Chương VI. Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Luyện tập chung (trang 18–20)

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Ví dụ 1★★Trang 18— Vẽ đồ thị hàm số y = ax² và xác định điểm thuộc đồ thị

Ví dụ 1 (trang 18). Cho hai hàm số:

y = \frac{3}{2} x^{2}

và

y = - x^{2}

.
a) Vẽ đồ thị của hai hàm số này trên cùng một mặt phẳng toạ độ.
b) Tìm điểm

A

thuộc đồ thị

y = \frac{3}{2} x^{2}

, điểm

B

thuộc đồ thị

y = - x^{2}

, biết rằng

A

và

B

đều có hoành độ

x = - \frac{3}{2}

Kiến thức cần nhớ

Đồ thị hàm số $y = a x^{2}$ ( $a \neq = 0$ ) là một parabol đỉnh $O$ , nhận trục $O y$ làm trục đối xứng.
Khi $a > 0$ đồ thị nằm phía trên trục hoành (trừ đỉnh $O$ ); khi $a < 0$ đồ thị nằm phía dưới trục hoành.
Điểm $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị hàm số $y = f (x)$ khi và chỉ khi $y_{0} = f (x_{0})$ .
Vì $f (x) = a x^{2}$ là hàm số chẵn nên $f (- x) = f (x)$ với mọi $x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai hàm số cùng có dạng

y = a x^{2}

nên đồ thị đều là parabol đỉnh

O

, nhận

O y

làm trục đối xứng — dấu hiệu để chọn cách lập bảng giá trị đối xứng qua

0

khi vẽ. Ở câu b,

A

và

B

chỉ khác nhau ở hệ số

a

tại cùng một hoành độ

x = - \frac{3}{2}

, nên việc tính toán chỉ là thay số vào từng công thức rồi đối chiếu với hình đã vẽ ở câu a. Bẫy hay gặp là bình phương số âm:

(- \frac{3}{2})^{2}

phải ra số dương

\frac{9}{4}

, không được để sót dấu trừ.

1Cách 1. Lập bảng giá trị rồi thay trực tiếp

Định hướng. Lập bảng một số giá trị tương ứng của $x$ và $y$ cho từng hàm số để vẽ đồ thị, rồi thay $x = - \frac{3}{2}$ trực tiếp vào từng công thức để tìm toạ độ $A$ , $B$ .

Với

y = \frac{3}{2} x^{2}

x = - 2 \Rightarrow y = 6

;

x = - 1 \Rightarrow y = \frac{3}{2}

;

x = 0 \Rightarrow y = 0

;

x = 1 \Rightarrow y = \frac{3}{2}

;

x = 2 \Rightarrow y = 6

Với

y = - x^{2}

x = - 2 \Rightarrow y = - 4

;

x = - 1 \Rightarrow y = - 1

;

x = 0 \Rightarrow y = 0

;

x = 1 \Rightarrow y = - 1

;

x = 2 \Rightarrow y = - 4

Nối các điểm được đồ thị của hai hàm số (Hình 6.10)
Với

x = - \frac{3}{2}

y_{A} = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{2})^{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{9}{4} = \frac{27}{8}

Với

x = - \frac{3}{2}

y_{B} = - (- \frac{3}{2})^{2} = - \frac{9}{4}

Vậy $A (- \frac{3}{2}; \frac{27}{8})$ và $B (- \frac{3}{2}; - \frac{9}{4})$ .

2Cách 2. Dùng tính chẵn của hàm số để suy từ giá trị dương

Định hướng. Vì $f (x) = a x^{2}$ là hàm số chẵn nên chỉ cần lập bảng cho $x \geq 0$ rồi lấy đối xứng qua $O y$ để vẽ nửa còn lại; tương tự, tính $y$ tại $x = \frac{3}{2}$ rồi suy ra ngay giá trị tại $x = - \frac{3}{2}$ mà không cần thay số âm.

Với

x \geq 0

y = \frac{3}{2} x^{2}

có

x = 0; 1; 2 \Rightarrow y = 0; \frac{3}{2}; 6

và

y = - x^{2}

có

y = 0; - 1; - 4

Lấy đối xứng các điểm này qua

O y

được nửa đồ thị còn lại (Hình 6.10)
Vì

\frac{3}{2} x^{2}

và

- x^{2}

là hàm số chẵn nên

f (- \frac{3}{2}) = f (\frac{3}{2})

\frac{3}{2} \cdot (\frac{3}{2})^{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{9}{4} = \frac{27}{8}

nên

y_{A} = \frac{27}{8}

- (\frac{3}{2})^{2} = - \frac{9}{4}

nên

y_{B} = - \frac{9}{4}

Vậy $A (- \frac{3}{2}; \frac{27}{8})$ và $B (- \frac{3}{2}; - \frac{9}{4})$ .

3Cách 3. Dùng tỉ lệ theo bình phương hoành độ từ điểm x = 1

Định hướng. Với $y = a x^{2}$ , khi hoành độ gấp $k$ lần thì tung độ gấp $k^{2}$ lần — dùng ngay giá trị đã biết tại $x = 1$ để suy ra giá trị tại $x = - \frac{3}{2}$ bằng một phép nhân tỉ lệ, đồng thời so sánh $\frac{3}{2} > ∣ - 1∣$ để biết đồ thị nào hẹp hơn khi vẽ.

Tại

x = 1

y = \frac{3}{2} x^{2}

cho

y = \frac{3}{2}

và

y = - x^{2}

cho

y = - 1

Hoành độ

x = - \frac{3}{2}

gấp

\frac{3}{2}

lần hoành độ

x = 1

về độ lớn nên tung độ gấp

(\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}

lần

y_{A} = \frac{3}{2} \cdot \frac{9}{4} = \frac{27}{8}

y_{B} = - 1 \cdot \frac{9}{4} = - \frac{9}{4}

Vậy $A (- \frac{3}{2}; \frac{27}{8})$ và $B (- \frac{3}{2}; - \frac{9}{4})$ .

Nhận xét. Vì $\frac{3}{2} > 1$ nên đồ thị $y = \frac{3}{2} x^{2}$ hẹp hơn (tăng nhanh hơn) đồ thị $y = - x^{2}$ khi so độ lớn hệ số $a$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay trực tiếp

x = - \frac{3}{2}

vào từng công thức, không cần suy luận về tính chẵn hay tỉ lệ nên khó nhầm dấu nhất.

Đáp số.

