Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ

Định hướng. Chung điểm đầu thì góc giữa hai vectơ là góc hình học; tìm $\widehat{BDC}$ trong tam giác $BCD$.

Vậy $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD})=30^{\circ }$, $(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB})=50^{\circ }$.

Định hướng. $\widehat{ACB}$ là góc ngoài tại đỉnh $C$ của tam giác $BCD$.

Vậy hai góc cần tìm là $30^{\circ }$ và $50^{\circ }$.

Nhận xét. Tia $DA$ trùng tia $DC$ ($C$ nằm giữa $A$ và $D$) nên $\widehat{ADB}=\widehat{CDB}$ — đó là lí do đổi được vectơ $\overrightarrow{DA}$ thành $\overrightarrow{DC}$ mà góc không đổi.

Định hướng. Vẽ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$ rồi xét vị trí hai tia $AB$, $AC$.

Vậy góc giữa hai vectơ khác $\overrightarrow{0}$ bằng $0^{\circ }$ khi chúng cùng hướng, bằng $180^{\circ }$ khi chúng ngược hướng.

Định hướng. Hai vectơ khác $\overrightarrow{0}$ cùng phương thì $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$ với $k\ne 0$; dấu của $k$ quyết định góc.

Vậy $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=0^{\circ }$ khi $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$ với $k>0$; $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=180^{\circ }$ khi $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$ với $k<0$.

Nhận xét. Ví dụ: $(\overrightarrow{a},2\overrightarrow{a})=0^{\circ }$, $(\overrightarrow{a},-3\overrightarrow{a})=180^{\circ }$ với mọi $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$.

Định hướng. Lấy $D$ sao cho $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}$ ($B$ là trung điểm $AD$), khi đó góc cần tìm là $\widehat{DBC}$.

Vậy $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=120^{\circ }$.

Định hướng. $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$, mà $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$ đã chung điểm đầu $B$.

Vậy $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=120^{\circ }$.

Định hướng. Đặt tam giác đều cạnh $1$ vào hệ trục rồi dùng công thức côsin của góc giữa hai vectơ (mục 3).

Vậy $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=120^{\circ }$.

Nhận xét. Hai vectơ nối đuôi nhau luôn cho góc bằng $180^{\circ }$ trừ góc của tam giác tại đỉnh nối — đây là chỗ đề hay gài.

Định hướng. Tách tích vô hướng thành phần luôn dương và phần mang dấu.

Vậy tích vô hướng dương khi góc giữa hai vectơ nhỏ hơn $90^{\circ }$ (kể cả $0^{\circ }$), âm khi góc đó lớn hơn $90^{\circ }$ (kể cả $180^{\circ }$).

Định hướng. Vẽ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}$, gọi $H$ là hình chiếu của $B$ trên đường thẳng $OA$; khi đó $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OH}$.

Vậy $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}>0$ khi $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ nhọn (hoặc bằng $0^{\circ }$); $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}<0$ khi $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ tù (hoặc bằng $180^{\circ }$).

Nhận xét. Cách 2 giải thích ý nghĩa vật lí: công dương khi lực "kéo theo" chiều chuyển động, công âm khi lực "cản lại".

Định hướng. Viết hai vế theo độ dài và côsin, xét riêng trường hợp có vectơ-không.

Vậy $(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}{)}^2={\overrightarrow{u}}^2\cdot {\overrightarrow{v}}^2$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ cùng phương (quy ước $\overrightarrow{0}$ cùng phương với mọi vectơ).

Định hướng. Với $\overrightarrow{u}=(x;y)$, $\overrightarrow{v}=(x^{\prime };y^{\prime })$, hiệu hai vế là một bình phương.

Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương.

Nhận xét. Cách 2 cho thêm bất đẳng thức $(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}{)}^2\le {\overrightarrow{u}}^2\cdot {\overrightarrow{v}}^2$ luôn đúng (bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng vectơ).

Định hướng. Thay $\cos A$ từ định lí côsin vào định nghĩa tích vô hướng.

Vậy $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$.

Định hướng. Biểu diễn $\overrightarrow{BC}$ qua hai vectơ đề hỏi rồi bình phương hai vế.

Vậy $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$.

Định hướng. Đặt $A$ ở gốc, $B$ trên tia $Ox$; hoành độ của $C$ giải được từ hai độ dài $CA$, $CB$.

Vậy $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$.

Nhận xét. Cách 2 thực chất là chứng minh lại định lí côsin bằng vectơ; Cách 3 cho thấy $\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}$ chính là độ dài đại số hình chiếu của $AC$ lên đường thẳng $AB$.

Định hướng. Mỗi trường hợp xác định được góc và độ dài của $\overrightarrow{v}$.

Vậy công thức $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=k(x^2+y^2)$ đúng trong cả ba trường hợp.

Định hướng. Đưa hệ số $k$ ra ngoài rồi dùng bình phương vô hướng (tính chất trang 69).

Vậy $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=k(x^2+y^2)$ với mọi $k$, không phải chia trường hợp.

Định hướng. Áp công thức $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$ của khung kiến thức trang 68.

Vậy kết quả trùng với công thức cần kiểm tra.

Nhận xét. Cách 1 là con đường SGK dùng để xây dựng công thức toạ độ; Cách 2, Cách 3 chỉ dùng được sau khi đã có tính chất và công thức toạ độ.

Định hướng. Tính ba bình phương độ dài rồi thay vào công thức gợi ý.

Vậy a) $A(x;y)$, $B(x^{\prime };y^{\prime })$; b) như trên; c) $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$.

Định hướng. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$, bình phương hai vế là rút được tích vô hướng.

Vậy $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$.

Định hướng. $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{v}=x^{\prime }\overrightarrow{i}+y^{\prime }\overrightarrow{j}$; nhân phân phối và dùng $\overrightarrow{i}\perp \overrightarrow{j}$.

Vậy $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$.

Nhận xét. Cách 3 cũng đúng khi $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ cùng phương, nên cùng với HĐ2 ta có công thức toạ độ cho mọi cặp vectơ.

Định hướng. Tính tích, hai độ dài rồi côsin.

Vậy $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=-5$ và $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=120^{\circ }$.

Định hướng. $\overrightarrow{u}$ ngược hướng $\overrightarrow{j}$; $\overrightarrow{v}$ tạo với $Ox$ góc có $\tan =\frac{1}{\sqrt{3}}$, tức $30^{\circ }$.

Vậy $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=120^{\circ }$, $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=-5$.

Định hướng. $\overrightarrow{u}=-5\overrightarrow{j}$ nên chỉ cần tích $\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{v}$, chính là tung độ của $\overrightarrow{v}$.

Vậy $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=-5$, $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=120^{\circ }$.

Nhận xét. Tích vô hướng của $\overrightarrow{v}$ với $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ lần lượt là hoành độ, tung độ của $\overrightarrow{v}$ — mẹo tính nhanh khi một vectơ nằm trên trục.