Hoạt động thực hành trải nghiệm

Hoạt động thực hành trải nghiệm: Pha chế dung dịch theo nồng độ yêu cầu

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 2 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · HĐ1★★★Trang 114— Lập và giải hệ phương trình chứa tham số cho bài toán pha chế dung dịch theo nồng độ phần trăm

HĐ1. Tính toán lượng chất tan và dung môi để pha chế dung dịch có nồng độ phần trăm cho trước (trang 114–115). Ta cần tính số gam đường cát và số gam nước tinh khiết cần thiết để có thể tạo ra

n = 1000

(ml) dung dịch có nồng độ

a %

. Biết rằng khối lượng riêng của đường cát là

d = 1, 1

(g/ml) và 1 lít nước tinh khiết nặng 1 kg.
a) Gọi

x

(gam) và

y

(gam) lần lượt là lượng đường cát và nước cần để pha chế. Lập biểu thức tính thể tích và nồng độ dung dịch để chứng minh rằng

x, y

thoả mãn hệ phương trình

⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{1 , 1} + y = 1000 \frac{x}{x + y} \cdot 100 = a .

b) Biến đổi hệ phương trình trên về dạng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

{x + 1, 1 y = 1100 (100 - a) x - a y = 0.

Từ đó chứng tỏ nghiệm

(x; y)

của hệ phương trình này là

⎩ ⎨ ⎧ x = \frac{1 100 a}{110 - 0 , 1 a} y = \frac{1 100 ( 100 - a )}{110 - 0 , 1 a} .

c) Áp dụng: Tính lượng nước và đường cát tương ứng để pha

n = 1000

ml nước đường với nồng độ là

a = 63%

Kiến thức cần nhớ

Nồng độ phần trăm của dung dịch: $C % = \frac{m _{c t}}{m _{dd}} \times 100%$ , trong đó $m_{c t}$ là khối lượng chất tan, $m_{dd}$ là khối lượng dung dịch.
Thể tích $=$ khối lượng $:$ khối lượng riêng ( $V = \frac{m}{d}$ ).
Phương pháp thế và phương pháp cộng đại số giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho khối lượng riêng

d = 1, 1

và tổng thể tích

n = 1000

ml — dấu hiệu ghép hai công thức quen thuộc: thể tích

=

khối lượng

:

khối lượng riêng, và nồng độ phần trăm

C % = \frac{m _{c t}}{m _{dd}} \times 100%

, cho ra một hệ phương trình chứa tham số

a

chứ không phải số cụ thể. Hướng làm là khử mẫu ở cả hai phương trình để đưa về dạng bậc nhất hai ẩn rồi mới giải như hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thông thường (coi

a

là hằng số). Bẫy hay gặp: quên nhân cả hai vế của

\frac{x}{1 , 1} + y = 1000

với

1, 1

, hoặc nhầm

a %

nghĩa là phải chia

a

cho 100 ngay khi thế số.

1Cách 1. Khử mẫu rồi giải bằng phương pháp thế (rút

x

theo

y

)

Định hướng. Khử mẫu ở hai phương trình của ý a) để đưa hệ về dạng bậc nhất hai ẩn, rồi rút $x$ theo $y$ từ phương trình chứa tham số và thế ngược lại — hướng tự nhiên nhất vì phương trình thứ hai đã có sẵn dạng tích $(100 - a) x$ .

a) Thể tích dung dịch:

\frac{x}{1 , 1} + y = 1000

Nồng độ dung dịch:

\frac{x}{x + y} \cdot 100 = a

\frac{x}{1 , 1} + y = 1000 \Leftrightarrow x + 1, 1 y = 1100

\frac{x}{x + y} \cdot 100 = a \Leftrightarrow 100 x = a (x + y) \Leftrightarrow 100 x - a x - a y = 0 \Leftrightarrow (100 - a) x - a y = 0

{x + 1, 1 y = 1100 (100 - a) x - a y = 0

Từ

(100 - a) x - a y = 0 \Rightarrow (100 - a) x = a y \Rightarrow x = \frac{a y}{100 - a}

