Chương I. Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập cuối chương I

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · 1.19★Trang 24— Kiểm tra nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1.19 (trang 24). Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình

{5 x + 7 y = - 1 3 x + 2 y = - 5

?
A.

(- 1; 1)

. B.

(- 3; 2)

. C.

(2; - 3)

. D.

(5; 5)

Kiến thức cần nhớ

Cặp số $(x_{0}; y_{0})$ là nghiệm của hệ phương trình khi nó thoả mãn đồng thời cả hai phương trình trong hệ.
Có thể tìm nghiệm bằng phương pháp cộng đại số hoặc thế rồi đối chiếu với các phương án.

1Cách 1. Giải hệ bằng phương pháp cộng đại số.

Định hướng. Giải trực tiếp hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số để tìm đúng cặp nghiệm, rồi đối chiếu với bốn phương án.

{5 x + 7 y = - 1 3 x + 2 y = - 5

\Leftrightarrow {10 x + 14 y = - 2 21 x + 14 y = - 35

\Rightarrow 11 x = - 33

\Rightarrow x = - 3

Thay vào

3 x + 2 y = - 5

3 \cdot (- 3) + 2 y = - 5

- 9 + 2 y = - 5

2 y = 4

y = 2

Vậy hệ có nghiệm $(x; y) = (- 3; 2)$ . Chọn B.

2Cách 2. Thay từng cặp số vào hệ để kiểm tra.

Định hướng. Lần lượt thay toạ độ bốn phương án vào cả hai phương trình của hệ, cặp số nào thoả mãn đồng thời cả hai phương trình là nghiệm cần tìm.

(- 1; 1)

5 \cdot (- 1) + 7 \cdot 1 = 2 \neq = - 1

\Rightarrow

loại.
B.

(- 3; 2)

5 \cdot (- 3) + 7 \cdot 2 = - 1

(đúng);

3 \cdot (- 3) + 2 \cdot 2 = - 5

(đúng)

\Rightarrow

thoả mãn cả hai phương trình.
C.

(2; - 3)

5 \cdot 2 + 7 \cdot (- 3) = - 11 \neq = - 1

\Rightarrow

loại.
D.

(5; 5)

5 \cdot 5 + 7 \cdot 5 = 60 \neq = - 1

\Rightarrow

loại.

Vậy chỉ có phương án B thoả mãn. Chọn B.

Nhận xét. Với bài trắc nghiệm có đáp số cho sẵn, thử trực tiếp từng phương án thường nhanh hơn giải hệ từ đầu.

Đáp số. Chọn B.

Sai lầm thường gặp. Chỉ kiểm tra một phương trình của hệ rồi vội kết luận, bỏ sót việc thử phương trình còn lại.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 24

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.20★Trang 24— Kiểm tra điểm thuộc đường thẳng

1.20 (trang 24). Trên mặt phẳng toạ độ

O x y

, cho các điểm

A (1; 2)

B (5; 6)

C (2; 3)

D (- 1; - 1)

. Đường thẳng

4 x - 3 y = - 1

đi qua hai điểm nào trong các điểm đã cho?
A.

A

và

B

; B.

B

và

C

; C.

C

và

D

; D.

D

và

A

Kiến thức cần nhớ

Điểm $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc đường thẳng $a x + b y = c$ khi và chỉ khi $a x_{0} + b y_{0} = c$ .
Thay lần lượt toạ độ từng điểm vào phương trình đường thẳng để kiểm tra.

1Cách 1. Thay toạ độ từng điểm vào phương trình đường thẳng.

Định hướng. Một điểm thuộc đường thẳng $4 x - 3 y = - 1$ khi toạ độ của nó thoả mãn phương trình này; thay lần lượt bốn điểm để kiểm tra.

A (1; 2)

4 \cdot 1 - 3 \cdot 2 = - 2 \neq = - 1

\Rightarrow

A

không thuộc đường thẳng.

B (5; 6)

4 \cdot 5 - 3 \cdot 6 = 2 \neq = - 1

\Rightarrow

B

không thuộc đường thẳng.

C (2; 3)

4 \cdot 2 - 3 \cdot 3 = - 1

\Rightarrow

C

thuộc đường thẳng.

