Chương IV. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Luyện tập chung (sau Bài 12)

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Ví dụ 1★Trang 79— Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông

Ví dụ 1 (trang 79). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

A B = 5

cm,

A C = 12

cm.
a) Tính các tỉ số lượng giác của góc

B

.
b) Từ kết quả câu a) suy ra các tỉ số lượng giác của góc

C

Kiến thức cần nhớ

Định lí Pythagore: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Với một góc nhọn trong tam giác vuông: sin bằng cạnh đối chia cạnh huyền, côsin bằng cạnh kề chia cạnh huyền, tang bằng cạnh đối chia cạnh kề, côtang bằng cạnh kề chia cạnh đối.
Hai góc phụ nhau: $sin α = cos (9 0^{\circ} - α)$ và $tan α = cot (9 0^{\circ} - α)$ .
Các đồng nhất thức $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ và $1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai cạnh góc vuông nhưng bốn tỉ số lượng giác của góc

B

lại cần tới cạnh huyền, nên dấu hiệu đầu tiên là phải tìm

B C

bằng định lí Pythagore. Bộ ba

5

—

12

—

13

cho

B C

là số nguyên nên đi theo hướng này gọn nhất, không phải làm tròn dòng nào. Ý b) hoàn toàn không cần tính lại vì

B

và

C

phụ nhau, chỉ việc đổi vai trò sin với côsin, tang với côtang.

1Cách 1. Tìm cạnh huyền bằng định lí Pythagore rồi đọc theo định nghĩa

Định hướng. Bốn tỉ số lượng giác của $B$ đều cần cạnh huyền $B C$ , nên tìm $B C$ trước rồi đọc thẳng theo định nghĩa.

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

B C^{2} = 5^{2} + 1 2^{2}

B C^{2} = 25 + 144

B C^{2} = 169

B C = 13

(cm)

sin B = \frac{A C}{B C} = \frac{12}{13}

cos B = \frac{A B}{B C} = \frac{5}{13}

tan B = \frac{A C}{A B} = \frac{12}{5}

cot B = \frac{A B}{A C} = \frac{5}{12}

B + C = 9 0^{\circ}

sin C = cos B = \frac{5}{13}

cos C = sin B = \frac{12}{13}

tan C = cot B = \frac{5}{12}

cot C = tan B = \frac{12}{5}

Vậy $sin B = \frac{12}{13}, cos B = \frac{5}{13}, tan B = \frac{12}{5}, cot B = \frac{5}{12}$ và $sin C = \frac{5}{13}, cos C = \frac{12}{13}, tan C = \frac{5}{12}, cot C = \frac{12}{5}$ .

2Cách 2. Tính tang trước rồi dùng đồng nhất thức lượng giác, không cần cạnh huyền

Định hướng. Tang của $B$ chỉ cần hai cạnh góc vuông đã cho; từ tang suy ra côsin nhờ $1 + tan^{2} B = \frac{1}{cos ^{2} B}$ rồi suy nốt sin, cả bài không phải tính $B C$ .

tan B = \frac{A C}{A B} = \frac{12}{5}

cot B = \frac{1}{tan B} = \frac{5}{12}

\frac{1}{cos ^{2} B} = 1 + tan^{2} B

\frac{1}{cos ^{2} B} = 1 + \frac{144}{25}

\frac{1}{cos ^{2} B} = \frac{169}{25}

cos^{2} B = \frac{25}{169}

cos B = \frac{5}{13}

sin B = tan B \cdot cos B

sin B = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13}

sin C = cos B = \frac{5}{13}

cos C = sin B = \frac{12}{13}

tan C = cot B = \frac{5}{12}

cot C = tan B = \frac{12}{5}

Vậy $sin B = \frac{12}{13}, cos B = \frac{5}{13}, tan B = \frac{12}{5}, cot B = \frac{5}{12}$ và $sin C = \frac{5}{13}, cos C = \frac{12}{13}, tan C = \frac{5}{12}, cot C = \frac{12}{5}$ .

3Cách 3. Kẻ đường cao

A H

, đọc tỉ số trên tam giác đồng dạng

H B A

Định hướng. Góc $B$ đồng thời là một góc nhọn của tam giác vuông $H B A$ ; hai tam giác $H B A$ và $A B C$ đồng dạng nên $B H$ và $A H$ tính được, rồi đọc bốn tỉ số ngay trên tam giác nhỏ.

B C = 5^{2} + 1 2^{2} = 13

(cm)

△ H B A \sim △ A B C

(g.g)

\frac{B H}{A B} = \frac{A B}{B C}

B H = \frac{A B ^{2}}{B C} = \frac{25}{13}

(cm)

\frac{A H}{A C} = \frac{A B}{B C}

A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{60}{13}

(cm)

sin B = \frac{A H}{A B} = \frac{60}{13} : 5 = \frac{12}{13}

cos B = \frac{B H}{A B} = \frac{25}{13} : 5 = \frac{5}{13}

tan B = \frac{A H}{B H} = \frac{60}{13} : \frac{25}{13} = \frac{12}{5}

cot B = \frac{B H}{A H} = \frac{5}{12}

sin C = cos B = \frac{5}{13}

;

cos C = sin B = \frac{12}{13}

tan C = cot B = \frac{5}{12}

;

cot C = tan B = \frac{12}{5}

Vậy $sin B = \frac{12}{13}, cos B = \frac{5}{13}, tan B = \frac{12}{5}, cot B = \frac{5}{12}$ và $sin C = \frac{5}{13}, cos C = \frac{12}{13}, tan C = \frac{5}{12}, cot C = \frac{12}{5}$ .

Nhận xét. Ba cách cho cùng một bộ số, chứng tỏ tỉ số lượng giác của $B$ đọc trên tam giác lớn hay tam giác nhỏ đồng dạng đều như nhau — đó chính là lí do định nghĩa tỉ số lượng giác không phụ thuộc kích thước tam giác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng Pythagore là có đủ ba cạnh rồi đọc thẳng bốn tỉ số theo định nghĩa nên gần như không thể sai. Cách 2 chỉ đáng dùng khi đề giấu cạnh huyền và chỉ cho hai cạnh góc vuông kèm yêu cầu tính nhanh.

Đáp số. a)

sin B = \frac{12}{13}

cos B = \frac{5}{13}

tan B = \frac{12}{5}

cot B = \frac{5}{12}

. b)

sin C = \frac{5}{13}

cos C = \frac{12}{13}

tan C = \frac{5}{12}

cot C = \frac{12}{5}

Sai lầm thường gặp. Nhầm cạnh đối với cạnh kề của góc

B

: cạnh đối của

B

là

A C = 12

chứ không phải

A B = 5

, viết

sin B = \frac{5}{13}

là sai. Lỗi thứ hai nằm ở ý b): lấy

sin C = sin B

vì tưởng hai góc bằng nhau, trong khi

B

và

C

chỉ phụ nhau nên sin của góc này bằng côsin của góc kia.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, tam giác vuông tại

A

có

A B = 5 k

và

A C = 12 k

với

k > 0

thì bốn tỉ số lượng giác của

B

vẫn y nguyên

\frac{12}{13}

\frac{5}{13}

\frac{12}{5}

\frac{5}{12}

, vì tỉ số lượng giác chỉ phụ thuộc độ lớn của góc chứ không phụ thuộc kích thước tam giác.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Ví dụ 2★★★Trang 79— Tính góc và cạnh xiên của hình thang vuông bằng tỉ số lượng giác

