Chương II. Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài tập cuối chương II

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 12 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · 2.21★Trang 42— Trắc nghiệm — giải bất phương trình bậc nhất, chú ý đổi chiều khi chia cho số âm

2.21 (trang 42). Nghiệm của bất phương trình

- 2 x + 1 < 0

là
A.

x < \frac{1}{2}

. B.

x > \frac{1}{2}

. C.

x \leq \frac{1}{2}

. D.

x \geq \frac{1}{2}

Kiến thức cần nhớ

Chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của bất phương trình thì phải ĐỔI DẤU hạng tử đó, chiều bất phương trình giữ nguyên.
Nhân hoặc chia hai vế của một bất phương trình cho cùng một số ÂM thì phải ĐỔI CHIỀU bất phương trình.
Bất phương trình có dấu ngặt thì tập nghiệm không chứa đầu mút; trên trục số đầu mút được vẽ bằng chấm RỖNG.

🧠 Phân tích tư duy

Hệ số của

x

là số ÂM — đó chính là dấu hiệu bắt buộc phải đổi chiều khi chia hai vế. Bốn phương án dùng chung mốc

\frac{1}{2}

và chỉ khác nhau ở CHIỀU cùng việc có hay không dấu bằng, nên chỉ cần chốt hai điều đó là chọn xong. Bẫy nằm ở chỗ chuyển vế được

- 2 x < - 1

rồi chia cho

- 2

mà quên lật chiều, đáp án sai A đã được đặt sẵn ở đó chờ.

1Cách 1. Chuyển vế rồi chia hai vế cho hệ số âm của ẩn

Định hướng. Dồn hạng tử chứa $x$ về một vế, chia hai vế cho $- 2$ và lật chiều bất phương trình.

- 2 x + 1 < 0

- 2 x < - 1

x > \frac{- 1}{- 2}

x > \frac{1}{2}

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ${x ∣ x > \frac{1}{2}}$ , chọn đáp án B.

2Cách 2. Dồn ẩn sang vế phải để hệ số thành dương

Định hướng. Chuyển hẳn $- 2 x$ sang vế phải thì hệ số của $x$ thành $+ 2$ , cả bài không còn phép chia cho số âm.

- 2 x + 1 < 0

1 < 2 x

\frac{1}{2} < x

x > \frac{1}{2}

Vậy nghiệm là $x > \frac{1}{2}$ , chọn đáp án B.

Nhận xét. cách này không hề dùng tới quy tắc đổi chiều nên gần như không có cơ hội sai dấu.

3Cách 3. Thử giá trị biên rồi loại trừ phương án

Định hướng. Bốn phương án chung mốc $\frac{1}{2}$ , chỉ cần thử chính mốc đó và một giá trị ở mỗi bên.

x = \frac{1}{2}

- 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 0

, không thoả mãn, loại C và D

x = 0

- 2 \cdot 0 + 1 = 1 > 0

, không thoả mãn, mà

0

thuộc A nên loại A

x = 1

- 2 \cdot 1 + 1 = - 1 < 0

, thoả mãn, mà

1

thuộc B

Vậy chọn đáp án B.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế phải để hệ số thành dương, cả lời giải chỉ ba dòng và không có phép chia cho số âm nên hầu như không thể sai chiều; Cách 1 tuy tự nhiên nhất nhưng lại đúng chỗ mất điểm nhiều nhất.

Đáp số. Chọn B. Tập nghiệm là

x > \frac{1}{2}

Sai lầm thường gặp. Chia hai vế của

- 2 x < - 1

cho

- 2

mà giữ nguyên chiều, được

x < \frac{1}{2}

rồi chọn A. Phản ví dụ:

x = 0

thoả mãn

x < \frac{1}{2}

nhưng thay vào đề được

- 2 \cdot 0 + 1 = 1

— số này dương chứ không âm, nên A sai.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với

a > 0

thì

- a x + b < 0

luôn có nghiệm

x > \frac{b}{a}

; chỉ cần đổi dấu hệ số

a

là chiều của tập nghiệm lật ngược lại.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 42

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.22★Trang 42— Trắc nghiệm — tìm điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu

2.22 (trang 42). Điều kiện xác định của phương trình

\frac{x}{2 x + 1} + \frac{3}{x - 5} = \frac{x}{( 2 x + 1 ) ( x - 5 )}

là
A.

x \neq = - \frac{1}{2}

. B.

x \neq = - \frac{1}{2}

và

x \neq = - 5

. C.

x \neq = 5

. D.

x \neq = - \frac{1}{2}

và

x \neq = 5

Kiến thức cần nhớ

Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu là điều kiện để TẤT CẢ các mẫu thức đều khác $0$ .
Một tích khác $0$ khi và chỉ khi mọi thừa số của nó đều khác $0$ .
$\frac{A}{B} = 0$ khi và chỉ khi $A = 0$ và $B \neq = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phương trình chứa ẩn ở mẫu nên câu hỏi quy về việc cho MỌI mẫu thức khác

0

, không liên quan gì tới việc giải phương trình. Trong ba mẫu thì mẫu

(2 x + 1) (x - 5)

đã gộp sẵn hai mẫu kia, nên chỉ cần cho tích đó khác

0

là đủ cả. Bẫy là phương án B gài giá trị

- 5

: đề không hề có mẫu

x + 5

, cái

5

trong

x - 5

cho giá trị loại là

+ 5

chứ không phải

- 5

1Cách 1. Cho lần lượt từng mẫu thức khác 0

Định hướng. Liệt kê ba mẫu thức có mặt trong phương trình rồi buộc mỗi mẫu khác $0$ .

Các mẫu thức:

2 x + 1

;

x - 5

;

(2 x + 1) (x - 5)

2 x + 1 \neq = 0

nên

x \neq = - \frac{1}{2}

x - 5 \neq = 0

nên

x \neq = 5

(2 x + 1) (x - 5) \neq = 0

nên

x \neq = - \frac{1}{2}

và

x \neq = 5

Vậy điều kiện xác định là $x \neq = - \frac{1}{2}$ và $x \neq = 5$ , chọn đáp án D.

2Cách 2. Thử trực tiếp các giá trị xuất hiện trong bốn phương án

Định hướng. Mỗi phương án chỉ khác nhau ở việc loại hay giữ ba số $- \frac{1}{2}$ ; $5$ ; $- 5$ , cứ thay lần lượt vào các mẫu.

x = - \frac{1}{2}

: mẫu

2 x + 1 = 0

, phân thức không tồn tại nên phải loại giá trị này, do đó C sai

x = 5

: mẫu

x - 5 = 0

, phân thức không tồn tại nên phải loại giá trị này, do đó A sai

x = - 5

: ba mẫu lần lượt bằng

- 9

;

- 10

;

90

, đều khác

0

nên giá trị này vẫn dùng được, do đó B sai

Vậy chỉ còn đáp án D.

3Cách 3. Quy về một phân thức duy nhất rồi xét mẫu chung

Định hướng. Chuyển hết sang một vế và quy đồng: phương trình xác định khi và chỉ khi mẫu chung khác $0$ .

\frac{x}{2 x + 1} + \frac{3}{x - 5} - \frac{x}{( 2 x + 1 ) ( x - 5 )} = 0

\frac{x ( x - 5 ) + 3 ( 2 x + 1 ) - x}{( 2 x + 1 ) ( x - 5 )} = 0

\frac{x ^{2} - 5 x + 6 x + 3 - x}{( 2 x + 1 ) ( x - 5 )} = 0

\frac{x ^{2} + 3}{( 2 x + 1 ) ( x - 5 )} = 0

Mẫu chung khác

0

khi

x \neq = - \frac{1}{2}

và

x \neq = 5

Vậy điều kiện xác định là $x \neq = - \frac{1}{2}$ và $x \neq = 5$ , chọn đáp án D.

