Chương IV. Vectơ

Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngIV #SáchBàiTập_Tập1 #trang65–66 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 4.29★★★Trang 65— Tích vô hướng trong tam giác đều — phân tích vectơ

Bài 4.29 (trang 65). Cho tam giác đều

A B C

có độ dài các cạnh bằng

1

.
a) Gọi

M

là trung điểm của

B C

. Tính tích vô hướng của các cặp vectơ

M A

và

B A

M A

và

A C

.
b) Gọi

N

là điểm đối xứng với

B

qua

C

. Tính tích vô hướng

A M \cdot A N

.
c) Lấy điểm

P

thuộc đoạn

A N

sao cho

A P = 3 P N

. Hãy biểu thị các vectơ

A P

M P

theo hai vectơ

A B

và

A C

. Tính độ dài đoạn

M P

Kiến thức cần nhớ

$u \cdot v = ∣ u ∣ \cdot ∣ v ∣ cos (u, v)$ .
$A B \cdot A C = 1 \cdot 1 \cdot cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ (tam giác đều cạnh $1$ ).
$A P = 3 P N$ , $P$ thuộc đoạn $A N$ $\Rightarrow$ $A P = \frac{3}{4} A N$ .
$M P^{2} = M P^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tam giác đều cạnh

1

cho sẵn mọi góc (

6 0^{\circ}

3 0^{\circ}

ở chân đường cao) và

A M = \frac{3}{2}

, nên ý a, b tính thẳng bằng định nghĩa — miễn là đưa hai vectơ về chung điểm đầu. Ý c: chọn cơ sở

A B

A C

(biết

A B \cdot A C = \frac{1}{2}

) thì độ dài

M P

là bình phương vô hướng. Bẫy:

M A

và

A C

nối đuôi nhau, góc giữa chúng là

15 0^{\circ}

chứ không phải

3 0^{\circ}

1Cách 1. Định nghĩa và góc trong tam giác đều

Định hướng. Đưa từng cặp vectơ về chung điểm đầu, đọc góc; ý c phân tích theo $A B$ , $A C$ .

A M = \frac{3}{2}

(M A, B A) = (A M, A B) = M A B = 3 0^{\circ}

M A \cdot B A = \frac{3}{2} \cdot 1 \cdot cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{4}

(M A, A C) = 18 0^{\circ} - (A M, A C) = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 15 0^{\circ}

\Rightarrow

M A \cdot A C = \frac{3}{2} \cdot 1 \cdot cos 15 0^{\circ} = - \frac{3}{4}

M N = M C + C N = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}

A N = A M^{2} + M N^{2} = \frac{3}{4} + \frac{9}{4} = 3

cos M A N = \frac{A M}{A N} = \frac{1}{2}

A M \cdot A N = \frac{3}{2} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}

A N = A B + B N = A B + 2 (A C - A B) = 2 A C - A B

A P = \frac{3}{4} A N = - \frac{3}{4} A B + \frac{3}{2} A C

M P = A P - A M = - \frac{3}{4} A B + \frac{3}{2} A C - \frac{1}{2} A B - \frac{1}{2} A C = - \frac{5}{4} A B + A C

M P^{2} = \frac{25}{16} A B^{2} - 2 \cdot \frac{5}{4} A B \cdot A C + A C^{2} = \frac{25}{16} - \frac{5}{4} + 1 = \frac{21}{16}

\Rightarrow

M P = \frac{21}{4}

Vậy a) $M A \cdot B A = \frac{3}{4}$ , $M A \cdot A C = - \frac{3}{4}$ ; b) $A M \cdot A N = \frac{3}{4}$ ; c) $A P = - \frac{3}{4} A B + \frac{3}{2} A C$ , $M P = - \frac{5}{4} A B + A C$ , $M P = \frac{21}{4}$ .

2Cách 2. Gắn hệ toạ độ

Định hướng. Đặt $B$ ở gốc, $C$ trên tia $O x$ ; mọi điểm có toạ độ tường minh.