D (- 1; - 1)

4 \cdot (- 1) - 3 \cdot (- 1) = - 1

\Rightarrow

D

thuộc đường thẳng.

Vậy đường thẳng $4 x - 3 y = - 1$ đi qua hai điểm $C$ và $D$ . Chọn C.

2Cách 2. Viết đường thẳng dạng

y

theo

x

rồi so sánh tung độ.

Định hướng. Đưa phương trình về dạng $y$ theo $x$ , tính tung độ của đường thẳng tại hoành độ mỗi điểm rồi so sánh với tung độ đã cho.

4 x - 3 y = - 1 \Leftrightarrow y = \frac{4 x + 1}{3}

.
Tại

x = 1

y = \frac{5}{3} \neq = 2

\Rightarrow

A

không thuộc.
Tại

x = 5

y = \frac{21}{3} = 7 \neq = 6

\Rightarrow

B

không thuộc.
Tại

x = 2

y = \frac{9}{3} = 3

, đúng bằng tung độ của

C

\Rightarrow

C

thuộc.
Tại

x = - 1

y = \frac{- 3}{3} = - 1

, đúng bằng tung độ của

D

\Rightarrow

D

thuộc.

Vậy đường thẳng đi qua $C$ và $D$ , khớp với cách 1. Chọn C.

Nhận xét. Có thể kiểm tra nhanh bằng cách thay số như cách 1 hoặc dựng hàm số $y$ theo $x$ như cách 2, kết quả luôn thống nhất.

Đáp số. Chọn C.

Sai lầm thường gặp. Tính nhầm dấu khi thay số âm, ví dụ

4 \cdot (- 1) - 3 \cdot (- 1)

tính sai thành

- 7

thay vì

- 1

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 24

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.21★★Trang 24— Kiểm tra nghiệm và giải hệ hai phương trình có hệ số thập phân

1.21 (trang 24). Hệ phương trình

{1, 5 x - 0, 6 y = 0, 3 - 2 x + y = - 2

A. Có nghiệm là

(0; - 0, 5)

.
B. Có nghiệm là

(1; 0)

.
C. Có nghiệm là

(- 3; - 8)

.
D. Vô nghiệm.

Kiến thức cần nhớ

Có thể nhân hai vế của phương trình với luỹ thừa của 10 để đưa hệ số thập phân về số nguyên trước khi giải.
Nghiệm của hệ phải thoả mãn đồng thời cả hai phương trình.

1Cách 1. Đưa hệ số về số nguyên rồi giải bằng phương pháp thế.

Định hướng. Nhân phương trình thứ nhất với 10 để hệ số nguyên, rồi rút $y$ từ phương trình thứ hai và thế vào phương trình còn lại.

1, 5 x - 0, 6 y = 0, 3 \Leftrightarrow 15 x - 6 y = 3 \Leftrightarrow 5 x - 2 y = 1

- 2 x + y = - 2 \Rightarrow y = 2 x - 2

Thế vào

5 x - 2 y = 1

5 x - 2 (2 x - 2) = 1

5 x - 4 x + 4 = 1

x = 1 - 4

x = - 3

y = 2 \cdot (- 3) - 2 = - 8

Vậy hệ có nghiệm $(x; y) = (- 3; - 8)$ . Chọn C.

2Cách 2. Thử trực tiếp từng phương án vào hệ ban đầu.

Định hướng. Thay lần lượt toạ độ ba phương án A, B, C vào cả hai phương trình của hệ để tìm cặp số thoả mãn đồng thời cả hai.

(0; - 0, 5)

- 2 \cdot 0 + (- 0, 5) = - 0, 5 \neq = - 2

\Rightarrow

loại.
B.

(1; 0)

- 2 \cdot 1 + 0 = - 2

(đúng);

1, 5 \cdot 1 - 0, 6 \cdot 0 = 1, 5 \neq = 0, 3

\Rightarrow

loại.
C.

(- 3; - 8)

- 2 \cdot (- 3) + (- 8) = - 2

(đúng);

1, 5 \cdot (- 3) - 0, 6 \cdot (- 8) = - 4, 5 + 4, 8 = 0, 3

(đúng)

\Rightarrow

thoả mãn cả hai phương trình.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(- 3; - 8)$ , khớp với cách 1. Chọn C.