Nhận xét. tử số rút gọn được thành $x^{2} + 3 > 0$ với mọi $x$ , nên tiện thể biết luôn phương trình đã cho vô nghiệm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ việc đọc ba mẫu thức rồi cho từng mẫu khác

0

, mất chưa tới mười giây và không phải tính toán gì; Cách 3 dài hơn nhưng đáng làm ở nhà vì nó lộ ra bản chất của phương trình.

Đáp số. Chọn D. Điều kiện xác định:

x \neq = - \frac{1}{2}

và

x \neq = 5

Sai lầm thường gặp. Thấy số

5

trong mẫu

x - 5

liền ghi ngay

x \neq = - 5

rồi chọn B — đây là lỗi nhớ máy móc quy tắc đổi dấu. Phản ví dụ: với

x = - 5

ba mẫu bằng

- 9

;

- 10

;

90

, đều khác

0

, nên

x = - 5

vẫn thuộc điều kiện xác định.

🚀 Mở rộng. Sau khi quy đồng, tử số của phương trình là

x^{2} + 3

nên phương trình vô nghiệm; thử đổi số

3

ở tử vế trái thành

- 3

rồi xem nghiệm tìm được có rơi trúng giá trị bị loại hay không.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 42

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.23★★Trang 42— Trắc nghiệm — tìm tham số để phương trình bậc nhất có nghiệm thoả điều kiện

2.23 (trang 42). Phương trình

x - 1 = m + 4

có nghiệm lớn hơn

1

với
A.

m \geq - 4

. B.

m \leq 4

. C.

m > - 4

. D.

m < - 4

Kiến thức cần nhớ

Phương trình $x - 1 = m + 4$ luôn có đúng một nghiệm $x = m + 5$ với mọi $m$ .
Điều kiện 'nghiệm lớn hơn $1$ ' là bất đẳng thức ngặt nên giá trị làm nghiệm bằng đúng $1$ phải bị loại.
Cộng cùng một số vào hai vế của bất phương trình thì chiều không đổi.

🧠 Phân tích tư duy

Phương trình bậc nhất với hệ số của

x

bằng

1

nên nghiệm rút ra được ngay theo

m

— dấu hiệu của dạng bài chuyển điều kiện về ẩn sang điều kiện về tham số. Vì hai vế của phương trình bằng nhau nên áp điều kiện lên vế trái

x - 1

cũng chính là áp lên vế phải

m + 4

, đó là đường ngắn nhất. Bẫy nằm ở chữ 'lớn hơn

1

' là bất đẳng thức NGẶT, nên giá trị

m = - 4

phải bị loại, đúng chỗ phương án A gài.

1Cách 1. Giải phương trình theo tham số rồi áp điều kiện

Định hướng. Rút $x$ theo $m$ , sau đó thay vào điều kiện $x > 1$ .

x - 1 = m + 4

x = m + 5

m + 5 > 1

m > 1 - 5

m > - 4

Vậy phương trình có nghiệm lớn hơn $1$ khi $m > - 4$ , chọn đáp án C.

2Cách 2. Áp điều kiện thẳng lên hai vế của phương trình

Định hướng. Điều kiện $x > 1$ chính là $x - 1 > 0$ , mà $x - 1$ đang bằng $m + 4$ .

x > 1

x - 1 > 0

m + 4 > 0

m > - 4

Vậy điều kiện cần tìm là $m > - 4$ , chọn đáp án C.

Nhận xét. hai vế của một phương trình luôn bằng nhau nên đặt điều kiện lên vế nào cũng cho cùng kết quả — cách này gọn hơn hẳn vì không phải rút $x$ .

3Cách 3. Thử giá trị biên rồi loại trừ phương án

Định hướng. Chỉ cần ba phép thử quanh mốc $- 4$ là bốn phương án lộ hết.

m = - 4

x = - 4 + 5 = 1

, mà

1

không lớn hơn

1

nên

m = - 4

bị loại, do đó A sai

m = - 5

x = - 5 + 5 = 0

, mà

0

không lớn hơn

1

nên

m = - 5

bị loại, do đó D sai

m = 5

x = 5 + 5 = 10 > 1

, thoả mãn, nhưng

5

không thuộc B nên B sai

Vậy chỉ còn đáp án C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ hai dòng, không phải rút

x

nên không có chỗ để sai dấu; Cách 1 dễ nghĩ hơn nhưng dài gấp đôi mà kết quả vẫn thế.

Đáp số. Chọn C. Phương trình có nghiệm lớn hơn

1

khi

m > - 4

Sai lầm thường gặp. Đọc 'lớn hơn

1

' thành 'lớn hơn hoặc bằng

1

' rồi chọn A. Phản ví dụ: với

m = - 4

phương trình thành

x - 1 = 0

, nghiệm

x = 1

— bằng đúng

1

chứ không lớn hơn

1

, nên

m = - 4

bị loại.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, phương trình

x - 1 = m + 4

có nghiệm lớn hơn

k

khi và chỉ khi

m > k - 5

; thay

k = 1

ra ngay kết quả của bài, còn thay

k = 0

thì điều kiện thành

m > - 5

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 42

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.24★Trang 42— Trắc nghiệm — giải bất phương trình bậc nhất có ẩn ở cả hai vế

2.24 (trang 42). Nghiệm của bất phương trình

1 - 2 x \geq 2 - x

là
A.

x > \frac{1}{2}

. B.

x < \frac{1}{2}

. C.

x \leq - 1

. D.

x \geq - 1

Kiến thức cần nhớ

Chuyển vế hạng tử của bất phương trình thì đổi dấu hạng tử, chiều giữ nguyên.
Nhân hoặc chia hai vế cho số ÂM thì phải ĐỔI CHIỀU bất phương trình.
Bất phương trình có dấu $\geq$ thì tập nghiệm chứa đầu mút; trên trục số đầu mút được vẽ bằng chấm TÔ ĐẶC.

🧠 Phân tích tư duy

Ẩn nằm ở cả hai vế, gom lại thì hệ số của

x

ra số ÂM — lại đúng dấu hiệu bắt buộc đổi chiều. Hai phương án A, B lấy mốc

\frac{1}{2}

là mốc giả do đề cài số

2

ở cả hai vế, còn mốc thật là

- 1

, nên chỉ cần thu gọn cẩn thận là loại được một nửa. Bẫy lớn nhất: từ

- x \geq 1

chia cho

- 1

mà quên lật chiều sẽ ra ngay phương án D.

1Cách 1. Gom ẩn về vế trái rồi chia cho hệ số âm

Định hướng. Chuyển $- x$ sang trái và $1$ sang phải, hệ số của $x$ ra $- 1$ nên khi chia phải lật chiều.

1 - 2 x \geq 2 - x

- 2 x + x \geq 2 - 1

- x \geq 1

x \leq \frac{1}{- 1}

x \leq - 1

Vậy tập nghiệm là ${x ∣ x \leq - 1}$ , chọn đáp án C.

2Cách 2. Gom ẩn về vế phải để hệ số thành dương

Định hướng. Chuyển $- 2 x$ sang phải thì hệ số của $x$ là $+ 1$ , khỏi phải dùng quy tắc đổi chiều.

1 - 2 x \geq 2 - x

1 - 2 \geq - x + 2 x

- 1 \geq x

x \leq - 1

Vậy nghiệm là $x \leq - 1$ , chọn đáp án C.

Nhận xét. đọc $- 1 \geq x$ theo chiều ngược lại thành $x \leq - 1$ là bước duy nhất cần cẩn thận, và nó an toàn hơn nhiều so với việc chia cho $- 1$ .

