Luyện tập chung (trang 18–20)

Định hướng. Lập bảng một số giá trị tương ứng của $x$ và $y$ cho từng hàm số để vẽ đồ thị, rồi thay $x=-\frac{3}{2}$ trực tiếp vào từng công thức để tìm toạ độ $A$, $B$.

Vậy $A\left(-\frac{3}{2};\frac{27}{8}\right)$ và $B\left(-\frac{3}{2};-\frac{9}{4}\right)$.

Định hướng. Vì $f(x)=a{x}^2$ là hàm số chẵn nên chỉ cần lập bảng cho $x\ge 0$ rồi lấy đối xứng qua $Oy$ để vẽ nửa còn lại; tương tự, tính $y$ tại $x=\frac{3}{2}$ rồi suy ra ngay giá trị tại $x=-\frac{3}{2}$ mà không cần thay số âm.

Vậy $A\left(-\frac{3}{2};\frac{27}{8}\right)$ và $B\left(-\frac{3}{2};-\frac{9}{4}\right)$.

Định hướng. Với $y=a{x}^2$, khi hoành độ gấp $k$ lần thì tung độ gấp $k^2$ lần — dùng ngay giá trị đã biết tại $x=1$ để suy ra giá trị tại $x=-\frac{3}{2}$ bằng một phép nhân tỉ lệ, đồng thời so sánh $\left|\frac{3}{2}\right|>|-1|$ để biết đồ thị nào hẹp hơn khi vẽ.

Vậy $A\left(-\frac{3}{2};\frac{27}{8}\right)$ và $B\left(-\frac{3}{2};-\frac{9}{4}\right)$.

Nhận xét. Vì $\frac{3}{2}>1$ nên đồ thị $y=\frac{3}{2}{x}^2$ hẹp hơn (tăng nhanh hơn) đồ thị $y=-x^2$ khi so độ lớn hệ số $a$.

Định hướng. Thay $P$ đã cho vào công thức, rút gọn về dạng $a{t}^2+bt+c=0$ rồi dùng công thức nghiệm với $\Delta$ để tìm $t$, sau đó đối chiếu điều kiện $0\le t\le 15$ và đổi ra ngày tháng.

Vậy a) số cá là $7500$ con vào ngày 01-01-2025 hoặc ngày 01-01-2030; b) số cá trở lại $5000$ con (như ban đầu) vào ngày 01-01-2035.

Định hướng. Cả hai phương trình sau khi rút gọn đều có nghiệm nguyên đẹp nên nhẩm tách được thành tích hai nhân tử bậc nhất, khỏi cần tính $\Delta$.

Vậy a) số cá là $7500$ con vào ngày 01-01-2025 hoặc 01-01-2030; b) số cá trở lại như ban đầu vào ngày 01-01-2035.

Định hướng. Đưa vế trái về dạng bình phương đủ $(t-h{)}^2=k$ rồi khai căn hai vế, không cần nhớ công thức nghiệm hay đoán nhân tử.

Vậy a) $t=5$ hoặc $t=10$ (năm 2025 hoặc 2030); b) $t=0$ hoặc $t=15$ (thời điểm ban đầu hoặc năm 2035).

Nhận xét. Đỉnh parabol $P(t)$ ứng với $t=7,5$ là trục đối xứng — cả hai cặp nghiệm $5;10$ và $0;15$ đều đối xứng qua $7,5$, đúng như tính chất của hàm số bậc hai.

Định hướng. Thay toạ độ điểm $A$ vào $y=a{x}^2$ để tìm $a$, rồi lần lượt thay $x=-1$ và cho $y=5\sqrt{3}$ để tính tiếp câu b, c.

Vậy a) $a=\sqrt{3}$; b) tung độ bằng $\sqrt{3}$; c) hai điểm $\left(\sqrt{5};5\sqrt{3}\right)$ và $\left(-\sqrt{5};5\sqrt{3}\right)$.

Định hướng. Với $y=a{x}^2$, tỉ số tung độ của hai điểm bằng bình phương tỉ số hoành độ — dùng ngay điểm $A$ đã biết để suy tung độ tại $x=-1$ mà không cần tính riêng $a$ trước.

Vậy a) $a=\sqrt{3}$; b) tung độ bằng $\sqrt{3}$; c) hai điểm $\left(\sqrt{5};5\sqrt{3}\right)$ và $\left(-\sqrt{5};5\sqrt{3}\right)$.

