định hướng. Quy biểu thức dưới căn về một phân số có mẫu $c^{2}$ , khai căn để $c$ ra ngoài, sau đó mới trục căn thức.

c > 0

và

0 \leq v < c

nên

c^{2} - v^{2} > 0

1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}} = \frac{c ^{2} - v ^{2}}{c ^{2}} = \frac{c ^{2} - v ^{2}}{c}

m = \frac{m _{0} c}{c ^{2} - v ^{2}} = \frac{m _{0} c c ^{2} - v ^{2}}{c ^{2} - v ^{2}}

v = \frac{1}{10} c

nên

c^{2} - v^{2} = c^{2} - \frac{c ^{2}}{100} = \frac{99 c ^{2}}{100}

và

c^{2} - v^{2} = \frac{c 99}{10} = \frac{3 c 11}{10}

m = \frac{m _{0} c}{\frac{3 c 11}{10}} = \frac{10 m _{0}}{3 11} = \frac{10 11}{33} m_{0} \approx 1, 005 m_{0}

Vậy a) $m = \frac{m _{0} c c ^{2} - v ^{2}}{c ^{2} - v ^{2}}$ ; b) $m \approx 1, 005 m_{0}$ .

3Cách 3. Bình phương có điều kiện rồi khai lại

Định hướng. Khối lượng luôn dương nên bình phương hai vế để mất căn, tính xong mới khai lại và lấy giá trị dương.

m_{0} > 0

c > 0

0 \leq v < c

nên

m > 0

m^{2} = \frac{m _{0}^{2}}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}} = \frac{m _{0}^{2} c ^{2}}{c ^{2} - v ^{2}}

m > 0

nên

m = \frac{m _{0} c}{c ^{2} - v ^{2}} = \frac{m _{0} c c ^{2} - v ^{2}}{c ^{2} - v ^{2}}

v = \frac{1}{10} c

nên

m^{2} = \frac{m _{0}^{2}}{\frac{99}{100}} = \frac{100}{99} m_{0}^{2}

m > 0

nên

m = \frac{10 m _{0}}{99} = \frac{10 m _{0}}{3 11} = \frac{10 11}{33} m_{0}

11 \approx 3, 3166

nên

m \approx \frac{33 , 166}{33} m_{0} \approx 1, 005 m_{0}

Vậy $m = \frac{10 11}{33} m_{0} \approx 1, 005 m_{0}$ .

Nhận xét. Ở tốc độ bằng một phần mười tốc độ ánh sáng, khối lượng mới tăng khoảng $0, 5%$ ; nhưng nếu $v = \frac{9}{10} c$ thì $1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}} = \frac{19}{100}$ và $m \approx 2, 294 m_{0}$ , tức tăng hơn gấp đôi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đưa

c

ra khỏi dấu căn trước nên công thức cuối gọn và dễ đọc, lại tính số rất nhanh; Cách 1 giữ nguyên phân số tầng nên viết dài và dễ rối dấu phân số.

Đáp số. a)

m = \frac{m _{0} 1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}}

, cũng viết được gọn hơn là

m = \frac{m _{0} c c ^{2} - v ^{2}}{c ^{2} - v ^{2}}

; b)

m = \frac{10 11}{33} m_{0} \approx 1, 005 m_{0}

Sai lầm thường gặp. Thay

v = \frac{1}{10} c

mà quên bình phương, dùng

\frac{v ^{2}}{c ^{2}} = \frac{1}{10}

nên ra

m = \frac{m _{0}}{0 , 9} \approx 1, 054 m_{0}

. Phản ví dụ kiểm tra ngược: với

m = 1, 054 m_{0}

thì

1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}} = \frac{1}{1 , 05 4 ^{2}} \approx 0, 9

, tức

\frac{v}{c} \approx 0, 316

chứ không phải

0, 1

. Lỗi thứ hai là rút gọn

1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}

thành

1 - \frac{v}{c}

: với

\frac{v}{c} = \frac{1}{10}

thì vế trái

\approx 0, 995

còn vế phải bằng

0, 9

🚀 Mở rộng. Tổng quát: đặt

k = \frac{v}{c}

với

0 \leq k < 1

thì

m = \frac{m _{0}}{1 - k ^{2}}

, nên

m

tăng vọt khi

k

tiến tới

1

— thử tính với

k = \frac{3}{5}

, đáp số là

m = \frac{5}{4} m_{0} = 1, 25 m_{0}

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 58–59

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · Bài 3.17★★★Trang 59— Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Bài 3.17 (trang 59). Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
a)

75

;
b)

27 a

(a \geq 0)

;
c)

502 + 100

;
d)

95 - 18

Kiến thức cần nhớ

$a^{2} b = ∣ a ∣ b$ với $b \geq 0$ ; khi $a > 0$ thì bằng $a b$ .
$ab = a \cdot b$ với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ .
Với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ : $a < b \Leftrightarrow a < b$ , nên $5 > 4 = 2$ .
Căn thức $A$ xác định khi và chỉ khi $A \geq 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai ý đầu là dạng quen: tìm thừa số chính phương lớn nhất của số dưới căn. Hai ý sau khác hẳn — dưới căn là một tổng, một hiệu có chứa căn, nên dấu hiệu là phải đặt nhân tử chung trước đã, rồi mới thấy thừa số chính phương (

502 + 100 = 25 (22 + 4)

và

95 - 18 = 9 (5 - 2)

). Trước khi khai căn phải kiểm tra biểu thức dưới căn không âm:

5 > 2

vì

5 > 4

. Bẫy: ở ý d) tưởng

95 - 18

âm rồi kết luận căn thức không xác định.

