Chương V. Đường tròn

Luyện tập chung (trang 96–98)

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · 5.14★★★Trang 97— Đối xứng tâm qua tâm đường tròn và trục đối xứng của đường tròn

5.14 (trang 97). Cho dây

A B

không qua tâm của đường tròn

(O)

. Gọi

A^{'}

và

B^{'}

là hai điểm lần lượt đối xứng với

A

và

B

qua

O

. Hỏi đường trung trực của

A^{'} B^{'}

có phải là trục đối xứng của

(O)

hay không? Tại sao?

Kiến thức cần nhớ

Mọi đường kính của đường tròn đều là một trục đối xứng của đường tròn đó.
Phép đối xứng tâm $O$ biến đường tròn tâm $O$ thành chính nó, và biến một đường thẳng đi qua $O$ thành chính đường thẳng đó.
Điểm cách đều hai đầu một đoạn thẳng thì thuộc đường trung trực của đoạn thẳng đó.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một phép đối xứng tâm

O

— đúng tâm của đường tròn — dấu hiệu để nghĩ ngay tới tính chất "đối xứng tâm

O

biến

(O)

thành chính nó". Vì mọi đường kính đều là trục đối xứng của đường tròn, hướng làm tự nhiên nhất là chỉ ra trung trực của

A^{'} B^{'}

trùng với một đường kính, cụ thể là trùng với trung trực của

A B

. Bẫy của đề là dễ nhầm

A^{'} B^{'}

với ảnh qua một phép đối xứng trục nên vội kết luận hai trung trực khác nhau; thực chất đây là đối xứng tâm nên

A^{'} B^{'}

song song và bằng

A B

1Cách 1. Dùng tính chất phép đối xứng tâm

Định hướng. Chỉ ra đường trung trực $d$ của $A B$ đi qua $O$ (vì $O$ cách đều $A$ , $B$ ), rồi dùng tính chất phép đối xứng tâm $O$ biến $d$ thành chính nó và biến $A B$ thành $A^{'} B^{'}$ để suy ra $d$ cũng là trung trực của $A^{'} B^{'}$ .

Gọi

d

là đường trung trực của

A B

.
Vì

O A = O B

(

= R

) nên

O \in d

.
Xét phép đối xứng tâm

O

: vì

d

là đường thẳng đi qua

O

nên phép đối xứng tâm

O

biến

d

thành chính

d

.
Phép đối xứng tâm

O

biến

A

thành

A^{'}

, biến

B

thành

B^{'}

(theo giả thiết), nên biến đoạn

A B

thành đoạn

A^{'} B^{'}

.
Do

d

là trục đối xứng của đoạn

A B

(đi qua

O

, vuông góc

A B

tại trung điểm) nên ảnh của

d

qua phép đối xứng tâm

O

chính là trục đối xứng của ảnh

A^{'} B^{'}

, tức là

d

cũng vuông góc với

A^{'} B^{'}

tại trung điểm của

A^{'} B^{'}

.
Vậy

d

là đường trung trực của

A^{'} B^{'}

.
Mà

d

đi qua tâm

O

nên

d

là một đường kính, do đó

d

là một trục đối xứng của

(O)

Vậy đường trung trực của $A^{'} B^{'}$ chính là đường thẳng $d$ — đường trung trực của $A B$ đi qua $O$ — nên đó đúng là một trục đối xứng của $(O)$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá — dùng vectơ với gốc

O

Định hướng. Đặt $O$ làm gốc, biểu diễn $A^{'}$ , $B^{'}$ theo $A$ , $B$ bằng vectơ đối, rồi so sánh trực tiếp tập hợp điểm cách đều $A$ , $B$ với tập hợp điểm cách đều $A^{'}$ , $B^{'}$ .

Chọn

O

làm gốc toạ độ; khi đó vì

A^{'}

đối xứng với

A

qua

O

nên

O A^{'} = - O A

, tương tự

O B^{'} = - O B

.
Gọi

M

là điểm bất kì;

M

thuộc trung trực của

A B

khi và chỉ khi

M A = M B

, tức

∣ O A - O M ∣ = ∣ O B - O M ∣

.
Xét điểm

M^{'}

đối xứng với

M

qua

O

, tức

O M^{'} = - O M

∣ O A^{'} - O M^{'} ∣ = ∣ - O A + O M ∣ = ∣ O A - O M ∣

, tương tự với

B^{'}

.
Do đó

M \in

trung trực của

A B

khi và chỉ khi

M^{'} \in

trung trực của

A^{'} B^{'}

; mà trung trực của

A B

đi qua

O

nên

M = O

ứng với

M^{'} = O

, suy ra hai đường trung trực cùng đi qua

O

và có cùng phương vuông góc với

A B

(vì

A^{'} B^{'}

song song

A B

).
Vậy hai đường trung trực đó là một.

Vậy trung trực của $A^{'} B^{'}$ trùng trung trực của $A B$ , là đường kính của $(O)$ nên là trục đối xứng của $(O)$ .

3Cách 3. Dùng hai tam giác bằng nhau

Định hướng. Chứng minh $△ O A B = △ O A^{'} B^{'}$ để thấy hai trung trực cùng đi qua $O$ và cùng vuông góc với một cặp cạnh song song bằng nhau, từ đó chúng trùng nhau.