3Cách 3. Thử giá trị biên rồi loại trừ phương án

Định hướng. Thử chính mốc $- 1$ và hai giá trị nằm hai bên mốc để cắt dần bốn phương án.

x = - 1

: vế trái

= 1 - 2 \cdot (- 1) = 3

, vế phải

= 2 - (- 1) = 3

, hai vế bằng nhau nên

x = - 1

thoả mãn, mà

- 1

không thuộc A nên loại A

x = 0

: vế trái

= 1

, vế phải

= 2

, mà

1 \geq 2

là sai nên

x = 0

không thoả mãn, mà

0

thuộc cả B lẫn D nên loại B và D

x = - 2

: vế trái

= 5

, vế phải

= 4

5 \geq 4

đúng nên

x = - 2

thoả mãn, phù hợp với C

Vậy chọn đáp án C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: dồn ẩn sang vế phải để hệ số dương, cả bài không có phép chia cho số âm nên không thể sai chiều; Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra lại khi còn thời gian.

Đáp số. Chọn C. Tập nghiệm là

x \leq - 1

Sai lầm thường gặp. Từ

- x \geq 1

chia hai vế cho

- 1

mà giữ nguyên chiều, được

x \geq - 1

rồi chọn D. Phản ví dụ:

x = 0

thoả mãn

x \geq - 1

nhưng thay vào đề được

1 \geq 2

— hoàn toàn sai.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi dấu

\geq

thành dấu ngặt thì

1 - 2 x > 2 - x

có nghiệm

x < - 1

, và trên trục số đầu mút

- 1

chuyển từ chấm tô đặc sang chấm rỗng.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 42

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.25★★Trang 42— Trắc nghiệm — tính chất của bất đẳng thức với phép cộng và phép nhân

2.25 (trang 42). Cho

a > b

. Khi đó ta có:
A.

2 a > 3 b

. B.

2 a > 2 b + 1

. C.

5 a + 1 > 5 b + 1

. D.

- 3 a < - 3 b - 3

Kiến thức cần nhớ

Nếu $a > b$ thì $a + c > b + c$ với mọi số $c$ .
Nếu $a > b$ và $c > 0$ thì $a c > b c$ ; nếu $c < 0$ thì $a c < b c$ .
Muốn bác bỏ một khẳng định 'luôn đúng', chỉ cần chỉ ra MỘT phản ví dụ.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ cho một dữ kiện duy nhất là

a > b

nên phương án đúng phải đúng với MỌI cặp

a

b

thoả mãn — dấu hiệu của dạng bài dùng tính chất để khẳng định một phương án và dùng phản ví dụ để bắn hạ ba phương án còn lại. Chỉ có phương án C giữ nguyên hệ số ở hai vế (

5

nhân cả hai bên,

1

cộng cả hai bên), còn A, B, D đều làm lệch hai vế nên phải nghi ngờ ngay. Bẫy: nhiều bạn tưởng nhân vế trái với số LỚN HƠN thì bất đẳng thức càng đúng, đó chính là phương án A.

1Cách 1. Dùng trực tiếp tính chất của bất đẳng thức để khẳng định phương án C

Định hướng. Nhân hai vế của $a > b$ với số dương $5$ rồi cộng $1$ vào hai vế, chiều bất đẳng thức không đổi.

a > b

5 a > 5 b

5 a + 1 > 5 b + 1

Vậy khẳng định C luôn đúng, chọn đáp án C.

2Cách 2. Tìm phản ví dụ để loại ba phương án còn lại

Định hướng. Mỗi phương án sai chỉ cần một cặp số cụ thể vẫn thoả $a > b$ mà khẳng định lại sai.

a = 1

;

b = 0, 9

thoả

a > b

, nhưng

2 a = 2

còn

3 b = 2, 7

nên

2 a > 3 b

SAI, loại A

a = 0, 5

;

b = 0, 25

thoả

a > b

, nhưng

2 a = 1

còn

2 b + 1 = 1, 5

nên

2 a > 2 b + 1

SAI, loại B

a = 1

;

b = 0

thoả

a > b

, nhưng

- 3 a = - 3

còn

- 3 b - 3 = - 3

nên

- 3 a < - 3 b - 3

SAI, loại D

Vậy chỉ còn đáp án C.

3Cách 3. Xét dấu hiệu hai vế của từng phương án theo hiệu của a và b

Định hướng. Mọi dữ kiện của đề gói gọn trong $t = a - b > 0$ ; phương án nào có hiệu hai vế chỉ phụ thuộc $t$ và luôn dương thì đúng.

t = a - b > 0

và

a = b + t

2 a - 3 b = 2 (b + t) - 3 b = 2 t - b

còn phụ thuộc

b

nên không luôn dương

2 a - (2 b + 1) = 2 t - 1

dương khi

t > 0, 5

và âm khi

t < 0, 5

(5 a + 1) - (5 b + 1) = 5 t > 0

với mọi

t > 0

- 3 a - (- 3 b - 3) = 3 - 3 t

dương khi

t < 1

và âm khi

t > 1

Vậy chỉ có C cho hiệu luôn dương, chọn đáp án C.

Nhận xét. đặt $t = a - b$ cho thấy đúng lý do: C là phương án duy nhất mà hiệu hai vế chỉ phụ thuộc $t$ , ba phương án kia đều còn dính $b$ hoặc đổi dấu theo độ lớn của $t$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn thấy hai vế của C chỉ khác

a

và

b

mà hệ số hoàn toàn như nhau là chọn được ngay trong vài giây; Cách 3 nên để dành khi cần hiểu bản chất hoặc khi đề khó hơn.

Đáp số. Chọn C. Từ

a > b

luôn suy ra

5 a + 1 > 5 b + 1

Sai lầm thường gặp. Tưởng 'nhân vế trái với số lớn hơn thì bất đẳng thức càng đúng' nên chọn A. Phản ví dụ:

a = 1 > b = 0, 9

nhưng

2 a = 2

còn

3 b = 2, 7

, tức

2 a < 3 b

— điều A khẳng định là sai.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, từ

a > b

chỉ suy ra được

ma + n > mb + n

khi

m > 0

; với

m < 0

bất đẳng thức lật thành

ma + n < mb + n

, còn

m = 0

thì hai vế bằng nhau.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 42

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.26★★Trang 42— Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích

2.26 (trang 42). Giải các phương trình sau:
a)

(3 x - 1)^{2} - (x + 2)^{2} = 0

;
b)

x (x + 1) = 2 (x^{2} - 1)

Kiến thức cần nhớ

$A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .
$A \cdot B = 0$ khi và chỉ khi $A = 0$ hoặc $B = 0$ .
Chỉ được chia hai vế cho một biểu thức khi đã chắc chắn biểu thức đó khác $0$ ; nếu không phải xét riêng trường hợp nó bằng $0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a có dạng hiệu hai bình phương, ý b có nhân tử

x + 1

ẩn trong hằng đẳng thức

x^{2} - 1

— cả hai đều là dấu hiệu của phương trình đưa về dạng tích. Phân tích thành nhân tử ngắn hơn hẳn việc khai triển, vì hạng tử bậc hai tự triệt tiêu và mỗi nhân tử cho ngay một nghiệm. Bẫy chết người ở ý b: nhìn thấy

x + 1

ở hai vế rồi chia cả hai vế cho

x + 1

sẽ làm MẤT nghiệm

x = - 1

1Cách 1. Phân tích thành nhân tử để đưa về phương trình tích

Định hướng. Ý a dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ý b đặt nhân tử chung $x + 1$ .