Ví dụ 2 (trang 79). Một bức tường đang xây dở có dạng hình thang vuông

A B C D

, vuông góc ở

A

và

D

A B = 1

C D = 4

A D = 6

m.
a) Hỏi góc

α

tạo bởi đường thẳng

B C

và mặt đất

A D

có số đo xấp xỉ bằng bao nhiêu (làm tròn đến phút)?
b) Tính độ dài cạnh

B C

(làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Kiến thức cần nhớ

Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song và một góc vuông là hình chữ nhật; hình chữ nhật có hai cạnh đối bằng nhau.
Hai góc đồng vị tạo bởi hai đường thẳng song song và một cát tuyến thì bằng nhau.
Trong tam giác vuông, tang của một góc nhọn bằng cạnh đối chia cạnh kề.
Định lí Pythagore và hệ thức cạnh huyền bằng cạnh đối chia sin góc đối.
Đổi phần lẻ của số đo độ ra phút: nhân phần lẻ với $60$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hình thang vuông có hai đáy lệch nhau nên cạnh xiên

B C

luôn nằm trong một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là chiều cao

A D

và hiệu hai đáy

C D - A B

— đó là dấu hiệu để kẻ ngay đường phụ song song mặt đất. Chọn tang vì cả hai cạnh góc vuông đều tính được trực tiếp từ số liệu đề cho, không phải đi vòng qua cạnh huyền. Bẫy nằm ở chỗ cạnh đối của

α

là

C D - A B = 3

chứ không phải

C D = 4

, và ở chỗ đổi phần lẻ độ ra phút.

1Cách 1. Kẻ đường phụ song song mặt đất, đưa về tam giác vuông

B E C

Định hướng. Qua $B$ kẻ đường song song với mặt đất $A D$ cắt $C D$ ở $E$ ; tứ giác $A B E D$ thành hình chữ nhật nên tam giác $B E C$ vuông tại $E$ có sẵn hai cạnh góc vuông.

A B E D

có

B E ∥ A D

A B ∥ D E

A = 9 0^{\circ}

A B E D

là hình chữ nhật

B E = A D = 6

(m)

E D = A B = 1

(m)

E C = C D - E D

E C = 4 - 1

E C = 3

(m)

E B C = α

(đồng vị,

B E ∥ A D

)

tan α = \frac{E C}{B E}

tan α = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

α \approx 26, 56 5^{\circ} = 2 6^{\circ} 33, 9^{'}

α \approx 2 6^{\circ} 3 4^{'}

B C^{2} = B E^{2} + E C^{2}

B C^{2} = 6^{2} + 3^{2}

B C^{2} = 36 + 9

B C^{2} = 45

B C = 45 = 35 \approx 6, 7

(m)

Vậy $α \approx 2 6^{\circ} 3 4^{'}$ và $B C = 35 \approx 6, 7 m$ .

2Cách 2. Dùng giao điểm

I

của hai đường thẳng

A D

và

B C

Định hướng. Kéo dài $C B$ cắt mặt đất ở $I$ ; hai tam giác vuông $I A B$ và $I D C$ đồng dạng với tỉ số $\frac{A B}{D C} = \frac{1}{4}$ nên tính được $I A$ , từ đó có ngay $tan α$ và $B C = I C - I B$ .

△ I A B \sim △ I D C

(g.g)

\frac{I A}{I D} = \frac{A B}{D C} = \frac{1}{4}

I D = I A + A D = I A + 6

4 I A = I A + 6

3 I A = 6

I A = 2

(m)

tan α = \frac{A B}{I A} = \frac{1}{2}

α \approx 26, 56 5^{\circ} = 2 6^{\circ} 33, 9^{'} \approx 2 6^{\circ} 3 4^{'}

I B^{2} = I A^{2} + A B^{2} = 2^{2} + 1^{2} = 5

I B = 5

(m)

I C = 4 I B = 45

(m)

B C = I C - I B

B C = 45 - 5

B C = 35 \approx 6, 7

(m)

Vậy $α \approx 2 6^{\circ} 3 4^{'}$ và $B C = 35 \approx 6, 7 m$ .

3Cách 3. Gắn hệ trục toạ độ, đọc

tan α

là hệ số góc của

B C

Định hướng. Lấy $A$ làm gốc, tia $A D$ làm trục hoành, tia $A B$ làm trục tung; khi đó $tan α$ chính là hệ số góc của đường thẳng $B C$ còn $B C$ là khoảng cách giữa hai điểm.

A (0; 0)

D (6; 0)

B (0; 1)

C (6; 4)

tan α = \frac{4 - 1}{6 - 0}

tan α = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

α \approx 26, 56 5^{\circ} = 2 6^{\circ} 33, 9^{'} \approx 2 6^{\circ} 3 4^{'}

B C^{2} = (6 - 0)^{2} + (4 - 1)^{2}

B C^{2} = 36 + 9

B C^{2} = 45

B C = 35 \approx 6, 7

(m)

Vậy $α \approx 2 6^{\circ} 3 4^{'}$ và $B C = 35 \approx 6, 7 m$ .

Nhận xét. Có thể kiểm tra chéo ý b) bằng hệ thức cạnh và góc: $B C = \frac{E C}{sin α} = \frac{3}{sin 2 6 ^{\circ} 3 4 ^{'}} \approx 6, 7$ m, đúng bằng kết quả Pythagore — dùng cách này khi đề chỉ cho góc và một cạnh góc vuông.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ một đường phụ quen thuộc là hiện ra tam giác vuông với hai cạnh góc vuông

6

và

3

, mọi phép tính đều là số nguyên. Cách 3 tiện hơn khi bài cho kích thước theo hai phương vuông góc và còn hỏi thêm phương trình đường thẳng.

Đáp số. a)

tan α = \frac{1}{2}

nên

α \approx 2 6^{\circ} 3 4^{'}

. b)

B C = 35 \approx 6, 7

Sai lầm thường gặp. Lấy luôn

tan α = \frac{C D}{A D} = \frac{4}{6}

, tức là nhầm

α

thành góc giữa

A C

và mặt đất; cạnh đối của

α

trong tam giác

B E C

là

E C = C D - A B = 3

chứ không phải

C D = 4

. Lỗi thứ hai là tính ra

α \approx 26, 5 7^{\circ}

rồi ghi thành

2 6^{\circ} 5 7^{'}

, trong khi phần lẻ

0, 56 5^{\circ}

phải nhân

60

mới ra

33, 9^{'}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, hình thang vuông có hai đáy

a < b

và đường cao

h

thì

tan α = \frac{b - a}{h}

và cạnh xiên bằng

h^{2} + (b - a)^{2}

; thay

a = 1

b = 4

h = 6

được đúng

tan α = \frac{1}{2}

và

B C = 35

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 4.14★★Trang 80— Tính tỉ số lượng giác và số đo góc giữa đường chéo với cạnh hình chữ nhật

Bài 4.14 (trang 80). Một cuốn sách khổ

17 \times 24

cm, tức là chiều rộng

17

cm, chiều dài

24

cm. Gọi

α

là góc giữa đường chéo và cạnh

17

cm. Tính

sin α

cos α

(làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) và tính số đo

α

(làm tròn đến độ).

Kiến thức cần nhớ

Đường chéo hình chữ nhật chia hình thành hai tam giác vuông bằng nhau.
Định lí Pythagore: bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Định nghĩa sin, côsin, tang, côtang của một góc nhọn trong tam giác vuông.
Đồng nhất thức $1 + cot^{2} α = \frac{1}{sin ^{2} α}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cuốn sách là hình chữ nhật nên đường chéo chia nó thành hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là

17

và

24

. Góc

α

kề cạnh

17

và đối cạnh

24

, do đó chỉ cần biết đường chéo là cạnh huyền thì cả sin lẫn côsin đều đọc được bằng định nghĩa. Bẫy của đề nằm ở cụm “cạnh

17

cm”: ai đọc vội sẽ lấy

17

làm cạnh đối và ra

sin α \approx 0, 58

, tức là đổi chỗ sin với côsin.

