Chương III. Căn bậc hai và căn bậc ba

Luyện tập chung (trang 63–64)

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Ví dụ 1★Trang 63— Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai bằng hằng đẳng thức

a^{2} = ∣ a ∣

Ví dụ 1 (trang 63). Rút gọn biểu thức

A = (3 + 1)^{2} - 3 (3 + 1)^{2} + 4

Kiến thức cần nhớ

Với mọi số thực $a$ : $a^{2} = ∣ a ∣$ .
$a^{2} b = ∣ a ∣ b$ với $b \geq 0$ .
$(3 + 1) (1 - 3) = 1 - 3 = - 2$ (hằng đẳng thức hiệu hai bình phương).

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức có dạng căn của một bình phương — dấu hiệu để dùng ngay hằng đẳng thức

a^{2} = ∣ a ∣

thay vì khai triển

(3 + 1)^{2}

ra số cụ thể rồi khai căn lại. Vì

3 + 1 > 0

nên mọi giá trị tuyệt đối đều bỏ được ngay dấu, không cần xét trường hợp âm. Bẫy hay gặp là quên tách

3

ra khỏi

3 (3 + 1)^{2}

trước khi áp dụng hằng đẳng thức, dẫn đến không rút gọn được.

1Cách 1. Tách

3

ra ngoài rồi nhóm nhân tử chung

Định hướng. Đưa $3$ ra ngoài dấu căn ở số hạng thứ hai bằng $3 (3 + 1)^{2} = 3 \cdot (3 + 1)^{2}$ , áp dụng $a^{2} = ∣ a ∣$ cho từng căn rồi nhóm nhân tử chung $(3 + 1)$ .

A = (3 + 1)^{2} - 3 \cdot (3 + 1)^{2} + 2^{2}

A = (3 + 1) - 3 (3 + 1) + 2

A = (3 + 1) (1 - 3) + 2

A = (1 - 3) + 2

A = - 2 + 2

Vậy $A = 0$ .

2Cách 2. Biến đổi số dưới căn thành bình phương mới rồi khai căn trực tiếp

Định hướng. Khai triển $3 (3 + 1)^{2}$ thành đa thức rồi viết lại dưới dạng bình phương của một biểu thức khác để khai căn ngay, không cần tách thừa số $3$ ra ngoài.

(3 + 1)^{2} = 3 + 23 + 1 = 4 + 23

nên

(3 + 1)^{2} = 4 + 23 = 3 + 1

3 (3 + 1)^{2} = 3 (4 + 23) = 12 + 63

(3 + 3)^{2} = 3 + 63 + 9 = 12 + 63

nên

12 + 63 = 3 + 3

A = (3 + 1) - (3 + 3) + 2

A = 3 + 1 - 3 - 3 + 2

Vậy $A = 0$ .

3Cách 3. Đặt ẩn phụ

t = 3 + 1

Định hướng. Đặt $t = 3 + 1$ ( $t > 0$ ), viết lại $A$ theo $t$ rồi rút gọn đại số trước khi thay số, tránh phải khai căn nhiều lần.

Đặt

t = 3 + 1

, ta có

A = t^{2} - 3 \cdot t^{2} + 2 = t - 3 t + 2

A = t (1 - 3) + 2

Thay

t = 3 + 1

A = (3 + 1) (1 - 3) + 2

(3 + 1) (1 - 3) = 1 - 3 = - 2

A = - 2 + 2

Vậy $A = 0$ .

Nhận xét. Ba cách đều quy về tích $(3 + 1) (1 - 3) = - 2$ — chính là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ viết theo chiều ngược.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần nhớ

a^{2} = ∣ a ∣

và tách thừa số, không phải khai triển số dưới căn như Cách 2 hay đặt ẩn phụ như Cách 3.

Đáp số.

A = 0

Sai lầm thường gặp. Quên tách

3

ra khỏi

3 (3 + 1)^{2}

, viết nhầm thành

3 \cdot (3 + 1)^{2}

(không còn dấu căn ở phần còn lại), hoặc bỏ sót dấu giá trị tuyệt đối khi khai căn.

🚀 Mở rộng. Thử tổng quát với

A = (k + 1)^{2} - k (k + 1)^{2} + (k - 1)^{2}

với

k > 1

bất kì — kết quả có luôn bằng

0

không?

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Ví dụ 2★★Trang 63— Rút gọn biểu thức chứa căn ở mẫu rồi tính giá trị bằng số

Ví dụ 2 (trang 63). Cho biểu thức

P = \frac{x}{x + 1} + \frac{x}{x - 1}

với

x > 1

.
a) Rút gọn

P

.
b) Sử dụng kết quả câu a, tính giá trị của

P

khi

x = 101

Kiến thức cần nhớ

$(x + 1) (x - 1) = x - 1$ với $x \geq 0$ .
Quy đồng mẫu thức hai phân thức bằng cách nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp còn thiếu.
Với $x > 1$ thì $x > 1$ nên $x - 1 > 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức có hai phân thức cùng chứa

x

ở mẫu với dấu khác nhau — dấu hiệu của dạng quy đồng mẫu bằng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương

(x + 1) (x - 1) = x - 1

. Điều kiện

x > 1

đảm bảo cả hai mẫu

x + 1

và

x - 1

đều dương và khác

0

, nên phép quy đồng luôn thực hiện được. Bẫy của đề là câu b yêu cầu dùng lại kết quả câu a, không được tính trực tiếp từ đề bài gốc.

