Chương IV. Vectơ

Bài 10. Vectơ trong mặt phẳng toạ độ

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 4.22★★★Trang 58— Tìm đỉnh tam giác khi biết trung điểm ba cạnh

Bài 4.22 (trang 58). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

cho ba điểm

M (4; 0)

N (5; 2)

và

P (2; 3)

. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác

A B C

, biết

M

N

P

theo thứ tự là trung điểm các cạnh

B C

C A

A B

Kiến thức cần nhớ

Trung điểm $M$ của $B C$ : $x_{M} = \frac{x _{B} + x _{C}}{2}$ , $y_{M} = \frac{y _{B} + y _{C}}{2}$ .
Đường trung bình: $P N = \frac{1}{2} B C = B M = M C$ .
Tam giác $A B C$ và tam giác trung bình $M N P$ có cùng trọng tâm; $A G = 2 GM$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba trung điểm tạo thành tam giác trung bình — dấu hiệu có ba hình bình hành

A P M N

B M N P

C N P M

(mỗi cạnh tam giác trung bình song song, bằng nửa cạnh tương ứng). Vì vậy mỗi đỉnh bằng "tổng hai trung điểm kề trừ trung điểm đối diện". Cũng có thể lập hệ ba phương trình từ công thức trung điểm. Bẫy: ghép sai trung điểm với cạnh.

1Cách 1. Hình bình hành

A P M N

Định hướng. $A P = N M$ (cùng bằng $\frac{1}{2} A B$ , vì $N M$ là đường trung bình), nên $A = N + P - M$ ; tương tự cho $B$ , $C$ .

N M = (- 1; - 2)

A P = (2 - x_{A}; 3 - y_{A}) = (- 1; - 2)

\Rightarrow

A (3; 5)

B M = P N

(4 - x_{B}; 0 - y_{B}) = (3; - 1)

\Rightarrow

B (1; 1)

M C = P N

(x_{C} - 4; y_{C} - 0) = (3; - 1)

\Rightarrow

C (7; - 1)

Vậy $A (3; 5)$ , $B (1; 1)$ , $C (7; - 1)$ .

2Cách 2. Hệ phương trình trung điểm

Định hướng. Viết ba công thức trung điểm cho hoành độ (và tung độ), cộng lại để có tổng ba hoành độ.

⎩ ⎨ ⎧ x_{B} + x_{C} = 8 x_{C} + x_{A} = 10 x_{A} + x_{B} = 4

\Rightarrow

x_{A} + x_{B} + x_{C} = 11

\Rightarrow

x_{A} = 3

x_{B} = 1

x_{C} = 7

⎩ ⎨ ⎧ y_{B} + y_{C} = 0 y_{C} + y_{A} = 4 y_{A} + y_{B} = 6

\Rightarrow

y_{A} + y_{B} + y_{C} = 5

\Rightarrow

y_{A} = 5

y_{B} = 1

y_{C} = - 1

Vậy $A (3; 5)$ , $B (1; 1)$ , $C (7; - 1)$ .

3Cách 3. Trọng tâm chung

Định hướng. Tam giác $M N P$ và tam giác $A B C$ có chung trọng tâm $G$ ; trên trung tuyến $A M$ có $A G = 2 GM$ nên $A = 3 G - 2 M$ .

G (\frac{4 + 5 + 2}{3}; \frac{0 + 2 + 3}{3}) = (\frac{11}{3}; \frac{5}{3})

A = 3 G - 2 M = (11 - 8; 5 - 0) = (3; 5)

B = 3 G - 2 N = (11 - 10; 5 - 4) = (1; 1)

C = 3 G - 2 P = (11 - 4; 5 - 6) = (7; - 1)

Vậy $A (3; 5)$ , $B (1; 1)$ , $C (7; - 1)$ .

Nhận xét. Thử lại: trung điểm $B C$ là $(4; 0) = M$ , trung điểm $C A$ là $(5; 2) = N$ , trung điểm $A B$ là $(2; 3) = P$ — khớp đề.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: ba phương trình đối xứng, cộng lại là ra ngay, khó ghép nhầm cạnh.

Đáp số.