(với

a \neq = 100

)
Thế vào

x + 1, 1 y = 1100

\frac{a y}{100 - a} + 1, 1 y = 1100

\frac{a y + 1 , 1 y ( 100 - a )}{100 - a} = 1100

\frac{y [ a + 1 , 1 ( 100 - a ) ]}{100 - a} = 1100

\frac{y ( 110 - 0 , 1 a )}{100 - a} = 1100

y = \frac{1 100 ( 100 - a )}{110 - 0 , 1 a}

x = \frac{a y}{100 - a} = \frac{a}{100 - a} \cdot \frac{1 100 ( 100 - a )}{110 - 0 , 1 a} = \frac{1 100 a}{110 - 0 , 1 a}

c) Thay

a = 63

y = \frac{1 100 ( 100 - 63 )}{110 - 0 , 1 \cdot 63} = \frac{1 100 \cdot 37}{103 , 7} = \frac{40 700}{103 , 7} \approx 392, 5

x = \frac{1 100 \cdot 63}{103 , 7} = \frac{69 300}{103 , 7} \approx 668, 3

Vậy $x = \frac{1 100 a}{110 - 0 , 1 a}$ (g đường), $y = \frac{1 100 ( 100 - a )}{110 - 0 , 1 a}$ (g nước); với $a = 63%$ cần khoảng 668,3 g đường cát và 392,5 g nước tinh khiết.

2Cách 2. Phương pháp cộng đại số (khử

y

, tìm

x

trước)

Định hướng. Nhân hai phương trình của hệ với hệ số thích hợp để khử $y$ , tìm $x$ (lượng đường) trực tiếp trước rồi mới suy ra $y$ — phù hợp vì đại lượng đề hỏi trước là lượng đường cát.

{x + 1, 1 y = 1100 (100 - a) x - a y = 0

Nhân phương trình thứ nhất với

a

a x + 1, 1 a y = 1100 a

Nhân phương trình thứ hai với

1, 1

1, 1 (100 - a) x - 1, 1 a y = 0

Cộng vế theo vế:

a x + 1, 1 (100 - a) x = 1100 a

[a + 1, 1 (100 - a)] x = 1100 a

(110 - 0, 1 a) x = 1100 a

x = \frac{1 100 a}{110 - 0 , 1 a}

Từ

x + 1, 1 y = 1100

y = \frac{1 100 - x}{1 , 1} = \frac{1 100 ( 110 - 0 , 1 a ) - 1 100 a}{1 , 1 ( 110 - 0 , 1 a )}

y = \frac{1 100 [ ( 110 - 0 , 1 a ) - a ]}{1 , 1 ( 110 - 0 , 1 a )} = \frac{1 100 \cdot 1 , 1 ( 100 - a )}{1 , 1 ( 110 - 0 , 1 a )} = \frac{1 100 ( 100 - a )}{110 - 0 , 1 a}

Thay

a = 63

x = \frac{1 100 \cdot 63}{103 , 7} \approx 668, 3

;

y = \frac{1 100 \cdot 37}{103 , 7} \approx 392, 5

Vậy $x = \frac{1 100 a}{110 - 0 , 1 a}$ , $y = \frac{1 100 ( 100 - a )}{110 - 0 , 1 a}$ ; với $a = 63%$ cần khoảng 668,3 g đường và 392,5 g nước, khớp Cách 1.

3Cách 3. Chứng minh trực tiếp bằng cách thế nghiệm cho sẵn vào hệ

Định hướng. Đề bài đã cho sẵn biểu thức $(x; y)$ và chỉ yêu cầu "chứng tỏ" — nên thế thẳng hai biểu thức đó vào từng phương trình của hệ, kiểm tra thoả mãn đồng nhất theo $a$ , không cần giải hệ từ đầu.

Thế vào

x + 1, 1 y = 1100

\frac{1 100 a}{110 - 0 , 1 a} + 1, 1 \cdot \frac{1 100 ( 100 - a )}{110 - 0 , 1 a} = \frac{1 100 a + 1 210 ( 100 - a )}{110 - 0 , 1 a}

= \frac{1 100 a + 121 000 - 1 210 a}{110 - 0 , 1 a} = \frac{121 000 - 110 a}{110 - 0 , 1 a} = \frac{1 100 ( 110 - 0 , 1 a )}{110 - 0 , 1 a} = 1100

(đúng)
Thế vào

(100 - a) x - a y = 0

(100 - a) \cdot \frac{1 100 a}{110 - 0 , 1 a} - a \cdot \frac{1 100 ( 100 - a )}{110 - 0 , 1 a}

