Chương IV. Vectơ

Bài 10. Vectơ trong mặt phẳng toạ độ

SGK Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 13 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 60— Biểu thị vectơ trên trục số theo vectơ đơn vị

HĐ1 (trang 60). Trên trục số

O x

, gọi

A

là điểm biểu diễn số

1

và đặt

O A = i

(H.4.32a). Gọi

M

là điểm biểu diễn số

4

N

là điểm biểu diễn số

- \frac{3}{2}

. Hãy biểu thị mỗi vectơ

O M

O N

theo vectơ

i

Kiến thức cần nhớ

$i$ cùng hướng chiều dương của trục, $∣ i ∣ = 1$ .
Với $k > 0$ : $k i$ cùng hướng $i$ ; với $k < 0$ : $k i$ ngược hướng $i$ ; $∣ k i ∣ = ∣ k ∣$ .
Điểm biểu diễn số $x_{0}$ cách $O$ một khoảng $∣ x_{0} ∣$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mọi vectơ gốc

O

nằm trên trục đều cùng phương với

i

, nên chắc chắn viết được dạng

k i

— chỉ còn tìm

k

. Độ dài cho

∣ k ∣

, còn vị trí bên phải hay bên trái

O

cho dấu của

k

. Bẫy:

N

nằm bên trái

O

nên hệ số phải âm.

1Cách 1. So hướng và độ dài

Định hướng. Đọc hướng (bên phải hay bên trái $O$ ) và độ dài trên trục, rồi chọn hệ số có dấu tương ứng.

O M = 4

M

bên phải

O

\Rightarrow

O M

cùng hướng

i

∣ O M ∣ = 4 = 4∣ i ∣

\Rightarrow

O M = 4 i

O N = \frac{3}{2}

N

bên trái

O

\Rightarrow

O N

ngược hướng

i

∣ O N ∣ = \frac{3}{2} ∣ i ∣

\Rightarrow

O N = - \frac{3}{2} i

Vậy $O M = 4 i$ , $O N = - \frac{3}{2} i$ .

2Cách 2. Cộng liên tiếp vectơ đơn vị

Định hướng. Đi từ $O$ tới $M$ bằng các bước dài $1$ theo $i$ ; đi tới $N$ bằng các bước ngược $i$ .

O M = i + i + i + i = 4 i

O N = (- i) + (- \frac{1}{2} i) = - \frac{3}{2} i

Vậy $O M = 4 i$ , $O N = - \frac{3}{2} i$ .

3Cách 3. Toạ độ trên trục

Định hướng. Trên trục, điểm $P$ biểu diễn số $p$ thì $O P$ có toạ độ $p - 0 = p$ , tức $O P = p i$ .

O M

4 - 0 = 4

\Rightarrow

O M = 4 i

O N

- \frac{3}{2} - 0 = - \frac{3}{2}

\Rightarrow

O N = - \frac{3}{2} i

Vậy $O M = 4 i$ , $O N = - \frac{3}{2} i$ .

Nhận xét. Đây chính là định nghĩa trục toạ độ ngay sau HĐ1: điểm $M$ biểu diễn số $x_{0}$ khi $O M = x_{0} i$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: số biểu diễn điểm chính là hệ số của

i

, không cần so hướng.

Đáp số.

O M = 4 i

;

O N = - \frac{3}{2} i

Sai lầm thường gặp. Viết

O N = \frac{3}{2} i

vì "độ dài bằng

\frac{3}{2}

" — sai hướng:

\frac{3}{2} i

chỉ sang phải, còn

N

nằm bên trái

O

. Hệ số phải mang dấu âm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

P

Q

biểu diễn các số

p

q

thì

P Q = (q - p) i

— thử với

N M

ta được

\frac{11}{2} i

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ2★★Trang 61— Phân tích vectơ theo hai vectơ đơn vị

i

j

HĐ2 (trang 61). Trong Hình 4.33 (hệ trục

O x y

với

i

j

là các vectơ đơn vị trên hai trục; điểm

M

có hình chiếu trên hai trục ứng với

3

và

5

, điểm

N

có hình chiếu trên hai trục ứng với

- 2

và

\frac{5}{2}

):
a) Hãy biểu thị mỗi vectơ

O M

O N

theo các vectơ

i

j

.
b) Hãy biểu thị vectơ

M N

theo các vectơ

O M

O N

, từ đó biểu thị vectơ

M N

theo các vectơ

i

j

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc hình bình hành: $O P M Q$ là hình bình hành thì $O M = O P + O Q$ .
Quy tắc hiệu: $M N = O N - O M$ với mọi điểm $O$ .
Trên trục $O x$ : $O P = x_{P} i$ ; trên trục $O y$ : $O Q = y_{Q} j$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi điểm có hai đường gióng xuống hai trục — dấu hiệu dùng quy tắc hình bình hành (ở đây là hình chữ nhật) để tách

O M

thành một vectơ trên

O x

cộng một vectơ trên

O y

. Vectơ trên trục thì biểu thị theo

i

hoặc

j

như HĐ1. Ý b là quy tắc hiệu:

M N = O N - O M

, cẩn thận thứ tự trừ.

1Cách 1. Quy tắc hình bình hành rồi quy tắc hiệu

Định hướng. Gọi $P$ , $Q$ là hình chiếu của $M$ ; $P^{'}$ , $Q^{'}$ là hình chiếu của $N$ trên $O x$ , $O y$ .

P (3; 0)

Q (0; 5)

O M = O P + O Q = 3 i + 5 j

P^{'} (- 2; 0)

Q^{'} (0; \frac{5}{2})

O N = O P^{'} + O Q^{'} = - 2 i + \frac{5}{2} j

M N = O N - O M = (- 2 i + \frac{5}{2} j) - (3 i + 5 j) = - 5 i - \frac{5}{2} j

Vậy a) $O M = 3 i + 5 j$ , $O N = - 2 i + \frac{5}{2} j$ ; b) $M N = O N - O M = - 5 i - \frac{5}{2} j$ .

2Cách 2. Quy tắc ba điểm đi theo đường gióng

Định hướng. Đi từ $O$ dọc trục hoành tới chân đường gióng, rồi đi thẳng đứng lên điểm cần tới.

O M = O P + P M

P M = O Q = 5 j

\Rightarrow

O M = 3 i + 5 j

O N = O P^{'} + P^{'} N

P^{'} N = \frac{5}{2} j

\Rightarrow

O N = - 2 i + \frac{5}{2} j

M N = M O + O N = - O M + O N = - 3 i - 5 j - 2 i + \frac{5}{2} j = - 5 i - \frac{5}{2} j

Vậy $M N = O N - O M = - 5 i - \frac{5}{2} j$ .

3Cách 3. Đọc thẳng dịch chuyển từ

M

tới

N

Định hướng. Từ $M$ tới $N$ : hoành độ đổi từ $3$ thành $- 2$ , tung độ đổi từ $5$ thành $\frac{5}{2}$ .