A (3; 5)

B (1; 1)

C (7; - 1)

Sai lầm thường gặp. Ghép nhầm "

M

là trung điểm

A B

" (đọc sai thứ tự "theo thứ tự") thì được một tam giác khác hẳn. Khi dùng hình bình hành hay viết

A P = M N

(ngược chiều) và ra

A (1; 1)

— phải kiểm lại bằng trung điểm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

A = N + P - M

B = P + M - N

C = M + N - P

(cộng từng toạ độ); áp dụng khi các trung điểm là

(1; 1)

(2; 3)

(0; 4)

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.23★★Trang 58— Tam giác vuông cân — dựng hình vuông theo toạ độ

Bài 4.23 (trang 58). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

cho ba điểm

A (2; - 1)

B (1; 4)

và

C (7; 0)

.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng

A B

B C

và

C A

. Từ đó suy ra tam giác

A B C

là một tam giác vuông cân.
b) Tìm toạ độ của điểm

D

sao cho tứ giác

A B D C

là một hình vuông.

Kiến thức cần nhớ

$M N = (x_{N} - x_{M})^{2} + (y_{N} - y_{M})^{2}$ .
Hình bình hành có một góc vuông và hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
$A B D C$ là hình bình hành $\Leftrightarrow$ $A B = C D$ $\Leftrightarrow$ trung điểm $A D$ trùng trung điểm $B C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a: công thức khoảng cách cho ba cạnh, hai cạnh bằng nhau và Pythagore đảo cho "vuông cân" — góc vuông ở đỉnh đối diện cạnh dài nhất

B C

, tức

A

. Ý b: tam giác vuông cân tại

A

rồi thì hình bình hành

A B D C

(hai cạnh kề

A B

A C

) tự động là hình vuông; chỉ cần

A B = C D

. Bẫy: thứ tự đỉnh

A B D C

—

A

đối diện

D

1Cách 1. Pythagore đảo và vectơ bằng nhau

Định hướng. Tính ba cạnh; rồi cho $A B = C D$ .

A B = (1 - 2)^{2} + (4 + 1)^{2} = 26

C A = (2 - 7)^{2} + (- 1 - 0)^{2} = 26

B C = (7 - 1)^{2} + (0 - 4)^{2} = 52 = 213

;

A B^{2} + A C^{2} = 52 = B C^{2}

A B = (- 1; 5)

C D = (x - 7; y)

{x - 7 = - 1 y = 5

\Leftrightarrow

{x = 6 y = 5

Vậy a) $A B = C A = 26$ , $B C = 213$ , tam giác $A B C$ vuông cân tại $A$ ; b) $D (6; 5)$ .

2Cách 2. Trung tuyến bằng nửa cạnh huyền, trung điểm hai đường chéo

Định hướng. Gọi $I$ là trung điểm $B C$ : nếu $I A = \frac{B C}{2}$ thì góc $A$ vuông; hình vuông $A B D C$ có $I$ là trung điểm $A D$ .

I (4; 2)

I A = (2 - 4)^{2} + (- 1 - 2)^{2} = 13 = \frac{2 13}{2}

\Rightarrow

B A C = 9 0^{\circ}

;

A B = A C = 26

D = 2 I - A

x_{D} = 8 - 2 = 6

y_{D} = 4 - (- 1) = 5

Vậy tam giác $A B C$ vuông cân tại $A$ ; $D (6; 5)$ .

3Cách 3. Hai tam giác vuông trên lưới và quy tắc hình bình hành

Định hướng. $A B = (- 1; 5)$ và $A C = (5; 1)$ : đổi chỗ hai toạ độ, đổi một dấu — dấu hiệu quay $9 0^{\circ}$ .

a) Hai tam giác vuông trên lưới có cạnh góc vuông

1

và

5

(cạnh huyền

A B

A C

) bằng nhau

\Rightarrow

A B = A C = 26

và

B A C = 9 0^{\circ}

A D = A B + A C = (- 1 + 5; 5 + 1) = (4; 6)

\Rightarrow

D (2 + 4; - 1 + 6) = (6; 5)

Vậy a) Tam giác vuông cân tại $A$ ; b) $D (6; 5)$ .

Nhận xét. Thử lại: $B D = 25 + 1 = 26$ , $C D = 1 + 25 = 26$ , hai đường chéo $A D = B C = 213$ — bốn cạnh bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau nên $A B D C$ là hình vuông.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho ý a (đúng yêu cầu "tính độ dài rồi suy ra") và Cách 2 cho ý b: công thức trung điểm là nhanh nhất.

