Chương VII. Tần số và tần số tương đối

Luyện tập chung (trang 43–45)

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Ví dụ 1★★Trang 43— Lập bảng tần số, tần số tương đối và vẽ biểu đồ đoạn thẳng từ dãy dữ liệu thô

Ví dụ 1 (trang 43). Một vận động viên bắn 30 viên đạn vào bia với các điểm số thu được như sau:

10, 8, 9, 9, 10, 9, 9, 9, 8, 7, 10, 10, 9, 8, 7, 10, 9, 8, 7, 9, 9, 9, 10, 9, 10, 8, 9, 8, 8, 10.

a) Lập bảng tần số và tần số tương đối cho dãy dữ liệu trên.
b) Vẽ biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng cho bảng tần số thu được ở câu a.

Kiến thức cần nhớ

Tần số của một giá trị là số lần giá trị đó xuất hiện trong mẫu dữ liệu.
Tần số tương đối của một giá trị bằng tần số chia cho cỡ mẫu $n$ , nhân $100%$ .
Tổng tất cả tần số luôn bằng cỡ mẫu $n$ ; tổng tất cả tần số tương đối luôn bằng $100%$ .
Biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng: xác định các điểm (giá trị; tần số) rồi nối các điểm liên tiếp.

🧠 Phân tích tư duy

Dữ liệu là một dãy

30

điểm số thô, chưa được sắp xếp — dấu hiệu phải đếm tần số từng giá trị trước khi lập bảng. Vì chỉ có

4

giá trị phân biệt (

10; 9; 8; 7

) nên đếm trực tiếp là nhanh nhất, nhưng dễ đếm sai nếu không kiểm tra lại tổng bằng

30

. Bẫy của đề là tần số tương đối của điểm

10

là số thập phân tuần hoàn (

\approx 26, 7%

là số gần đúng), dễ nhầm thành

27%

nếu làm tròn sớm.

1Cách 1. Liệt kê trực tiếp rồi đếm

Định hướng. Duyệt lần lượt dãy 30 số liệu, đếm trực tiếp số lần xuất hiện của từng giá trị $10; 9; 8; 7$ .

Đếm giá trị

10

: xuất hiện

8

lần
Đếm giá trị

9

: xuất hiện

12

lần
Đếm giá trị

8

: xuất hiện

7

lần
Đếm giá trị

7

: xuất hiện

3

lần
Kiểm tra tổng:

8 + 12 + 7 + 3 = 30

, đúng bằng

n = 30

Tần số tương đối:

\frac{8}{30} \approx 26, 7%

;

\frac{12}{30} = 40%

;

\frac{7}{30} \approx 23, 3%

;

\frac{3}{30} = 10%

Vậy bảng tần số: điểm $10; 9; 8; 7$ có tần số lần lượt $8; 12; 7; 3$ ; tần số tương đối lần lượt $\approx 26, 7%; 40%; \approx 23, 3%; 10%$ (biểu đồ đoạn thẳng xem hình bên).

2Cách 2. Dùng vạch kiểm đếm

Định hướng. Duyệt dãy số đúng một lượt, mỗi lần gặp một điểm số thì gạch thêm một vạch vào đúng cột điểm đó, tránh đếm sót hay đếm trùng như khi liệt kê bằng mắt.

Điểm

10

: |||| ||| (

8

vạch)
Điểm

9

: |||| |||| || (

12

vạch)
Điểm

8

: |||| || (

7

vạch)
Điểm

7

: ||| (

3

vạch)
Tổng số vạch:

8 + 12 + 7 + 3 = 30

, đúng bằng cỡ mẫu
Tần số tương đối bằng tần số chia cho

30

rồi đổi ra phần trăm, giống kết quả Cách 1

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: tần số $8; 12; 7; 3$ , tần số tương đối $\approx 26, 7%; 40%; \approx 23, 3%; 10%$ .

3Cách 3. Sắp xếp tăng dần rồi đếm từng khối liền nhau

Định hướng. Sắp xếp lại dãy 30 số theo thứ tự tăng dần, khi đó các giá trị bằng nhau đứng liền kề nhau, chỉ cần đếm độ dài mỗi khối.

Dãy sắp tăng dần:

7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10

Khối

7

: dài

3

; khối

8

: dài

7

; khối

9

: dài

12

; khối

10

: dài

8

Kiểm tra tổng độ dài các khối:

3 + 7 + 12 + 8 = 30

Tần số tương đối:

\frac{3}{30} = 10%

;

\frac{7}{30} \approx 23, 3%

;

\frac{12}{30} = 40%

;

\frac{8}{30} \approx 26, 7%

Vậy kết quả vẫn trùng khớp hai cách trên.

Nhận xét. Sắp xếp trước rồi đếm theo khối liền nhau giúp tránh bỏ sót khi dãy dữ liệu dài, nhưng tốn thêm bước sắp xếp so với đếm trực tiếp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (vạch kiểm đếm) khi dãy dữ liệu dài như ở đây: mỗi số liệu chỉ gạch đúng một vạch nên rất khó đếm sót hay đếm trùng như khi liệt kê bằng mắt ở Cách 1.

