Bài 1 · 1.1★★Trang 7— Xét tính đúng sai của mệnh đề chứa lượng từ với mọi
Xác định tính đúng, sai của các mệnh đề sau: a) Các số nguyên tố đều là số lẻ; b) Phương trình x2+1=0 có hai nghiệm nguyên phân biệt; c) Mọi số nguyên lẻ đều không chia hết cho 2.
Kiến thức cần nhớ
Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai.
Mệnh đề dạng "mọi phần tử đều có tính chất P" chỉ cần MỘT phản ví dụ là sai.
Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.
Số nguyên lẻ có dạng n=2k+1 với k nguyên; chia n cho 2 luôn dư 1.
Với mọi số thực x thì x2≥0, do đó x2+1≥1.
🧠 Phân tích tư duy
Cả ba câu đều khẳng định một tính chất cho MỌI phần tử của một tập, nên dấu hiệu là chỉ cần một phản ví dụ là bác bỏ được, còn muốn nhận thì phải lập luận cho mọi phần tử. Câu a) và b) có vật chứng lộ ngay (2 là số nguyên tố chẵn, còn x2+1 luôn dương) nên đi đường phản ví dụ là nhanh nhất. Câu c) thì không thể thử hết mọi số lẻ, buộc phải dùng dạng tổng quát n=2k+1.
1Cách 1. Tìm phản ví dụ cho từng khẳng định
Định hướng. Mỗi câu là khẳng định về mọi phần tử, nên chỉ cần chỉ ra một vật chứng đi ngược lại là kết luận được mệnh đề sai.
a) Số 2 là số nguyên tố, mà 2=2⋅1 nên 2 là số chẵn.
Tồn tại một số nguyên tố không lẻ, do đó mệnh đề a) SAI.
b) Với mọi số thực x: x2≥0, suy ra x2+1≥1>0.
Phương trình x2+1=0 không có nghiệm thực nào, càng không có nghiệm nguyên, do đó mệnh đề b) SAI.
c) Thử các số nguyên lẻ 1, 3, 5, 7, 9: không số nào chia hết cho 2.
Không tìm được phản ví dụ nào trong các số đã thử.
Vậy a) SAI và b) SAI; riêng c) phép thử chưa đủ để kết luận nên phải chứng minh tổng quát ở cách sau.
2Cách 2. Dùng định nghĩa và đánh giá dấu thay cho phép thử
Định hướng. Thay việc thử số bằng việc viết đúng định nghĩa của số nguyên tố, của nghiệm phương trình và của số lẻ, khi đó cả ba câu đều kết luận được dứt điểm.
a) Tập các ước tự nhiên của 2 là {1;2} nên 2 là số nguyên tố.
Đồng thời 2 chia hết cho 2 nên 2 là số chẵn, khẳng định "đều là số lẻ" bị phá ngay tại n=2, do đó a) SAI.
b) x2+1=0⇔x2=−1.
Mà x2≥0 với mọi số thực x nên x2=−1 vô nghiệm.
Phương trình không có nghiệm nào, do đó b) SAI.
c) Số nguyên n lẻ nên n=2k+1 với k∈Z.
n=2k+1 với 0<1<2, nên phép chia n cho 2 có số dư đúng bằng 1.
Số dư khác 0 nên n không chia hết cho 2, điều này đúng với mọi số nguyên lẻ n, do đó c) ĐÚNG.
Vậy a) SAI, b) SAI, c) ĐÚNG.
3Cách 3. Xét qua mệnh đề phủ định
Định hướng. Một mệnh đề và mệnh đề phủ định của nó luôn trái ngược nhau về tính đúng sai, nên chuyển sang xét câu phủ định vốn chỉ đòi hỏi tìm một phần tử.
a) Phủ định: "Tồn tại một số nguyên tố không lẻ".
Số 2 là số nguyên tố và không lẻ nên phủ định ĐÚNG, suy ra a) SAI.
b) Phủ định: "Phương trình x2+1=0 không có hai nghiệm nguyên phân biệt".
x2+1≥1 với mọi số thực x nên phương trình vô nghiệm, phủ định ĐÚNG, suy ra b) SAI.
c) Phủ định: "Tồn tại một số nguyên lẻ chia hết cho 2".
Số chia hết cho 2 là số chẵn, một số không thể vừa lẻ vừa chẵn nên phủ định SAI, suy ra c) ĐÚNG.
Vậy a) SAI, b) SAI, c) ĐÚNG.
Nhận xét. Cách 3 an toàn nhất khi câu gốc nói về "mọi" mà ta chưa thấy ngay phản ví dụ, vì phủ định của nó chỉ cần tìm một phần tử hoặc chỉ ra điều vô lí.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2 vì nó xử lí trọn cả ba câu bằng định nghĩa; riêng câu c) không thể kết luận bằng phép thử như Cách 1. Cách 3 chỉ nên dùng khi câu gốc dài, khó đọc trực tiếp.
Đáp số.a) SAI (vì 2 là số nguyên tố chẵn); b) SAI (vì x2+1≥1>0 nên phương trình vô nghiệm); c) ĐÚNG.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn nhớ rằng x2+1=0 có "hai nghiệm" x=±i rồi kết luận b) đúng, trong khi i không phải số nguyên và ở lớp 10 ta chỉ xét nghiệm thực. Lỗi thứ hai là thử 1, 3, 5 thấy đều không chia hết cho 2 rồi coi c) đã được chứng minh; thử vài số không bao giờ chứng minh được một mệnh đề "với mọi".
