Chương V. Đường tròn

Luyện tập chung (trang 108–111)

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 4 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · 5.28★★Trang 109— Xác định vị trí tương đối của đường tròn và đường thẳng qua so sánh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng với bán kính

5.28 (trang 109). Cho hai đường thẳng

a

và

b

song song với nhau, điểm

O

nằm trong phần mặt phẳng ở giữa hai đường thẳng đó. Biết rằng khoảng cách từ

O

đến

a

và

b

lần lượt bằng

2

cm và

3

cm.
a) Hỏi bán kính

R

của đường tròn

(O; R)

phải thoả mãn điều kiện gì để

(O; R)

cắt cả hai đường thẳng

a

và

b

?
b) Biết rằng đường tròn

(O; R)

tiếp xúc với đường thẳng

a

. Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn

(O; R)

và đường thẳng

b

Kiến thức cần nhớ

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: gọi $d$ là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng, $R$ là bán kính; cắt nhau $\Leftrightarrow$ $d < R$ , tiếp xúc $\Leftrightarrow$ $d = R$ , không giao nhau $\Leftrightarrow$ $d > R$ .
Hai đường thẳng song song thì mọi đường vuông góc với đường này cũng vuông góc với đường kia, nên có thể chọn chung một trục toạ độ vuông góc với cả hai.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai khoảng cách cố định từ

O

đến hai đường thẳng song song — dấu hiệu để dùng hệ thức so sánh khoảng cách

d

với bán kính

R

đã học ở Bài 16 (vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn). Vì

O

nằm giữa hai đường nên đường tròn cắt được đường gần dễ hơn đường xa, nên điều kiện "cắt cả hai" phải lấy theo khoảng cách LỚN hơn trong hai khoảng cách. Bẫy hay gặp: chỉ so

R

với khoảng cách gần (

2

cm) mà quên đường xa (

3

cm) đòi hỏi

R

lớn hơn nữa.

1Cách 1. So sánh trực tiếp với từng đường thẳng

Định hướng. Dùng hệ thức vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: gọi $d$ là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng, đường thẳng và đường tròn cắt nhau khi và chỉ khi $d < R$ .

Gọi

H_{a}

H_{b}

lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ

O

xuống

a

và

b

; theo đề

O H_{a} = 2

cm,

O H_{b} = 3

cm.

(O; R)

cắt

a

\Leftrightarrow

O H_{a} < R

\Leftrightarrow

R > 2

(O; R)

cắt

b

\Leftrightarrow

O H_{b} < R

\Leftrightarrow

R > 3

(O; R)

cắt cả hai đường thẳng

\Leftrightarrow

R > 2

và

R > 3

\Leftrightarrow

R > 3

Vậy $R > 3$ (cm) thì $(O; R)$ cắt cả hai đường thẳng $a$ , $b$ . Với ý b), khi $(O; R)$ tiếp xúc $a$ thì $R = O H_{a} = 2$ ; so với $O H_{b} = 3$ ta có $R = 2 < 3 = O H_{b}$ , nên $(O; 2)$ và $b$ không có điểm chung.

2Cách 2. Xét từng khoảng giá trị của

R

rồi loại trừ

Định hướng. Chia miền giá trị của $R$ thành ba khoảng theo hai mốc $2$ và $3$ , kiểm tra từng khoảng có thoả mãn "cắt cả hai đường" hay không rồi loại các khoảng sai.

Xét

0 < R \leq 2

: vì

R \leq 2 = O H_{a}

nên

(O; R)

không cắt

a

(tiếp xúc hoặc không giao)

\Rightarrow

loại.
Xét

2 < R \leq 3

: vì

R \leq 3 = O H_{b}

nên

(O; R)

không cắt

b

\Rightarrow

loại.
Xét

R > 3

: khi đó

R > 3 > 2

nên

R

lớn hơn cả

O H_{a}

và

O H_{b}

, đường tròn cắt được cả hai đường thẳng

\Rightarrow

nhận.

Vậy chỉ khoảng $R > 3$ (cm) thoả mãn, khớp với Cách 1. Với ý b), $R = 2$ rơi vào khoảng đầu tiên đã loại (không cắt $a$ ... thực ra $R = 2$ là tiếp xúc $a$ đúng như đề cho) và vì $2 \leq 3$ nên chắc chắn không cắt được $b$ , tức $(O; 2)$ và $b$ không giao nhau.

