Chương III. Căn bậc hai và căn bậc ba

Luyện tập chung (trang 52–53)

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Ví dụ 1★★Trang 52— Khai căn một bình phương chứa căn

Ví dụ 1 (trang 52). Không dùng MTCT, tính giá trị của biểu thức

A = (1 - 3)^{2} - 3

Kiến thức cần nhớ

$A^{2} = ∣ A ∣$ với mọi số thực $A$ .
$∣ A ∣ = A$ khi $A \geq 0$ và $∣ A ∣ = - A$ khi $A < 0$ .
Với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ : $a < b \Leftrightarrow a < b$ .
$(a)^{2} = a$ với $a \geq 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dưới dấu căn là một bình phương đúng nên phải nghĩ ngay tới

A^{2} = ∣ A ∣

, tuyệt đối không cho căn và bình phương triệt tiêu nhau. Việc duy nhất còn lại là so sánh

1

với

3

để phá dấu trị tuyệt đối: vì

1 = 1

và

1 < 3

nên

1 - 3 < 0

. Bẫy của đề nằm đúng chỗ đó — viết

(1 - 3)^{2} = 1 - 3

sẽ ra

A = 1 - 23

, sai hoàn toàn.

1Cách 1. Dùng

A^{2} = ∣ A ∣

rồi xét dấu

Định hướng. Khai căn ra dấu trị tuyệt đối, so sánh $1$ với $3$ để bỏ dấu cho đúng.

1 = 1 < 3

nên

1 - 3 < 0

A = (1 - 3)^{2} - 3 = 1 - 3 - 3

A = (3 - 1) - 3

A = 3 - 1 - 3 = - 1

Vậy $A = - 1$ .

2Cách 2. Khai triển dưới dấu căn rồi nhận dạng bình phương đúng

Định hướng. Tính hẳn số dưới dấu căn, rồi viết số đó thành bình phương của một hiệu dương để khai căn khỏi cần trị tuyệt đối.

(1 - 3)^{2} = 1 - 23 + 3 = 4 - 23

4 - 23 = 3 - 23 + 1 = (3)^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 1 + 1^{2} = (3 - 1)^{2}

3 - 1 > 0

nên

4 - 23 = (3 - 1)^{2} = 3 - 1

A = (3 - 1) - 3 = - 1

Vậy $A = - 1$ .

3Cách 3. Đặt ẩn phụ

t = 3

Định hướng. Thay $3$ bằng một chữ để biểu thức thành đa thức quen thuộc, chỉ cần nhớ $t > 1$ .

Đặt

t = 3

, khi đó

t > 0

và

t^{2} = 3

t^{2} = 3 > 1

và

t > 0

nên

t > 1

, suy ra

1 - t < 0

A = (1 - t)^{2} - t = ∣1 - t ∣ - t = (t - 1) - t

A = - 1

Vậy $A = - 1$ .

Nhận xét. Lấy $3 \approx 1, 732$ soát nhanh: $(1 - 1, 732)^{2} - 1, 732 \approx 0, 732 - 1, 732 = - 1$ , khớp kết quả.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ ba dòng và chỉ phải so sánh

1

với

3

một lần; Cách 2 bắt buộc nhìn ra

4 - 23 = (3 - 1)^{2}

nên dài hơn và dễ tắc.

Đáp số.

A = - 1

Sai lầm thường gặp. Cho căn và bình phương triệt tiêu nhau, viết

(1 - 3)^{2} = 1 - 3

rồi ra

A = 1 - 23

. Phản ví dụ bằng số:

(1 - 3)^{2} = 4 - 23 \approx 0, 536

, căn của nó

\approx 0, 732 > 0

, không thể bằng

1 - 3 \approx - 0, 732

. Lỗi thứ hai là phá trị tuyệt đối theo cảm tính mà bỏ qua bước so sánh

1

với

3

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá:

(1 - a)^{2} - a

bằng

- 1

khi

a > 1

, nhưng bằng

1 - 2 a

khi

0 \leq a \leq 1

— thử với

a = \frac{1}{4}

để thấy đáp số đổi hẳn.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 52

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Ví dụ 2★Trang 52— Nhân hai biểu thức liên hợp

Ví dụ 2 (trang 52). Tính:
a)

(2 + 5) (2 - 5)

;
b)

(5 + 2) (5 - 2)

Kiến thức cần nhớ

$(A + B) (A - B) = A^{2} - B^{2}$ .
$(a)^{2} = a$ với $a \geq 0$ ; $a \cdot b = ab$ với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ .
$(A + B) (A - B) = A^{2} - B$ với $B \geq 0$ .
$(A + B) (A - B) = A - B$ với $A \geq 0$ , $B \geq 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai thừa số trong mỗi ý chỉ khác nhau đúng một dấu — dấu hiệu của cặp biểu thức liên hợp, dùng ngay hằng đẳng thức hiệu hai bình phương là gọn nhất. Không nên nhân bung ra rồi mới rút gọn vì bốn tích thành phần rất dễ sai dấu. Bẫy nhỏ:

(5)^{2} = 5

chứ không phải

25

, và kết quả ý a) là số âm.