🚀 Mở rộng.Tổng quát hoá câu c): viết n=qm+r với 0≤r<m thì n chia hết cho m khi và chỉ khi r=0, nên "số lẻ không chia hết cho 2" chỉ là trường hợp riêng m=2, r=1.
Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: a) 106 là hợp số; b) Tổng số đo ba góc trong một tam giác bằng 180∘.
Kiến thức cần nhớ
Mệnh đề phủ định của P, kí hiệu P, đúng khi P sai và sai khi P đúng.
Phủ định một mệnh đề là phủ định VỊ TỪ của nó, thường bằng cách thêm chữ "không".
Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có ước khác 1 cùng chính nó.
Phủ định của lượng từ "với mọi" là "tồn tại", và ngược lại.
Định lí tổng ba góc: trong mọi tam giác, tổng số đo ba góc bằng 180∘.
🧠 Phân tích tư duy
Đề chỉ yêu cầu phát biểu phủ định, nên việc chính là tìm đúng vị từ để gắn chữ "không" vào chứ không phải đi tính toán. Câu a) có vị từ là "là hợp số", câu b) có vị từ là "bằng 180∘". Bẫy của câu b) là lượng từ "mọi tam giác" bị ẩn đi, không thấy nó thì rất dễ phát biểu thành một câu khác nghĩa.
1Cách 1. Thêm chữ không vào vị từ của mệnh đề
Định hướng. Giữ nguyên chủ ngữ, chỉ phủ định phần vị từ nói về tính chất, đó là thao tác chuẩn và ngắn nhất.
a) P: "106 là hợp số".
P: "106 không là hợp số".
106=2⋅53 nên 106 có ước 2 khác 1 và khác 106, suy ra P ĐÚNG và P SAI.
b) Q: "Tổng số đo ba góc trong một tam giác bằng 180∘".
Q: "Tổng số đo ba góc trong một tam giác không bằng 180∘".
Theo định lí tổng ba góc thì Q ĐÚNG, suy ra Q SAI.
VậyP: "106 không là hợp số" (SAI) và Q: "Tổng số đo ba góc trong một tam giác không bằng 180∘" (SAI).
2Cách 2. Mở định nghĩa của vị từ rồi phủ định phần định nghĩa
Định hướng. Viết vị từ ra thành định nghĩa đầy đủ, khi đó phủ định hiện ra dưới một dạng tương đương nhưng nói rõ hơn về bản chất.
a) "106 là hợp số" nghĩa là "106 có một ước khác 1 và khác 106".
P: "106 không có ước nào khác 1 và khác 106", tức là "106 là số nguyên tố".
106=2⋅53 nên 106 không nguyên tố, suy ra P SAI.
b) "bằng 180∘" có phủ định là "khác 180∘".
Q: "Tổng số đo ba góc trong một tam giác khác 180∘".
Tổng đó luôn bằng 180∘ nên Q SAI.
Vậy hai câu phủ định viết theo cách này tương đương với Cách 1 và đều SAI.
3Cách 3. Viết rõ lượng từ đang bị ẩn rồi phủ định lượng từ
Định hướng. Hai mệnh đề đều chứa lượng từ ẩn, đưa lượng từ ra mặt trước rồi dùng quy tắc đổi "với mọi" thành "tồn tại" thì phủ định không thể sai sót.
a) P: "Tồn tại số tự nhiên d khác 1 và khác 106 sao cho 106 chia hết cho d".
P: "Với mọi số tự nhiên d khác 1 và khác 106, số 106 không chia hết cho d".
Chọn d=2 thì 106=2⋅53 chia hết cho 2, nên P SAI.
b) Q: "Với mọi tam giác ABC ta có A+B+C=180∘".
Q: "Tồn tại tam giác ABC mà A+B+C=180∘".
Không có tam giác nào như vậy nên Q SAI.
VậyP và Q đều SAI, đúng như dự đoán vì P và Q đều ĐÚNG.
Nhận xét. Ba cách cho ba câu chữ khác nhau nhưng tương đương nhau về logic; dạng lượng từ ở Cách 3 là dạng duy nhất dùng lại được khi phải phủ định thêm một lần nữa.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1 vì đề chỉ hỏi "phát biểu mệnh đề phủ định", trả lời một dòng cho mỗi ý và không sợ diễn đạt lệch. Cách 3 dành cho lúc cần chứng minh hoặc cần phủ định nhiều tầng, vì nó lộ rõ lượng từ.
Đáp số.a) "106 không là hợp số" — mệnh đề gốc ĐÚNG vì 106=2⋅53, nên phủ định SAI; b) "Tổng số đo ba góc trong một tam giác không bằng 180∘" — mệnh đề gốc ĐÚNG, nên phủ định SAI.
Sai lầm thường gặp.Câu b) hay bị phủ định thành "Tổng số đo ba góc trong một tam giác nhỏ hơn 180∘", nhưng "không bằng" gồm cả lớn hơn và nhỏ hơn nên câu đó hẹp hơn phủ định thật. Câu a) hay bị viết thành "106 là số lẻ": đó là một mệnh đề khác hẳn, vì phủ định của "là hợp số" phải nói về ước, không nói về tính chẵn lẻ.
🚀 Mở rộng.Đổi câu a) thành "261−1 là hợp số" thì phủ định vẫn viết y hệt một dòng, nhưng việc xét đúng sai lại biến thành bài kiểm tra tính nguyên tố của số Mersenne, cho thấy phát biểu phủ định và xét tính đúng sai là hai việc tách rời nhau.
Bài 3 · 1.3★★Trang 7— Phát biểu mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo
Cho hai mệnh đề sau: P: "Tứ giác ABCD là hình bình hành"; Q: "Tứ giác ABCD có AB∥CD và AB=CD". Hãy phát biểu mệnh đề P⇒Q và mệnh đề đảo của mệnh đề đó.