3Cách 3. Toạ độ hoá

Định hướng. Vì $a ∥ b$ nên có một trục vuông góc chung với cả hai; chọn hệ trục $O x y$ với gốc tại $O$ , trục $O x$ vuông góc với $a$ , $b$ , đưa bài toán vị trí tương đối về xét nghiệm của phương trình đại số.

O

nằm giữa

a

b

nên chọn

a

x = - 2

và

b

x = 3

; đường tròn

(O; R)

x^{2} + y^{2} = R^{2}

.
Đường thẳng

x = - 2

cắt

(O; R)

\Leftrightarrow

phương trình

4 + y^{2} = R^{2}

có nghiệm

y

thực

\Leftrightarrow

R^{2} > 4

\Leftrightarrow

R > 2

(do

R > 0

).
Đường thẳng

x = 3

cắt

(O; R)

\Leftrightarrow

9 + y^{2} = R^{2}

có nghiệm thực

\Leftrightarrow

R^{2} > 9

\Leftrightarrow

R > 3

.
Cắt cả hai đường thẳng

\Leftrightarrow

R > 2

và

R > 3

\Leftrightarrow

R > 3

.
Với

R = 2

: xét đường

x = 3

, phương trình

9 + y^{2} = 4

vô nghiệm (vì

9 > 4

) nên

(O; 2)

và đường thẳng

x = 3

(chính là

b

) không có điểm chung.

Vậy $R > 3$ (cm); và khi $R = 2$ thì $(O; 2)$ không giao với $b$ — cả hai kết quả khớp đúng với Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Ba cách đều dẫn về cùng kết luận $R > 3$ vì $3 = max (2; 3)$ chính là khoảng cách XA nhất trong hai khoảng cách.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1: chỉ hai bất đẳng thức đơn giản dựa trực tiếp vào định nghĩa vị trí tương đối, không cần dựng thêm hệ trục hay xét nhiều trường hợp nên nhanh và ít khả năng sai nhất.

Đáp số. a)

R > 3

cm thì

(O; R)

cắt cả hai đường thẳng

a

b

.
b)

(O; 2)

và

b

không có điểm chung (không giao nhau), vì khoảng cách từ

O

đến

b

bằng

3

cm lớn hơn bán kính

2

cm.

Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh chỉ so sánh

R

với khoảng cách gần hơn (

2

cm) rồi kết luận

R > 2

là đủ để cắt cả hai đường, quên rằng cắt cả hai đường đòi hỏi vượt qua khoảng cách XA nhất (

3

cm); chẳng hạn

R = 2, 5

thoả

R > 2

nhưng

(O; 2, 5)

vẫn không cắt được

b

vì

2, 5 < 3

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: nếu

O

cách

a

một khoảng

p

và cách

b

một khoảng

q

(

p < q

) thì điều kiện để

(O; R)

cắt cả hai đường luôn là

R > q

(khoảng cách lớn hơn), không phụ thuộc vào

p

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.29★★★Trang 110— Xét vị trí tương đối của các đường tròn đồng tâm và lệch tâm qua so sánh khoảng cách hai tâm với tổng, hiệu bán kính

5.29 (trang 110). Khi chuyển động, giả sử đầu mũi kim dài của một chiếc đồng hồ vạch nên một đường tròn, kí hiệu là

(T_{1})

, trong khi đầu mũi kim ngắn vạch nên một đường tròn khác, kí hiệu là

(T_{2})

.
a) Hai đường tròn

(T_{1})

và

(T_{2})

có vị trí tương đối như thế nào?
b) Giả sử bán kính của

(T_{1})

và

(T_{2})

lần lượt là

R_{1}

và

R_{2}

. Người ta vẽ trên mặt đồng hồ một hoạ tiết hình tròn có tâm nằm cách điểm trục kim đồng hồ một khoảng bằng

\frac{1}{2} R_{1}

và có bán kính bằng

\frac{1}{2} R_{2}

. Hãy cho biết vị trí tương đối của đường tròn

(T_{3})

đối với mỗi đường tròn

(T_{1})

và

(T_{2})

. Vẽ ba đường tròn đó nếu

R_{1} = 3

cm và

R_{2} = 2

cm.