1Cách 1. Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương

Định hướng. Nhận ra ngay cặp liên hợp rồi áp thẳng công thức $(A + B) (A - B) = A^{2} - B^{2}$ .

(2 + 5) (2 - 5) = 2^{2} - (5)^{2} = 4 - 5 = - 1

(5 + 2) (5 - 2) = (5)^{2} - (2)^{2} = 5 - 2 = 3

Vậy a) $- 1$ ; b) $3$ .

2Cách 2. Nhân phá ngoặc từng hạng tử

Định hướng. Nhân từng số hạng theo quy tắc phân phối, dùng $a \cdot b = ab$ để gộp các căn.

(2 + 5) (2 - 5) = 4 - 25 + 25 - 5 \cdot 5

= 4 - 25 = 4 - 5 = - 1

(5 + 2) (5 - 2) = 25 - 10 + 10 - 4

= 5 - 2 = 3

Vậy a) $- 1$ ; b) $3$ .

3Cách 3. Đặt ẩn phụ đưa về đa thức

Định hướng. Gọi tên các căn bằng chữ, bài trở thành phép nhân đa thức của lớp 8.

Đặt

x = 5

y = 2

, khi đó

x^{2} = 5

và

y^{2} = 2

(2 + x) (2 - x) = 4 - x^{2} = 4 - 5 = - 1

(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2} = 5 - 2 = 3

Vậy a) $- 1$ ; b) $3$ .

Nhận xét. Kết quả của tích hai biểu thức liên hợp luôn hết căn: $(A + B) (A - B) = A^{2} - B$ và $(A + B) (A - B) = A - B$ — đây chính là chìa khoá để trục căn thức ở mẫu về sau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi ý đúng một dòng, chỉ việc bình phương hai số hạng nên hầu như không sai dấu; Cách 2 phải viết ra bốn tích rồi mới thấy hai tích giữa triệt tiêu.

Đáp số. a)

- 1

; b)

3

Sai lầm thường gặp. Bình phương số dưới căn, viết

(5)^{2} = 25

. Phản ví dụ: khi đó ý b) ra

25 - 4 = 21

, trong khi thay số

5 \approx 2, 236

và

2 \approx 1, 414

cho

(2, 236 + 1, 414) (2, 236 - 1, 414) \approx 3, 65 \cdot 0, 822 \approx 3

. Lỗi thứ hai là quên dấu trừ ở ý a), trả lời

1

thay vì

- 1

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

(n + 5) (n - 5) = n^{2} - 5

, nên tích này dương khi và chỉ khi

n^{2} > 5

— thử tìm số nguyên dương

n

nhỏ nhất thoả mãn.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 52

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Ví dụ 3★★★Trang 52— Rút gọn biểu thức chứa căn bằng hằng đẳng thức tổng hai lập phương

Ví dụ 3 (trang 52). Cho biểu thức

P = \frac{x x + 1}{x - x + 1} - 1

với

x \geq 0

.
a) Viết

x x + 1

thành tổng hai lập phương rồi phân tích thành nhân tử để rút gọn biểu thức đã cho.
b) Tính giá trị của

P

tại

x = 100

Kiến thức cần nhớ

$A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$ .
Với $x \geq 0$ : $x x = (x)^{3}$ và $(x)^{2} = x$ .
Với mọi $t$ : $t^{2} - t + 1 = (t - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0$ , nên mẫu $x - x + 1$ luôn dương và phân thức luôn xác định.

🧠 Phân tích tư duy

Tử có dạng

x x + 1

mà

x x = (x)^{3}

— dấu hiệu rõ của tổng hai lập phương; mẫu

x - x + 1

lại đúng bằng nhân tử thứ hai trong hằng đẳng thức đó nên phân số rút gọn được ngay. Với

x \geq 0

mẫu luôn dương nên không phải thêm điều kiện, nhưng vẫn phải nói rõ điều đó trước khi rút gọn. Bẫy: rút gọn xong đừng quên biểu thức còn phải trừ

1

1Cách 1. Tổng hai lập phương rồi rút gọn phân thức

Định hướng. Làm đúng gợi ý của đề: đưa tử về $(x)^{3} + 1^{3}$ để lộ ra nhân tử chung với mẫu.

x \geq 0

nên

x - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0

, biểu thức luôn xác định

x x + 1 = (x)^{3} + 1^{3} = (x + 1) [(x)^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}] = (x + 1) (x - x + 1)

P = \frac{( x + 1 ) ( x - x + 1 )}{x - x + 1} - 1 = (x + 1) - 1 = x

Tại

x = 100

(thoả mãn

x \geq 0

P = 100 = 10

Vậy $P = x$ và tại $x = 100$ thì $P = 10$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ

t = x

đưa về phân thức đại số

Định hướng. Gọi $t = x$ thì bài trở thành rút gọn $\frac{t ^{3} + 1}{t ^{2} - t + 1}$ quen thuộc của lớp 8.