Đáp số. a)

A B = C A = 26

B C = 213

; tam giác

A B C

vuông cân tại

A

. b)

D (6; 5)

Sai lầm thường gặp. Ý b viết nhầm

A B = D C

(tứ giác

A B C D

) được

D (8; - 5)

— đó là hình bình hành

A B C D

nhận

B C

làm cạnh, không phải hình vuông. Ý a kết luận "vuông tại

B

" do không để ý cạnh lớn nhất là

B C

🚀 Mở rộng. Tìm mọi điểm

E

để tam giác

A B E

vuông cân tại

B

(đáp số

E (6; 5)

trùng

D

, hoặc

E (- 4; 3)

) bằng cách quay

B A = (1; - 5)

thành

(5; 1)

hoặc

(- 5; - 1)

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.24★★★Trang 58— Điểm cách đều, đẳng thức vectơ, chứng minh thẳng hàng

Bài 4.24 (trang 58). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

cho hai điểm

M (- 2; 1)

và

N (4; 5)

.
a) Tìm toạ độ của điểm

P

thuộc

O x

sao cho

P M = P N

.
b) Tìm toạ độ của điểm

Q

sao cho

M Q = 2 P N

.
c) Tìm toạ độ của điểm

R

thoả mãn

R M + 2 R N = 0

. Từ đó suy ra

P

Q

R

thẳng hàng.

Kiến thức cần nhớ

$P \in O x$ $\Rightarrow$ $P (x; 0)$ .
$P M = P N$ $\Leftrightarrow$ $P M^{2} = P N^{2}$ .
$R M + 2 R N = 0$ $\Leftrightarrow$ $M R = \frac{2}{3} M N$ .
$P$ , $Q$ , $R$ thẳng hàng $\Leftrightarrow$ $P Q$ , $P R$ cùng phương.

🧠 Phân tích tư duy

Điểm trên

O x

có dạng

(x; 0)

— một ẩn, điều kiện

P M = P N

bình phương lên thành phương trình bậc nhất. Ý b, c là các đẳng thức vectơ: đặt toạ độ ẩn rồi so từng thành phần. Thẳng hàng quy về

P Q

P R

cùng phương. Bẫy: ở ý c,

R

nằm trên đoạn

M N

, gần

N

hơn, chứ không phải trung điểm.

1Cách 1. Đặt ẩn toạ độ

Định hướng. Mỗi ý đặt toạ độ điểm cần tìm, biến điều kiện thành phương trình.

P (x; 0)

(x + 2)^{2} + 1 = (x - 4)^{2} + 25

\Leftrightarrow

4 x + 5 = - 8 x + 41

\Leftrightarrow

x = 3

\Rightarrow

P (3; 0)

P N = (1; 5)

M Q = (x + 2; y - 1) = (2; 10)

\Rightarrow

Q (0; 11)

R M + 2 R N = (- 2 - x + 8 - 2 x; 1 - y + 10 - 2 y) = (6 - 3 x; 11 - 3 y) = 0

\Rightarrow

R (2; \frac{11}{3})

P Q = (- 3; 11)

P R = (- 1; \frac{11}{3}) = \frac{1}{3} P Q

\Rightarrow

P

Q

R

thẳng hàng

Vậy a) $P (3; 0)$ ; b) $Q (0; 11)$ ; c) $R (2; \frac{11}{3})$ và $P R = \frac{1}{3} P Q$ nên $P$ , $Q$ , $R$ thẳng hàng.

2Cách 2. Trung trực và điểm chia đoạn thẳng

Định hướng. $P$ nằm trên trung trực của $M N$ ; $R$ chia đoạn $M N$ theo tỉ số $M R : R N = 2 : 1$ .

a) Trung điểm

I (1; 3)

M N = (6; 4)

;

n = (2; - 3)

vuông góc

(3; 2)

(hai tam giác vuông trên lưới bằng nhau)
Trung trực:

(1 + 2 t; 3 - 3 t)

;

3 - 3 t = 0

\Leftrightarrow

t = 1

\Rightarrow

P (3; 0)

Q = M + 2 P N = (- 2 + 2; 1 + 10) = (0; 11)

M R = \frac{2}{3} M N = (4; \frac{8}{3})

\Rightarrow

R (2; \frac{11}{3})

;

QR = (2; - \frac{22}{3}) = - \frac{2}{3} P Q

Vậy $P (3; 0)$ , $Q (0; 11)$ , $R (2; \frac{11}{3})$ ; $QR$ cùng phương $P Q$ nên $P$ , $Q$ , $R$ thẳng hàng.

3Cách 3. Chứng minh thẳng hàng bằng vectơ, không cần toạ độ

R

Định hướng. Biểu thị $P R$ và $P Q$ theo $P M$ , $P N$ .