Dịch ngang:

- 2 - 3 = - 5

\Rightarrow

thành phần

- 5 i

Dịch dọc:

\frac{5}{2} - 5 = - \frac{5}{2}

\Rightarrow

thành phần

- \frac{5}{2} j

M N = - 5 i - \frac{5}{2} j

Vậy $M N = - 5 i - \frac{5}{2} j$ , khớp với $O N - O M$ .

Nhận xét. Cách 3 là "tiền đề" của công thức $M N = (x^{'} - x; y^{'} - y)$ sẽ học ở HĐ5.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy tắc hình bình hành và quy tắc hiệu là hai công cụ gốc, viết ra ngay đúng hệ số.

Đáp số. a)

O M = 3 i + 5 j

;

O N = - 2 i + \frac{5}{2} j

. b)

M N = O N - O M = - 5 i - \frac{5}{2} j

Sai lầm thường gặp. Viết

M N = O M - O N

(trừ ngược thứ tự) sẽ ra

5 i + \frac{5}{2} j

— sai hướng. Nhớ: vectơ

M N

= (điểm cuối) trừ (điểm đầu), tức

O N - O M

🚀 Mở rộng. Với hai điểm bất kì

M

N

có hình chiếu tương ứng

x

y

và

x^{'}

y^{'}

, chứng minh

M N = (x^{'} - x) i + (y^{'} - y) j

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★Trang 61— Toạ độ của vectơ-không

Luyện tập 1 (trang 61). Tìm toạ độ của

0

Kiến thức cần nhớ

$u = (x_{0}; y_{0})$ $\Leftrightarrow$ $u = x_{0} i + y_{0} j$ (cặp số duy nhất).
$0 a = 0$ với mọi vectơ $a$ .
$O M$ có toạ độ bằng toạ độ điểm $M$ .

🧠 Phân tích tư duy

Toạ độ của

u

là cặp số

(x_{0}; y_{0})

duy nhất để

u = x_{0} i + y_{0} j

— chỉ cần viết

0

dưới dạng đó. Có thể đi đường khác:

0 = O O

nên toạ độ trùng với toạ độ gốc

O

1Cách 1. Theo định nghĩa

Định hướng. Viết $0$ thành tổ hợp của $i$ , $j$ .

0 = 0 i + 0 j

\Rightarrow

0 = (0; 0)

Vậy $0 = (0; 0)$ .

2Cách 2. Vectơ-không là

O O

Định hướng. Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau đều là $0$ .

0 = O O

O (0; 0)

\Rightarrow

0 = (0 - 0; 0 - 0) = (0; 0)

Vậy $0 = (0; 0)$ .

3Cách 3. Hiệu của một vectơ với chính nó

Định hướng. Lấy bất kì $u = (x; y)$ , dùng công thức hiệu toạ độ.

0 = u - u = (x - x; y - y) = (0; 0)

Vậy $0 = (0; 0)$ .

Nhận xét. Chiều ngược lại cũng đúng: $u = (0; 0)$ thì $u = 0 i + 0 j = 0$ — vectơ có toạ độ $(0; 0)$ chỉ có thể là $0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng theo đúng định nghĩa toạ độ.

Đáp số.

0 = (0; 0)

Sai lầm thường gặp. Nhầm rằng vectơ-không thì chẳng có toạ độ vì nó không có hướng xác định — sai: mọi vectơ đều có đúng một cặp toạ độ, của

0

là

(0; 0)

🚀 Mở rộng. Tìm toạ độ của

AA

với

A (3; - 7)

và giải thích vì sao kết quả không phụ thuộc vào toạ độ của

A

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ3★Trang 61— Phép toán vectơ qua toạ độ

HĐ3 (trang 61). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

, cho

u = (2; - 3)

v = (4; 1)

a = (8; - 12)

.
a) Hãy biểu thị mỗi vectơ

u

v

a

theo các vectơ

i

j

.
b) Tìm toạ độ của các vectơ

u + v

4 u

.
c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ

u

a

Kiến thức cần nhớ

$u = (x; y)$ $\Leftrightarrow$ $u = x i + y j$ .
$u + v = (x + x^{'}; y + y^{'})$ ; $k u = (k x; k y)$ .
Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi có cùng toạ độ.

🧠 Phân tích tư duy

Toạ độ

(x; y)

chính là hệ số của

i

j

— viết ra dạng

x i + y j

thì cộng vectơ và nhân với số trở thành cộng, nhân các hệ số. Ý c: toạ độ của

a

gấp đúng

4

lần toạ độ của

u

— dấu hiệu

a = 4 u

1Cách 1. Qua hai vectơ đơn vị

Định hướng. Đổi toạ độ sang dạng $x i + y j$ rồi dùng tính chất của phép cộng và phép nhân với số.

u = 2 i - 3 j

v = 4 i + j

a = 8 i - 12 j

u + v = (2 + 4) i + (- 3 + 1) j = 6 i - 2 j

\Rightarrow

u + v = (6; - 2)

4 u = 4 (2 i - 3 j) = 8 i - 12 j

\Rightarrow

4 u = (8; - 12)

4 u = 8 i - 12 j = a

Vậy a) $u = 2 i - 3 j$ , $v = 4 i + j$ , $a = 8 i - 12 j$ ; b) $u + v = (6; - 2)$ , $4 u = (8; - 12)$ ; c) $a = 4 u$ .

2Cách 2. Công thức toạ độ

Định hướng. Cộng từng toạ độ, nhân số vào từng toạ độ.

u + v = (2 + 4; - 3 + 1) = (6; - 2)

4 u = (4 \cdot 2; 4 \cdot (- 3)) = (8; - 12)

4 u = (8; - 12) = a

\Rightarrow

a = 4 u

Vậy $u + v = (6; - 2)$ , $4 u = (8; - 12)$ và $a = 4 u$ .

3Cách 3. Tỉ số toạ độ cho ý c

Định hướng. Hai vectơ cùng phương khi toạ độ tỉ lệ; tỉ số chung chính là hệ số $k$ .

\frac{8}{2} = \frac{- 12}{- 3} = 4

\Rightarrow

a = 4 u

4 > 0

\Rightarrow

a

cùng hướng

u

∣ a ∣ = 4∣ u ∣

Vậy $a = 4 u$ : $a$ cùng hướng với $u$ và dài gấp $4$ lần.

Nhận xét. Cách 3 cho thêm thông tin hình học (cùng hướng, gấp $4$ lần) — đúng nội dung Nhận xét trang 62 về hai vectơ cùng phương.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: công thức toạ độ trong khung kiến thức trang 61 cho kết quả trong một dòng.

