Chương II. Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Luyện tập chung

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 4 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · 2.12★★Trang 37— Giải phương trình đưa được về phương trình tích bằng cách đặt nhân tử chung

2.12 (trang 37). Giải các phương trình sau:
a)

2 (x + 1) = (5 x - 1) (x + 1)

;
b)

(- 4 x + 3) x = (2 x + 5) x

Kiến thức cần nhớ

Chuyển tất cả các số hạng về một vế rồi đặt nhân tử chung để đưa phương trình về dạng tích $A (x) \cdot B (x) = 0$ .
Phương trình tích bằng 0 khi và chỉ khi có ít nhất một nhân tử bằng 0.

1Cách 1. Chuyển vế, đặt nhân tử chung.

Định hướng. Cả hai vế của mỗi phương trình đều chứa nhân tử chung $(x + 1)$ ở câu a) và $x$ ở câu b), nên chuyển vế rồi đặt nhân tử chung để đưa về phương trình tích.

2 (x + 1) = (5 x - 1) (x + 1)

\Leftrightarrow 2 (x + 1) - (5 x - 1) (x + 1) = 0

\Leftrightarrow (x + 1) [2 - (5 x - 1)] = 0

\Leftrightarrow (x + 1) (3 - 5 x) = 0

\Leftrightarrow x + 1 = 0

hoặc

3 - 5 x = 0

\Leftrightarrow x = - 1

hoặc

x = \frac{3}{5}

(- 4 x + 3) x = (2 x + 5) x

\Leftrightarrow (- 4 x + 3) x - (2 x + 5) x = 0

\Leftrightarrow x [(- 4 x + 3) - (2 x + 5)] = 0

\Leftrightarrow x (- 6 x - 2) = 0

\Leftrightarrow x = 0

hoặc

- 6 x - 2 = 0

\Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = - \frac{1}{3}

Vậy a) phương trình có nghiệm $x = - 1$ và $x = \frac{3}{5}$ ; b) phương trình có nghiệm $x = 0$ và $x = - \frac{1}{3}$ .

2Cách 2. Khai triển rồi dùng công thức nghiệm bậc hai.

Định hướng. Khai triển hai vế để đưa mỗi phương trình về dạng $a x^{2} + b x + c = 0$ , rồi dùng công thức nghiệm để tìm $x$ , đối chiếu với cách 1.

(5 x - 1) (x + 1) = 5 x^{2} + 4 x - 1

2 (x + 1) = 2 x + 2

2 x + 2 = 5 x^{2} + 4 x - 1

\Leftrightarrow 5 x^{2} + 2 x - 3 = 0

Δ = 2^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 3) = 64

Δ = 8

x = \frac{- 2 + 8}{10} = \frac{3}{5}

hoặc

x = \frac{- 2 - 8}{10} = - 1

(- 4 x + 3) x = - 4 x^{2} + 3 x

(2 x + 5) x = 2 x^{2} + 5 x

- 4 x^{2} + 3 x = 2 x^{2} + 5 x

\Leftrightarrow 6 x^{2} + 2 x = 0

Δ = 2^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 0 = 4

Δ = 2

x = \frac{- 2 + 2}{12} = 0

hoặc

x = \frac{- 2 - 2}{12} = - \frac{1}{3}

Vậy kết quả khớp cách 1: a) $x = - 1$ và $x = \frac{3}{5}$ ; b) $x = 0$ và $x = - \frac{1}{3}$ .

Nhận xét. Với phương trình đã có sẵn nhân tử chung, đặt nhân tử chung thường nhanh gọn hơn khai triển toàn bộ rồi dùng công thức nghiệm.

Đáp số. a)

x = - 1

và

x = \frac{3}{5}

; b)

x = 0

và

x = - \frac{1}{3}

Sai lầm thường gặp. Chia cả hai vế cho nhân tử chung

(x + 1)

hoặc

x

mà quên xét trường hợp nhân tử đó bằng 0, làm mất nghiệm.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 37

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.13★★Trang 37— Toán thực tế lập phương trình chứa ẩn ở mẫu từ hàm chi phí

2.13 (trang 37). Để loại bỏ

x %

một loại tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là

C (x) = \frac{50 x}{100 - x}

(triệu đồng), với

0 \leq x < 100

. Nếu bỏ ra 450 triệu đồng, người ta có thể loại bỏ được bao nhiêu phần trăm loại tảo độc đó?

Kiến thức cần nhớ

Thay giá trị $C (x)$ đã biết vào công thức để lập phương trình một ẩn, tìm điều kiện của ẩn trước khi giải.
Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện $0 \leq x < 100$ để kết luận đúng ý nghĩa thực tế.

1Cách 1. Quy đồng, khử mẫu trực tiếp.

Định hướng. Thay $C (x) = 450$ vào công thức đã cho, khử mẫu để đưa về phương trình bậc nhất rồi đối chiếu điều kiện $0 \leq x < 100$ .