Kiến thức cần nhớ
Mệnh đề kéo theo P⇒Q đọc là "Nếu P thì Q".
Mệnh đề đảo của P⇒Q là Q⇒P, tức đổi chỗ giả thiết và kết luận.
P⇒Q còn đọc là "P là điều kiện đủ để có Q" hoặc "Q là điều kiện cần để có P".
Tính chất hình bình hành: các cạnh đối song song và bằng nhau.
Dấu hiệu nhận biết: tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho sẵn hai mệnh đề và chỉ yêu cầu ghép lại, nên đây là bài về KHUÔN PHÁT BIỂU chứ không phải bài chứng minh hình học. Chỉ cần nhận ra P đứng trước dấu ⇒ nên giữ vai giả thiết, Q đứng sau nên giữ vai kết luận, còn mệnh đề đảo thì đổi chỗ hai vai đó. Bẫy lớn nhất là nhầm mệnh đề đảo với mệnh đề phủ định hoặc mệnh đề phản đảo.
1Cách 1. Ghép trực tiếp theo khuôn Nếu ... thì ...
Định hướng. Đặt P vào chỗ "Nếu" và Q vào chỗ "thì", rồi đổi chỗ hai mệnh đề để có mệnh đề đảo.
P⇒Q: "Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD có AB∥CD và AB=CD".
Mệnh đề đảo là Q⇒P.
Q⇒P: "Nếu tứ giác ABCD có AB∥CD và AB=CD thì tứ giác ABCD là hình bình hành".
Vậy mệnh đề P⇒Q và mệnh đề đảo Q⇒P được phát biểu như trên.
2Cách 2. Đọc theo khuôn điều kiện cần và điều kiện đủ
Định hướng. Cùng một mệnh đề kéo theo còn có khuôn đọc theo điều kiện cần hoặc điều kiện đủ, dùng khuôn này thì mệnh đề đảo chỉ việc hoán vai hai cụm.
P⇒Q: "Tứ giác ABCD là hình bình hành là điều kiện đủ để tứ giác ABCD có AB∥CD và AB=CD".
Cũng mệnh đề đó, đọc theo điều kiện cần: "Tứ giác ABCD có AB∥CD và AB=CD là điều kiện cần để tứ giác ABCD là hình bình hành".
Q⇒P: "Tứ giác ABCD có AB∥CD và AB=CD là điều kiện đủ để tứ giác ABCD là hình bình hành".
Vậy hai mệnh đề đã được phát biểu lại theo ngôn ngữ điều kiện cần và điều kiện đủ.
3Cách 3. Kiểm tra hai chiều rồi gộp thành dấu hiệu nhận biết
Định hướng. Xét luôn tính đúng sai của cả hai chiều: nếu cả hai chiều đều đúng thì hai mệnh đề tương đương và ghép được thành một câu "khi và chỉ khi".
P⇒Q: "Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì AB∥CD và AB=CD", đúng theo tính chất các cạnh đối của hình bình hành.
Q⇒P: "Nếu tứ giác ABCD có AB∥CD và AB=CD thì ABCD là hình bình hành", đúng theo dấu hiệu nhận biết.
Hai chiều đều đúng nên P⇔Q.
P⇔Q: "Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB∥CD và AB=CD".
Vậy mệnh đề đảo Q⇒P cũng ĐÚNG, do đó P và Q là hai mệnh đề tương đương.
Nhận xét. Chính vì cả hai chiều đều đúng mà cặp điều kiện "một cặp cạnh đối song song và bằng nhau" được dùng làm dấu hiệu nhận biết hình bình hành trong sách hình học.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1 vì đề hỏi đúng khuôn "Nếu ... thì ...", viết hai câu là xong. Nên thêm Cách 3 khi đề hỏi kèm tính đúng sai, vì nó cho luôn kết quả P⇔Q.
Đáp số.P⇒Q: "Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD có AB∥CD và AB=CD". Mệnh đề đảo Q⇒P: "Nếu tứ giác ABCD có AB∥CD và AB=CD thì tứ giác ABCD là hình bình hành". Cả hai mệnh đề đều ĐÚNG.
Sai lầm thường gặp.Sai hay gặp nhất là viết mệnh đề đảo thành "Nếu tứ giác ABCD không là hình bình hành thì AB không song song CD" — đó là mệnh đề phản đảo, không phải mệnh đề đảo. Lỗi thứ hai là bỏ mất cụm "và AB=CD" khi phát biểu đảo, khi đó mệnh đề thành SAI vì hình thang có AB∥CD mà AB=CD thì không là hình bình hành.
🚀 Mở rộng.Thay Q bằng "Tứ giác ABCD có AB∥CD" thì P⇒Q vẫn đúng nhưng mệnh đề đảo trở thành SAI với phản ví dụ là một hình thang cân, cho thấy chỉ bớt một điều kiện là chiều đảo đã sụp.
Bài 4 · 1.4★★Trang 7— Phát biểu mệnh đề dưới dạng điều kiện cần
Phát biểu dưới dạng "điều kiện cần" đối với các mệnh đề sau: a) Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau; b) Số tự nhiên có tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
Kiến thức cần nhớ
Với mệnh đề P⇒Q: Q là điều kiện cần để có P, còn P là điều kiện đủ để có Q.
Khuôn phát biểu điều kiện cần: "Q là điều kiện cần để có P".
Mệnh đề P⇒Q và mệnh đề phản đảo Q⇒P luôn cùng đúng hoặc cùng sai.
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau, nhưng hai góc bằng nhau chưa chắc đối đỉnh.