Đáp số. a)

u = 2 i - 3 j

v = 4 i + j

a = 8 i - 12 j

. b)

u + v = (6; - 2)

4 u = (8; - 12)

. c)

a = 4 u

Sai lầm thường gặp. Viết

u = 2 i + 3 j

(bỏ quên dấu âm của tung độ) làm sai cả ý b và c. Một lỗi khác: nhân

4

chỉ vào hoành độ, ra

4 u = (8; - 3)

🚀 Mở rộng. Cho

b = (- 1; 1, 5)

: tìm

k

để

b = k u

và cho biết

b

cùng hướng hay ngược hướng với

u

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · HĐ4★★Trang 62— Toạ độ điểm và độ dài vectơ

O M

HĐ4 (trang 62). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

, cho điểm

M (x_{0}; y_{0})

. Gọi

P

Q

tương ứng là hình chiếu vuông góc của

M

trên trục hoành

O x

và trục tung

O y

(H.4.35).
a) Trên trục

O x

, điểm

P

biểu diễn số nào? Biểu thị

O P

theo

i

và tính độ dài của

O P

theo

x_{0}

.
b) Trên trục

O y

, điểm

Q

biểu diễn số nào? Biểu thị

O Q

theo

j

và tính độ dài của

O Q

theo

y_{0}

.
c) Dựa vào hình chữ nhật

O P M Q

, tính độ dài của

O M

theo

x_{0}

y_{0}

.
d) Biểu thị

O M

theo các vectơ

i

j

Kiến thức cần nhớ

$P$ biểu diễn số $x_{0}$ trên trục $O x$ khi $O P = x_{0} i$ ; khi đó $O P = ∣ x_{0} ∣$ .
Quy tắc hình bình hành: $O M = O P + O Q$ .
Định lí Pythagore trong tam giác vuông $O P M$ : $O M^{2} = O P^{2} + P M^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hình chiếu của

M

lên hai trục cho đúng hoành độ và tung độ — đây là cầu nối giữa "toạ độ điểm" và "toạ độ vectơ". Độ dài

O M

là đường chéo hình chữ nhật nên dùng định lí Pythagore; nhớ độ dài cạnh là

∣ x_{0} ∣

∣ y_{0} ∣

chứ không phải

x_{0}

y_{0}

(có thể âm).

1Cách 1. Hình chiếu, Pythagore, quy tắc hình bình hành

Định hướng. Đọc số biểu diễn trên từng trục, rồi dùng tam giác vuông $O P M$ và hình chữ nhật $O P M Q$ .

P

biểu diễn số

x_{0}

O P = x_{0} i

∣ O P ∣ = ∣ x_{0} ∣

Q

biểu diễn số

y_{0}

O Q = y_{0} j

∣ O Q ∣ = ∣ y_{0} ∣

P M = O Q = ∣ y_{0} ∣

\Rightarrow

O M = O P^{2} + P M^{2} = x_{0}^{2} + y_{0}^{2}

O M = O P + O Q = x_{0} i + y_{0} j

Vậy $O P = x_{0} i$ , $O P = ∣ x_{0} ∣$ ; $O Q = y_{0} j$ , $O Q = ∣ y_{0} ∣$ ; $∣ O M ∣ = x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ ; $O M = x_{0} i + y_{0} j$ .

2Cách 2. Quy tắc ba điểm và tam giác vuông

O QM

Định hướng. Đi từ $O$ lên $Q$ rồi sang $M$ ; độ dài lấy trong tam giác vuông tại $Q$ .

QM = O P = x_{0} i

(cạnh đối của hình chữ nhật)

O M = O Q + QM = y_{0} j + x_{0} i = x_{0} i + y_{0} j

O M^{2} = O Q^{2} + Q M^{2} = y_{0}^{2} + x_{0}^{2}

\Rightarrow

O M = x_{0}^{2} + y_{0}^{2}

Vậy $O M = x_{0} i + y_{0} j$ và $∣ O M ∣ = x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ .

3Cách 3. Hai đường chéo hình chữ nhật bằng nhau

Định hướng. Trong hình chữ nhật $O P M Q$ , đường chéo $O M$ bằng đường chéo $P Q$ của tam giác vuông $P O Q$ .

O M = P Q = O P^{2} + O Q^{2} = ∣ x_{0} ∣^{2} + ∣ y_{0} ∣^{2} = x_{0}^{2} + y_{0}^{2}

O M = x_{0} i + y_{0} j

\Rightarrow

O M

có toạ độ

(x_{0}; y_{0})

, trùng toạ độ điểm

M

Vậy toạ độ của vectơ $O M$ chính là toạ độ của điểm $M$ và $∣ O M ∣ = x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ .

Nhận xét. Công thức vẫn đúng khi $M$ nằm trên trục (hình chữ nhật suy biến thành đoạn thẳng), ví dụ $M (0; - 3)$ cho $O M = 3$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng trình tự bốn ý của đề, mỗi ý một dòng.

Đáp số. a)

P

biểu diễn

x_{0}

;

O P = x_{0} i

∣ O P ∣ = ∣ x_{0} ∣

. b)

Q

biểu diễn

y_{0}

;

O Q = y_{0} j

∣ O Q ∣ = ∣ y_{0} ∣

. c)

∣ O M ∣ = x_{0}^{2} + y_{0}^{2}

. d)

O M = x_{0} i + y_{0} j

Sai lầm thường gặp. Viết

∣ O P ∣ = x_{0}

— sai khi

x_{0} < 0

(độ dài âm). Đúng là

∣ O P ∣ = ∣ x_{0} ∣

; khi bình phương thì

∣ x_{0} ∣^{2} = x_{0}^{2}

nên công thức độ dài vẫn gọn.

🚀 Mở rộng. Áp dụng: vectơ

u = (2; - 1)

có độ dài

2^{2} + (- 1)^{2} = 5

; hãy tìm mọi điểm

M

trên trục

O x

để

O M = 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · HĐ5★★Trang 62— Toạ độ vectơ qua hai điểm, khoảng cách hai điểm

HĐ5 (trang 62). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

, cho các điểm

M (x; y)

và

N (x^{'}; y^{'})

.
a) Tìm toạ độ của các vectơ

O M

O N

.
b) Biểu thị vectơ

M N

theo các vectơ

O M

O N

và tìm toạ độ của

M N

.
c) Tìm độ dài của vectơ

M N

Kiến thức cần nhớ

$M (x; y)$ $\Rightarrow$ $O M = (x; y)$ , $∣ O M ∣ = x^{2} + y^{2}$ .
Quy tắc hiệu: $M N = O N - O M$ .
$u - v = (x - x^{'}; y - y^{'})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mọi điểm đều "nhìn" qua gốc

O

: toạ độ

O M

bằng toạ độ

M

(HĐ4), còn

M N

là hiệu

O N - O M

. Có toạ độ

M N

thì độ dài theo công thức

x^{2} + y^{2}

. Bẫy: trừ đúng thứ tự "điểm cuối trừ điểm đầu".

1Cách 1. Quy tắc hiệu

Định hướng. Viết $M N$ qua gốc $O$ rồi trừ toạ độ.

O M = (x; y)

O N = (x^{'}; y^{'})

M N = O N - O M = (x^{'} - x; y^{'} - y)

∣ M N ∣ = (x^{'} - x)^{2} + (y^{'} - y)^{2}

Vậy $O M = (x; y)$ , $O N = (x^{'}; y^{'})$ ; $M N = O N - O M = (x^{'} - x; y^{'} - y)$ ; $M N = (x^{'} - x)^{2} + (y^{'} - y)^{2}$ .