Kiến thức cần nhớ

Hai đường tròn cùng tâm, bán kính khác nhau thì không có điểm chung (đường tròn bán kính nhỏ nằm trong đường tròn bán kính lớn).
Với hai đường tròn $(O_{1}; R)$ , $(O_{2}; r)$ ( $R > r$ ) và $d = O_{1} O_{2}$ : $d < R - r$ thì $(O_{2})$ nằm trong $(O_{1})$ (không giao); $R - r < d < R + r$ thì cắt nhau tại hai điểm; $d = R + r$ thì tiếp xúc ngoài; $d > R + r$ thì ở ngoài nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Điểm trục quay của hai kim chính là tâm chung của cả

(T_{1})

và

(T_{2})

— dấu hiệu nhận ra đây là cặp đường tròn ĐỒNG TÂM chứ không phải cặp thường gặp trong Bài 17. Với

(T_{3})

, tâm của nó lệch khỏi tâm chung một khoảng

\frac{1}{2} R_{1}

nên phải quay lại dùng hệ thức so sánh khoảng cách hai tâm với

R \pm r

như bài toán vị trí tương đối thông thường. Bẫy: vì kim dài luôn dài hơn kim ngắn nên

R_{1} > R_{2}

luôn đúng — phải khai thác chính bất đẳng thức này để kết luận TỔNG QUÁT chứ không chỉ dựa vào số liệu cụ thể

3

cm,

2

cm.

1Cách 1. Lập luận tổng quát trực tiếp theo

R_{1}

R_{2}

Định hướng. So sánh khoảng cách giữa hai tâm với hiệu và tổng hai bán kính theo đúng bảng vị trí tương đối của hai đường tròn đã học ở Bài 17.

Câu a) Đầu mũi kim dài và đầu mũi kim ngắn cùng quay quanh điểm trục

O

của đồng hồ, nên

(T_{1})

và

(T_{2})

là hai đường tròn đồng tâm

O

.
Vì kim dài luôn dài hơn kim ngắn nên bán kính

(T_{1})

lớn hơn bán kính

(T_{2})

, tức

R_{1} > R_{2}

.
Khoảng cách hai tâm

d = O O = 0 < R_{1} - R_{2}

nên

(T_{2})

nằm trong

(T_{1})

, hai đường tròn không có điểm chung.
Câu b) Gọi

O_{3}

là tâm

(T_{3})

; theo đề

O O_{3} = \frac{1}{2} R_{1}

, bán kính

(T_{3})

là

r_{3} = \frac{1}{2} R_{2}

.
So với

(T_{1})

R_{1} - r_{3} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}

; vì

R_{1} > R_{2}

nên

\frac{1}{2} R_{2} < \frac{1}{2} R_{1}

, suy ra

O O_{3} = \frac{1}{2} R_{1} < R_{1} - \frac{1}{2} R_{2} = R_{1} - r_{3}

với mọi

R_{1} > R_{2}

.
So với

(T_{2})

: cần so

O O_{3} = \frac{1}{2} R_{1}

với

R_{2} - r_{3} = \frac{1}{2} R_{2}

và

R_{2} + r_{3} = \frac{3}{2} R_{2}

; với đồng hồ thực tế, kim dài không quá

3

lần kim ngắn nên

R_{2} < R_{1} < 3 R_{2}

, suy ra

\frac{1}{2} R_{2} < \frac{1}{2} R_{1} < \frac{3}{2} R_{2}

, tức

R_{2} - r_{3} < O O_{3} < R_{2} + r_{3}

Vậy $(T_{3})$ luôn nằm trong $(T_{1})$ (không giao nhau) với mọi $R_{1} > R_{2}$ ; $(T_{3})$ và $(T_{2})$ cắt nhau tại hai điểm khi kim dài không quá $3$ lần kim ngắn (trường hợp thường gặp trên đồng hồ thật).

2Cách 2. Đặc biệt hoá bằng số liệu

R_{1} = 3

cm,

R_{2} = 2

cm để vẽ hình

Định hướng. Thay đúng số liệu đề cho để vẽ hình, tính trực tiếp từng khoảng cách bằng số rồi so sánh, dùng kết quả để kiểm chứng lại lập luận tổng quát.

Với

R_{1} = 3

cm,

R_{2} = 2

cm:

O O_{3} = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1, 5

cm;

r_{3} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1

cm.
So với

(T_{1})

R_{1} - r_{3} = 3 - 1 = 2

; vì

1, 5 < 2

nên

(T_{3})

nằm trong

(T_{1})

, không giao nhau.
So với

(T_{2})

R_{2} - r_{3} = 2 - 1 = 1

và

R_{2} + r_{3} = 2 + 1 = 3

; vì

1 < 1, 5 < 3

nên

(T_{3})

và

(T_{2})

cắt nhau tại hai điểm.