A (- \frac{3}{2}; \frac{27}{8})

B (- \frac{3}{2}; - \frac{9}{4})

Sai lầm thường gặp. Bình phương số âm sai dấu: viết

(- \frac{3}{2})^{2} = - \frac{9}{4}

thay vì

\frac{9}{4}

, kéo theo

y_{A} = - \frac{27}{8}

(sai). Phản ví dụ:

(- \frac{3}{2})^{2} = (- \frac{3}{2}) \cdot (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} > 0

, tích hai số âm luôn dương.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với

y = a x^{2}

, hai điểm có hoành độ đối nhau

x_{0}

và

- x_{0}

luôn có cùng tung độ

a x_{0}^{2}

— thử tìm điểm đối xứng với

A

qua

O y

để kiểm tra lại tính chất này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Ví dụ 2★★★Trang 19— Lập và giải phương trình bậc hai từ bài toán thực tế (mô hình hoá)

Ví dụ 2 (trang 19). Giả sử số lượng cá trong một hồ nào đó tăng, giảm theo công thức:

P = 50 (100 + 15 t - t^{2})

0 \leq t \leq 15

.
Ở đây

P

là số lượng cá trong hồ sau

t

năm tính từ ngày 01 tháng 01 năm 2020, khi lần đầu tiên số lượng cá trong hồ được ước tính. Hỏi theo mô hình này, thì:
a) Vào thời điểm nào, số lượng cá trong hồ sẽ là

7500

con?
b) Vào thời điểm nào, số lượng cá trong hồ sẽ trở lại như tại thời điểm ban đầu vào ngày 01 tháng 01 năm 2020?

Kiến thức cần nhớ

Thay giá trị đã biết của $P$ vào công thức rồi rút gọn để đưa phương trình về dạng $a t^{2} + b t + c = 0$ .
Công thức nghiệm phương trình bậc hai: với $Δ = b^{2} - 4 a c > 0$ , phương trình có hai nghiệm $t = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ .
Nghiệm của phương trình theo ẩn $t$ (thời gian) chỉ được nhận khi thoả điều kiện $0 \leq t \leq 15$ của đề.
$t$ năm sau ngày 01/01/2020 ứng với ngày 01/01/ $(2020 + t)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho công thức

P

theo

t

và hỏi 'vào thời điểm nào

P

bằng một giá trị cho trước' — dấu hiệu của việc thay

P

đã biết vào công thức rồi giải phương trình bậc hai ẩn

t

. Vì

P

chứa

- t^{2}

nên khai triển ra sẽ được đúng dạng

a t^{2} + b t + c = 0

, dùng công thức nghiệm hoặc tách nhân tử để giải. Bẫy của đề là mỗi câu đều cho hai nghiệm

t

hợp lệ, cùng thoả

0 \leq t \leq 15

, nên phải đối chiếu cả hai nghiệm với điều kiện của

t

trước khi đổi ra ngày tháng, không được loại nghiệm tuỳ tiện.

1Cách 1. Dùng công thức nghiệm với delta

Định hướng. Thay $P$ đã cho vào công thức, rút gọn về dạng $a t^{2} + b t + c = 0$ rồi dùng công thức nghiệm với $Δ$ để tìm $t$ , sau đó đối chiếu điều kiện $0 \leq t \leq 15$ và đổi ra ngày tháng.

P = 7500 \Leftrightarrow 50 (100 + 15 t - t^{2}) = 7500 \Leftrightarrow 100 + 15 t - t^{2} = 150

\Leftrightarrow t^{2} - 15 t + 50 = 0

Δ = 1 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 50 = 225 - 200 = 25 > 0

Δ = 5

t_{1} = \frac{15 + 5}{2} = 10

t_{2} = \frac{15 - 5}{2} = 5

(cả hai đều thoả

0 \leq t \leq 15

)

t = 5

ứng với ngày 01-01-2025;

t = 10

ứng với ngày 01-01-2030
b)

P (0) = 50 \cdot 100 = 5000

(con) là số cá ban đầu

P = 5000 \Leftrightarrow 100 + 15 t - t^{2} = 100 \Leftrightarrow 15 t - t^{2} = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 15 t = 0

Δ = 1 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 225 > 0

Δ = 15

t_{1} = \frac{15 + 15}{2} = 15

t_{2} = \frac{15 - 15}{2} = 0

(cả hai đều thoả

0 \leq t \leq 15

)

t = 0

là thời điểm ban đầu,

t = 15

ứng với ngày 01-01-2035

Vậy a) số cá là $7500$ con vào ngày 01-01-2025 hoặc ngày 01-01-2030; b) số cá trở lại $5000$ con (như ban đầu) vào ngày 01-01-2035.

2Cách 2. Tách nhân tử

Định hướng. Cả hai phương trình sau khi rút gọn đều có nghiệm nguyên đẹp nên nhẩm tách được thành tích hai nhân tử bậc nhất, khỏi cần tính $Δ$ .

t^{2} - 15 t + 50 = 0

t^{2} - 5 t - 10 t + 50 = 0

t (t - 5) - 10 (t - 5) = 0

(t - 5) (t - 10) = 0

t - 5 = 0

hoặc

t - 10 = 0

nên

t = 5

hoặc

t = 10

(cả hai đều thoả

0 \leq t \leq 15

)

t = 5

ứng với ngày 01-01-2025;

t = 10

ứng với ngày 01-01-2030
b)

15 t - t^{2} = 0

t (15 - t) = 0

t = 0

hoặc

t = 15

(cả hai đều thoả

0 \leq t \leq 15

)

t = 0

là thời điểm ban đầu,

t = 15

ứng với ngày 01-01-2035

Vậy a) số cá là $7500$ con vào ngày 01-01-2025 hoặc 01-01-2030; b) số cá trở lại như ban đầu vào ngày 01-01-2035.

3Cách 3. Hoàn thành bình phương

Định hướng. Đưa vế trái về dạng bình phương đủ $(t - h)^{2} = k$ rồi khai căn hai vế, không cần nhớ công thức nghiệm hay đoán nhân tử.

t^{2} - 15 t + 50 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 15 t = - 50

\Leftrightarrow t^{2} - 15 t + \frac{225}{4} = - 50 + \frac{225}{4}

\Leftrightarrow (t - \frac{15}{2})^{2} = \frac{25}{4}

\Leftrightarrow t - \frac{15}{2} = \pm \frac{5}{2}

t = \frac{15}{2} + \frac{5}{2} = 10

hoặc

t = \frac{15}{2} - \frac{5}{2} = 5

15 t - t^{2} = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 15 t = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 15 t + \frac{225}{4} = \frac{225}{4}

\Leftrightarrow (t - \frac{15}{2})^{2} = \frac{225}{4}

\Leftrightarrow t - \frac{15}{2} = \pm \frac{15}{2}

t = 15

hoặc

t = 0

Vậy a) $t = 5$ hoặc $t = 10$ (năm 2025 hoặc 2030); b) $t = 0$ hoặc $t = 15$ (thời điểm ban đầu hoặc năm 2035).