1Cách 1. Tính đường chéo bằng định lí Pythagore rồi dùng định nghĩa

Định hướng. Đường chéo là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $17$ và $24$ , tìm nó trước thì sin và côsin hiện ra ngay theo định nghĩa.

d^{2} = 1 7^{2} + 2 4^{2}

d^{2} = 289 + 576

d^{2} = 865

d = 865 \approx 29, 41

(cm)

sin α = \frac{24}{d} = \frac{24}{865}

sin α \approx 0, 8160 \approx 0, 82

cos α = \frac{17}{d} = \frac{17}{865}

cos α \approx 0, 5780 \approx 0, 58

α \approx 54, 6 9^{\circ}

α \approx 5 5^{\circ}

Vậy $sin α \approx 0, 82, cos α \approx 0, 58, α \approx 5 5^{\circ}$ .

2Cách 2. Tính

tan α

để tìm số đo

α

trước, rồi suy ra sin và côsin

Định hướng. Tang chỉ cần hai cạnh của hình chữ nhật nên có ngay mà không phải tính đường chéo; từ $α$ tra máy tính cầm tay ra sin và côsin.

tan α = \frac{24}{17}

tan α \approx 1, 4118

α \approx 54, 688 8^{\circ}

α \approx 5 5^{\circ}

sin α \approx sin 54, 688 8^{\circ}

sin α \approx 0, 8160 \approx 0, 82

cos α \approx cos 54, 688 8^{\circ}

cos α \approx 0, 5780 \approx 0, 58

Vậy $sin α \approx 0, 82, cos α \approx 0, 58, α \approx 5 5^{\circ}$ .

3Cách 3. Dùng đồng nhất thức

1 + cot^{2} α = \frac{1}{sin ^{2} α}

Định hướng. Côtang đọc ngay từ hai cạnh, rồi đồng nhất thức cho sin dưới dạng giá trị đúng, cuối cùng côsin bằng sin nhân côtang — cả bài không cần tới đường chéo.

cot α = \frac{17}{24}

\frac{1}{sin ^{2} α} = 1 + cot^{2} α

\frac{1}{sin ^{2} α} = 1 + \frac{289}{576}

\frac{1}{sin ^{2} α} = \frac{865}{576}

sin^{2} α = \frac{576}{865}

sin α = \frac{24}{865} \approx 0, 82

cos α = sin α \cdot cot α

cos α = \frac{24}{865} \cdot \frac{17}{24} = \frac{17}{865}

cos α \approx 0, 58

α \approx 54, 6 9^{\circ} \approx 5 5^{\circ}

Vậy $sin α \approx 0, 82, cos α \approx 0, 58, α \approx 5 5^{\circ}$ .

Nhận xét. Thử lại bằng $sin^{2} α + cos^{2} α$ : $\frac{576}{865} + \frac{289}{865} = 1$ , đúng — đây là phép kiểm tra nhanh nên làm trước khi ghi đáp số của mọi bài tính tỉ số lượng giác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ có một phép khai căn rồi chia, ít thao tác máy tính nhất và cho luôn cả ba đáp số. Cách 3 đáng dùng khi đề đòi giá trị đúng dạng phân số chứa căn chứ không phải số thập phân làm tròn.

Đáp số.

sin α = \frac{24}{865} \approx 0, 82

;

cos α = \frac{17}{865} \approx 0, 58

;

α \approx 54, 6 9^{\circ} \approx 5 5^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Đổi chỗ sin với côsin do lấy

17

làm cạnh đối của

α

α

kề cạnh

17

nên

cos α = \frac{17}{865}

, còn

sin α

mới bằng

\frac{24}{865}

. Lỗi thứ hai là làm tròn quá sớm, lấy

d \approx 29

rồi tính

sin α \approx \frac{24}{29} \approx 0, 83

— sai ở chữ số thập phân thứ hai chính là chữ số đề yêu cầu.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, sách khổ

a \times b

có

tan α = \frac{b}{a}

; khổ A4 là

21 \times 29, 7

cm cho

tan α \approx 1, 4143

và

α \approx 54, 7^{\circ}

— gần trùng khổ

17 \times 24

vì hai khổ này có cùng tỉ lệ xấp xỉ

2

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 4.15★★★Trang 80— Giải tam giác thường bằng cách tách thành hai tam giác vuông qua đường cao

Bài 4.15 (trang 80). Cho tam giác

A B C

có chân đường cao

A H

nằm giữa

B

và

C

. Biết

H B = 3

cm,

H C = 6

cm,

H A C = 6 0^{\circ}

. Hãy tính độ dài các cạnh (làm tròn đến cm), số đo các góc của tam giác

A B C

(làm tròn đến độ).

Kiến thức cần nhớ

Đường cao hạ từ một đỉnh chia tam giác thành hai tam giác vuông có chung cạnh là đường cao đó.
Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông: cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân tang góc đối, và bằng cạnh huyền nhân sin góc đối.
Hai góc nhọn của một tam giác vuông phụ nhau.
Tổng ba góc của một tam giác bằng $18 0^{\circ}$ .
Định lí Pythagore.

🧠 Phân tích tư duy

Tam giác

A B C

không vuông nhưng đường cao

A H

cắt nó thành hai tam giác vuông

A H B

và

A H C

— đây là chìa khoá của mọi bài giải tam giác thường ở lớp 9. Tam giác

A H C

biết một cạnh góc vuông và một góc nhọn nên giải được ngay, cho

A H

dùng chung với tam giác

A H B

. Bẫy nằm ở góc

A

: nó là tổng

H A B + H A C

chứ không phải

6 0^{\circ}

, và ở chỗ

tan 6 0^{\circ}

trong tam giác

A H C

bằng

H C

chia

A H

nên phải chia chứ không nhân.

1Cách 1. Giải tam giác vuông

A H C

lấy

A H

rồi chuyển sang tam giác

A H B

Định hướng. Tam giác $A H C$ biết $H C$ và góc $H A C$ nên cho ngay $A H$ và $A C$ ; cạnh $A H$ dùng chung sẽ mở khoá tam giác $A H B$ còn lại.

△ A H C

vuông tại

H

H C = A H \cdot tan H A C

A H = \frac{H C}{tan 6 0 ^{\circ}} = \frac{6}{3}

A H = 23 \approx 3, 46

(cm)

A C = \frac{H C}{sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{6}{\frac{3}{2}}

A C = 43 \approx 6, 93

(cm)

A B^{2} = A H^{2} + H B^{2}

A B^{2} = (23)^{2} + 3^{2}

A B^{2} = 12 + 9 = 21

A B = 21 \approx 4, 58

(cm)

B C = H B + H C = 3 + 6 = 9

(cm)

tan B = \frac{A H}{H B} = \frac{2 3}{3} \approx 1, 1547

B \approx 49, 1 1^{\circ} \approx 4 9^{\circ}

C = 9 0^{\circ} - H A C = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

A = 18 0^{\circ} - B - C

A \approx 18 0^{\circ} - 49, 1 1^{\circ} - 3 0^{\circ}

A \approx 100, 8 9^{\circ} \approx 10 1^{\circ}

Vậy $A B \approx 5 cm, A C \approx 7 cm, B C = 9 cm$ và $A \approx 10 1^{\circ}, B \approx 4 9^{\circ}, C = 3 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Gắn hệ trục toạ độ với gốc tại chân đường cao

H

Định hướng. Đặt $H$ ở gốc, $B C$ nằm trên trục hoành thì $A$ có toạ độ $(0; h)$ ; điều kiện $H A C = 6 0^{\circ}$ cho một phương trình một ẩn $h$ , sau đó mọi cạnh là khoảng cách giữa hai điểm.