Vì

A

B

A^{'}

B^{'}

đều thuộc

(O; R)

nên

O A = O A^{'} = O B = O B^{'} = R

.
Vì

A^{'}

B^{'}

đối xứng với

A

B

qua

O

nên

O

là trung điểm

A A^{'}

và

B B^{'}

, suy ra

A B = A^{'} B^{'}

(hai đoạn nối các điểm đối xứng qua một tâm thì bằng nhau) và

A B ∥ A^{'} B^{'}

.
Xét

△ O A B

và

△ O A^{'} B^{'}

O A = O A^{'}

O B = O B^{'}

A B = A^{'} B^{'}

nên

△ O A B = △ O A^{'} B^{'}

(c.c.c).
Gọi

M

M^{'}

lần lượt là trung điểm

A B

A^{'} B^{'}

; từ hai tam giác bằng nhau suy ra khoảng cách từ

O

đến

A B

bằng khoảng cách từ

O

đến

A^{'} B^{'}

, tức

O M = O M^{'}

; mặt khác

M^{'}

chính là điểm đối xứng của

M

qua

O

(vì

A^{'} B^{'}

là ảnh của

A B

) nên

O

M

M^{'}

thẳng hàng.
Do đó đường thẳng

O M

vừa vuông góc

A B

tại

M

vừa vuông góc

A^{'} B^{'}

tại

M^{'}

— chính là trung trực chung của cả

A B

lẫn

A^{'} B^{'}

Vậy trung trực của $A^{'} B^{'}$ là đường thẳng $O M$ đi qua tâm $O$ , nên nó là một trục đối xứng của $(O)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần một câu tính chất "phép đối xứng tâm

O

biến đường thẳng qua

O

thành chính nó" là xong, không phải dựng toạ độ hay chứng minh tam giác bằng nhau.

Đáp số. Có. Đường trung trực của

A^{'} B^{'}

chính là đường trung trực của

A B

— một đường kính của

(O)

— nên nó là trục đối xứng của

(O)

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn tưởng

A^{'} B^{'}

là ảnh của

A B

qua một phép đối xứng trục nên kết luận vội trung trực của nó khác trung trực của

A B

; thực chất đây là đối xứng tâm nên

A^{'} B^{'} ∥ A B

và hai đoạn có chung trung trực đi qua

O

🚀 Mở rộng. Kết quả đúng với mọi dây

C D

khác của

(O)

: ảnh

C^{'} D^{'}

qua tâm

O

luôn có trung trực trùng trung trực của

C D

— tức mọi đường kính đều bất biến qua chính phép đối xứng tâm tạo nên nó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.15★★★Trang 97— Điểm thuộc đường tròn đường kính cho trước và so sánh dây với đường kính

5.15 (trang 97). Cho tam giác

A B C

không là tam giác vuông. Gọi

H

và

K

là chân các đường vuông góc lần lượt hạ từ

B

và

C

xuống

A C

và

A B

. Chứng minh rằng:
a) Đường tròn đường kính

B C

đi qua các điểm

H

và

K

;
b)

K H < B C

Kiến thức cần nhớ

Nếu một điểm nhìn một đoạn thẳng dưới góc vuông thì điểm đó thuộc đường tròn nhận đoạn thẳng đó làm đường kính.
Trong một đường tròn, đường kính là dây có độ dài lớn nhất; mọi dây khác đường kính đều nhỏ hơn đường kính.
Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Trong đường tròn, độ dài dây căng cung bằng $2 R sin α$ với $α$ là góc nội tiếp chắn dây đó.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai đường cao

B H

C K

của một tam giác — dấu hiệu quen thuộc để nghĩ tới "góc vuông nhìn một đoạn thẳng thì điểm đó thuộc đường tròn đường kính đoạn ấy", đúng như Ví dụ 1 vừa học. Câu b) hỏi so sánh một dây

K H

với đường kính

B C

của cùng một đường tròn nên hướng tự nhiên là dùng tính chất "đường kính là dây lớn nhất". Bẫy của đề là giả thiết "không là tam giác vuông" — đây chính là điều kiện để

K H

thực sự nhỏ hơn (chứ không thể bằng)

B C

1Cách 1. Dùng trung tuyến ứng với cạnh huyền, rồi so sánh dây với đường kính

Định hướng. Gọi $O$ là trung điểm $B C$ ; chỉ ra $O H = O K = O B = O C$ nhờ tính chất trung tuyến ứng cạnh huyền của tam giác vuông, rồi dùng ngay "đường kính là dây lớn nhất" cho câu b).

a) Gọi

O

là trung điểm

B C

, đặt

R = \frac{B C}{2} = O B = O C

; khi đó

(O; R)

là đường tròn đường kính

B C

.
Vì

C K ⊥ A B

nên tam giác

B K C

vuông tại

K

, có

O K

là trung tuyến ứng với cạnh huyền

B C

nên

O K = \frac{B C}{2} = R

, do đó

K \in (O; R)

.
Tương tự, vì

B H ⊥ A C

nên tam giác

B H C

vuông tại

H

, có

O H = \frac{B C}{2} = R

, do đó

H \in (O; R)

.
Vậy đường tròn đường kính

B C

đi qua

H

và

K

.
b) Vì

K

H \in (O; R)

nên

K H

là một dây của đường tròn

(O; R)

, còn

B C

là đường kính của chính đường tròn đó.
Trong một đường tròn, đường kính luôn là dây lớn nhất nên

K H \leq B C

, dấu bằng chỉ xảy ra khi

K H

cũng là một đường kính.
Nếu

K H

là đường kính thì

K B H = 90°

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), tức

A B C = 90°

, trái với giả thiết tam giác

A B C

không vuông.
Do đó

K H \neq = B C

, kết hợp

K H \leq B C

suy ra

K H < B C

Vậy đường tròn đường kính $B C$ đi qua $H$ , $K$ và $K H < B C$ .