B (0; 0)

C (1; 0)

A (\frac{1}{2}; \frac{3}{2})

M (\frac{1}{2}; 0)

N (2; 0)

M A = (0; \frac{3}{2})

B A = (\frac{1}{2}; \frac{3}{2})

A C = (\frac{1}{2}; - \frac{3}{2})

M A \cdot B A = \frac{3}{4}

M A \cdot A C = - \frac{3}{4}

A M = (0; - \frac{3}{2})

A N = (\frac{3}{2}; - \frac{3}{2})

\Rightarrow

A M \cdot A N = \frac{3}{4}

P = A + \frac{3}{4} (N - A)

P (\frac{13}{8}; \frac{3}{8})

M P = (\frac{9}{8}; \frac{3}{8})

M P = \frac{81}{64} + \frac{3}{64} = \frac{84}{64} = \frac{21}{4}

Vậy kết quả trùng Cách 1: $\frac{3}{4}$ ; $- \frac{3}{4}$ ; $\frac{3}{4}$ ; $M P = \frac{21}{4}$ .

3Cách 3. Hình chiếu vuông góc

Định hướng. $u \cdot v$ bằng tích độ dài đại số của $u$ với hình chiếu của $v$ lên giá $u$ ; ở đây các hình chiếu lên đường thẳng $A M$ đều rơi vào $M$ .

B

C

chiếu xuống

A M

đều tại

M

\Rightarrow

M A \cdot B A = M A \cdot M A = M A^{2} = \frac{3}{4}

M A \cdot A C = M A \cdot A M = - M A^{2} = - \frac{3}{4}

N

thuộc đường thẳng

B C ⊥ A M

\Rightarrow

hình chiếu của

N

lên

A M

là

M

\Rightarrow

A M \cdot A N = A M^{2} = \frac{3}{4}

Vậy $M A \cdot B A = \frac{3}{4}$ , $M A \cdot A C = - \frac{3}{4}$ , $A M \cdot A N = \frac{3}{4}$ (ý c như Cách 1).

Nhận xét. Cách 3 không cần tính $A N$ hay góc $M A N$ : mọi điểm nằm trên đường thẳng $B C$ đều cho cùng tích vô hướng với $A M$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 cho ý a, b (một dòng mỗi ý) và phân tích vectơ ở Cách 1 cho ý c.

Đáp số. a)

M A \cdot B A = \frac{3}{4}

;

M A \cdot A C = - \frac{3}{4}

. b)

A M \cdot A N = \frac{3}{4}

. c)

A P = - \frac{3}{4} A B + \frac{3}{2} A C

;

M P = - \frac{5}{4} A B + A C

;

M P = \frac{21}{4}

Sai lầm thường gặp. Lấy góc giữa

M A

và

A C

bằng

M A C = 3 0^{\circ}

rồi ra

+ \frac{3}{4}

— sai dấu, vì hai vectơ nối đuôi tại

A

. Ở ý c, hay viết nhầm

B N = B C

(quên

N

đối xứng với

B

qua

C

nên

B N = 2 B C

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

A P = k \cdot P N

thì

A P = \frac{k}{k + 1} A N

; thử tìm

k

để

M P ⊥ A N

(đáp số

k = \frac{1}{3}

, khi đó

A P = \frac{3}{4}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 4.30★★★Trang 65— Chứng minh vuông góc bằng tích vô hướng

Bài 4.30 (trang 65). Cho hình chữ nhật

A B C D

có

A B = 1

B C = 2

. Gọi

M

là trung điểm của

A D

.
a) Chứng minh rằng các đường thẳng

A C

và

B M

vuông góc với nhau.
b) Gọi

H

là giao điểm của

A C

B M

. Gọi

N

là trung điểm của

A H

và

P

là trung điểm của

C D

. Chứng minh rằng tam giác

N B P

là một tam giác vuông.