R M + 2 R N = 0

\Rightarrow

P R = \frac{P M + 2 P N}{3}

P Q = P M + M Q = P M + 2 P N

\Rightarrow

P Q = 3 P R

\Rightarrow

P

Q

R

thẳng hàng

Vậy $P$ , $Q$ , $R$ thẳng hàng (và $R$ nằm giữa $P$ , $Q$ với $P Q = 3 P R$ ).

Nhận xét. Cách 3 cho thấy kết luận thẳng hàng đúng với MỌI điểm $P$ (không cần $P \in O x$ hay $P M = P N$ ): chỉ nhờ hai đẳng thức $M Q = 2 P N$ và $R M + 2 R N = 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 để tìm toạ độ và Cách 3 để chứng minh thẳng hàng: ba dòng vectơ, không tính toán.

Đáp số. a)

P (3; 0)

. b)

Q (0; 11)

. c)

R (2; \frac{11}{3})

;

P Q = 3 P R

nên

P

Q

R

thẳng hàng.

Sai lầm thường gặp. Ở ý a khai triển sai

(x - 4)^{2} = x^{2} - 16

hoặc quên cộng

1

25

. Ở ý c hay hiểu nhầm

R

là trung điểm

M N

, hoặc viết

R M + 2 R N = (x - 2 + 2 x - 8; \dots)

— lấy nhầm "đầu trừ cuối".

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với

R M + k R N = 0

(

k \neq = - 1

) thì

R = \frac{M + k N}{1 + k}

(cộng từng toạ độ); thử với

k = 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.25★★Trang 59— Giao điểm với trục — điểm đối xứng qua trục toạ độ

Bài 4.25 (trang 59). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

cho hai điểm

M (- 3; 2)

và

N (2; 7)

.
a) Tìm toạ độ của điểm

P

thuộc trục tung sao cho

M

N

P

thẳng hàng.
b) Tìm toạ độ của điểm

Q

đối xứng với

N

qua

O y

.
c) Tìm toạ độ của điểm

R

đối xứng với

M

qua trục hoành.

Kiến thức cần nhớ

$P \in O y$ $\Rightarrow$ $P (0; y)$ .
$M P$ cùng phương $M N$ $\Leftrightarrow$ toạ độ tỉ lệ.
Đối xứng của $(x; y)$ qua $O y$ là $(- x; y)$ , qua $O x$ là $(x; - y)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điểm trên trục tung có dạng

(0; y)

— thẳng hàng quy về

M P

cùng phương

M N

, cho một phương trình. Đối xứng qua trục: trục là trung trực của đoạn nối hai điểm, nên trung điểm nằm trên trục và vectơ nối vuông góc với trục. Bẫy: đối xứng qua

O y

đổi dấu HOÀNH độ, qua

O x

đổi dấu TUNG độ.

1Cách 1. Vectơ cùng phương và định nghĩa đối xứng

Định hướng. Ý a so tỉ số toạ độ; ý b, c dùng trung điểm nằm trên trục và cùng tung độ (hoành độ).

M N = (5; 5)

M P = (3; y - 2)

\frac{3}{5} = \frac{y - 2}{5}

\Leftrightarrow

y = 5

\Rightarrow

P (0; 5)

N Q ⊥ O y

\Rightarrow

y_{Q} = 7

; trung điểm

N Q

thuộc

O y

\Rightarrow

\frac{2 + x _{Q}}{2} = 0

\Rightarrow

Q (- 2; 7)

M R ⊥ O x

\Rightarrow

x_{R} = - 3

; trung điểm

M R

thuộc

O x

\Rightarrow

\frac{2 + y _{R}}{2} = 0

\Rightarrow

R (- 3; - 2)

Vậy a) $P (0; 5)$ ; b) $Q (- 2; 7)$ ; c) $R (- 3; - 2)$ .

2Cách 2. Điểm chia đoạn thẳng

Định hướng. Từ $M$ tới $N$ hoành độ tăng từ $- 3$ lên $2$ ; trục tung ứng với hoành độ $0$ , tức đã đi $\frac{3}{5}$ quãng.

M P = t M N

0 - (- 3) = 5 t

\Rightarrow

t = \frac{3}{5}

y_{P} = 2 + \frac{3}{5} \cdot 5 = 5

\Rightarrow

P (0; 5)

b), c)

N Q = - 2 x_{N} i = (- 4; 0)

\Rightarrow

Q (- 2; 7)

;

M R = - 2 y_{M} j = (0; - 4)

\Rightarrow

R (- 3; - 2)

Vậy $P (0; 5)$ , $Q (- 2; 7)$ , $R (- 3; - 2)$ .