Vậy với số liệu cụ thể để vẽ hình, $(T_{3})$ nằm trong $(T_{1})$ và $(T_{3})$ cắt $(T_{2})$ tại hai điểm — khớp đúng kết luận tổng quát ở Cách 1.

3Cách 3. Đặt ẩn phụ tỉ số

k = R_{1} / R_{2}

Định hướng. Đặt $k = \frac{R _{1}}{R _{2}}$ ( $k > 1$ vì kim dài luôn dài hơn kim ngắn), đưa hai bất đẳng thức về một biến $k$ duy nhất để thấy rõ kết quả phụ thuộc $k$ thế nào.

O O_{3} = \frac{1}{2} R_{1} = \frac{1}{2} k R_{2}

r_{3} = \frac{1}{2} R_{2}

.
So với

(T_{1})

(R_{1} - r_{3}) - O O_{3} = (k R_{2} - \frac{1}{2} R_{2}) - \frac{1}{2} k R_{2} = \frac{1}{2} (k - 1) R_{2} > 0

với mọi

k > 1

, nên

O O_{3} < R_{1} - r_{3}

luôn đúng.
So với

(T_{2})

: cần xét

\frac{1}{2} R_{2} < \frac{1}{2} k R_{2} < \frac{3}{2} R_{2}

, tức

1 < k < 3

Vậy $(T_{3})$ luôn nằm trong $(T_{1})$ với mọi $k > 1$ ; quan hệ với $(T_{2})$ chuyển từ cắt nhau ( $1 < k < 3$ ) sang tiếp xúc ngoài ( $k = 3$ ) rồi ở ngoài nhau ( $k > 3$ ).

Nhận xét. Với $R_{1} = 3$ , $R_{2} = 2$ thì $k = 1, 5 \in (1; 3)$ , đúng rơi vào trường hợp cắt nhau, khớp cả hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1: chỉ cần bất đẳng thức có sẵn từ giả thiết thực tế

R_{1} > R_{2}

, không phải đặt thêm ẩn phụ mà vẫn ra kết luận tổng quát ngay.

Đáp số. a)

(T_{1})

và

(T_{2})

là hai đường tròn đồng tâm, không có điểm chung (

T_{2}

nằm trong

T_{1}

vì

R_{1} > R_{2}

).
b)

(T_{3})

luôn nằm trong

(T_{1})

(không giao nhau); với

R_{1} = 3

cm,

R_{2} = 2

cm thì

(T_{3})

và

(T_{2})

cắt nhau tại hai điểm.

Sai lầm thường gặp. Học sinh hay chỉ tính đúng với số liệu

R_{1} = 3

R_{2} = 2

rồi mặc định luôn đúng cho mọi đồng hồ — thực ra nếu kim dài gấp hơn

3

lần kim ngắn (

k > 3

) thì

(T_{3})

và

(T_{2})

lại ở ngoài nhau, không còn cắt nhau nữa.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: nếu hoạ tiết có tâm cách trục một khoảng

α R_{1}

và bán kính

α R_{2}

với

0 < α < 1

bất kì (không chỉ

α = \frac{1}{2}

), lập luận tương tự cho thấy hoạ tiết đó vẫn luôn nằm trong

(T_{1})

với mọi

α < 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.30★★★Trang 110— Chứng minh hệ thức đoạn thẳng và quan hệ tiếp xúc dựa vào tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

5.30 (trang 110). Cho đường tròn

(O)

đường kính

A B

, tiếp tuyến

x x^{'}

tại

A

và tiếp tuyến

y y^{'}

tại

B

của

(O)

. Một tiếp tuyến thứ ba của

(O)

tại điểm

P

(

P

khác

A

và

B

) cắt

x x^{'}

tại

M

và cắt

y y^{'}

tại

N

.
a) Chứng minh rằng

M N = M A + N B

.
b) Đường thẳng đi qua

O

và vuông góc với

A B

cắt

N M

tại

Q

. Chứng minh rằng

Q

là trung điểm của đoạn

M N

.
c) Chứng minh rằng

A B

tiếp xúc với đường tròn đường kính

M N

Kiến thức cần nhớ

Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì hai đoạn tiếp tuyến bằng nhau và đường nối điểm đó với tâm là phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai tiếp điểm.
Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy; đi qua trung điểm một cạnh bên thì đi qua trung điểm cạnh bên còn lại.
Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

🧠 Phân tích tư duy

Ba tiếp tuyến tại

A

B

P

của cùng một đường tròn — dấu hiệu ngay lập tức của tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì bằng nhau (

M A = M P

N B = N P

), từ đó có ngay

M N = M P + P N = M A + N B

. Hướng an toàn cho ý b) là nhận ra

A M N B

là hình thang vuông (

A M ∥ B N

, cùng vuông góc

A B

) nên đường thẳng qua

O

song song hai đáy chính là đường trung bình. Bẫy ở ý c): phải chứng minh được

M O N = 90°

(không hiển nhiên) mới suy ra

O Q = QM = QN

để kết luận tiếp xúc, nhiều học sinh bỏ qua bước này.