Đáp số. Bảng tần số: điểm

10; 9; 8; 7

có tần số

8; 12; 7; 3

. Bảng tần số tương đối:

\approx 26, 7%; 40%; \approx 23, 3%; 10%

. Biểu đồ đoạn thẳng đi qua bốn điểm

(10; 8), (9; 12), (8; 7), (7; 3)

Sai lầm thường gặp. Đếm bằng mắt mà không kiểm tra tổng các tần số có bằng

30

hay không, dễ bỏ sót hoặc đếm trùng một điểm số; hoặc làm tròn

\frac{8}{30}

thành

27%

thay vì

\approx 26, 7%

🚀 Mở rộng. Nếu vận động viên bắn thêm một lượt

10

viên nữa rồi gộp chung dữ liệu, cỡ mẫu tăng lên

40

và các tần số tương đối có thể thay đổi so với kết quả trên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Ví dụ 2★★Trang 44— Lập bảng tần số tương đối và vẽ biểu đồ hình quạt tròn từ bảng thống kê

Ví dụ 2 (trang 44). Bảng thống kê sau cho biết số lượt mượn các loại sách trong một tuần tại thư viện của một trường Trung học cơ sở.

Loại sách	Sách giáo khoa	Sách tham khảo	Truyện ngắn	Tiểu thuyết
Số lượt	$20$	$80$	$70$	$30$

a) Lập bảng tần số tương đối cho bảng thống kê trên.
b) Vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn bảng tần số tương đối thu được ở câu a.

Kiến thức cần nhớ

Tần số tương đối của một loại bằng số lượt của loại đó chia cho tổng số lượt, nhân $100%$ .
Tổng các tần số tương đối của mọi loại luôn bằng $100%$ .
Trong biểu đồ hình quạt tròn, số đo cung ứng với một loại bằng $36 0^{\circ}$ nhân với tần số tương đối của loại đó.
Tổng số đo các cung trong một hình tròn luôn bằng $36 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã cho sẵn số lượt mượn của bốn loại sách và yêu cầu chuyển sang tần số tương đối rồi vẽ hình quạt tròn — dấu hiệu là phải tính tổng số lượt trước, vì tần số tương đối luôn tính trên tổng, không tính trên từng cặp riêng lẻ. Hướng chia trực tiếp là an toàn nhất vì tổng

200

là số tròn, chia nhẩm được ngay. Bẫy của đề là số đo cung của hình quạt phải nhân với

36 0^{\circ}

chứ không phải

18 0^{\circ}

, và tổng bốn số đo cung phải đúng

36 0^{\circ}

1Cách 1. Chia trực tiếp từng giá trị cho tổng

Định hướng. Tính tổng số lượt mượn, rồi chia từng số lượt cho tổng và nhân $100%$ để ra tần số tương đối.

Tổng số lượt mượn:

20 + 80 + 70 + 30 = 200

Sách giáo khoa:

\frac{20}{200} = 10%

Sách tham khảo:

\frac{80}{200} = 40%

Truyện ngắn:

\frac{70}{200} = 35%

Tiểu thuyết:

\frac{30}{200} = 15%

Số đo cung:

36 0^{\circ} \cdot 10% = 3 6^{\circ}

;

36 0^{\circ} \cdot 40% = 14 4^{\circ}

;

36 0^{\circ} \cdot 35% = 12 6^{\circ}

;

36 0^{\circ} \cdot 15% = 5 4^{\circ}

Vậy tần số tương đối là $10%; 40%; 35%; 15%$ , biểu đồ hình quạt tròn với bốn cung $3 6^{\circ}; 14 4^{\circ}; 12 6^{\circ}; 5 4^{\circ}$ (xem hình bên).

2Cách 2. Rút gọn phân số về mẫu quen thuộc trước khi đổi phần trăm

Định hướng. Rút gọn mỗi phân số có tử là số lượt mượn, mẫu là $200$ , về mẫu số quen thuộc ( $10; 5; 4; 2$ …) rồi đổi thẳng sang phần trăm, tránh chia số lớn.

\frac{20}{200} = \frac{1}{10} = 10%

\frac{80}{200} = \frac{2}{5} = 40%

\frac{70}{200} = \frac{7}{20} = 35%

\frac{30}{200} = \frac{3}{20} = 15%

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $10%; 40%; 35%; 15%$ .

3Cách 3. Tính ba loại trực tiếp, loại còn lại suy từ phần bù

100%

Định hướng. Dùng tính chất tổng các tần số tương đối luôn bằng $100%$ : tính trực tiếp ba loại sách, loại còn lại lấy $100%$ trừ tổng ba loại đã tính.

Sách giáo khoa:

\frac{20}{200} = 10%

Truyện ngắn:

\frac{70}{200} = 35%

Tiểu thuyết:

\frac{30}{200} = 15%

Sách tham khảo:

100% - 10% - 35% - 15% = 40%

Vậy tần số tương đối của sách tham khảo là $40%$ , đúng bằng kết quả tính trực tiếp ở Cách 1.