3Cách 3. Nhìn đường thẳng

M N

Định hướng. $M N = (5; 5)$ : hoành độ và tung độ tăng như nhau, nên mọi điểm trên $M N$ có tung độ hơn hoành độ đúng $2 - (- 3) = 5$ .

y - x = 5

trên đường thẳng

M N

;

P

x = 0

\Rightarrow

y = 5

\Rightarrow

P (0; 5)

b) Gióng

N

vuông góc với

O y

, lấy điểm đối xứng:

Q (- 2; 7)

c) Gióng

M

vuông góc với

O x

, lấy điểm đối xứng:

R (- 3; - 2)

Vậy $P (0; 5)$ , $Q (- 2; 7)$ , $R (- 3; - 2)$ .

Nhận xét. Thử lại ý a: $M P = (3; 3) = \frac{3}{5} M N$ , và $P$ nằm giữa $M$ , $N$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ý a một phương trình tỉ lệ, ý b và c nhớ quy tắc đổi dấu là viết ngay.

Đáp số. a)

P (0; 5)

. b)

Q (- 2; 7)

. c)

R (- 3; - 2)

Sai lầm thường gặp. Nhầm quy tắc: đối xứng qua

O y

lại đổi dấu tung độ, ra

Q (2; - 7)

(đó là đối xứng qua

O x

). Ý a hay lấy

P (x; 0)

vì nhầm "trục tung" với "trục hoành".

🚀 Mở rộng. Tìm điểm

K

trên trục hoành để

M

N

K

thẳng hàng (đáp số

K (- 5; 0)

) và điểm đối xứng của

M

qua gốc

O

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.26★★★★Trang 59— Cực trị độ dài tổng vectơ — tập hợp điểm

Bài 4.26 (trang 59). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

cho hai điểm

C (1; 6)

và

D (11; 2)

.
a) Tìm toạ độ của điểm

E

thuộc trục tung sao cho vectơ

E C + E D

có độ dài ngắn nhất.
b) Tìm toạ độ của điểm

F

thuộc trục hoành sao cho

∣2 F C + 3 F D ∣

đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm tập hợp các điểm

M

sao cho

∣ M C + M D ∣ = C D

Kiến thức cần nhớ

$I$ trung điểm $C D$ : $E C + E D = 2 E I$ với mọi $E$ .
$2 K C + 3 K D = 0$ thì $2 F C + 3 F D = 5 F K$ với mọi $F$ .
Khoảng cách từ điểm cố định $I$ tới điểm chạy trên đường thẳng $d$ nhỏ nhất khi đó là hình chiếu của $I$ lên $d$ .
Tập hợp điểm $M$ với $M I = R$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tổng vectơ xuất phát từ một điểm chạy thì "gom" thành một vectơ:

E C + E D = 2 E I

(

I

trung điểm

C D

2 F C + 3 F D = 5 F K

(

K

là điểm cố định thoả

2 K C + 3 K D = 0

). Khi đó bài toán thành "khoảng cách từ điểm cố định tới điểm chạy trên trục ngắn nhất" — lấy hình chiếu vuông góc. Ý c cũng gom thành

2 M I = C D

: đường tròn.

1Cách 1. Gom tổng vectơ về một vectơ

Định hướng. Đưa về khoảng cách từ $I$ (hoặc $K$ ) tới điểm chạy trên trục.

I (6; 4)

∣ E C + E D ∣ = 2 E I

nhỏ nhất

\Leftrightarrow

E

là hình chiếu của

I

trên

O y

\Rightarrow

E (0; 4)

K = \frac{2 C + 3 D}{5} = (\frac{2 + 33}{5}; \frac{12 + 6}{5}) = (7; \frac{18}{5})

;

∣2 F C + 3 F D ∣ = 5 F K

nhỏ nhất

\Leftrightarrow

F (7; 0)

∣ M C + M D ∣ = 2 M I = C D = 100 + 16 = 229

\Leftrightarrow

M I = 29

Vậy a) $E (0; 4)$ ; b) $F (7; 0)$ ; c) tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm $I (6; 4)$ , bán kính $29$ (đường tròn đường kính $C D$ ).

2Cách 2. Toạ độ và hằng đẳng thức

Định hướng. Đặt $E (0; y)$ , $F (x; 0)$ , $M (x; y)$ ; tính trực tiếp độ dài theo ẩn.