Đặt

t = x

với

t \geq 0

, khi đó

x = t^{2}

và

x x = t^{3}

t^{2} - t + 1 = (t - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0

nên phân thức luôn xác định

P = \frac{t ^{3} + 1}{t ^{2} - t + 1} - 1

với

t^{3} + 1 = (t^{2} - t + 1) (t + 1)

P = (t + 1) - 1 = t = x

Tại

x = 100

t = 100 = 10

nên

P = 10

Vậy $P = x$ và tại $x = 100$ thì $P = 10$ .

3Cách 3. Nhân cả tử và mẫu với

x + 1

Định hướng. Khỏi phân tích tử, chỉ cần thấy tích $(x - x + 1) (x + 1)$ lại đúng bằng tử.

x \geq 0

nên

x + 1 > 0

và

x x + 1 \geq 1 > 0

(x - x + 1) (x + 1) = x x + x - x - x + x + 1 = x x + 1

\frac{x x + 1}{x - x + 1} = \frac{( x x + 1 ) ( x + 1 )}{( x - x + 1 ) ( x + 1 )} = \frac{( x x + 1 ) ( x + 1 )}{x x + 1} = x + 1

P = (x + 1) - 1 = x

Tại

x = 100

P = 100 = 10

Vậy $P = x$ và tại $x = 100$ thì $P = 10$ .

Nhận xét. Rút gọn xong thấy ngay $P = x \geq 0$ với mọi $x \geq 0$ , dấu bằng chỉ xảy ra tại $x = 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đề yêu cầu đích danh ‘viết thành tổng hai lập phương’; nếu đề chỉ nói ‘rút gọn’ thì Cách 2 nhanh hơn hẳn — đặt

t = x

là mắt nhìn ra ngay

t^{3} + 1

chia hết cho

t^{2} - t + 1

Đáp số.

P = x

với

x \geq 0

; tại

x = 100

thì

P = 10

Sai lầm thường gặp. Rút gọn phân số xong quên trừ

1

, trả lời

P = x + 1

. Phản ví dụ: tại

x = 100

thì

\frac{100 100 + 1}{100 - 100 + 1} = \frac{1001}{91} = 11

, phải trừ

1

mới ra

10 = 100

. Lỗi thứ hai là viết

x x = x^{2}

hoặc

(x)^{3} = x^{3}

, làm hỏng hằng đẳng thức ngay dòng đầu.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm với hiệu hai lập phương:

\frac{x x - 1}{x + x + 1} = x - 1

với

x \geq 0

— thử tính giá trị của nó tại

x = 81

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 52

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 3.12★★Trang 53— Rút gọn tổng các căn của bình phương

Bài 3.12 (trang 53). Rút gọn các biểu thức sau:
a)

(3 - 2)^{2} + (1 - 2)^{2}

;
b)

(7 - 3)^{2} + (7 + 3)^{2}

Kiến thức cần nhớ

$A^{2} = ∣ A ∣$ ; $∣ A ∣ = A$ khi $A \geq 0$ và $∣ A ∣ = - A$ khi $A < 0$ .
Với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ : $a < b \Leftrightarrow a < b$ ; muốn so $7$ với $3$ thì so $7$ với $3^{2} = 9$ .
$(- A)^{2} = A^{2}$ nên $A^{2} = (- A)^{2}$ .
$∣ u - v ∣$ chính là khoảng cách giữa hai điểm $u$ và $v$ trên trục số.

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn biểu thức dưới căn đều là bình phương đúng — dấu hiệu dùng

A^{2} = ∣ A ∣

; việc chính của bài chỉ là xét dấu từng biểu thức trong ngoặc chứ không phải khai triển. Muốn so sánh

7

với

3

thì bình phương

3

lên thành

9

rồi so

7

với

9

, an toàn hơn hẳn ước lượng số thập phân. Bẫy của đề nằm ở

1 - 2

và

7 - 3

: hai biểu thức này âm nên phá trị tuyệt đối phải đổi dấu.

1Cách 1. Đưa về trị tuyệt đối rồi xét dấu

Định hướng. Khai căn từng hạng tử ra dấu trị tuyệt đối, so sánh để biết dấu rồi phá dấu.