1Cách 1. Tách thừa số chính phương lớn nhất, có đặt nhân tử chung

Định hướng. Ý a), b) tách thẳng thừa số chính phương; ý c), d) đặt nhân tử chung của biểu thức dưới căn trước rồi mới khai căn.

75 = 25 \cdot 3 = 5^{2} \cdot 3

nên

75 = 53

a \geq 0

nên

27 a \geq 0

;

27 = 9 \cdot 3 = 3^{2} \cdot 3

nên

27 a = 3 3 a

502 + 100 = 25 (22 + 4)

và

22 + 4 > 0

502 + 100 = 5^{2} (4 + 22) = 5 4 + 22

5 > 4

nên

5 > 2

, do đó

5 - 2 > 0

và

95 - 18 > 0

95 - 18 = 9 (5 - 2) = 3^{2} (5 - 2)

95 - 18 = 3 5 - 2

Vậy a) $53$ ; b) $3 3 a$ ; c) $5 4 + 22$ ; d) $3 5 - 2$ .

2Cách 2. Phân tích ra thừa số nguyên tố rồi tách căn của một tích

Định hướng. Phân tích hệ số ra thừa số nguyên tố để chắc chắn không bỏ sót luỹ thừa chẵn, rồi tách căn của tích thành tích hai căn.

75 = 3 \cdot 5^{2}

nên

75 = 5^{2} \cdot 3 = 53

27 = 3^{3} = 3^{2} \cdot 3

nên

27 a = 3^{2} \cdot 3 a = 3 3 a

502 + 100 = 2 \cdot 5^{2} 2 + 2^{2} \cdot 5^{2} = 5^{2} (22 + 4)

502 + 100 = 5^{2} \cdot 4 + 22 = 5 4 + 22

95 - 18 = 3^{2} 5 - 2 \cdot 3^{2} = 3^{2} (5 - 2)

với

5 - 2 > 0

95 - 18 = 3^{2} \cdot 5 - 2 = 3 5 - 2

Vậy a) $53$ ; b) $3 3 a$ ; c) $5 4 + 22$ ; d) $3 5 - 2$ .

3Cách 3. Đặt hệ số cần tìm rồi bình phương

Định hướng. Kết quả có dạng $k$ nhân với một căn thức, $k \geq 0$ ; bình phương hai vế là tìm được $k$ mà không cần nhìn ra thừa số chính phương.

a) Đặt

75 = k 3

với

k \geq 0

;

75 = 3 k^{2}

nên

k^{2} = 25

và

k = 5

a > 0

: đặt

27 a = k 3 a

với

k \geq 0

;

27 a = 3 a k^{2}

nên

k^{2} = 9

và

k = 3

; với

a = 0

hai vế cùng bằng

0

c) Đặt

502 + 100 = k 4 + 22

với

k \geq 0

502 + 100 = k^{2} (4 + 22)

và

502 + 100 = 25 (4 + 22)

nên

k^{2} = 25

k = 5

d) Đặt

95 - 18 = k 5 - 2

với

k \geq 0

95 - 18 = 9 (5 - 2)

nên

k^{2} = 9

k = 3

Vậy a) $53$ ; b) $3 3 a$ ; c) $5 4 + 22$ ; d) $3 5 - 2$ .

Nhận xét. Soát ý c) bằng số: $502 + 100 \approx 170, 71$ nên căn của nó $\approx 13, 066$ ; còn $5 4 + 22 \approx 5 \cdot 2, 6131 \approx 13, 066$ , khớp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai ý đầu nhìn là ra, hai ý sau chỉ cần thêm một bước đặt nhân tử chung; Cách 3 chậm hơn nhưng rất đáng dùng để soát lại đáp số ở hai ý cuối.

Đáp số. a)

53

; b)

3 3 a

với

a \geq 0

; c)

5 4 + 22

; d)

3 5 - 2

Sai lầm thường gặp. Ở ý d) so

95

với

18

bằng cảm tính, thấy

5 < 3

rồi kết luận

95 < 18

nên căn thức không xác định. Phản ví dụ bằng số:

95 \approx 20, 12 > 18

, phải so

5

với

2

chứ không phải với

3

. Lỗi thứ hai là đưa thừa số ra ngoài mà quên khai căn, viết

502 + 100 = 25 4 + 22

trong khi hệ số đúng là

25 = 5

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

k^{2} (A m + B) = k A m + B

khi

k > 0

và

A m + B \geq 0

— thử với

165 - 32

, đáp số là

4 5 - 2

; đổi

5

thành

3

thì

163 - 32

lại không xác định vì

3 < 2

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 59

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · Bài 3.18★★Trang 59— Đưa thừa số vào trong dấu căn

Bài 3.18 (trang 59). Đưa thừa số vào trong dấu căn:
a)

32

;
b)

- 27

;
c)

4 \frac{15}{2}

;
d)

- 5 \frac{16}{5}

Kiến thức cần nhớ

Với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ : $a b = a^{2} b$ .
Với $a < 0$ , $b \geq 0$ : $a b = - a^{2} b$ .
$a \cdot b = ab$ với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ .
$\frac{a}{b} = \frac{ab}{b}$ với $a \geq 0$ , $b > 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi ý chỉ cần trả lời hai câu hỏi: thừa số ngoài dương hay âm, và số dưới căn có phải phân số hay không. Dương thì vào thẳng, âm thì để dấu trừ ở ngoài; còn phân số dưới căn thì cứ nhân bình phương hệ số vào tử rồi rút gọn, mẫu tự triệt tiêu ở hai ý c), d). Bẫy: ý d) vừa có dấu âm vừa có phân số nên rất dễ mất dấu trừ hoặc rút gọn nhầm.