1Cách 1. Hai tiếp tuyến cắt nhau + đường trung bình hình thang + trung tuyến cạnh huyền

Định hướng. Dùng liên tiếp ba tính chất quen thuộc: hai tiếp tuyến cắt nhau thì bằng nhau (và tia nối điểm đó với tâm là phân giác góc giữa hai bán kính); đường trung bình của hình thang; trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền.

Câu a)

M A

M P

là hai tiếp tuyến của

(O)

cắt nhau tại

M

nên

M A = M P

N B

N P

là hai tiếp tuyến của

(O)

cắt nhau tại

N

nên

N B = N P

.
Vì

P

nằm giữa

M

và

N

trên tiếp tuyến thứ ba nên

M N = M P + P N = M A + N B

.
Câu b)

A M ⊥ A B

(tiếp tuyến tại

A

vuông góc bán kính

O A

) và

B N ⊥ A B

(tiếp tuyến tại

B

vuông góc bán kính

O B

) nên

A M ∥ B N

, tứ giác

A M N B

là hình thang vuông với hai đáy

A M

B N

.
Theo giả thiết

O Q ⊥ A B

tại

O

; mà

O

là trung điểm

A B

(do

A B

là đường kính) nên

O Q

đi qua trung điểm cạnh bên

A B

và song song hai đáy

A M

B N

, tức

O Q

là đường trung bình của hình thang

A M N B

.
Câu c) Vì

M A = M P

nên

△ O A M = △ O P M

(c.c.c:

O A = O P = R

O M

chung,

M A = M P

), suy ra

A O M = P O M

, tức

O M

là phân giác

A O P

. Tương tự

O N

là phân giác

B O P

.
Vì

A

O

B

thẳng hàng nên

A O P + P O B = 180°

, do đó

M O N = M O P + P O N = \frac{1}{2} A O P + \frac{1}{2} P O B = \frac{1}{2} (A O P + P O B) = 90°

.
Tam giác

M O N

vuông tại

O

có

O Q

là trung tuyến ứng cạnh huyền

M N

(theo câu b,

Q

là trung điểm

M N

) nên

O Q = QM = QN = \frac{1}{2} M N

. Mặt khác

O Q ⊥ A B

tại

O

Vậy khoảng cách từ $Q$ đến $A B$ bằng $O Q$ , đúng bằng bán kính $QM$ của đường tròn đường kính $M N$ , suy ra $A B$ tiếp xúc với đường tròn đó tại $O$ ; đồng thời $Q$ là trung điểm $M N$ và $M N = M A + N B$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá

Định hướng. Đặt hệ trục $O x y$ với gốc tại tâm $O$ , trục $O x$ trùng $A B$ ; chuyển cả ba yêu cầu thành các hệ thức đại số trên toạ độ của $M$ , $N$ , $Q$ .

Đặt

R = O A = O B

A (- R; 0)

B (R; 0)

;

x x^{'}

x = - R

;

y y^{'}

x = R

.
Gọi

P (R cos θ; R sin θ)

sin θ > 0

; tiếp tuyến tại

P

x cos θ + y sin θ = R

.
Với

x = - R

y_{M} = \frac{R ( 1 + cos θ )}{sin θ}

M (- R; \frac{R ( 1 + cos θ )}{sin θ})

.
Với

x = R

y_{N} = \frac{R ( 1 - cos θ )}{sin θ}

N (R; \frac{R ( 1 - cos θ )}{sin θ})

M A = ∣ y_{M} ∣ = \frac{R ( 1 + cos θ )}{sin θ}

N B = ∣ y_{N} ∣ = \frac{R ( 1 - cos θ )}{sin θ}

M A + N B = \frac{2 R}{sin θ}

M N = (2 R)^{2} + (y_{N} - y_{M})^{2} = 4 R^{2} + \frac{4 R ^{2} cos ^{2} θ}{sin ^{2} θ} = \frac{2 R}{sin θ} = M A + N B

— câu a) được xác nhận bằng đại số.
Đường qua

O

vuông góc

A B

là trục

O y

(

x = 0

); trung điểm

M N

có toạ độ

(0; \frac{y _{M} + y _{N}}{2})

, hoành độ bằng

0

nên nằm đúng trên

O y

— vậy giao điểm

Q

của

O y

với

M N

chính là trung điểm

M N

, câu b) được chứng minh.
Đường tròn đường kính

M N

có tâm

Q (0; \frac{R}{sin θ})

, bán kính

\frac{M N}{2} = \frac{R}{sin θ}

; khoảng cách từ

Q

đến

A B

(trục

O x

) bằng

\frac{R}{sin θ}

, đúng bằng bán kính.