Kiến thức cần nhớ

$u ⊥ v$ $\Leftrightarrow$ $u \cdot v = 0$ .
$A B \cdot A D = 0$ , $A B^{2} = 1$ , $A D^{2} = 2$ .
Hai tam giác đồng dạng $H A M$ và $H C B$ ( $A M ∥ B C$ ) cho $\frac{A H}{H C} = \frac{A M}{C B}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hình chữ nhật cho sẵn hai vectơ vuông góc

A B

A D

với độ dài biết trước — cơ sở lí tưởng: mọi vectơ khác phân tích theo chúng, tích vô hướng chỉ còn

A B^{2} = 1

và

A D^{2} = 2

. Ý b cần vị trí

H

trên

A C

A M ∥ B C

và

A M = \frac{1}{2} B C

nên

A H = \frac{1}{3} A C

. Còn phải đoán đỉnh góc vuông: tính thử thấy là

N

1Cách 1. Phân tích theo hai cạnh của hình chữ nhật

Định hướng. Biểu diễn mọi vectơ theo $A B$ , $A D$ .

A C = A B + A D

B M = A M - A B = \frac{1}{2} A D - A B

A C \cdot B M = \frac{1}{2} A D^{2} - A B^{2} + (\frac{1}{2} - 1) A B \cdot A D = \frac{1}{2} \cdot 2 - 1 + 0 = 0

A M ∥ B C

\frac{A H}{H C} = \frac{A M}{C B} = \frac{1}{2}

\Rightarrow

A H = \frac{1}{3} A C

\Rightarrow

A N = \frac{1}{6} (A B + A D)

A P = A D + \frac{1}{2} A B

N B = A B - A N = \frac{5}{6} A B - \frac{1}{6} A D

N P = A P - A N = \frac{1}{3} A B + \frac{5}{6} A D

N B \cdot N P = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot 2 = \frac{5}{18} - \frac{5}{18} = 0

Vậy $A C ⊥ B M$ và tam giác $N B P$ vuông tại $N$ .

2Cách 2. Gắn hệ toạ độ

Định hướng. Đặt $A$ ở gốc, $A B$ trên $O x$ , $A D$ trên $O y$ ; tìm $H$ bằng giao hai đường thẳng.

A (0; 0)

B (1; 0)

C (1; 2)

D (0; 2)

M (0; \frac{2}{2})

A C = (1; 2)

B M = (- 1; \frac{2}{2})

A C \cdot B M = - 1 + 1 = 0

H (t; 2 t) \in A C

B H = (t - 1; 2 t)

cùng phương

B M

\frac{2}{2} (t - 1) = - 2 t

\Rightarrow

t = \frac{1}{3}

H (\frac{1}{3}; \frac{2}{3})

N (\frac{1}{6}; \frac{2}{6})

P (\frac{1}{2}; 2)

N B = (\frac{5}{6}; - \frac{2}{6})

N P = (\frac{1}{3}; \frac{5 2}{6})

N B \cdot N P = \frac{5}{18} - \frac{10}{36} = 0

Vậy $A C ⊥ B M$ ; tam giác $N B P$ vuông tại $N$ .

3Cách 3. Góc phụ nhau và Pythagore đảo

Định hướng. Ý a: hai góc nhọn có tích tang bằng $1$ thì phụ nhau. Ý b: kiểm tra $N B^{2} + N P^{2} = B P^{2}$ .

tan A B M = \frac{A M}{A B} = \frac{2}{2}

tan B A C = \frac{B C}{A B} = 2

\Rightarrow

tan A B M \cdot tan B A C = 1

\Rightarrow

A B M + B A C = 9 0^{\circ}

\Rightarrow

A H B = 9 0^{\circ}

B H = \frac{A B \cdot B C}{A C} = \frac{2}{3}

N H = \frac{1}{2} A H = \frac{3}{6}

\Rightarrow

N B^{2} = B H^{2} + N H^{2} = \frac{2}{3} + \frac{1}{12} = \frac{3}{4}

N P^{2} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{6})^{2} + (2 - \frac{2}{6})^{2} = \frac{1}{9} + \frac{25}{18} = \frac{3}{2}

B P^{2} = B C^{2} + C P^{2} = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}

N B^{2} + N P^{2} = \frac{3}{4} + \frac{3}{2} = \frac{9}{4} = B P^{2}

Vậy $A C ⊥ B M$ và tam giác $N B P$ vuông tại $N$ (định lí Pythagore đảo).