1Cách 1. Áp dụng công thức theo dấu của thừa số

Định hướng. Xét dấu thừa số ngoài rồi bình phương nó và nhân vào biểu thức dưới căn.

3 > 0

nên

32 = 3^{2} \cdot 2 = 18

- 2 < 0

nên

- 27 = - 2^{2} \cdot 7 = - 28

4 > 0

nên

4 \frac{15}{2} = 4^{2} \cdot \frac{15}{2} = \frac{240}{2} = 120

- 5 < 0

nên

- 5 \frac{16}{5} = - 5^{2} \cdot \frac{16}{5} = - \frac{400}{5} = - 80

Vậy a) $18$ ; b) $- 28$ ; c) $120$ ; d) $- 80$ .

2Cách 2. Viết hệ số thành một căn bậc hai rồi nhân hai căn

Định hướng. Thay số dương đứng trước bởi căn của bình phương của nó rồi gộp hai căn thành một, dấu trừ giữ nguyên ở ngoài.

32 = 9 \cdot 2 = 18

- 27 = - (4 \cdot 7) = - 28

4 \frac{15}{2} = 16 \cdot \frac{15}{2} = 16 \cdot \frac{15}{2} = 120

- 5 \frac{16}{5} = - (25 \cdot \frac{16}{5}) = - 25 \cdot \frac{16}{5} = - 80

Vậy a) $18$ ; b) $- 28$ ; c) $120$ ; d) $- 80$ .

3Cách 3. Bình phương có xét dấu

Định hướng. Đặt tên cho từng biểu thức, bình phương để tìm số dưới căn rồi khai lại theo đúng dấu đã xác định.

M = 32 > 0

và

M^{2} = 9 \cdot 2 = 18

nên

M = 18

N = - 27 < 0

(- N)^{2} = 4 \cdot 7 = 28

và

- N > 0

nên

- N = 28

, do đó

N = - 28

P = 4 \frac{15}{2} > 0

và

P^{2} = 16 \cdot \frac{15}{2} = 120

nên

P = 120

Q = - 5 \frac{16}{5} < 0

(- Q)^{2} = 25 \cdot \frac{16}{5} = 80

và

- Q > 0

nên

- Q = 80

, do đó

Q = - 80

Vậy a) $18$ ; b) $- 28$ ; c) $120$ ; d) $- 80$ .

Nhận xét. Ở c), d) cũng có thể khử mẫu dưới căn trước: $4 \frac{15}{2} = 4 \cdot \frac{30}{2} = 230 = 120$ và $- 5 \frac{16}{5} = - 5 \cdot \frac{4 5}{5} = - 45 = - 80$ , cùng đáp số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng cho mỗi ý, chỉ phải nhớ đúng một điều là dấu trừ ở lại ngoài dấu căn; Cách 3 nên dùng khi hệ số là biểu thức chứa chữ chưa rõ dấu.

Đáp số. a)

18

; b)

- 28

; c)

120

; d)

- 80

Sai lầm thường gặp. Đưa cả dấu trừ vào trong dấu căn, viết

- 5 \frac{16}{5} = 25 \cdot \frac{16}{5} = 80

. Phản ví dụ bằng số:

- 5 \frac{16}{5} \approx - 8, 944

còn

80 \approx 8, 944

, hai số đối nhau. Lỗi thứ hai là ở ý c) nhân hệ số vào mà không bình phương, viết

4 \frac{15}{2} = \frac{60}{2} = 30

, trong khi

4 7, 5 \approx 10, 95

còn

30 \approx 5, 48

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

k \frac{m}{k} = k m

với

k > 0

m \geq 0

— chính vì thế ý d) cho

80

; thử với

7 \frac{9}{7}

, đáp số là

63

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 59

Mở bài này trong app ↗

Bài 22 · Bài 3.19★★★Trang 59— Khử mẫu của biểu thức lấy căn có chứa chữ

Bài 3.19 (trang 59). Khử mẫu trong dấu căn:
a)

2 a \cdot \frac{3}{5}

;
b)

- 3 x \cdot \frac{5}{x}

(x > 0)

;
c)

- \frac{3 a}{b}

(a \geq 0, b > 0)

Kiến thức cần nhớ

$\frac{a}{b} = \frac{ab}{∣ b ∣}$ với $\frac{a}{b} \geq 0$ , $b \neq = 0$ ; khi $b > 0$ thì bằng $\frac{ab}{b}$ .
$A^{2} = ∣ A ∣$ ; với $x > 0$ thì $x^{2} = x$ .
$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ với $a \geq 0$ , $b > 0$ .
Thừa số đứng ngoài dấu căn không cần điều kiện về dấu, chỉ biểu thức dưới căn mới cần.