Nhận xét. Đỉnh parabol $P (t)$ ứng với $t = 7, 5$ là trục đối xứng — cả hai cặp nghiệm $5; 10$ và $0; 15$ đều đối xứng qua $7, 5$ , đúng như tính chất của hàm số bậc hai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (tách nhân tử): hai phương trình đều có nghiệm nguyên đẹp nên nhẩm nhanh, khỏi mất công tính

Δ

Đáp số. a) Ngày 01-01-2025 hoặc ngày 01-01-2030; b) ngày 01-01-2035.

Sai lầm thường gặp. Chỉ lấy một nghiệm rồi bỏ sót nghiệm còn lại (ví dụ chỉ ghi

t = 5

mà quên

t = 10

), trong khi cả hai nghiệm của câu a đều thoả

0 \leq t \leq 15

nên đều là thời điểm hợp lệ, phải đổi ra ngày tháng cho cả hai.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi

7500

thành một số cá khác nằm ngoài khoảng giá trị của

P (t)

trên

[0; 15]

(chẳng hạn lớn hơn giá trị lớn nhất tại đỉnh) thì phương trình vô nghiệm — không có thời điểm nào đạt số cá đó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 6.16★★Trang 19— Xác định hệ số a của parabol y = ax² từ một điểm cho trước rồi tính toạ độ điểm

Bài 6.16 (trang 19). Biết rằng parabol

y = a x^{2}

(

a \neq = 0

) đi qua điểm

A (2; 43)

.
a) Tìm hệ số

a

và vẽ đồ thị của hàm số

y = a x^{2}

với

a

vừa tìm được.
b) Tìm tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ

x = - 1

.
c) Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ

y = 53

Kiến thức cần nhớ

Điểm $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị $y = f (x)$ khi và chỉ khi $y_{0} = f (x_{0})$ .
Với $k > 0$ : $x^{2} = k \Leftrightarrow x = k$ hoặc $x = - k$ .
$(3)^{2} = 3$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điểm

A

thuộc parabol nghĩa là toạ độ của nó thoả mãn phương trình

y = a x^{2}

— thay trực tiếp

x = 2

y = 43

vào là tìm được

a

ngay, đây là dấu hiệu chuẩn của dạng 'tìm hệ số từ một điểm thuộc đồ thị'. Sau khi có

a

, câu b chỉ là thay số còn câu c phải giải phương trình

a x^{2} = 53

, chú ý phương trình này cho hai giá trị

x

đối nhau chứ không phải một. Bẫy là quên nghiệm âm khi khai căn

x^{2} = 5

1Cách 1. Thay số trực tiếp

Định hướng. Thay toạ độ điểm $A$ vào $y = a x^{2}$ để tìm $a$ , rồi lần lượt thay $x = - 1$ và cho $y = 53$ để tính tiếp câu b, c.

A (2; 43)

thuộc đồ thị nên

43 = a \cdot 2^{2} = 4 a

a = 3

, hàm số cần tìm là

y = 3 x^{2}

b) Với

x = - 1

y = 3 \cdot (- 1)^{2} = 3

c) Với

y = 53

3 x^{2} = 53 \Leftrightarrow x^{2} = 5 \Leftrightarrow x = 5

hoặc

x = - 5

Vậy a) $a = 3$ ; b) tung độ bằng $3$ ; c) hai điểm $(5; 53)$ và $(- 5; 53)$ .

2Cách 2. Dùng tỉ lệ bình phương hoành độ

Định hướng. Với $y = a x^{2}$ , tỉ số tung độ của hai điểm bằng bình phương tỉ số hoành độ — dùng ngay điểm $A$ đã biết để suy tung độ tại $x = - 1$ mà không cần tính riêng $a$ trước.

a) Từ

43 = a \cdot 4

suy

a = 3

(như trên)
b) Điểm cần tìm có hoành độ

x = - 1

, điểm

A

có hoành độ

2

; tỉ số bình phương là

(\frac{- 1}{2})^{2} = \frac{1}{4}

Tung độ cần tìm

= 43 \cdot \frac{1}{4} = 3

3 x^{2} = 53 \Leftrightarrow x^{2} = 5 \Leftrightarrow x = \pm 5

Vậy a) $a = 3$ ; b) tung độ bằng $3$ ; c) hai điểm $(5; 53)$ và $(- 5; 53)$ .

3Cách 3. Đưa câu c về phương trình bậc hai khuyết b, dùng delta

Định hướng. Coi câu c là một phương trình bậc hai ẩn $x$ dạng $a x^{2} + c = 0$ (khuyết $b$ ), dùng $Δ$ để giải cho thống nhất với cách giải phương trình bậc hai đầy đủ, thay vì khai căn trực tiếp như hai cách trên.

4 a = 43 \Rightarrow a = 3

y = 3 \cdot (- 1)^{2} = 3

3 x^{2} - 53 = 0

, đây là phương trình bậc hai khuyết

b

với hệ số

a^{'} = 3

b^{'} = 0

c^{'} = - 53

Δ = 0^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 53) = 60 > 0

Δ = 215

x = \frac{0 \pm 2 15}{2 3} = \pm \frac{15}{3} = \pm 5

Vậy a) $a = 3$ ; b) tung độ bằng $3$ ; c) hai điểm $(5; 53)$ và $(- 5; 53)$ .

Nhận xét. Ba cách đều cho cùng kết quả $x = \pm 5$ — cách khai căn trực tiếp (Cách 1) là gọn nhất vì phương trình chỉ khuyết $b$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khai căn trực tiếp

x^{2} = 5

nhanh hơn hẳn so với dựng cả công thức nghiệm cho một phương trình khuyết

b

Đáp số. a)

a = 3

; b) tung độ bằng

3

; c) hai điểm

(5; 53)

và

(- 5; 53)

Sai lầm thường gặp. Ở câu c chỉ lấy nghiệm dương

x = 5

mà quên

x = - 5

, vì

x^{2} = 5

luôn cho hai giá trị đối nhau của

x

🚀 Mở rộng. Nếu đổi giả thiết thành

A

có hoành độ âm, ví dụ

A (- 2; 43)

, kết quả hệ số

a

không đổi vì

(- 2)^{2} = 2^{2}

— hãy kiểm tra lại điều này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 6.17★★Trang 20— Vận dụng công thức vật lí có dạng ax² để tính và lập phương trình bậc hai tìm vận tốc

Bài 6.17 (trang 20). Công thức

E = \frac{1}{2} m v^{2}

(J) được dùng để tính động năng của một vật có khối lượng

m

(kg) khi chuyển động với vận tốc

v

(m/s) (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).
a) Giả sử một quả bóng có khối lượng

2

kg đang bay với vận tốc

6

m/s. Tính động năng của quả bóng đó.
b) Giả sử động năng của quả bóng đang bay có khối lượng

1, 5

kg là

48

J, hãy tính vận tốc bay của quả bóng đó.