(3 x - 1)^{2} - (x + 2)^{2} = 0

[(3 x - 1) - (x + 2)] [(3 x - 1) + (x + 2)] = 0

(2 x - 3) (4 x + 1) = 0

2 x - 3 = 0

hoặc

4 x + 1 = 0

x = \frac{3}{2}

hoặc

x = - \frac{1}{4}

x (x + 1) = 2 (x - 1) (x + 1)

x (x + 1) - 2 (x - 1) (x + 1) = 0

(x + 1) [x - 2 (x - 1)] = 0

(x + 1) (2 - x) = 0

x + 1 = 0

hoặc

2 - x = 0

x = - 1

hoặc

x = 2

Vậy a) $x = \frac{3}{2}$ hoặc $x = - \frac{1}{4}$ ; b) $x = - 1$ hoặc $x = 2$ .

2Cách 2. Khai triển đưa về phương trình bậc hai rồi dùng biệt thức

Định hướng. Bỏ hết ngoặc, thu gọn về dạng $a x^{2} + b x + c = 0$ rồi tính $Δ$ .

9 x^{2} - 6 x + 1 - (x^{2} + 4 x + 4) = 0

8 x^{2} - 10 x - 3 = 0

Δ = (- 10)^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 3) = 100 + 96 = 196

Δ = 14

x = \frac{10 + 14}{16} = \frac{3}{2}

hoặc

x = \frac{10 - 14}{16} = - \frac{1}{4}

x^{2} + x = 2 x^{2} - 2

x^{2} - x - 2 = 0

Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 1 + 8 = 9

Δ = 3

x = \frac{1 + 3}{2} = 2

hoặc

x = \frac{1 - 3}{2} = - 1

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1.

3Cách 3. So sánh hai bình phương ở ý a và xét riêng hai trường hợp ở ý b

Định hướng. Ý a dùng $A^{2} = B^{2}$ khi và chỉ khi $A = B$ hoặc $A = - B$ ; ý b tách hẳn trường hợp $x + 1 = 0$ trước khi được phép chia.

(3 x - 1)^{2} = (x + 2)^{2}

3 x - 1 = x + 2

hoặc

3 x - 1 = - (x + 2)

2 x = 3

hoặc

4 x = - 1

x = \frac{3}{2}

hoặc

x = - \frac{1}{4}

b) Trường hợp

x + 1 = 0

x = - 1

, hai vế cùng bằng

0

nên

x = - 1

là nghiệm
Trường hợp

x + 1 \neq = 0

: chia hai vế cho

x + 1

được

x = 2 (x - 1)

x = 2 x - 2

x = 2

Vậy a) $x = \frac{3}{2}$ hoặc $x = - \frac{1}{4}$ ; b) $x = - 1$ hoặc $x = 2$ .

Nhận xét. ở ý b việc tách trường hợp $x + 1 = 0$ ra TRƯỚC chính là cái van an toàn giữ lại nghiệm $x = - 1$ mà phép chia thẳng tay sẽ làm mất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hạng tử bậc hai tự triệt tiêu khi phân tích nhân tử nên không phải khai triển và không phải tính

Δ

, lời giải ngắn hơn Cách 2 chừng một nửa và ít cơ hội sai dấu hơn hẳn.

Đáp số. a)

x = \frac{3}{2}

hoặc

x = - \frac{1}{4}

. b)

x = 2

hoặc

x = - 1

Sai lầm thường gặp. Ở ý b, thấy

x + 1

ở cả hai vế liền chia ngay cho

x + 1

rồi chỉ ghi

x = 2

, làm MẤT nghiệm

x = - 1

. Phản ví dụ: thay

x = - 1

vào đề được vế trái

(- 1) \cdot 0 = 0

và vế phải

2 (1 - 1) = 0

, hai vế bằng nhau nên

x = - 1

đúng là nghiệm và không được phép bỏ.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm,

(a x + b)^{2} = (c x + d)^{2}

luôn đưa về tích

[(a - c) x + b - d] [(a + c) x + b + d] = 0

; thử tìm điều kiện của

a

b

c

d

để hai nhân tử cho cùng một nghiệm, tức phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 42

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.27★★★Trang 42— Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, đối chiếu điều kiện xác định

2.27 (trang 42). Giải các phương trình sau:
a)

\frac{x}{x - 5} - \frac{2}{x + 5} = \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 25}

;
b)

\frac{1}{x + 1} - \frac{x}{x ^{2} - x + 1} = \frac{3}{x ^{3} + 1}

Kiến thức cần nhớ

Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu là điều kiện để mọi mẫu thức khác $0$ .
$x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5)$ và $x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .
$x^{2} - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0$ với mọi $x$ nên mẫu này không bao giờ bằng $0$ .
Giá trị tìm được sau khi khử mẫu BẮT BUỘC phải đối chiếu với điều kiện xác định trước khi kết luận.

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu ở vế phải của mỗi ý đều là tích của hai mẫu ở vế trái (

x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5)

và

x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)

) — dấu hiệu để quy đồng gọn mà không phải nhân bừa. Ở ý b, tam thức

x^{2} - x + 1

luôn dương nên chỉ có một giá trị bị loại là

x = - 1

, và đúng nghiệm tìm được lại rơi trúng vào đó. Bẫy lớn nhất của cả bài: khử mẫu xong quên đối chiếu điều kiện xác định, biến một phương trình vô nghiệm thành có nghiệm.

1Cách 1. Quy đồng, khử mẫu rồi đối chiếu điều kiện xác định

Định hướng. Phân tích mẫu thành nhân tử, quy đồng theo mẫu chung rồi bỏ mẫu và kiểm lại điều kiện ở dòng cuối.

a) Điều kiện xác định:

x \neq = 5

và

x \neq = - 5

\frac{x ( x + 5 )}{( x - 5 ) ( x + 5 )} - \frac{2 ( x - 5 )}{( x - 5 ) ( x + 5 )} = \frac{x ^{2}}{( x - 5 ) ( x + 5 )}

x (x + 5) - 2 (x - 5) = x^{2}

x^{2} + 5 x - 2 x + 10 = x^{2}

3 x + 10 = 0

x = - \frac{10}{3}

(thoả mãn điều kiện xác định)
b)

x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)

và

x^{2} - x + 1 > 0

với mọi

x

Điều kiện xác định:

x \neq = - 1

\frac{x ^{2} - x + 1}{( x + 1 ) ( x ^{2} - x + 1 )} - \frac{x ( x + 1 )}{( x + 1 ) ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{3}{( x + 1 ) ( x ^{2} - x + 1 )}

x^{2} - x + 1 - x (x + 1) = 3

x^{2} - x + 1 - x^{2} - x = 3

- 2 x + 1 = 3

x = - 1

(không thoả mãn điều kiện xác định, bị loại)

Vậy a) phương trình có nghiệm $x = - \frac{10}{3}$ ; b) phương trình vô nghiệm.

2Cách 2. Chuyển hết về một vế, đưa về dạng phân thức bằng 0

Định hướng. Một phân thức bằng $0$ khi tử bằng $0$ và mẫu khác $0$ , nên việc đối chiếu điều kiện được gộp luôn vào lời giải.

a) Điều kiện xác định:

x \neq = 5

và

x \neq = - 5

\frac{x}{x - 5} - \frac{2}{x + 5} - \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 25} = 0

\frac{x ( x + 5 ) - 2 ( x - 5 ) - x ^{2}}{( x - 5 ) ( x + 5 )} = 0

\frac{3 x + 10}{( x - 5 ) ( x + 5 )} = 0

3 x + 10 = 0

và

(x - 5) (x + 5) \neq = 0

x = - \frac{10}{3}

b) Điều kiện xác định:

x \neq = - 1

\frac{1}{x + 1} - \frac{x}{x ^{2} - x + 1} - \frac{3}{x ^{3} + 1} = 0

\frac{x ^{2} - x + 1 - x ( x + 1 ) - 3}{( x + 1 ) ( x ^{2} - x + 1 )} = 0

\frac{- 2 x - 2}{( x + 1 ) ( x ^{2} - x + 1 )} = 0

\frac{- 2 ( x + 1 )}{( x + 1 ) ( x ^{2} - x + 1 )} = 0

\frac{- 2}{x ^{2} - x + 1} = 0

với

x \neq = - 1

- 2 = 0

, vô lí

Vậy a) $x = - \frac{10}{3}$ ; b) phương trình vô nghiệm.