\frac{50 x}{100 - x} = 450

\Leftrightarrow 50 x = 450 (100 - x)

\Leftrightarrow 50 x = 45000 - 450 x

\Leftrightarrow 500 x = 45000

\Leftrightarrow x = 90

Vậy $x = 90$ thoả mãn điều kiện $0 \leq x < 100$ , tức là loại bỏ được 90% loại tảo độc đó.

2Cách 2. Dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Định hướng. Rút gọn phương trình về một tỉ lệ thức đơn giản, rồi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau (dựa vào tổng $x + (100 - x) = 100$ không đổi) để tìm $x$ mà không cần khai triển tích.

\frac{50 x}{100 - x} = 450 \Leftrightarrow \frac{x}{100 - x} = 9

\Leftrightarrow \frac{x}{9} = \frac{100 - x}{1}

\Leftrightarrow \frac{x}{9} = \frac{100 - x}{1} = \frac{x + ( 100 - x )}{9 + 1} = \frac{100}{10} = 10

\Leftrightarrow x = 9 \cdot 10 = 90

Vậy $x = 90$ , khớp với cách 1: loại bỏ được 90% loại tảo độc.

Nhận xét. Tỉ lệ thức $\frac{x}{9} = \frac{100 - x}{1}$ cho thấy khi phần trăm tảo bị loại bỏ càng gần 100% thì chi phí càng tăng rất nhanh, đúng với thực tế xử lí ô nhiễm càng triệt để càng tốn kém.

Đáp số.

x = 90

; loại bỏ được 90% loại tảo độc.

Sai lầm thường gặp. Quên đối chiếu điều kiện

0 \leq x < 100

, hoặc nhân chéo sai dấu khi khử mẫu

(100 - x)

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 37

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.14★★★Trang 37— Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu với mẫu là tổng hai lập phương hoặc hiệu hai bình phương

2.14 (trang 37). Giải các phương trình sau:
a)

\frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x ^{2} - 2 x + 4} = \frac{x - 4}{x ^{3} + 8}

;
b)

\frac{2 x}{x - 4} + \frac{3}{x + 4} = \frac{x - 12}{x ^{2} - 16}

Kiến thức cần nhớ

Phân tích $x^{3} + 8 = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ và $x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$ để tìm đúng mẫu chung.
Tam thức $x^{2} - 2 x + 4$ có $Δ < 0$ nên luôn dương với mọi $x$ , không sinh thêm điều kiện xác định.

1Cách 1. Quy đồng mẫu chung rồi khử mẫu.

Định hướng. Nhận ra mẫu chung của mỗi phương trình, quy đồng và khử mẫu để đưa về phương trình bậc hai rồi giải.

a) ĐKXĐ:

x \neq = - 2

\frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x ^{2} - 2 x + 4} = \frac{x - 4}{( x + 2 ) ( x ^{2} - 2 x + 4 )}

\Leftrightarrow \frac{( x ^{2} - 2 x + 4 ) - 2 ( x + 2 )}{( x + 2 ) ( x ^{2} - 2 x + 4 )} = \frac{x - 4}{( x + 2 ) ( x ^{2} - 2 x + 4 )}

\Rightarrow (x^{2} - 2 x + 4) - 2 (x + 2) = x - 4

x^{2} - 4 x = x - 4

x^{2} - 5 x + 4 = 0

(x - 1) (x - 4) = 0

x = 1

hoặc

x = 4

b) ĐKXĐ:

x \neq = 4

và

x \neq = - 4

\frac{2 x ( x + 4 ) + 3 ( x - 4 )}{( x - 4 ) ( x + 4 )} = \frac{x - 12}{( x - 4 ) ( x + 4 )}

\Rightarrow 2 x (x + 4) + 3 (x - 4) = x - 12

2 x^{2} + 11 x - 12 = x - 12

2 x^{2} + 10 x = 0

2 x (x + 5) = 0

x = 0

hoặc

x = - 5

Vậy a) $x = 1$ và $x = 4$ đều thoả mãn ĐKXĐ nên là nghiệm; b) $x = 0$ và $x = - 5$ đều thoả mãn ĐKXĐ nên là nghiệm.

2Cách 2. Gộp trước hai số hạng cùng chứa một nhân tử ở mẫu.