Nhận xét. Cách này tiết kiệm một phép chia nhưng chỉ nên dùng khi đã chắc chắn ba số liệu kia tính đúng, vì sai một số sẽ kéo theo sai số còn lại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (rút gọn phân số về mẫu quen thuộc): nhìn ra

\frac{20}{200} = \frac{1}{10}

hay

\frac{80}{200} = \frac{2}{5}

rồi đổi phần trăm nhanh hơn hẳn so với chia trực tiếp một số hai chữ số cho

200

Đáp số. Tần số tương đối: sách giáo khoa

10%

, sách tham khảo

40%

, truyện ngắn

35%

, tiểu thuyết

15%

. Số đo cung tương ứng:

3 6^{\circ}; 14 4^{\circ}; 12 6^{\circ}; 5 4^{\circ}

(biểu đồ hình quạt tròn xem hình).

Sai lầm thường gặp. Quên tính tổng

200

mà lấy

20; 80; 70; 30

chia cho

100

để ra phần trăm; hoặc khi vẽ hình quạt lại nhân tần số tương đối với

18 0^{\circ}

thay vì

36 0^{\circ}

, khiến tổng bốn cung chỉ còn

18 0^{\circ}

🚀 Mở rộng. Nếu thư viện thống kê thêm loại 'Sách tham khảo tiếng Anh' tách riêng khỏi 'Sách tham khảo', tổng số lượt vẫn là

200

nhưng bảng tần số tương đối sẽ có

5

dòng thay vì

4

dòng, các số đo cung cũng chia lại theo tỉ lệ mới.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 7.11★★Trang 44— Lập bảng tần số tương đối và so sánh hai nhóm gộp từ nhiều mức

Bài 7.11 (trang 44). Bảng thống kê sau cho biết số lượng học sinh của lớp 9B theo mức độ cận thị.

Mức độ	Không cận thị	Cận thị nhẹ	Cận thị vừa	Cận thị nặng
Số học sinh	$10$	$13$	$12$	$5$

a) Lập bảng tần số tương đối cho bảng thống kê trên.
b) Đa số học sinh của lớp 9B cận thị hay không cận thị?

Kiến thức cần nhớ

Tần số tương đối bằng tần số chia cho cỡ mẫu, nhân $100%$ .
Muốn so sánh một nhóm gộp nhiều mức với một mức khác, phải cộng dồn tần số (hoặc tần số tương đối) của các mức trong nhóm gộp trước.
Tổng tần số tương đối của mọi mức luôn bằng $100%$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bảng tần số theo bốn mức rồi hỏi so sánh hai nhóm lớn hơn ("cận thị" gộp ba mức, và "không cận thị"). Dấu hiệu là câu b không hỏi mức nào đông nhất trong bốn mức, mà hỏi so sánh hai nhóm gộp — phải cộng dồn trước khi so sánh chứ không so trực tiếp từng cột. Bẫy của đề là dễ chỉ nhìn cột "không cận thị" (

10

) so với cột đông nhất "cận thị nhẹ" (

13

) rồi kết luận sai — phải cộng đủ cả ba mức cận thị.

1Cách 1. Tính tần số tương đối từng mức rồi so sánh tổng ba mức cận thị

Định hướng. Tính cỡ mẫu, chia từng số học sinh cho cỡ mẫu để ra tần số tương đối, rồi cộng ba mức cận thị lại và so sánh với mức không cận thị.

Cỡ mẫu:

10 + 13 + 12 + 5 = 40

Không cận thị:

\frac{10}{40} = 25%

Cận thị nhẹ:

\frac{13}{40} = 32, 5%

Cận thị vừa:

\frac{12}{40} = 30%

Cận thị nặng:

\frac{5}{40} = 12, 5%

Tổng ba mức cận thị:

32, 5% + 30% + 12, 5% = 75%

, lớn hơn

25%

của mức không cận thị

Vậy tần số tương đối là $25%; 32, 5%; 30%; 12, 5%$ ; đa số học sinh lớp 9B bị cận thị (chiếm $75%$ ).

2Cách 2. So sánh trực tiếp bằng số học sinh, không quy về phần trăm

Định hướng. So sánh ngay số học sinh cận thị (cộng ba mức) với số học sinh không cận thị, không cần đổi ra phần trăm mới trả lời được câu b.

Số học sinh cận thị:

13 + 12 + 5 = 30

(học sinh)
Số học sinh không cận thị:

10

(học sinh)
So sánh:

30 > 10

nên số học sinh cận thị nhiều hơn hẳn

Vậy đa số học sinh của lớp 9B cận thị (30 trên 40 học sinh), không cần tính phần trăm mới kết luận được.

3Cách 3. Tính tần số tương đối của mức không cận thị, suy phần bù

100%

là tổng ba mức cận thị

Định hướng. Chỉ cần tính tần số tương đối của "không cận thị", phần còn lại (mọi mức cận thị gộp lại) chính là phần bù $100%$ , không cần cộng riêng ba mức cận thị.

Không cận thị:

\frac{10}{40} = 25%

Tổng ba mức cận thị (phần bù):

100% - 25% = 75%

Vì

75% > 25%

nên nhóm cận thị chiếm đa số

Vậy tần số tương đối của nhóm không cận thị là $25%$ , nhóm cận thị (gộp cả ba mức) là $75%$ ; đa số học sinh cận thị.