Nhận xét. cách này lộ ngay bản chất của ý b: tử và mẫu cùng chứa nhân tử $x + 1$ , rút gọn xong tử còn lại là hằng số $- 2$ nên phân thức không bao giờ bằng $0$ .

3Cách 3. Gộp vế trái thành một phân thức cùng mẫu với vế phải rồi so tử, sau đó kiểm tra ngược

Định hướng. Sau khi gộp, hai vế có cùng mẫu nên chỉ việc cho hai tử bằng nhau; cuối cùng thay nghiệm vào đề để kiểm chứng.

a) Điều kiện xác định:

x \neq = 5

và

x \neq = - 5

\frac{x}{x - 5} - \frac{2}{x + 5} = \frac{x ( x + 5 ) - 2 ( x - 5 )}{x ^{2} - 25} = \frac{x ^{2} + 3 x + 10}{x ^{2} - 25}

\frac{x ^{2} + 3 x + 10}{x ^{2} - 25} = \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 25}

x^{2} + 3 x + 10 = x^{2}

x = - \frac{10}{3}

Kiểm tra ngược: vế trái

= \frac{2}{5} - \frac{6}{5} = - \frac{4}{5}

, vế phải

= \frac{\frac{100}{9}}{- \frac{125}{9}} = - \frac{4}{5}

b) Điều kiện xác định:

x \neq = - 1

\frac{1}{x + 1} - \frac{x}{x ^{2} - x + 1} = \frac{x ^{2} - x + 1 - x ( x + 1 )}{x ^{3} + 1} = \frac{1 - 2 x}{x ^{3} + 1}

\frac{1 - 2 x}{x ^{3} + 1} = \frac{3}{x ^{3} + 1}

1 - 2 x = 3

x = - 1

, trái điều kiện xác định

Vậy a) $x = - \frac{10}{3}$ và phép kiểm tra ngược cho hai vế cùng bằng $- \frac{4}{5}$ ; b) phương trình vô nghiệm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đưa về một phân thức bằng

0

thì điều kiện xác định luôn nằm ngay trong lời giải, không thể quên đối chiếu — đúng vào chỗ mất điểm của ý b; Cách 1 quen tay hơn nhưng phải nhớ quay lại kiểm tra.

Đáp số. a)

x = - \frac{10}{3}

. b) Phương trình vô nghiệm.

Sai lầm thường gặp. Ở ý b tìm được

x = - 1

rồi kết luận luôn đó là nghiệm vì quên đối chiếu điều kiện xác định. Phản ví dụ: thay

x = - 1

vào đề thì

x + 1 = 0

và

x^{3} + 1 = 0

, hai phân thức

\frac{1}{x + 1}

và

\frac{3}{x ^{3} + 1}

không tồn tại, nên

x = - 1

phải bị loại và phương trình vô nghiệm.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, phương trình

\frac{1}{x + 1} - \frac{x}{x ^{2} - x + 1} = \frac{k}{x ^{3} + 1}

đưa về

1 - 2 x = k

nên có nghiệm

x = \frac{1 - k}{2}

; nghiệm này bị loại đúng khi

k = 3

— hãy tìm

k

để phương trình có nghiệm

x = 5

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 42

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.28★★Trang 42— So sánh hai biểu thức dựa vào tính chất của bất đẳng thức

2.28 (trang 42). Cho

a < b

, hãy so sánh:
a)

a + b + 5

với

2 b + 5

;
b)

- 2 a - 3

với

- (a + b) - 3

Kiến thức cần nhớ

Nếu $a < b$ thì $a + c < b + c$ với mọi số $c$ .
Nếu $a < b$ thì $- a > - b$ ; tổng quát, nhân hai vế với số ÂM thì ĐỔI CHIỀU.
$M > N$ khi và chỉ khi $M - N > 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai biểu thức trong mỗi ý chỉ khác nhau ở phần chứa

a

và

b

, còn hằng số

5

hay

- 3

là như nhau — dấu hiệu cho thấy lập HIỆU hai biểu thức sẽ triệt tiêu hằng số và để lộ ngay quan hệ. Thật vậy cả hai ý đều dẫn về cùng một hiệu là

b - a

, mà

b - a > 0

do giả thiết

a < b

. Bẫy nằm ở ý b: từ

a < b

nhân hai vế với

- 2

mà giữ nguyên chiều sẽ cho kết luận ngược hoàn toàn.

1Cách 1. Dùng tính chất cộng và nhân của bất đẳng thức

Định hướng. Cộng thêm cùng một lượng vào hai vế của $a < b$ cho tới khi được đúng hai biểu thức cần so sánh.

a < b

a + b < b + b

a + b < 2 b

a + b + 5 < 2 b + 5

a < b

- a > - b

- a - a > - b - a

- 2 a > - (a + b)

- 2 a - 3 > - (a + b) - 3

Vậy a) $a + b + 5 < 2 b + 5$ ; b) $- 2 a - 3 > - (a + b) - 3$ .

2Cách 2. Xét hiệu của hai biểu thức

Định hướng. Lập hiệu rồi rút gọn: dấu của hiệu quyết định chiều của bất đẳng thức.

(2 b + 5) - (a + b + 5) = 2 b + 5 - a - b - 5 = b - a

a < b

nên

b - a > 0

2 b + 5 > a + b + 5

(- 2 a - 3) - [- (a + b) - 3] = - 2 a - 3 + a + b + 3 = b - a

b - a > 0

- 2 a - 3 > - (a + b) - 3

Vậy a) $a + b + 5 < 2 b + 5$ ; b) $- 2 a - 3 > - (a + b) - 3$ .

Nhận xét. cả hai ý cùng cho một hiệu là $b - a$ — đó là lý do chúng đối lập nhau về chiều so với thứ tự của $a$ và $b$ .

3Cách 3. Viết b theo a cộng một lượng dương rồi so sánh trực tiếp

Định hướng. Viết mọi biểu thức theo $a$ và $t$ thì phần chứa $a$ giống hệt nhau, chỉ còn so phần chứa $t$ .

a < b

nên

t = b - a > 0

và

b = a + t

a + b + 5 = 2 a + t + 5

và

2 b + 5 = 2 a + 2 t + 5

t < 2 t

vì

t > 0

2 a + t + 5 < 2 a + 2 t + 5

- 2 a - 3

và

- (a + b) - 3 = - 2 a - t - 3

0 > - t

vì

t > 0

- 2 a - 3 > - 2 a - t - 3

Vậy a) $a + b + 5 < 2 b + 5$ ; b) $- 2 a - 3 > - (a + b) - 3$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần rút gọn hiệu hai biểu thức, cả hai ý đều ra cùng một hiệu

b - a

nên làm một lần dùng được cho cả bài, lại không phải nhân với số âm nên không có chỗ sai chiều.

Đáp số. a)

a + b + 5 < 2 b + 5

. b)

- 2 a - 3 > - (a + b) - 3

Sai lầm thường gặp. Ở ý b, từ

a < b

nhân hai vế với

- 2

mà giữ nguyên chiều, viết

- 2 a < - 2 b

rồi kết luận

- 2 a - 3 < - (a + b) - 3

. Phản ví dụ:

a = 1 < b = 2

nhưng

- 2 a = - 2

còn

- 2 b = - 4

, rõ ràng

- 2 > - 4

chứ không nhỏ hơn.