H (0; 0)

B (- 3; 0)

C (6; 0)

A (0; h)

với

h > 0

tan H A C = \frac{H C}{A H} = \frac{6}{h}

\frac{6}{h} = tan 6 0^{\circ} = 3

h = \frac{6}{3} = 23

A B = (- 3 - 0)^{2} + (0 - 23)^{2}

A B = 9 + 12 = 21 \approx 4, 58

(cm)

A C = (6 - 0)^{2} + (0 - 23)^{2}

A C = 36 + 12 = 48 = 43 \approx 6, 93

(cm)

B C = 6 - (- 3) = 9

(cm)

tan B = \frac{2 3}{3}

B \approx 49, 1 1^{\circ} \approx 4 9^{\circ}

tan C = \frac{2 3}{6} = \frac{1}{3}

C = 3 0^{\circ}

A = 18 0^{\circ} - B - C \approx 100, 8 9^{\circ} \approx 10 1^{\circ}

Vậy $A B \approx 5 cm, A C \approx 7 cm, B C = 9 cm$ và $A \approx 10 1^{\circ}, B \approx 4 9^{\circ}, C = 3 0^{\circ}$ .

3Cách 3. Tìm các góc trước, sau đó lấy cạnh bằng thương của cạnh góc vuông cho sin

Định hướng. Trong tam giác vuông $A H C$ góc $C$ phụ với $6 0^{\circ}$ nên có ngay; tính tiếp $H A B$ rồi ghép hai nửa thành góc $A$ , cuối cùng mỗi cạnh huyền bằng cạnh góc vuông chia sin góc đối.

△ A H C

vuông tại

H

H A C = 6 0^{\circ}

C = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

A H = H C \cdot tan C = 6 \cdot tan 3 0^{\circ}

A H = 6 \cdot \frac{1}{3} = 23

(cm)

tan H A B = \frac{H B}{A H} = \frac{3}{2 3} = \frac{3}{2}

tan H A B \approx 0, 8660

H A B \approx 40, 8 9^{\circ}

A = H A B + H A C \approx 40, 8 9^{\circ} + 6 0^{\circ}

A \approx 100, 8 9^{\circ} \approx 10 1^{\circ}

B = 9 0^{\circ} - H A B \approx 49, 1 1^{\circ} \approx 4 9^{\circ}

A B = \frac{H B}{sin H A B} \approx \frac{3}{0 , 6547}

A B \approx 4, 58

(cm)

A C = \frac{H C}{sin H A C} = \frac{6}{sin 6 0 ^{\circ}} = 43

A C \approx 6, 93

(cm)

B C = H B + H C = 9

(cm)

Vậy $A B \approx 5 cm, A C \approx 7 cm, B C = 9 cm$ và $A \approx 10 1^{\circ}, B \approx 4 9^{\circ}, C = 3 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Góc $A \approx 10 1^{\circ}$ lớn hơn $9 0^{\circ}$ nên $A B C$ là tam giác tù tại $A$ ; điều này ăn khớp với dữ kiện $H$ nằm giữa $B$ và $C$ chứ không rơi ra ngoài đoạn $B C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đi từ tam giác vuông đã biết đủ dữ kiện sang tam giác vuông còn lại, mỗi cạnh chỉ một phép tính và giá trị đúng

23

giữ được đến cuối nên sai số không tích luỹ. Cách 3 hay ở chỗ thấy rõ góc

A

được ghép từ hai nửa, tránh hẳn bẫy tưởng

A = 6 0^{\circ}

Đáp số.

A B = 21 \approx 4, 58

cm nên

A B \approx 5

cm;

A C = 43 \approx 6, 93

cm nên

A C \approx 7

cm;

B C = 9

cm. Các góc:

A \approx 10 1^{\circ}

B \approx 4 9^{\circ}

C = 3 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Tưởng

A = 6 0^{\circ}

vì đề cho

H A C = 6 0^{\circ}

; thực ra

6 0^{\circ}

mới là nửa góc

A

về phía

C

, nửa còn lại

H A B \approx 40, 8 9^{\circ}

. Lỗi thứ hai là viết

A H = H C \cdot tan 6 0^{\circ} = 63

: trong tam giác

A H C

vuông tại

H

tan H A C

bằng cạnh đối

H C

chia cạnh kề

A H

nên phải chia

6

cho

tan 6 0^{\circ}

🚀 Mở rộng. Cùng cách tách bằng đường cao, thử thay

H A C = 6 0^{\circ}

bởi

4 5^{\circ}

: khi đó

A H = H C = 6

nên

tan H A B = \frac{1}{2}

và

A = 4 5^{\circ} + H A B \approx 71, 5 7^{\circ}

— tam giác trở thành nhọn, quy trình giải không đổi một bước nào.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 4.16★★Trang 80— Ứng dụng tỉ số lượng giác để đo khoảng cách không tới được

Bài 4.16 (trang 80). Tìm chiều rộng

d

của dòng sông trong Hình 4.27 (làm tròn đến m).
Dữ kiện đọc trên hình: đường ngắm xiên

A B

hợp với bờ sông một góc

4 0^{\circ}

, khoảng cách dọc bờ từ

A

đến chân đường vuông góc

H

bằng

50

m, chiều rộng

d = B H

đo theo phương vuông góc với hai bờ.

Kiến thức cần nhớ

Hai bờ sông song song nên góc so le trong tạo bởi đường ngắm với hai bờ bằng nhau.
Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông này bằng cạnh góc vuông kia nhân tang góc đối.
Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau.
Định lí Pythagore và hệ thức cạnh huyền bằng cạnh kề chia côsin góc kề.

🧠 Phân tích tư duy

Hình cho một tam giác vuông trong đó cạnh kề của góc

4 0^{\circ}

dài

50

m còn cạnh đối chính là bề rộng

d

cần tìm — dấu hiệu rõ của hệ thức cạnh đối bằng cạnh kề nhân tang. Chọn tang chứ không chọn sin vì cả

d

lẫn

50

m đều là cạnh góc vuông, đi qua cạnh huyền sẽ thừa một bước. Bẫy là góc

4 0^{\circ}

vẽ ở bờ bên kia: đó là góc giữa đường ngắm và bờ trên, muốn dùng nó trong tam giác vuông thì phải đổi sang góc phụ

5 0^{\circ}

1Cách 1. Dùng hệ thức cạnh đối bằng cạnh kề nhân tang

Định hướng. Bề rộng $d$ là cạnh đối của góc $4 0^{\circ}$ trong tam giác vuông $A B H$ , còn cạnh kề $A H = 50$ m đã biết nên một phép nhân là xong.

△ A B H

vuông tại

H

A H = 50

(m),

B A H = 4 0^{\circ}

d = B H = A H \cdot tan B A H

d = 50 \cdot tan 4 0^{\circ}

d \approx 50 \cdot 0, 8391

d \approx 41, 95

(m)

d \approx 42

(m)

Vậy chiều rộng của dòng sông $d \approx 42 m$ .

2Cách 2. Dùng góc phụ

A B H = 5 0^{\circ}

ở bờ bên kia

Định hướng. Góc $4 0^{\circ}$ vẽ ở bờ trên bằng góc $B A H$ do so le trong; trong tam giác vuông $A B H$ góc còn lại là $5 0^{\circ}$ , khi đó $A H$ là cạnh đối còn $d$ là cạnh kề nên phải chia cho tang.

△ A B H

vuông tại

H

A B H = 9 0^{\circ} - B A H

A B H = 9 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 5 0^{\circ}

tan A B H = \frac{A H}{B H}

B H = \frac{A H}{tan A B H}

B H = \frac{50}{tan 5 0 ^{\circ}}

B H \approx \frac{50}{1 , 1918}

B H \approx 41, 95

(m)

d \approx 42

(m)

Vậy chiều rộng của dòng sông $d \approx 42 m$ .