3 > 2

nên

3 > 2

, do đó

3 - 2 > 0

;

2 > 1

nên

2 > 1

, do đó

1 - 2 < 0

(3 - 2)^{2} + (1 - 2)^{2} = 3 - 2 + 1 - 2

= (3 - 2) + (2 - 1) = 3 - 1

7 < 9

nên

7 < 3

, do đó

7 - 3 < 0

, còn

7 + 3 > 0

(7 - 3)^{2} + (7 + 3)^{2} = 7 - 3 + 7 + 3

= (3 - 7) + (7 + 3) = 6

Vậy a) $3 - 1$ ; b) $6$ .

2Cách 2. Đổi dấu trong bình phương để dưới căn là bình phương của số dương

Định hướng. Dùng $(- A)^{2} = A^{2}$ viết lại mỗi bình phương theo số dương, khi đó khai căn khỏi cần trị tuyệt đối.

(1 - 2)^{2} = (2 - 1)^{2}

với

2 - 1 > 0

, còn

3 - 2 > 0

(3 - 2)^{2} + (2 - 1)^{2} = (3 - 2) + (2 - 1) = 3 - 1

(7 - 3)^{2} = (3 - 7)^{2}

với

3 - 7 > 0

vì

7 < 9

(3 - 7)^{2} + (7 + 3)^{2} = (3 - 7) + (7 + 3) = 6

Vậy a) $3 - 1$ ; b) $6$ .

3Cách 3. Nhìn theo khoảng cách trên trục số

Định hướng. $(u - v)^{2} = ∣ u - v ∣$ là khoảng cách giữa hai điểm $u$ và $v$ ; điểm nằm giữa thì hai khoảng cách cộng lại đúng bằng khoảng cách hai đầu.

1 < 2 < 3

nên điểm

2

nằm giữa hai điểm

1

và

3

3 - 2 + 1 - 2 = 3 - 1 = 3 - 1

- 3 < 7 < 3

nên điểm

7

nằm giữa hai điểm

- 3

và

3

7 - 3 + 7 + 3 = ∣ 3 - (- 3) ∣ = 6

Vậy a) $3 - 1$ ; b) $6$ .

Nhận xét. Nhìn theo khoảng cách thì ý b) khỏi cần biết $7$ bằng bao nhiêu: mọi số $a$ nằm giữa $- 3$ và $3$ đều cho $∣ a - 3∣ + ∣ a + 3∣ = 6$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai dòng xét dấu rồi phá trị tuyệt đối, dùng được cho mọi bài cùng dạng; Cách 3 đẹp và nhanh nhưng chỉ tiện khi hai căn ghép lại thành một khoảng cách.

Đáp số. a)

3 - 1

; b)

6

Sai lầm thường gặp. Phá căn thành chính biểu thức bên trong mà không xét dấu: viết

(1 - 2)^{2} = 1 - 2

rồi ý a) ra

3 - 22 + 1

. Phản ví dụ:

(1 - 2)^{2} \approx 0, 172

nên căn của nó

\approx 0, 414 > 0

, còn

1 - 2 \approx - 0, 414 < 0

. Ở ý b) lỗi hay gặp là tưởng

7 > 3

(vì thấy

7 > 3

) rồi trả lời

27

— phải so

7

với

3^{2} = 9

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với

- a \leq t \leq a

thì

(t - a)^{2} + (t + a)^{2} = 2 a

, không phụ thuộc

t

— thử tính

(5 - 3)^{2} + (5 + 3)^{2}

để thấy vẫn ra

6

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 53

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 3.13★★Trang 53— Khai căn với phép nhân và phép chia

Bài 3.13 (trang 53). Thực hiện phép tính:
a)

3 (192 - 75)

;
b)

\frac{- 3 18 + 5 50 - 128}{7 2}

Kiến thức cần nhớ

$a \cdot b = ab$ với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ .
$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ với $a \geq 0$ , $b > 0$ .
$A^{2} B = ∣ A ∣ B$ với $B \geq 0$ ; khi $A > 0$ thì $A^{2} B = A B$ .
$(a)^{2} = a$ với $a \geq 0$ ; các hạng tử cùng chứa $a$ cộng trừ được với nhau như đơn thức đồng dạng.

🧠 Phân tích tư duy

Các số

192

75

18

50

128

đều chứa thừa số chính phương lớn (

64

25

9

25

64

) — dấu hiệu đưa thừa số ra ngoài dấu căn để mọi hạng tử cùng chứa

3

hoặc

2

, khi đó cộng trừ được như các đơn thức đồng dạng. Hướng này an toàn hơn nhân tung vào trong căn vì số dưới căn sẽ rất lớn. Bẫy ở ý b):

2

dưới mẫu chỉ triệt tiêu sau khi tử đã gom hết về dạng

k 2

1Cách 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn rồi gom hạng tử đồng dạng

Định hướng. Rút gọn từng căn về dạng $k 3$ hoặc $k 2$ , khi đó phép cộng trừ và phép chia đều thành phép tính với số nguyên.