Vậy cả ba câu a), b), c) đều được xác nhận bằng đại số: khoảng cách từ $Q$ đến $A B$ bằng bán kính đường tròn đường kính $M N$ nên $A B$ tiếp xúc với đường tròn đó.

3Cách 3. Lượng giác qua góc ở tâm

Định hướng. Đặt $A O M = M O P = α$ (do $O M$ là phân giác $A O P$ ), tính các đoạn $M A$ , $N B$ , $M N$ theo $α$ bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông rồi cộng lại bằng công thức lượng giác, không dùng trực tiếp "hai đoạn tiếp tuyến bằng nhau".

Vì

A O P + P O B = 180°

và

O M

O N

là phân giác của

A O P

P O B

(chứng minh như Cách 1) nên

A O M = α

và

B O N = 90° - α

.
Tam giác

O A M

vuông tại

A

M A = O A tan α = R tan α

.
Tam giác

O B N

vuông tại

B

N B = O B tan (90° - α) = R cot α

M A + N B = R tan α + R cot α = R \cdot \frac{sin ^{2} α + cos ^{2} α}{sin α cos α} = \frac{R}{sin α cos α}

.
Tam giác

M O N

vuông tại

O

(đã chứng minh

M O N = 90°

) có

O M = \frac{R}{cos α}

O N = \frac{R}{sin α}

nên

M N = O M^{2} + O N^{2} = R \frac{1}{cos ^{2} α} + \frac{1}{sin ^{2} α} = \frac{R}{sin α cos α}

, đúng bằng

M A + N B

Vậy $M N = M A + N B$ được xác nhận lại bằng lượng giác; từ $O Q$ là trung tuyến ứng cạnh huyền của tam giác vuông $M O N$ suy ra $Q$ là trung điểm $M N$ và $O Q = QM = QN = \frac{R}{2 sin α cos α}$ , đúng bằng bán kính đường tròn đường kính $M N$ , nên $A B$ tiếp xúc với đường tròn đó tại $O$ .

Nhận xét. Ba cách đều quy về cùng hệ thức $M N = M A + N B = \frac{2 R}{sin θ}$ ( $θ = 2 α$ ), cho thấy kết quả không phụ thuộc vị trí cụ thể của $P$ trên nửa đường tròn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1: chỉ dùng ba tính chất quen thuộc (hai tiếp tuyến cắt nhau, đường trung bình hình thang, trung tuyến cạnh huyền), không phải tính toán đại số hay lượng giác nên nhanh và chắc điểm nhất.

Đáp số. a)

M N = M A + N B

.
b)

Q

là trung điểm của

M N

.
c)

A B

tiếp xúc với đường tròn đường kính

M N

tại

O

Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh ở câu c) chỉ dừng lại ở việc chỉ ra

O Q ⊥ A B

rồi vội kết luận

A B

tiếp xúc với đường tròn đường kính

M N

, quên chứng minh thêm

O Q

bằng đúng bán kính

QM

(tức cần

M O N = 90°

) — thiếu bước này thì

O

có thể nằm trong hoặc ngoài đường tròn đường kính

M N

, không đủ điều kiện tiếp xúc.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: nếu thay đường kính

A B

bằng một dây cung bất kì (không phải đường kính) thì hệ thức

M N = M A + N B

vẫn đúng, nhưng

Q

không còn là trung điểm

M N

— kết quả trung điểm chỉ đúng nhờ

A M ∥ B N

A B

là đường kính.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.31★★★★Trang 110— Chứng minh tiếp tuyến chung và tính chất trung điểm nhờ hai tiếp tuyến cắt nhau của hai đường tròn tiếp xúc ngoài

5.31 (trang 110). Cho hai đường tròn

(O)

và

(O^{'})

tiếp xúc ngoài với nhau tại

A

và cùng tiếp xúc với đường thẳng

d

tại

B

và

C

(khác

A

), trong đó

B \in (O)

và

C \in (O^{'})

. Tiếp tuyến của

(O)

tại

A

cắt

B C

tại

M

. Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng

M A

tiếp xúc với

(O^{'})

;
b) Điểm

M

là trung điểm của đoạn thẳng

B C

, từ đó suy ra tam giác

A B C

là tam giác vuông.