1Cách 1. Quy đồng mẫu thức trực tiếp

Định hướng. Quy đồng mẫu thức chung $(x + 1) (x - 1) = x - 1$ , cộng hai tử rồi rút gọn.

P = \frac{x ( x - 1 ) + x ( x + 1 )}{( x + 1 ) ( x - 1 )}

P = \frac{x - x + x + x}{x - 1}

P = \frac{2 x}{x - 1}

b) Khi

x = 101

P = \frac{2 \cdot 101}{101 - 1} = \frac{202}{100}

Vậy a) $P = \frac{2 x}{x - 1}$ ; b) $P = 2, 02$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ

t = x

Định hướng. Đặt $t = x$ ( $t > 1$ vì $x > 1$ ), quy đồng theo $t$ rồi thay $t^{2} = x$ để trở lại biến $x$ .

a) Đặt

t = x

P = \frac{t}{t + 1} + \frac{t}{t - 1} = \frac{t ( t - 1 ) + t ( t + 1 )}{( t + 1 ) ( t - 1 )}

P = \frac{t ^{2} - t + t ^{2} + t}{t ^{2} - 1} = \frac{2 t ^{2}}{t ^{2} - 1}

Thay

t^{2} = x

P = \frac{2 x}{x - 1}

b) Khi

x = 101

P = \frac{2 \cdot 101}{100} = \frac{202}{100}

Vậy a) $P = \frac{2 x}{x - 1}$ ; b) $P = 2, 02$ .

3Cách 3. Tách phần nguyên trước khi cộng

Định hướng. Tách mỗi phân thức thành $1$ cộng (hoặc trừ) một phân thức đơn giản hơn trước khi cộng, tránh phải nhân cả tử lẫn mẫu với biểu thức liên hợp ngay từ đầu.

\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}

và

\frac{x}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1}

P = 2 + \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}

P = 2 + \frac{( x + 1 ) - ( x - 1 )}{x - 1} = 2 + \frac{2}{x - 1}

P = \frac{2 ( x - 1 ) + 2}{x - 1} = \frac{2 x}{x - 1}

b) Khi

x = 101

P = \frac{2 \cdot 101}{100} = \frac{202}{100}

Vậy a) $P = \frac{2 x}{x - 1}$ ; b) $P = 2, 02$ .

Nhận xét. Cách 3 tránh nhân hai biểu thức liên hợp với nhau, chỉ cần trừ hai phân thức đơn giản có cùng mẫu — hữu ích khi mẫu số phức tạp hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy đồng trực tiếp là thao tác quen thuộc nhất, ít bước trung gian hơn Cách 3.

Đáp số. a)

P = \frac{2 x}{x - 1}

; b)

P = 2, 02

Sai lầm thường gặp. Quên điều kiện

x > 1

nên không nhận ra

x = 1

làm mẫu

x - 1 = 0

(biểu thức không xác định), hoặc tính trực tiếp

P

tại

x = 101

từ đề gốc mà không dùng kết quả rút gọn câu a như đề yêu cầu.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi điều kiện thành

0 \leq x < 1

(khác

1

) thì

x - 1 < 0

nhưng phép quy đồng vẫn cho cùng công thức

P = \frac{2 x}{x - 1}

— thử tính

P

khi

x = 0, 25

để kiểm tra.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Ví dụ 3★★Trang 63— Bài toán thực tế: giải phương trình

x^{3} = a

bằng căn bậc ba để tính diện tích hình hộp

Ví dụ 3 (trang 63). Người ta cần làm một thùng hình lập phương bằng bìa cứng không có nắp trên và có thể tích

216

^{3}

để đựng đồ. Tính diện tích bìa cứng cần dùng để làm thùng đựng đó (coi diện tích các mép nối là không đáng kể).

Kiến thức cần nhớ

Thể tích hình lập phương cạnh $x$ : $V = x^{3}$ .
Căn bậc ba của $a$ là số $x$ sao cho $x^{3} = a$ , kí hiệu $x = 3 a$ .
Diện tích một mặt hình lập phương cạnh $x$ là $x^{2}$ ; hình lập phương có $6$ mặt bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho trực tiếp thể tích của hình lập phương — dấu hiệu để gọi cạnh là ẩn

x > 0

rồi lập phương trình

x^{3} = 216

và giải bằng căn bậc ba, thay vì dò số. Vì thùng không có nắp trên nên diện tích cần tính chỉ gồm

5

mặt (bỏ

1

mặt trên) chứ không phải cả

6

mặt của hình lập phương — đây là bẫy dễ nhầm khi đọc lướt đề.