Kiến thức cần nhớ

Công thức động năng $E = \frac{1}{2} m v^{2}$ .
Với $k > 0$ : $v^{2} = k \Leftrightarrow v = k$ hoặc $v = - k$ .
Vận tốc $v$ trong bài toán vật lí luôn nhận giá trị không âm.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a chỉ là thay số vào công thức có sẵn, không có gì đặc biệt. Câu b thì ngược lại: đã biết

E

và

m

, phải coi

v

là ẩn và giải phương trình bậc hai (thực chất khuyết

b

) để tìm

v

— dấu hiệu nhận ra ngay khi thấy ẩn cần tìm nằm trong

v^{2}

. Bẫy của đề là vận tốc luôn không âm, nên trong hai nghiệm đối nhau của phương trình chỉ được nhận nghiệm dương.

1Cách 1. Thay số rồi khai căn trực tiếp

Định hướng. Câu a thay số trực tiếp vào công thức. Câu b coi $v$ là ẩn, thay $E$ , $m$ đã cho vào công thức rồi giải phương trình bậc hai khuyết $b$ bằng cách khai căn, chỉ nhận nghiệm dương vì $v$ là vận tốc.

E = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 36 = 36

(J)
b)

48 = \frac{1}{2} \cdot 1, 5 \cdot v^{2}

48 = 0, 75 v^{2}

v^{2} = 64

v = 8

hoặc

v = - 8

, loại

v = - 8

vì vận tốc không âm

Vậy a) động năng của quả bóng là $36$ J; b) vận tốc bay của quả bóng là $8$ m/s.

2Cách 2. Đưa về phương trình bậc hai khuyết b, dùng delta

Định hướng. Đưa phương trình ở câu b về đúng dạng $a v^{2} + b v + c = 0$ (khuyết $b$ ) rồi dùng $Δ$ để giải, thống nhất với cách giải mọi phương trình bậc hai đã học.

E = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6^{2} = 36

(J)
b)

0, 75 v^{2} - 48 = 0

Δ = 0^{2} - 4 \cdot 0, 75 \cdot (- 48) = 144 > 0

Δ = 12

v_{1} = \frac{0 + 12}{2 \cdot 0 , 75} = \frac{12}{1 , 5} = 8

v_{2} = \frac{0 - 12}{1 , 5} = - 8

Loại

v_{2} = - 8

vì vận tốc không âm

Vậy a) động năng là $36$ J; b) vận tốc bay của quả bóng là $8$ m/s.

3Cách 3. Lập tỉ lệ từ kết quả câu a

Định hướng. Từ công thức $E = \frac{1}{2} m v^{2}$ suy ra $v^{2}$ tỉ lệ thuận với $\frac{E}{m}$ — dùng ngay kết quả đã tính ở câu a để lập tỉ số, khỏi phải giải lại phương trình từ đầu.

Từ

E = \frac{1}{2} m v^{2}

suy ra

v^{2} = \frac{2 E}{m}

, tức

v^{2}

tỉ lệ thuận với

\frac{E}{m}

Ở câu a:

\frac{E}{m} = \frac{36}{2} = 18

ứng với

v = 6

Ở câu b:

\frac{E}{m} = \frac{48}{1 , 5} = 32

\frac{v _{b}^{2}}{v _{a}^{2}} = \frac{32}{18} = \frac{16}{9}

nên

\frac{v _{b}}{v _{a}} = \frac{4}{3}

(vì

v_{a}, v_{b} > 0

)

v_{b} = 6 \cdot \frac{4}{3} = 8

Vậy vận tốc bay của quả bóng ở câu b là $8$ m/s.

Nhận xét. Cách này chỉ dùng được vì đề đã cho sẵn một cặp $(E, m, v)$ ở câu a để lập tỉ số; nếu không có dữ kiện đó phải quay lại giải phương trình như Cách 1, 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: với động năng, khai căn thẳng

v^{2} = 64

để ra

v = 8

là đường ngắn nhất, không cần trình bày công thức nghiệm cho một phương trình chỉ khuyết

b

Đáp số. a)

E = 36

J; b)

v = 8

m/s.

Sai lầm thường gặp. Nhận cả hai nghiệm

v = 8

và

v = - 8

mà không loại nghiệm âm, trong khi vận tốc

v

trong bài toán vật lí này chỉ nhận giá trị không âm.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi

48

J thành một giá trị âm (vô lí về vật lí) thì phương trình

v^{2} = \frac{2 E}{m}

vô nghiệm — điều này khớp với thực tế vì động năng luôn không âm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.18★★★Trang 20— Lập hàm số tỉ lệ thuận dạng l = kT² rồi tính giá trị

Bài 6.18 (trang 20). Chiều dài

l

(mét) của một con lắc đơn tỉ lệ thuận với bình phương chu kì

T

(giây) của nó (chu kì là thời gian để thực hiện một dao động). Con lắc đơn có chiều dài

223, 4

cm thì có chu kì

3

giây.
a) Tìm công thức liên hệ giữa

l

và

T

.
b) Tìm chiều dài của con lắc có chu kì

5

giây.
c) Chu kì của con lắc có chiều dài

0, 98

m là bao nhiêu?
(Trong tất cả các câu trên, kết quả được tính chính xác đến hàng phần mười).

Kiến thức cần nhớ

Đại lượng $y$ tỉ lệ thuận với bình phương $x$ khi $y = k x^{2}$ với $k$ là hằng số khác $0$ .
Thay một cặp giá trị đã biết vào công thức để tìm hằng số tỉ lệ $k$ .
Đổi đơn vị: $1$ m $= 100$ cm.

🧠 Phân tích tư duy

'Tỉ lệ thuận với bình phương' là dấu hiệu trực tiếp của công thức

l = k T^{2}

— chỉ cần thay một cặp

(T, l)

đã cho để tìm hằng số

k

. Vì đề cho

l

bằng cm còn câu hỏi có đơn vị mét ở câu c, phải đổi đơn vị thống nhất trước khi thay số, đây là bẫy dễ sai nhất trong bài.

1Cách 1. Tìm k bằng cm rồi thay số

Định hướng. Lập công thức $l = k T^{2}$ với $l$ tính bằng cm, thay $T = 3$ , $l = 223, 4$ để tìm $k$ (giữ nguyên phân số, không làm tròn sớm), rồi thay số cho từng câu; câu c phải đổi $0, 98$ m ra cm trước khi thay vào.

l = k T^{2}

, thay

T = 3

l = 223, 4

223, 4 = 9 k

k = \frac{223 , 4}{9}

(giữ nguyên phân số, chưa làm tròn)
Công thức:

l = \frac{223 , 4}{9} T^{2} \approx 24, 8 T^{2}

(cm)
b)

T = 5

l = \frac{223 , 4}{9} \cdot 25 = \frac{5585}{9} \approx 620, 6

(cm)
c)

0, 98

= 98

cm:

98 = \frac{223 , 4}{9} T^{2}

T^{2} = \frac{98 \cdot 9}{223 , 4} = \frac{882}{223 , 4} \approx 3, 95

T \approx 1, 99 \approx 2, 0

Vậy a) $l \approx 24, 8 T^{2}$ (cm); b) chiều dài con lắc $\approx 620, 6$ cm; c) chu kì $\approx 2, 0$ giây.

