Chương VIII. Xác suất của biến cố trong một số mô hình xác suất đơn giản

Luyện tập chung (trang 64–65)

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 3 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · 8.9★★Trang 65— Tính xác suất của biến cố khi rút ngẫu nhiên đồng thời từ hai túi thẻ rồi ghép kết quả

Bài 8.9 (trang 65). Có hai túi đựng các tấm thẻ. Túi I đựng 4 tấm thẻ ghi các chữ cái TT, TH, HT và HH. Túi II đựng 2 tấm thẻ ghi các chữ cái T và H. Từ mỗi túi rút ngẫu nhiên ra một tấm thẻ rồi ghép hai thẻ lại với nhau để được ba chữ cái, trong đó thẻ hai chữ cái đặt trước, chẳng hạn tấm thẻ TT ghép với tấm thẻ H được ba chữ cái TTH. Tính xác suất của các biến cố sau:
a)

E

: "Trong ba chữ cái, có hai chữ H và một chữ T";
b)

F

: "Trong ba chữ cái, có nhiều nhất hai chữ T".

Kiến thức cần nhớ

Không gian mẫu của phép thử gồm hai giai đoạn độc lập có số phần tử bằng tích số kết quả có thể của từng giai đoạn.
Xác suất cổ điển: $P (A) = \frac{n ( A )}{n ( Ω )}$ khi các kết quả đồng khả năng.
Biến cố đối: $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai hành động độc lập xảy ra đồng thời — rút thẻ từ túi I và rút thẻ từ túi II — đúng dấu hiệu của phép thử gồm hai giai đoạn đã học ở Bài 25. Vì túi I chỉ có 4 thẻ và túi II chỉ có 2 thẻ nên không gian mẫu rất nhỏ (chỉ 8 phần tử), liệt kê trực tiếp là hướng an toàn nhất, còn đếm theo số chữ H trong mỗi thẻ cho lời giải nhanh hơn khi phải xét nhiều biến cố. Bẫy của đề là câu b hỏi "nhiều nhất hai chữ T" — dễ nhầm sang "đúng hai chữ T" nếu đọc lướt.

1Cách 1. Liệt kê không gian mẫu rồi đếm trực tiếp

Định hướng. Túi I có 4 cách rút, túi II có 2 cách rút, mỗi cặp cho đúng một cách ghép ba chữ cái nên liệt kê hết rồi lọc theo yêu cầu từng câu.

Ω = {TTT; TTH; THT; THH; HTT; HTH; HHT; HHH}.

n (Ω) = 8

.
a) Ba chữ cái có đúng hai chữ H và một chữ T: THH; HTH; HHT.

n (E) = 3

.
b) Ba chữ cái có nhiều nhất hai chữ T tức là loại bỏ trường hợp cả ba đều là T (TTT).

n (F) = 8 - 1 = 7

Vậy $P (E) = \frac{3}{8}$ và $P (F) = \frac{7}{8}$ .

2Cách 2. Đếm bằng quy tắc nhân, phân loại theo số chữ H trong mỗi túi

Định hướng. Không cần liệt kê hết, chỉ cần phân loại thẻ của mỗi túi theo số chữ H rồi ghép các trường hợp cho đúng tổng số chữ H cần có.

Túi I: TT (0 chữ H), TH và HT (1 chữ H), HH (2 chữ H).
Túi II: T (0 chữ H), H (1 chữ H).
a) Cần tổng cộng 2 chữ H trong ba chữ cái: (2 chữ H ở túi I, 0 chữ H ở túi II) hoặc (1 chữ H ở túi I, 1 chữ H ở túi II).
Trường hợp 1: HH ghép T — có

1 \times 1 = 1

cách.
Trường hợp 2: {TH; HT} ghép H — có

2 \times 1 = 2

cách.

n (E) = 1 + 2 = 3

.
b) Trường hợp duy nhất KHÔNG thoả "nhiều nhất hai T" là cả ba chữ đều T, tức túi I rút TT và túi II rút T: có

1 \times 1 = 1

cách.

n (F) = 8 - 1 = 7

Vậy $P (E) = \frac{3}{8}$ và $P (F) = \frac{7}{8}$ .