192 = 64 \cdot 3 = 83

và

75 = 25 \cdot 3 = 53

3 (192 - 75) = 3 (83 - 53) = 3 \cdot 33 = 3 (3)^{2} = 9

18 = 32

50 = 52

128 = 82

- 318 + 550 - 128 = - 92 + 252 - 82 = 82

\frac{- 3 18 + 5 50 - 128}{7 2} = \frac{8 2}{7 2} = \frac{8}{7}

Vậy a) $9$ ; b) $\frac{8}{7}$ .

2Cách 2. Nhân, chia dưới cùng một dấu căn

Định hướng. Gộp thẳng các căn bằng $a \cdot b = ab$ và $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ , khỏi phải rút gọn từng căn trước.

3 (192 - 75) = 3 \cdot 192 - 3 \cdot 75 = 576 - 225

= 24 - 15 = 9

\frac{- 3 18 + 5 50 - 128}{7 2} = \frac{- 3 18}{7 2} + \frac{5 50}{7 2} - \frac{128}{7 2}

= - \frac{3}{7} \frac{18}{2} + \frac{5}{7} \frac{50}{2} - \frac{1}{7} \frac{128}{2} = - \frac{3}{7} \cdot 3 + \frac{5}{7} \cdot 5 - \frac{1}{7} \cdot 8

= - \frac{9}{7} + \frac{25}{7} - \frac{8}{7} = \frac{8}{7}

Vậy a) $9$ ; b) $\frac{8}{7}$ .

3Cách 3. Bình phương có điều kiện ở ý a), trục căn thức ở mẫu ở ý b)

Định hướng. Ý a) đặt tên cho biểu thức rồi bình phương vì nó dương; ý b) nhân cả tử và mẫu với $2$ để mẫu sạch căn.

a) Đặt

M = 3 (192 - 75)

; vì

192 > 75

nên

192 > 75

, suy ra

M > 0

M^{2} = 3 (192 - 2 192 \cdot 75 + 75) = 3 (267 - 214400) = 3 (267 - 240) = 81

M > 0

và

M^{2} = 81

nên

M = 9

\frac{- 3 18 + 5 50 - 128}{7 2} = \frac{( - 3 18 + 5 50 - 128 ) \cdot 2}{7 2 \cdot 2} = \frac{- 3 36 + 5 100 - 256}{14}

= \frac{- 18 + 50 - 16}{14} = \frac{16}{14} = \frac{8}{7}

Vậy a) $9$ ; b) $\frac{8}{7}$ .

Nhận xét. Ở ý b), mẫu $72$ và mọi hạng tử của tử đều chứa $2$ nên kết quả là số hữu tỉ — nhìn ra điều này trước sẽ biết ngay đáp số không còn căn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đưa thừa số ra ngoài rồi cộng trừ như đơn thức đồng dạng, số luôn nhỏ và dùng lại được cho mọi bài rút gọn căn; Cách 2 phải làm việc với

576

225

nên số lớn, dễ nhầm.

Đáp số. a)

9

; b)

\frac{8}{7}

Sai lầm thường gặp. Cộng trừ căn như cộng trừ số dưới căn, viết

18 + 50 = 68

. Phản ví dụ:

18 + 50 = 32 + 52 = 82 \approx 11, 31

, còn

68 \approx 8, 25

— hai số khác hẳn nhau. Lỗi thứ hai ở ý a) là quên

3 \cdot 3 = 3

nên trả lời

33

thay vì

9

🚀 Mở rộng. Tổng quát: biểu thức dạng

\frac{a 2 k + b 2 m}{c 2}

luôn cho kết quả hữu tỉ vì

2

rút hết — thử với

\frac{98 - 32}{3 2}

, đáp số là

1

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 53

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 3.14★★Trang 53— Chứng minh đẳng thức chứa căn bậc hai

Bài 3.14 (trang 53). Chứng minh rằng:
a)

(1 - 2)^{2} = 3 - 22

;
b)

(3 + 2)^{2} = 5 + 26

Kiến thức cần nhớ

$(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$ và $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ .
$(a)^{2} = a$ với $a \geq 0$ ; $a \cdot b = ab$ với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ .
Muốn chứng minh $A = B$ có thể biến đổi $A$ thành $B$ , biến đổi $B$ thành $A$ , hoặc chứng tỏ $A - B = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai vế chỉ khác nhau ở chỗ một bên còn nguyên ngoặc bình phương, một bên đã khai triển — dấu hiệu của bài chứng minh đẳng thức bằng biến đổi, và vì mọi biểu thức đều là số cụ thể nên không phải đặt điều kiện. Xuất phát từ vế trái là tự nhiên nhất: chỉ việc dùng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu, một tổng và nhớ

(a)^{2} = a

. Bẫy: ở ý b) tích

23 \cdot 2

phải gộp thành

26

chứ không phải

25

1Cách 1. Biến đổi vế trái thành vế phải

Định hướng. Khai triển bình phương ở vế trái, thay $(a)^{2} = a$ rồi thu gọn.