2Cách 2. Quy tắc ba điểm qua

O

và hai vectơ đơn vị

Định hướng. Chèn gốc $O$ vào giữa $M$ và $N$ , rồi viết mọi thứ theo $i$ , $j$ .

M N = M O + O N = - O M + O N

= - (x i + y j) + (x^{'} i + y^{'} j) = (x^{'} - x) i + (y^{'} - y) j

\Rightarrow

M N = (x^{'} - x; y^{'} - y)

∣ M N ∣ = (x^{'} - x)^{2} + (y^{'} - y)^{2}

Vậy $M N = O N - O M = (x^{'} - x; y^{'} - y)$ và $M N = (x^{'} - x)^{2} + (y^{'} - y)^{2}$ .

3Cách 3. Tịnh tiến về gốc

Định hướng. Dựng điểm $K$ với $O K = M N$ ; khi đó toạ độ và độ dài của $M N$ là của $O K$ .

O K = M N

\Leftrightarrow

O K N M

là hình bình hành

\Leftrightarrow

O K = O N - O M

\Rightarrow

K (x^{'} - x; y^{'} - y)

M N = O K = (x^{'} - x)^{2} + (y^{'} - y)^{2}

Vậy $M N = (x^{'} - x; y^{'} - y)$ , $∣ M N ∣ = (x^{'} - x)^{2} + (y^{'} - y)^{2}$ .

Nhận xét. Công thức khoảng cách thực chất là định lí Pythagore trong tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $∣ x^{'} - x ∣$ và $∣ y^{'} - y ∣$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ một câu "cuối trừ đầu" là có ngay toạ độ và độ dài.

Đáp số. a)

O M = (x; y)

O N = (x^{'}; y^{'})

. b)

M N = O N - O M = (x^{'} - x; y^{'} - y)

. c)

∣ M N ∣ = (x^{'} - x)^{2} + (y^{'} - y)^{2}

Sai lầm thường gặp. Lấy "đầu trừ cuối":

M N = (x - x^{'}; y - y^{'})

— đó là toạ độ của

N M

. Độ dài không đổi nhưng hướng sai, sẽ hỏng các bài tìm điểm bằng vectơ bằng nhau.

🚀 Mở rộng. Áp dụng:

M (1; - 2)

N (4; 2)

cho

M N = (3; 4)

và

M N = 5

— thử tìm thêm mọi điểm

N

trên trục

O y

để

M N = 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Luyện tập 2★★Trang 63— Kiểm tra thẳng hàng, tìm đỉnh hình bình hành

Luyện tập 2 (trang 63). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

, cho hai điểm

A (2; 1)

B (3; 3)

.
a) Các điểm

O

A

B

có thẳng hàng hay không?
b) Tìm điểm

M (x; y)

để

O A B M

là một hình bình hành.

Kiến thức cần nhớ

$u (x; y)$ , $v (x^{'}; y^{'})$ cùng phương $\Leftrightarrow$ $x y^{'} - x^{'} y = 0$ (hay $\frac{x ^{'}}{x} = \frac{y ^{'}}{y}$ khi $x y \neq = 0$ ).
$O A B M$ là hình bình hành $\Leftrightarrow$ $O A = M B$ (với $O$ , $A$ , $B$ không thẳng hàng).
Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

🧠 Phân tích tư duy

Thẳng hàng quy về hai vectơ chung gốc cùng phương — so tỉ số toạ độ. Hình bình hành

O A B M

(đúng thứ tự đỉnh) quy về một đẳng thức vectơ

O A = M B

, rồi cho hai toạ độ bằng nhau. Bẫy: phải kiểm

O

A

B

không thẳng hàng trước, nếu không "hình bình hành" suy biến.

1Cách 1. Vectơ cùng phương và vectơ bằng nhau

Định hướng. So tỉ số toạ độ của $O A$ , $O B$ ; rồi giải $O A = M B$ .

O A = (2; 1)

O B = (3; 3)

\frac{3}{2} \neq = \frac{3}{1}

\Rightarrow

O A

O B

không cùng phương
b)

O A = (2; 1)

M B = (3 - x; 3 - y)

O A = M B

\Leftrightarrow

{3 - x = 2 3 - y = 1

\Leftrightarrow

{x = 1 y = 2

Vậy a) $O$ , $A$ , $B$ không thẳng hàng; b) $M (1; 2)$ .

2Cách 2. Trung điểm hai đường chéo

Định hướng. Ý a: kiểm $B$ có nằm trên đường thẳng $O A$ không. Ý b: hai đường chéo $O B$ , $A M$ có chung trung điểm $I$ .

a) Đường thẳng

O A

gồm các điểm

(2 t; t)

;

2 t = 3

\Rightarrow

t = \frac{3}{2}

t = \frac{3}{2} \neq = 3

\Rightarrow

B

không thuộc

O A

I

là trung điểm

O B

I (\frac{3}{2}; \frac{3}{2})

I

là trung điểm

A M

x = 2 \cdot \frac{3}{2} - 2 = 1

y = 2 \cdot \frac{3}{2} - 1 = 2

Vậy a) $O$ , $A$ , $B$ không thẳng hàng; b) $M (1; 2)$ .

3Cách 3. Độ dài và cạnh đối

Định hướng. Ý a: ba điểm thẳng hàng thì một khoảng cách bằng tổng hai khoảng cách kia. Ý b: dùng cặp cạnh đối $O M = A B$ .

O A = 5

A B = 1 + 4 = 5

O B = 18 = 32

O A + A B = 25 = 20 \neq = 18

O A + O B > A B

A B + O B > O A

\Rightarrow

không thẳng hàng
b)

O M = A B = (1; 2)

\Rightarrow

M (1; 2)

Vậy a) Không thẳng hàng; b) $M (1; 2)$ .

Nhận xét. Ở Cách 3, cả ba tổng đều lớn hơn cạnh còn lại (bất đẳng thức tam giác chặt) nên $O$ , $A$ , $B$ là ba đỉnh một tam giác; ngoài ra $O A = A B$ nên $O A B M$ còn là hình thoi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phép so tỉ số và một hệ hai phương trình bậc nhất, không cần tính căn.

Đáp số. a)

O

A

B

không thẳng hàng. b)

M (1; 2)

Sai lầm thường gặp. Viết

O A = B M

(sai thứ tự đỉnh) sẽ ra

M (5; 4)

— khi đó

O A M B

mới là hình bình hành, không phải

O A B M

. Quy tắc:

O A B M

là hình bình hành

\Leftrightarrow

O A = M B

(hai cạnh đối cùng chiều đi vòng).