Định hướng. Coi câu c là một phương trình bậc hai ẩn $x$ dạng $a{x}^2+c=0$ (khuyết $b$), dùng $\Delta$ để giải cho thống nhất với cách giải phương trình bậc hai đầy đủ, thay vì khai căn trực tiếp như hai cách trên.

Vậy a) $a=\sqrt{3}$; b) tung độ bằng $\sqrt{3}$; c) hai điểm $\left(\sqrt{5};5\sqrt{3}\right)$ và $\left(-\sqrt{5};5\sqrt{3}\right)$.

Nhận xét. Ba cách đều cho cùng kết quả $x=\pm \sqrt{5}$ — cách khai căn trực tiếp (Cách 1) là gọn nhất vì phương trình chỉ khuyết $b$.

Định hướng. Câu a thay số trực tiếp vào công thức. Câu b coi $v$ là ẩn, thay $E$, $m$ đã cho vào công thức rồi giải phương trình bậc hai khuyết $b$ bằng cách khai căn, chỉ nhận nghiệm dương vì $v$ là vận tốc.

Vậy a) động năng của quả bóng là $36$ J; b) vận tốc bay của quả bóng là $8$ m/s.

Định hướng. Đưa phương trình ở câu b về đúng dạng $a{v}^2+bv+c=0$ (khuyết $b$) rồi dùng $\Delta$ để giải, thống nhất với cách giải mọi phương trình bậc hai đã học.

Vậy a) động năng là $36$ J; b) vận tốc bay của quả bóng là $8$ m/s.

Định hướng. Từ công thức $E=\frac{1}{2}m{v}^2$ suy ra $v^2$ tỉ lệ thuận với $\frac{E}{m}$ — dùng ngay kết quả đã tính ở câu a để lập tỉ số, khỏi phải giải lại phương trình từ đầu.

Vậy vận tốc bay của quả bóng ở câu b là $8$ m/s.

Nhận xét. Cách này chỉ dùng được vì đề đã cho sẵn một cặp $(E,m,v)$ ở câu a để lập tỉ số; nếu không có dữ kiện đó phải quay lại giải phương trình như Cách 1, 2.

Định hướng. Lập công thức $l=k{T}^2$ với $l$ tính bằng cm, thay $T=3$, $l=223,4$ để tìm $k$ (giữ nguyên phân số, không làm tròn sớm), rồi thay số cho từng câu; câu c phải đổi $0,98$ m ra cm trước khi thay vào.

Vậy a) $l\approx 24,8T^2$ (cm); b) chiều dài con lắc $\approx 620,6$ cm; c) chu kì $\approx 2,0$ giây.

Định hướng. Dùng ngay tính chất $\frac{l_1}{T_1^2}=\frac{l_2}{T_2^2}$ của đại lượng tỉ lệ thuận để lập tỉ lệ thức, khỏi phải tách riêng bước tính số thập phân của $k$ rồi làm tròn hai lần.

Vậy a) $l=\frac{223,4}{9}{T}^2\approx 24,8T^2$ (cm); b) $l\approx 620,6$ cm; c) $T\approx 2,0$ giây.

Định hướng. Đổi toàn bộ dữ kiện sang đơn vị mét ngay từ đầu (thay vì cm) để tránh phải đổi đơn vị riêng ở câu c, dùng công thức $l=k{T}^2$ với $k$ tính theo mét.

Vậy a) $l\approx 0,248T^2$ (m); b) $l\approx 6,2$ m; c) $T\approx 2,0$ giây.

Nhận xét. Đổi hẳn sang mét từ đầu cho kết quả giống hệt cách làm bằng cm, nhưng khỏi phải đổi đơn vị riêng ở câu c — nên chọn đơn vị thống nhất ngay từ câu a.

Định hướng. Xác định đúng $a,b,c$ của từng phương trình, ưu tiên dùng ${\Delta }^{\prime }$ khi $b$ chẵn (câu a, d) để tính gọn hơn, dùng $\Delta$ chuẩn cho câu b, c.

Vậy a) $x=\sqrt{5}+2$ hoặc $x=\sqrt{5}-2$; b) $x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ hoặc $x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$; c) phương trình vô nghiệm; d) $x=-\frac{\sqrt{6}}{2}$ (nghiệm kép).

Định hướng. Trước khi tính $\Delta$, thử tách phương trình theo hằng đẳng thức hoặc nhẩm nghiệm bằng hệ thức Vi-ét — làm được thì khỏi cần khai căn $\Delta$.