(1 - 2)^{2} = 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 + (2)^{2} = 1 - 22 + 2 = 3 - 22

(3 + 2)^{2} = (3)^{2} + 23 \cdot 2 + (2)^{2} = 3 + 26 + 2 = 5 + 26

Vậy cả hai đẳng thức đều được chứng minh.

2Cách 2. Biến đổi vế phải thành vế trái

Định hướng. Tách số hạng tự do ở vế phải để lộ ra dạng $A^{2} \pm 2 A B + B^{2}$ , rồi gói lại thành bình phương.

3 - 22 = 1 - 22 + 2 = 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 + (2)^{2} = (1 - 2)^{2}

5 + 26 = 3 + 23 \cdot 2 + 2 = (3)^{2} + 23 \cdot 2 + (2)^{2} = (3 + 2)^{2}

Vậy cả hai đẳng thức đều được chứng minh.

3Cách 3. Xét hiệu hai vế và nhân phá ngoặc trực tiếp

Định hướng. Lấy vế trái trừ vế phải, nhân bung tích hai ngoặc rồi chứng tỏ hiệu bằng $0$ .

(1 - 2)^{2} - (3 - 22) = (1 - 2) (1 - 2) - 3 + 22

= 1 - 2 - 2 + 2 \cdot 2 - 3 + 22 = 1 - 22 + 2 - 3 + 22 = 0

(3 + 2)^{2} - (5 + 26) = 3 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 2 - 5 - 26

= 3 + 26 + 2 - 5 - 26 = 0

Vậy hiệu hai vế bằng $0$ ở cả hai ý, tức là hai đẳng thức đều đúng.

Nhận xét. Đọc ngược đẳng thức a) ta được $3 - 22 = 2 - 1$ — mẹo khai căn biểu thức có căn bên trong, rất hay gặp về sau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đi thẳng từ vế trái, mỗi ý một dòng, khỏi phải đoán xem nên tách

3

thành

1 + 2

hay

5

thành

3 + 2

; Cách 2 chỉ nên dùng khi đề cho sẵn vế phải và bắt khai căn.

Đáp số. Cả hai đẳng thức đều đúng:

(1 - 2)^{2} = 3 - 22

và

(3 + 2)^{2} = 5 + 26

Sai lầm thường gặp. Bình phương từng số hạng, viết

(1 - 2)^{2} = 1 - 2 = - 1

. Phản ví dụ:

1 - 2 \approx - 0, 414

nên bình phương của nó

\approx 0, 172 > 0

, không thể bằng

- 1

; giá trị đúng

3 - 22 \approx 0, 172

. Lỗi thứ hai ở ý b) là viết

23 \cdot 2 = 25

, tức cộng số dưới căn thay vì nhân.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

(a + b)^{2} = a + b + 2 ab

với

a \geq 0

b \geq 0

; nhờ đó

5 + 26 = 3 + 2

— thử tự khai căn

7 + 210

theo mẫu đó.

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 53

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 3.15★★★Trang 53— Điều kiện xác định và rút gọn căn thức chứa chữ

Bài 3.15 (trang 53). Cho căn thức

x^{2} - 4 x + 4

.
a) Hãy chứng tỏ rằng căn thức xác định với mọi giá trị của

x

.
b) Rút gọn căn thức đã cho với

x \geq 2

.
c) Chứng tỏ rằng với mọi

x \geq 2

, biểu thức

x - x^{2} - 4 x + 4

có giá trị không đổi.

Kiến thức cần nhớ

Căn thức $A$ xác định khi và chỉ khi $A \geq 0$ .
$A^{2} - 2 A B + B^{2} = (A - B)^{2}$ và $(A - B)^{2} \geq 0$ với mọi $A$ , $B$ .
$A^{2} = ∣ A ∣$ ; với $x \geq 2$ thì $∣ x - 2∣ = x - 2$ .
Tam thức $a x^{2} + b x + c$ có $a > 0$ và $Δ = 0$ thì luôn không âm.