🧠 Phân tích tư duy

Cả ba ý đều có phân số dưới dấu căn — dấu hiệu của phép khử mẫu: nhân cả tử và mẫu dưới căn với mẫu để mẫu thành bình phương. Điều kiện của đề chính là để mẫu dưới căn khác

0

và biểu thức dưới căn không âm, phải nêu lại trước khi biến đổi. Bẫy lớn nhất ở ý b) và c): sau khi khai căn ta được

\frac{5 x}{∣ x ∣}

và

\frac{3 ab}{∣ b ∣}

, chỉ nhờ giả thiết

x > 0

b > 0

mới bỏ được dấu trị tuyệt đối.

1Cách 1. Nhân cả tử và mẫu dưới căn với mẫu

Định hướng. Nhân cả tử và mẫu của phân số dưới căn với chính mẫu để mẫu thành bình phương, rồi khai căn và nhân với thừa số ngoài.

\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5}{5 ^{2}} = \frac{15}{5}

nên

2 a \cdot \frac{3}{5} = \frac{2 a 15}{5}

x > 0

nên

\frac{5}{x} > 0

và

x^{2} = x

\frac{5}{x} = \frac{5 x}{x ^{2}} = \frac{5 x}{x}

- 3 x \cdot \frac{5}{x} = - 3 x \cdot \frac{5 x}{x} = - 3 5 x

a \geq 0

b > 0

nên

\frac{3 a}{b} \geq 0

và

b^{2} = b

\frac{3 a}{b} = \frac{3 ab}{b ^{2}} = \frac{3 ab}{b}

nên

- \frac{3 a}{b} = - \frac{3 ab}{b}

Vậy a) $\frac{2 a 15}{5}$ ; b) $- 3 5 x$ ; c) $- \frac{3 ab}{b}$ .

2Cách 2. Tách căn của thương rồi trục căn thức ở mẫu

Định hướng. Tách thành thương hai căn, rồi nhân cả tử và mẫu với căn ở mẫu để mẫu hết căn.

\frac{3}{5} = \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{15}{5}

2 a \cdot \frac{3}{5} = \frac{2 a 15}{5}

x > 0

\frac{5}{x} = \frac{5}{x} = \frac{5 \cdot x}{x \cdot x} = \frac{5 x}{x}

- 3 x \cdot \frac{5 x}{x} = - 3 5 x

a \geq 0

b > 0

\frac{3 a}{b} = \frac{3 a}{b} = \frac{3 a \cdot b}{b \cdot b} = \frac{3 ab}{b}

- \frac{3 a}{b} = - \frac{3 ab}{b}

Vậy a) $\frac{2 a 15}{5}$ ; b) $- 3 5 x$ ; c) $- \frac{3 ab}{b}$ .

3Cách 3. Đưa thừa số ngoài vào trong dấu căn trước

Định hướng. Gộp tất cả vào một dấu căn duy nhất, rút gọn phân số dưới căn rồi mới đưa trở ra ngoài; cách này thấy rất rõ vì sao mẫu biến mất ở ý b).

a) Với

a \geq 0

2 a \cdot \frac{3}{5} = 4 a^{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{12 a ^{2}}{5} = \frac{60 a ^{2}}{25} = \frac{2 a 15}{5}

Với

a < 0

2 a \cdot \frac{3}{5} = - \frac{60 a ^{2}}{25} = - \frac{2∣ a ∣ 15}{5} = \frac{2 a 15}{5}

, cùng một kết quả
b)

x > 0

nên

- 3 x < 0

, do đó

- 3 x \cdot \frac{5}{x} = - 9 x^{2} \cdot \frac{5}{x} = - 45 x

45 = 9 \cdot 5

nên

- 45 x = - 3 5 x

a \geq 0

b > 0

nên

- \frac{3 a}{b} = - \frac{3 ab}{b ^{2}} = - \frac{1}{b} 3 ab

Vậy a) $\frac{2 a 15}{5}$ ; b) $- 3 5 x$ ; c) $- \frac{3 ab}{b}$ .

Nhận xét. Soát ý b) bằng số với $x = 5$ : $- 3 \cdot 5 \cdot 1 = - 15$ , còn $- 325 = - 15$ , khớp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một quy trình duy nhất là nhân cả tử và mẫu dưới căn với mẫu, chạy được cho cả ba ý; Cách 3 phải chia trường hợp theo dấu của thừa số ngoài nên chỉ hợp khi muốn kiểm tra lại.

Đáp số. a)

\frac{2 a 15}{5}

; b)

- 3 5 x

với

x > 0

; c)

- \frac{3 ab}{b}

với

a \geq 0

b > 0

Sai lầm thường gặp. Khử mẫu mà quên dấu trị tuyệt đối, viết

\frac{a}{b} = \frac{ab}{b}

cho mọi

b \neq = 0

vì cho rằng

b^{2} = b

. Phản ví dụ bằng số: với

a = - 3

b = - 12

thì

\frac{- 3}{- 12} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2} > 0

, còn

\frac{36}{- 12} = - \frac{1}{2} < 0

; công thức đúng phải là

\frac{ab}{∣ b ∣}

, chỉ nhờ giả thiết

b > 0

của đề mới viết được mẫu là

b

. Lỗi thứ hai là ở ý a) tự thêm điều kiện

a \geq 0

rồi loại giá trị âm của

a

, trong khi

a

nằm ngoài dấu căn nên nhận mọi giá trị.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với

x > 0

thì

k x \frac{m}{x} = k m x

— mẫu dưới căn triệt tiêu hẳn với thừa số ngoài; thử với

2 x \frac{7}{x}

, đáp số là

2 7 x

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 59

Mở bài này trong app ↗

Bài 23 · Bài 3.20★★Trang 59— Trục căn thức ở mẫu

Bài 3.20 (trang 59). Trục căn thức ở mẫu:
a)