Nhận xét. Hệ số thập phân dễ tính sai; nên quy đồng về số nguyên trước khi giải để tránh nhầm lẫn.

Đáp số. Chọn C — hệ có nghiệm

(- 3; - 8)

Sai lầm thường gặp. Quên nhân cả hai vế với 10 khi quy đồng, dẫn đến giữ nguyên hệ số thập phân và tính sai.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 24

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.22★★Trang 24— Xét số nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1.22 (trang 24). Hệ phương trình

{0, 6 x + 0, 3 y = 1, 8 2 x + y = - 6

A. Có một nghiệm.
B. Vô nghiệm.
C. Có vô số nghiệm.
D. Có hai nghiệm.

Kiến thức cần nhớ

Hệ ${a_{1} x + b_{1} y = c_{1} a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ vô nghiệm khi $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ .
Hệ có vô số nghiệm khi $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ ; có nghiệm duy nhất khi $\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}}$ .

1Cách 1. So sánh tỉ số các hệ số.

Định hướng. Đưa phương trình thứ nhất về cùng dạng với phương trình thứ hai rồi so sánh tỉ số các hệ số $x$ , $y$ , hệ số tự do để xác định số nghiệm.

0, 6 x + 0, 3 y = 1, 8 \Leftrightarrow 6 x + 3 y = 18 \Leftrightarrow 2 x + y = 6

So với

2 x + y = - 6

: hai phương trình có cùng vế trái

2 x + y

nhưng vế phải khác nhau (

6 \neq = - 6

Vậy hệ vô nghiệm (hai đường thẳng song song). Chọn B.

2Cách 2. Giải bằng phương pháp cộng đại số để kiểm tra trực tiếp.

Định hướng. Khử một ẩn bằng phương pháp cộng đại số; nếu phép khử dẫn đến một đẳng thức sai (vô lí) thì hệ vô nghiệm.

{0, 6 x + 0, 3 y = 1, 8 2 x + y = - 6 \Leftrightarrow {2 x + y = 6 2 x + y = - 6

Trừ hai phương trình:

(2 x + y) - (2 x + y) = 6 - (- 6)

0 = 12

(vô lí)

Vậy hệ vô nghiệm. Chọn B.

Nhận xét. Khi khử ẩn mà thu được một đẳng thức sai như $0 = 12$ thì hệ chắc chắn vô nghiệm, không cần tính tiếp.

Đáp số. Chọn B — hệ vô nghiệm.

Sai lầm thường gặp. Không rút gọn phương trình thứ nhất về dạng tối giản nên không phát hiện hai phương trình có cùng vế trái nhưng khác vế phải.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 24

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.23★★Trang 24— Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số phân số, thập phân

1.23 (trang 24). Giải các hệ phương trình:
a)

⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 5 y = 10 \frac{2}{5} x + y = 1

{0, 2 x + 0, 1 y = 0, 3 3 x + y = 5

⎩ ⎨ ⎧ \frac{3}{2} x - y = \frac{1}{2} 6 x - 4 y = 2

Kiến thức cần nhớ

Trước khi giải, nên quy đồng khử mẫu hoặc nhân với luỹ thừa 10 để đưa hệ số về số nguyên.
Khi hai phương trình tỉ lệ với nhau (cùng hệ số $x$ , $y$ sau rút gọn), cần so sánh thêm hệ số tự do để biết hệ vô nghiệm hay vô số nghiệm.

1Cách 1. Đưa hệ số về số nguyên rồi giải bằng phương pháp cộng đại số.

Định hướng. Nhân hai vế mỗi phương trình để khử mẫu hoặc khử dấu thập phân, đưa hệ về hệ số nguyên rồi xét bằng phương pháp cộng đại số.