Nhận xét. Muốn có bảng tần số tương đối đầy đủ từng mức (câu a) vẫn phải tính riêng $32, 5%$ và $30%$ như Cách 1; Cách 3 chỉ rút gọn cho câu b.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: so sánh trực tiếp

30

học sinh cận thị với

10

học sinh không cận thị trả lời ngay câu b mà không cần đổi ra phần trăm, nhanh hơn hẳn khi chỉ cần kết luận nhóm nào đông hơn.

Đáp số. Bảng tần số tương đối: không cận thị

25%

, cận thị nhẹ

32, 5%

, cận thị vừa

30%

, cận thị nặng

12, 5%

. Đa số học sinh lớp 9B cận thị (chiếm

75%

, tức

30

trên

40

học sinh).

Sai lầm thường gặp. So sánh nhầm mức đông nhất trong bốn mức ("cận thị nhẹ"

13

học sinh) với mức "không cận thị" (

10

học sinh) rồi kết luận luôn mà quên cộng dồn cả ba mức cận thị lại trước khi so sánh với nhóm không cận thị.

🚀 Mở rộng. Nếu trường có

5

lớp 9 với tỉ lệ cận thị tương tự lớp 9B, ước lượng số học sinh cận thị toàn khối bằng cách nhân tần số tương đối

75%

với tổng số học sinh khối 9.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 7.12★★Trang 45— Suy tần số (số lượng) từ tần số tương đối (tỉ lệ phần trăm) và tổng số liệu

Bài 7.12 (trang 45). Tỉ lệ bình chọn các tiết mục văn nghệ của các lớp 9A, 9B, 9C, 9D tham gia hội diễn văn nghệ khối lớp 9 như sau:

Lớp	9A	9B	9C	9D
Tỉ lệ học sinh bình chọn	$35%$	$25%$	$30%$	$10%$

Biết rằng có

300

học sinh tham gia bình chọn. Lập bảng tần số biểu diễn số học sinh bình chọn cho tiết mục văn nghệ của mỗi lớp.

Kiến thức cần nhớ

Muốn tính tần số từ tần số tương đối, nhân tần số tương đối (đổi ra số thập phân hoặc phân số) với cỡ mẫu.
Tổng các tần số của mọi lớp luôn bằng cỡ mẫu (ở đây là $300$ ).
Đổi phần trăm sang phân số tối giản giúp nhân nhẩm nhanh và chính xác hơn nhân số thập phân.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn tần số tương đối (tỉ lệ phần trăm) và tổng số học sinh, yêu cầu tính ngược lại tần số (số học sinh) — ngược với Ví dụ 1, Ví dụ 2 là đi từ tần số suy tần số tương đối. Dấu hiệu nhận ra ngay là đề cho "tỉ lệ" và "có 300 học sinh", nên chỉ cần nhân tỉ lệ với tổng. Bẫy của đề là

300

chia hết cho các mẫu số của

35%, 25%, 30%, 10%

nên rất dễ tính nhầm nếu không rút gọn phân số trước.

1Cách 1. Nhân trực tiếp tỉ lệ với tổng số học sinh

Định hướng. Nhân từng tỉ lệ phần trăm với tổng số học sinh $300$ để ra số học sinh bình chọn cho mỗi lớp.

9A:

300 \cdot 35% = 105

(học sinh)
9B:

300 \cdot 25% = 75

(học sinh)
9C:

300 \cdot 30% = 90

(học sinh)
9D:

300 \cdot 10% = 30

(học sinh)
Kiểm tra tổng:

105 + 75 + 90 + 30 = 300

, đúng bằng tổng số học sinh

Vậy bảng tần số: 9A: $105$ ; 9B: $75$ ; 9C: $90$ ; 9D: $30$ (học sinh).

2Cách 2. Đổi phần trăm sang phân số tối giản rồi nhân

Định hướng. Đổi mỗi tỉ lệ phần trăm sang phân số tối giản của $300$ rồi nhân nhẩm, tránh nhân số thập phân.

35% = \frac{7}{20}

nên

300 \cdot \frac{7}{20} = 15 \cdot 7 = 105

25% = \frac{1}{4}

nên

300 \cdot \frac{1}{4} = 75

30% = \frac{3}{10}

nên

300 \cdot \frac{3}{10} = 90

10% = \frac{1}{10}

nên

300 \cdot \frac{1}{10} = 30

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $105; 75; 90; 30$ học sinh.

3Cách 3. Tính ba lớp trực tiếp, lớp còn lại suy từ tổng

300

Định hướng. Dùng tổng số học sinh tham gia bình chọn luôn bằng $300$ : tính trực tiếp ba lớp, lớp còn lại lấy $300$ trừ tổng ba lớp đã tính.

9A:

300 \cdot 35% = 105

9C:

300 \cdot 30% = 90

9D:

300 \cdot 10% = 30

9B:

300 - 105 - 90 - 30 = 75

Vậy 9B có $75$ học sinh bình chọn, đúng bằng kết quả tính trực tiếp ở Cách 1.

