Chương IV. Vectơ

Bài 10. Vectơ trong mặt phẳng toạ độ

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngIV #SáchBàiTập_Tập1 #trang58–59 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 4.22★★★Trang 58— Tìm đỉnh tam giác khi biết trung điểm ba cạnh

Bài 4.22 (trang 58). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

cho ba điểm

M (4; 0)

N (5; 2)

và

P (2; 3)

. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác

A B C

, biết

M

N

P

theo thứ tự là trung điểm các cạnh

B C

C A

A B

Kiến thức cần nhớ

Trung điểm $M$ của $B C$ : $x_{M} = \frac{x _{B} + x _{C}}{2}$ , $y_{M} = \frac{y _{B} + y _{C}}{2}$ .
Đường trung bình: $P N = \frac{1}{2} B C = B M = M C$ .
Tam giác $A B C$ và tam giác trung bình $M N P$ có cùng trọng tâm; $A G = 2 GM$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba trung điểm tạo thành tam giác trung bình — dấu hiệu có ba hình bình hành

A P M N

B M N P

C N P M

(mỗi cạnh tam giác trung bình song song, bằng nửa cạnh tương ứng). Vì vậy mỗi đỉnh bằng "tổng hai trung điểm kề trừ trung điểm đối diện". Cũng có thể lập hệ ba phương trình từ công thức trung điểm. Bẫy: ghép sai trung điểm với cạnh.

1Cách 1. Hình bình hành

A P M N

Định hướng. $A P = N M$ (cùng bằng $\frac{1}{2} A B$ , vì $N M$ là đường trung bình), nên $A = N + P - M$ ; tương tự cho $B$ , $C$ .

N M = (- 1; - 2)

A P = (2 - x_{A}; 3 - y_{A}) = (- 1; - 2)

\Rightarrow

A (3; 5)

B M = P N

(4 - x_{B}; 0 - y_{B}) = (3; - 1)

\Rightarrow

B (1; 1)

M C = P N

(x_{C} - 4; y_{C} - 0) = (3; - 1)

\Rightarrow

C (7; - 1)

Vậy $A (3; 5)$ , $B (1; 1)$ , $C (7; - 1)$ .

2Cách 2. Hệ phương trình trung điểm

Định hướng. Viết ba công thức trung điểm cho hoành độ (và tung độ), cộng lại để có tổng ba hoành độ.

⎩ ⎨ ⎧ x_{B} + x_{C} = 8 x_{C} + x_{A} = 10 x_{A} + x_{B} = 4

\Rightarrow

x_{A} + x_{B} + x_{C} = 11

\Rightarrow

x_{A} = 3

x_{B} = 1

x_{C} = 7

⎩ ⎨ ⎧ y_{B} + y_{C} = 0 y_{C} + y_{A} = 4 y_{A} + y_{B} = 6

\Rightarrow

y_{A} + y_{B} + y_{C} = 5

\Rightarrow

y_{A} = 5

y_{B} = 1

y_{C} = - 1

Vậy $A (3; 5)$ , $B (1; 1)$ , $C (7; - 1)$ .

3Cách 3. Trọng tâm chung

Định hướng. Tam giác $M N P$ và tam giác $A B C$ có chung trọng tâm $G$ ; trên trung tuyến $A M$ có $A G = 2 GM$ nên $A = 3 G - 2 M$ .

G (\frac{4 + 5 + 2}{3}; \frac{0 + 2 + 3}{3}) = (\frac{11}{3}; \frac{5}{3})

A = 3 G - 2 M = (11 - 8; 5 - 0) = (3; 5)

B = 3 G - 2 N = (11 - 10; 5 - 4) = (1; 1)

C = 3 G - 2 P = (11 - 4; 5 - 6) = (7; - 1)

Vậy $A (3; 5)$ , $B (1; 1)$ , $C (7; - 1)$ .

Nhận xét. Thử lại: trung điểm $B C$ là $(4; 0) = M$ , trung điểm $C A$ là $(5; 2) = N$ , trung điểm $A B$ là $(2; 3) = P$ — khớp đề.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: ba phương trình đối xứng, cộng lại là ra ngay, khó ghép nhầm cạnh.

Đáp số.

A (3; 5)

B (1; 1)

C (7; - 1)

Sai lầm thường gặp. Ghép nhầm "

M

là trung điểm

A B

" (đọc sai thứ tự "theo thứ tự") thì được một tam giác khác hẳn. Khi dùng hình bình hành hay viết

A P = M N

(ngược chiều) và ra

A (1; 1)

— phải kiểm lại bằng trung điểm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

A = N + P - M

B = P + M - N

C = M + N - P

(cộng từng toạ độ); áp dụng khi các trung điểm là

(1; 1)

(2; 3)

(0; 4)

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.23★★Trang 58— Tam giác vuông cân — dựng hình vuông theo toạ độ

Bài 4.23 (trang 58). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

cho ba điểm

A (2; - 1)

B (1; 4)

và

C (7; 0)

.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng

A B

B C

và

C A

. Từ đó suy ra tam giác

A B C

là một tam giác vuông cân.
b) Tìm toạ độ của điểm

D

sao cho tứ giác

A B D C

là một hình vuông.