🚀 Mở rộng. Tìm thêm hai điểm

M^{'}

M^{''}

để

O A M^{'} B

và

O M^{''} A B

là hình bình hành; ba điểm

M

M^{'}

M^{''}

tạo tam giác nhận

O

A

B

làm trung điểm các cạnh.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Vận dụng★★★Trang 64— Chuyển động thẳng đều — tìm điểm chia đoạn thẳng

Vận dụng (trang 64). Từ thông tin dự báo bão được đưa ra ở đầu bài học (trong

12

giờ, tâm bão di chuyển thẳng đều từ vị trí có toạ độ

(13, 8; 108, 3)

đến vị trí có toạ độ

(14, 1; 106, 3)

), hãy xác định toạ độ vị trí

M

của tâm bão tại thời điểm

9

giờ trong khoảng thời gian

12

giờ của dự báo.
Gợi ý của SGK: Gọi toạ độ của

M

là

(x; y)

, tìm mối liên hệ giữa hai vectơ

A M

và

A B

với

A (13, 8; 108, 3)

B (14, 1; 106, 3)

rồi thể hiện mối quan hệ đó theo toạ độ để tìm

x

y

Kiến thức cần nhớ

$A M = k A B$ với $k > 0$ : $M$ nằm trên tia $A B$ và $A M = k A B$ .
$A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ ; $k u = (k x; k y)$ .
Chuyển động thẳng đều: vectơ dịch chuyển tỉ lệ với thời gian.

🧠 Phân tích tư duy

"Di chuyển thẳng đều" nghĩa là quãng đi được tỉ lệ với thời gian — sau

9

trong

12

giờ, tâm bão đi được

\frac{9}{12} = \frac{3}{4}

đoạn

A B

, cùng hướng

A B

. Vì vậy

A M = \frac{3}{4} A B

, chỉ còn chuyển sang toạ độ. Bẫy: số thập phân dễ sai dấu ở tung độ vì kinh độ giảm.

1Cách 1. Vectơ

A M = \frac{3}{4} A B

Định hướng. Quãng đường tỉ lệ với thời gian nên $A M = \frac{9}{12} A B$ .

A B = (14, 1 - 13, 8; 106, 3 - 108, 3) = (0, 3; - 2)

A M = (x - 13, 8; y - 108, 3)

A M = \frac{3}{4} A B

\Leftrightarrow

⎩ ⎨ ⎧ x - 13, 8 = \frac{3}{4} \cdot 0, 3 = 0, 225 y - 108, 3 = \frac{3}{4} \cdot (- 2) = - 1, 5

\Leftrightarrow

{x = 14, 025 y = 106, 8

Vậy $M (14, 025; 106, 8)$ .

2Cách 2. Vectơ vận tốc theo giờ

Định hướng. Chia vectơ dịch chuyển $12$ giờ cho $12$ được vectơ dịch chuyển mỗi giờ, rồi nhân với $9$ .

v = \frac{1}{12} A B = (\frac{0 , 3}{12}; \frac{- 2}{12}) = (0, 025; - \frac{1}{6})

A M = 9 v = (0, 225; - \frac{3}{2}) = (0, 225; - 1, 5)

M = (13, 8 + 0, 225; 108, 3 - 1, 5) = (14, 025; 106, 8)

Vậy tâm bão sau $9$ giờ ở $M (14, 025; 106, 8)$ .

3Cách 3. Điểm chia đoạn

A B

theo tỉ số

3 : 1

Định hướng. $A M = 3 M B$ và $M$ nằm giữa $A$ , $B$ nên $M A = - 3 M B$ , tức $M$ là "trung bình có trọng số" của $A$ và $B$ .

M A + 3 M B = 0

\Rightarrow

x = \frac{x _{A} + 3 x _{B}}{4} = \frac{13 , 8 + 42 , 3}{4} = \frac{56 , 1}{4} = 14, 025

y = \frac{y _{A} + 3 y _{B}}{4} = \frac{108 , 3 + 318 , 9}{4} = \frac{427 , 2}{4} = 106, 8

Vậy $M (14, 025; 106, 8)$ .

Nhận xét. Kiểm tra: $M$ nằm giữa $A$ và $B$ (vĩ độ $13, 8 < 14, 025 < 14, 1$ , kinh độ $106, 3 < 106, 8 < 108, 3$ ), gần $B$ hơn — hợp lí vì đã qua $\frac{3}{4}$ thời gian.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng gợi ý của SGK, chỉ một đẳng thức vectơ và hai phép tính.

Đáp số.

M (14, 025; 106, 8)

(khoảng

14, 02 5^{\circ}

vĩ bắc,

106, 8^{\circ}

kinh đông).

Sai lầm thường gặp. Dùng

A M = \frac{9}{12} B A

(lấy nhầm vectơ ngược) sẽ ra

M (13, 575; 109, 8)

nằm ngoài đoạn

A B

. Một lỗi khác: quên dấu âm của

- 2

nên cộng thêm

1, 5

vào kinh độ.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: tại thời điểm

t

giờ (

0 \leq t \leq 12

), tâm bão ở

(13, 8 + 0, 025 t; 108, 3 - \frac{t}{6})

— thử tìm thời điểm tâm bão ở kinh độ

107, 3^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 4.16★★Trang 65— Khoảng cách hai điểm — nhận dạng tam giác vuông cân

Bài 4.16 (trang 65). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

, cho các điểm

M (1; 3)

N (4; 2)

.
a) Tính độ dài của các đoạn thẳng

O M

O N

M N

.
b) Chứng minh rằng tam giác

O M N

vuông cân.

Kiến thức cần nhớ

$M (x; y)$ $\Rightarrow$ $O M = x^{2} + y^{2}$ ; $M N = (x_{N} - x_{M})^{2} + (y_{N} - y_{M})^{2}$ .
Định lí Pythagore đảo: $O M^{2} + M N^{2} = O N^{2}$ thì tam giác vuông tại $M$ .
Trong tam giác, trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác vuông tại đỉnh xuất phát trung tuyến.

🧠 Phân tích tư duy

Có toạ độ ba đỉnh thì độ dài ba cạnh tính ngay bằng công thức khoảng cách. Hai cạnh bằng nhau cho "cân", tổng bình phương hai cạnh bằng bình phương cạnh thứ ba cho "vuông" (Pythagore đảo). Bẫy: phải chỉ đúng đỉnh góc vuông — đỉnh đối diện cạnh dài nhất

O N

, tức là

M

1Cách 1. Độ dài và Pythagore đảo

Định hướng. Tính ba cạnh, so hai cạnh bằng nhau, rồi kiểm tra hệ thức Pythagore.

O M = 1^{2} + 3^{2} = 10

O N = 4^{2} + 2^{2} = 20 = 25

M N = (4 - 1)^{2} + (2 - 3)^{2} = 9 + 1 = 10

O M = M N = 10

O M^{2} + M N^{2} = 10 + 10 = 20 = O N^{2}

Vậy a) $O M = 10$ , $O N = 25$ , $M N = 10$ ; b) tam giác $O M N$ cân tại $M$ và vuông tại $M$ , tức vuông cân tại $M$ .

2Cách 2. Trung tuyến bằng nửa cạnh

Định hướng. Gọi $I$ là trung điểm $O N$ ; nếu $M I = \frac{O N}{2}$ thì tam giác vuông tại $M$ .