Định hướng. Chuyển một số hạng sang vế bên kia để gộp với số hạng có cùng nhân tử ở mẫu trước, rút gọn rồi mới quy đồng, thay vì quy đồng đồng thời cả ba phân thức như cách 1.

a) ĐKXĐ:

x \neq = - 2

\frac{1}{x + 2} = \frac{x - 4}{( x + 2 ) ( x ^{2} - 2 x + 4 )} + \frac{2}{x ^{2} - 2 x + 4}

\Leftrightarrow \frac{1}{x + 2} = \frac{( x - 4 ) + 2 ( x + 2 )}{( x + 2 ) ( x ^{2} - 2 x + 4 )}

\Leftrightarrow \frac{1}{x + 2} = \frac{3 x}{( x + 2 ) ( x ^{2} - 2 x + 4 )}

\Rightarrow x^{2} - 2 x + 4 = 3 x

x^{2} - 5 x + 4 = 0

(x - 1) (x - 4) = 0

x = 1

hoặc

x = 4

b) ĐKXĐ:

x \neq = 4

và

x \neq = - 4

\frac{2 x}{x - 4} = \frac{x - 12}{( x - 4 ) ( x + 4 )} - \frac{3}{x + 4}

\Leftrightarrow \frac{2 x}{x - 4} = \frac{( x - 12 ) - 3 ( x - 4 )}{( x - 4 ) ( x + 4 )}

\Leftrightarrow \frac{2 x}{x - 4} = \frac{- 2 x}{( x - 4 ) ( x + 4 )}

\Rightarrow 2 x (x + 4) = - 2 x

2 x^{2} + 10 x = 0

2 x (x + 5) = 0

x = 0

hoặc

x = - 5

Vậy kết quả khớp cách 1: a) $x = 1$ và $x = 4$ ; b) $x = 0$ và $x = - 5$ .

Nhận xét. Gộp trước hai số hạng cùng chứa một nhân tử ở mẫu giúp tử số gọn hơn so với quy đồng đồng thời cả ba phân thức.

Đáp số. a)

x = 1

và

x = 4

; b)

x = 0

và

x = - 5

Sai lầm thường gặp. Quên rằng

x^{3} + 8 = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)

hoặc

x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)

nên quy đồng sai mẫu chung, dẫn đến kết quả sai.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 37

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.15★★Trang 37— Chứng minh bất đẳng thức bằng tính chất liên hệ giữa thứ tự với phép cộng, phép nhân

2.15 (trang 37). Cho

a > b

, chứng minh rằng:
a)

4 a + 4 > 4 b + 3

;
b)

1 - 3 a < 3 - 3 b

Kiến thức cần nhớ

Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương thì giữ nguyên chiều; nhân với số âm thì phải đổi chiều.
Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức thì không đổi chiều.

1Cách 1. Dùng tính chất liên hệ giữa thứ tự với phép nhân, phép cộng rồi bắc cầu.

Định hướng. Nhân hai vế của $a > b$ với một số thích hợp rồi cộng thêm một số để xuất hiện đúng vế cần chứng minh, sau đó dùng tính chất bắc cầu.

a) Từ

a > b

, nhân hai vế với

4 > 0

4 a > 4 b

Suy ra

4 a + 4 > 4 b + 4

Vì

4 > 3

nên

4 b + 4 > 4 b + 3

Theo tính chất bắc cầu, suy ra

4 a + 4 > 4 b + 3

b) Từ

a > b

, nhân hai vế với

- 3 < 0

- 3 a < - 3 b

Suy ra

1 - 3 a < 1 - 3 b

Vì

1 < 3

nên

1 - 3 b < 3 - 3 b

Theo tính chất bắc cầu, suy ra

1 - 3 a < 3 - 3 b

Vậy a) $4 a + 4 > 4 b + 3$ và b) $1 - 3 a < 3 - 3 b$ đều được chứng minh.

2Cách 2. Xét hiệu hai vế.

Định hướng. Xét hiệu vế lớn trừ vế bé, biến đổi về biểu thức chứa nhân tử $(a - b)$ dương để kết luận dấu của hiệu, không cần qua các bất đẳng thức trung gian như cách 1.

(4 a + 4) - (4 b + 3) = 4 a - 4 b + 1 = 4 (a - b) + 1

Vì

a > b

nên

a - b > 0

, suy ra

4 (a - b) > 0

Do đó

4 (a - b) + 1 > 1 > 0

(3 - 3 b) - (1 - 3 a) = 3 - 3 b - 1 + 3 a = 2 + 3 (a - b)

Vì

a > b

nên

a - b > 0

, suy ra

3 (a - b) > 0

Do đó

2 + 3 (a - b) > 2 > 0

Vậy a) $(4 a + 4) - (4 b + 3) > 0$ nên $4 a + 4 > 4 b + 3$ ; b) $(3 - 3 b) - (1 - 3 a) > 0$ nên $1 - 3 a < 3 - 3 b$ , khớp với cách 1.

Nhận xét. Xét hiệu hai vế đưa bất đẳng thức về xét dấu một biểu thức chứa nhân tử $(a - b)$ , thường gọn khi hệ số của $a$ và $b$ ở hai vế khác nhau.

Đáp số. a)

4 a + 4 > 4 b + 3

đúng với mọi

a > b

; b)

1 - 3 a < 3 - 3 b

đúng với mọi

a > b

Sai lầm thường gặp. Ở câu b) nhân hai vế với số âm

- 3

mà quên đổi chiều bất đẳng thức.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 37

Mở bài này trong app ↗