1Cách 1. Đặt ẩn, giải phương trình bậc ba bằng căn bậc ba

Định hướng. Gọi $x$ (dm, $x > 0$ ) là cạnh thùng, lập phương trình $x^{3} = 216$ rồi giải bằng căn bậc ba, sau đó tính diện tích $5$ mặt (không có mặt trên).

Gọi

x

(dm,

x > 0

) là độ dài cạnh của thùng hình lập phương cần làm
Ta có

x^{3} = 216

, suy ra

x = 3216 = 6

(dm)
Thùng không có nắp nên gồm

4

mặt bên và

1

mặt đáy, mỗi mặt là hình vuông cạnh

6

dm
Diện tích bìa cứng cần dùng:

S = 5 \cdot 6^{2} = 5 \cdot 36

Vậy diện tích bìa cứng cần dùng là $S = 180$ dm $^{2}$ .

2Cách 2. Phân tích thừa số nguyên tố để nhẩm cạnh

Định hướng. Phân tích $216$ ra thừa số nguyên tố để nhận ra ngay $216$ là một lập phương đúng, khỏi cần trình bày phương trình $x^{3} = 216$ với công thức căn bậc ba tổng quát.

216 = 2 \cdot 108 = 2 \cdot 2 \cdot 54 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 27 = 2^{3} \cdot 3^{3} = (2 \cdot 3)^{3} = 6^{3}

Vậy cạnh thùng là

x = 6

(dm) (vì

6^{3} = 216

)
Diện tích

5

mặt (không nắp trên):

S = 5 \cdot 6^{2} = 5 \cdot 36

Vậy diện tích bìa cứng cần dùng là $S = 180$ dm $^{2}$ .

3Cách 3. Tính diện tích toàn phần rồi lấy tỉ lệ

\frac{5}{6}

Định hướng. Tính diện tích toàn phần $6$ mặt của hình lập phương trước (công thức quen thuộc), rồi lấy $\frac{5}{6}$ diện tích đó vì thùng thiếu đúng $1$ mặt trên.

Từ

x = 3216 = 6

(dm), diện tích toàn phần (giả sử đủ

6

mặt):

S_{tp} = 6 \cdot 6^{2} = 6 \cdot 36 = 216

(dm

^{2}

)
Thùng không nắp trên nên thiếu đúng

1

trong

6

mặt bằng nhau
Diện tích cần dùng:

S = \frac{5}{6} \cdot S_{tp} = \frac{5}{6} \cdot 216

Vậy diện tích bìa cứng cần dùng là $S = 180$ dm $^{2}$ .

Nhận xét. Diện tích toàn phần $216$ dm $^{2}$ trùng ngẫu nhiên với thể tích $216$ dm $^{3}$ vì cạnh bằng $6$ ; đừng nhầm hai đại lượng khác đơn vị này với nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhẩm

216 = 6^{3}

bằng phân tích thừa số nguyên tố nhanh hơn hẳn việc trình bày phương trình

x^{3} = 216

rồi khai căn bậc ba.

Đáp số.

S = 180

^{2}

Sai lầm thường gặp. Tính nhầm diện tích cả

6

mặt (

6 \cdot 36 = 216

^{2}

) mà quên thùng không có nắp trên nên chỉ có

5

mặt.

🚀 Mở rộng. Nếu thùng có cả nắp trên rời (chỉ còn

4

mặt bên và

1

mặt đáy là bìa liền khối, nắp trên làm riêng), diện tích không đổi vì vẫn là

5

mặt — nhưng nếu bài cho thùng KÍN cả

6

mặt thì diện tích sẽ là

216

^{2}

, hãy so sánh hai kết quả.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 3.28★★Trang 64— Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và căn bậc ba

Bài 3.28 (trang 64). Rút gọn các biểu thức sau:
a)

\frac{5 + 3 5}{5} - \frac{1}{5 - 2}

;
b)

(7 - 2)^{2} - 63 + \frac{56}{2}

;
c)

\frac{( 3 + 2 ) ^{2} + ( 3 - 2 ) ^{2}}{2 12}

;
d)

\frac{3 ( 2 + 1 ) ^{3} - 1}{50}

Kiến thức cần nhớ

Với mọi số thực $a$ : $a^{2} = ∣ a ∣$ ; với mọi số thực $a$ : $3 a^{3} = a$ (không cần giá trị tuyệt đối).
Trục căn thức ở mẫu bằng cách nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp: $\frac{1}{a - b} = \frac{a + b}{a - b ^{2}}$ .
So sánh hai căn bậc hai: $m > n \Leftrightarrow m > n$ (với $m, n \geq 0$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn ý đều là rút gọn biểu thức chứa căn thức nhưng theo bốn kĩ thuật khác nhau: ý a) cần trục căn thức ở mẫu, ý b) và c) cần dùng

a^{2} = ∣ a ∣

kèm so sánh dấu, ý d) dùng

3 a^{3} = a

(không cần xét dấu vì căn bậc ba xác định với mọi số thực). Dấu hiệu chung là biểu thức luôn chứa một căn của một bình phương hoặc lập phương đúng — việc đầu tiên luôn là bóc lớp căn ngoài cùng đó trước khi làm việc với các số hạng còn lại. Bẫy hay gặp ở ý b), c) là quên so sánh dấu trước khi bỏ giá trị tuyệt đối.