2Cách 2. Dùng tỉ lệ thức trực tiếp

Định hướng. Dùng ngay tính chất $\frac{l _{1}}{T _{1}^{2}} = \frac{l _{2}}{T _{2}^{2}}$ của đại lượng tỉ lệ thuận để lập tỉ lệ thức, khỏi phải tách riêng bước tính số thập phân của $k$ rồi làm tròn hai lần.

a) Công thức:

l = k T^{2}

với

k = \frac{l _{1}}{T _{1}^{2}} = \frac{223 , 4}{9}

\frac{l}{5 ^{2}} = \frac{223 , 4}{3 ^{2}} \Rightarrow l = \frac{223 , 4 \cdot 25}{9} = \frac{5585}{9} \approx 620, 6

(cm)
c)

\frac{98}{T ^{2}} = \frac{223 , 4}{9} \Rightarrow T^{2} = \frac{98 \cdot 9}{223 , 4} = \frac{882}{223 , 4} \approx 3, 95 \Rightarrow T \approx 1, 99 \approx 2, 0

Vậy a) $l = \frac{223 , 4}{9} T^{2} \approx 24, 8 T^{2}$ (cm); b) $l \approx 620, 6$ cm; c) $T \approx 2, 0$ giây.

3Cách 3. Đổi hẳn sang mét từ đầu

Định hướng. Đổi toàn bộ dữ kiện sang đơn vị mét ngay từ đầu (thay vì cm) để tránh phải đổi đơn vị riêng ở câu c, dùng công thức $l = k T^{2}$ với $k$ tính theo mét.

Đổi

223, 4

= 2, 234

m
a)

2, 234 = k \cdot 9 \Rightarrow k = \frac{2 , 234}{9}

; công thức

l = \frac{2 , 234}{9} T^{2}

(m)
b)

T = 5

l = \frac{2 , 234}{9} \cdot 25 = \frac{55 , 85}{9} \approx 6, 2

(m)

= 620, 6

cm
c)

l = 0, 98

0, 98 = \frac{2 , 234}{9} T^{2}

T^{2} = \frac{0 , 98 \cdot 9}{2 , 234} = \frac{8 , 82}{2 , 234} \approx 3, 95

T \approx 1, 99 \approx 2, 0

Vậy a) $l \approx 0, 248 T^{2}$ (m); b) $l \approx 6, 2$ m; c) $T \approx 2, 0$ giây.

Nhận xét. Đổi hẳn sang mét từ đầu cho kết quả giống hệt cách làm bằng cm, nhưng khỏi phải đổi đơn vị riêng ở câu c — nên chọn đơn vị thống nhất ngay từ câu a.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (tỉ lệ thức trực tiếp

l_{1} / T_{1}^{2} = l_{2} / T_{2}^{2}

): khỏi phải tính

k

rồi làm tròn hai lần, giảm sai số tích luỹ.

Đáp số. a)

l = \frac{223 , 4}{9} T^{2} \approx 24, 8 T^{2}

(cm); b)

l \approx 620, 6

cm; c)

T \approx 2, 0

giây.

Sai lầm thường gặp. Làm tròn

k \approx 24, 8

ngay từ câu a rồi dùng số đã làm tròn đó để tính tiếp câu b, c, gây sai số tích luỹ (ví dụ

24, 8 \cdot 25 = 620

thay vì

620, 6

khi dùng phân số

\frac{223 , 4}{9}

chính xác). Ngoài ra quên đổi đơn vị mét sang cm (hoặc ngược lại) ở câu c.

🚀 Mở rộng. Với con lắc đơn thật, công thức vật lí chuẩn là

T = 2 π \frac{l}{g}

— thử kiểm tra xem hằng số

k = \frac{223 , 4}{9}

tính được ở đây có tương ứng với gia tốc trọng trường

g \approx 9, 8

m/s

^{2}

hay không.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.19★★Trang 20— Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm / công thức nghiệm thu gọn

Bài 6.19 (trang 20). Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn, giải các phương trình sau:
a)

x^{2} - 25 x + 1 = 0

;
b)

3 x^{2} - 9 x + 3 = 0

;
c)

11 x^{2} - 13 x + 5 = 0

;
d)

2 x^{2} + 26 x + 3 = 0

Kiến thức cần nhớ

Công thức nghiệm: $Δ = b^{2} - 4 a c$ ; $Δ > 0$ có hai nghiệm $x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ , $Δ = 0$ có nghiệm kép $x = \frac{- b}{2 a}$ , $Δ < 0$ vô nghiệm.
Công thức nghiệm thu gọn khi $b = 2 b^{'}$ : $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ ; nghiệm $x = \frac{- b ^{'} \pm Δ ^{'}}{a}$ .
Có thể đưa phương trình về nhân tử hoặc hằng đẳng thức khi nhẩm được nghiệm đẹp.

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu rõ dùng công thức nghiệm nên chỉ cần xác định đúng

a, b, c

(hoặc

a, b^{'}, c

khi

b

chẵn) rồi tính

Δ

(hoặc

Δ^{'}

). Câu a, d có

b = - 25

và

b = 26

đều chẵn nên dùng

Δ^{'}

sẽ gọn hơn hẳn

Δ

. Bẫy nằm ở câu c:

Δ

âm nên phương trình vô nghiệm, không phải máy tính sai hay đề in nhầm.