2Cách 2. Dùng tam giác đồng dạng

A H K ∽ A B C

Định hướng. Câu a) vẫn dùng góc vuông nhìn đường kính như Cách 1; câu b) đổi hướng, tính thẳng tỉ số $K H : B C$ nhờ tam giác đồng dạng để thấy ngay tỉ số đó nhỏ hơn 1.

a) (như Cách 1)

B K C = B H C = 90°

nên

H

K

cùng thuộc đường tròn đường kính

B C

.
b) Xét hai tam giác vuông

A B H

và

A C K

có chung góc

A

nên

A H = A B cos A

A K = A C cos A

(lấy giá trị dương của

cos A

khi góc

A

tù).
Suy ra

\frac{A H}{A C} = \frac{A K}{A B} = ∣ cos A ∣

, mà góc

A

chung giữa

△ A H K

và

△ A C B

nên

△ A H K ∽ △ A C B

(c.g.c) với tỉ số

∣ cos A ∣

.
Do đó

\frac{K H}{B C} = ∣ cos A ∣

, tức

K H = B C \cdot ∣ cos A ∣

.
Vì tam giác

A B C

không vuông nên

A \neq = 90°

, mà

0° < A < 180°

nên

0 < ∣ cos A ∣ < 1

Vậy $K H = B C \cdot ∣ cos A ∣$ với $0 < ∣ cos A ∣ < 1$ , suy ra $K H < B C$ .

3Cách 3. Dùng công thức dây cung theo góc nội tiếp

Định hướng. Sau khi có câu a), áp dụng công thức liên hệ giữa một dây và góc nội tiếp chắn dây đó trong đường tròn đường kính $B C$ để so sánh $K H$ với $B C$ mà không cần đến tam giác đồng dạng.

a) (như Cách 1)

H

K

cùng nhìn

B C

dưới góc vuông nên cùng thuộc đường tròn đường kính

B C

, bán kính

R = \frac{B C}{2}

.
b) Trong đường tròn

(O; R)

đó, dây

K H

chắn góc nội tiếp

K B H

(đỉnh

B

cũng thuộc đường tròn), nên

K H = 2 R sin K B H = B C \cdot sin K B H

.
Vì

0° < K B H < 180°

và tam giác

A B C

không vuông tại

B

nên

K B H \neq = 90°

, do đó

sin K B H \neq = 1

; mặt khác luôn có

sin K B H \leq 1

.
Suy ra

0 < sin K B H < 1

Vậy $K H = B C \cdot sin K B H < B C$ .

Nhận xét. Cả ba cách đều quy về cùng một bản chất "dây khác đường kính thì nhỏ hơn đường kính", nhưng mỗi cách khai thác một công cụ khác nhau: tính chất trung tuyến, tam giác đồng dạng, hoặc công thức dây cung.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần nhớ hai tính chất quen thuộc (trung tuyến ứng cạnh huyền, đường kính là dây lớn nhất), không phải chứng minh đồng dạng hay nhớ công thức dây cung.

Đáp số. a) Đường tròn đường kính

B C

đi qua

H

và

K

. b)

K H < B C

(cụ thể

K H = B C \cdot ∣ cos A ∣

với

0 < ∣ cos A ∣ < 1

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chứng minh xong câu a) rồi suy luôn

K H \leq B C

mà quên loại trường hợp

K H = B C

; phải dùng đúng giả thiết "tam giác không vuông" để loại dấu bằng thì lời giải mới trọn vẹn.

🚀 Mở rộng. Ba điểm chân đường cao còn lại của tam giác (thêm chân đường cao từ

A

) tạo thành tam giác orthic; mỗi cạnh của tam giác đó đều bằng cạnh tương ứng của

△ A B C

nhân với

∣ cos ∣

của góc đối diện — đúng như công thức vừa tìm được ở Cách 2.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.16★★Trang 97— Tính bán kính đường tròn từ dây cung và đường tên cung (sagitta)

5.16 (trang 97). Có thể xem guồng nước (còn gọi là cọn nước) là một công cụ hay cỗ máy có dạng hình tròn, quay được nhờ sức nước chảy (H.5.22a). Guồng nước thường thấy ở các vùng miền núi. Nhiều guồng nước được làm bằng tre, dùng để đưa nước lên ruộng cao, giã gạo hoặc làm một số việc khác.
Giả sử ngấn nước ngăn cách giữa phần trên và phần dưới nước của một guồng nước được biểu thị bởi cung ứng với một dây dài 4 m và điểm ngập sâu nhất là 0,5 m (trên Hình 5.22b, điểm ngập sâu nhất là điểm

C

, ta có

A B = 4

m và

H C = 0, 5

m). Dựa vào đó, em hãy tính bán kính của guồng nước.

Kiến thức cần nhớ

Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó.
Định lí Pythagore trong tam giác vuông.
Định lí về hai dây cắt nhau (phương tích của một điểm với đường tròn): nếu hai dây $P Q$ , $M N$ cắt nhau tại $I$ thì $I P \cdot I Q = I M \cdot I N$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho độ dài một dây cung (

A B = 4

m) và "độ sâu" của cung tính từ dây đó đến điểm xa nhất của cung (

H C = 0, 5

m) — đây chính là dấu hiệu của bài toán "đường tên cung" (sagitta): biết dây và độ cao cung, tìm bán kính. Hướng tự nhiên là dựng tam giác vuông

O H A

với

O H = R - H C

rồi dùng Pythagore. Bẫy của đề là dễ nhầm

O H = R + H C

hoặc nhầm

A H = A B

thay vì

A H = \frac{A B}{2}

1Cách 1. Pythagore trực tiếp, đặt bán kính làm ẩn

Định hướng. Gọi $H$ là trung điểm $A B$ ; vì $O H ⊥ A B$ và $O$ , $H$ , $C$ thẳng hàng (cùng nằm trên đường kính vuông góc với dây $A B$ ), lập phương trình Pythagore trong tam giác vuông $O H A$ theo ẩn $R$ .