1Cách 1. Rút gọn trực tiếp từng số hạng bằng hằng đẳng thức căn thức

Định hướng. Áp dụng trực tiếp $a^{2} = ∣ a ∣$ , $3 a^{3} = a$ và trục căn thức ở mẫu cho từng số hạng, so sánh dấu trước khi bỏ giá trị tuyệt đối.

\frac{5 + 3 5}{5} = \frac{5}{5} + \frac{3 5}{5} = 5 + 3

\frac{1}{5 - 2} = \frac{5 + 2}{( 5 - 2 ) ( 5 + 2 )} = \frac{5 + 2}{5 - 4} = 5 + 2

Biểu thức a)

= (5 + 3) - (5 + 2)

b) Vì

7 > 2

nên

(7 - 2)^{2} = 7 - 2

63 = 9 \cdot 7 = 37

;

\frac{56}{2} = \frac{56}{2} = 28 = 27

Biểu thức b)

= (7 - 2) - 37 + 27

c) Vì

3 + 2 > 0

nên

(3 + 2)^{2} = 3 + 2

; vì

3 > 2

nên

(3 - 2)^{2} = 3 - 2

Tử số

= (3 + 2) + (3 - 2) = 23

; mẫu số

= 212 = 2 \cdot 23 = 43

Biểu thức c)

= \frac{2 3}{4 3}

3 (2 + 1)^{3} = 2 + 1

; tử số

= (2 + 1) - 1 = 2

;

50 = 25 \cdot 2 = 52

Biểu thức d)

= \frac{2}{5 2}

Vậy a) $= 1$ ; b) $= - 2$ ; c) $= \frac{1}{2}$ ; d) $= \frac{1}{5}$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ cho căn thức cơ bản rồi rút gọn đại số

Định hướng. Đặt ẩn phụ cho mỗi căn bậc hai/ba cơ bản xuất hiện trong biểu thức, quy các phép tính về đại số trên ẩn phụ trước khi thay số trở lại.

a) Đặt

t = 5

(

t^{2} = 5

\frac{5 + 3 t}{t} - \frac{1}{t - 2} = (t + 3) - \frac{1}{t - 2}

\frac{1}{t - 2} = \frac{t + 2}{t ^{2} - 4} = \frac{t + 2}{5 - 4} = t + 2

; biểu thức a)

= (t + 3) - (t + 2)

b) Đặt

u = 7

(

u^{2} = 7

63 = 9 u^{2}

nên

63 = 3 u

;

56 = 8 u^{2}

nên

\frac{56}{2} = \frac{8 u ^{2}}{2} = 4 u^{2} = 2 u

Biểu thức b)

= (u - 2) - 3 u + 2 u

c) Đặt

p = 3, q = 2

(

p > q > 0

): tử số

= (p + q) + (p - q) = 2 p

;

12 = 4 p^{2} = 2 p

nên mẫu số

= 4 p

Biểu thức c)

= \frac{2 p}{4 p}

d) Đặt

w = 2

: tử số

= 3 (w + 1)^{3} - 1 = (w + 1) - 1 = w

;

50 = 25 w^{2} = 5 w

Biểu thức d)

= \frac{w}{5 w}

Vậy a) $= 1$ ; b) $= - 2$ ; c) $= \frac{1}{2}$ ; d) $= \frac{1}{5}$ .

3Cách 3. Nhóm hệ số theo từng loại căn thức như đơn thức đồng dạng

Định hướng. Đưa mỗi số dưới dấu căn về dạng tích của số chính phương lớn nhất với phần còn lại ngay từ đầu, rồi cộng trừ các căn thức đồng dạng như cộng trừ đơn thức.

5 + 35 = 5 (5 + 3)

nên

\frac{5 + 3 5}{5} = 5 + 3

(hệ số

1

của

5

, cộng hằng số

3

);

\frac{1}{5 - 2} = 5 + 2

(hệ số

1

của

5

, cộng hằng số

2

)
Biểu thức a)

= (1 - 1) 5 + (3 - 2)

- 63 = - 37

và

\frac{56}{2} = 27

đồng dạng với

7 - 2

: hệ số

7

là

1 - 3 + 2 = 0

, phần hằng số là

- 2

Biểu thức b)

= 0 \cdot 7 - 2

c) Tử số gồm hai căn đồng dạng

3

: hệ số

1 + 1 = 2

(phần

2

triệt tiêu

1 - 1 = 0

), tử số

= 23

; mẫu số

= 43

Biểu thức c)

= \frac{2 3}{4 3}

d) Tử số là hiệu hai số hạng đồng dạng:

(2 + 1) - 1 = 2

(hệ số

2

giữ nguyên là

1

, hằng số triệt tiêu

1 - 1 = 0

); mẫu số

= 52

Biểu thức d)

= \frac{2}{5 2}

Vậy a) $= 1$ ; b) $= - 2$ ; c) $= \frac{1}{2}$ ; d) $= \frac{1}{5}$ .

