Luyện tập chung (trang 28–29)

Định hướng. Tính $\Delta$ để khẳng định số nghiệm ở câu a; ở câu b khai triển $A$ theo tổng và tích hai nghiệm bằng định lí Vi-ét, tránh phải tính riêng $x_1$, $x_2$.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt và $A=39$.

Định hướng. Thay vì tính $\Delta$, xét dấu của tam thức $f(x)=x^2-7x+5$ tại đỉnh parabol để suy ra số nghiệm; câu b tính trực tiếp bằng nghiệm tường minh rồi khai triển bình phương.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt và $A=39$, khớp với Cách 1.

Định hướng. Chứng minh hai nghiệm phân biệt bằng cách chỉ ra $29$ không phải số chính phương nên $\sqrt{29}$ vô tỉ, rồi tính $A$ qua hằng đẳng thức $x_1^2+x_2^2=(x_1-x_2{)}^2+2x_1{x}_2$ với $(x_1-x_2{)}^2=\frac{\Delta }{a^2}$.

Vậy $A=39$, cả ba cách đều cho cùng kết quả.

Nhận xét. Ba cách đều tránh phải rút gọn căn thức lẻ $\sqrt{29}$ khi tính $A$; chỉ Cách 2 thao tác trực tiếp trên nghiệm tường minh nên dài hơn.

Định hướng. Gọi ẩn là khối lượng riêng miếng thứ nhất, biểu diễn khối lượng riêng và thể tích miếng thứ hai theo ẩn đó, rồi dùng hiệu thể tích đã cho để lập phương trình.

Vậy khối lượng riêng miếng thứ nhất là $3$ g/cm³, miếng thứ hai là $8$ g/cm³.

Định hướng. Đổi vai trò ẩn: gọi thể tích miếng thứ hai là $t$, biểu diễn thể tích miếng thứ nhất theo $t$ rồi dùng hiệu khối lượng riêng đã cho để lập phương trình — một lựa chọn ẩn hoàn toàn khác Cách 1.

Vậy thể tích miếng thứ hai là $80$ cm³, suy ra khối lượng riêng miếng thứ hai $D_2=\frac{640}{80}=8$ g/cm³ và miếng thứ nhất $D_1=\frac{600}{80+120}=3$ g/cm³ — khớp Cách 1.

Định hướng. Vì $600$ và $640$ đều chia hết cho nhiều số nguyên nhỏ, thử trực tiếp các khối lượng riêng nguyên dương cho miếng thứ nhất, kiểm tra điều kiện hiệu thể tích bằng $120$ mà không cần lập phương trình tổng quát.

Vậy $x=3$ là khối lượng riêng miếng thứ nhất, miếng thứ hai là $8$ g/cm³, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng được vì đề bài "đẹp" (nghiệm nguyên); khi số liệu lẻ phải quay lại lập và giải phương trình như Cách 1, Cách 2.

Định hướng. Cộng các hệ số theo đúng công thức nhận dạng để tìm ngay một nghiệm, nghiệm còn lại tính bằng tích hai nghiệm của Vi-ét.

Vậy a) $x_1=1$, $x_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$; b) $x_1=-1$, $x_2=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$.

Định hướng. Không nhận dạng đặc biệt, tính thẳng $\Delta$ rồi áp dụng công thức nghiệm — cách làm được với mọi phương trình bậc hai, không riêng dạng nhẩm được.

Vậy kết quả khớp với Cách 1: a) $x_1=1$, $x_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$; b) $x_1=-1$, $x_2=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$.

Định hướng. Tách hạng tử bậc nhất thành hai phần để nhóm nhân tử chung, đưa phương trình về dạng tích bằng $0$ — đúng trọng tâm "tách nhân tử" của bài học, không cần công thức $\Delta$.

Vậy a) $x_1=1$, $x_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$; b) $x_1=-1$, $x_2=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$ — khớp cả ba cách.

Nhận xét. Cách 3 chỉ nhanh khi nhìn ra ngay cách tách; Cách 1 an toàn và nhanh hơn khi mới học dạng này.

Định hướng. Tính $S=x_1+x_2$, $P=x_1{x}_2$ bằng Vi-ét, rồi thay vào hai hằng đẳng thức $S^2-2P$ và $S^2-4P$.

Vậy a) $x_1^2+x_2^2=19$; b) $(x_1-x_2{)}^2=13$.