Dấu hiệu chia hết cho 3: số tự nhiên chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.
🧠 Phân tích tư duy
Cả hai câu đang ở dạng "P thì Q", nên việc đầu tiên là tách cho rõ đâu là P đâu là Q trước khi gắn khuôn. Với P⇒Q đúng thì Q mới là điều kiện cần để có P, vì thế câu trả lời luôn phải bắt đầu bằng Q. Bẫy nằm ở câu b): mệnh đề có hai cụm "chia hết cho 3" trông giống nhau nên rất dễ đặt sai vai.
1Cách 1. Tách rõ giả thiết, kết luận rồi gắn khuôn điều kiện cần
Định hướng. Viết mệnh đề về dạng P⇒Q, xác định Q là kết luận rồi đọc "Q là điều kiện cần để có P".
a) P: "hai góc đối đỉnh"; Q: "hai góc đó bằng nhau".
Điều kiện cần: "Hai góc bằng nhau là điều kiện cần để hai góc đó đối đỉnh".
b) P: "số tự nhiên có tổng các chữ số của nó chia hết cho 3"; Q: "số tự nhiên đó chia hết cho 3".
Điều kiện cần: "Số tự nhiên chia hết cho 3 là điều kiện cần để tổng các chữ số của nó chia hết cho 3".
Vậy hai câu phát biểu theo dạng điều kiện cần là hai câu in trên.
2Cách 2. Đọc bằng khuôn muốn có P thì cần phải có Q
Định hướng. Cụm "điều kiện cần" còn có một khuôn đọc gần với tiếng nói thường là "muốn có P thì cần phải có Q", dùng khuôn này thì khó đặt ngược vai.
a) Muốn hai góc là hai góc đối đỉnh thì cần phải có hai góc đó bằng nhau.
Cụm đứng sau chữ "cần phải" chính là điều kiện cần, đó là "hai góc bằng nhau".
b) Muốn một số tự nhiên có tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 thì cần phải có số đó chia hết cho 3.
Cụm đứng sau chữ "cần phải" là "số đó chia hết cho 3".
Vậy điều kiện cần ở câu a) là "hai góc bằng nhau" và ở câu b) là "số tự nhiên đó chia hết cho 3".
3Cách 3. Đi qua mệnh đề phản đảo để kiểm chứng vai của Q
Định hướng. Nói Q là điều kiện cần nghĩa là thiếu Q thì mất luôn P, mà đó đúng là nội dung của mệnh đề phản đảo, nên viết phản đảo ra là tự kiểm tra được mình có đặt ngược vai hay không.
a) Phản đảo: "Nếu hai góc không bằng nhau thì hai góc đó không đối đỉnh".
Mất tính "bằng nhau" là mất luôn tính "đối đỉnh", nên "hai góc bằng nhau" là điều kiện cần để hai góc đó đối đỉnh.
b) Phản đảo: "Nếu số tự nhiên không chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó không chia hết cho 3".
Mất tính "chia hết cho 3" của số là mất luôn tính "tổng các chữ số chia hết cho 3", nên "số chia hết cho 3" là điều kiện cần.
Vậy cách đọc qua phản đảo cho lại đúng hai câu trả lời ở Cách 1.
Nhận xét. Phản đảo là lối giải thích sát nghĩa nhất của chữ "cần": không có nó thì không thể có P, trong khi "đủ" lại là có nó thì chắc chắn có Q.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1 vì bám đúng chữ "điều kiện cần" mà đề yêu cầu, mỗi ý chỉ một dòng. Dùng Cách 3 để tự soát lại xem mình có đặt ngược vai của P và Q hay không.
Đáp số.a) "Hai góc bằng nhau là điều kiện cần để hai góc đó đối đỉnh"; b) "Số tự nhiên chia hết cho 3 là điều kiện cần để tổng các chữ số của nó chia hết cho 3".
Sai lầm thường gặp.Lỗi phổ biến là đảo vai, viết câu a) thành "Hai góc đối đỉnh là điều kiện cần để hai góc đó bằng nhau" — cụm đó là điều kiện ĐỦ, và câu vừa viết còn SAI vì hai góc bằng nhau chưa chắc đối đỉnh, chẳng hạn hai góc ở đáy một tam giác cân. Ở câu b), nhiều bạn nói "tổng các chữ số chia hết cho 3 là điều kiện cần", nhưng cụm đó là giả thiết nên nó là điều kiện đủ.
🚀 Mở rộng.Ở câu b) chiều ngược lại cũng đúng nên còn nói mạnh hơn được: "Số tự nhiên chia hết cho 3 là điều kiện cần và đủ để tổng các chữ số của nó chia hết cho 3", trong khi câu a) tuyệt đối không được nói như vậy.
Bài 5 · 1.5★★★Trang 7— Lập mệnh đề đảo và xét tính đúng sai của nó
Xác định tính đúng sai của mệnh đề đảo của các mệnh đề sau: a) Nếu số tự nhiên n có tổng các chữ số bằng 6 thì số tự nhiên n chia hết cho 3; b) Nếu x>y thì x3>y3.
Kiến thức cần nhớ
Mệnh đề đảo của P⇒Q là Q⇒P.
P⇒Q đúng không hề kéo theo Q⇒P đúng.
x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2).
x2+xy+y2=(x+2y)2+43y2≥0, dấu bằng chỉ khi x=y=0.
Số tự nhiên chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.