\frac{2}{5} x + y = 1 \Leftrightarrow 2 x + 5 y = 5

.
So với

2 x + 5 y = 10

: cùng vế trái

2 x + 5 y

nhưng vế phải khác nhau (

10 \neq = 5

)

\Rightarrow

hệ vô nghiệm.
b)

0, 2 x + 0, 1 y = 0, 3 \Leftrightarrow 2 x + y = 3

{2 x + y = 3 3 x + y = 5 \Rightarrow (3 x + y) - (2 x + y) = 5 - 3 \Rightarrow x = 2

Thay vào

2 x + y = 3

4 + y = 3 \Rightarrow y = - 1

.
c)

\frac{3}{2} x - y = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 6 x - 4 y = 2

.
So với

6 x - 4 y = 2

: hai phương trình trùng nhau hoàn toàn

\Rightarrow

hệ có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát

y = \frac{3}{2} x - \frac{1}{2}

x \in R

Vậy a) hệ vô nghiệm; b) hệ có nghiệm $(x; y) = (2; - 1)$ ; c) hệ có vô số nghiệm dạng $y = \frac{3}{2} x - \frac{1}{2}$ , $x \in R$ .

2Cách 2. Xét tỉ số các hệ số trước khi giải chi tiết.

Định hướng. So sánh tỉ số $\frac{a _{1}}{a _{2}}$ , $\frac{b _{1}}{b _{2}}$ , $\frac{c _{1}}{c _{2}}$ của từng cặp phương trình để dự đoán số nghiệm trước, sau đó giải cụ thể ý có nghiệm duy nhất.

a) Hệ số

x

\frac{2}{2/5} = 5

; hệ số

y

\frac{5}{1} = 5

; hệ số tự do:

\frac{10}{1} = 10

. Vì

5 \neq = 10

nên hệ vô nghiệm.
b)

\frac{0 , 2}{3} \approx 0, 067

còn

\frac{0 , 1}{1} = 0, 1

, hai tỉ số khác nhau

\Rightarrow

hệ có nghiệm duy nhất.
Giải:

0, 2 x + 0, 1 y = 0, 3 \Leftrightarrow 2 x + y = 3

; kết hợp

3 x + y = 5

cho

x = 2

y = - 1

(như cách 1).
c) Hệ số

x

\frac{3/2}{6} = \frac{1}{4}

; hệ số

y

\frac{- 1}{- 4} = \frac{1}{4}

; hệ số tự do:

\frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}

. Ba tỉ số bằng nhau

\Rightarrow

hệ có vô số nghiệm.

Vậy kết quả khớp cách 1: a) vô nghiệm; b) $(2; - 1)$ ; c) vô số nghiệm.

Nhận xét. So sánh tỉ số hệ số giúp biết trước số nghiệm của hệ mà không cần giải hết, rất hữu ích khi làm trắc nghiệm.

Đáp số. a) Vô nghiệm; b)

(x; y) = (2; - 1)

; c) Vô số nghiệm,

y = \frac{3}{2} x - \frac{1}{2}

với

x \in R

Sai lầm thường gặp. Ở câu c) không rút gọn hệ số nên không nhận ra hai phương trình trùng nhau, dẫn đến giải sai là hệ vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 24

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.24★★★Trang 24— Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số

1.24 (trang 24). Giải các hệ phương trình:
a)

{0, 5 x + 2 y = - 2, 5 0, 7 x - 3 y = 8, 1

{5 x - 3 y = - 2 14 x + 8 y = 19

{2 (x - 2) + 3 (1 + y) = - 2 3 (x - 2) - 2 (1 + y) = - 3

Kiến thức cần nhớ

Nhân mỗi phương trình với hệ số thích hợp để hệ số của một ẩn đối nhau hoặc bằng nhau rồi cộng/trừ hai phương trình để khử ẩn đó.
Với hệ chứa biểu thức trong ngoặc, có thể đặt ẩn phụ hoặc khai triển trực tiếp để đưa về hệ tuyến tính đơn giản hơn.

1Cách 1. Phương pháp cộng đại số (câu c) đặt ẩn phụ.

Định hướng. Nhân hai phương trình với hệ số thích hợp để khử một ẩn bằng phương pháp cộng đại số; riêng câu c) đặt ẩn phụ cho các biểu thức trong ngoặc.

a) Nhân phương trình 1 với 3, phương trình 2 với 2:

{1, 5 x + 6 y = - 7, 5 1, 4 x - 6 y = 16, 2

Cộng hai phương trình:

2, 9 x = 8, 7 \Rightarrow x = 3

Thay vào

0, 5 x + 2 y = - 2, 5

1, 5 + 2 y = - 2, 5 \Rightarrow 2 y = - 4 \Rightarrow y = - 2

b) Nhân phương trình 1 với 8, phương trình 2 với 3:

{40 x - 24 y = - 16 42 x + 24 y = 57

Cộng hai phương trình:

82 x = 41 \Rightarrow x = \frac{1}{2}

Thay vào

5 x - 3 y = - 2

\frac{5}{2} - 3 y = - 2 \Rightarrow - 3 y = - \frac{9}{2} \Rightarrow y = \frac{3}{2}

c) Đặt

u = x - 2

v = 1 + y

, hệ trở thành

{2 u + 3 v = - 2 3 u - 2 v = - 3

Nhân phương trình 1 với 2, phương trình 2 với 3:

{4 u + 6 v = - 4 9 u - 6 v = - 9

Cộng hai phương trình:

13 u = - 13 \Rightarrow u = - 1

Thay vào

2 u + 3 v = - 2

- 2 + 3 v = - 2 \Rightarrow v = 0

Suy ra

x = u + 2 = 1

y = v - 1 = - 1

Vậy a) $(x; y) = (3; - 2)$ ; b) $(x; y) = (\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ ; c) $(x; y) = (1; - 1)$ .

2Cách 2. Phương pháp thế (câu c) khai triển trực tiếp.

Định hướng. Rút một ẩn từ phương trình đơn giản hơn rồi thế vào phương trình còn lại để đưa về phương trình một ẩn; riêng câu c) khai triển trực tiếp các ngoặc thay vì đặt ẩn phụ.

a) Từ

0, 5 x + 2 y = - 2, 5

, rút

x = - 5 - 4 y

.
Thay vào

0, 7 x - 3 y = 8, 1

0, 7 (- 5 - 4 y) - 3 y = 8, 1

- 3, 5 - 2, 8 y - 3 y = 8, 1

- 5, 8 y = 11, 6

y = - 2

x = - 5 - 4 \cdot (- 2) = 3

b) Từ

5 x - 3 y = - 2

, rút

x = \frac{3 y - 2}{5}

.
Thay vào

14 x + 8 y = 19

14 \cdot \frac{3 y - 2}{5} + 8 y = 19

42 y - 28 + 40 y = 95

82 y = 123

y = \frac{3}{2}

x = \frac{3 \cdot \frac{3}{2} - 2}{5} = \frac{1}{2}

c) Khai triển trực tiếp:

2 (x - 2) + 3 (1 + y) = - 2 \Leftrightarrow 2 x + 3 y = - 1

3 (x - 2) - 2 (1 + y) = - 3 \Leftrightarrow 3 x - 2 y = 5

Từ

3 x - 2 y = 5

, rút

y = \frac{3 x - 5}{2}

.
Thay vào

2 x + 3 y = - 1

2 x + 3 \cdot \frac{3 x - 5}{2} = - 1

4 x + 9 x - 15 = - 2

13 x = 13

x = 1

y = \frac{3 \cdot 1 - 5}{2} = - 1

Vậy kết quả khớp cách 1: a) $(3; - 2)$ ; b) $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ ; c) $(1; - 1)$ .

Nhận xét. Câu c) có thể đặt ẩn phụ $u = x - 2$ , $v = 1 + y$ để hệ đơn giản như cách 1, hoặc khai triển trực tiếp như cách 2; hai hướng cho cùng một đáp số.

Đáp số. a)

(x; y) = (3; - 2)

; b)

(x; y) = (\frac{1}{2}; \frac{3}{2})

; c)

(x; y) = (1; - 1)

Sai lầm thường gặp. Ở câu c) quên khai triển hết dấu ngoặc âm

- 2 (1 + y)

, dẫn đến sai dấu hệ số của

y

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 24

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 1.25★★★Trang 25— Toán lập hệ phương trình — bài toán về số tự nhiên

1.25 (trang 25). Tìm số tự nhiên

N

có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 3 vào giữa hai chữ số của số

N

thì được một số lớn hơn số

2 N

là 585 đơn vị, và nếu viết hai chữ số của số

N

theo thứ tự ngược lại thì được một số nhỏ hơn số

N

là 18 đơn vị.