3Cách 3. Tính trực tiếp bằng quy tắc nhân xác suất và biến cố đối

Định hướng. Hai lần rút thẻ độc lập với nhau nên xác suất của mỗi trường hợp bằng tích xác suất rút được thẻ tương ứng ở từng túi; câu b tính nhanh qua biến cố đối.

Xác suất túi I ra HH là

\frac{1}{4}

; xác suất túi I ra TH hoặc HT là

\frac{2}{4} = \frac{1}{2}

.
Xác suất túi II ra T là

\frac{1}{2}

; xác suất túi II ra H là

\frac{1}{2}

.
a)

P (E) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8}

.
b) Biến cố đối của

F

là "cả ba chữ đều T", chỉ xảy ra khi túi I ra TT và túi II ra T, xác suất là

P (\overset{ˉ}{F}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}

P (F) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}

Vậy $P (E) = \frac{3}{8}$ , $P (F) = \frac{7}{8}$ .

Nhận xét. Dùng biến cố đối cho câu b tránh phải liệt kê 7 kết quả thuận lợi, chỉ cần tính đúng 1 kết quả không thuận lợi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 3 cho câu b (qua biến cố đối) vì chỉ cần tính xác suất của đúng một kết quả TTT rồi lấy 1 trừ đi, nhanh hơn hẳn liệt kê 7 kết quả; câu a dùng Cách 2 (phân loại theo số chữ H) vì tránh viết hết 8 phần tử.

Đáp số.

P (E) = \frac{3}{8}

;

P (F) = \frac{7}{8}

Sai lầm thường gặp. Nhầm "nhiều nhất hai chữ T" với "đúng hai chữ T": nếu chỉ đếm các kết quả có đúng 2 chữ T (TTH, THT, HTT) sẽ ra

n = 3

và

P = \frac{3}{8}

, sai vì bỏ sót các kết quả có 0 hoặc 1 chữ T (THH, HTH, HHT, HHH) — đề chỉ loại trừ trường hợp có 3 chữ T (TTT), còn lại đều thoả "nhiều nhất hai T".

🚀 Mở rộng. Nếu túi II có 3 tấm thẻ T, H, và thêm một chữ cái thứ ba (ví dụ X), số phần tử không gian mẫu tăng lên

4 \times 3 = 12

— cách phân loại theo số chữ H ở Cách 2 vẫn dùng được, chỉ cần thêm trường hợp rút phải chữ X.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 8.10★★★Trang 65— Tính xác suất của biến cố khi gieo đồng thời hai con xúc xắc, điều kiện ràng buộc riêng từng con

Bài 8.10 (trang 65). Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất I và II. Tính xác suất của các biến cố sau:

G

: "Không có con xúc xắc nào xuất hiện mặt 6 chấm";

H

: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc I là số lẻ và số chấm xuất hiện trên con xúc xắc II lớn hơn 4";

K

: "Số chấm xuất hiện trên cả hai con xúc xắc lớn hơn 2".

Kiến thức cần nhớ

Không gian mẫu khi gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối có 36 phần tử đồng khả năng.
Hai kết quả trên hai xúc xắc độc lập với nhau nên số kết quả (hay xác suất) của biến cố dạng "điều kiện I và điều kiện II" bằng tích số kết quả (hay xác suất) của từng điều kiện.
Nguyên lí cộng xác suất cho hợp hai biến cố: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ ; biến cố đối $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Gieo đồng thời hai con xúc xắc cho không gian mẫu quen thuộc gồm 36 cặp

(i, j)

đồng khả năng. Cả ba biến cố

G

H

K

đều có dạng "điều kiện trên xúc xắc I" VÀ "điều kiện trên xúc xắc II" một cách độc lập, nên hướng nhanh nhất là nhân số kết quả (hoặc xác suất) của từng điều kiện riêng thay vì liệt kê cả 36 ô. Bẫy của đề là biến cố

G

dễ bị hiểu nhầm thành "tổng hai mặt không bằng 6" thay vì "không con nào ra đúng 6 chấm".