Gọi

R

(m) là bán kính guồng nước cần tìm (

R > 0

).
Vì

H

là trung điểm dây

A B

nên

A H = \frac{A B}{2} = 2

(m).
Vì

O

H

C

thẳng hàng (đường kính qua

C

vuông góc với dây

A B

tại trung điểm

H

) và

C

nằm ngoài đoạn

O H

nên

O H = O C - H C = R - 0, 5

.
Áp dụng Pythagore trong tam giác vuông

O H A

O A^{2} = O H^{2} + A H^{2}

R^{2} = (R - 0, 5)^{2} + 2^{2}

R^{2} = R^{2} - R + 0, 25 + 4

R = 4, 25

Vậy bán kính guồng nước là $R = 4, 25$ m.

2Cách 2. Dùng công thức đường tên cung (sagitta)

Định hướng. Áp dụng thẳng công thức bán kính theo nửa dây $l$ và đường tên cung $h$ : $R = \frac{l ^{2} + h ^{2}}{2 h}$ , vốn được suy ra từ chính phương trình Pythagore ở Cách 1 nhưng dùng như một công thức có sẵn.

Đặt

l = A H = \frac{A B}{2} = 2

(m) là nửa dây,

h = H C = 0, 5

m là đường tên cung.
Công thức bán kính theo dây và đường tên cung:

R = \frac{l ^{2} + h ^{2}}{2 h}

R = \frac{2 ^{2} + 0 , 5 ^{2}}{2 \cdot 0 , 5} = \frac{4 + 0 , 25}{1} = 4, 25

Vậy bán kính guồng nước là $R = 4, 25$ m.

3Cách 3. Dùng định lí hai dây cắt nhau (phương tích)

Định hướng. Kéo dài $C O$ cắt đường tròn tại điểm $C^{'}$ (đối tâm của $C$ ); vì $A B$ và $C C^{'}$ là hai dây cắt nhau tại $H$ nên dùng ngay hệ thức $H A \cdot H B = H C \cdot H C^{'}$ , không cần lập phương trình từ Pythagore.

Gọi

C^{'}

là điểm đối xứng với

C

qua

O

(đầu kia của đường kính qua

C

); khi đó

C C^{'} = 2 R

và

H C^{'} = C C^{'} - H C = 2 R - 0, 5

.
Vì

H

là trung điểm

A B

nên

H A = H B = 2

(m).
Hai dây

A B

và

C C^{'}

cắt nhau tại

H

nên theo định lí hai dây cắt nhau:

H A \cdot H B = H C \cdot H C^{'}

2 \cdot 2 = 0, 5 \cdot (2 R - 0, 5)

4 = R - 0, 25

R = 4, 25

Vậy bán kính guồng nước là $R = 4, 25$ m.

Nhận xét. Cách 3 không cần biết trước vị trí tâm $O$ nằm trên tia nào, chỉ cần nhận ra $A B$ và $C C^{'}$ là hai dây cắt nhau tại $H$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: thuộc công thức đường tên cung

R = \frac{l ^{2} + h ^{2}}{2 h}

thì ra kết quả chỉ sau một dòng thay số, không cần lập và rút gọn phương trình như Cách 1.

Đáp số. Bán kính guồng nước là

R = 4, 25

Sai lầm thường gặp. Sai điển hình là viết

O H = R + H C

thay vì

O H = R - H C

vì không để ý

C

nằm ngoài đoạn

O H

(điểm ngập sâu nhất xa tâm hơn

H

); cũng có bạn quên chia đôi dây, dùng nhầm

A H = A B = 4

🚀 Mở rộng. Cùng công thức đường tên cung, nếu đổi "điểm ngập sâu nhất" (đường tên cung) thành

h

và dây thành

l

bất kì thì luôn có

R = \frac{( l /2 ) ^{2} + h ^{2}}{2 h}

— công cụ này dùng được cho mọi bài đo gián tiếp bán kính một cung tròn ngoài thực tế (mái vòm, cầu cong,…).

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.17★★Trang 98— Quan hệ dây – khoảng cách đến tâm, độ dài cung và diện tích hình quạt

5.17 (trang 98). Cho đường tròn

(O; 5 cm)

.
a) Hãy nêu cách vẽ dây

A B

sao cho khoảng cách từ điểm

O

đến dây

A B

bằng

2, 5

cm.
b) Tính độ dài của dây

A B

trong câu a (làm tròn đến hàng phần trăm).
c) Tính số đo và độ dài của cung nhỏ

A B

.
d) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ

A B

Kiến thức cần nhớ

Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây; ngược lại, đường nối tâm với trung điểm dây thì vuông góc với dây.
Định lí Pythagore và các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.
Độ dài cung tròn $n °$ : $l = \frac{π R n}{180}$ .
Diện tích hình quạt tròn ứng với cung $n °$ : $S = \frac{π R ^{2} n}{360}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bán kính

R = 5

cm và khoảng cách từ tâm đến dây

d = 2, 5

cm — đúng nửa bán kính, dấu hiệu cho thấy tam giác vuông tạo bởi

O

, trung điểm dây và một đầu dây là tam giác nửa đều (góc

60°

), nên toàn bộ số đo góc ở tâm, độ dài cung, diện tích quạt đều tính được rất gọn. Hướng làm là luôn dựng

H

là trung điểm

A B

, dùng tam giác vuông

O H A

làm nền cho cả bốn câu.