Nhận xét. Ba cách đều dựa trên cùng một nguyên tắc — nhận ra căn thức đồng dạng để cộng trừ hệ số — chỉ khác thứ tự trình bày.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: xử lý trực tiếp từng số hạng bằng

a^{2} = ∣ a ∣

và trục căn quen thuộc, không mất công đặt thêm ẩn phụ như Cách 2 hay gom hệ số như Cách 3.

Đáp số. a)

1

; b)

- 2

; c)

\frac{1}{2}

; d)

\frac{1}{5}

Sai lầm thường gặp. Ở ý b) quên so sánh

7

với

2

trước khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối, có thể viết nhầm

(7 - 2)^{2} = 2 - 7

; ở ý c) quên

3 > 2

nên giữ nguyên dấu trừ mà không đổi thành

3 - 2

🚀 Mở rộng. Với ý d), thử thay

2

bằng

3

trong biểu thức

\frac{3 ( 3 + 1 ) ^{3} - 1}{?}

và tìm số dưới mẫu để kết quả vẫn là một phân số đơn giản như

\frac{1}{5}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 3.29★★Trang 64— Tính giá trị biểu thức chứa căn bậc hai

Bài 3.29 (trang 64). Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)

345 + \frac{5 15}{3} - 2245

;
b)

\frac{12 - 4}{3 - 1} - \frac{21 + 7}{3 + 1} + 7

;
c)

\frac{3 - 3}{1 - 3} + 3 (23 - 1) + 12

;
d)

\frac{3 - 1}{2} + \frac{2}{3 - 1} - \frac{6}{6}

Kiến thức cần nhớ

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: $a^{2} b = a b$ với $a > 0, b \geq 0$ .
Nhân liên hợp để rút gọn phân thức có mẫu chứa hiệu hoặc tổng hai căn thức.
$a - b = - (b - a)$ — đổi dấu cả tử và mẫu không làm thay đổi giá trị phân thức.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn ý đều yêu cầu tính ra một số cụ thể — dấu hiệu để đưa mọi số hạng về cùng một loại căn thức (

5, 7, 3, 6

…) rồi cộng trừ hệ số. Ý b), c), d) đều chứa phân thức có mẫu là tổng hoặc hiệu hai căn thức — dấu hiệu để tìm nhân tử chung giữa tử và mẫu hoặc nhân liên hợp trước khi quy đồng máy móc. Bẫy của ý c) là mẫu

1 - 3

âm, dễ nhầm dấu khi rút gọn phân thức.

1Cách 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn rồi cộng trừ căn đồng dạng

Định hướng. Phân tích mỗi số dưới dấu căn thành tích của số chính phương với phần còn lại để đưa thừa số ra ngoài, cộng trừ các căn thức cùng loại và rút gọn từng phân thức bằng nhân tử chung hoặc liên hợp.

45 = 9 \cdot 5 = 35

nên

345 = 95

;

\frac{5 15}{3} = 5 \frac{15}{3} = 55

245 = 49 \cdot 5 = 75

nên

2245 = 145

; biểu thức a)

= 95 + 55 - 145

12 - 4 = 23 - 2 = 2 (3 - 1)

nên

\frac{12 - 4}{3 - 1} = 2

21 + 7 = 7 (3 + 1)

nên

\frac{21 + 7}{3 + 1} = 7

; biểu thức b)

= 2 - 7 + 7

3 - 3 = 3 (3 - 1)

và

1 - 3 = - (3 - 1)

nên

\frac{3 - 3}{1 - 3} = \frac{3 ( 3 - 1 )}{- ( 3 - 1 )} = - 3

3 (23 - 1) = 6 - 3

;

12 = 23

; biểu thức c)

= - 3 + (6 - 3) + 23

\frac{3 - 1}{2} = \frac{( 3 - 1 ) 2}{2} = \frac{6 - 2}{2}

;

\frac{2}{3 - 1} = \frac{2 ( 3 + 1 )}{( 3 - 1 ) ( 3 + 1 )} = \frac{6 + 2}{2}

\frac{6}{6} = 6

; biểu thức d)

= \frac{6 - 2}{2} + \frac{6 + 2}{2} - 6 = 6 - 6

Vậy a) $= 0$ ; b) $= 2$ ; c) $= 6$ ; d) $= 0$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ cho căn thức cơ bản rồi tính đại số

Định hướng. Đặt ẩn phụ cho từng căn bậc hai cơ bản, đưa các số dưới căn về luỹ thừa của ẩn phụ để cộng trừ, nhân chia như biểu thức đại số thông thường.