1Cách 1. Công thức nghiệm delta (hoặc delta phẩy khi b chẵn)

Định hướng. Xác định đúng $a, b, c$ của từng phương trình, ưu tiên dùng $Δ^{'}$ khi $b$ chẵn (câu a, d) để tính gọn hơn, dùng $Δ$ chuẩn cho câu b, c.

x^{2} - 25 x + 1 = 0

có

a = 1, b^{'} = - 5, c = 1

(

b = 2 b^{'}

nên dùng

Δ^{'}

)

Δ^{'} = (- 5)^{2} - 1 \cdot 1 = 5 - 1 = 4 > 0

Δ^{'} = 2

x_{1} = 5 + 2

x_{2} = 5 - 2

3 x^{2} - 9 x + 3 = 0

có

a = 3, b = - 9, c = 3

Δ = (- 9)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 81 - 36 = 45 > 0

Δ = 35

x_{1} = \frac{9 + 3 5}{6} = \frac{3 + 5}{2}

x_{2} = \frac{3 - 5}{2}

11 x^{2} - 13 x + 5 = 0

có

a = 11, b = - 13, c = 5

Δ = (- 13)^{2} - 4 \cdot 11 \cdot 5 = 169 - 220 = - 51 < 0

Phương trình vô nghiệm
d)

2 x^{2} + 26 x + 3 = 0

có

a = 2, b^{'} = 6, c = 3

(

b = 2 b^{'}

nên dùng

Δ^{'}

)

Δ^{'} = (6)^{2} - 2 \cdot 3 = 6 - 6 = 0

Phương trình có nghiệm kép

x = \frac{- 6}{2}

Vậy a) $x = 5 + 2$ hoặc $x = 5 - 2$ ; b) $x = \frac{3 + 5}{2}$ hoặc $x = \frac{3 - 5}{2}$ ; c) phương trình vô nghiệm; d) $x = - \frac{6}{2}$ (nghiệm kép).

2Cách 2. Tách nhân tử / nhận dạng hằng đẳng thức khi có thể

Định hướng. Trước khi tính $Δ$ , thử tách phương trình theo hằng đẳng thức hoặc nhẩm nghiệm bằng hệ thức Vi-ét — làm được thì khỏi cần khai căn $Δ$ .

x^{2} - 25 x + 1 = 0

: nhẩm hai số có tổng

25

, tích

1

, thử

x_{1} = 5 + 2, x_{2} = 5 - 2

Kiểm tra:

x_{1} + x_{2} = 25

và

x_{1} x_{2} = 5 - 4 = 1

, đúng với hệ thức Vi-ét
b)

3 x^{2} - 9 x + 3 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 1 = 0

: tổng hai nghiệm là

3

, tích là

1

, không nhẩm được cặp số hữu tỉ nên vẫn cần

Δ

Δ = 9 - 4 = 5

x = \frac{3 \pm 5}{2}

11 x^{2} - 13 x + 5 = 0

: không có nghiệm thực (xem Cách 1) nên không thể tách nhân tử trên tập số thực
d)

2 x^{2} + 26 x + 3 = 0

: nhận ra đây là bình phương đúng vì

(2 x)^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot 3 + (3)^{2} = 2 x^{2} + 26 x + 3

(2 x + 3)^{2} = 0 \Leftrightarrow 2 x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2} = - \frac{6}{2}

Vậy a) $x = 5 \pm 2$ ; b) $x = \frac{3 \pm 5}{2}$ ; c) vô nghiệm; d) $x = - \frac{6}{2}$ — khớp với kết quả ở Cách 1.

Nhận xét. Không phải phương trình nào cũng tách được nhân tử đẹp trên tập số hữu tỉ (như câu b) — khi đó vẫn phải quay về công thức nghiệm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Δ' (Cách 1) cho câu a, d vì hệ số

b

chẵn — tính nhanh hơn Δ chuẩn; câu b, c dùng Δ chuẩn vì

b

lẻ.

Đáp số. a)

x = 5 \pm 2

; b)

x = \frac{3 \pm 5}{2}

; c) vô nghiệm; d)

x = - \frac{6}{2}

(nghiệm kép).

Sai lầm thường gặp. Ở câu c, thấy

Δ < 0

rồi vẫn cố khai căn số âm hoặc kết luận nhầm là phương trình có nghiệm — với phương trình bậc hai hệ số thực trong chương trình lớp 9,

Δ < 0

nghĩa là phương trình vô nghiệm trên tập số thực, phải dừng lại và kết luận ngay, không có bước tính tiếp.

🚀 Mở rộng. Thử đổi hệ số tự do của câu c từ

5

thành

m

rồi tìm điều kiện của

m

để

11 x^{2} - 13 x + m = 0

có nghiệm — sẽ dẫn tới bất phương trình

Δ \geq 0

theo

m

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.20★★★Trang 20— Xét dấu delta và dùng máy tính cầm tay để kết luận về nghiệm của phương trình bậc hai hệ số vô tỉ

Bài 6.20 (trang 20). Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm gần đúng của các phương trình sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):
a)

2 x^{2} - 5 x + 1 = 0

;
b)

x^{2} - (3 - 1) x + 7 = 0

Kiến thức cần nhớ

Trước khi tìm nghiệm gần đúng bằng máy tính cầm tay, luôn kiểm tra dấu của $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
$Δ < 0$ : phương trình bậc hai vô nghiệm trên tập số thực (máy tính báo lỗi hoặc hiện nghiệm phức).
Có thể dùng chức năng giải phương trình bậc hai của máy tính cầm tay để tính nhanh nghiệm khi $Δ \geq 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu 'tìm nghiệm gần đúng bằng máy tính cầm tay' khiến ta dễ nghĩ ngay là bấm máy ra số — nhưng phải tính

Δ

trước để biết phương trình có nghiệm thực hay không, vì máy tính giải phương trình bậc hai sẽ báo lỗi hoặc hiện nghiệm phức nếu

Δ < 0

. Bẫy của đề chính là cả hai phương trình đều có

Δ

âm, không phải máy tính hỏng hay bấm sai.

1Cách 1. Tính delta bằng tay trước khi bấm máy

Định hướng. Tính $Δ = b^{2} - 4 a c$ cho từng phương trình trước khi bấm máy — $Δ < 0$ thì kết luận ngay phương trình vô nghiệm, không cần tìm nghiệm gần đúng nữa.

2 x^{2} - 5 x + 1 = 0

có

a = 2, b = - 5, c = 1

Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 5 - 42 \approx 5 - 5, 66 = - 0, 66 < 0

Phương trình vô nghiệm
b)

x^{2} - (3 - 1) x + 7 = 0

có

a = 1, b = - (3 - 1), c = 7

Δ = (3 - 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7 = (4 - 23) - 47 \approx 0, 54 - 10, 58 = - 10, 05 < 0

Phương trình vô nghiệm

Vậy cả hai phương trình a) và b) đều vô nghiệm (không có nghiệm thực).

2Cách 2. Bấm máy tính cầm tay ở chế độ giải phương trình bậc hai

Định hướng. Bấm thẳng máy tính cầm tay ở chế độ giải phương trình bậc hai (nhập lần lượt $a, b, c$ ) để máy tự tính, đối chiếu kết quả máy hiện với dấu hiệu vô nghiệm.

a) Nhập

a = 2, b = - 5, c = 1

vào chế độ giải phương trình bậc hai của máy tính
Máy hiện nghiệm dạng số phức

x = p \pm q i

(hoặc báo không giải được trên tập số thực), nghĩa là

Δ < 0

b) Nhập

a = 1, b = - (3 - 1), c = 7

vào chế độ giải phương trình bậc hai
Máy cũng hiện nghiệm phức, nghĩa là

Δ < 0

Vậy máy tính xác nhận cả hai phương trình a), b) đều vô nghiệm trên tập số thực, khớp với Cách 1.