Định hướng. Tính câu b trước bằng liên hệ trực tiếp giữa hiệu hai nghiệm và $\Delta$, rồi suy ngược ra câu a bằng hằng đẳng thức cộng thêm $2P$ — đảo thứ tự so với Cách 1.

Vậy b) $(x_1-x_2{)}^2=13$; a) $x_1^2+x_2^2=19$, khớp Cách 1.

Định hướng. Dù đề không yêu cầu, có thể giải hẳn phương trình lấy nghiệm chứa căn rồi thay trực tiếp để kiểm tra lại hai công thức Vi-ét ở Cách 1, Cách 2.

Vậy $x_1^2+x_2^2=19$ và $(x_1-x_2{)}^2=13$, đúng như hai cách dùng Vi-ét.

Nhận xét. Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra vì đề đã yêu cầu không giải phương trình — Cách 1 mới là cách làm chuẩn khi trình bày bài thi.

Định hướng. Coi $u,v$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai có tổng và tích đã biết (hoặc suy ra được), giải phương trình đó bằng $\Delta$.

Vậy a) $(u;v)=(7;8)$ hoặc $(8;7)$; b) $(u;v)\in \{(2;11),(11;2),(-2;-11),(-11;-2)\}$.

Định hướng. Vì tích $uv$ là số nguyên nhỏ, liệt kê trực tiếp các cặp ước của tích rồi chọn cặp thoả điều kiện còn lại — không cần lập và giải phương trình bậc hai.

Vậy a) $(u;v)=(7;8)$ hoặc $(8;7)$; b) $(u;v)=(2;11)$, $(11;2)$, $(-2;-11)$ hoặc $(-11;-2)$ — khớp Cách 1.

Định hướng. Đặt $u,v$ theo nửa tổng và một đại lượng $d$ (nửa hiệu), dùng $uv={\left(\frac{S}{2}\right)}^2-d^2$ để tìm $d$ — một cách giải phương trình bậc hai "trá hình" không cần công thức nghiệm quen thuộc.

Vậy kết quả trùng khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 2 nhanh nhất khi tích là số có ít ước, Cách 1 an toàn nhất khi số liệu lớn hoặc lẻ.

Định hướng. Gọi cạnh đáy là ẩn, biểu diễn hai diện tích theo ẩn đó, lập phương trình từ tổng đã cho rồi giải bằng công thức nghiệm.

Vậy cạnh đáy của chiếc hộp xấp xỉ $14,6$ cm.

Định hướng. Thay vì áp công thức nghiệm, thêm bớt để đưa vế trái về một bình phương đúng, rồi khai căn trực tiếp.

Vậy cạnh đáy xấp xỉ $14,6$ cm, khớp Cách 1.

Định hướng. Xét hàm $f(x)=x^2+40x-800$ đồng biến trên khoảng $x>0$ (vì đỉnh parabol tại $x=-20<0$), thử vài giá trị nguyên để kẹp nghiệm vào một khoảng hẹp trước khi lấy giá trị chính xác bằng công thức để làm tròn.

Vậy cạnh đáy xấp xỉ $14,6$ cm.

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng để kiểm tra khoảng chứa nghiệm trước khi làm tròn, không thay được bước tính chính xác bằng ${\Delta }^{\prime }$ hoặc hoàn thành bình phương.

Định hướng. Thay $R=120$ triệu đồng $=120000$ nghìn đồng vào công thức đã cho, rút gọn về phương trình bậc hai rồi giải bằng $\Delta$.

Vậy cần bán $2000$ chiếc hoặc $3000$ chiếc áo phông thì doanh thu đạt $120$ triệu đồng.

Định hướng. Từ phương trình đã rút gọn, tìm hai số có tích bằng hệ số tự do và tổng bằng hệ số bậc nhất (đổi dấu) để tách nhân tử ngay, không cần tính $\Delta$.

Vậy cần bán $2000$ chiếc hoặc $3000$ chiếc áo phông, khớp Cách 1.

Định hướng. Đổi biến: từ $p=100-0,02x$ suy ra $x$ theo $p$, thay vào biểu thức doanh thu để được phương trình bậc hai ẩn $p$ — một lựa chọn ẩn khác hẳn Cách 1, Cách 2.

Vậy cần bán $2000$ chiếc (giá $60$ nghìn đồng) hoặc $3000$ chiếc (giá $40$ nghìn đồng), khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 cho thêm thông tin về giá bán tương ứng mỗi phương án, hữu ích khi cửa hàng muốn chọn phương án bán ít hàng hơn mà doanh thu vẫn như cũ.