3Cách 3. Tính đường ngắm xiên

A B

trước rồi dùng định lí Pythagore

Định hướng. Côsin của góc $4 0^{\circ}$ cho ngay chiều dài đường ngắm $A B$ , sau đó $d$ là cạnh góc vuông còn lại nên rút ra bằng Pythagore — cách này dùng được cả khi chỉ đo được đường xiên.

cos B A H = \frac{A H}{A B}

A B = \frac{A H}{cos 4 0 ^{\circ}} = \frac{50}{cos 4 0 ^{\circ}}

A B \approx \frac{50}{0 , 7660}

A B \approx 65, 27

(m)

d^{2} = A B^{2} - A H^{2}

d^{2} \approx 65, 2 7^{2} - 5 0^{2}

d^{2} \approx 4260, 2 - 2500

d^{2} \approx 1760, 2

d \approx 41, 95

(m)

d \approx 42

(m)

Vậy chiều rộng của dòng sông $d \approx 42 m$ .

Nhận xét. Ba con đường khác nhau cùng ra $41, 95$ m, nhưng Cách 3 phải làm tròn hai lần nên nếu lấy $A B \approx 65$ m thì $d$ lệch còn $41, 6$ m — bài đo đạc nên giữ giá trị chưa làm tròn cho tới dòng cuối.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng nhân là ra, không phải đổi góc cũng không phải khai căn nên hầu như không có chỗ sai. Cách 2 chỉ cần tới khi đề chỉ đo được góc ở bờ bên kia.

Đáp số.

d = 50 \cdot tan 4 0^{\circ} \approx 41, 95

m, làm tròn đến mét được

d \approx 42

Sai lầm thường gặp. Lấy

d = 50 \cdot tan 5 0^{\circ} \approx 59, 6

m vì tưởng góc

4 0^{\circ}

ở bờ trên là góc trong tam giác vuông kề với

d

; góc đó là góc giữa đường ngắm với bờ trên nên góc trong tam giác vuông tại

B

phải là

5 0^{\circ}

. Lỗi thứ hai là coi

50

m là chiều dài đường ngắm xiên rồi viết

d = 50 \cdot sin 4 0^{\circ} \approx 32

m, trong khi

50

m đo dọc theo bờ.

🚀 Mở rộng. Nếu ngoài thực địa chỉ đo được đường ngắm

A B

chứ không đo được đoạn

50

m dọc bờ thì dùng

d = A B \cdot sin 4 0^{\circ}

; cùng một tam giác vuông, đổi dữ kiện đo được thì đổi tỉ số lượng giác tương ứng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 4.17★★Trang 80— Tìm cạnh và góc còn thiếu trong tam giác vuông

Bài 4.17 (trang 80). Tính các số liệu còn thiếu (dấu “?”) ở Hình 4.28 với góc làm tròn đến độ, với độ dài làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.
Dữ kiện đọc trên hình: a) tam giác vuông có góc

4 0^{\circ}

, cạnh kề góc đó bằng

3

, hỏi cạnh đối; b) hình chữ nhật có cạnh

7

và đường chéo

10

, hỏi góc giữa đường chéo với cạnh đáy; c) tam giác vuông có hai cạnh góc vuông

5

và

7

, hỏi góc kề cạnh

5

; d) đường dốc hợp mặt đất góc

3 5^{\circ}

, hai điểm cách chân dốc

3

và

3 + 2

, hỏi hai chiều cao.

Kiến thức cần nhớ

Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông: cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối, bằng cạnh huyền nhân côsin góc kề, bằng cạnh góc vuông kia nhân tang góc đối.
Định lí Pythagore.
Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau.
Trong hình chữ nhật, hai cạnh đối bằng nhau và bốn góc đều bằng $9 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn hình đều quy về tam giác vuông biết hai yếu tố: hình a) và d) cho góc kèm một cạnh nên đi tìm cạnh, hình b) và c) cho hai cạnh nên đi tìm góc. Việc duy nhất phải quyết định là chọn sin, côsin hay tang, căn cứ vào chỗ đứng của yếu tố cần tìm so với góc đã biết là đối, kề hay huyền. Bẫy ở hình d) là cạnh

2

nối tiếp cạnh

3

trên cùng một tia dốc nên chiều cao thứ hai ứng với

3 + 2 = 5

chứ không phải

2

, và ở hình b) số

10

là đường chéo tức cạnh huyền chứ không phải cạnh góc vuông.

1Cách 1. Dùng thẳng hệ thức giữa cạnh và góc cho từng hình

Định hướng. Ở mỗi hình xác định xem yếu tố cần tìm là cạnh đối, cạnh kề hay cạnh huyền so với góc đã biết, rồi gọi đúng một tỉ số lượng giác là ra ngay.

? = 3 \cdot tan 4 0^{\circ}

? \approx 3 \cdot 0, 8391

? \approx 2, 5

sin ? = \frac{7}{10} = 0, 7

? \approx 44, 4 3^{\circ} \approx 4 4^{\circ}

tan ? = \frac{7}{5} = 1, 4

? \approx 54, 4 6^{\circ} \approx 5 4^{\circ}

?_{1} = 3 \cdot sin 3 5^{\circ} \approx 3 \cdot 0, 5736

?_{1} \approx 1, 7

?_{2} = (3 + 2) \cdot sin 3 5^{\circ} \approx 5 \cdot 0, 5736

?_{2} \approx 2, 9

Vậy $a) ? \approx 2, 5; b) ? \approx 4 4^{\circ}; c) ? \approx 5 4^{\circ}; d) ?_{1} \approx 1, 7, ?_{2} \approx 2, 9$ .

2Cách 2. Tính nốt cạnh còn lại rồi lấy một tỉ số lượng giác khác

Định hướng. Ở mỗi hình tính thêm cạnh chưa biết của tam giác vuông, gọi lần lượt là $m$ , $n$ , $p$ , $q_{1}$ , $q_{2}$ ; khi đó yếu tố cần tìm được lấy từ một tỉ số khác hẳn Cách 1 nên đóng vai trò kiểm tra chéo.

m = \frac{3}{cos 4 0 ^{\circ}} \approx 3, 9162

?^{2} = m^{2} - 3^{2}

?^{2} \approx 15, 337 - 9 = 6, 337

? \approx 2, 5

n = 1 0^{2} - 7^{2} = 51 \approx 7, 1414

tan ? = \frac{7}{n} \approx 0, 9802

? \approx 44, 4 3^{\circ} \approx 4 4^{\circ}

p = 5^{2} + 7^{2} = 74 \approx 8, 6023

sin ? = \frac{7}{p} \approx 0, 8137

? \approx 54, 4 6^{\circ} \approx 5 4^{\circ}

q_{1} = 3 cos 3 5^{\circ} \approx 2, 4575

q_{2} = 5 cos 3 5^{\circ} \approx 4, 0958

?_{1} = q_{1} \cdot tan 3 5^{\circ} \approx 2, 4575 \cdot 0, 7002

?_{1} \approx 1, 7

?_{2} = q_{2} \cdot tan 3 5^{\circ} \approx 4, 0958 \cdot 0, 7002

?_{2} \approx 2, 9

Vậy $a) ? \approx 2, 5; b) ? \approx 4 4^{\circ}; c) ? \approx 5 4^{\circ}; d) ?_{1} \approx 1, 7, ?_{2} \approx 2, 9$ .

3Cách 3. Chuyển sang góc phụ của tam giác vuông rồi tính

Định hướng. Thay vì làm việc với góc đã cho, chuyển sang góc nhọn còn lại của tam giác vuông; lúc đó đối đổi thành kề, kề đổi thành đối nên tỉ số phải dùng cũng đổi theo.