\frac{4 + 3 5}{5}

;
b)

\frac{1}{5 - 2}

;
c)

\frac{3 + 3}{1 - 3}

;
d)

\frac{2}{3 + 2}

Kiến thức cần nhớ

Với $A$ , $B$ và $B > 0$ : $\frac{A}{B} = \frac{A B}{B}$ .
$\frac{C}{A - B} = \frac{C ( A + B )}{A - B ^{2}}$ với $A \geq 0$ , $A \neq = B^{2}$ .
$\frac{C}{A + B} = \frac{C ( A - B )}{A - B}$ với $A \geq 0$ , $B \geq 0$ , $A \neq = B$ .
$(a)^{2} = a$ với $a \geq 0$ ; $a \cdot b = ab$ .

🧠 Phân tích tư duy

Nhìn mẫu là biết ngay phải làm gì: mẫu chỉ có một căn như ý a) thì nhân thêm chính căn đó; mẫu có hai số hạng như ý b), c), d) thì nhân thêm biểu thức liên hợp. Trước khi nhân phải kiểm tra mẫu khác

0

5 > 2

vì

5 > 4

, và

1 - 3 < 0

vì

3 > 1

. Bẫy ở ý c): kết quả là số âm, nếu quên dấu của mẫu

1 - 3

thì đáp số sẽ sai dấu.

1Cách 1. Nhân thêm căn ở mẫu hoặc nhân thêm liên hợp

Định hướng. Ý a) nhân cả tử và mẫu với $5$ ; ba ý còn lại nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu rồi rút gọn.

\frac{4 + 3 5}{5} = \frac{( 4 + 3 5 ) 5}{5 \cdot 5} = \frac{4 5 + 15}{5}

5 > 4

nên

5 > 2

và

5 - 2 > 0

\frac{1}{5 - 2} = \frac{5 + 2}{( 5 - 2 ) ( 5 + 2 )} = \frac{5 + 2}{5 - 4} = 5 + 2

3 > 1

nên

3 > 1

và

1 - 3 < 0

, mẫu khác

0

\frac{3 + 3}{1 - 3} = \frac{( 3 + 3 ) ( 1 + 3 )}{( 1 - 3 ) ( 1 + 3 )} = \frac{3 + 3 3 + 3 + 3}{1 - 3} = \frac{6 + 4 3}{- 2} = - 3 - 23

\frac{2}{3 + 2} = \frac{2 ( 3 - 2 )}{( 3 + 2 ) ( 3 - 2 )} = \frac{6 - 2}{3 - 2} = 6 - 2

Vậy a) $\frac{4 5 + 15}{5}$ ; b) $5 + 2$ ; c) $- 3 - 23$ ; d) $6 - 2$ .

2Cách 2. Dùng công thức trục căn thức ở mẫu

Định hướng. Nhận đúng vai trò của $A$ , $B$ , $C$ trong ba công thức đã học rồi thay số, khỏi phải nhân bung.

\frac{A}{B} = \frac{A B}{B}

với

A = 4 + 35

B = 5

: kết quả

\frac{4 5 + 15}{5}

\frac{C}{A - B} = \frac{C ( A + B )}{A - B ^{2}}

với

A = 5

B = 2

C = 1

: kết quả

\frac{5 + 2}{5 - 4} = 5 + 2

\frac{C}{B - A} = \frac{C ( B + A )}{B ^{2} - A}

với

A = 3

B = 1

C = 3 + 3

\frac{3 + 3}{1 - 3} = \frac{( 3 + 3 ) ( 1 + 3 )}{1 - 3} = \frac{6 + 4 3}{- 2} = - 3 - 23

\frac{C}{A + B} = \frac{C ( A - B )}{A - B}

với

A = 3

B = 2

C = 2

: kết quả

6 - 2

Vậy a) $\frac{4 5 + 15}{5}$ ; b) $5 + 2$ ; c) $- 3 - 23$ ; d) $6 - 2$ .

3Cách 3. Tách phân thức và phân tích tử thành nhân tử

Định hướng. Ý a) tách thành hai phân thức đơn giản; các ý sau viết tử thành tích chứa sẵn mẫu để rút gọn thẳng, khỏi nhân liên hợp.

\frac{4 + 3 5}{5} = \frac{4}{5} + \frac{3 5}{5} = \frac{4 5}{5} + 3 = \frac{4 5 + 15}{5}

(5 - 2) (5 + 2) = 5 - 4 = 1

nên

\frac{1}{5 - 2} = \frac{( 5 - 2 ) ( 5 + 2 )}{5 - 2} = 5 + 2

3 + 3 = 3 (3 + 1)

và

1 - 3 = - (3 - 1)

\frac{3 + 1}{3 - 1} = \frac{( 3 + 1 ) ^{2}}{( 3 - 1 ) ( 3 + 1 )} = \frac{4 + 2 3}{2} = 2 + 3

\frac{3 + 3}{1 - 3} = - 3 (2 + 3) = - 23 - 3

(3 + 2) (3 - 2) = 1

nên

\frac{1}{3 + 2} = 3 - 2

\frac{2}{3 + 2} = 2 (3 - 2) = 6 - 2

Vậy a) $\frac{4 5 + 15}{5}$ ; b) $5 + 2$ ; c) $- 3 - 23$ ; d) $6 - 2$ .