Kiến thức cần nhớ

Số tự nhiên có hai chữ số dạng $\overline{ab} = 10 a + b$ với $a \in {1; 2; \dots; 9}$ , $b \in {0; 1; \dots; 9}$ .
Viết thêm chữ số 3 vào giữa hai chữ số của $\overline{ab}$ được số $\overline{a 3 b} = 100 a + 30 + b$ ; đảo ngược hai chữ số được số $\overline{ba} = 10 b + a$ .

1Cách 1. Lập hệ phương trình rồi giải bằng phương pháp cộng đại số.

Định hướng. Gọi $a$ , $b$ lần lượt là chữ số hàng chục và hàng đơn vị của $N$ , biểu diễn hai dữ kiện đề bài thành hai phương trình bậc nhất rồi giải hệ bằng phương pháp cộng đại số.

Gọi

a

là chữ số hàng chục,

b

là chữ số hàng đơn vị của

N

(

a \in {1; \dots; 9}

b \in {0; \dots; 9}

N = 10 a + b

.
Viết thêm chữ số 3 vào giữa được số

100 a + 30 + b

, lớn hơn

2 N

là 585 đơn vị:

100 a + 30 + b = 2 (10 a + b) + 585

100 a + 30 + b = 20 a + 2 b + 585

80 a - b = 555 (1)

Viết ngược hai chữ số được số

10 b + a

, nhỏ hơn

N

là 18 đơn vị:

10 a + b - (10 b + a) = 18

9 a - 9 b = 18

- a + b = - 2 (2)

Cộng

(1)

và

(2)

80 a - b + (- a + b) = 555 + (- 2)

79 a = 553

a = 7

Thay vào

(2)

- 7 + b = - 2 \Rightarrow b = 5

Vậy $a = 7$ , $b = 5$ thoả mãn $1 \leq a \leq 9$ , $0 \leq b \leq 9$ nên số cần tìm là $N = 75$ .

2Cách 2. Rút gọn về một ẩn bằng phương pháp thế.

Định hướng. Từ dữ kiện thứ hai rút $b$ theo $a$ , thế vào dữ kiện thứ nhất để được phương trình một ẩn, sau đó kiểm tra điều kiện $a$ , $b$ là chữ số.

Từ

- a + b = - 2

suy ra

b = a - 2

Thế vào

80 a - b = 555

80 a - (a - 2) = 555

79 a + 2 = 555

79 a = 553

a = 7

Thay vào

b = a - 2

b = 5

Vậy $a = 7$ , $b = 5$ là chữ số hợp lệ nên $N = 75$ , khớp với cách 1.

Nhận xét. Có thể thử lại: viết thêm số 3 vào giữa 75 được 735, mà $2 \cdot 75 = 150$ và $735 - 150 = 585$ đúng; đảo ngược 75 được 57, mà $75 - 57 = 18$ đúng.

Đáp số.

N = 75

Sai lầm thường gặp. Đặt sai vị trí chèn chữ số 3 (chèn vào đầu hoặc cuối thay vì vào giữa hai chữ số), dẫn đến lập sai phương trình thứ nhất.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 25

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 1.26★★★Trang 25— Toán lập hệ phương trình — bài toán năng suất

1.26 (trang 25). Trên cánh đồng có diện tích 160 ha của một đơn vị sản xuất, người ta dành 60 ha để cấy thí điểm giống lúa mới, còn lại vẫn cấy giống lúa cũ. Khi thu hoạch, đầu tiên người ta gặt 8 ha giống lúa cũ và 7 ha giống lúa mới để đối chứng. Kết quả là 7 ha giống lúa mới cho thu hoạch nhiều hơn 8 ha giống lúa cũ là 2 tấn thóc. Biết rằng tổng số thóc (cả hai giống) thu hoạch cả vụ trên 160 ha là 860 tấn. Hỏi năng suất của mỗi giống lúa trên 1 ha là bao nhiêu tấn thóc?

Kiến thức cần nhớ

Diện tích cấy giống lúa cũ là hiệu của tổng diện tích và diện tích cấy giống mới.
Số thóc thu hoạch trên một diện tích bằng diện tích nhân với năng suất trên 1 ha.

1Cách 1. Lập hệ phương trình rồi giải bằng phương pháp thế.

Định hướng. Gọi năng suất mỗi giống lúa trên 1 ha là ẩn, biểu diễn tổng thóc cả vụ và chênh lệch thóc đối chứng thành hai phương trình rồi giải bằng phương pháp thế.