🧠 Phân tích tư duy
Đề không hỏi mệnh đề đã cho mà hỏi mệnh đề ĐẢO, nên việc đầu tiên là viết hẳn mệnh đề đảo ra rồi mới xét. Câu a) đảo lại thành khẳng định về mọi số chia hết cho 3, chỉ cần một số như n=9 là phá xong. Câu b) đảo lại vẫn đúng nên cấm dùng phép thử, dấu hiệu để chứng minh là hiệu x3−y3 tách được nhân tử.
1Cách 1. Viết mệnh đề đảo rồi thử số để dò phản ví dụ
Định hướng. Lập mệnh đề đảo trước, sau đó thử một loạt giá trị: gặp giá trị phá được thì kết luận sai ngay, còn thử mãi không phá được thì mới chuyển sang chứng minh.
a) Mệnh đề đảo: "Nếu số tự nhiên n chia hết cho 3 thì n có tổng các chữ số bằng 6".
Thử n=9: 9 chia hết cho 3, mà tổng các chữ số của 9 bằng 9=6.
Tìm được phản ví dụ nên mệnh đề đảo ở câu a) SAI.
b) Mệnh đề đảo: "Nếu x3>y3 thì x>y".
Thử x=2, y=1: 8>1 và 2>1.
Thử x=−1, y=−2: −1>−8 và −1>−2.
Thử x=1, y=−3: 1>−27 và 1>−3.
Không cặp nào phá được mệnh đề đảo ở câu b).
Vậy câu a) có mệnh đề đảo SAI, còn câu b) chưa kết luận được bằng phép thử nên phải chứng minh ở cách sau.
2Cách 2. Tách nhân tử hiệu hai lập phương rồi đánh giá dấu
Định hướng. Chuyển bất đẳng thức x3>y3 về dấu của hiệu x3−y3, tách nhân tử rồi chứng minh nhân tử bậc hai luôn dương để suy ra dấu của x−y.
b) Giả thiết x3>y3, tức x3−y3>0.
x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)
x2+xy+y2=(x+2y)2+43y2≥0
Nếu x2+xy+y2=0 thì x+2y=0 và y=0, suy ra x=y=0, khi đó x3−y3=0, trái với x3−y3>0.
Do đó x2+xy+y2>0, kết hợp (x−y)(x2+xy+y2)>0 được x−y>0, tức x>y.
Mệnh đề đảo ở câu b) ĐÚNG.
a) Số tự nhiên chia hết cho 3 chỉ cần tổng các chữ số chia hết cho 3, nên tổng đó nhận được mọi giá trị trong {3;6;9;12;…} chứ không riêng 6.
Giá trị 6 chỉ là một trong các khả năng, chẳng hạn n=3 có tổng chữ số bằng 3, nên mệnh đề đảo ở câu a) SAI.
Vậy mệnh đề đảo ở câu a) SAI và mệnh đề đảo ở câu b) ĐÚNG.
3Cách 3. Phản chứng kết hợp chia trường hợp theo dấu
Định hướng. Giả sử kết luận sai rồi chia trường hợp theo dấu của hai số: nếu mọi trường hợp đều dẫn tới điều trái giả thiết thì kết luận phải đúng.
b) Giả sử x3>y3 mà x≤y.
Nếu x=y thì x3=y3, trái với x3>y3.
Nếu 0≤x<y thì nhân ba bất đẳng thức cùng chiều giữa các số không âm được x3<y3.
Nếu x<y≤0 thì 0≤−y<−x, suy ra (−y)3<(−x)3, tức −y3<−x3, nên x3<y3.
Nếu x<0≤y thì x3<0≤y3.
Mọi trường hợp đều cho x3≤y3, trái với x3>y3, nên điều giả sử sai và x>y.
a) Giả sử mệnh đề đảo đúng, khi đó mọi số tự nhiên chia hết cho 3 đều có tổng các chữ số bằng 6.
Hai số 3 và 6 đều chia hết cho 3 nhưng có tổng các chữ số lần lượt là 3 và 6, không cùng bằng 6, trái điều giả sử.
Vậy mệnh đề đảo ở câu a) SAI và mệnh đề đảo ở câu b) ĐÚNG, khớp với Cách 2.
Nhận xét. Kết quả câu b) nói rằng phép lập phương bảo toàn thứ tự theo cả hai chiều, tức x>y⇔x3>y3; điều này KHÔNG còn đúng cho bình phương, đó là chỗ khác nhau giữa số mũ chẵn và số mũ lẻ.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2 vì hằng đẳng thức x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2) cho lời giải gọn nhất và dùng lại được cho mọi bài so sánh lập phương. Cách 1 chỉ đủ để trả lời câu a), còn câu b) bắt buộc phải chứng minh.
Đáp số.a) Mệnh đề đảo "Nếu số tự nhiên n chia hết cho 3 thì n có tổng các chữ số bằng 6" là SAI, phản ví dụ n=9 hoặc n=3; b) Mệnh đề đảo "Nếu x3>y3 thì x>y" là ĐÚNG.
Sai lầm thường gặp.Câu b) hay bị "chứng minh" bằng cách thử vài cặp số rồi kết luận đúng; thử số không phải chứng minh, và cách làm đó sẽ cho kết luận sai nếu gặp bài "Nếu x2>y2 thì x>y" — mệnh đề này SAI với x=−3, y=1 vì 9>1 mà −3<1. Câu a) hay bị trả lời là ĐÚNG do các bạn xét mệnh đề gốc, quên rằng đề hỏi mệnh đề đảo.
🚀 Mở rộng.Thay số 6 ở câu a) bằng một số tự nhiên S bất kì: mệnh đề gốc "tổng các chữ số bằng S thì n chia hết cho 3" đúng khi và chỉ khi S chia hết cho 3, còn mệnh đề đảo thì SAI với mọi S vì luôn tìm được số khác cũng chia hết cho 3 mà tổng chữ số khác S.