9 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 5 0^{\circ}

? = \frac{3}{tan 5 0 ^{\circ}} \approx \frac{3}{1 , 1918}

? \approx 2, 5

cos β = \frac{7}{10}

với

β

là góc phụ của dấu hỏi

β \approx 45, 5 7^{\circ}

? = 9 0^{\circ} - β \approx 44, 4 3^{\circ} \approx 4 4^{\circ}

tan γ = \frac{5}{7}

với

γ

là góc nhọn còn lại

γ \approx 35, 5 4^{\circ}

? = 9 0^{\circ} - γ \approx 54, 4 6^{\circ} \approx 5 4^{\circ}

9 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 5 5^{\circ}

?_{1} = 3 \cdot cos 5 5^{\circ} \approx 3 \cdot 0, 5736 \approx 1, 7

?_{2} = 5 \cdot cos 5 5^{\circ} \approx 5 \cdot 0, 5736 \approx 2, 9

Vậy $a) ? \approx 2, 5; b) ? \approx 4 4^{\circ}; c) ? \approx 5 4^{\circ}; d) ?_{1} \approx 1, 7, ?_{2} \approx 2, 9$ .

Nhận xét. Hình d) cho thấy hai chiều cao tỉ lệ với hai quãng đường dốc: $\frac{? _{2}}{? _{1}} = \frac{5}{3}$ , đúng bằng tỉ số $\frac{3 + 2}{3}$ — đi trên dốc đều thì độ cao tăng tỉ lệ thuận với quãng đường đã đi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì mỗi ý chỉ một dòng, không phải tính thêm cạnh phụ nào. Cách 2 nên giữ lại làm bước thử: ra cùng số thì yên tâm, lệch nhau là biết đã chọn nhầm tỉ số lượng giác.

Đáp số. a)

? \approx 2, 5

. b)

? \approx 4 4^{\circ}

. c)

? \approx 5 4^{\circ}

. d)

?_{1} \approx 1, 7

và

?_{2} \approx 2, 9

Sai lầm thường gặp. Ở hình d) lấy

?_{2} = 2 \cdot sin 3 5^{\circ} \approx 1, 1

vì tưởng số

2

là cạnh huyền của tam giác vuông thứ hai; thực ra

2

chỉ là phần dốc nối thêm nên cạnh huyền của tam giác lớn là

3 + 2 = 5

. Ở hình b) hay viết

tan ? = \frac{7}{10}

trong khi

10

là đường chéo, tức cạnh huyền, nên phải dùng sin và kết quả đúng là

4 4^{\circ}

chứ không phải

3 5^{\circ}

🚀 Mở rộng. Thay

4 0^{\circ}

ở hình a) bằng góc

β

bất kì thì

? = 3 tan β

; khi

β

càng gần

9 0^{\circ}

giá trị này tăng vô hạn, đó chính là lí do hình học không có tam giác vuông nào mang hai góc vuông.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 4.18★★★Trang 80— Tính khoảng cách gián tiếp nhờ hạ đường vuông góc tạo tam giác vuông

Bài 4.18 (trang 80). Một bạn muốn tính khoảng cách giữa hai địa điểm

A

B

ở hai bên hồ nước. Biết rằng các khoảng cách từ một điểm

C

đến

A

và đến

B

là

C A = 90

C B = 150

m và

A C B = 12 0^{\circ}

(H.4.29). Hãy tính

A B

giúp bạn.

Kiến thức cần nhớ

Hai góc kề bù có tổng bằng $18 0^{\circ}$ .
Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối hoặc nhân côsin góc kề.
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt: $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .
Định lí Pythagore.
Khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng toạ độ: $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tam giác

A B C

không vuông và góc cho lại là góc tù

12 0^{\circ}

, nên muốn dùng tỉ số lượng giác thì phải tự tạo ra tam giác vuông bằng một đường vuông góc. Hạ

A H

vuông góc với đường thẳng

B C

thì

H

rơi ra ngoài đoạn

B C

về phía

C

, và

A C H

kề bù với

12 0^{\circ}

nên bằng

6 0^{\circ}

— một góc đặc biệt cho giá trị đúng. Bẫy là viết

B H = B C - C H

, trong khi

C

nằm giữa

B

và

H

nên phải cộng:

B H = B C + C H

1Cách 1. Hạ đường vuông góc

A H

xuống đường thẳng

B C

Định hướng. Góc tù $12 0^{\circ}$ chuyển thành góc kề bù $6 0^{\circ}$ khi kéo dài $B C$ ; tam giác vuông $A C H$ cho $C H$ và $A H$ , sau đó $A B$ là cạnh huyền của tam giác vuông $A B H$ .

A C H = 18 0^{\circ} - A C B

A C H = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

C H = C A \cdot cos 6 0^{\circ} = 90 \cdot \frac{1}{2}

C H = 45

(m)

A H = C A \cdot sin 6 0^{\circ} = 90 \cdot \frac{3}{2}

A H = 453

(m)

B H = B C + C H = 150 + 45

B H = 195

(m)

A B^{2} = B H^{2} + A H^{2}

A B^{2} = 19 5^{2} + (453)^{2}

A B^{2} = 38025 + 6075

A B^{2} = 44100

A B = 210

(m)

Vậy khoảng cách giữa hai địa điểm là $A B = 210 m$ .

2Cách 2. Hạ đường vuông góc từ

B

xuống đường thẳng

C A

Định hướng. Đổi vai trò hai cạnh: kéo dài $A C$ rồi hạ $B K$ vuông góc với nó, cũng được góc $6 0^{\circ}$ và cũng dẫn tới một tam giác vuông chứa $A B$ làm cạnh huyền.

K

là chân đường vuông góc hạ từ

B

xuống đường thẳng

C A

B C K = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

C K = C B \cdot cos 6 0^{\circ} = 150 \cdot \frac{1}{2}

C K = 75

(m)

B K = C B \cdot sin 6 0^{\circ} = 150 \cdot \frac{3}{2}

B K = 753

(m)

A K = A C + C K = 90 + 75

A K = 165

(m)

A B^{2} = A K^{2} + B K^{2}

A B^{2} = 16 5^{2} + (753)^{2}

A B^{2} = 27225 + 16875

A B^{2} = 44100

A B = 210

(m)

Vậy khoảng cách giữa hai địa điểm là $A B = 210 m$ .

3Cách 3. Gắn hệ trục toạ độ với gốc tại

C

Định hướng. Đặt $C$ ở gốc và cho tia $C B$ nằm trên chiều âm của trục hoành; góc $12 0^{\circ}$ cho ngay hướng của tia $C A$ , sau đó chỉ việc dùng công thức khoảng cách giữa hai điểm.

C (0; 0)

B (- 150; 0)

Tia

C A

hợp với chiều dương trục hoành góc

18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

A (90 cos 6 0^{\circ}; 90 sin 6 0^{\circ})

A (45; 453)

A B^{2} = (45 - (- 150))^{2} + (453 - 0)^{2}

A B^{2} = 19 5^{2} + 6075

A B^{2} = 38025 + 6075

A B^{2} = 44100

A B = 210

(m)

Vậy khoảng cách giữa hai địa điểm là $A B = 210 m$ .

Nhận xét. Kết quả $210$ m là số nguyên đẹp vì $44100 = 21 0^{2}$ ; ba cách hoàn toàn khác nhau cùng cho $44100$ nên có thể tin chắc lời giải không lệch một bước nào.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đường vuông góc hạ từ

A

giữ nguyên cạnh

B C = 150

m làm một đoạn của

B H

, phép cộng

150 + 45

rất dễ kiểm. Cách 3 đáng dùng khi bài còn hỏi thêm toạ độ hay diện tích, vì đã có sẵn toạ độ cả ba đỉnh.

Đáp số.