Gọi

x

(tấn/ha) là năng suất giống lúa cũ,

y

(tấn/ha) là năng suất giống lúa mới (

x, y > 0

).
Diện tích cấy giống lúa cũ là

160 - 60 = 100

ha.
Tổng số thóc cả vụ:

100 x + 60 y = 860 \Leftrightarrow 5 x + 3 y = 43 (1)

Đối chứng 7 ha giống mới nhiều hơn 8 ha giống cũ là 2 tấn:

7 y - 8 x = 2 (2)

Từ

(1)

rút

x = \frac{43 - 3 y}{5}

, thế vào

(2)

7 y - 8 \cdot \frac{43 - 3 y}{5} = 2

35 y - 8 (43 - 3 y) = 10

35 y - 344 + 24 y = 10

59 y = 354

y = 6

Thay vào

(1)

5 x + 18 = 43 \Rightarrow x = 5

Vậy năng suất giống lúa cũ là $5$ tấn/ha, năng suất giống lúa mới là $6$ tấn/ha.

2Cách 2. Giải bằng phương pháp cộng đại số.

Định hướng. Từ cùng hệ phương trình đã lập, nhân mỗi phương trình với hệ số thích hợp để khử ẩn $x$ bằng phép cộng đại số thay vì phép thế.

{5 x + 3 y = 43 - 8 x + 7 y = 2

Nhân phương trình 1 với 8, phương trình 2 với 5:

{40 x + 24 y = 344 - 40 x + 35 y = 10

Cộng hai phương trình:

59 y = 354

y = 6

Thay vào

5 x + 3 y = 43

5 x + 18 = 43 \Rightarrow x = 5

Vậy năng suất giống lúa cũ là $5$ tấn/ha, giống lúa mới là $6$ tấn/ha, khớp với cách 1.

Nhận xét. Kiểm tra lại: $100 \cdot 5 + 60 \cdot 6 = 860$ tấn (đúng tổng thóc); $7 \cdot 6 - 8 \cdot 5 = 42 - 40 = 2$ tấn (đúng chênh lệch đối chứng).

Đáp số. Năng suất giống lúa cũ là

5

tấn/ha; năng suất giống lúa mới là

6

tấn/ha.

Sai lầm thường gặp. Nhầm diện tích cấy giống lúa cũ là 160 ha (quên trừ đi 60 ha giống mới), dẫn đến lập sai phương trình tổng thóc.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 25

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 1.27★★★★Trang 25— Toán lập hệ phương trình — chuyển động tròn

1.27 (trang 25). Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính 20 cm, xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ sau 4 giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc (cm/s) của mỗi vật.

Kiến thức cần nhớ

Chu vi đường tròn đường kính $d$ là $C = π d$ .
Hai vật chuyển động ngược chiều gặp nhau khi tổng quãng đường đi được bằng chu vi; cùng chiều gặp nhau khi hiệu quãng đường bằng chu vi.

1Cách 1. Lập hệ phương trình theo công thức gặp nhau ngược chiều - cùng chiều.

Định hướng. Gọi vận tốc hai vật là hai ẩn, dùng công thức tổng quãng đường bằng chu vi khi chuyển động ngược chiều và hiệu quãng đường bằng chu vi khi chuyển động cùng chiều để lập hệ phương trình.

Chu vi đường tròn:

C = π \cdot 20 = 20 π

(cm).
Gọi

x

y

(cm/s) là vận tốc của vật thứ nhất và vật thứ hai, với

x > y > 0

.
Ngược chiều gặp nhau sau 4 giây:

4 (x + y) = 20 π \Leftrightarrow x + y = 5 π (1)

Cùng chiều gặp nhau sau 20 giây:

20 (x - y) = 20 π \Leftrightarrow x - y = π (2)

Cộng

(1)

và

(2)

2 x = 6 π \Rightarrow x = 3 π

Thay vào

(1)

y = 5 π - 3 π = 2 π

Vậy vận tốc hai vật lần lượt là $3 π$ cm/s và $2 π$ cm/s.

2Cách 2. Giải bằng phương pháp thế.