I (2; 1)

M I = (1; - 2)

\Rightarrow

M I = 1 + 4 = 5 = \frac{2 5}{2} = \frac{O N}{2}

\Rightarrow

tam giác

O M N

vuông tại

M

; lại có

O M = M N = 10

Vậy tam giác $O M N$ vuông cân tại $M$ .

3Cách 3. Hai tam giác vuông trên lưới

Định hướng. $M O = (- 1; - 3)$ và $M N = (3; - 1)$ : đổi chỗ hai toạ độ và đổi một dấu — dấu hiệu của phép quay $9 0^{\circ}$ .

Tam giác vuông trên lưới có hai cạnh góc vuông

1

và

3

, cạnh huyền

M O

; tam giác thứ hai có hai cạnh góc vuông

3

và

1

, cạnh huyền

M N

\Rightarrow

hai tam giác bằng nhau (cạnh – góc – cạnh)

\Rightarrow

M O = M N

M O

lệch so với phương thẳng đứng một góc

α

M N

lệch so với phương nằm ngang cũng góc

α

\Rightarrow

O M N = 9 0^{\circ}

Vậy tam giác $O M N$ vuông cân tại $M$ .

Nhận xét. Quy tắc nhanh: hai vectơ $(a; b)$ và $(- b; a)$ luôn vuông góc và có cùng độ dài — Bài 11 (tích vô hướng) sẽ cho cách kiểm tra một dòng $1 \cdot 3 + 3 \cdot (- 1) = 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba lần áp công thức khoảng cách và một phép cộng là đủ chứng minh.

Đáp số. a)

O M = 10

O N = 25

M N = 10

. b)

O M = M N

và

O M^{2} + M N^{2} = O N^{2}

nên tam giác

O M N

vuông cân tại

M

Sai lầm thường gặp. Chỉ chứng minh

O M = M N

rồi kết luận "vuông cân" là thiếu; hoặc viết "vuông tại

O

" — sai, vì góc vuông đối diện cạnh lớn nhất

O N

nên nằm ở

M

🚀 Mở rộng. Tìm điểm

P

để

O M N P

là hình vuông (đáp số

P (3; - 1)

) và kiểm tra lại bằng độ dài bốn cạnh, hai đường chéo.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 4.17★★Trang 65— Toạ độ vectơ — cùng phương, thẳng hàng, hình bình hành

Bài 4.17 (trang 65). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

, cho các vectơ

a = 3 i - 2 j

b = (4; - 1)

và các điểm

M (- 3; 6)

N (3; - 3)

.
a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ

M N

và

2 a - b

.
b) Các điểm

O

M

N

có thẳng hàng hay không?
c) Tìm điểm

P (x; y)

để

O M N P

là một hình bình hành.

Kiến thức cần nhớ

$a = x i + y j$ $\Leftrightarrow$ $a = (x; y)$ .
$v = k u$ $\Leftrightarrow$ $x^{'} = k x$ , $y^{'} = k y$ .
$O M N P$ là hình bình hành $\Leftrightarrow$ $O M = P N$ ( $O$ , $M$ , $N$ không thẳng hàng).

🧠 Phân tích tư duy

Đổi hết về toạ độ:

a = 3 i - 2 j

nghĩa là

a = (3; - 2)

. Ý a và b cùng một công cụ — so tỉ số toạ độ để biết hai vectơ cùng phương và tìm hệ số

k

. Ý c: hình bình hành

O M N P

\Leftrightarrow

O M = P N

(cạnh đối cùng chiều).

1Cách 1. Toạ độ và vectơ bằng nhau

Định hướng. Tính toạ độ $2 a - b$ , $M N$ rồi so; ý c giải $O M = P N$ .

a = (3; - 2)

2 a - b = (6 - 4; - 4 + 1) = (2; - 3)

M N = (3 + 3; - 3 - 6) = (6; - 9)

(6; - 9) = (3 \cdot 2; 3 \cdot (- 3))

\Rightarrow

M N = 3 (2 a - b)

O M = (- 3; 6)

O N = (3; - 3)

\frac{3}{- 3} = - 1 \neq = \frac{- 3}{6} = - \frac{1}{2}

\Rightarrow

không cùng phương
c)

O M = (- 3; 6)

P N = (3 - x; - 3 - y)

;

{3 - x = - 3 - 3 - y = 6

\Leftrightarrow

{x = 6 y = - 9

Vậy a) $M N = 3 (2 a - b)$ ; b) $O$ , $M$ , $N$ không thẳng hàng; c) $P (6; - 9)$ .

2Cách 2. Làm việc với

i

j

Định hướng. Giữ nguyên dạng $x i + y j$ và biến đổi như đa thức.

2 a - b = 6 i - 4 j - 4 i + j = 2 i - 3 j

;

M N = O N - O M = (3 i - 3 j) - (- 3 i + 6 j) = 6 i - 9 j = 3 (2 i - 3 j)

b) Giả sử

O N = k O M

3 = - 3 k

và

- 3 = 6 k

\Rightarrow

k = - 1

và

k = - \frac{1}{2}

, vô lí
c)

O P = M N = 6 i - 9 j

(cặp cạnh đối

O P

M N

)

\Rightarrow

P (6; - 9)

Vậy $M N = 3 (2 a - b)$ , $O$ , $M$ , $N$ không thẳng hàng, $P (6; - 9)$ .

3Cách 3. Đường thẳng qua gốc và trung điểm đường chéo

Định hướng. Ý b: kiểm $N$ có nằm trên đường thẳng $O M$ không. Ý c: hai đường chéo $O N$ , $M P$ chung trung điểm.

\frac{6}{2} = \frac{- 9}{- 3} = 3

\Rightarrow

M N = 3 (2 a - b)

b) Đường thẳng

O M

gồm các điểm

(- 3 t; 6 t)

, tức tung độ

= - 2 \cdot

hoành độ;

N

- 2 \cdot 3 = - 6 \neq = - 3

\Rightarrow

N \in / O M

c) Trung điểm

O N

là

I (\frac{3}{2}; - \frac{3}{2})

\Rightarrow

P = (2 \cdot \frac{3}{2} + 3; 2 \cdot (- \frac{3}{2}) - 6) = (6; - 9)

Vậy a) $M N = 3 (2 a - b)$ ; b) không thẳng hàng; c) $P (6; - 9)$ .

Nhận xét. Kết quả ý a cho thêm: $M N$ cùng hướng với $2 a - b$ và dài gấp ba lần; ý c cũng đọc được $O P = M N = 3 (2 a - b)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mọi ý đều quy về so sánh hoặc giải toạ độ, không cần hình.