Nhận xét. Soát ý c) bằng số: $\frac{3 + 1 , 732}{1 - 1 , 732} \approx \frac{4 , 732}{- 0 , 732} \approx - 6, 46$ , còn $- 3 - 23 \approx - 6, 46$ , khớp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một thao tác là nhân thêm liên hợp, dùng chung cho cả bốn ý và không phải nhớ công thức theo từng dạng; Cách 3 đẹp nhưng đòi hỏi nhìn ra tích liên hợp bằng

1

Đáp số. a)

\frac{4 5 + 15}{5}

; b)

5 + 2

; c)

- 3 - 23

; d)

6 - 2

Sai lầm thường gặp. Nhầm dấu ở ý c) do lấy liên hợp của

1 - 3

thành

3 - 1

, khi đó mẫu ra

(1 - 3) (3 - 1) = - (3 - 1)^{2} = - (4 - 23)

vẫn còn căn nên không trục được, nhiều bạn lại viết đại thành

2

rồi ra

3 + 23

. Phản ví dụ bằng số: giá trị đúng của biểu thức là

\approx - 6, 46

, còn

3 + 23 \approx 6, 46

là số dương. Lỗi thứ hai là ở ý a) rút gọn

\frac{4 5 + 15}{5}

thành

45 + 3

, tức chỉ chia một hạng tử cho mẫu.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

\frac{1}{n + 1 + n} = n + 1 - n

với mọi

n \geq 0

vì tích hai liên hợp bằng

1

— thử với

n = 24

, tức trục căn thức ở mẫu của

\frac{1}{5 + 24}

, đáp số là

5 - 26

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 59

Mở bài này trong app ↗

Bài 24 · Bài 3.21★★★Trang 59— Rút gọn biểu thức số phối hợp nhiều phép biến đổi

Bài 3.21 (trang 59). Rút gọn các biểu thức sau:
a)

2 \frac{2}{3} - 4 \frac{3}{2}

;
b)

\frac{5 48 - 3 27 + 2 12}{3}

;
c)

\frac{1}{3 + 2 2} + \frac{4 2 - 4}{2 - 2}

Kiến thức cần nhớ

$\frac{a}{b} = \frac{ab}{b}$ với $a \geq 0$ , $b > 0$ .
$a^{2} b = ∣ a ∣ b$ với $b \geq 0$ .
$(A - B) (A + B) = A^{2} - B^{2}$ ; $(k m)^{2} = k^{2} m$ .
$2 - 2 = 2 (2 - 1)$ và $3 + 22 = (2 + 1)^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi ý dùng một phép biến đổi chủ đạo khác nhau: ý a) có phân số dưới căn nên phải khử mẫu để hai hạng tử cùng chứa

6

; ý b) mọi hạng tử ở tử đều rút về

k 3

nên

3

ở mẫu triệt tiêu và kết quả là số nguyên; ý c) hai mẫu đều chứa căn nên phải trục căn thức. Nhìn trước như thế là biết ngay đáp số của ý b) và ý c) không còn căn. Bẫy ở ý c):

(22)^{2} = 8

chứ không phải

4

, và tử

42 - 4

có nhân tử chung với mẫu

2 - 2

1Cách 1. Khử mẫu, đưa thừa số ra ngoài dấu căn rồi nhân liên hợp

Định hướng. Đưa mọi hạng tử về dạng $k m$ để cộng trừ như đơn thức đồng dạng; riêng ý c) nhân cả tử và mẫu với liên hợp của từng mẫu.

2 \frac{2}{3} = 2 \cdot \frac{6}{3} = \frac{2 6}{3}

và

4 \frac{3}{2} = 4 \cdot \frac{6}{2} = 26

2 \frac{2}{3} - 4 \frac{3}{2} = \frac{2 6}{3} - \frac{6 6}{3} = - \frac{4 6}{3}

48 = 43

27 = 33

12 = 23

548 - 327 + 212 = 203 - 93 + 43 = 153

\frac{15 3}{3} = 15

3 + 22 > 0

và

2 - 2 > 0

nên biểu thức xác định

\frac{1}{3 + 2 2} = \frac{3 - 2 2}{( 3 + 2 2 ) ( 3 - 2 2 )} = \frac{3 - 2 2}{9 - 8} = 3 - 22

\frac{4 2 - 4}{2 - 2} = \frac{( 4 2 - 4 ) ( 2 + 2 )}{( 2 - 2 ) ( 2 + 2 )} = \frac{8 2 + 8 - 8 - 4 2}{4 - 2} = \frac{4 2}{2} = 22

\frac{1}{3 + 2 2} + \frac{4 2 - 4}{2 - 2} = 3 - 22 + 22 = 3

Vậy a) $- \frac{4 6}{3}$ ; b) $15$ ; c) $3$ .