Nhận xét. Cách 3 dùng công thức đường cao $B H = \frac{A B \cdot B C}{A C}$ trong tam giác vuông $A B C$ và $tan (9 0^{\circ} - α) = \frac{1}{tan α}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: toạ độ đặt tự nhiên theo hai cạnh hình chữ nhật, mọi bước chỉ là tính số.

Đáp số. a)

A C \cdot B M = 0

nên

A C ⊥ B M

. b)

N B \cdot N P = 0

nên tam giác

N B P

vuông tại

N

Sai lầm thường gặp. Cho

H

là trung điểm

A C

(theo cảm giác hình vẽ) — sai,

A H = \frac{1}{3} A C

. Khi đó

N

lệch và tích vô hướng không bằng

0

. Một lỗi khác: đi kiểm tra góc vuông tại

B

hoặc

P

(tích

B N \cdot B P = \frac{3}{4} \neq = 0

🚀 Mở rộng. Tổng quát: hình chữ nhật

A B C D

có

A C ⊥ B M

(

M

trung điểm

A D

) khi và chỉ khi

B C = A B 2

— thử chứng minh chiều ngược lại.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 4.31★★★★Trang 65— Chứng minh vuông góc, bằng nhau bằng tích vô hướng

Bài 4.31 (trang 65). Cho tam giác

A B C

có

A < 9 0^{\circ}

. Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh

A

là

A B D

và

A C E

. Gọi

M

N

P

theo thứ tự là trung điểm

B C

B D

C E

. Chứng minh rằng:
a)

A M

vuông góc với

D E

;
b)

B E

vuông góc với

C D

;
c) Tam giác

M N P

là một tam giác vuông cân.

Kiến thức cần nhớ

$u ⊥ v$ $\Leftrightarrow$ $u \cdot v = 0$ .
$cos (9 0^{\circ} + α) = - sin α$ , $cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ .
Đường trung bình của tam giác song song và bằng nửa cạnh thứ ba.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 4.32★★Trang 65— Tích vô hướng và góc từ độ dài

Bài 4.32 (trang 65). Cho hai vectơ

a

và

b

thoả mãn

∣ a ∣ = 6

∣ b ∣ = 8

và

∣ a + b ∣ = 10

.
a) Tính tích vô hướng

a \cdot (a + b)

.
b) Tính số đo của góc giữa hai vectơ

a

và

a + b

Kiến thức cần nhớ

$∣ a + b ∣^{2} = a^{2} + 2 a \cdot b + b^{2}$ .
$a \cdot (a + b) = a^{2} + a \cdot b$ .
$cos (u, v) = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣ \cdot ∣ v ∣}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 4.33★★★★Trang 65— Đẳng thức tích vô hướng — hình chiếu và trung điểm

Bài 4.33 (trang 65). Cho tam giác

A B C

không cân. Gọi

D

E

F

theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ

A

B

C

; gọi

M

N

P

tương ứng là trung điểm các cạnh

B C

C A

A B

. Chứng minh rằng

M D \cdot B C + N E \cdot C A + P F \cdot A B = 0

Kiến thức cần nhớ

$M D = M A + A D$ và $A D \cdot B C = 0$ .
$A M = \frac{1}{2} (A B + A C)$ .
$(u + v) \cdot (u - v) = u^{2} - v^{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 4.34★★Trang 65— Tìm điểm tạo tam giác vuông, vuông cân

Bài 4.34 (trang 65). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

cho hai điểm

A (2; 1)

và

B (4; 3)