Nhận xét. Ba cách đều cho cùng một bảng tần số; Cách 2 tính nhẩm nhanh nhất vì $300$ chia hết cho các mẫu số $20; 4; 10$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đổi

35%, 25%, 30%, 10%

sang

\frac{7}{20}, \frac{1}{4}, \frac{3}{10}, \frac{1}{10}

rồi nhân nhẩm với

300

, nhanh và chính xác hơn nhân trực tiếp với số thập phân

0, 35

Đáp số. Bảng tần số: lớp 9A:

105

học sinh; 9B:

75

học sinh; 9C:

90

học sinh; 9D:

30

học sinh.

Sai lầm thường gặp. Nhầm

35%

của

300

với

35

(quên nhân đúng tỉ lệ), hoặc cộng bốn kết quả mà không kiểm tra tổng có đúng bằng

300

hay không nên không phát hiện được phép tính bị sai.

🚀 Mở rộng. Nếu hội diễn có thêm lớp 9E với tỉ lệ bình chọn

x %

thì bốn tỉ lệ cũ phải giảm tương ứng sao cho tổng năm tỉ lệ vẫn bằng

100%

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 7.13★Trang 45— Lập bảng tần số và tần số tương đối từ dãy dữ liệu định tính

Bài 7.13 (trang 45). Bạn Hoàng khảo sát ý kiến của các bạn trong tổ về chất lượng phục vụ của căng tin trường thu được kết quả sau:
A, B, C, B, A, A, B, A, B, A,
trong đó A là mức Tốt, B là mức Trung bình, C là mức Kém.
Hãy lập bảng tần số và bảng tần số tương đối biểu diễn kết quả bạn Hoàng thu được.

Kiến thức cần nhớ

Tần số và tần số tương đối áp dụng được cho cả dữ liệu định tính (chữ, kí hiệu) lẫn dữ liệu định lượng (số).
Tần số tương đối bằng tần số chia cho cỡ mẫu, nhân $100%$ .
Tổng tần số của mọi giá trị luôn bằng cỡ mẫu.

🧠 Phân tích tư duy

Dữ liệu ở đây là các chữ cái A, B, C (dữ liệu định tính) chứ không phải số — dấu hiệu vẫn là đếm tần số từng giá trị như với dữ liệu số, không có gì khác biệt về bản chất. Vì cỡ mẫu nhỏ (

10

kí hiệu) nên đếm trực tiếp là đủ nhanh. Bẫy của đề là giá trị C chỉ xuất hiện đúng

1

lần, rất dễ bị bỏ sót khi mắt lướt nhanh qua dãy chữ.

1Cách 1. Liệt kê trực tiếp rồi đếm

Định hướng. Duyệt lần lượt $10$ kí hiệu, đếm trực tiếp số lần xuất hiện của A, B, C.

Đếm A: xuất hiện

5

lần (vị trí

1, 5, 6, 8, 10

)
Đếm B: xuất hiện

4

lần (vị trí

2, 4, 7, 9

)
Đếm C: xuất hiện

1

lần (vị trí

3

)
Kiểm tra tổng:

5 + 4 + 1 = 10

, đúng bằng cỡ mẫu
Tần số tương đối:

\frac{5}{10} = 50%

;

\frac{4}{10} = 40%

;

\frac{1}{10} = 10%

Vậy tần số: A: $5$ , B: $4$ , C: $1$ ; tần số tương đối: A: $50%$ , B: $40%$ , C: $10%$ .

2Cách 2. Dùng vạch kiểm đếm

Định hướng. Duyệt dãy đúng một lượt, mỗi kí hiệu gạch một vạch vào đúng cột A, B hoặc C.

A: |||| (

5

vạch)
B: |||| (

4

vạch)
C: | (

1

vạch)
Tổng số vạch:

5 + 4 + 1 = 10

, đúng bằng cỡ mẫu

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: A: $5$ , B: $4$ , C: $1$ ; tần số tương đối $50%; 40%; 10%$ .

3Cách 3. Đếm A và B trực tiếp, suy tần số của C từ phần bù cỡ mẫu

Định hướng. Vì C xuất hiện rất ít nên dễ đếm sót — đếm chắc chắn A và B trước, rồi suy tần số của C bằng cách lấy cỡ mẫu trừ đi tổng tần số của A và B.

Đếm A:

5

lần; đếm B:

4

lần
Tần số của C:

10 - 5 - 4 = 1

Tần số tương đối: A:

\frac{5}{10} = 50%

; B:

\frac{4}{10} = 40%

; C:

\frac{1}{10} = 10%

Vậy tần số của C là $1$ , đúng bằng kết quả đếm trực tiếp ở Cách 1.

Nhận xét. Cách này hữu ích khi một giá trị xuất hiện quá ít, dễ bị bỏ sót nếu chỉ đếm bằng mắt.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (vạch kiểm đếm): với dữ liệu chữ cái dễ nhìn nhầm hơn dữ liệu số, gạch vạch theo từng kí hiệu tránh bỏ sót giá trị C chỉ xuất hiện một lần duy nhất.