Kiến thức cần nhớ

$M N = (x_{N} - x_{M})^{2} + (y_{N} - y_{M})^{2}$ .
Hình bình hành có một góc vuông và hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
$A B D C$ là hình bình hành $\Leftrightarrow$ $A B = C D$ $\Leftrightarrow$ trung điểm $A D$ trùng trung điểm $B C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a: công thức khoảng cách cho ba cạnh, hai cạnh bằng nhau và Pythagore đảo cho "vuông cân" — góc vuông ở đỉnh đối diện cạnh dài nhất

B C

, tức

A

. Ý b: tam giác vuông cân tại

A

rồi thì hình bình hành

A B D C

(hai cạnh kề

A B

A C

) tự động là hình vuông; chỉ cần

A B = C D

. Bẫy: thứ tự đỉnh

A B D C

—

A

đối diện

D

1Cách 1. Pythagore đảo và vectơ bằng nhau

Định hướng. Tính ba cạnh; rồi cho $A B = C D$ .

A B = (1 - 2)^{2} + (4 + 1)^{2} = 26

C A = (2 - 7)^{2} + (- 1 - 0)^{2} = 26

B C = (7 - 1)^{2} + (0 - 4)^{2} = 52 = 213

;

A B^{2} + A C^{2} = 52 = B C^{2}

A B = (- 1; 5)

C D = (x - 7; y)

{x - 7 = - 1 y = 5

\Leftrightarrow

{x = 6 y = 5

Vậy a) $A B = C A = 26$ , $B C = 213$ , tam giác $A B C$ vuông cân tại $A$ ; b) $D (6; 5)$ .

2Cách 2. Trung tuyến bằng nửa cạnh huyền, trung điểm hai đường chéo

Định hướng. Gọi $I$ là trung điểm $B C$ : nếu $I A = \frac{B C}{2}$ thì góc $A$ vuông; hình vuông $A B D C$ có $I$ là trung điểm $A D$ .

I (4; 2)

I A = (2 - 4)^{2} + (- 1 - 2)^{2} = 13 = \frac{2 13}{2}

\Rightarrow

B A C = 9 0^{\circ}

;

A B = A C = 26

D = 2 I - A

x_{D} = 8 - 2 = 6

y_{D} = 4 - (- 1) = 5

Vậy tam giác $A B C$ vuông cân tại $A$ ; $D (6; 5)$ .

3Cách 3. Hai tam giác vuông trên lưới và quy tắc hình bình hành

Định hướng. $A B = (- 1; 5)$ và $A C = (5; 1)$ : đổi chỗ hai toạ độ, đổi một dấu — dấu hiệu quay $9 0^{\circ}$ .

a) Hai tam giác vuông trên lưới có cạnh góc vuông

1

và

5

(cạnh huyền

A B

A C

) bằng nhau

\Rightarrow

A B = A C = 26

và

B A C = 9 0^{\circ}

A D = A B + A C = (- 1 + 5; 5 + 1) = (4; 6)

\Rightarrow

D (2 + 4; - 1 + 6) = (6; 5)

Vậy a) Tam giác vuông cân tại $A$ ; b) $D (6; 5)$ .

Nhận xét. Thử lại: $B D = 25 + 1 = 26$ , $C D = 1 + 25 = 26$ , hai đường chéo $A D = B C = 213$ — bốn cạnh bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau nên $A B D C$ là hình vuông.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho ý a (đúng yêu cầu "tính độ dài rồi suy ra") và Cách 2 cho ý b: công thức trung điểm là nhanh nhất.

Đáp số. a)

A B = C A = 26

B C = 213

; tam giác

A B C

vuông cân tại

A

. b)

D (6; 5)

Sai lầm thường gặp. Ý b viết nhầm

A B = D C

(tứ giác

A B C D

) được

D (8; - 5)

— đó là hình bình hành

A B C D

nhận

B C

làm cạnh, không phải hình vuông. Ý a kết luận "vuông tại

B

" do không để ý cạnh lớn nhất là

B C

🚀 Mở rộng. Tìm mọi điểm

E

để tam giác

A B E

vuông cân tại

B

(đáp số

E (6; 5)

trùng

D

, hoặc

E (- 4; 3)

) bằng cách quay

B A = (1; - 5)

thành

(5; 1)

hoặc

(- 5; - 1)

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.24★★★Trang 58— Điểm cách đều, đẳng thức vectơ, chứng minh thẳng hàng

Bài 4.24 (trang 58). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

cho hai điểm

M (- 2; 1)

và

N (4; 5)

.
a) Tìm toạ độ của điểm

P

thuộc

O x

sao cho

P M = P N

.
b) Tìm toạ độ của điểm

Q

sao cho

M Q = 2 P N

.
c) Tìm toạ độ của điểm

R

thoả mãn

R M + 2 R N = 0

. Từ đó suy ra

P

Q

R

thẳng hàng.