a) Đặt

t = 5

45 = 9 t^{2}, 15 = 3 t^{2}, 245 = 49 t^{2}

345 = 9 t; \frac{5 15}{3} = 5 \frac{3 t ^{2}}{3} = 5 t; 2245 = 14 t

; biểu thức a)

= 9 t + 5 t - 14 t

b) Đặt

u = 3, v = 7

12 = 2 u, 4 = 2, 21 = uv

\frac{2 u - 2}{u - 1} = \frac{2 ( u - 1 )}{u - 1} = 2

;

\frac{uv + v}{u + 1} = \frac{v ( u + 1 )}{u + 1} = v

; biểu thức b)

= 2 - v + v

c) Đặt

u = 3

(

u^{2} = 3

3 - 3 = u^{2} - u = u (u - 1)

;

1 - 3 = 1 - u = - (u - 1)

\frac{u ( u - 1 )}{- ( u - 1 )} = - u

;

3 (23 - 1) = 2 u^{2} - u = 6 - u

;

12 = 2 u

; biểu thức c)

= - u + (6 - u) + 2 u

d) Đặt

u = 3, w = 2

(với

u w = 6

\frac{u - 1}{w} + \frac{w}{u - 1} - \frac{6}{u w}

Quy đồng như Cách 1 theo

u, w

được

\frac{u w - w ^{2}}{2} + \frac{u w + w ^{2}}{2} - u w = u w - u w

Vậy a) $= 0$ ; b) $= 2$ ; c) $= 6$ ; d) $= 0$ .

3Cách 3. Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp ngay trong một bước, không tách riêng phần đưa thừa số ra ngoài

Định hướng. Với mỗi phân thức có mẫu chứa căn, nhân liên hợp cả tử và mẫu trong một bước duy nhất (không cần phân tích tử thành nhân tử chung trước), rồi rút gọn kết quả cuối cùng.

345 + \frac{5 15}{3} - 2245 = 345 + \frac{5 15 \cdot 3}{3} - 2245 = 345 + \frac{5 45}{3} - 2245

= 95 + 55 - 145

\frac{12 - 4}{3 - 1} = \frac{( 12 - 2 ) ( 3 + 1 )}{2} = \frac{2 3 ( 3 + 1 ) - 2 ( 3 + 1 )}{2} = 3 (3 + 1) - (3 + 1) = 2

\frac{21 + 7}{3 + 1} = \frac{( 21 + 7 ) ( 3 - 1 )}{2} = 7

; biểu thức b)

= 2 - 7 + 7

\frac{3 - 3}{1 - 3} = \frac{( 3 - 3 ) ( 1 + 3 )}{( 1 - 3 ) ( 1 + 3 )} = \frac{3 + 3 3 - 3 - 3}{1 - 3} = \frac{2 3}{- 2} = - 3

biểu thức c)

= - 3 + (6 - 3) + 23

\frac{2}{3 - 1} = \frac{2 ( 3 + 1 )}{2} = \frac{6 + 2}{2}

(nhân liên hợp trực tiếp); biểu thức d)

= \frac{6 - 2}{2} + \frac{6 + 2}{2} - 6 = 6 - 6

Vậy a) $= 0$ ; b) $= 2$ ; c) $= 6$ ; d) $= 0$ .

Nhận xét. Cách 3 nhân liên hợp trực tiếp không qua bước tách nhân tử chung trung gian như Cách 1, gọn hơn khi tử số không có nhân tử chung rõ ràng với mẫu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đưa thừa số ra ngoài dấu căn rồi cộng trừ căn đồng dạng là thao tác trực quan, ít khả năng nhầm dấu nhất trong bốn ý.

Đáp số. a)

0

; b)

2

; c)

6

; d)

0

Sai lầm thường gặp. Ở ý c) quên đổi dấu khi mẫu số

1 - 3

âm, có thể tính nhầm

\frac{3 - 3}{1 - 3} = 3

(thiếu dấu trừ); ở ý a) cộng nhầm hệ số của

5

do quên rút gọn

\frac{5 15}{3}

về đúng dạng

55

trước khi cộng trừ.

🚀 Mở rộng. Với ý d), thử đổi

3, 2, 6

thành

5, 2, 10

theo đúng cấu trúc

\frac{a - 1}{b} + \frac{b}{a - 1} - \frac{ab}{ab}

— kết quả có luôn bằng

0

với mọi

a, b

dương không?

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 3.30★★★Trang 64— Bài toán thực tế: đại lượng tỉ lệ thuận với bình phương, giải phương trình khuyết

b

Bài 3.30 (trang 64). Giả sử lực

F

của gió khi thổi theo phương vuông góc với bề mặt cánh buồm của một con thuyền tỉ lệ thuận với bình phương tốc độ của gió, hệ số tỉ lệ là

30

. Trong đó, lực

F

được tính bằng N (Newton) và tốc độ được tính bằng m/s.
a) Khi tốc độ của gió là

10

m/s thì lực

F

là bao nhiêu Newton?
b) Nếu cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là

12000

N thì con thuyền đó có thể đi được trong gió với tốc độ gió tối đa là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Đại lượng $F$ tỉ lệ thuận với $v^{2}$ , hệ số tỉ lệ $k$ : $F = k v^{2}$ .
Với $k > 0$ : $v^{2} = \frac{F}{k} \Leftrightarrow v = \frac{F}{k}$ hoặc $v = - \frac{F}{k}$ .
Tốc độ $v$ trong bài toán vật lí chỉ nhận giá trị không âm.