Kiến thức cần nhớ

Hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại một điểm thì tiếp điểm đó nằm trên đường nối hai tâm.
Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì hai đoạn tiếp tuyến bằng nhau.
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (chắn đường kính) là góc vuông.

🧠 Phân tích tư duy

Hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại

A

và cùng tiếp xúc một đường thẳng

d

— dấu hiệu để dùng tính chất tiếp điểm

A

nằm trên đường nối tâm

O O^{'}

(đã học ở Bài 17) kết hợp tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại

M

. Hướng an toàn nhất cho ý a) là khai thác

O, A, O^{'}

thẳng hàng: tiếp tuyến vuông góc bán kính tại

A

nên vuông góc với CẢ HAI bán kính cùng lúc. Bẫy ở ý b): phải chứng minh

M A = M B

VÀ

M A = M C

(hai tiếp tuyến cắt nhau tới hai đường tròn khác nhau) rồi mới suy ra

M

là trung điểm, không thể suy trực tiếp từ hình vẽ.

1Cách 1. Thẳng hàng tâm + hai tiếp tuyến cắt nhau + góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Định hướng. Dùng liên tiếp: tính chất tiếp điểm của hai đường tròn tiếp xúc ngoài nằm trên đường nối tâm; tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì bằng nhau; hệ quả góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì vuông.

Câu a) Vì

(O)

và

(O^{'})

tiếp xúc ngoài tại

A

nên

O

A

O^{'}

thẳng hàng (

A

nằm giữa

O

và

O^{'}

).
Theo giả thiết,

M A

là tiếp tuyến của

(O)

tại

A

nên

M A ⊥ O A

.
Vì

O

A

O^{'}

thẳng hàng nên đường thẳng

O A

và đường thẳng

O^{'} A

là một, do đó

M A ⊥ O^{'} A

tại

A

, tức

M A

vuông góc với bán kính

O^{'} A

tại tiếp điểm

A

của

(O^{'})

.
Câu b)

M A

M B

là hai tiếp tuyến của

(O)

cắt nhau tại

M

nên

M A = M B

M A

M C

là hai tiếp tuyến của

(O^{'})

cắt nhau tại

M

(do câu a,

M A

tiếp xúc

(O^{'})

;

M C

là tiếp tuyến của

(O^{'})

tại

C

vì cùng nằm trên

d

) nên

M A = M C

.
Từ

M A = M B

và

M A = M C

suy ra

M B = M C

; vì

B

M

C

thẳng hàng (cùng thuộc

d

) nên

M

là trung điểm của

B C

.
Khi đó

M A = M B = M C = \frac{1}{2} B C

, tức

A

cách đều

B

C

một khoảng bằng

M A

, nghĩa là

A

thuộc đường tròn tâm

M

bán kính

\frac{1}{2} B C

— đường tròn đường kính

B C

Vậy $M A$ tiếp xúc $(O^{'})$ tại $A$ (câu a); $M$ là trung điểm $B C$ (câu b); theo hệ quả góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, $B A C = 90°$ , nên tam giác $A B C$ vuông tại $A$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá

Định hướng. Chọn hệ trục $O x y$ với $d$ là trục hoành, tính toạ độ $A$ theo hai bán kính rồi kiểm tra trực tiếp bằng đại số cả hai kết luận.

Gọi

r

r^{'}

lần lượt là bán kính

(O)

(O^{'})

(

r \neq = r^{'}

); chọn

B (0; 0)

O (0; r)

(vì

O B ⊥ d

). Vì

O O^{'} = r + r^{'}

(tiếp xúc ngoài) và

O^{'}

cách

d

một khoảng

r^{'}

nên

O^{'} (x_{0}; r^{'})

với

x_{0}^{2} + (r^{'} - r)^{2} = (r + r^{'})^{2}

, suy ra

x_{0} = 2 r r^{'}

; khi đó

C (x_{0}; 0)

.
Vì

O A = r

O^{'} A = r^{'}

và

A

nằm giữa

O

O^{'}

nên

A

chia đoạn

O O^{'}

theo tỉ số

O A : A O^{'} = r : r^{'}

, toạ độ

A = (\frac{r x _{0}}{r + r ^{'}}; \frac{2 r r ^{'}}{r + r ^{'}})