Vậy a) $x=\sqrt{5}\pm 2$; b) $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$; c) vô nghiệm; d) $x=-\frac{\sqrt{6}}{2}$ — khớp với kết quả ở Cách 1.

Nhận xét. Không phải phương trình nào cũng tách được nhân tử đẹp trên tập số hữu tỉ (như câu b) — khi đó vẫn phải quay về công thức nghiệm.

Định hướng. Tính $\Delta =b^2-4ac$ cho từng phương trình trước khi bấm máy — $\Delta <0$ thì kết luận ngay phương trình vô nghiệm, không cần tìm nghiệm gần đúng nữa.

Vậy cả hai phương trình a) và b) đều vô nghiệm (không có nghiệm thực).

Định hướng. Bấm thẳng máy tính cầm tay ở chế độ giải phương trình bậc hai (nhập lần lượt $a,b,c$) để máy tự tính, đối chiếu kết quả máy hiện với dấu hiệu vô nghiệm.

Vậy máy tính xác nhận cả hai phương trình a), b) đều vô nghiệm trên tập số thực, khớp với Cách 1.

Định hướng. Xét giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai qua đỉnh parabol: nếu hệ số $a>0$ và giá trị nhỏ nhất vẫn dương thì đồ thị luôn nằm trên trục hoành, phương trình vô nghiệm — không cần tính $\Delta$ trực tiếp.

Vậy cả hai phương trình đều vô nghiệm — khớp với Cách 1, 2.

Nhận xét. Giá trị nhỏ nhất $f_{\min }=-\frac{\Delta }{4a}$, nên $f_{\min }>0$ khi $a>0$ chính là một cách phát biểu khác của $\Delta <0$.

Định hướng. Gọi $x$ (cm) là độ dài cạnh tấm tôn ($x>16$), biểu diễn kích thước đáy và chiều cao của thùng theo $x$ rồi lập phương trình thể tích; đưa về dạng $(x-16{)}^2=k$ để khai căn trực tiếp.

Vậy độ dài cạnh của tấm tôn hình vuông ban đầu là $21$ cm.

Định hướng. Khai triển hẳn phương trình thể tích thành dạng bậc hai đầy đủ $a{x}^2+bx+c=0$ rồi dùng công thức nghiệm thu gọn ${\Delta }^{\prime }$, không nhóm về hằng đẳng thức như Cách 1.

Vậy cạnh tấm tôn ban đầu là $21$ cm.

Định hướng. Đặt $t=x-16$ (cm) là cạnh đáy thùng, $t>0$; lập phương trình thể tích theo $t$ cho gọn hơn hẳn, giải xong mới cộng $16$ để trả về $x$.

Vậy cạnh tấm tôn ban đầu là $21$ cm.

Nhận xét. Đặt ẩn phụ $t=x-16$ giúp phương trình gọn hẳn thành $t^2=25$, không cần khai triển bình phương của biểu thức chứa $x$.

Định hướng. Đổi $3$ triệu đồng ra nghìn đồng cho khớp đơn vị của $R(x)$, cho $R(x)=3000$ rồi khai triển đưa về phương trình bậc hai đầy đủ, giải bằng $\Delta$ và đối chiếu điều kiện $30\le x\le 50$.

Vậy giá bán mỗi bát phở phải là $30$ nghìn đồng.

Định hướng. Từ phương trình $x^2-55x+750=0$, nhẩm hai số có tổng $55$ và tích $750$ để tách nhân tử, không cần tính $\Delta$.

Vậy giá bán mỗi bát phở phải là $30$ nghìn đồng.

Định hướng. Xét tính đơn điệu của $R(x)=-4x^2+220x$ trên đoạn $[30;50]$: đỉnh parabol tại $x=27,5$ nằm ngoài (bên trái) đoạn này nên $R(x)$ nghịch biến trên $[30;50]$, do đó phương trình $R(x)=3000$ có nhiều nhất một nghiệm trong đoạn — thử ngay giá trị $x=30$ ở đầu mút để kiểm tra.

Vậy giá bán mỗi bát phở phải là $30$ nghìn đồng, khớp với kết quả ở Cách 1, 2.

Nhận xét. Vì $R(x)$ nghịch biến trên $[30;50]$ nên $x=30$ (đầu mút trái) chính là giá trị $x$ cho doanh thu lớn nhất có thể đạt trong khoảng giá cho phép.