= \frac{1 100 a ( 100 - a ) - 1 100 a ( 100 - a )}{110 - 0 , 1 a} = 0

(đúng)
c) Thay

a = 63

vào biểu thức:

x = \frac{1 100 \cdot 63}{103 , 7} \approx 668, 3

;

y = \frac{1 100 \cdot 37}{103 , 7} \approx 392, 5

Vậy cặp $(x; y) = (\frac{1 100 a}{110 - 0 , 1 a}; \frac{1 100 ( 100 - a )}{110 - 0 , 1 a})$ đúng là nghiệm của hệ với mọi $a \neq = 100$ ; với $a = 63%$ cần khoảng 668,3 g đường và 392,5 g nước.

Nhận xét. Ba cách cho cùng một kết quả — Cách 3 nhanh nhất khi đề đã cho sẵn đáp số cần chứng minh, không phải giải lại hệ từ đầu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tính thẳng

x

(lượng đường — đại lượng đề hỏi trước) mà không phải quy đổi qua

y

rồi tính ngược; Cách 3 chỉ nên dùng khi đề đã cho sẵn biểu thức cần chứng minh như bài này.

Đáp số. b)

x = \frac{1 100 a}{110 - 0 , 1 a}

(g đường),

y = \frac{1 100 ( 100 - a )}{110 - 0 , 1 a}

(g nước). c) Với

a = 63%

x \approx 668, 3

g đường cát,

y \approx 392, 5

g nước tinh khiết (kiểm tra

x + y \approx 1060, 8

\frac{x}{1 , 1} + y \approx 1000

ml).

Sai lầm thường gặp. Quên nhân cả hai vế của

\frac{x}{1 , 1} + y = 1000

với

1, 1

khi khử mẫu, viết nhầm thành

x + y = 1000

— làm mất khối lượng riêng của đường. Nhầm

a %

nghĩa là phải chia

a

cho 100 ngay từ đầu (viết

a = 0, 63

thay vì giữ nguyên

a = 63

, vì công thức

\frac{x}{x + y} \cdot 100 = a

đã có sẵn phép nhân

100

🚀 Mở rộng. Với thể tích tổng quát

n

ml và khối lượng riêng

d

của chất tan bất kì, công thức trở thành

x = \frac{n d a}{a + d ( 100 - a )}

y = \frac{n d ( 100 - a )}{a + d ( 100 - a )}

— áp dụng ngay cho phần Thực hành với

d = 2, 16

(muối) và

a = 0, 9

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Thực hành★★Trang 115— Áp dụng công thức tổng quát ở HĐ1 để tính khối lượng chất tan và dung môi với số liệu mới

Thực hành (trang 115). Tính số gam muối tinh khiết và số gam nước tinh khiết cần thiết để có thể pha chế được

1000

ml dung dịch nước muối sinh lí nồng độ

0, 9%

, biết rằng khối lượng riêng của muối tinh khiết là

2, 16

g/ml.

Kiến thức cần nhớ

Công thức tổng quát suy từ HĐ1: $x = \frac{n d a}{a + d ( 100 - a )}$ , $y = \frac{n d ( 100 - a )}{a + d ( 100 - a )}$ , với $n$ là thể tích dung dịch, $d$ là khối lượng riêng chất tan, $a$ là nồng độ phần trăm.
Nồng độ phần trăm $C % = \frac{m _{c t}}{m _{dd}} \times 100%$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đúng dạng bài ở HĐ1 (pha

n

ml dung dịch nồng độ

a %

từ một chất tan có khối lượng riêng

d

), chỉ đổi số liệu:

d = 2, 16

(muối) và

a = 0, 9

thay cho

d = 1, 1

(đường) và

a = 63

. Dấu hiệu nhận dạng là cụm "khối lượng riêng ... g/ml" và "nồng độ ...%" giống hệt khung HĐ1, nên dùng lại công thức tổng quát vừa chứng minh thay vì lập lại từ đầu. Bẫy là dùng nhầm khối lượng riêng của đường

(1, 1)

hoặc đọc nhầm

0, 9%

thành

90%

1Cách 1. Dùng công thức tổng quát đã chứng minh ở HĐ1

Định hướng. Thay trực tiếp $n = 1000$ , $d = 2, 16$ , $a = 0, 9$ vào công thức $x = \frac{n d a}{a + d ( 100 - a )}$ , $y = \frac{n d ( 100 - a )}{a + d ( 100 - a )}$ đã chứng minh ở HĐ1, không cần lập lại hệ phương trình.