Định hướng. Từ cùng hệ phương trình đã lập, rút một ẩn từ phương trình đơn giản hơn rồi thế vào phương trình còn lại để kiểm tra chéo kết quả.

Từ

(2)

x = π + y

Thế vào

(1)

π + y + y = 5 π

2 y = 4 π

y = 2 π

x = π + 2 π = 3 π

Vậy vận tốc hai vật là $3 π$ cm/s và $2 π$ cm/s, khớp với cách 1.

Nhận xét. Quy đổi gần đúng $π \approx 3, 14$ được $x \approx 9, 42$ cm/s và $y \approx 6, 28$ cm/s, phù hợp với chuyển động thực tế trên vòng tròn nhỏ.

Đáp số. Vận tốc hai vật lần lượt là

3 π

cm/s và

2 π

cm/s (xấp xỉ

9, 42

cm/s và

6, 28

cm/s).

Sai lầm thường gặp. Dùng nhầm công thức, ví dụ lấy hiệu quãng đường cho trường hợp ngược chiều hoặc tổng quãng đường cho trường hợp cùng chiều.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 25

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 1.28★★★★Trang 25— Toán lập hệ phương trình — bài toán thuế VAT

1.28 (trang 25). Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng là 21,7 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 21,8 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?

Kiến thức cần nhớ

Giá đã tính thuế VAT $m %$ bằng giá gốc nhân với $(1 + \frac{m}{100})$ .
Lập hệ hai phương trình từ hai tình huống thuế khác nhau để tìm giá gốc của từng loại hàng.

1Cách 1. Lập hệ phương trình rồi giải bằng phương pháp thế.

Định hướng. Gọi giá gốc (chưa thuế) hai loại hàng là hai ẩn, biểu diễn hai tình huống thuế VAT đã cho thành hai phương trình rồi giải bằng phương pháp thế.

Gọi

x

y

(triệu đồng) lần lượt là giá gốc (chưa thuế VAT) của hàng thứ nhất và hàng thứ hai (

x, y > 0

).
Trường hợp thuế 10% và 8%:

1, 1 x + 1, 08 y = 21, 7 (1)

Trường hợp thuế 9% cho cả hai loại:

1, 09 x + 1, 09 y = 21, 8 \Leftrightarrow x + y = 20 (2)

Từ

(2)

y = 20 - x

, thế vào

(1)

1, 1 x + 1, 08 (20 - x) = 21, 7

1, 1 x + 21, 6 - 1, 08 x = 21, 7

0, 02 x = 0, 1

x = 5

y = 20 - 5 = 15

Vậy giá gốc hàng thứ nhất là $5$ triệu đồng, giá gốc hàng thứ hai là $15$ triệu đồng.

2Cách 2. Giải bằng phương pháp cộng đại số.

Định hướng. Từ cùng hệ phương trình đã lập, nhân phương trình $(2)$ với hệ số thích hợp rồi trừ cho phương trình $(1)$ để khử một ẩn bằng phép cộng đại số.

{1, 1 x + 1, 08 y = 21, 7 x + y = 20

Nhân phương trình 2 với

1, 08

1, 08 x + 1, 08 y = 21, 6

Trừ phương trình 1 cho phương trình vừa nhân:

(1, 1 x + 1, 08 y) - (1, 08 x + 1, 08 y) = 21, 7 - 21, 6

0, 02 x = 0, 1

x = 5

Thay vào

x + y = 20

y = 15

Vậy giá gốc hàng thứ nhất là $5$ triệu đồng, hàng thứ hai là $15$ triệu đồng, khớp với cách 1.

Nhận xét. Kiểm tra lại: $1, 1 \cdot 5 + 1, 08 \cdot 15 = 5, 5 + 16, 2 = 21, 7$ và $1, 09 \cdot (5 + 15) = 1, 09 \cdot 20 = 21, 8$ , đúng với cả hai dữ kiện đề bài.

Đáp số. Giá gốc (chưa thuế) hàng thứ nhất là

5

triệu đồng; hàng thứ hai là

15

triệu đồng.

Sai lầm thường gặp. Nhầm 21,7 và 21,8 triệu đồng là giá đã gồm thuế của từng loại hàng riêng lẻ thay vì tổng cả hai loại.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 25

Mở bài này trong app ↗