🧠 Phân tích tư duy

Cụm 'tỉ lệ thuận với bình phương' là dấu hiệu để viết ngay công thức

F = k v^{2}

với hệ số

k = 30

đã cho sẵn — câu a chỉ là thay số. Câu b ngược lại: đã biết

F

tối đa và hệ số

k

, phải coi

v

là ẩn và giải phương trình biên

30 v^{2} = 12000

(dạng khuyết

b

). Bẫy là

v

là tốc độ nên chỉ nhận giá trị không âm, và đề hỏi tốc độ tối đa nên phải lấy đúng nghiệm dương.

1Cách 1. Lập và giải trực tiếp phương trình biên bằng cách khai căn

Định hướng. Lập công thức $F = 30 v^{2}$ , thay số cho câu a; ở câu b giải phương trình biên $30 v^{2} = 12000$ bằng cách khai căn để tìm tốc độ tối đa, chỉ nhận nghiệm không âm.

F = 30 \cdot 1 0^{2} = 30 \cdot 100

b) Cánh buồm chịu tối đa

12000

N nên tốc độ tối đa ứng với

30 v^{2} = 12000

v^{2} = \frac{12 000}{30} = 400

v = 20

hoặc

v = - 20

, loại

v = - 20

vì tốc độ không âm

Vậy a) $F = 3000$ N; b) tốc độ gió tối đa là $20$ m/s.

2Cách 2. Đặt ẩn phụ

t = v^{2}

, đưa về bất phương trình bậc nhất

Định hướng. Đặt $t = v^{2}$ ( $t \geq 0$ ), đưa bất phương trình $30 v^{2} \leq 12000$ về bất phương trình bậc nhất $30 t \leq 12000$ theo $t$ , giải tìm $t$ rồi khai căn trở lại $v$ .

F = 30 \cdot 1 0^{2} = 3000

(N)
b) Đặt

t = v^{2}

(

t \geq 0

): điều kiện

30 t \leq 12000

t \leq \frac{12 000}{30} = 400

Vì

v \geq 0

nên

v = t \leq 400 = 20

Vậy a) $F = 3000$ N; b) tốc độ gió tối đa là $20$ m/s.

3Cách 3. Dùng tỉ lệ thuận bậc hai từ kết quả câu a

Định hướng. Dùng ngay kết quả câu a làm mốc: vì $F$ tỉ lệ thuận với $v^{2}$ nên khi $F$ tăng gấp bao nhiêu lần, $v$ tăng gấp căn bậc hai bấy nhiêu lần — tính tỉ số $\frac{12 000}{3 000}$ rồi khai căn để suy ra tỉ số tốc độ, không cần giải lại phương trình từ đầu.

F = 30 \cdot 1 0^{2} = 3000

(N), ứng với

v = 10

m/s
b) Tỉ số lực:

\frac{12 000}{3 000} = 4

Vì

F

tỉ lệ thuận với

v^{2}

nên

\frac{v _{ma x}^{2}}{1 0 ^{2}} = 4

, suy ra

\frac{v _{ma x}}{10} = 4 = 2

(vì

v_{ma x}, 10 > 0

)

v_{ma x} = 10 \cdot 2

Vậy tốc độ gió tối đa là $20$ m/s.

Nhận xét. Cách 3 tận dụng tính chất tỉ lệ thuận với bình phương để tránh giải lại phương trình — chỉ cần một phép khai căn của tỉ số $4$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập trực tiếp phương trình biên

30 v^{2} = 12000

rồi khai căn là thao tác nhanh và chắc chắn nhất, không cần đặt thêm ẩn phụ.

Đáp số. a)

F = 3000

N; b) tốc độ gió tối đa là

20

m/s.

Sai lầm thường gặp. Nhận cả nghiệm

v = - 20

của phương trình

v^{2} = 400

mà không loại, trong khi tốc độ gió trong bài toán thực tế chỉ nhận giá trị không âm.