🚀 Mở rộng. Cả hai ý quy về cùng một hiệu

b - a

; tổng quát, với

a < b

thì hiệu giữa

2 b

và

ma + (2 - m) b

bằng

m (b - a)

, nên chiều của bất đẳng thức chỉ phụ thuộc dấu của

m

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 42

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 2.29★★Trang 42— Giải bất phương trình đưa được về dạng bậc nhất một ẩn

2.29 (trang 42). Giải các bất phương trình:
a)

2 x + 3 (x + 1) > 5 x - (2 x - 4)

;
b)

(x + 1) (2 x - 1) < 2 x^{2} - 4 x + 1

Kiến thức cần nhớ

Chuyển vế hạng tử của bất phương trình thì đổi dấu hạng tử, chiều giữ nguyên.
Bỏ ngoặc có dấu trừ đằng trước thì phải đổi dấu MỌI hạng tử trong ngoặc.
Chia hai vế cho số dương thì chiều giữ nguyên, chia cho số âm thì phải đổi chiều.
Nghiệm của bất phương trình bậc nhất là một tia trên trục số; dấu ngặt cho đầu mút chấm rỗng.

🧠 Phân tích tư duy

Ý a có ngoặc mang dấu trừ đằng trước, ý b có tích hai nhị thức — nhìn tưởng bậc hai nhưng hai vế cùng chứa

2 x^{2}

nên hạng tử bậc hai triệt tiêu; cả hai đều đưa được về bậc nhất. Dồn tất cả về một vế rồi thu gọn là hướng an toàn nhất vì chỉ phải chuyển vế đúng MỘT lần. Bẫy của ý a là dấu trừ trước ngoặc

(2 x - 4)

, bẫy của ý b là quên rằng

2 x^{2}

ở hai vế bằng nhau nên bất phương trình vẫn là bậc nhất.

1Cách 1. Bỏ ngoặc, thu gọn rồi chuyển vế

Định hướng. Khai triển hai vế, gom ẩn về một bên và hằng số về bên kia.

2 x + 3 x + 3 > 5 x - 2 x + 4

5 x + 3 > 3 x + 4

5 x - 3 x > 4 - 3

2 x > 1

x > \frac{1}{2}

2 x^{2} - x + 2 x - 1 < 2 x^{2} - 4 x + 1

2 x^{2} + x - 1 < 2 x^{2} - 4 x + 1

x - 1 < - 4 x + 1

5 x < 2

x < \frac{2}{5}

Vậy a) nghiệm là $x > \frac{1}{2}$ ; b) nghiệm là $x < \frac{2}{5}$ .

2Cách 2. Dồn tất cả về một vế rồi xét dấu biểu thức bậc nhất

Định hướng. Chuyển vế phải sang trái ngay từ đầu, thu gọn một lần rồi đọc nghiệm từ nhị thức bậc nhất thu được.

2 x + 3 (x + 1) - 5 x + (2 x - 4) > 0

2 x + 3 x + 3 - 5 x + 2 x - 4 > 0

2 x - 1 > 0

x > \frac{1}{2}

(x + 1) (2 x - 1) - (2 x^{2} - 4 x + 1) < 0

2 x^{2} + x - 1 - 2 x^{2} + 4 x - 1 < 0

5 x - 2 < 0

x < \frac{2}{5}

Vậy a) $x > \frac{1}{2}$ ; b) $x < \frac{2}{5}$ .

Nhận xét. gộp về một vế chỉ phải chuyển vế đúng một lần nên ít cơ hội sót dấu trừ trước ngoặc hơn Cách 1.

3Cách 3. Xác định mốc rồi thử giá trị hai bên mốc

Định hướng. Bất phương trình bậc nhất có tập nghiệm là một tia, nên chỉ cần tìm giá trị làm hai vế bằng nhau rồi thử một điểm mỗi bên.

x = \frac{1}{2}

: vế trái

= 1 + 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{11}{2}

, vế phải

= \frac{5}{2} + 3 = \frac{11}{2}

, hai vế bằng nhau nên

\frac{1}{2}

là mốc

x = 1

: vế trái

= 2 + 6 = 8

, vế phải

= 5 + 2 = 7

, bất đẳng thức đúng

x = 0

: vế trái

= 3

, vế phải

= 4

, bất đẳng thức sai
b)

x = \frac{2}{5}

: vế trái

= \frac{7}{5} \cdot (- \frac{1}{5}) = - \frac{7}{25}

, vế phải

= \frac{8}{25} - \frac{8}{5} + 1 = - \frac{7}{25}

, hai vế bằng nhau nên

\frac{2}{5}

là mốc

x = 0

: vế trái

= - 1

, vế phải

= 1

, bất đẳng thức đúng

x = 1

: vế trái

= 2

, vế phải

= - 1

, bất đẳng thức sai

Vậy a) nghiệm là $x > \frac{1}{2}$ ; b) nghiệm là $x < \frac{2}{5}$ , khớp với hai cách trên.

Nhận xét. trên trục số cả hai tập nghiệm đều là tia có đầu mút chấm RỖNG vì bất phương trình mang dấu ngặt.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: dồn hết về một vế rồi thu gọn, mỗi ý chỉ còn một nhị thức bậc nhất là đọc được nghiệm ngay, tránh hẳn việc chuyển vế nhiều lần vốn là chỗ hay sót dấu trừ trước ngoặc.

Đáp số. a)

x > \frac{1}{2}

. b)

x < \frac{2}{5}

Sai lầm thường gặp. Bỏ ngoặc

- (2 x - 4)

mà chỉ đổi dấu hạng tử đầu, viết thành

- 2 x - 4

. Phản ví dụ: với

x = 0

thì

- (2 \cdot 0 - 4) = 4

chứ không phải

- 4

; sai dấu này làm nghiệm của ý a lệch thành

x > - \frac{7}{2}

thay vì

x > \frac{1}{2}

🚀 Mở rộng. Ở ý b hai vế cùng có

2 x^{2}

nên hạng tử bậc hai triệt tiêu và bất phương trình trở về bậc nhất; thử đổi vế phải thành

3 x^{2} - 4 x + 1

để thấy hạng tử bậc hai không mất nữa và tập nghiệm không còn là một tia.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 42

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 2.30★★★Trang 43— Toán thực tế — lập phương trình và bất phương trình so sánh hai phương án chi phí

2.30 (trang 42-43). Một hãng viễn thông nước ngoài có hai gói cước như sau:

Gói cước A	Gói cước B
Cước thuê bao hàng tháng 32 USD 45 phút miễn phí 0,4 USD cho mỗi phút thêm	Cước thuê bao hàng tháng là 44 USD Không có phút miễn phí 0,25 USD/phút

a) Hãy viết một phương trình xác định thời gian gọi (phút) mà phí phải trả trong cùng một tháng của hai gói cước là như nhau và giải phương trình đó.
b) Nếu khách hàng chỉ gọi tối đa là 180 phút trong 1 tháng thì nên dùng gói cước nào? Nếu khách hàng gọi 500 phút trong 1 tháng thì nên dùng gói cước nào?

Kiến thức cần nhớ

Phí gói A với thời gian gọi $x$ phút (khi $x > 45$ ) là $32 + 0, 4 (x - 45)$ USD.
Phí gói B với thời gian gọi $x$ phút là $44 + 0, 25 x$ USD.
Với $x \leq 45$ thì phí gói A luôn là 32 USD, còn phí gói B ít nhất là 44 USD, nên gói A rẻ hơn.
So sánh hai phương án chi phí quy về xét dấu của hiệu hai biểu thức bậc nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Hai gói cước đều tính phí theo công thức bậc nhất của thời gian gọi, chỉ khác nhau ở phần cố định và giá mỗi phút — dấu hiệu của dạng bài so sánh hai phương án chi phí. Lập HIỆU hai biểu thức phí là hướng lợi nhất vì nó trả lời cả câu a (hiệu bằng

0

) lẫn câu b (hiệu âm hay dương) chỉ trong một lần tính. Bẫy nằm ở 45 phút miễn phí của gói A: phần trả thêm tính trên

x - 45

chứ không phải trên

x

, quên chi tiết này là toàn bài sai.