3Cách 3. Xét giá trị nhỏ nhất của tam thức qua đỉnh parabol

Định hướng. Xét giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai qua đỉnh parabol: nếu hệ số $a > 0$ và giá trị nhỏ nhất vẫn dương thì đồ thị luôn nằm trên trục hoành, phương trình vô nghiệm — không cần tính $Δ$ trực tiếp.

f (x) = 2 x^{2} - 5 x + 1

có

a = 2 > 0

, giá trị nhỏ nhất

f_{m i n} = c - \frac{b ^{2}}{4 a} = 1 - \frac{5}{4 2} \approx 1 - 0, 88 = 0, 12 > 0

Vì

a > 0

và

f_{m i n} > 0

nên

f (x) > 0

với mọi

x

, phương trình vô nghiệm
b)

g (x) = x^{2} - (3 - 1) x + 7

có

a = 1 > 0

g_{m i n} = 7 - \frac{( 3 - 1 ) ^{2}}{4} \approx 2, 65 - 0, 13 = 2, 52 > 0

Vì

a > 0

và

g_{m i n} > 0

nên

g (x) > 0

với mọi

x

, phương trình vô nghiệm

Vậy cả hai phương trình đều vô nghiệm — khớp với Cách 1, 2.

Nhận xét. Giá trị nhỏ nhất $f_{m i n} = - \frac{Δ}{4 a}$ , nên $f_{m i n} > 0$ khi $a > 0$ chính là một cách phát biểu khác của $Δ < 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính

Δ

trực tiếp là nhanh nhất để kết luận vô nghiệm, không cần đổi chế độ máy tính hay tính giá trị nhỏ nhất.

Đáp số. Cả hai phương trình a), b) đều vô nghiệm (không có nghiệm thực) vì

Δ < 0

Sai lầm thường gặp. Thấy đề yêu cầu 'tìm nghiệm gần đúng' liền cố bấm ra một số thập phân bất kỳ mà không kiểm tra dấu

Δ

trước, dẫn tới ghi nghiệm phức (chứa

i

) như thể là nghiệm thực, hoặc bỏ qua kết quả báo lỗi của máy mà đoán bừa một số.

🚀 Mở rộng. Thử thay hệ số tự do

1

ở câu a) bằng tham số

m

: phương trình

2 x^{2} - 5 x + m = 0

có nghiệm thực khi và chỉ khi

Δ = 5 - 42 m \geq 0

, tức

m \leq \frac{5 2}{8} \approx 0, 88

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 6.21★★★Trang 20— Lập phương trình bậc hai từ bài toán thực tế về thể tích hình hộp

Bài 6.21 (trang 20). Từ một tấm tôn hình vuông, người ta cắt bỏ bốn hình vuông có độ dài cạnh

8

cm ở bốn góc, sau đó gấp thành một chiếc thùng có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp và có thể tích là

200

^{3}

. Tính độ dài cạnh của tấm tôn hình vuông ban đầu.

Kiến thức cần nhớ

Thể tích hình hộp chữ nhật $V =$ (diện tích đáy) $\times$ (chiều cao).
Cắt hình vuông cạnh $8$ ở góc rồi gấp lên thì mỗi cạnh đáy giảm $2 \times 8 = 16$ so với cạnh tấm tôn ban đầu.
Điều kiện cạnh tấm tôn: $x > 16$ để đáy thùng $(x - 16)$ còn là số dương.

🧠 Phân tích tư duy

Gọi cạnh tấm tôn là

x

, sau khi cắt bốn góc vuông cạnh

8

và gấp lên thì đáy thùng là hình vuông cạnh

x - 16

(bớt

8

ở mỗi bên), chiều cao là

8

— đây là dấu hiệu để lập được phương trình thể tích

8 (x - 16)^{2} = 200

. Bẫy của đề là phương trình sau khi giải có hai nghiệm nhưng chỉ một nghiệm thoả điều kiện

x > 16

(để cắt được bốn góc mà đáy còn dương), nghiệm còn lại phải loại.

1Cách 1. Lập phương trình theo x rồi khai căn trực tiếp

Định hướng. Gọi $x$ (cm) là độ dài cạnh tấm tôn ( $x > 16$ ), biểu diễn kích thước đáy và chiều cao của thùng theo $x$ rồi lập phương trình thể tích; đưa về dạng $(x - 16)^{2} = k$ để khai căn trực tiếp.

Gọi

x

(cm),

x > 16

, là độ dài cạnh tấm tôn hình vuông
Đáy thùng là hình vuông cạnh

x - 16

(cm), chiều cao thùng là

8

(cm)
Thể tích:

8 (x - 16)^{2} = 200

(x - 16)^{2} = 25

x - 16 = 5

hoặc

x - 16 = - 5

x = 21

hoặc

x = 11

, đối chiếu điều kiện

x > 16

chỉ nhận

x = 21

Vậy độ dài cạnh của tấm tôn hình vuông ban đầu là $21$ cm.

2Cách 2. Khai triển về phương trình bậc hai đầy đủ, dùng delta phẩy

Định hướng. Khai triển hẳn phương trình thể tích thành dạng bậc hai đầy đủ $a x^{2} + b x + c = 0$ rồi dùng công thức nghiệm thu gọn $Δ^{'}$ , không nhóm về hằng đẳng thức như Cách 1.

8 (x - 16)^{2} = 200 \Leftrightarrow (x - 16)^{2} = 25 \Leftrightarrow x^{2} - 32 x + 256 = 25

\Leftrightarrow x^{2} - 32 x + 231 = 0

Δ^{'} = (- 16)^{2} - 1 \cdot 231 = 256 - 231 = 25 > 0

Δ^{'} = 5

x_{1} = 16 + 5 = 21

x_{2} = 16 - 5 = 11

Đối chiếu điều kiện

x > 16

: loại

x_{2} = 11

, chỉ nhận

x_{1} = 21

Vậy cạnh tấm tôn ban đầu là $21$ cm.

3Cách 3. Đặt ẩn phụ là cạnh đáy thùng

Định hướng. Đặt $t = x - 16$ (cm) là cạnh đáy thùng, $t > 0$ ; lập phương trình thể tích theo $t$ cho gọn hơn hẳn, giải xong mới cộng $16$ để trả về $x$ .

Đặt

t = x - 16

(

t > 0

) là cạnh đáy thùng
Thể tích:

8 t^{2} = 200

t^{2} = 25

t = 5

(loại

t = - 5

vì

t > 0

)

x = t + 16 = 5 + 16 = 21

Vậy cạnh tấm tôn ban đầu là $21$ cm.