E C + E D = (1 + 11; 6 - y + 2 - y) = (12; 8 - 2 y)

∣ E C + E D ∣^{2} = 144 + (8 - 2 y)^{2} \geq 144

, dấu bằng khi

y = 4

2 F C + 3 F D = (2 - 2 x + 33 - 3 x; 12 + 6) = (35 - 5 x; 18)

∣ \dots ∣^{2} = (35 - 5 x)^{2} + 324 \geq 324

, dấu bằng khi

x = 7

M C + M D = (12 - 2 x; 8 - 2 y)

(12 - 2 x)^{2} + (8 - 2 y)^{2} = 116

\Leftrightarrow

(x - 6)^{2} + (y - 4)^{2} = 29

Vậy $E (0; 4)$ (giá trị nhỏ nhất $12$ ), $F (7; 0)$ (giá trị nhỏ nhất $18$ ); tập hợp $M$ là đường tròn tâm $I (6; 4)$ bán kính $29$ .

3Cách 3. Hình học thuần tuý cho ý a và ý c

Định hướng. Ý a: $2 E I \geq 2 d (I, O y)$ . Ý c: $2 M I = C D$ nghĩa là trung tuyến $M I$ bằng nửa cạnh $C D$ .

2 E I \geq 2 d (I, O y) = 2 \cdot 6 = 12

, dấu bằng khi

E

là chân đường vuông góc từ

I

E (0; 4)

M I = \frac{C D}{2}

\Leftrightarrow

C M D = 9 0^{\circ}

(khi

M \neq = C, D

)

\Leftrightarrow

M

thuộc đường tròn đường kính

C D

Vậy a) $E (0; 4)$ ; c) tập hợp $M$ là đường tròn đường kính $C D$ , tâm $I (6; 4)$ , bán kính $29$ .

Nhận xét. Cách 2 cho luôn giá trị nhỏ nhất: $min ∣ E C + E D ∣ = 12$ , $min ∣2 F C + 3 F D ∣ = 18$ — đúng bằng $2$ lần và $5$ lần khoảng cách từ $I$ , $K$ tới trục tương ứng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: kĩ thuật "gom vectơ về một điểm cố định" dùng lại được cho mọi bài cực trị

∣ α M A + β M B ∣

Đáp số. a)

E (0; 4)

. b)

F (7; 0)

. c) Đường tròn tâm

I (6; 4)

, bán kính

29

Sai lầm thường gặp. Tìm

E

để

E C + E D

(tổng hai độ dài) nhỏ nhất — là bài khác hẳn (cần phép đối xứng), không phải

∣ E C + E D ∣

. Ở ý b hay lấy

K

là trung điểm

C D

, bỏ qua hệ số

2

và

3

. Ở ý c nhầm bán kính thành

C D = 229

🚀 Mở rộng. Thay ý b bằng

∣ F C - 3 F D ∣

: khi đó

K

thoả

K C - 3 K D = 0

K = \frac{3 D - C}{2} = (16; 0)

và

F

trùng

K

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.27★★★★Trang 59— Trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm theo toạ độ

Bài 4.27 (trang 59). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

cho ba điểm

A (1; 2)

B (3; 4)

và

C (2; - 1)

.
a) Chứng minh rằng

A

B

C

là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác đó.
b) Tìm toạ độ tâm

I

của đường tròn ngoại tiếp và trực tâm

H

của tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

$G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3})$ .
$I$ tâm đường tròn ngoại tiếp $\Leftrightarrow$ $I A = I B = I C$ .
Hệ thức Euler: $I H = I A + I B + I C = 3 I G$ .
Hai vectơ $(a; b)$ , $(c; d)$ vuông góc $\Leftrightarrow$ $a c + b d = 0$ (suy từ định lí Pythagore).

🧠 Phân tích tư duy

Ý a là bài quen:

A B

A C

không cùng phương, rồi công thức trọng tâm. Ý b: tâm ngoại tiếp cách đều ba đỉnh —

I A = I B = I C

bình phương lên thành hệ bậc nhất. Có

I

G

rồi thì trực tâm tìm nhanh nhờ đường thẳng Euler

I H = 3 I G

(tức

I H = I A + I B + I C

). Bẫy: hệ hai phương trình dễ sai dấu khi khai triển.

1Cách 1. Cách đều ba đỉnh và đường thẳng Euler

Định hướng. Giải $I A^{2} = I B^{2}$ , $I A^{2} = I C^{2}$ ; rồi $H = A + B + C - 2 I$ (cộng từng toạ độ).