1Cách 1. Lập biểu thức phí từng gói rồi giải phương trình, sau đó thay số cho câu b

Định hướng. Gọi thời gian gọi là ẩn, viết phí của mỗi gói rồi cho hai phí bằng nhau; câu b chỉ việc thay $180$ và $500$ .

Gọi

x

(phút) là thời gian gọi trong một tháng, với

x > 45

Phí gói A:

32 + 0, 4 (x - 45)

(USD)
Phí gói B:

44 + 0, 25 x

(USD)
a)

32 + 0, 4 (x - 45) = 44 + 0, 25 x

32 + 0, 4 x - 18 = 44 + 0, 25 x

0, 4 x - 0, 25 x = 44 - 14

0, 15 x = 30

x = 200

(thoả mãn

x > 45

)
Phí chung khi đó:

32 + 0, 4 \cdot 155 = 94

(USD)
b)

x = 180

: phí gói A

= 32 + 0, 4 \cdot 135 = 86

; phí gói B

= 44 + 0, 25 \cdot 180 = 89

86 < 89

x = 500

: phí gói A

= 32 + 0, 4 \cdot 455 = 214

; phí gói B

= 44 + 0, 25 \cdot 500 = 169

169 < 214

Vậy a) phương trình $32 + 0, 4 (x - 45) = 44 + 0, 25 x$ có nghiệm $x = 200$ , khi gọi 200 phút thì hai gói cùng tốn 94 USD; b) gọi 180 phút nên dùng gói A, gọi 500 phút nên dùng gói B.

2Cách 2. Xét hiệu phí của hai gói như một biểu thức bậc nhất

Định hướng. Đặt hiệu phí gói A trừ phí gói B, giải một lần là trả lời được cả hai câu.

Với

x > 45

, đặt

f (x) = [32 + 0, 4 (x - 45)] - (44 + 0, 25 x)

f (x) = 14 + 0, 4 x - 44 - 0, 25 x

f (x) = 0, 15 x - 30

f (x) = 0

0, 15 x = 30

x = 200

f (x) < 0

khi

x < 200

: gói A rẻ hơn

f (x) > 0

khi

x > 200

: gói B rẻ hơn

180 < 200

và

500 > 200

Vậy a) hai gói có phí bằng nhau khi gọi 200 phút; b) gọi 180 phút chọn gói A, gọi 500 phút chọn gói B.

Nhận xét. chỉ một biểu thức $f (x) = 0, 15 x - 30$ đã trả lời trọn vẹn cả bài mà không phải thay số riêng cho từng mốc.

3Cách 3. Lập bất phương trình rồi đọc kết quả trên đồ thị hai đường phí

Định hướng. Giải bất phương trình phí gói A không vượt quá phí gói B để tìm khoảng thời gian nên dùng gói A.

32 + 0, 4 (x - 45) \leq 44 + 0, 25 x

với

x > 45

14 + 0, 4 x \leq 44 + 0, 25 x

0, 15 x \leq 30

x \leq 200

Với

x \leq 45

: phí gói A

= 32

còn phí gói B

\geq 44

, gói A vẫn rẻ hơn

180 \leq 200

500 > 200

Vậy gọi không quá 200 phút thì nên dùng gói A, gọi trên 200 phút thì nên dùng gói B; do đó 180 phút chọn gói A và 500 phút chọn gói B.

Nhận xét. trên hình, hai đường biểu diễn phí cắt nhau tại điểm ứng với 200 phút và mức 94 USD; bên trái điểm cắt đường của gói A nằm thấp hơn, bên phải thì cao hơn — đúng như kết quả tính được.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: lập một hiệu

f (x) = 0, 15 x - 30

là giải xong cả câu a lẫn câu b, không phải tính lại phí từng gói cho mốc 180 rồi mốc 500 như Cách 1.

Đáp số. a) Phương trình

32 + 0, 4 (x - 45) = 44 + 0, 25 x

có nghiệm

x = 200

; gọi 200 phút thì hai gói cùng có phí 94 USD. b) Gọi 180 phút nên dùng gói A (86 USD so với 89 USD); gọi 500 phút nên dùng gói B (169 USD so với 214 USD).

Sai lầm thường gặp. Quên 45 phút miễn phí của gói A, viết phí gói A thành

32 + 0, 4 x

. Phản ví dụ: với

x = 200

cách viết sai cho

32 + 80 = 112

USD trong khi phí thật là

32 + 0, 4 \cdot 155 = 94

USD, lệch tới 18 USD, và mốc hoà phí bị đẩy từ 200 phút xuống còn 80 phút.

🚀 Mở rộng. Nếu hãng giữ nguyên gói A và hạ giá gói B xuống

c

USD mỗi phút thì mốc hoà phí là

x = \frac{30}{0 , 4 - c}

; hãy tìm

c

để gói B rẻ hơn ngay từ phút thứ 100.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 43

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 2.31★★★Trang 43— Toán thực tế — lập bất phương trình về điểm trung bình, làm tròn lên số nguyên

2.31 (trang 43). Thanh tham dự một kì kiểm tra năng lực tiếng Anh gồm 4 bài kiểm tra nghe, nói, đọc và viết. Mỗi bài kiểm tra có điểm là số nguyên từ 0 đến 10. Điểm trung bình của ba bài kiểm tra nghe, nói, đọc của Thanh là 6,7. Hỏi bài kiểm tra viết của Thanh cần được bao nhiêu điểm để điểm trung bình cả 4 bài kiểm tra được từ 7,0 trở lên? Biết điểm trung bình được tính gần đúng đến chữ số thập phân thứ nhất.

Kiến thức cần nhớ

Điểm trung bình của bốn bài bằng tổng điểm bốn bài chia cho $4$ .
Tổng điểm ba bài nghe, nói, đọc bằng $3 \cdot 6, 7 = 20, 1$ .
Điểm mỗi bài là số nguyên từ $0$ đến $10$ nên nghiệm của bất phương trình phải làm tròn LÊN tới số nguyên gần nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho điểm trung bình của ba bài đầu nên tổng ba bài đó tính được ngay, dấu hiệu để lập bất phương trình cho điểm bài thứ tư. Cách nhanh nhất là nhìn theo độ lệch so với mức 7,0: ba bài đầu hụt bao nhiêu thì bài viết phải bù đúng bấy nhiêu, khỏi phải tính tổng. Bẫy quyết định nằm ở cuối: nghiệm ra

x \geq 7, 9

nhưng điểm mỗi bài là SỐ NGUYÊN nên phải làm tròn LÊN thành

8

, chứ không được lấy

7, 9

hay làm tròn xuống thành

7

1Cách 1. Đặt ẩn là điểm bài viết rồi lập bất phương trình về điểm trung bình

Định hướng. Viết điểm trung bình bốn bài theo ẩn rồi cho nó không nhỏ hơn $7, 0$ .

Gọi

x

là điểm bài kiểm tra viết,

x

là số nguyên và

0 \leq x \leq 10

Tổng điểm ba bài nghe, nói, đọc:

3 \cdot 6, 7 = 20, 1

\frac{20 , 1 + x}{4} \geq 7

20, 1 + x \geq 28

x \geq 7, 9

x

nguyên nên

x \geq 8

Vậy bài kiểm tra viết của Thanh cần được ít nhất 8 điểm.

2Cách 2. Tính theo độ lệch so với mức trung bình 7,0

Định hướng. Mỗi bài lệch bao nhiêu so với mức $7, 0$ thì tổng bốn độ lệch phải không âm; bài viết chỉ việc bù phần hụt.