A B = 210

Sai lầm thường gặp. Viết

B H = B C - C H = 150 - 45 = 105

vì tưởng

H

nằm giữa

B

và

C

; do

A C B

tù nên chân đường vuông góc rơi ra ngoài đoạn

B C

C

nằm giữa

B

và

H

nên

B H = B C + C H = 195

. Lỗi thứ hai là dùng thẳng

cos 12 0^{\circ}

hay

sin 12 0^{\circ}

cho tam giác vuông, trong khi lớp 9 chỉ định nghĩa tỉ số lượng giác cho góc nhọn nên bắt buộc phải chuyển về góc kề bù

6 0^{\circ}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, nếu

A C B = 12 0^{\circ}

với

C A = b

C B = a

thì lặp lại đúng cách làm trên sẽ được

A B^{2} = a^{2} + b^{2} + ab

; thay

a = 150

b = 90

cho

22500 + 8100 + 13500 = 44100

— đúng kết quả của bài.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 4.19★★★Trang 80— Giải hình thang bằng cách hạ hai đường cao xuống đáy lớn

Bài 4.19 (trang 80). Mặt cắt ngang của một đập ngăn nước có dạng hình thang

A B C D

(H.4.30). Chiều rộng của mặt trên

A B

của đập là

3

m. Độ dốc của sườn

A D

, tức là

tan D = 1, 25

. Độ dốc của sườn

B C

, tức là

tan C = 1, 5

. Chiều cao của đập là

3, 5

m. Hãy tính chiều rộng

C D

của chân đập, chiều dài của các sườn

A D

và

B C

(làm tròn đến dm).

Kiến thức cần nhớ

Hạ hai đường cao từ hai đỉnh của đáy nhỏ xuống đáy lớn thì đoạn nối hai chân đường cao bằng đáy nhỏ.
Trong tam giác vuông, tang của góc nhọn bằng cạnh đối chia cạnh kề; côtang bằng cạnh kề chia cạnh đối.
Cạnh huyền bằng cạnh góc vuông chia cho sin của góc đối nó.
Đồng nhất thức $1 + cot^{2} α = \frac{1}{sin ^{2} α}$ .
Đổi đơn vị: $1$ m $= 10$ dm.

🧠 Phân tích tư duy

Hình thang có hai sườn nghiêng khác nhau nên phải hạ hai đường cao

A H

B K

xuống

C D

; khi đó

C D

tách thành ba đoạn

D H

H K

và

K C

, trong đó

H K

bằng đúng mặt trên

A B

. Độ dốc chính là tang của góc đáy, mà tang bằng chiều cao chia hình chiếu nên

D H

và

K C

có ngay bằng một phép chia. Bẫy nằm ở đơn vị: mọi số liệu cho bằng mét còn đề lại hỏi làm tròn đến dm, quên đổi là sai cả ba đáp số.

1Cách 1. Hạ hai đường cao, dùng tang tìm hình chiếu rồi Pythagore tìm sườn

Định hướng. Hai đường cao $A H$ , $B K$ chia $C D$ thành ba phần, trong đó $H K = A B$ ; hai hình chiếu $D H$ , $K C$ lấy từ độ dốc còn hai sườn lấy từ định lí Pythagore.

A H ⊥ C D

tại

H

B K ⊥ C D

tại

K

A H = B K = 3, 5

(m),

H K = A B = 3

(m)

tan D = \frac{A H}{D H}

D H = \frac{A H}{tan D} = \frac{3 , 5}{1 , 25}

D H = 2, 8

(m)

K C = \frac{B K}{tan C} = \frac{3 , 5}{1 , 5}

K C = \frac{7}{3} \approx 2, 3333

(m)

C D = D H + H K + K C

C D = 2, 8 + 3 + \frac{7}{3}

C D = \frac{122}{15} \approx 8, 1333

(m)

\approx 81

(dm)

A D^{2} = A H^{2} + D H^{2}

A D^{2} = 3, 5^{2} + 2, 8^{2} = 12, 25 + 7, 84

A D^{2} = 20, 09

A D = 20, 09 \approx 4, 4822

(m)

\approx 45

(dm)

B C^{2} = B K^{2} + K C^{2}

B C^{2} = 3, 5^{2} + (\frac{7}{3})^{2} = 12, 25 + \frac{49}{9}

B C^{2} \approx 17, 6944

B C \approx 4, 2065

(m)

\approx 42

(dm)

Vậy $C D \approx 81 dm, A D \approx 45 dm, B C \approx 42 dm$ .

2Cách 2. Tìm số đo hai góc đáy rồi dùng hệ thức cạnh và góc

Định hướng. Từ độ dốc suy ra số đo hai góc đáy, khi đó mỗi sườn là cạnh huyền nên bằng chiều cao chia sin góc đáy, còn hình chiếu bằng sườn nhân côsin góc đáy.

tan D = 1, 25

D \approx 51, 3 4^{\circ}

tan C = 1, 5

C \approx 56, 3 1^{\circ}

A D = \frac{A H}{sin D} \approx \frac{3 , 5}{0 , 7809}

A D \approx 4, 4822

(m)

\approx 45

(dm)

B C = \frac{B K}{sin C} \approx \frac{3 , 5}{0 , 8321}

B C \approx 4, 2065

(m)

\approx 42

(dm)

D H = A D \cdot cos D \approx 4, 4822 \cdot 0, 6247

D H \approx 2, 8

(m)

K C = B C \cdot cos C \approx 4, 2065 \cdot 0, 5547

K C \approx 2, 3333

(m)

C D = D H + A B + K C

C D \approx 2, 8 + 3 + 2, 3333

C D \approx 8, 1333

(m)

\approx 81

(dm)

Vậy $C D \approx 81 dm, A D \approx 45 dm, B C \approx 42 dm$ .

3Cách 3. Dùng đồng nhất thức côtang để lấy giá trị đúng, bỏ qua số đo góc

Định hướng. Nghịch đảo của độ dốc chính là côtang góc đáy; đồng nhất thức $1 + cot^{2} α = \frac{1}{sin ^{2} α}$ cho sườn dưới dạng căn thức đúng nên không phải tra số đo góc một lần nào.

cot D = \frac{1}{1 , 25} = 0, 8

\frac{1}{sin ^{2} D} = 1 + 0, 8^{2} = 1, 64

A D = \frac{A H}{sin D} = A H \cdot 1, 64

A D = 3, 5 1, 64 = \frac{7 41}{10}

A D \approx 4, 4822

(m)

\approx 45

(dm)

cot C = \frac{1}{1 , 5} = \frac{2}{3}

\frac{1}{sin ^{2} C} = 1 + \frac{4}{9} = \frac{13}{9}

B C = B K \cdot \frac{13}{3} = \frac{7 13}{6}

B C \approx 4, 2065

(m)

\approx 42

(dm)

D H = A H \cdot cot D = 3, 5 \cdot 0, 8 = 2, 8

(m)

K C = B K \cdot cot C = 3, 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{7}{3}

(m)

C D = 2, 8 + 3 + \frac{7}{3}

C D = \frac{122}{15} \approx 8, 1333

(m)

\approx 81

(dm)

Vậy $C D \approx 81 dm, A D \approx 45 dm, B C \approx 42 dm$ .

Nhận xét. Sườn $B C$ dốc hơn ( $tan C = 1, 5$ ) nên ngắn hơn sườn $A D$ , đúng với trực giác: cùng một chiều cao, dốc càng đứng thì đường lên càng ngắn nhưng càng khó đi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì mọi phép chỉ là chia và cộng số hữu tỉ, giữ được phân số

\frac{7}{3}

đến cuối nên không tích luỹ sai số làm tròn. Cách 3 thích hợp khi đề đòi giá trị đúng của sườn dưới dạng căn thức.

Đáp số.

C D = \frac{122}{15} \approx 8, 13

\approx 81

dm;

A D = \frac{7 41}{10} \approx 4, 48

\approx 45

dm;

B C = \frac{7 13}{6} \approx 4, 21

\approx 42

dm.