a + d (100 - a) = 0, 9 + 2, 16 \cdot (100 - 0, 9) = 0, 9 + 2, 16 \cdot 99, 1 = 0, 9 + 214, 056 = 214, 956

x = \frac{1 000 \cdot 2 , 16 \cdot 0 , 9}{214 , 956} = \frac{1 944}{214 , 956} \approx 9, 0

y = \frac{1 000 \cdot 2 , 16 \cdot 99 , 1}{214 , 956} = \frac{214 056}{214 , 956} \approx 995, 8

Vậy cần khoảng 9,0 g muối tinh khiết và 995,8 g nước tinh khiết.

2Cách 2. Lập lại hệ phương trình riêng cho bài toán muối, giải bằng phương pháp thế

Định hướng. Gọi $x$ , $y$ (gam) lần lượt là khối lượng muối và nước; lập hệ hai phương trình từ thể tích và nồng độ như ý a) của HĐ1 rồi rút $y$ theo $x$ từ phương trình nồng độ — cách làm khi chưa nhớ công thức tổng quát.

\frac{x}{2 , 16} + y = 1000 \Leftrightarrow x + 2, 16 y = 2160

\frac{x}{x + y} \cdot 100 = 0, 9 \Leftrightarrow 100 x = 0, 9 (x + y) \Leftrightarrow 99, 1 x - 0, 9 y = 0 \Leftrightarrow y = \frac{99 , 1 x}{0 , 9}

Thế vào

x + 2, 16 y = 2160

x + 2, 16 \cdot \frac{99 , 1 x}{0 , 9} = 2160

x + 237, 84 x = 2160

238, 84 x = 2160

x = \frac{2 160}{238 , 84} \approx 9, 0

y = \frac{2 160 - x}{2 , 16} \approx \frac{2 160 - 9 , 0}{2 , 16} \approx 995, 8

Vậy cần khoảng 9,0 g muối và 995,8 g nước, khớp Cách 1.

3Cách 3. Phương pháp cộng đại số (khử

x

, tìm

y

trước)

Định hướng. Từ hệ ${x + 2, 16 y = 2160 99, 1 x - 0, 9 y = 0$ , nhân phương trình thứ nhất với $99, 1$ rồi trừ đi phương trình thứ hai để khử $x$ , tìm $y$ trước — khác Cách 2 ở thứ tự khử ẩn, dùng để kiểm tra chéo kết quả.

Nhân phương trình thứ nhất với

99, 1

99, 1 x + 214, 056 y = 214056

Trừ đi phương trình thứ hai:

(99, 1 x + 214, 056 y) - (99, 1 x - 0, 9 y) = 214056 - 0

214, 956 y = 214056

y = \frac{214 056}{214 , 956} \approx 995, 8

Thay vào

x + 2, 16 y = 2160

x = 2160 - 2, 16 \cdot 995, 8 \approx 2160 - 2150, 9 \approx 9, 0

Vậy cần khoảng 9,0 g muối và 995,8 g nước, khớp Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Ba cách cho cùng một kết quả — Cách 1 nhanh nhất khi đã có công thức tổng quát, Cách 2 và Cách 3 hữu ích để kiểm tra lại khi không chắc chắn công thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ thay số vào công thức đã chứng minh ở HĐ1, mất khoảng hai dòng tính toán, không phải lập lại hệ phương trình từ đầu.

Đáp số. Cần khoảng

9, 0

g muối tinh khiết và

995, 8

g nước tinh khiết (kiểm tra:

\frac{x}{2 , 16} + y \approx 1000

ml, nồng độ

\approx 0, 9%

Sai lầm thường gặp. Dùng nhầm

d = 1, 1

(khối lượng riêng của đường ở HĐ1) thay vì

d = 2, 16

(khối lượng riêng của muối). Đọc nhầm nồng độ

0, 9%

thành

90

khi thế vào công thức, làm sai lệch hoàn toàn kết quả.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi thể tích cần pha từ

1000

ml sang

500

ml (giữ nguyên nồng độ

0, 9%

) thì cả

x

và

y

đều giảm đúng một nửa, vì công thức tổng quát tỉ lệ thuận với

n

Mở bài này trong app ↗