Đáp số. Bảng tần số: A:

5

, B:

4

, C:

1

. Bảng tần số tương đối: A:

50%

, B:

40%

, C:

10%

Sai lầm thường gặp. Bỏ sót giá trị C vì chỉ xuất hiện đúng

1

lần trong dãy, hoặc đếm nhầm A và B do hai kí hiệu này đứng xen kẽ nhau liên tục trong dãy.

🚀 Mở rộng. Nếu khảo sát cả tổ gồm

30

bạn thay vì

10

bạn với tỉ lệ tương tự, tần số của A, B, C ước lượng sẽ tăng gấp

3

lần nhưng tần số tương đối (phần trăm) gần như giữ nguyên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 7.14★★Trang 45— Đọc tần số từ biểu đồ cột rồi lập bảng tần số và tần số tương đối

Bài 7.14 (trang 45). Biểu đồ cột Hình 7.16 cho biết cỡ giày của các bạn nam khối lớp 9 trong trường.
(Hình 7.16: biểu đồ tần số dạng cột, tiêu đề Cỡ giày của các bạn nam khối lớp 9, trục hoành ghi Cỡ giày gồm

36; 37; 38; 39; 40

; trục tung ghi Số học sinh; chiều cao các cột lần lượt là

28; 37; 30; 10; 15

.)
Lập bảng tần số và bảng tần số tương đối cho dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ.

Kiến thức cần nhớ

Chiều cao mỗi cột trong biểu đồ tần số dạng cột chính là tần số của giá trị tương ứng.
Tần số tương đối bằng tần số chia cho tổng tất cả tần số, nhân $100%$ .
Tổng tần số tương đối của mọi giá trị luôn bằng $100%$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dữ liệu không cho ở dạng dãy số hay bảng mà cho qua biểu đồ cột — dấu hiệu là phải đọc đúng chiều cao từng cột thành tần số trước khi tính tần số tương đối, giống hệt cách làm với bảng tần số cho sẵn. Bẫy của đề là tần số tương đối của cỡ

37

và cỡ

36

đều là số thập phân vô hạn tuần hoàn (

\approx 30, 8%

và

\approx 23, 3%

), dễ làm tròn sai nếu không giữ đủ chữ số khi tính.

1Cách 1. Đọc chiều cao cột rồi chia trực tiếp cho tổng

Định hướng. Đọc chiều cao mỗi cột trên biểu đồ để có tần số, tính tổng rồi chia từng tần số cho tổng để ra tần số tương đối.

Tần số đọc từ biểu đồ: cỡ

36

28

; cỡ

37

37

; cỡ

38

30

; cỡ

39

10

; cỡ

40

15

Tổng số học sinh:

28 + 37 + 30 + 10 + 15 = 120

Tần số tương đối:

\frac{28}{120} \approx 23, 3%

;

\frac{37}{120} \approx 30, 8%

;

\frac{30}{120} = 25%

;

\frac{10}{120} \approx 8, 3%

;

\frac{15}{120} = 12, 5%

Vậy bảng tần số: $28; 37; 30; 10; 15$ ; bảng tần số tương đối: $\approx 23, 3%; \approx 30, 8%; 25%; \approx 8, 3%; 12, 5%$ .

2Cách 2. Rút gọn phân số trước khi đổi phần trăm

Định hướng. Rút gọn mỗi phân số có tử là tần số, mẫu là $120$ , về mẫu số nhỏ hơn trước khi đổi phần trăm, tránh chia trực tiếp một số cho $120$ .

\frac{28}{120} = \frac{7}{30} \approx 23, 3%

\frac{30}{120} = \frac{1}{4} = 25%

\frac{10}{120} = \frac{1}{12} \approx 8, 3%

\frac{15}{120} = \frac{1}{8} = 12, 5%

\frac{37}{120} \approx 30, 8%

(không rút gọn được vì

37

là số nguyên tố)

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1.

3Cách 3. Tính bốn cỡ trực tiếp, cỡ còn lại suy từ tổng

100%

Định hướng. Dùng tính chất tổng tần số tương đối luôn bằng $100%$ : tính trực tiếp bốn cỡ giày, cỡ còn lại lấy $100%$ trừ tổng bốn cỡ đã tính.

Cỡ

36

\approx 23, 3%

; cỡ

38

25%

; cỡ

39

\approx 8, 3%

; cỡ

40

12, 5%

Cỡ

37

100% - 23, 3% - 25% - 8, 3% - 12, 5% \approx 30, 8%

Vậy tần số tương đối của cỡ $37$ là $\approx 30, 8%$ , khớp với kết quả tính trực tiếp.