A B = (2; 2)

A C = (1; - 3)

\frac{1}{2} \neq = \frac{- 3}{2}

\Rightarrow

không cùng phương;

G (2; \frac{5}{3})

I (x; y)

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2}

\Leftrightarrow

x + y = 5

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2}

\Leftrightarrow

x - 3 y = 0

{x + y = 5 x - 3 y = 0

\Leftrightarrow

⎩ ⎨ ⎧ x = \frac{15}{4} y = \frac{5}{4}

I H = 3 I G = 3 (2 - \frac{15}{4}; \frac{5}{3} - \frac{5}{4}) = (- \frac{21}{4}; \frac{5}{4})

\Rightarrow

H (- \frac{3}{2}; \frac{5}{2})

Vậy $A$ , $B$ , $C$ là ba đỉnh một tam giác; $G (2; \frac{5}{3})$ , $I (\frac{15}{4}; \frac{5}{4})$ , $H (- \frac{3}{2}; \frac{5}{2})$ .

2Cách 2. Điều kiện vuông góc cho trực tâm

Định hướng. $H$ là giao của hai đường cao: $A H ⊥ B C$ , $B H ⊥ A C$ .

B C = (- 1; - 5)

A C = (1; - 3)

H (x; y)

A H ⊥ B C

- (x - 1) - 5 (y - 2) = 0

\Leftrightarrow

x + 5 y = 11

B H ⊥ A C

(x - 3) - 3 (y - 4) = 0

\Leftrightarrow

x - 3 y = - 9

\Rightarrow

8 y = 20

y = \frac{5}{2}

x = - \frac{3}{2}

; kiểm:

I H = (- \frac{21}{4}; \frac{5}{4}) = 3 I G

Vậy $H (- \frac{3}{2}; \frac{5}{2})$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Tâm ngoại tiếp từ hai trung trực

Định hướng. $I$ nằm trên trung trực của $A B$ và của $A C$ : đi từ trung điểm theo hướng vuông góc với cạnh.

Trung điểm

A B

(2; 3)

, hướng vuông góc với

(2; 2)

là

(1; - 1)

\Rightarrow

trung trực:

(2 + t; 3 - t)

Trung điểm

A C

(\frac{3}{2}; \frac{1}{2})

, hướng vuông góc với

(1; - 3)

là

(3; 1)

\Rightarrow

trung trực:

(\frac{3}{2} + 3 s; \frac{1}{2} + s)

2 + t = \frac{3}{2} + 3 s

3 - t = \frac{1}{2} + s

\Rightarrow

4 s = 3

s = \frac{3}{4}

\Rightarrow

I (\frac{15}{4}; \frac{5}{4})

H = A + B + C - 2 I = (6 - \frac{15}{2}; 5 - \frac{5}{2}) = (- \frac{3}{2}; \frac{5}{2})

Vậy $I (\frac{15}{4}; \frac{5}{4})$ , $H (- \frac{3}{2}; \frac{5}{2})$ .

Nhận xét. Ba điểm $I$ , $G$ , $H$ thẳng hàng với $I H = 3 I G$ — đường thẳng Euler; trên hình, $G$ nằm giữa $I$ và $H$ , gần $I$ hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hệ cách đều cho

I

gọn (các số hạng bình phương triệt tiêu), rồi hệ thức Euler cho

H

trong một dòng; Cách 2 dùng để kiểm lại.

Đáp số. a)

A B

A C

không cùng phương nên

A

B

C

là ba đỉnh một tam giác;

G (2; \frac{5}{3})

. b)

I (\frac{15}{4}; \frac{5}{4})

H (- \frac{3}{2}; \frac{5}{2})

Sai lầm thường gặp. Áp nhầm hệ thức Euler thành

H I = 3 H G

hoặc

H = A + B + C - I

sẽ ra

H (\frac{9}{4}; \frac{15}{4})

— sai; kiểm bằng Cách 2 thấy

A H

không vuông góc với

B C

. Một số tài liệu ghi

H (- \frac{1}{2}; \frac{3}{2})

: thử lại

A H = (- \frac{3}{2}; - \frac{1}{2})

B C = (- 1; - 5)

cho

\frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 4 \neq = 0

nên điểm đó không phải trực tâm.