🧠 Phân tích tư duy

Tam thức

x^{2} - 4 x + 4

có dạng

A^{2} - 2 A B + B^{2}

với

A = x

B = 2

— dấu hiệu gói lại thành

(x - 2)^{2}

, mà bình phương thì luôn không âm nên căn thức xác định với mọi

x

. Có

(x - 2)^{2}

rồi thì ý b) chỉ còn là

A^{2} = ∣ A ∣

cùng giả thiết

x \geq 2

, còn ý c) chính là ý b) lồng thêm một lớp căn. Bẫy: ở ý c) nhiều bạn thay ngay

x^{2} - 4 x + 4

bằng

x - 2

mà quên rằng điều đó chỉ đúng nhờ giả thiết

x \geq 2

1Cách 1. Gói tam thức thành bình phương rồi dùng trị tuyệt đối

Định hướng. Viết $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}$ một lần, cả ba ý đều dùng lại kết quả đó.

x^{2} - 4 x + 4 = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = (x - 2)^{2} \geq 0

với mọi

x

x \geq 2

nên

x - 2 \geq 0

x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2} = ∣ x - 2∣ = x - 2

x \geq 2

nên

x - x^{2} - 4 x + 4 = x - (x - 2) = 2

x - x^{2} - 4 x + 4 = 2

Vậy căn thức xác định với mọi $x$ ; với $x \geq 2$ thì $x^{2} - 4 x + 4 = x - 2$ và $x - x^{2} - 4 x + 4 = 2$ , một giá trị không đổi.

2Cách 2. Đặt ẩn phụ

t = x - 2

Định hướng. Đổi biến để tam thức thành $t^{2}$ , khi đó cả ba ý chỉ còn là tính chất của $t^{2}$ .

Đặt

t = x - 2

, khi đó

x = t + 2

và

x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2} = t^{2}

t^{2} \geq 0

với mọi

t

nên căn thức xác định với mọi

x

x \geq 2 \Leftrightarrow t \geq 0

, khi đó

t^{2} = ∣ t ∣ = t = x - 2

t \geq 0

nên

x - x^{2} - 4 x + 4 = (t + 2) - t = 2

x - x^{2} - 4 x + 4 = 2

với mọi

t \geq 0

Vậy căn thức luôn xác định, $x^{2} - 4 x + 4 = x - 2$ khi $x \geq 2$ và biểu thức ở ý c) luôn bằng $2$ .

3Cách 3. Dùng

Δ

cho ý a) và bình phương có điều kiện cho ý c)

Định hướng. Ý a) xét dấu tam thức qua $Δ$ ; ý c) đặt tên cho biểu thức rồi bình phương, tận dụng việc căn bậc hai luôn không âm.

a) Tam thức

x^{2} - 4 x + 4

có

a = 1 > 0

và

Δ = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0

nên

x^{2} - 4 x + 4 \geq 0

với mọi

x

, dấu bằng chỉ xảy ra tại

x = 2

x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2} = ∣ x - 2∣

, mà

x \geq 2

nên

∣ x - 2∣ = x - 2

c) Đặt

y = x - x^{2} - 4 x + 4

với

x \geq 2

, khi đó

y \geq 0

y^{2} = x - x^{2} - 4 x + 4 = x - (x - 2) = 2

y \geq 0

và

y^{2} = 2

nên

y = 2

Vậy giá trị của biểu thức ở ý c) luôn bằng $2$ , không phụ thuộc $x$ .

Nhận xét. Thử vài giá trị cho yên tâm: $x = 2$ cho $2 - 0 = 2$ , $x = 6$ cho $6 - 4 = 2$ , $x = 100$ cho $100 - 98 = 2$ . Nếu $x < 2$ thì $x^{2} - 4 x + 4 = 2 - x$ và biểu thức thành $2 x - 2$ , chỉ xác định khi $1 \leq x < 2$ và không còn là hằng số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gói tam thức thành

(x - 2)^{2}

một lần là dùng được cho cả ba ý, không cần nhớ công thức

Δ

; Cách 3 chỉ tiện khi tam thức không gói được thành bình phương đúng.

Đáp số. a)

x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2} \geq 0

với mọi

x

nên căn thức luôn xác định; b)

x^{2} - 4 x + 4 = x - 2

với

x \geq 2

; c)

x - x^{2} - 4 x + 4 = 2

với mọi

x \geq 2

Sai lầm thường gặp. Rút gọn

(x - 2)^{2} = x - 2

cho mọi

x

, tức bỏ quên trị tuyệt đối. Phản ví dụ: tại

x = 0

thì

0 - 0 + 4 = 2

trong khi

x - 2 = - 2

; kết quả đúng phải là

∣ x - 2∣

. Lỗi thứ hai ở ý a) là giải bất phương trình

x^{2} - 4 x + 4 \geq 0

rồi kết luận nhầm thành

x \neq = 2

— giá trị

x = 2

vẫn được nhận vì

0 = 0

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

x - x^{2} - 2 a x + a^{2} = a

với mọi

x \geq a > 0

— thử với

a = 5

, tức tính

x - x^{2} - 10 x + 25

khi

x \geq 5

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 53

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 3.16★★Trang 53— Vận dụng căn thức bậc hai vào công thức vật lí