Nhận xét. Đây là cỡ giày có tần số lớn nhất ( $37$ học sinh) — nên tính trực tiếp bằng chia thay vì suy phần bù, để tránh cộng dồn sai số làm tròn từ bốn số hạng kia.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (rút gọn phân số trước): với các cỡ

36, 38, 39, 40

mẫu số rút gọn về

30; 4; 12; 8

nên tính phần trăm nhanh và chính xác hơn chia trực tiếp cho

120

Đáp số. Bảng tần số: cỡ

36; 37; 38; 39; 40

có tần số

28; 37; 30; 10; 15

. Bảng tần số tương đối:

\approx 23, 3%; \approx 30, 8%; 25%; \approx 8, 3%; 12, 5%

Sai lầm thường gặp. Đọc nhầm chiều cao cột trên biểu đồ (ví dụ lẫn cột cỡ

37

với cỡ

38

vì hai cột đứng cạnh nhau và khá gần chiều cao); hoặc quên cộng đủ cả

5

cột khi tính tổng, dùng nhầm tổng nhỏ hơn

120

🚀 Mở rộng. Nếu khảo sát thêm các bạn nữ khối lớp 9, bảng tần số cỡ giày sẽ có thêm các cỡ nhỏ hơn (ví dụ

34; 35

) và tổng số học sinh tăng lên, kéo theo mọi tần số tương đối phải tính lại.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 7.15★★Trang 45— Vẽ biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng từ bảng tần số cho sẵn

Bài 7.15 (trang 45). Cho bảng tần số sau:

Điểm thi môn Toán	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
Số học sinh	$5$	$8$	$12$	$10$	$4$

Vẽ biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng cho bảng tần số trên.

Kiến thức cần nhớ

Biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng: xác định các điểm (giá trị; tần số) rồi nối các điểm liên tiếp theo thứ tự giá trị tăng dần.
Trục tung của biểu đồ tần số luôn bắt đầu từ $0$ và chia vạch đều nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Bảng tần số đã cho sẵn đầy đủ cặp giá trị và số học sinh, đề chỉ yêu cầu vẽ đúng biểu đồ dạng đoạn thẳng — dấu hiệu là chỉ cần áp đúng ba bước đã học: vẽ trục, xác định điểm, nối điểm, không có phép tính tần số tương đối nào ở đây. Bẫy của đề là dễ nối các điểm không theo đúng thứ tự điểm thi tăng dần (

6, 7, 8, 9, 10

), khiến đường gấp khúc bị lệch dạng so với bảng số liệu thật.

1Cách 1. Xác định toạ độ từng điểm rồi nối theo thứ tự tăng dần

Định hướng. Vẽ hai trục vuông góc, xác định các điểm (điểm thi; số học sinh) theo đúng bảng, rồi nối các điểm liên tiếp theo thứ tự điểm thi tăng dần.

Trục hoành: Điểm thi môn Toán, các giá trị

6; 7; 8; 9; 10

Trục tung: Số học sinh, chia vạch từ

0

đến

14

, bước

2

Xác định các điểm

(6; 5), (7; 8), (8; 12), (9; 10), (10; 4)

Nối lần lượt các điểm liên tiếp bằng đoạn thẳng, ghi số liệu tại mỗi điểm và đặt tiêu đề biểu đồ

Vậy biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng là đường gấp khúc đi qua năm điểm $(6; 5), (7; 8), (8; 12), (9; 10), (10; 4)$ (xem hình bên).

2Cách 2. Vẽ biểu đồ cột trước rồi nối đỉnh các cột lại

Định hướng. Dựng trước các cột có chiều cao đúng bằng số học sinh tại mỗi điểm thi (dễ hình dung độ lớn), sau đó đánh dấu đỉnh mỗi cột và nối các đỉnh liên tiếp để được biểu đồ đoạn thẳng.

Dựng cột cao

5

tại điểm

6

; cột cao

8

tại điểm

7

; cột cao

12

tại điểm

8

; cột cao

10

tại điểm

9

; cột cao

4

tại điểm

10

Đánh dấu đỉnh mỗi cột thành một điểm, xoá phần thân cột, chỉ giữ lại các điểm và trục
Nối các điểm liên tiếp theo thứ tự điểm thi tăng dần

Vậy kết quả là cùng một đường gấp khúc qua năm điểm như Cách 1.

Nhận xét. Vẽ cột trước giúp hình dung độ lớn số liệu trực quan hơn, nhưng mất thêm bước xoá cột nên chậm hơn xác định điểm trực tiếp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: xác định toạ độ từng điểm rồi nối ngay theo thứ tự tăng dần, nhanh và ít thao tác hơn hẳn việc phải dựng cột trước rồi xoá đi như Cách 2.

Đáp số. Biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng là đường gấp khúc đi qua năm điểm

(6; 5), (7; 8), (8; 12), (9; 10), (10; 4)

(xem hình).

Sai lầm thường gặp. Nối các điểm không theo đúng thứ tự điểm thi tăng dần trên trục hoành, hoặc chia vạch trục tung không đều nhau khiến hình dạng đường gấp khúc bị sai lệch so với bảng tần số gốc.

🚀 Mở rộng. Nếu gộp thêm điểm thi của một lớp khác vào cùng bảng tần số, chiều cao các điểm (tung độ) sẽ thay đổi nhưng thứ tự các giá trị trên trục hoành

6, 7, 8, 9, 10

vẫn giữ nguyên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 7.16★★★Trang 45— Lập bảng tần số tương đối, vẽ hình quạt tròn và ước lượng xác suất bằng tần số tương đối

Bài 7.16 (trang 45). Theo dõi thời tiết tại một điểm du lịch trong

30

ngày người ta thu được bảng sau:

Thời tiết	Không mưa	Mưa nhỏ	Mưa to
Số ngày	$10$	$8$	$12$

a) Lập bảng tần số tương đối và vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn bảng tần số tương đối thu được.
b) Ước lượng xác suất để một ngày trời có mưa ở điểm du lịch này.