🚀 Mở rộng. Nếu hệ số tỉ lệ đổi từ

30

thành một hằng số

k

bất kì và áp lực tối đa là

F_{0}

, tốc độ gió tối đa tổng quát là

v_{ma x} = \frac{F _{0}}{k}

— hãy kiểm tra công thức này với

k = 30, F_{0} = 12000

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 3.31★★Trang 64— Rút gọn biểu thức chứa căn bậc ba của một lập phương

Bài 3.31 (trang 64). Rút gọn các biểu thức sau:
a)

3 (- x - 1)^{3}

;
b)

3 8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1

Kiến thức cần nhớ

Với mọi số thực $a$ : $3 a^{3} = a$ (không cần giá trị tuyệt đối).
Hằng đẳng thức lập phương của một hiệu: $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ .
$8 x^{3} = (2 x)^{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a) có sẵn dạng căn bậc ba của một lập phương — dấu hiệu để áp dụng ngay

3 a^{3} = a

(không cần xét dấu như căn bậc hai vì căn bậc ba luôn xác định và bảo toàn dấu). Ý b) chưa có dạng lập phương tường minh, phải nhận ra

8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1

chính là khai triển của

(2 x - 1)^{3}

theo hằng đẳng thức lập phương của một hiệu — dấu hiệu là các hệ số

8, 12, 6, 1

đúng theo tỉ lệ khai triển nhị thức bậc ba.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp

3 a^{3} = a

, đối chiếu hằng đẳng thức

Định hướng. Ý a) áp dụng ngay $3 a^{3} = a$ . Ý b) khai triển $(2 x - 1)^{3}$ để đối chiếu từng hệ số với đa thức trong đề, xác nhận đúng dạng lập phương rồi rút gọn.

3 (- x - 1)^{3} = - x - 1

(2 x - 1)^{3} = 8 x^{3} - 3 \cdot 4 x^{2} \cdot 1 + 3 \cdot 2 x \cdot 1 - 1 = 8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1

Đối chiếu đúng với đa thức trong đề nên

8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1 = (2 x - 1)^{3}

3 8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1 = 3 (2 x - 1)^{3} = 2 x - 1

Vậy a) $= - x - 1$ ; b) $= 2 x - 1$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ rồi nhóm theo hằng đẳng thức

Định hướng. Ý a) đặt $t = - x - 1$ để thấy rõ biểu thức chỉ là $3 t^{3}$ . Ý b) đặt $y = 2 x$ rồi nhóm theo hằng đẳng thức $(y - 1)^{3}$ để tránh nhầm hệ số khi khai triển ngược.

a) Đặt

t = - x - 1

3 (- x - 1)^{3} = 3 t^{3} = t = - x - 1

b) Đặt

y = 2 x

: đa thức trở thành

y^{3} - 3 y^{2} + 3 y - 1

Nhận ra

y^{3} - 3 y^{2} + 3 y - 1 = (y - 1)^{3}

(đúng dạng khai triển lập phương hiệu)

3 (y - 1)^{3} = y - 1 = 2 x - 1

Vậy a) $= - x - 1$ ; b) $= 2 x - 1$ .

3Cách 3. Dùng tính chất hàm lẻ của căn bậc ba và chia đa thức tìm nhân tử

Định hướng. Ý a) dùng tính chất $3 - a = - 3 a$ để tách dấu trừ ra ngoài trước khi khai căn. Ý b) thử nghiệm $x = \frac{1}{2}$ làm đa thức bằng $0$ , suy ra $(2 x - 1)$ là nhân tử rồi chia đa thức để tìm nhân tử còn lại.

3 (- x - 1)^{3} = 3 - (x + 1)^{3} = - 3 (x + 1)^{3} = - (x + 1)

b) Thử

x = \frac{1}{2}

8 \cdot \frac{1}{8} - 12 \cdot \frac{1}{4} + 6 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 1 - 3 + 3 - 1 = 0

nên

x = \frac{1}{2}

là nghiệm,

(2 x - 1)

là nhân tử
Chia

8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1

cho

(2 x - 1)

được thương

4 x^{2} - 4 x + 1 = (2 x - 1)^{2}

Vậy

8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1 = (2 x - 1) (2 x - 1)^{2} = (2 x - 1)^{3}

, suy ra

3 8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1 = 2 x - 1

Vậy a) $= - x - 1$ ; b) $= 2 x - 1$ .

Nhận xét. Ba cách đều khẳng định lại một điều: nhận ra đúng dạng lập phương $(a - b)^{3}$ luôn là chìa khoá để bỏ dấu căn bậc ba mà không cần xét dấu như căn bậc hai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: với đề đã cho sẵn số hạng bậc ba trong dấu căn, chỉ cần khai triển hằng đẳng thức để đối chiếu hệ số là nhanh nhất, không cần đặt thêm ẩn phụ hay chia đa thức.

Đáp số. a)

- x - 1

; b)

2 x - 1

Sai lầm thường gặp. Ở ý a) dùng nhầm dấu giá trị tuyệt đối như căn bậc hai, viết

3 (- x - 1)^{3} = ∣ - x - 1∣

— sai, vì căn bậc ba của một lập phương bằng đúng số đó, không cần xét dấu.

🚀 Mở rộng. Thử tổng quát với

3 a^{3} x^{3} - 3 a^{2} b x^{2} + 3 a b^{2} x - b^{3}

(dạng

(a x - b)^{3}

) — công thức rút gọn sẽ là gì theo

a, b, x

Mở bài này trong app ↗