2Cách 2. Gộp vào một dấu căn, chia từng hạng tử và phân tích thành nhân tử

Định hướng. Ý a) đưa hệ số vào trong dấu căn; ý b) chia riêng từng hạng tử cho $3$ ; ý c) nhận ra $3 + 22$ là bình phương đúng và $2 - 2$ có nhân tử chung với tử.

2 \frac{2}{3} = \frac{8}{3} = \frac{24}{9} = \frac{2 6}{3}

và

4 \frac{3}{2} = 24 = 26

\frac{2 6}{3} - 26 = - \frac{4 6}{3}

\frac{5 48}{3} - \frac{3 27}{3} + \frac{2 12}{3} = 516 - 39 + 24

= 20 - 9 + 4 = 15

3 + 22 = (2)^{2} + 22 + 1 = (2 + 1)^{2}

và

(2 + 1) (2 - 1) = 1

\frac{1}{3 + 2 2} = \frac{( 2 - 1 ) ^{2}}{[ ( 2 + 1 ) ( 2 - 1 ) ] ^{2}} = (2 - 1)^{2} = 3 - 22

\frac{4 2 - 4}{2 - 2} = \frac{4 ( 2 - 1 )}{2 ( 2 - 1 )} = \frac{4}{2} = 22

3 - 22 + 22 = 3

Vậy a) $- \frac{4 6}{3}$ ; b) $15$ ; c) $3$ .

3Cách 3. Quy đồng thành một phân thức và đặt ẩn phụ

Định hướng. Ý a) quy về mẫu chung $6$ rồi trục căn một lần; ý b) đặt $t = 3$ ; ý c) quy đồng cả hai phân thức thành một rồi rút gọn theo $t = 2$ .

2 \frac{2}{3} - 4 \frac{3}{2} = \frac{2 2}{3} - \frac{4 3}{2} = \frac{2 2 \cdot 2 - 4 3 \cdot 3}{6} = \frac{4 - 12}{6}

= \frac{- 8}{6} = \frac{- 8 6}{6} = - \frac{4 6}{3}

b) Đặt

t = 3

với

t > 0

t^{2} = 3

; khi đó

48 = 4 t

27 = 3 t

12 = 2 t

\frac{5 \cdot 4 t - 3 \cdot 3 t + 2 \cdot 2 t}{t} = \frac{15 t}{t} = 15

c) Đặt

t = 2

với

t > 0

t^{2} = 2

; mẫu chung là

(3 + 2 t) (2 - t) = 6 + t - 2 t^{2} = t + 2

\frac{1}{3 + 2 t} + \frac{4 t - 4}{2 - t} = \frac{( 2 - t ) + ( 4 t - 4 ) ( 3 + 2 t )}{t + 2} = \frac{2 - t + 8 t ^{2} + 4 t - 12}{t + 2}

= \frac{16 + 3 t - 10}{t + 2} = \frac{3 ( t + 2 )}{t + 2} = 3

Vậy a) $- \frac{4 6}{3}$ ; b) $15$ ; c) $3$ .

Nhận xét. Soát ý c) bằng số: $\frac{1}{3 + 2 2} \approx 0, 1716$ và $\frac{4 2 - 4}{2 - 2} \approx \frac{1 , 6569}{0 , 5858} \approx 2, 8284$ ; tổng $\approx 3, 0000$ , khớp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đưa mọi hạng tử về

k m

rồi cộng trừ như đơn thức đồng dạng, đây là quy trình dùng lại được cho mọi bài rút gọn; Cách 2 nhanh hơn ở ý c) nhưng phải may mắn nhìn ra

3 + 22 = (2 + 1)^{2}

Đáp số. a)

- \frac{4 6}{3}

; b)

15

; c)

3

Sai lầm thường gặp. Ở ý c) bình phương sai, viết

(22)^{2} = 4

nên mẫu thành

9 - 4 = 5

và hạng tử đầu ra

\frac{3 - 2 2}{5}

, tổng cuối cùng thành

\frac{3 + 8 2}{5} \approx 2, 86

. Phản ví dụ bằng số: giá trị đúng của biểu thức là

3

, còn

\frac{1}{3 + 2 2} \approx 0, 1716

chứ không phải

\frac{3 - 2 2}{5} \approx 0, 0343

. Lỗi thứ hai là ở ý a) cộng trừ căn như cộng trừ số dưới căn, viết

2 \frac{2}{3} - 4 \frac{3}{2} = - 2 \frac{2}{3} - \frac{3}{2}

, trong khi biểu thức dưới căn khi đó lại âm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

\frac{a 48 + b 27 + c 12}{3} = 4 a + 3 b + 2 c

với mọi

a

b

c

— thử với

a = 1

b = 2

c = 3

, đáp số là

16

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 59

Mở bài này trong app ↗

Bài 25 · Bài 3.22★★★Trang 59— Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai có chữ

Bài 3.22 (trang 59). Rút gọn biểu thức

A = x (\frac{1}{x + 3} - \frac{1}{3 - x})

(x \geq 0, x \neq = 9)

Kiến thức cần nhớ

$(x + 3) (3 - x) = 9 - x$ với $x \geq 0$ .
$(x)^{2} = x$ với $x \geq 0$ .
Phân thức $\frac{P}{Q}$ xác định khi và chỉ khi $Q \neq = 0$ ; ở đây $3 - x \neq = 0 \Leftrightarrow x \neq = 9$ .
$\frac{- M}{N} = \frac{M}{- N}$ với $N \neq = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai mẫu

x + 3

và

3 - x

chỉ khác nhau ở dấu của

x

— dấu hiệu của cặp liên hợp, tích của chúng là

9 - x

nên mẫu chung có ngay, không phải nhân thêm gì. Điều kiện

x \geq 0

để căn thức xác định và

x \neq = 9

để

3 - x \neq = 0

, phải nêu rõ trước khi rút gọn. Bẫy: trừ hai phân thức mà quên đổi dấu cả tử của phân thức thứ hai, và quên nhân

x

ở ngoài vào kết quả trong ngoặc.