.
a) Tìm toạ độ của điểm

C

thuộc trục hoành sao cho tam giác

A B C

vuông tại

A

. Tính chu vi và diện tích của tam giác

A B C

.
b) Tìm toạ độ của điểm

D

sao cho tam giác

A B D

vuông cân tại

A

Kiến thức cần nhớ

$B A C = 9 0^{\circ}$ $\Leftrightarrow$ $A B \cdot A C = 0$ .
Vectơ vuông góc với $(a; b)$ , cùng độ dài: $(- b; a)$ hoặc $(b; - a)$ .
Tam giác vuông: $S = \frac{1}{2} \cdot$ tích hai cạnh góc vuông.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 4.35★★★Trang 65— Tìm đỉnh hình vuông biết hai đỉnh đối diện

Bài 4.35 (trang 65). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

cho hai điểm

A (1; 4)

và

C (9; 2)

là hai đỉnh của hình vuông

A B C D

. Tìm toạ độ các đỉnh

B

D

, biết rằng tung độ của

B

là một số âm.

Kiến thức cần nhớ

Hai đường chéo hình vuông bằng nhau, vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Vectơ $(a; b)$ quay $\pm 9 0^{\circ}$ được $(- b; a)$ , $(b; - a)$ .
$A B C = 9 0^{\circ}$ $\Leftrightarrow$ $B A \cdot B C = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 4.36★★★Trang 66— Điểm cách đều hai điểm; cực trị độ dài vectơ tổng

Bài 4.36 (trang 66). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

cho hai điểm

A (1; 1)

và

B (7; 5)

.
a) Tìm toạ độ của điểm

C

thuộc trục hoành sao cho

C

cách đều

A

và

B

.
b) Tìm toạ độ của điểm

D

thuộc trục tung sao cho vectơ

D A + D B

có độ dài ngắn nhất.

Kiến thức cần nhớ

$C A = C B$ $\Leftrightarrow$ $C$ thuộc trung trực của $A B$ $\Leftrightarrow$ $M C \cdot A B = 0$ ( $M$ trung điểm $A B$ ).
$D A + D B = 2 D M$ .
Đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 4.37★★★Trang 66— Trọng tâm, trực tâm, tâm ngoại tiếp bằng toạ độ

Bài 4.37 (trang 66). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

cho ba điểm

A (- 3; 2)

B (1; 5)

và

C (3; - 1)

.
a) Chứng minh rằng

A

B

C

là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm

G

của tam giác ấy.
b) Tìm toạ độ trực tâm

H

của tam giác

A B C

.
c) Gọi

I

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

. Tìm toạ độ của

I

Kiến thức cần nhớ

$A$ , $B$ , $C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow$ $A B$ , $A C$ cùng phương.
$G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3})$ .
$I H = I A + I B + I C = 3 I G$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 4.38★★Trang 66— Công của lực — tính phân phối của tích vô hướng

Bài 4.38 (trang 66). Cho ba điểm

M

N

P

. Nếu một lực

F

không đổi tác động lên một chất điểm trong suốt quá trình chuyển động của chất điểm, thì các công sinh bởi lực

F

trong hai trường hợp sau có mối quan hệ gì với nhau?
a) Chất điểm chuyển động theo đường gấp khúc từ

M

đến

N

rồi tiếp tục từ

N

đến

P

.
b) Chất điểm chuyển động thẳng từ

M

đến

P

Kiến thức cần nhớ

Công của lực $F$ trên độ dời $M N$ : $A = F \cdot M N$ .
$F \cdot u + F \cdot v = F \cdot (u + v)$ .
$M N + N P = M P$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 10. Vectơ trong mặt phẳng toạ độ Bài tiếp theo ›Bài tập cuối chương IV

📚 Cùng chương: Chương IV. Vectơ

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Học sâu hơn về Vectơ & toạ độ mặt phẳng Oxy — đọc thử miễn phí trước khi mua.

📘 Sách

Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Chương IV. Vectơ

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Sổ tay Toán học THPT 10–12

Tuyển tập đề HSG Toán 10

Vectơ & Toạ độ mặt phẳng

Toán 10 Toàn diện — cả năm