Bài 6 · 1.6★★★Trang 7— Phát biểu mệnh đề tương đương và xét tính đúng sai
Phát biểu mệnh đề P⇔Q và xét tính đúng sai của chúng: a) P: "x2+y2=0", Q: "x=0 và y=0"; b) P: "x2>0", Q: "x>0".
Kiến thức cần nhớ
P⇔Q đọc là "P khi và chỉ khi Q", đúng khi cả P⇒Q và Q⇒P đều đúng.
P⇔Q đúng khi và chỉ khi P và Q có cùng tập nghiệm.
a2≥0 với mọi số thực a, dấu bằng chỉ khi a=0.
Tổng hai số không âm bằng 0 khi và chỉ khi cả hai số đều bằng 0.
Tập nghiệm của x2>0 là R∖{0}, tập nghiệm của x>0 là (0;+∞).
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho từng cặp P, Q và hỏi mệnh đề tương đương, nên phải xét CẢ HAI chiều chứ không được dừng ở một chiều. Dấu hiệu gọn nhất là so hai tập giá trị làm P đúng và làm Q đúng: hai tập bằng nhau thì tương đương, khác nhau thì không. Bẫy ở câu b) là chiều Q⇒P đúng làm nhiều bạn tưởng cả mệnh đề tương đương đúng, trong khi chiều còn lại bị số âm phá.
1Cách 1. Xét lần lượt hai chiều kéo theo
Định hướng. Mệnh đề tương đương đúng khi và chỉ khi cả hai chiều đều đúng, nên xét riêng từng chiều và chỉ cần một chiều sai là kết luận được.
a) P⇔Q: "x2+y2=0 khi và chỉ khi x=0 và y=0".
Chiều P⇒Q: từ x2+y2=0, mà x2≥0 và y2≥0, nên x2=0 và y2=0, suy ra x=0 và y=0, chiều này ĐÚNG.
Chiều Q⇒P: thay x=0 và y=0 được 02+02=0, chiều này ĐÚNG.
Hai chiều đều đúng nên mệnh đề ở câu a) ĐÚNG.
b) P⇔Q: "x2>0 khi và chỉ khi x>0".
Chiều Q⇒P: từ x>0 suy ra x2>0, chiều này ĐÚNG.
Chiều P⇒Q: lấy x=−1 thì x2=1>0 nhưng x=−1 không thoả x>0, chiều này SAI.
Một chiều sai nên mệnh đề ở câu b) SAI.
Vậy mệnh đề ở câu a) ĐÚNG và mệnh đề ở câu b) SAI.
2Cách 2. Chia trường hợp và lập bảng chân lí
Định hướng. Mệnh đề tương đương đúng nghĩa là P và Q luôn cùng đúng hoặc cùng sai, nên chia hết các trường hợp rồi so tính đúng sai của P với Q trong từng trường hợp.
a) Trường hợp x=0 và y=0: P đúng và Q đúng, nên P⇔Q đúng.
Trường hợp còn lại là có ít nhất một trong hai số khác 0: khi đó x2+y2>0 nên P sai, đồng thời Q cũng sai.
Hai mệnh đề luôn cùng tính đúng sai, nên mệnh đề ở câu a) ĐÚNG.
b) Trường hợp x<0: x2>0 nên P đúng, còn Q sai, nên P⇔Q sai.
Trường hợp x=0: x2=0 nên P sai, Q sai, nên P⇔Q đúng.
Trường hợp x>0: P đúng và Q đúng, nên P⇔Q đúng.
Có trường hợp cho giá trị sai nên mệnh đề ở câu b) không đúng với mọi x, tức là SAI.
Vậy bảng chân lí cho lại kết quả câu a) ĐÚNG và câu b) SAI.
3Cách 3. So sánh hai tập nghiệm
Định hướng. Mệnh đề P⇔Q đúng chính là hai tập nghiệm trùng nhau, nên chỉ cần viết ra hai tập rồi so sánh là xong.
a) x2≥0 và y2≥0 nên x2+y2=0 buộc x2=0 và y2=0, tập nghiệm của P là {(0;0)}.
Tập nghiệm của Q cũng là {(0;0)}.
Hai tập nghiệm bằng nhau nên mệnh đề ở câu a) ĐÚNG.
b) Tập nghiệm của P là R∖{0}.
Tập nghiệm của Q là (0;+∞).
−1∈R∖{0} nhưng −1∈/(0;+∞) nên hai tập nghiệm khác nhau, mệnh đề ở câu b) SAI.
Vậy câu a) ĐÚNG, câu b) SAI với phản ví dụ x=−1.
Nhận xét. Nhìn theo tập nghiệm thì thấy ngay câu b) chỉ thiếu nửa âm của trục số: chính khoảng (−∞;0) nằm trong tập nghiệm của P mà không nằm trong tập nghiệm của Q đã làm mệnh đề tương đương sụp.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 3 vì chỉ cần viết hai tập nghiệm rồi so sánh, không phải nhớ xét chiều nào trước và rất khó bỏ sót. Cách 1 dài hơn nhưng nên dùng khi đề yêu cầu chứng minh rõ từng chiều.
Đáp số.a) "x2+y2=0 khi và chỉ khi x=0 và y=0" — mệnh đề ĐÚNG; b) "x2>0 khi và chỉ khi x>0" — mệnh đề SAI, phản ví dụ x=−1.