1Cách 1. Pythagore trước, lượng giác sau

Định hướng. Từ tam giác vuông $O H A$ ( $O A = 5$ , $O H = 2, 5$ ), tính $A H$ bằng Pythagore để có câu b), rồi tính $cos A O H$ để suy ra số đo góc ở tâm cho câu c), d).

a) Vẽ điểm

H

sao cho

O H = 2, 5

cm; dựng đường thẳng qua

H

vuông góc với

O H

, đường thẳng đó cắt

(O; 5 cm)

tại hai điểm

A

B

; khi đó

H

là trung điểm

A B

và

O H

chính là khoảng cách từ

O

đến dây

A B

.
b) Trong tam giác vuông

O H A

A H^{2} = O A^{2} - O H^{2} = 5^{2} - 2, 5^{2} = 18, 75

, suy ra

A H = 18, 75

(cm).

A B = 2 A H = 2 18, 75 \approx 8, 66

(cm).
c)

cos A O H = \frac{O H}{O A} = \frac{2 , 5}{5} = 0, 5

, suy ra

A O H = 60°

.
Vì

△ O H A = △ O H B

(hai tam giác vuông có

O H

chung,

O A = O B

) nên

A O B = 2 A O H = 120°

; đây là góc ở tâm chắn cung nhỏ

A B

, vậy sđ

A B

nhỏ

= 120°

.
Độ dài cung nhỏ

A B

l = \frac{π R n}{180} = \frac{π \cdot 5 \cdot 120}{180} = \frac{10 π}{3} \approx 10, 47

(cm).
d) Diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ

A B

S = \frac{π R ^{2} n}{360} = \frac{π \cdot 5 ^{2} \cdot 120}{360} = \frac{25 π}{3} \approx 26, 18

(cm

^{2}

Vậy $A B \approx 8, 66$ cm; sđ $A B$ nhỏ $= 120°$ ; cung nhỏ $A B$ dài $\approx 10, 47$ cm; diện tích hình quạt tương ứng $\approx 26, 18$ cm $^{2}$ .

2Cách 2. Lượng giác trước, chuỗi tỉ số sau

Định hướng. Tính góc $A O H$ trước bằng $cos$ , rồi dùng $sin$ để suy ra $A H$ , tránh hẳn việc khai căn số lẻ $18, 75$ ở bước trung gian.

a) (như Cách 1) Dựng

H

với

O H = 2, 5

cm rồi kẻ dây

A B

qua

H

vuông góc

O H

.
b), c) Trong tam giác vuông

O H A

cos A O H = \frac{O H}{O A} = \frac{2 , 5}{5} = 0, 5

nên

A O H = 60°

, suy ra

A O B = 120°

(góc ở tâm chắn cung nhỏ

A B

), tức sđ

A B

nhỏ

= 120°

.
Khi đó

A H = O A \cdot sin A O H = 5 sin 60° = 5 \cdot \frac{3}{2} = \frac{5 3}{2}

(cm).

A B = 2 A H = 53 \approx 8, 66

(cm).
d) Độ dài cung nhỏ

A B

l = \frac{π \cdot 5 \cdot 120}{180} = \frac{10 π}{3} \approx 10, 47

(cm).
Diện tích hình quạt:

S = \frac{π \cdot 5 ^{2} \cdot 120}{360} = \frac{25 π}{3} \approx 26, 18

(cm

^{2}

Vậy $A B = 53 \approx 8, 66$ cm; sđ $A B$ nhỏ $= 120°$ ; độ dài cung $\approx 10, 47$ cm; diện tích quạt $\approx 26, 18$ cm $^{2}$ .

3Cách 3. Nhận ra tam giác nửa đều

30° - 60° - 90°

Định hướng. Vì $O H = \frac{O A}{2}$ , tam giác vuông $O H A$ chính là "nửa tam giác đều" quen thuộc với các cạnh theo tỉ số $1 : 3 : 2$ , nên đọc thẳng ra góc và cạnh còn lại mà không cần khai căn hay bấm $cos$ .

a) (như Cách 1) Dựng dây

A B

qua

H

với

O H = 2, 5 = \frac{O A}{2}

.
Vì

O H = \frac{O A}{2}

trong tam giác vuông tại

H

, đây là tam giác nửa đều có góc nhọn

A O H = 60°

và cạnh còn lại

A H = O H 3

(tỉ số cạnh

1 : 3 : 2

ứng với cạnh kề, cạnh đối, cạnh huyền).

A H = 2, 53

(cm), suy ra

A B = 2 A H = 53 \approx 8, 66

(cm).
Góc ở tâm chắn cung nhỏ

A B

A O B = 2 \cdot 60° = 120°

, tức sđ

A B

nhỏ

= 120°

.
Độ dài cung nhỏ:

l = \frac{π \cdot 5 \cdot 120}{180} = \frac{10 π}{3} \approx 10, 47

(cm).
Diện tích quạt:

S = \frac{π \cdot 5 ^{2} \cdot 120}{360} = \frac{25 π}{3} \approx 26, 18

(cm

^{2}

Vậy kết quả trùng khớp với hai cách trên: $A B \approx 8, 66$ cm, cung nhỏ $120°$ dài $\approx 10, 47$ cm, diện tích quạt $\approx 26, 18$ cm $^{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhận ra ngay

O H = \frac{O A}{2}

là dấu hiệu tam giác nửa đều

30° - 60° - 90°

nên đọc thẳng góc

60°

và cạnh

A H = O H 3

, không mất thời gian bấm máy

cos^{- 1}

Đáp số. a) Dựng

H

với

O H = 2, 5

cm, kẻ dây qua

H

vuông góc

O H

. b)

A B = 53 \approx 8, 66

cm. c) sđ

A B

nhỏ

= 120°

, độ dài cung

\approx 10, 47

cm. d)

S_{q} = \frac{25 π}{3} \approx 26, 18

^{2}

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp là quên nhân đôi: tính được