1Cách 1. Liệt kê bảng 36 kết quả rồi đếm trực tiếp

Định hướng. Không gian mẫu nhỏ (36 phần tử) nên lập bảng 6 × 6 rồi khoanh các ô thoả từng biến cố là cách chắc chắn nhất.

Ω = {

(i, j)

i, j \in {1; 2; 3; 4; 5; 6}

n (Ω) = 36

G

: cả

i \neq = 6

và

j \neq = 6

— mỗi xúc xắc có 5 giá trị thoả, có

5 \times 5 = 25

ô.

H

i \in {1; 3; 5}

(3 giá trị) và

j \in {5; 6}

(2 giá trị), có

3 \times 2 = 6

ô.

K

i \in {3; 4; 5; 6}

và

j \in {3; 4; 5; 6}

(mỗi bên 4 giá trị), có

4 \times 4 = 16

ô.

Vậy $P (G) = \frac{25}{36}$ , $P (H) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ , $P (K) = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$ .

2Cách 2. Quy tắc nhân xác suất cho hai xúc xắc độc lập

Định hướng. Kết quả xúc xắc I và xúc xắc II độc lập nhau, mỗi biến cố đã cho đều tách được thành điều kiện riêng trên từng con nên nhân trực tiếp xác suất, không cần đếm ô.

Xác suất

i \neq = 6

là

\frac{5}{6}

; xác suất

j \neq = 6

là

\frac{5}{6}

, suy ra

P (G) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}

.
Xác suất

i

lẻ là

\frac{3}{6} = \frac{1}{2}

; xác suất

j > 4

là

\frac{2}{6} = \frac{1}{3}

, suy ra

P (H) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

.
Xác suất

i > 2

là

\frac{4}{6} = \frac{2}{3}

; xác suất

j > 2

là

\frac{4}{6} = \frac{2}{3}

, suy ra

P (K) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

Vậy $P (G) = \frac{25}{36}$ , $P (H) = \frac{1}{6}$ , $P (K) = \frac{4}{9}$ .

3Cách 3. Biến cố đối kết hợp nguyên lí cộng xác suất

Định hướng. Với những biến cố mà phần bù dễ tính hơn, đưa về biến cố đối rồi dùng nguyên lí cộng xác suất cho hợp hai biến cố "xúc xắc I thoả riêng" và "xúc xắc II thoả riêng".

\overset{ˉ}{G}

: "có ít nhất một xúc xắc ra 6 chấm"

= (i = 6) \cup (j = 6)

P (i = 6) = \frac{6}{36}

;

P (j = 6) = \frac{6}{36}

;

P (i = 6, j = 6) = \frac{1}{36}

P (\overset{ˉ}{G}) = \frac{6}{36} + \frac{6}{36} - \frac{1}{36} = \frac{11}{36}

\Rightarrow

P (G) = 1 - \frac{11}{36} = \frac{25}{36}

\overset{ˉ}{K}

: "có ít nhất một xúc xắc

\leq 2

= (i \leq 2) \cup (j \leq 2)

P (i \leq 2) = \frac{12}{36}

;

P (j \leq 2) = \frac{12}{36}

;

P (i \leq 2, j \leq 2) = \frac{4}{36}

P (\overset{ˉ}{K}) = \frac{12}{36} + \frac{12}{36} - \frac{4}{36} = \frac{20}{36}

\Rightarrow

P (K) = 1 - \frac{20}{36} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}

Vậy $P (G) = \frac{25}{36}$ và $P (K) = \frac{4}{9}$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Biến cố $H$ vốn đã là dạng "và" đơn giản nên không cần đổi qua biến cố đối, giữ nguyên kết quả $P (H) = \frac{1}{6}$ như Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho cả ba biến cố vì mỗi biến cố đều tách sẵn thành điều kiện độc lập trên từng xúc xắc, chỉ cần nhân hai phân số là ra kết quả, ít bước tính nhất trong ba cách.