Sai lầm thường gặp.Câu b) thường bị kết luận ĐÚNG vì chỉ kiểm chiều x>0⇒x2>0; phải kiểm cả chiều ngược lại, và x=−1 cho x2=1>0 mà x không dương. Câu a) hay bị viết thành "x2+y2=0 suy ra x=0 hoặc y=0", dùng chữ "hoặc" là sai vì cặp (0;5) thoả "hoặc" nhưng 02+52=25=0.
🚀 Mở rộng.Đổi câu b) thành P: "x2>0" và Q: "x=0" thì mệnh đề tương đương trở thành ĐÚNG, vì lúc này hai tập nghiệm đều bằng R∖{0}.
Bài 7 · 1.7★★★Trang 7— Mệnh đề chứa lượng từ tồn tại và mệnh đề phủ định
Xác định tính đúng, sai của mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó: P: "∃x∈R,x4<x2".
Kiến thức cần nhớ
Mệnh đề ∃x∈X,P(x) đúng khi tìm được một phần tử x0∈X làm P(x0) đúng.
Phủ định của ∃x∈X,P(x) là ∀x∈X,P(x).
Phủ định của bất đẳng thức a<b là a≥b.
x4−x2=x2(x−1)(x+1).
Với 0<a<1 thì a2<a.
🧠 Phân tích tư duy
Mệnh đề mở đầu bằng lượng từ tồn tại, dấu hiệu cho biết chỉ cần tìm được MỘT giá trị thoả mãn là mệnh đề đúng, không phải kiểm mọi số. Nhìn x4 và x2 thấy chúng so sánh được qua x2: khi x2 nhỏ hơn 1 thì nhân thêm x2 sẽ làm nhỏ đi, nên các số trong khoảng (0;1) mới là chỗ đáng thử. Bẫy là chỉ thử các số nguyên 0, 1, 2 rồi kết luận sai, vì mọi số nguyên đều cho x4≥x2.
1Cách 1. Chỉ ra một giá trị cụ thể thoả mãn
Định hướng. Mệnh đề tồn tại chỉ cần một vật chứng, nên chọn một số trong khoảng (0;1) rồi tính thẳng hai vế.
Chọn x=21.
x4=(21)4=161
x2=(21)2=41=164
161<164 nên x4<x2 tại x=21.
Tồn tại số thực thoả mãn nên P ĐÚNG.
P: "∀x∈R,x4≥x2".
P đúng nên P SAI.
VậyP ĐÚNG và P: "∀x∈R,x4≥x2" là mệnh đề SAI.
2Cách 2. Nhân bất đẳng thức trên khoảng (0; 1)
Định hướng. Thay vì chọn một số, chứng minh thẳng rằng mọi số trong khoảng (0;1) đều thoả mãn, khi đó tính tồn tại là hệ quả.
Lấy x bất kì với 0<x<1.
Nhân hai vế của 0<x<1 với số dương x được 0<x2<x<1.
Nhân hai vế của x2<1 với số dương x2 được x2⋅x2<x2⋅1
x4<x2
Mọi x thuộc khoảng (0;1) đều thoả mãn, mà khoảng này khác rỗng nên P ĐÚNG.
P: "∀x∈R,x4≥x2", và P SAI.
VậyP ĐÚNG, thậm chí có vô số giá trị thoả mãn chứ không chỉ một.
3Cách 3. Giải hẳn bất phương trình để tìm trọn tập giá trị thoả mãn
Định hướng. Giải trực tiếp bất phương trình x4<x2: nếu tập nghiệm khác rỗng thì P đúng, và ta còn biết hết mọi giá trị thoả mãn.
x4<x2⇔x4−x2<0
⇔x2(x2−1)<0
x2≥0 với mọi x, nên bất phương trình đòi x2>0 và x2−1<0.
x2>0⇔x=0
x2−1<0⇔−1<x<1
Tập nghiệm là (−1;0)∪(0;1).
Tập nghiệm khác rỗng nên P ĐÚNG, và P: "∀x∈R,x4≥x2" là mệnh đề SAI.
VậyP ĐÚNG, tập mọi giá trị thoả mãn là (−1;0)∪(0;1), còn P SAI.
Nhận xét. Cách 3 trả lời được cả câu hỏi "có những x nào" chứ không chỉ "có hay không", và cho thấy điều kiện thật sự là 0<∣x∣<1 nên nửa âm của khoảng cũng thoả mãn.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1 vì mệnh đề tồn tại chỉ cần một vật chứng, viết ba dòng là xong và hầu như không thể sai. Dùng Cách 3 khi đề hỏi thêm tập hợp tất cả các x thoả mãn.
Đáp số.P ĐÚNG, chẳng hạn x=21 cho 161<41; tập mọi giá trị thoả mãn là (−1;0)∪(0;1). Mệnh đề phủ định P: "∀x∈R,x4≥x2" là mệnh đề SAI.
Sai lầm thường gặp.Lỗi hay gặp là phủ định thành "∀x∈R,x4<x2", chỉ đổi lượng từ mà quên phủ định luôn bất đẳng thức; phủ định của x4<x2 là x4≥x2 chứ không phải x4>x2. Lỗi thứ hai là chia hai vế của x4<x2 cho x2 mà không nêu điều kiện x=0, dẫn tới nhận cả x=0 vào tập nghiệm trong khi 04=02.
🚀 Mở rộng.Tổng quát: với hai số chẵn m>n thì xm<xn khi và chỉ khi 0<∣x∣<1, nên bài này chỉ là trường hợp riêng m=4 và n=2.
Bài 8 · 1.8★★Trang 7— Phủ định mệnh đề chứa lượng từ với mọi
Phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề: "Mọi số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 10".
Kiến thức cần nhớ
Phủ định của ∀x∈X,P(x) là ∃x∈X,P(x).