Đáp số. a)

M N = 3 (2 a - b)

. b)

O

M

N

không thẳng hàng. c)

P (6; - 9)

Sai lầm thường gặp. Đọc nhầm

a = 3 i - 2 j

thành

a = (3; 2)

làm ý a ra

2 a - b = (2; 5)

và kết luận sai là "không liên hệ". Ý c hay nhầm

O M = N P

, ra

P (0; 3)

— đó là hình bình hành

O M P N

🚀 Mở rộng. Tìm điểm

Q

trên trục

O x

sao cho

M

N

Q

thẳng hàng (đáp số

Q (1; 0)

), dùng điều kiện

M Q

cùng phương

M N

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 4.18★★Trang 65— Tam giác — trung điểm — trọng tâm theo toạ độ

Bài 4.18 (trang 65). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

, cho các điểm

A (1; 3)

B (2; 4)

C (- 3; 2)

.
a) Chứng minh rằng

A

B

C

là ba đỉnh của một tam giác.
b) Tìm toạ độ trung điểm

M

của đoạn thẳng

A B

.
c) Tìm toạ độ trọng tâm

G

của tam giác

A B C

.
d) Tìm điểm

D (x; y)

để

O (0; 0)

là trọng tâm của tam giác

A B D

Kiến thức cần nhớ

$A B$ , $A C$ không cùng phương $\Leftrightarrow$ $A$ , $B$ , $C$ không thẳng hàng.
Trung điểm $M$ của $A B$ : $(\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ .
Trọng tâm $G$ của tam giác $A B C$ : $(\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba điểm là ba đỉnh tam giác

\Leftrightarrow

không thẳng hàng

\Leftrightarrow

A B

A C

không cùng phương. Trung điểm, trọng tâm có công thức "trung bình cộng toạ độ". Ý d là bài toán ngược: biết trọng tâm, tìm đỉnh — đặt ẩn vào chính công thức trọng tâm.

1Cách 1. Công thức toạ độ

Định hướng. Dùng điều kiện cùng phương cho ý a và hai công thức trung bình cộng cho các ý còn lại.

A B = (1; 1)

A C = (- 4; - 1)

\frac{- 4}{1} \neq = \frac{- 1}{1}

\Rightarrow

không cùng phương
b)

M (\frac{1 + 2}{2}; \frac{3 + 4}{2}) = (\frac{3}{2}; \frac{7}{2})

G (\frac{1 + 2 - 3}{3}; \frac{3 + 4 + 2}{3}) = (0; 3)

⎩ ⎨ ⎧ \frac{1 + 2 + x}{3} = 0 \frac{3 + 4 + y}{3} = 0

\Leftrightarrow

{x = - 3 y = - 7

Vậy a) $A$ , $B$ , $C$ là ba đỉnh một tam giác; b) $M (\frac{3}{2}; \frac{7}{2})$ ; c) $G (0; 3)$ ; d) $D (- 3; - 7)$ .

2Cách 2. Đẳng thức vectơ

Định hướng. Trung điểm: $M A + M B = 0$ ; trọng tâm: tổng ba vectơ từ trọng tâm tới các đỉnh bằng $0$ .

M A + M B = (1 - x + 2 - x; 3 - y + 4 - y) = (3 - 2 x; 7 - 2 y) = 0

\Rightarrow

M (\frac{3}{2}; \frac{7}{2})

G A + GB + GC = (0 - 3 x; 9 - 3 y) = 0

\Rightarrow

G (0; 3)

O A + O B + O D = (1 + 2 + x; 3 + 4 + y) = 0

\Rightarrow

D (- 3; - 7)

Vậy $M (\frac{3}{2}; \frac{7}{2})$ , $G (0; 3)$ , $D (- 3; - 7)$ .

3Cách 3. Trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ số

2 : 1

Định hướng. Ý a: $C$ không nằm trên đường thẳng $A B$ . Ý d: $O$ là trọng tâm tam giác $A B D$ nên $D$ , $O$ , $M$ thẳng hàng và $O D = - 2 O M$ .

a) Đường thẳng

A B

gồm các điểm

(1 + t; 3 + t)

, tức

y = x + 2

;

C

- 3 + 2 = - 1 \neq = 2

\Rightarrow

C \in / A B

C G = \frac{2}{3} C M = \frac{2}{3} (\frac{9}{2}; \frac{3}{2}) = (3; 1)

\Rightarrow

G (- 3 + 3; 2 + 1) = (0; 3)

O D = - 2 O M = - 2 (\frac{3}{2}; \frac{7}{2}) = (- 3; - 7)

\Rightarrow

D (- 3; - 7)

Vậy a) Tam giác; c) $G (0; 3)$ ; d) $D (- 3; - 7)$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy ý d thực chất chỉ cần trung điểm $M$ của ý b: $D$ là điểm đối xứng với $M$ qua $O$ rồi "kéo dài gấp đôi".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: bốn ý là bốn công thức có sẵn trong SGK, đặc biệt ý d giải ngay bằng công thức trọng tâm.

Đáp số. a)

A B = (1; 1)

A C = (- 4; - 1)

không cùng phương nên

A

B

C

là ba đỉnh một tam giác. b)

M (\frac{3}{2}; \frac{7}{2})

. c)

G (0; 3)

. d)

D (- 3; - 7)

Sai lầm thường gặp. Ý d hay nhầm dùng trọng tâm của tam giác

A B C

thay vì

A B D

, hoặc cho "

O

là trung điểm" rồi ra

D = - A

. Ý a nhầm điều kiện: chỉ ra

A B \neq = A C

không chứng minh được ba điểm không thẳng hàng.

🚀 Mở rộng. Tìm điểm

E

để

G (0; 3)

là trọng tâm của tam giác

A B E

và nhận xét quan hệ giữa

E

và

C

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 4.19★★Trang 65— Chuyển động thẳng đều bằng vectơ vận tốc

Bài 4.19 (trang 65). Sự chuyển động của một tàu thuỷ được thể hiện trên một mặt phẳng toạ độ như sau: Tàu khởi hành từ vị trí

A (1; 2)

chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ

v = (3; 4)

. Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng toạ độ) tại thời điểm sau khi khởi hành

1, 5

giờ.

Kiến thức cần nhớ

Chuyển động thẳng đều với vận tốc $v$ : sau $t$ giờ, $A B = t v$ .
$k v = (k x; k y)$ ; $A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ .
$∣ v ∣$ là tốc độ (quãng đường đi được mỗi giờ).

🧠 Phân tích tư duy

Vectơ vận tốc theo giờ là vectơ dịch chuyển sau mỗi giờ; chuyển động thẳng đều nên sau

t

giờ dịch chuyển

t v

. Vậy vị trí

B

thoả

A B = 1, 5 v

— một đẳng thức vectơ, rồi chuyển sang toạ độ.

1Cách 1. Đẳng thức

A B = 1, 5 v

Định hướng. Gọi $B (x; y)$ là vị trí sau $1, 5$ giờ.

A B = (x - 1; y - 2)

1, 5 v = (4, 5; 6)

{x - 1 = 4, 5 y - 2 = 6

\Leftrightarrow

{x = 5, 5 y = 8

Vậy sau $1, 5$ giờ tàu ở vị trí $B (5, 5; 8)$ .