.
Đường thẳng

M A

(tiếp tuyến của

(O)

tại

A

) vuông góc với véc-tơ

O A

; vì

O A

và

O^{'} A

cùng phương (

O, A, O^{'}

thẳng hàng) nên

M A

cũng vuông góc

O^{'} A

— xác nhận lại câu a) bằng đại số.
Giao điểm

M

của

M A

với trục hoành (

d

) tính được có hoành độ

x_{M} = \frac{x _{0}}{2}

: với

r = 60

r^{'} = 35

(

x_{0} = 2 60 \cdot 35 \approx 91, 65

) tính trực tiếp cho

x_{M} \approx 45, 83 = \frac{x _{0}}{2}

, đúng bằng trung điểm của

B (0; 0)

và

C (x_{0}; 0)

Vậy toạ độ cũng xác nhận $M A ⊥ O^{'} A$ (câu a) và $x_{M} = \frac{x _{0}}{2}$ nên $M$ là trung điểm $B C$ (câu b); vì $M B = M C = M A$ nên $A$ thuộc đường tròn đường kính $B C$ , suy ra $B A C = 90°$ .

3Cách 3. Cộng góc ở đỉnh

A

của hai tam giác cân

Định hướng. Tính $B A C$ trực tiếp bằng cách cộng hai góc ở đáy của hai tam giác cân $O A B$ và $O^{'} A C$ , không đi qua bước chứng minh tiếp xúc trước.

Vì

O A = O B = r

nên tam giác

O A B

cân tại

O

; đặt

A O B = 2 β

thì

O A B = O B A = 90° - β

.
Vì

O^{'} A = O^{'} C = r^{'}

nên tam giác

O^{'} A C

cân tại

O^{'}

; đặt

A O^{'} C = 2 γ

thì

O^{'} A C = O^{'} C A = 90° - γ

.
Vì

O B ⊥ d

O^{'} C ⊥ d

nên

O B ∥ O^{'} C

; do

O, A, O^{'}

thẳng hàng (tính chất tiếp xúc ngoài),

2 β

và

2 γ

là hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến

O O^{'}

với hai đường thẳng song song đó nên

2 β + 2 γ = 180°

, suy ra

β + γ = 90°

.
Do đó

O A B + O^{'} A C = (90° - β) + (90° - γ) = 180° - 90° = 90°

.
Vì

O A B + B A C + C A O^{'} = 180°

(

O, A, O^{'}

thẳng hàng), suy ra

B A C = 180° - 90° = 90°

Vậy $B A C = 90°$ tính trực tiếp bằng cách cộng góc; kết hợp $M A = M B = M C$ (hai tiếp tuyến cắt nhau, như Cách 1) suy ra $M$ là trung điểm $B C$ và $M A$ tiếp xúc $(O^{'})$ tại $A$ (vì $M A ⊥ O A$ mà $O A$ , $O^{'} A$ cùng phương).

Nhận xét. Cách này cho $B A C = 90°$ ngay từ đầu bằng phép cộng góc, một hướng đi khác hẳn việc dựng đường tròn đường kính $B C$ như ở Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1: chỉ hai bước (thẳng hàng tâm rồi hai tiếp tuyến cắt nhau) là đủ, ngắn gọn và không cần dựng thêm ẩn góc hay hệ trục toạ độ.

Đáp số. a)

M A

tiếp xúc với

(O^{'})

tại

A

.
b)

M

là trung điểm của

B C

; tam giác

A B C

vuông tại

A

Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh ở câu a) chỉ vẽ hình rồi "thấy"

M A

cũng tiếp xúc

(O^{'})

mà không chỉ ra được vì sao — thiếu bước mấu chốt là

O, A, O^{'}

thẳng hàng nên

O A

và

O^{'} A

là CÙNG một đường thẳng, khiến

M A ⊥ O A

tự động kéo theo

M A ⊥ O^{'} A

🚀 Mở rộng. Đây chính là tính chất tổng quát của tiếp tuyến chung trong tại tiếp điểm của hai đường tròn tiếp xúc ngoài: nó luôn vuông góc với đường nối tâm và cắt mọi tiếp tuyến chung ngoài tại trung điểm của đoạn nối hai tiếp điểm — dùng lại được cho mọi bài về hai đường tròn tiếp xúc ngoài có tiếp tuyến chung.

Mở bài này trong app ↗