Nhận xét. Đặt ẩn phụ $t = x - 16$ giúp phương trình gọn hẳn thành $t^{2} = 25$ , không cần khai triển bình phương của biểu thức chứa $x$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 (đặt ẩn phụ

t = x - 16

): phương trình chỉ còn

8 t^{2} = 200

, khai căn một bước là ra ngay, ít khả năng sai khi khai triển bình phương.

Đáp số. Cạnh của tấm tôn hình vuông ban đầu là

21

cm.

Sai lầm thường gặp. Quên điều kiện

x > 16

nên nhận cả hai nghiệm

x = 21

và

x = 11

, trong khi

x = 11

vô lí vì khi đó

x - 16 = - 5 < 0

, không thể là độ dài cạnh đáy thùng.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi độ dài cạnh hình vuông bị cắt từ

8

cm thành

a

cm (giữ thể tích

200

^{3}

), phương trình tổng quát

a (x - 2 a)^{2} = 200

sẽ cho cạnh tấm tôn phụ thuộc

a

như thế nào?

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 6.22★★★Trang 20— Lập và giải phương trình bậc hai từ bài toán doanh thu, đối chiếu điều kiện miền xác định

Bài 6.22 (trang 20). Giả sử doanh thu (nghìn đồng) của một cửa hàng bán phở trong một ngày có thể mô hình hoá bằng công thức

R (x) = x (220 - 4 x)

với

30 \leq x \leq 50

, trong đó

x

(nghìn đồng) là giá tiền của một bát phở. Nếu muốn doanh thu của cửa hàng đạt

3

triệu đồng thì giá bán của mỗi bát phở phải là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Đổi đơn vị: $3$ triệu đồng $= 3000$ nghìn đồng.
Cho biểu thức bằng giá trị đã biết rồi giải phương trình bậc hai ẩn $x$ .
Nghiệm của phương trình chỉ được nhận khi thoả điều kiện xác định $30 \leq x \leq 50$ của đề.

🧠 Phân tích tư duy

Đơn vị của

R (x)

là nghìn đồng còn đề cho doanh thu

3

triệu đồng, dấu hiệu đầu tiên cần xử lí là đổi

3

triệu đồng

= 3000

nghìn đồng trước khi cho

R (x) = 3000

. Sau khi giải ra hai nghiệm

x

, phải đối chiếu với điều kiện

30 \leq x \leq 50

của đề để loại nghiệm không phù hợp — đây chính là bẫy của bài.

1Cách 1. Thay số, khai triển, dùng delta

Định hướng. Đổi $3$ triệu đồng ra nghìn đồng cho khớp đơn vị của $R (x)$ , cho $R (x) = 3000$ rồi khai triển đưa về phương trình bậc hai đầy đủ, giải bằng $Δ$ và đối chiếu điều kiện $30 \leq x \leq 50$ .

Đổi

3

triệu đồng

= 3000

nghìn đồng

R (x) = 3000 \Leftrightarrow x (220 - 4 x) = 3000

\Leftrightarrow 220 x - 4 x^{2} = 3000

\Leftrightarrow 4 x^{2} - 220 x + 3000 = 0

\Leftrightarrow x^{2} - 55 x + 750 = 0

Δ = (- 55)^{2} - 4 \cdot 750 = 3025 - 3000 = 25 > 0

Δ = 5

x_{1} = \frac{55 + 5}{2} = 30

x_{2} = \frac{55 - 5}{2} = 25

Đối chiếu

30 \leq x \leq 50

: loại

x_{2} = 25

, chỉ nhận

x_{1} = 30

Vậy giá bán mỗi bát phở phải là $30$ nghìn đồng.

2Cách 2. Tách nhân tử

Định hướng. Từ phương trình $x^{2} - 55 x + 750 = 0$ , nhẩm hai số có tổng $55$ và tích $750$ để tách nhân tử, không cần tính $Δ$ .

x^{2} - 55 x + 750 = 0

Nhẩm hai số có tổng

55

, tích

750

: đó là

25

và

30

(vì

25 + 30 = 55

25 \cdot 30 = 750

)

x^{2} - 55 x + 750 = (x - 25) (x - 30)

(x - 25) (x - 30) = 0 \Leftrightarrow x = 25

hoặc

x = 30

Đối chiếu

30 \leq x \leq 50

: loại

x = 25

, chỉ nhận

x = 30

Vậy giá bán mỗi bát phở phải là $30$ nghìn đồng.

3Cách 3. Xét tính đơn điệu của hàm doanh thu trên đoạn giá đã cho

Định hướng. Xét tính đơn điệu của $R (x) = - 4 x^{2} + 220 x$ trên đoạn $[30; 50]$ : đỉnh parabol tại $x = 27, 5$ nằm ngoài (bên trái) đoạn này nên $R (x)$ nghịch biến trên $[30; 50]$ , do đó phương trình $R (x) = 3000$ có nhiều nhất một nghiệm trong đoạn — thử ngay giá trị $x = 30$ ở đầu mút để kiểm tra.

R (x) = x (220 - 4 x) = - 4 x^{2} + 220 x

có

a = - 4 < 0

, đỉnh tại

x = \frac{- 220}{2 \cdot ( - 4 )} = 27, 5

Vì

27, 5 < 30

nên trên đoạn

[30; 50]

hàm

R (x)

nghịch biến
Do đó phương trình

R (x) = 3000

có tối đa một nghiệm trong

[30; 50]

Thử

x = 30

R (30) = 30 \cdot (220 - 120) = 30 \cdot 100 = 3000

, đúng bằng doanh thu cần tìm

Vậy giá bán mỗi bát phở phải là $30$ nghìn đồng, khớp với kết quả ở Cách 1, 2.

Nhận xét. Vì $R (x)$ nghịch biến trên $[30; 50]$ nên $x = 30$ (đầu mút trái) chính là giá trị $x$ cho doanh thu lớn nhất có thể đạt trong khoảng giá cho phép.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (tách nhân tử):

25

và

30

nhẩm được ngay, nhanh hơn tính

Δ

rồi khai căn.

Đáp số. Giá bán mỗi bát phở phải là

30

nghìn đồng.

Sai lầm thường gặp. Quên đổi

3

triệu đồng thành

3000

nghìn đồng (nhầm đơn vị, cho

R (x) = 3

thay vì

R (x) = 3000

), hoặc quên đối chiếu nghiệm

x = 25

với điều kiện

30 \leq x \leq 50

nên chọn nhầm đáp số.

🚀 Mở rộng. Tìm giá

x

để doanh thu đạt giá trị lớn nhất trên đoạn

[30; 50]

— vì đỉnh parabol

x = 27, 5

nằm ngoài đoạn này nên giá trị lớn nhất đạt tại đầu mút

x = 30

, đúng bằng

3000

nghìn đồng vừa tìm được.

Mở bài này trong app ↗