Kiến thức cần nhớ

Tần số tương đối của một biến cố (thu được từ thực nghiệm) được dùng làm ước lượng cho xác suất của biến cố đó.
Muốn ước lượng xác suất của một biến cố gộp ("có mưa" = "mưa nhỏ" hoặc "mưa to"), phải cộng tần số tương đối của các trường hợp thành phần.
Số đo cung trong biểu đồ hình quạt tròn bằng $36 0^{\circ}$ nhân tần số tương đối.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a lặp lại đúng dạng của Ví dụ 2 (lập tần số tương đối rồi vẽ hình quạt tròn), nhưng câu b thêm một bước mới: "ước lượng xác suất" — dấu hiệu là xác suất thực nghiệm của một biến cố chính là tần số tương đối của biến cố đó. "Trời có mưa" gồm cả "mưa nhỏ" lẫn "mưa to", nên phải gộp hai loại lại trước khi lấy làm xác suất. Bẫy của đề là dễ quên gộp, chỉ lấy tần số tương đối của một mình "mưa to" (

40%

) làm đáp số.

1Cách 1. Tính tần số tương đối trực tiếp rồi cộng hai loại mưa

Định hướng. Chia từng số ngày cho $30$ để ra tần số tương đối, tính số đo cung để vẽ hình quạt, rồi cộng tần số tương đối của "mưa nhỏ" và "mưa to" để ước lượng xác suất ngày có mưa.

Không mưa:

\frac{10}{30} \approx 33, 3%

, số đo cung

36 0^{\circ} \cdot \frac{10}{30} = 12 0^{\circ}

Mưa nhỏ:

\frac{8}{30} \approx 26, 7%

, số đo cung

36 0^{\circ} \cdot \frac{8}{30} = 9 6^{\circ}

Mưa to:

\frac{12}{30} = 40%

, số đo cung

36 0^{\circ} \cdot \frac{12}{30} = 14 4^{\circ}

Xác suất ngày có mưa

\approx 26, 7% + 40% = 66, 7% \approx \frac{2}{3}

Vậy tần số tương đối là $\approx 33, 3%; \approx 26, 7%; 40%$ ; ước lượng xác suất ngày có mưa là $\approx 66, 7%$ .

2Cách 2. Rút gọn phân số về mẫu quen thuộc trước khi đổi phần trăm

Định hướng. Rút gọn mỗi phân số có tử là số ngày, mẫu là $30$ , trước khi đổi phần trăm để tính nhanh và chính xác hơn.

\frac{10}{30} = \frac{1}{3} \approx 33, 3%

\frac{8}{30} = \frac{4}{15} \approx 26, 7%

\frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 40%

Xác suất ngày có mưa:

\frac{4}{15} + \frac{2}{5} = \frac{4}{15} + \frac{6}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \approx 66, 7%

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1.

3Cách 3. Tính tần số tương đối của "không mưa", suy xác suất ngày mưa từ phần bù

100%

Định hướng. Ngày có mưa và ngày không mưa là hai khả năng bù nhau, nên chỉ cần tính tần số tương đối của "không mưa" rồi lấy $100%$ trừ đi, không cần cộng riêng "mưa nhỏ" với "mưa to".

Không mưa:

\frac{10}{30} \approx 33, 3%

Xác suất ngày có mưa:

100% - 33, 3% \approx 66, 7%

Vậy ước lượng xác suất ngày có mưa là $\approx 66, 7%$ , đúng bằng kết quả cộng trực tiếp ở Cách 1.

Nhận xét. Riêng bảng tần số tương đối đầy đủ ở câu a vẫn phải tính cả ba dòng như Cách 1; Cách 3 chỉ rút gọn thao tác cho câu b.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 cho câu b: chỉ cần tính tần số tương đối của "không mưa" rồi lấy

100%

trừ đi, nhanh hơn hẳn việc phải cộng riêng "mưa nhỏ" với "mưa to" như Cách 1.

Đáp số. a) Tần số tương đối: không mưa

\approx 33, 3%

, mưa nhỏ

\approx 26, 7%

, mưa to

40%

; số đo cung tương ứng

12 0^{\circ}; 9 6^{\circ}; 14 4^{\circ}

. b) Ước lượng xác suất ngày có mưa

\approx 66, 7% (= \frac{2}{3})

Sai lầm thường gặp. Chỉ lấy tần số tương đối của "mưa to" (

40%

) làm xác suất ngày có mưa mà quên gộp thêm "mưa nhỏ"; hoặc khi vẽ hình quạt nhân tần số tương đối với

18 0^{\circ}

thay vì

36 0^{\circ}

🚀 Mở rộng. Nếu theo dõi thêm

30

ngày nữa với tỉ lệ mưa tương tự, ước lượng xác suất ngày có mưa sẽ càng ổn định gần

\frac{2}{3}

hơn vì cỡ mẫu tăng lên.

Mở bài này trong app ↗