Đáp số.

P (G) = \frac{25}{36}

;

P (H) = \frac{1}{6}

;

P (K) = \frac{4}{9}

Sai lầm thường gặp. Hiểu sai biến cố

G

thành "tổng số chấm khác 6": nếu đếm theo hướng này sẽ loại nhầm 5 cặp có tổng bằng 6 — (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) — ra khỏi không gian mẫu thay vì loại các cặp có mặt 6 chấm, dẫn tới

n = 31

thay vì

n = 25

, sai hẳn bản chất đề.

🚀 Mở rộng. Cùng cách tách điều kiện độc lập trên từng xúc xắc, nếu gieo ba con xúc xắc I, II, III thì biến cố "không con nào ra 6 chấm" có xác suất

(\frac{5}{6})^{3} = \frac{125}{216}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 8.11★★Trang 65— Mô tả không gian mẫu và tính xác suất của biến cố khi hai người độc lập chọn ngẫu nhiên trong cùng một tập hợp

Bài 8.11 (trang 65). Trên một dãy phố có ba quán ăn A, B, C. Hai bạn Văn và Hải mỗi người chọn ngẫu nhiên một quán ăn để ăn trưa.
a) Mô tả không gian mẫu của phép thử.
b) Tính xác suất của các biến cố sau:

E

: "Hai bạn cùng vào một quán";

F

: "Cả hai bạn không chọn quán C";

G

: "Có ít nhất một bạn chọn quán B".

Kiến thức cần nhớ

Không gian mẫu của phép thử hai lựa chọn độc lập là tập mọi cặp có thứ tự $(x, y)$ với $x, y$ lấy trong tập kết quả có thể.
Xác suất cổ điển: $P (A) = \frac{n ( A )}{n ( Ω )}$ khi các kết quả đồng khả năng.
Biến cố đối: $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$ , dùng khi phần bù dễ đếm hơn.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai bạn Văn và Hải mỗi người chọn độc lập một trong ba quán — dấu hiệu của phép thử gồm hai lựa chọn độc lập, mỗi lựa chọn có 3 khả năng như nhau, nên không gian mẫu có

3 \times 3 = 9

phần tử. Biến cố

G

("có ít nhất một bạn chọn B") là dạng "có ít nhất một", nên dùng biến cố đối "không ai chọn B" sẽ ngắn hơn hẳn liệt kê trực tiếp. Bẫy của đề là quên trường hợp Văn và Hải chọn khác quán khi mô tả không gian mẫu — không gian mẫu là cặp có thứ tự

(x, y)

chứ không phải cặp không thứ tự.

1Cách 1. Liệt kê không gian mẫu bằng bảng rồi đếm trực tiếp

Định hướng. Gọi quán Văn chọn là $x$ , quán Hải chọn là $y$ ; lập bảng 3 × 3 rồi khoanh các ô thoả từng biến cố.

a) Ω = {(A, A); (A, B); (A, C); (B, A); (B, B); (B, C); (C, A); (C, B); (C, C)}, với toạ độ đầu là quán Văn chọn, toạ độ sau là quán Hải chọn.

n (Ω) = 9

.
b)

E

: hai bạn cùng quán — (A, A); (B, B); (C, C),

n (E) = 3

F

: cả hai không chọn C — (A, A); (A, B); (B, A); (B, B),

n (F) = 4

G

: có ít nhất một bạn chọn B — mọi cặp trừ các cặp không có B: (A, A); (A, C); (C, A); (C, C) bị loại, còn lại

9 - 4 = 5

cặp.

n (G) = 5

Vậy $P (E) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ , $P (F) = \frac{4}{9}$ , $P (G) = \frac{5}{9}$ .