Bài 3.16 (trang 53). Trong Vật lí, tốc độ (m/s) của một vật đang bay được cho bởi công thức

v = \frac{2 E}{m}

, trong đó

E

là động năng của vật (tính bằng Joule, kí hiệu là J) và

m

(kg) là khối lượng của vật (Theo sách Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).
Tính tốc độ bay của một vật khi biết vật đó có khối lượng

2, 5

kg và động năng

281, 25

Kiến thức cần nhớ

$a$ với $a \geq 0$ là số không âm có bình phương bằng $a$ .
$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ với $a \geq 0$ , $b > 0$ ; $a \cdot b = a \cdot b$ với $a \geq 0$ , $b \geq 0$ .
Với $v \geq 0$ : $v = \frac{2 E}{m} \Leftrightarrow v^{2} = \frac{2 E}{m} \Leftrightarrow E = \frac{m v ^{2}}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đủ cả

m

lẫn

E

nên chỉ việc thay vào công thức — dấu hiệu của bài tính giá trị biểu thức chứa căn. Nên rút gọn phân số

\frac{2 E}{m}

trước rồi mới khai căn, vì kết quả

225

là số chính phương đẹp, còn tách căn tử và mẫu riêng sẽ gặp

562, 5

rất khó chịu. Bẫy: phải nhân

E

với

2

trước khi chia, và tốc độ chỉ nhận giá trị không âm.

1Cách 1. Thay số, rút gọn biểu thức dưới căn trước

Định hướng. Tính hẳn $\frac{2 E}{m}$ ra một số chính phương rồi mới khai căn.

m = 2, 5

và

E = 281, 25

\frac{2 E}{m} = \frac{2 \cdot 281 , 25}{2 , 5} = \frac{562 , 5}{2 , 5} = 225

v = 225 = 15

Vậy tốc độ bay của vật là $15$ m/s.

2Cách 2. Khai căn của một thương

Định hướng. Tách thành $\frac{2 E}{m}$ , rồi đưa thừa số chính phương ra ngoài để hai căn triệt tiêu nhau.

v = \frac{2 E}{m} = \frac{2 E}{m} = \frac{562 , 5}{2 , 5}

562, 5 = 225 \cdot 2, 5

nên

562, 5 = 225 \cdot 2, 5 = 15 2, 5

v = \frac{15 2 , 5}{2 , 5} = 15

Vậy tốc độ bay của vật là $15$ m/s.

3Cách 3. Viết ngược công thức rồi thử lại

Định hướng. Chuyển công thức về dạng $E = \frac{m v ^{2}}{2}$ , tìm $v$ không âm thoả mãn rồi kiểm tra ngược.

v \geq 0

và

v = \frac{2 E}{m} \Leftrightarrow v^{2} = \frac{2 E}{m} \Leftrightarrow E = \frac{m v ^{2}}{2}

v^{2} = \frac{2 E}{m} = \frac{2 \cdot 281 , 25}{2 , 5} = 225 = 1 5^{2}

v \geq 0

và

v^{2} = 1 5^{2}

nên

v = 15

Thử lại:

E = \frac{2 , 5 \cdot 1 5 ^{2}}{2} = \frac{562 , 5}{2} = 281, 25

, đúng bằng động năng đề cho

Vậy tốc độ bay của vật là $15$ m/s.

Nhận xét. Phương trình $v^{2} = 225$ có hai nghiệm $15$ và $- 15$ , nhưng tốc độ là số không âm nên chỉ nhận $v = 15$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: rút gọn

\frac{2 E}{m}

225

rồi khai căn, chỉ hai dòng và số cuối là chính phương; Cách 2 phải làm việc với

562, 5

nên dễ bấm máy nhầm.

Đáp số.

v = 15

m/s.

Sai lầm thường gặp. Quên nhân

E

với

2

, tính

\frac{281 , 25}{2 , 5} = 112, 5 \approx 10, 6

rồi trả lời

10, 6

m/s. Phản ví dụ kiểm tra ngược: với

v \approx 10, 6

thì

E = \frac{2 , 5 \cdot 10 , 6 ^{2}}{2} \approx 140, 6

, khác hẳn

281, 25

J của đề. Lỗi thứ hai là ghi thêm nghiệm âm

v = - 15

trong khi tốc độ không thể âm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

v

tỉ lệ với

E

, nên muốn tốc độ tăng gấp đôi thì động năng phải tăng gấp

4

lần — thử tính động năng cần có để vật

2, 5

kg bay với tốc độ

30

m/s, đáp số là

1125

Nguồn: SGK Toán 9 — KNTT, tập 1, trang 53

Mở bài này trong app ↗