Sai lầm thường gặp. Hiểu độ dốc

tan D = 1, 25

thành

D H = 3, 5 \cdot 1, 25 = 4, 375

; tang bằng chiều cao chia hình chiếu nên phải chia,

D H = 3, 5 : 1, 25 = 2, 8

. Lỗi thứ hai là quên đổi đơn vị, ghi

C D \approx 8

dm thay vì

81

dm, hay ghi

A D \approx 4

dm thay vì

45

dm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, đập có mặt trên rộng

a

, cao

h

, hai độ dốc

k_{1}

và

k_{2}

thì chân đập rộng

a + h (\frac{1}{k _{1}} + \frac{1}{k _{2}})

; độ dốc càng nhỏ thì chân đập càng phải mở rộng, đó là lí do đập đất luôn có chân rất bè.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 4.20★★★Trang 80— Ứng dụng hệ thức cạnh và góc trong tam giác vuông vào chuyển động

Bài 4.20 (trang 80). Trong một buổi tập trận, một tàu ngầm đang ở trên mặt biển bắt đầu di chuyển theo đường thẳng tạo với mặt nước biển một góc

2 1^{\circ}

để lặn xuống (H.4.31).
a) Khi tàu chuyển động theo hướng đó và đi được

200

m thì tàu ở độ sâu bao nhiêu so với mặt nước biển? (làm tròn đến m).
b) Giả sử tốc độ của tàu là

9

km/h thì sau bao lâu (tính từ lúc bắt đầu lặn) tàu ở độ sâu

200

m (tức là cách mặt nước biển

200

m)?

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin của góc đối.
Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau, do đó cạnh góc vuông cũng bằng cạnh huyền nhân côsin của góc kề.
Định lí Pythagore.
Công thức chuyển động đều: thời gian bằng quãng đường chia tốc độ.
Đổi đơn vị: $9$ km/h $= 9000$ m/h; $1$ giờ $= 60$ phút $= 3600$ giây.

🧠 Phân tích tư duy

Quãng đường tàu đi là cạnh huyền còn độ sâu là cạnh góc vuông đối diện góc

2 1^{\circ}

, đây là dấu hiệu dùng ngay hệ thức cạnh đối bằng cạnh huyền nhân sin. Ý b) là bài toán ngược của ý a): biết cạnh đối đi tìm cạnh huyền rồi mới chia cho tốc độ. Bẫy lớn nhất là đơn vị, vì tốc độ cho bằng km/h trong khi độ sâu và quãng đường đều tính bằng mét.

1Cách 1. Dùng sin của góc

2 1^{\circ}

trong tam giác vuông

A B H

Định hướng. Gọi $A$ là vị trí bắt đầu lặn, $H$ là vị trí tàu, $B$ là hình chiếu của $H$ trên mặt biển; khi đó $A H$ là quãng đường, $B H$ là độ sâu và $H A B = 2 1^{\circ}$ , một hệ thức sin là đủ cho cả hai ý.

B H = A H \cdot sin H A B

B H = 200 \cdot sin 2 1^{\circ}

B H \approx 200 \cdot 0, 3584

B H \approx 71, 67

(m)

B H \approx 72

(m)
b)

A H = \frac{B H}{sin 2 1 ^{\circ}} = \frac{200}{sin 2 1 ^{\circ}}

A H \approx \frac{200}{0 , 3584}

A H \approx 558, 09

(m)

t = \frac{A H}{v} = \frac{558 , 09}{9000}

t \approx 0, 062

(h)

t \approx 3, 72

phút, tức khoảng

3

phút

43

giây

Vậy $B H \approx 72 m$ và thời gian lặn $t \approx 3, 72$ phút, tức khoảng $3$ phút $43$ giây.

2Cách 2. Tính quãng đường ngang

A B

trước rồi dùng tang và Pythagore

Định hướng. Đi vòng qua cạnh góc vuông nằm ngang: côsin cho $A B$ ở ý a), còn ở ý b) tang cho $A B$ rồi định lí Pythagore trả lại quãng đường $A H$ .

A B = A H \cdot cos 2 1^{\circ} \approx 200 \cdot 0, 9336

A B \approx 186, 72

(m)

B H = A B \cdot tan 2 1^{\circ} \approx 186, 72 \cdot 0, 3839

B H \approx 71, 67

(m)

\approx 72

(m)
b)

A B = \frac{B H}{tan 2 1 ^{\circ}} \approx \frac{200}{0 , 3839}

A B \approx 521, 03

(m)

A H^{2} = A B^{2} + B H^{2}

A H^{2} \approx 521, 0 3^{2} + 20 0^{2}

A H^{2} \approx 271472 + 40000 = 311472

A H \approx 558, 10

(m)

t = \frac{558 , 10}{9000} \approx 0, 062

(h)

t \approx 3, 72

phút

Vậy $B H \approx 72 m$ và thời gian lặn $t \approx 3, 72$ phút, tức khoảng $3$ phút $43$ giây.

3Cách 3. Chuyển sang góc phụ

A H B = 6 9^{\circ}

Định hướng. Nhìn tam giác vuông $A B H$ từ đỉnh $H$ : góc ở đó bằng $6 9^{\circ}$ và độ sâu $B H$ trở thành cạnh kề, nên mọi phép đều dùng côsin thay cho sin.

△ A B H

vuông tại

B

A H B = 9 0^{\circ} - 2 1^{\circ} = 6 9^{\circ}

B H = A H \cdot cos A H B = 200 \cdot cos 6 9^{\circ}

B H \approx 200 \cdot 0, 3584

B H \approx 71, 67

(m)

\approx 72

(m)
b)

A H = \frac{B H}{cos 6 9 ^{\circ}} = \frac{200}{cos 6 9 ^{\circ}}

A H \approx \frac{200}{0 , 3584} \approx 558, 09

(m)

t = \frac{558 , 09}{9000}

(h)

t \approx 0, 062

(h)

t \approx 0, 062 \cdot 3600 \approx 223

(s)

t \approx 3

phút

43

giây

Vậy $B H \approx 72 m$ và thời gian lặn $t \approx 3, 72$ phút, tức khoảng $3$ phút $43$ giây.

Nhận xét. Độ sâu luôn nhỏ hơn quãng đường vì $sin 2 1^{\circ} \approx 0, 36 < 1$ : muốn xuống sâu $200$ m tàu phải chạy tới gần $558$ m, đó là cái giá của góc lặn thoải.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cả hai ý chỉ dùng đúng một hệ thức với

sin 2 1^{\circ}

, ý b) là phép chia ngược của ý a) nên nhớ một công thức là làm được cả bài. Cách 2 chỉ nên dùng khi đề hỏi thêm khoảng cách ngang mà tàu đã đi.

Đáp số. a) Độ sâu

B H = 200 sin 2 1^{\circ} \approx 71, 67

\approx 72

m. b) Quãng đường phải đi

A H = \frac{200}{sin 2 1 ^{\circ}} \approx 558, 09

m nên

t \approx 0, 062

\approx 3, 72

phút, tức khoảng

3

phút

43

giây.

Sai lầm thường gặp. Ở ý b) lấy luôn

t = \frac{200}{9000}

h vì tưởng tàu đi thẳng đứng xuống

200

m; tàu lặn theo đường xiên nên quãng đường thật là

\frac{200}{sin 2 1 ^{\circ}} \approx 558

m, gấp gần ba lần. Lỗi thứ hai là để lẫn đơn vị, chia

558, 09

m cho

9

km/h và báo

t \approx 62

🚀 Mở rộng. Tổng quát, muốn xuống độ sâu

h

với góc lặn

β

thì quãng đường là

\frac{h}{sin β}

và thời gian là

\frac{h}{v sin β}

; góc lặn càng nhỏ thì thời gian càng lớn, chẳng hạn

β = 1 0^{\circ}

sẽ mất hơn

7, 6

phút thay vì

3, 72

phút.

Mở bài này trong app ↗