🚀 Mở rộng. Tìm toạ độ tâm đường tròn Euler (đi qua trung điểm ba cạnh), biết nó là trung điểm của

I H

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 4.28★★★Trang 59— Ứng dụng toạ độ — chia đoạn thẳng thành các phần bằng nhau

Bài 4.28 (trang 59). Để kéo đường dây điện băng qua một hồ hình chữ nhật

A B C D

với độ dài

A B = 200

A D = 180

m, người ta dự định làm

4

cột điện liên tiếp cách đều, cột thứ nhất nằm trên bờ

A B

và cách đỉnh

A

khoảng cách

20

m, cột thứ tư nằm trên bờ

C D

và cách đỉnh

C

khoảng cách

30

m. Tính các khoảng cách từ vị trí các cột thứ hai, thứ ba đến các bờ

A B

A D

Kiến thức cần nhớ

Gắn hệ trục: $A (0; 0)$ , $B (200; 0)$ , $D (0; 180)$ , $C (200; 180)$ .
Điểm $M (x; y)$ trong hình chữ nhật cách bờ $A B$ một khoảng $y$ , cách bờ $A D$ một khoảng $x$ .
Bốn điểm liên tiếp cách đều: $M_{1} M_{2} = M_{2} M_{3} = M_{3} M_{4} = \frac{1}{3} M_{1} M_{4}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai bờ

A B

A D

vuông góc tại

A

— gắn hệ trục gốc

A

thì khoảng cách tới

A B

là tung độ, tới

A D

là hoành độ. Bốn cột thẳng hàng, cách đều nên chia đoạn nối cột

1

và cột

4

thành ba phần bằng nhau:

M_{1} M_{2} = \frac{1}{3} M_{1} M_{4}

. Bẫy: cột

4

cách

C

là

30

m nên cách

D

là

170

1Cách 1. Toạ độ và vectơ chia ba

Định hướng. Đặt $M_{1}$ , $M_{2}$ , $M_{3}$ , $M_{4}$ là vị trí bốn cột trong hệ trục gốc $A$ (đơn vị mét).

M_{1} (20; 0)

M_{4} (200 - 30; 180) = (170; 180)

M_{1} M_{4} = (150; 180)

M_{1} M_{2} = \frac{1}{3} M_{1} M_{4} = (50; 60)

\Rightarrow

M_{2} (70; 60)

M_{1} M_{3} = \frac{2}{3} M_{1} M_{4} = (100; 120)

\Rightarrow

M_{3} (120; 120)

Vậy cột thứ hai cách bờ $A B$ $60$ m, cách bờ $A D$ $70$ m; cột thứ ba cách bờ $A B$ $120$ m, cách bờ $A D$ $120$ m.

2Cách 2. Định lí Thalès trên hai phương

Định hướng. Chiếu bốn cột lên $A B$ và lên $A D$ : các hình chiếu cũng cách đều.

Trên

A D

(khoảng cách tới

A B

0

;

\frac{180}{3} = 60

;

120

;

180

Trên

A B

(khoảng cách tới

A D

): từ

20

tới

170

, mỗi bước

\frac{170 - 20}{3} = 50

20

;

70

;

120

;

170

Vậy cột $2$ : cách $A B$ $60$ m, cách $A D$ $70$ m; cột $3$ : cách $A B$ $120$ m, cách $A D$ $120$ m.

3Cách 3. Hai trung điểm lồng nhau

Định hướng. Cột $2$ là trung điểm của cột $1$ và cột $3$ ; cột $3$ là trung điểm của cột $2$ và cột $4$ .

{2 x_{2} = 20 + x_{3} 2 x_{3} = x_{2} + 170

\Rightarrow

4 x_{2} = 40 + x_{2} + 170

\Rightarrow

x_{2} = 70

x_{3} = 120

{2 y_{2} = 0 + y_{3} 2 y_{3} = y_{2} + 180

\Rightarrow

4 y_{2} = y_{2} + 180

\Rightarrow

y_{2} = 60

y_{3} = 120

Vậy $M_{2} (70; 60)$ , $M_{3} (120; 120)$ .

Nhận xét. Mỗi khoảng giữa hai cột liên tiếp dài $5 0^{2} + 6 0^{2} = 1061 \approx 78, 1$ m.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: không cần viết vectơ, chỉ chia đều trên từng phương — nhanh và ít sai.

Đáp số. Cột thứ hai cách bờ

A B

60

m, cách bờ

A D

70

m; cột thứ ba cách bờ

A B

120

m, cách bờ

A D

120

Sai lầm thường gặp. Đặt cột

4

ở

(30; 180)

(hiểu nhầm "cách

C

" thành "cách

D

") làm sai cả bài. Một lỗi khác là đổi chỗ hai khoảng cách: khoảng cách tới

A B

là tung độ (

60

m), tới

A D

mới là hoành độ (

70

m).

🚀 Mở rộng. Nếu làm

5

cột cách đều với cùng hai đầu mút, hãy tìm vị trí ba cột ở giữa (mỗi bước

(\frac{150}{4}; 45)

Mở bài này trong app ↗