Ba bài nghe, nói, đọc lệch tổng cộng

3 (6, 7 - 7) = - 0, 9

so với mức

7, 0

Gọi

x

là điểm bài viết, độ lệch của bài viết là

x - 7

(x - 7) + (- 0, 9) \geq 0

x - 7 \geq 0, 9

x \geq 7, 9

x

nguyên nên

x \geq 8

Vậy điểm bài viết ít nhất là 8, khớp với Cách 1.

Nhận xét. cách nhìn theo độ lệch bỏ hẳn được phép chia cho $4$ nên tính nhẩm cũng ra.

3Cách 3. Thử hai giá trị nguyên liền kề quanh ngưỡng

Định hướng. Điểm bài viết là số nguyên nên chỉ cần kiểm tra hai giá trị nguyên sát ngưỡng $7, 9$ .

x = 7

: điểm trung bình

= \frac{20 , 1 + 7}{4} = \frac{27 , 1}{4} = 6, 775 \approx 6, 8

, chưa đạt

7, 0

x = 8

: điểm trung bình

= \frac{20 , 1 + 8}{4} = \frac{28 , 1}{4} = 7, 025 \approx 7, 0

, đạt yêu cầu

x = 9

: điểm trung bình

= \frac{29 , 1}{4} = 7, 275 \approx 7, 3

, cũng đạt

Vậy số điểm nhỏ nhất của bài viết để đạt yêu cầu là 8.

Nhận xét. phép thử cho thấy rất rõ vì sao ngưỡng lí thuyết $7, 9$ lại cho đáp số thực tế là $8$ — điểm bài kiểm tra không nhận giá trị lẻ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tính theo độ lệch chỉ mất ba dòng và không phải chia cho

4

, nên nhẩm được trong đầu; Cách 3 dùng để kiểm tra lại kết quả cho chắc.

Đáp số. Bài kiểm tra viết của Thanh cần được ít nhất 8 điểm (khi đó điểm trung bình bốn bài là

7, 025 \approx 7, 0

Sai lầm thường gặp. Giải ra

x \geq 7, 9

rồi trả lời '7,9 điểm', hoặc làm tròn XUỐNG thành 7 điểm. Phản ví dụ: với 7 điểm thì điểm trung bình là

\frac{27 , 1}{4} = 6, 775

, làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất được

6, 8

— vẫn chưa tới

7, 0

, nên 7 điểm không đạt.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, nếu điểm trung bình ba bài đầu là

m

thì bài viết cần ít nhất

28 - 3 m

điểm; hãy tìm xem với

m

nhỏ hơn bao nhiêu thì Thanh không thể đạt trung bình

7, 0

dù bài viết được 10 điểm.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 43

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 2.32★★★Trang 43— Toán thực tế — lập bất phương trình về điểm thưởng phạt, tìm số nguyên nhỏ nhất

2.32 (trang 43). Để lập đội tuyển năng khiếu về bóng rổ của trường, thầy thể dục đưa ra quy định tuyển chọn như sau: mỗi bạn dự tuyển sẽ được ném 15 quả bóng vào rổ, quả bóng vào rổ được cộng 2 điểm; quả bóng ném ra ngoài bị trừ 1 điểm. Nếu bạn nào có số điểm từ 15 điểm trở lên thì sẽ được chọn vào đội tuyển. Hỏi một học sinh muốn được chọn vào đội tuyển thì phải ném ít nhất bao nhiêu quả vào rổ?

Kiến thức cần nhớ

Ném 15 quả mà có $x$ quả vào rổ thì có $15 - x$ quả ra ngoài.
Số điểm đạt được là $2 x - (15 - x) = 3 x - 15$ .
Số quả bóng là số nguyên nên nghiệm của bất phương trình phải làm tròn LÊN tới số nguyên gần nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Tổng số quả ném cố định là 15 nên khi biết số quả vào rổ là biết luôn số quả ra ngoài — dấu hiệu để chỉ cần MỘT ẩn cho cả bài. Điểm vừa được cộng vừa bị trừ, nên phải viết điểm là

2 x - (15 - x)

chứ không phải chỉ

2 x

. Bẫy là quên phần bị trừ của các quả ném hụt, khi đó bất phương trình thành

2 x \geq 15

và cho đáp số nhỏ hơn thực tế.

1Cách 1. Đặt ẩn là số quả vào rổ rồi lập bất phương trình

Định hướng. Viết số điểm theo ẩn, cho số điểm không nhỏ hơn 15 rồi giải.

Gọi

x

là số quả bóng ném vào rổ,

x

là số nguyên và

0 \leq x \leq 15

Số quả ném ra ngoài:

15 - x

Số điểm đạt được:

2 x - (15 - x) = 3 x - 15

3 x - 15 \geq 15

3 x \geq 30

x \geq 10

Vậy học sinh phải ném vào rổ ít nhất 10 quả.

2Cách 2. Xuất phát từ trường hợp ném trượt cả 15 quả rồi tính phần điểm tăng thêm

Định hướng. Mỗi quả chuyển từ trượt thành vào rổ làm số điểm tăng một lượng cố định, từ đó viết ngay số điểm theo ẩn.

Ném trượt cả 15 quả thì số điểm là

- 15

Mỗi quả chuyển từ trượt thành vào rổ làm điểm tăng

2 - (- 1) = 3

Với

x

quả vào rổ, số điểm là

- 15 + 3 x

- 15 + 3 x \geq 15

3 x \geq 30

x \geq 10

Vậy số quả vào rổ ít nhất là 10, khớp với Cách 1.

Nhận xét. nhìn theo phần điểm tăng thêm cho thấy mỗi quả vào rổ đáng giá 3 điểm chứ không phải 2 điểm — đó chính là chỗ nhiều bạn tính hụt.

3Cách 3. Lập bảng điểm và thử các giá trị nguyên quanh mốc

Định hướng. Điểm tăng đều theo số quả vào rổ nên chỉ cần dò vài giá trị nguyên là thấy ngay mốc cần tìm.

x = 8

: số điểm

= 2 \cdot 8 - 1 \cdot 7 = 16 - 7 = 9

, chưa đạt

x = 9

: số điểm

= 2 \cdot 9 - 1 \cdot 6 = 18 - 6 = 12

, chưa đạt

x = 10

: số điểm

= 2 \cdot 10 - 1 \cdot 5 = 20 - 5 = 15

, vừa đủ 15 điểm nên được chọn

x = 11

: số điểm

= 2 \cdot 11 - 1 \cdot 4 = 22 - 4 = 18

, càng đạt

Vậy số quả vào rổ ít nhất để được chọn là 10.

Nhận xét. bảng thử cho thấy điểm tăng đều 3 đơn vị mỗi khi thêm một quả vào rổ, đúng như lập luận ở Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đặt một ẩn cho số quả vào rổ rồi suy ra số quả ra ngoài là

15 - x

, lời giải gọn bốn dòng và bám sát mẫu trình bày của dạng toán lập bất phương trình; Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra lại.

Đáp số. Học sinh phải ném vào rổ ít nhất 10 quả (khi đó được đúng 15 điểm).

Sai lầm thường gặp. Chỉ tính điểm cộng mà quên trừ điểm của các quả ném hụt, lập

2 x \geq 15

rồi trả lời 8 quả. Phản ví dụ: ném vào 8 quả thì trượt 7 quả, số điểm là

2 \cdot 8 - 7 = 9

— còn xa mức 15 điểm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, ném

n

quả, mỗi quả vào rổ được

p

điểm, mỗi quả trượt bị trừ

q

điểm và cần ít nhất

S

điểm thì số quả vào rổ ít nhất là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn

\frac{S + n q}{p + q}

; thay

n = 15

p = 2

q = 1

S = 15

được đúng 10.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 43

Mở bài này trong app ↗