1Cách 1. Quy đồng hai phân thức trong ngoặc

Định hướng. Mẫu chung là tích hai mẫu, tức $9 - x$ ; trừ hai tử rồi nhân với $x$ ở ngoài.

x \geq 0

nên

x

xác định và

x + 3 > 0

;

x \neq = 9

nên

3 - x \neq = 0

, biểu thức

A

xác định

\frac{1}{x + 3} - \frac{1}{3 - x} = \frac{3 - x}{( x + 3 ) ( 3 - x )} - \frac{x + 3}{( x + 3 ) ( 3 - x )}

= \frac{( 3 - x ) - ( x + 3 )}{9 - x} = \frac{- 2 x}{9 - x}

A = x \cdot \frac{- 2 x}{9 - x} = \frac{- 2 x}{9 - x} = \frac{2 x}{x - 9}

Vậy $A = \frac{2 x}{x - 9}$ với $x \geq 0$ , $x \neq = 9$ .

2Cách 2. Đổi dấu mẫu thứ hai để hai mẫu cùng dạng

Định hướng. Viết $\frac{1}{3 - x} = \frac{- 1}{x - 3}$ để phép trừ thành phép cộng, khi đó mẫu chung là $x - 9$ và hai tử cộng lại rất gọn.

x \geq 0

và

x \neq = 9

nên

x - 3 \neq = 0

x + 3 > 0

, biểu thức xác định

\frac{1}{3 - x} = \frac{- 1}{x - 3}

\frac{1}{x + 3} - \frac{1}{3 - x} = \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 3} = \frac{( x - 3 ) + ( x + 3 )}{( x + 3 ) ( x - 3 )}

= \frac{2 x}{x - 9}

A = x \cdot \frac{2 x}{x - 9} = \frac{2 x}{x - 9}

Vậy $A = \frac{2 x}{x - 9}$ .

3Cách 3. Đặt ẩn phụ

t = x

Định hướng. Đặt $t = x$ thì biểu thức thành phân thức đại số của lớp 8, rút gọn xong mới trả về biến $x$ .

Đặt

t = x

;

x \geq 0

nên

t \geq 0

x \neq = 9

nên

t \neq = 3

, khi đó

x = t^{2}

A = t (\frac{1}{t + 3} - \frac{1}{3 - t}) = t \cdot \frac{( 3 - t ) - ( t + 3 )}{( t + 3 ) ( 3 - t )} = t \cdot \frac{- 2 t}{9 - t ^{2}}

A = \frac{- 2 t ^{2}}{9 - t ^{2}} = \frac{2 t ^{2}}{t ^{2} - 9}

A = \frac{2 x}{x - 9}

Vậy $A = \frac{2 x}{x - 9}$ với $x \geq 0$ , $x \neq = 9$ .

Nhận xét. Soát bằng số với $x = 16$ : $4 (\frac{1}{7} - \frac{1}{- 1}) = 4 \cdot \frac{8}{7} = \frac{32}{7}$ , còn $\frac{2 \cdot 16}{16 - 9} = \frac{32}{7}$ , khớp. Nhìn kết quả cũng thấy ngay $A \leq 0$ khi $0 \leq x < 9$ và $A > 0$ khi $x > 9$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đổi dấu một mẫu là phép trừ thành phép cộng, tử cộng lại không còn dấu trừ nào nên hầu như không sai dấu; Cách 1 tự nhiên hơn nhưng phải cẩn thận với dấu trừ trước cả ngoặc.

Đáp số.

A = \frac{2 x}{x - 9}

với

x \geq 0

x \neq = 9

Sai lầm thường gặp. Rút gọn mà quên điều kiện xác định, kết luận

A = \frac{2 x}{x - 9}

với mọi

x \geq 0

rồi thay

x = 9

vào. Phản ví dụ: tại

x = 9

thì

3 - x = 0

, phân thức thứ hai của đề không tồn tại nên

A

không xác định — kết quả rút gọn cũng có mẫu

x - 9 = 0

, hai bên cùng vô nghĩa. Lỗi thứ hai là trừ hai phân thức mà chỉ đổi dấu tử thứ hai một phần, viết

(3 - x) - x + 3 = 6 - 2 x

thay vì

- 2 x

; khi đó tại

x = 16

kết quả ra

- \frac{8}{7}

trong khi giá trị đúng là

\frac{32}{7}

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

x (\frac{1}{x + k} - \frac{1}{k - x}) = \frac{2 x}{x - k ^{2}}

với

x \geq 0

x \neq = k^{2}

k > 0

— thử với

k = 2

, tức rút gọn

x (\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{2 - x})

, đáp số là

\frac{2 x}{x - 4}

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 59

Mở bài này trong app ↗