A O H = 60°

rồi lấy luôn làm số đo cung nhỏ

A B

thay vì phải nhân đôi thành

A O B = 120°

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, nếu đổi khoảng cách

d

từ

O

đến dây thành

\frac{R 2}{2}

hay

\frac{R 3}{2}

thì góc ở tâm tương ứng sẽ là

90°

hay

60°

— tổng quát,

cos \frac{n °}{2} = \frac{d}{R}

luôn cho công thức chung để tính góc ở tâm từ khoảng cách

d

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.18★★★Trang 98— Tỉ số truyền bánh răng – xích và quãng đường lăn của bánh xe

5.18 (trang 98). Ba bộ phận truyền chuyển động của một chiếc xe đạp gồm một giò đĩa (bánh răng gắn với bàn đạp), một chiếc líp (cũng có dạng bánh răng) gắn với bánh xe và bộ xích (H.5.23). Biết rằng giò đĩa có bán kính 15 cm, líp có bán kính 4 cm và bánh xe có đường kính 65 cm. Hỏi khi người đi xe đạp một vòng thì xe chạy được quãng đường dài bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần chục)?

Kiến thức cần nhớ

Hai bánh răng nối với nhau bằng xích thì có cùng độ dài xích di chuyển khi quay, tức chu vi nhân số vòng quay của hai bánh bằng nhau.
Hai bánh răng gắn chung một trục thì quay được số vòng bằng nhau.
Chu vi đường tròn bán kính $r$ là $C = 2 π r$ ; quãng đường lăn một vòng của bánh xe bằng chu vi bánh xe đó.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bán kính đĩa, bán kính líp và đường kính bánh xe — dấu hiệu bài toán tỉ số truyền qua xích: xích nối đĩa với líp nên hai bánh răng có cùng độ dài xích di chuyển (cùng vận tốc dài), còn líp và bánh xe gắn chung một trục nên quay cùng số vòng. Hướng làm là tính số vòng quay của líp (bằng bánh xe) ứng với một vòng đĩa, rồi nhân với chu vi bánh xe. Bẫy của đề là dùng nhầm bán kính bánh xe thay vì đường kính đã cho sẵn, hoặc quên đổi đơn vị cm sang mét ở bước cuối.

1Cách 1. Lập phương trình từ độ dài xích di chuyển bằng nhau

Định hướng. Khi đĩa quay đúng 1 vòng, đoạn xích ăn khớp với đĩa di chuyển một đoạn bằng chu vi đĩa; đoạn xích đó cũng chính là đoạn xích ăn khớp với líp, nên lập phương trình chu vi líp nhân số vòng líp bằng chu vi đĩa.

Chu vi giò đĩa:

C_{1} = 2 π \cdot 15 = 30 π

(cm); đây cũng là quãng đường xích di chuyển khi đĩa quay 1 vòng.
Gọi

n

là số vòng quay của líp (cũng là số vòng quay của bánh xe, vì líp và bánh xe chung trục) ứng với 1 vòng đĩa.
Xích di chuyển một đoạn bằng chu vi líp nhân

n

2 π \cdot 4 \cdot n = 30 π

8 n = 30

n = 3, 75

(vòng).
Quãng đường xe chạy được bằng

n

lần chu vi bánh xe (đường kính

65

cm):

d = n \cdot π \cdot 65 = 3, 75 \cdot 65 π = 243, 75 π

(cm).

d \approx 765, 76

\approx 7, 66

\approx 7, 7

Vậy khi đạp một vòng, xe chạy được quãng đường khoảng $7, 7$ m.

2Cách 2. Dùng tỉ số truyền

=

tỉ số bán kính

Định hướng. Không lập phương trình mà dùng thẳng nhận xét: hai bánh răng nối bằng xích có số vòng quay tỉ lệ nghịch với bán kính, nên số vòng líp bằng luôn tỉ số bán kính đĩa trên bán kính líp.

Gọi

R_{1}

R_{2}

lần lượt là bán kính đĩa và bán kính líp (

R_{1} = 15

cm,

R_{2} = 4

cm),

n_{1}

n_{2}

lần lượt là số vòng quay của đĩa và của líp trong cùng một khoảng thời gian.
Vì đĩa và líp nối với nhau bằng xích nên có cùng vận tốc dài tại vành răng, do đó số vòng quay tỉ lệ nghịch với bán kính:

\frac{n _{2}}{n _{1}} = \frac{R _{1}}{R _{2}} = \frac{15}{4}

.
Với

n_{1} = 1

vòng thì

n_{2} = \frac{15}{4} = 3, 75

(vòng).
Vì líp và bánh xe chung trục nên bánh xe cũng quay

3, 75

vòng.
Quãng đường xe chạy được:

d = 3, 75 \cdot π \cdot 65 = 243, 75 π

(cm)

\approx 765, 76

\approx 7, 7

Vậy quãng đường xe chạy được khi đạp một vòng là khoảng $7, 7$ m, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Tỉ số truyền $\frac{15}{4}$ chỉ phụ thuộc bán kính đĩa và líp, không phụ thuộc bán kính bánh xe — đường kính bánh xe chỉ dùng ở bước tính quãng đường cuối cùng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhớ ngay tỉ số truyền

=

tỉ số bán kính đĩa và líp, tính nhẩm

3, 75

vòng rồi nhân với chu vi bánh xe, khỏi mất bước lập và giải phương trình như Cách 1.

Đáp số. Khi đạp một vòng, xe đạp chạy được quãng đường khoảng

7, 7

m (

= 243, 75 π

cm).