Phủ định của mệnh đề P⇒Q là "P và không Q".
Số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 0 thì viết được dưới dạng 10k với k tự nhiên.
Mệnh đề A⊂B sai khi và chỉ khi tồn tại phần tử của A không thuộc B.
🧠 Phân tích tư duy
Mệnh đề mở đầu bằng chữ "Mọi" nên đây là mệnh đề chứa lượng từ với mọi, phủ định của nó bắt buộc chuyển sang lượng từ tồn tại. Việc phải cẩn thận là xác định đúng phần bị phủ định: cụm "có chữ số tận cùng bằng 0" thuộc phần mô tả phạm vi, còn "chia hết cho 10" mới là vị từ bị phủ định. Bẫy là phủ định cả hai cụm, cho ra câu nói về những số không tận cùng bằng 0, hoàn toàn khác mệnh đề cần tìm.
1Cách 1. Đổi lượng từ với mọi thành tồn tại rồi phủ định vị từ
Định hướng. Viết mệnh đề theo đúng cấu trúc lượng từ, sau đó áp quy tắc đổi "với mọi" thành "tồn tại" và phủ định phần vị từ đứng sau.
Mệnh đề đã cho: "∀n∈N, nếu n có chữ số tận cùng bằng 0 thì n chia hết cho 10".
Phủ định: "∃n∈N, n có chữ số tận cùng bằng 0 và n không chia hết cho 10".
Phát biểu bằng lời: "Tồn tại số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 0 mà không chia hết cho 10".
Số tự nhiên n có chữ số tận cùng bằng 0 thì n=10k với k tự nhiên, nên n chia hết cho 10.
Mệnh đề đã cho ĐÚNG, do đó mệnh đề phủ định SAI.
Vậy mệnh đề phủ định là "Tồn tại số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 0 mà không chia hết cho 10", và mệnh đề này SAI.
2Cách 2. Phủ định mệnh đề kéo theo nằm bên trong
Định hướng. Phần sau lượng từ là một mệnh đề kéo theo, mà phủ định của "P thì Q" là "P và không Q", nên chỉ cần ghép quy tắc đó với việc đổi lượng từ.
Đặt P(n): "n có chữ số tận cùng bằng 0" và Q(n): "n chia hết cho 10".
Mệnh đề đã cho là ∀n∈N,P(n)⇒Q(n).
Phủ định của P(n)⇒Q(n) là "P(n) và Q(n)".
Phủ định của mệnh đề đã cho là ∃n∈N sao cho P(n) đúng và Q(n) sai.
Phát biểu bằng lời: "Có ít nhất một số tự nhiên tận cùng bằng 0 nhưng không chia hết cho 10".
Không có số nào như vậy vì n=10k luôn chia hết cho 10, nên mệnh đề phủ định SAI.
Vậy mệnh đề phủ định khẳng định sự tồn tại của một phản ví dụ, và vì không có phản ví dụ nào nên nó SAI.
3Cách 3. Chuyển sang ngôn ngữ tập hợp
Định hướng. Diễn đạt mệnh đề thành quan hệ bao hàm giữa hai tập hợp, khi đó phủ định chính là phủ định quan hệ tập con.
Đặt A là tập các số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 0 và B là tập các số tự nhiên chia hết cho 10.
Mệnh đề đã cho chính là A⊂B.
Phủ định là A⊂B, tức "Tồn tại một phần tử của A không thuộc B".
Phát biểu bằng lời: "Tồn tại số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 0 mà không chia hết cho 10".
n∈A⇔n=10k với k tự nhiên ⇔n∈B, nên A=B.
Từ A=B có A⊂B nên mệnh đề đã cho ĐÚNG và mệnh đề phủ định SAI.
Vậy ba cách cho cùng một câu phủ định, và mệnh đề phủ định SAI.
Nhận xét. Ngôn ngữ tập hợp còn cho thêm thông tin mà hai cách kia không thấy: ở đây A=B nên mệnh đề đã cho đúng theo cả hai chiều, tức chữ số tận cùng bằng 0 là dấu hiệu chia hết cho 10.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1 vì đó là quy tắc phủ định lượng từ chuẩn, chỉ một dòng là ra câu trả lời. Cách 3 hay ở chỗ nó chỉ ra A=B, nhờ vậy biết mệnh đề gốc không chỉ đúng mà còn đúng theo cả hai chiều.
Đáp số.Mệnh đề phủ định: "Tồn tại số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 0 mà không chia hết cho 10". Mệnh đề đã cho ĐÚNG vì số tận cùng bằng 0 luôn viết được thành 10k, do đó mệnh đề phủ định SAI.
Sai lầm thường gặp.Sai thường gặp nhất là chỉ đổi "Mọi" thành "Tồn tại" mà giữ nguyên phần sau, cho ra "Tồn tại số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 0 chia hết cho 10" — câu này lại ĐÚNG nên không thể là phủ định. Sai thứ hai là viết "Mọi số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 0 đều không chia hết cho 10", vì phủ định của một mệnh đề "với mọi" không bao giờ còn là mệnh đề "với mọi".
🚀 Mở rộng.Đổi số 10 thành 5 thì mệnh đề "Mọi số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5" vẫn ĐÚNG, nhưng chiều ngược lại sụp vì 15 chia hết cho 5 mà tận cùng bằng 5, khi đó A chỉ là tập con thực sự của B.
Đối chiếu số hiệu bài tập theo SBT: https://vietjack.com/sbt-toan-10-kn/bai-1-menh-de.jsp · https://loigiaihay.com/bai-1-menh-de-sbt-toan-10-kntt-e26776.html