Kiến thức cần nhớ

$P \in O x$ $\Rightarrow$ $P (x; 0)$ .
$P M = P N$ $\Leftrightarrow$ $P M^{2} = P N^{2}$ .
$R M + 2 R N = 0$ $\Leftrightarrow$ $M R = \frac{2}{3} M N$ .
$P$ , $Q$ , $R$ thẳng hàng $\Leftrightarrow$ $P Q$ , $P R$ cùng phương.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.25★★Trang 59— Giao điểm với trục — điểm đối xứng qua trục toạ độ

Bài 4.25 (trang 59). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

cho hai điểm

M (- 3; 2)

và

N (2; 7)

.
a) Tìm toạ độ của điểm

P

thuộc trục tung sao cho

M

N

P

thẳng hàng.
b) Tìm toạ độ của điểm

Q

đối xứng với

N

qua

O y

.
c) Tìm toạ độ của điểm

R

đối xứng với

M

qua trục hoành.

Kiến thức cần nhớ

$P \in O y$ $\Rightarrow$ $P (0; y)$ .
$M P$ cùng phương $M N$ $\Leftrightarrow$ toạ độ tỉ lệ.
Đối xứng của $(x; y)$ qua $O y$ là $(- x; y)$ , qua $O x$ là $(x; - y)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.26★★★★Trang 59— Cực trị độ dài tổng vectơ — tập hợp điểm

Bài 4.26 (trang 59). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

cho hai điểm

C (1; 6)

và

D (11; 2)

.
a) Tìm toạ độ của điểm

E

thuộc trục tung sao cho vectơ

E C + E D

có độ dài ngắn nhất.
b) Tìm toạ độ của điểm

F

thuộc trục hoành sao cho

∣2 F C + 3 F D ∣

đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm tập hợp các điểm

M

sao cho

∣ M C + M D ∣ = C D

Kiến thức cần nhớ

$I$ trung điểm $C D$ : $E C + E D = 2 E I$ với mọi $E$ .
$2 K C + 3 K D = 0$ thì $2 F C + 3 F D = 5 F K$ với mọi $F$ .
Khoảng cách từ điểm cố định $I$ tới điểm chạy trên đường thẳng $d$ nhỏ nhất khi đó là hình chiếu của $I$ lên $d$ .
Tập hợp điểm $M$ với $M I = R$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $R$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.27★★★★Trang 59— Trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm theo toạ độ

Bài 4.27 (trang 59). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

cho ba điểm

A (1; 2)

B (3; 4)

và

C (2; - 1)

.
a) Chứng minh rằng

A

B

C

là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác đó.
b) Tìm toạ độ tâm

I

của đường tròn ngoại tiếp và trực tâm

H

của tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

$G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3})$ .
$I$ tâm đường tròn ngoại tiếp $\Leftrightarrow$ $I A = I B = I C$ .
Hệ thức Euler: $I H = I A + I B + I C = 3 I G$ .
Hai vectơ $(a; b)$ , $(c; d)$ vuông góc $\Leftrightarrow$ $a c + b d = 0$ (suy từ định lí Pythagore).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 4.28★★★Trang 59— Ứng dụng toạ độ — chia đoạn thẳng thành các phần bằng nhau

Bài 4.28 (trang 59). Để kéo đường dây điện băng qua một hồ hình chữ nhật

A B C D

với độ dài

A B = 200

A D = 180

m, người ta dự định làm

4

cột điện liên tiếp cách đều, cột thứ nhất nằm trên bờ

A B

và cách đỉnh

A

khoảng cách

20

m, cột thứ tư nằm trên bờ

C D

và cách đỉnh

C

khoảng cách

30

m. Tính các khoảng cách từ vị trí các cột thứ hai, thứ ba đến các bờ

A B

A D

Kiến thức cần nhớ

Gắn hệ trục: $A (0; 0)$ , $B (200; 0)$ , $D (0; 180)$ , $C (200; 180)$ .
Điểm $M (x; y)$ trong hình chữ nhật cách bờ $A B$ một khoảng $y$ , cách bờ $A D$ một khoảng $x$ .
Bốn điểm liên tiếp cách đều: $M_{1} M_{2} = M_{2} M_{3} = M_{3} M_{4} = \frac{1}{3} M_{1} M_{4}$ .