Sai lầm thường gặp. Sai hay gặp nhất là dùng luôn bán kính bánh xe

= 65

cm thay vì hiểu

65

cm là đường kính (bán kính phải là

32, 5

cm) khi tính chu vi; may là công thức chu vi theo đường kính

C = π d

đã tránh được lỗi này, nhưng nếu tính theo bán kính mà quên chia đôi thì quãng đường sẽ gấp đôi giá trị đúng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, nếu đĩa bán kính

R_{1}

, líp bán kính

R_{2}

, bánh xe đường kính

D

thì quãng đường đi được sau 1 vòng đạp là

d = \frac{R _{1}}{R _{2}} \cdot π D

— công thức này giải thích vì sao xe đạp nhiều tầng líp (líp nhỏ) sẽ đi được quãng đường xa hơn ứng với cùng một vòng đạp.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 5.19★★★★Trang 98— Cung bằng nhau trong tam giác đều nội tiếp nửa đường tròn và diện tích hình viên phân

5.19 (trang 98). Cho tam giác đều

A B C

có

A B = 23

cm. Nửa đường tròn đường kính

B C

cắt hai cạnh

A B

và

A C

lần lượt tại

D

và

E

(khác

B

và

C

) (H.5.24).
a) Chứng tỏ rằng ba cung nhỏ

B D

D E

và

E C

bằng nhau. Tính số đo mỗi cung ấy.
b) Tính diện tích của hình viên phân (xem Ví dụ 2) giới hạn bởi dây

B D

và cung nhỏ

B D

Kiến thức cần nhớ

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
Trong tam giác đều, đường cao đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực.
Ba góc ở tâm liên tiếp có tổng bằng góc bẹt thì cộng lại đúng $180°$ .
Diện tích hình viên phân $=$ diện tích hình quạt tròn trừ diện tích tam giác tạo bởi hai bán kính và dây cung.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tam giác đều và một nửa đường tròn đường kính

B C

cắt hai cạnh còn lại — dấu hiệu quen thuộc là

D

E

nhìn

B C

dưới góc vuông (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), nên

C D ⊥ A B

và

B E ⊥ A C

, tức

C D

B E

chính là hai đường cao của tam giác đều. Vì tam giác đều có đường cao trùng đường trung tuyến,

D

E

chính là trung điểm hai cạnh — từ đó tính được mọi góc ở tâm. Bẫy của đề là tưởng phải chứng minh ba cung bằng nhau bằng cách đo trực tiếp, trong khi chỉ cần dùng tính đối xứng và tổng ba góc ở tâm bằng

180°

(góc bẹt

B O C

1Cách 1. Tổng hợp — dùng đường cao tam giác đều và tam giác cân

Định hướng. Chỉ ra $D$ , $E$ là trung điểm $A B$ , $A C$ nhờ tính chất đường cao tam giác đều, rồi tính từng góc ở tâm bằng tam giác cân $O B D$ , cuối cùng cộng ba góc bằng $180°$ để có góc còn lại.

a) Vì

D

thuộc nửa đường tròn đường kính

B C

nên

B D C = 90°

, tức

C D ⊥ A B

; tương tự

B E C = 90°

nên

B E ⊥ A C

.
Do đó

C D

B E

là hai đường cao của tam giác đều

A B C

; trong tam giác đều, đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên

D

là trung điểm

A B

E

là trung điểm

A C

.
Gọi

O

là trung điểm

B C

(tâm nửa đường tròn),

R = O B = O C = O D = O E = \frac{B C}{2} = 3

(cm) (vì

B C = A B = 23

cm, tam giác đều).
Xét tam giác vuông

B D C

(vuông tại

D

D B C = 60°

(góc của tam giác đều) nên

B D = B C cos 60° = 23 \cdot \frac{1}{2} = 3

(cm).
Vậy

B D = O B = O D = 3

, tức tam giác

O B D

đều, suy ra

B O D = 60°

.
Tương tự, tam giác

O E C

đều nên

E O C = 60°

.
Vì

B

O

C

thẳng hàng nên

B O D + D O E + E O C = B O C = 180°

, suy ra

D O E = 180° - 60° - 60° = 60°

.
Ba góc ở tâm

B O D = D O E = E O C = 60°

nên ba cung nhỏ

B D

D E

E C

bằng nhau.

Vậy ba cung nhỏ $B D$ , $D E$ , $E C$ bằng nhau, mỗi cung có số đo $60°$ .

Định hướng (câu b). Diện tích hình viên phân bằng diện tích hình quạt $B O D$ (góc ở tâm $60°$ , bán kính $3$ ) trừ diện tích tam giác đều $O B D$ .

Diện tích hình quạt tròn

B O D

(góc ở tâm

60°

R = 3

cm):

S_{q} = \frac{π R ^{2} \cdot 60}{360} = \frac{π \cdot 3}{6} = \frac{π}{2}

(cm

^{2}

).
Vì

△ O B D

đều cạnh

3

nên

S_{O B D} = \frac{3}{4} \cdot (3)^{2} = \frac{3 3}{4}

(cm

^{2}

).
Diện tích hình viên phân:

S = S_{q} - S_{O B D} = \frac{π}{2} - \frac{3 3}{4}

(cm

^{2}

Vậy diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây $B D$ và cung nhỏ $B D$ là $\frac{π}{2} - \frac{3 3}{4} \approx 0, 27$ cm $^{2}$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá

Định hướng. Đặt hệ trục với $O$ là gốc, $B$ , $C$ trên trục hoành; tính toạ độ $D$ , $E$ là trung điểm $A B$ , $A C$ rồi dùng tích vô hướng để tính trực tiếp cả ba góc ở tâm, không cần nhận diện tam giác đều $O B D$ .