2Cách 2. Quy tắc nhân xác suất cho hai lựa chọn độc lập

Định hướng. Văn và Hải chọn độc lập nhau nên với biến cố dạng "cả hai cùng thoả điều kiện riêng" chỉ cần nhân xác suất từng người; với $E$ phải cộng dồn theo từng quán chung.

Xác suất Văn chọn đúng 1 quán cụ thể là

\frac{1}{3}

, tương tự cho Hải.

P (E) = P (A, A) + P (B, B) + P (C, C) = 3 \times \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = 3 \times \frac{1}{9} = \frac{1}{3}

.
Xác suất Văn không chọn C là

\frac{2}{3}

; xác suất Hải không chọn C là

\frac{2}{3}

, suy ra

P (F) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

.
Xác suất Văn không chọn B là

\frac{2}{3}

; xác suất Hải không chọn B là

\frac{2}{3}

; xác suất không ai chọn B là

\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

, suy ra

P (G) = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}

Vậy $P (E) = \frac{1}{3}$ , $P (F) = \frac{4}{9}$ , $P (G) = \frac{5}{9}$ .

3Cách 3. Phân hoạch theo trường hợp bạn Văn chọn

Định hướng. Xét lần lượt ba trường hợp Văn chọn A, chọn B, chọn C — mỗi trường hợp xảy ra với xác suất $\frac{1}{3}$ — rồi tính xác suất của biến cố ứng với lựa chọn của Hải trong từng trường hợp, cuối cùng cộng lại.

Nếu Văn chọn A (

P = \frac{1}{3}

E

xảy ra khi Hải cũng chọn A (

P = \frac{1}{3}

); tương tự khi Văn chọn B hoặc chọn C.

P (E) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}

.
Nếu Văn chọn A hoặc B (mỗi trường hợp

P = \frac{1}{3}

, tổng

\frac{2}{3}

F

xảy ra khi Hải cũng chọn A hoặc B (

P = \frac{2}{3}

)

\Rightarrow

P (F) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

.
Nếu Văn chọn B (

P = \frac{1}{3}

G

chắc chắn xảy ra dù Hải chọn gì, đóng góp

\frac{1}{3}

.
Nếu Văn chọn A hoặc C (

P = \frac{2}{3}

G

xảy ra khi Hải chọn B (

P = \frac{1}{3}

), đóng góp

\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}

P (G) = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}

Vậy $P (E) = \frac{1}{3}$ , $P (F) = \frac{4}{9}$ , $P (G) = \frac{5}{9}$ , khớp hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: với

F

và

G

tách được thành điều kiện riêng của từng bạn nên nhân trực tiếp xác suất, còn

G

nên đi qua biến cố đối "không ai chọn B" để khỏi phải cộng nhiều số hạng như Cách 3.

Đáp số.

P (E) = \frac{1}{3}

;

P (F) = \frac{4}{9}

;

P (G) = \frac{5}{9}

Sai lầm thường gặp. Mô tả không gian mẫu thiếu thứ tự: nếu viết Ω chỉ gồm {AA, AB, AC, BB, BC, CC} (6 phần tử, coi (A, B) và (B, A) là một) thì các kết quả KHÔNG còn đồng khả năng — (A, B) thực chất gồm hai khả năng phân biệt (Văn A – Hải B) và (Văn B – Hải A) — dẫn tới tính sai mọi xác suất về sau.

🚀 Mở rộng. Nếu có bốn quán A, B, C, D và ba bạn cùng chọn ngẫu nhiên độc lập, không gian mẫu có

4^{3} = 64

phần tử; xác suất để có ít nhất hai bạn chọn cùng quán tính nhanh nhất qua biến cố đối "ba bạn chọn ba quán đôi một khác nhau".

Mở bài này trong app ↗