2Cách 2. Vị trí theo thời gian

Định hướng. Viết toạ độ tàu tại thời điểm $t$ bất kì, rồi thay $t = 1, 5$ .

t

giờ:

(1 + 3 t; 2 + 4 t)

t = 1, 5

(1 + 4, 5; 2 + 6) = (5, 5; 8)

Vậy tàu ở $(5, 5; 8)$ .

3Cách 3. Tốc độ và vectơ chỉ hướng

Định hướng. Tách vận tốc thành tốc độ $∣ v ∣$ và vectơ đơn vị chỉ hướng, tính quãng đường rồi đi theo hướng đó.

∣ v ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 5

, vectơ chỉ hướng

e = \frac{1}{5} v = (0, 6; 0, 8)

Quãng đường sau

1, 5

giờ:

5 \cdot 1, 5 = 7, 5

A B = 7, 5 e = (4, 5; 6)

\Rightarrow

B (5, 5; 8)

Vậy tàu ở $(5, 5; 8)$ .

Nhận xét. Kiểm tra: $A B = 4, 5^{2} + 6^{2} = 56, 25 = 7, 5$ đúng bằng quãng đường $5 \cdot 1, 5$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một đẳng thức vectơ, hai phép cộng.

Đáp số. Sau

1, 5

giờ tàu ở vị trí có toạ độ

(5, 5; 8)

Sai lầm thường gặp. Lấy vị trí bằng

1, 5 v = (4, 5; 6)

mà quên cộng toạ độ điểm xuất phát

A (1; 2)

— nhầm "vị trí" với "vectơ dịch chuyển".

🚀 Mở rộng. Sau bao lâu tàu đi tới đường thẳng

y = 14

? (Giải

2 + 4 t = 14

được

t = 3

giờ, khi đó tàu ở

(10; 14)

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 4.20★★Trang 65— Ứng dụng toạ độ — liệt kê vị trí theo vectơ dịch chuyển

Bài 4.20 (trang 65). Trong Hình 4.38, quân mã đang ở vị trí có toạ độ

(1; 2)

. Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?
(Hình 4.38: bàn cờ vua $8 \times 8$ đặt trên hệ trục $O x y$ , tâm các ô có toạ độ nguyên $(x; y)$ với $0 \leq x \leq 7$ , $0 \leq y \leq 7$ ; ô $(2; 4)$ và ô $(3; 3)$ có quân đen. Gợi ý của SGK: bạn có thể tìm hiểu để biết quy tắc đi của quân mã.)

Kiến thức cần nhớ

Quân mã dịch chuyển theo một trong tám vectơ $(\pm 1; \pm 2)$ , $(\pm 2; \pm 1)$ .
Điểm $A (x; y)$ dịch theo vectơ $v = (a; b)$ được điểm $(x + a; y + b)$ .
Mọi vectơ trên đều có độ dài $1^{2} + 2^{2} = 5$ .

🧠 Phân tích tư duy

Nước đi của quân mã là "chữ L": đi

2

ô theo một phương và

1

ô theo phương vuông góc — tức là cộng vào toạ độ một trong tám vectơ

(\pm 1; \pm 2)

(\pm 2; \pm 1)

. Liệt kê tám điểm rồi loại những điểm rơi ra ngoài bàn cờ. Quân mã nhảy qua được các quân khác, ô có quân đen thì mã đến được bằng cách ăn quân.

1Cách 1. Cộng tám vectơ dịch chuyển

Định hướng. Cộng lần lượt tám vectơ vào $(1; 2)$ rồi giữ các điểm có $0 \leq x \leq 7$ , $0 \leq y \leq 7$ .

(1; 2) + (1; 2) = (2; 4)

(1; 2) + (- 1; 2) = (0; 4)

(1; 2) + (1; - 2) = (2; 0)

(1; 2) + (- 1; - 2) = (0; 0)

(1; 2) + (2; 1) = (3; 3)

(1; 2) + (2; - 1) = (3; 1)

(1; 2) + (- 2; 1) = (- 1; 3)

(1; 2) + (- 2; - 1) = (- 1; 1)

— hoành độ

- 1 < 0

, loại

Vậy quân mã có thể đến $6$ vị trí: $(0; 0)$ , $(0; 4)$ , $(2; 0)$ , $(2; 4)$ , $(3; 1)$ , $(3; 3)$ .

2Cách 2. Điểm nguyên cách

(1; 2)

đúng

5

Định hướng. Mọi ô mã đến được cách ô xuất phát $5$ ; ngược lại $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$ với số nguyên chỉ có cách tách $5 = 1 + 4 = 4 + 1$ .

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 5

\Rightarrow

{∣ x - 1∣ = 1 ∣ y - 2∣ = 2

hoặc

{∣ x - 1∣ = 2 ∣ y - 2∣ = 1

x \in {0; 2}

y \in {0; 4}

hoặc

x \in {- 1; 3}

y \in {1; 3}

; bỏ

x = - 1

Vậy sáu vị trí $(0; 0)$ , $(0; 4)$ , $(2; 0)$ , $(2; 4)$ , $(3; 1)$ , $(3; 3)$ .

3Cách 3. Chia theo hướng của "nét dài"

Định hướng. Nét dài $2$ ô đi dọc hay đi ngang, nét ngắn $1$ ô rẽ sang hai bên.

Nét dài dọc:

y = 2 \pm 2 \in {4; 0}

, rẽ ngang

x = 1 \pm 1 \in {2; 0}

\Rightarrow

(0; 0)

(2; 0)

(0; 4)

(2; 4)

Nét dài ngang:

x = 1 \pm 2 \in {3; - 1}

, bỏ

- 1

; rẽ dọc

y = 2 \pm 1 \in {3; 1}

\Rightarrow

(3; 1)

(3; 3)

Vậy có $6$ vị trí như trên.

Nhận xét. Tại $(2; 4)$ và $(3; 3)$ đang có quân đen nên nước đi tới đó là nước ăn quân; bốn ô còn lại đang trống. Mã luôn đổi màu ô sau mỗi nước — cả sáu ô đích đều cùng màu với nhau và khác màu ô $(1; 2)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: liệt kê đủ tám vectơ theo một thứ tự cố định thì không sót, không trùng.

Đáp số. Sáu vị trí:

(0; 0)

(0; 4)

(2; 0)

(2; 4)

(3; 1)

(3; 3)

Sai lầm thường gặp. Chỉ đếm bốn vectơ

(1; 2)

(2; 1)

(- 1; - 2)

(- 2; - 1)

là sót nửa số nước đi. Cũng hay quên loại điểm

(- 1; 1)

(- 1; 3)

nằm ngoài bàn cờ, hoặc loại oan hai ô có quân đen trong khi mã ăn được quân.

🚀 Mở rộng. Nếu quân mã ở chính giữa bàn cờ, chẳng hạn ô

(3; 3)

, thì có bao nhiêu nước đi? Ở góc

(0; 0)

thì bao nhiêu? (Đáp số

8

và

2

Mở bài này trong app ↗