Chọn

O

là trung điểm

B C

làm gốc toạ độ, trục

O x

dọc theo

B C

B (- 3; 0)

C (3; 0)

(vì

B C = 23

).
Vì tam giác đều cạnh

23

có chiều cao

23 \cdot \frac{3}{2} = 3

nên

A (0; 3)

D

là trung điểm

A B

D (- \frac{3}{2}; \frac{3}{2})

;

E

là trung điểm

A C

E (\frac{3}{2}; \frac{3}{2})

O B = (- 3; 0)

O D = (- \frac{3}{2}; \frac{3}{2})

cos B O D = \frac{O B \cdot O D}{∣ O B ∣∣ O D ∣} = \frac{3/2}{3 \cdot 3} = \frac{1}{2}

, suy ra

B O D = 60°

.
Tương tự

O E = (\frac{3}{2}; \frac{3}{2})

O C = (3; 0)

cho

E O C = 60°

cos D O E = \frac{O D \cdot O E}{∣ O D ∣∣ O E ∣} = \frac{- 3/4 + 9/4}{3 \cdot 3} = \frac{1}{2}

, suy ra

D O E = 60°

Vậy $B O D = D O E = E O C = 60°$ , tức ba cung nhỏ $B D$ , $D E$ , $E C$ bằng nhau và cùng có số đo $60°$ .

Định hướng (câu b). Diện tích hình viên phân bằng diện tích hình quạt $B O D$ (góc ở tâm $60°$ , bán kính $3$ ) trừ diện tích tam giác đều $O B D$ .

Diện tích hình quạt tròn

B O D

(góc ở tâm

60°

R = 3

cm):

S_{q} = \frac{π R ^{2} \cdot 60}{360} = \frac{π \cdot 3}{6} = \frac{π}{2}

(cm

^{2}

).
Vì

△ O B D

đều cạnh

3

nên

S_{O B D} = \frac{3}{4} \cdot (3)^{2} = \frac{3 3}{4}

(cm

^{2}

).
Diện tích hình viên phân:

S = S_{q} - S_{O B D} = \frac{π}{2} - \frac{3 3}{4}

(cm

^{2}

Vậy diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây $B D$ và cung nhỏ $B D$ là $\frac{π}{2} - \frac{3 3}{4} \approx 0, 27$ cm $^{2}$ .

3Cách 3. Định lí côsin trong tam giác cân

O B D

Định hướng. Sau khi có $B D = O B = O D = 3$ như Cách 1, dùng định lí côsin thay vì nhận diện trực tiếp tam giác đều, để có một phép tính độc lập kiểm chứng $B O D = 60°$ ; góc còn lại vẫn suy ra từ tổng ba góc ở tâm.

Như Cách 1, ta có

D

là trung điểm

A B

R = O B = O D = 3

và

B D = 3

.
Áp dụng định lí côsin trong tam giác

O B D

B D^{2} = O B^{2} + O D^{2} - 2 \cdot O B \cdot O D \cdot cos B O D

3 = 3 + 3 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot cos B O D

3 = 6 - 6 cos B O D

cos B O D = \frac{1}{2}

, suy ra

B O D = 60°

.
Tương tự với tam giác

O E C

(

E C = 3

do tính đối xứng) suy ra

E O C = 60°

.
Vì

B O D + D O E + E O C = B O C = 180°

nên

D O E = 60°

Vậy ba góc ở tâm bằng nhau và bằng $60°$ , nên ba cung nhỏ $B D$ , $D E$ , $E C$ bằng nhau, mỗi cung có số đo $60°$ .

Nhận xét. Việc $B O D = 60°$ vừa nhận ra ngay từ tam giác đều $O B D$ (Cách 1) vừa kiểm chứng lại được bằng định lí côsin (Cách 3) — hai đường độc lập cùng cho một kết quả.

Định hướng (câu b). Diện tích hình viên phân bằng diện tích hình quạt $B O D$ (góc ở tâm $60°$ , bán kính $3$ ) trừ diện tích tam giác đều $O B D$ .

Diện tích hình quạt tròn

B O D

(góc ở tâm

60°

R = 3

cm):

S_{q} = \frac{π R ^{2} \cdot 60}{360} = \frac{π \cdot 3}{6} = \frac{π}{2}

(cm

^{2}

).
Vì

△ O B D

đều cạnh

3

nên

S_{O B D} = \frac{3}{4} \cdot (3)^{2} = \frac{3 3}{4}

(cm

^{2}

).
Diện tích hình viên phân:

S = S_{q} - S_{O B D} = \frac{π}{2} - \frac{3 3}{4}

(cm

^{2}

Vậy diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây $B D$ và cung nhỏ $B D$ là $\frac{π}{2} - \frac{3 3}{4} \approx 0, 27$ cm $^{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra ngay

O B = O D = B D = 3

nên tam giác

O B D

đều, đọc thẳng góc

60°

mà không cần toạ độ hay định lí côsin.

Đáp số. a) Ba cung nhỏ

B D

D E

E C

bằng nhau, mỗi cung có số đo

60°

. b) Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây

B D

và cung nhỏ

B D

là

\frac{π}{2} - \frac{3 3}{4} \approx 0, 27

^{2}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chỉ chứng minh

B O D = E O C = 60°

rồi vội kết luận ba cung bằng nhau mà quên tính riêng

D O E

— phải dùng thêm

B O D + D O E + E O C = 180°

mới chắc chắn cung

D E

cũng bằng hai cung kia.

🚀 Mở rộng. Nếu thay tam giác đều bằng tam giác cân bất kì (không đều) có

A

cho trước, ba cung

B D

D E

E C

nói chung không còn bằng nhau nữa — chính tính đều của tam giác (ba góc

60°

bằng nhau) mới tạo ra ba cung bằng nhau, đây là điều kiện mấu chốt của bài toán.

Mở bài này trong app ↗