Chương V. Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm

Bài 12. Số gần đúng và sai số

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngV #SáchBàiTập_Tập1 #trang73–74 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 5.1★Trang 73— Phân biệt số đúng và số gần đúng

Bài 5.1 (trang 73). Hãy xác định số đúng, số gần đúng trong các trường hợp sau:
a) Kết quả 2 lần đo chiều cao đỉnh Phan-xi-păng như sau:
– Kết quả đo của người Pháp năm 1909 là 3 143 m;
– Kết quả đo của Cục Đo đạc, Bản đồ và Thông tin địa lí Việt Nam ngày 26-6-2019 là 3 147,3 m. (Theo Thông tấn xã Việt Nam)
b) Hai giá trị thể hiện chu vi của hình tròn trung tâm sân bóng đá 11 người với bán kính 9,15 m là:

18, 3 π

m và

57, 462

Kiến thức cần nhớ

Kết quả của mọi phép đo đều là số gần đúng.
Chu vi đường tròn $C = 2 π R$ ; $π$ là số vô tỉ nên $2 π R$ khác mọi số thập phân hữu hạn (khi $R$ hữu tỉ khác 0).

🧠 Phân tích tư duy

Ý a) là hai kết quả đo đạc, mà mọi phép đo đều có sai số, nên cả hai là số gần đúng. Ý b) có một biểu thức chứa

π

và một số thập phân hữu hạn: tính số đúng

2 π R

rồi xem số nào trùng khớp. Bẫy: nghĩ số đo mới hơn (3 147,3 m) là số đúng; nó chỉ chính xác hơn chứ vẫn là số gần đúng.

1Cách 1. Tính số đúng rồi đối chiếu

Định hướng. Ý a) xét bản chất phép đo; ý b) tính đúng $2 π R$ rồi so với hai giá trị đề cho.

3143

m và

3147, 3

m đều là kết quả đo, chiều cao thật không biết chính xác: cả hai là số gần đúng
b)

C = 2 π R = 2 π \cdot 9, 15 = 18, 3 π

(m)

18, 3 π

là số đúng

18, 3 \cdot 3, 14 = 57, 462

nên

57, 462

có được do thay

π \approx 3, 14

: số gần đúng

Vậy a) 3 143 m và 3 147,3 m đều là số gần đúng; b) $18, 3 π$ m là số đúng, $57, 462$ m là số gần đúng.

2Cách 2. Dùng tính vô tỉ của

π

Định hướng. Số hữu tỉ không thể bằng số vô tỉ, nên $57, 462$ không thể bằng $18, 3 π$ .

a) Hai lần đo cho hai số khác nhau:

3147, 3 - 3143 = 4, 3 \neq = 0

, không thể cả hai cùng là số đúng; mà cả hai đều qua đo đạc nên đều là số gần đúng
b)

18, 3 π = 2 π \cdot 9, 15

đúng bằng chu vi
Nếu

57, 462 = 18, 3 π

thì

π = \frac{57 , 462}{18 , 3} = 3, 14

hữu tỉ, vô lí

Vậy a) cả hai số đều gần đúng; b) $18, 3 π$ m là số đúng, $57, 462$ m là số gần đúng.

3Cách 3. Tính sai số tuyệt đối

Định hướng. Số gần đúng có sai số tuyệt đối khác 0 so với số đúng; tính thử bằng máy.

18, 3 π \approx 57, 491146

∣57, 462 - 18, 3 π ∣ \approx 0, 029 > 0

a) Hai kết quả chênh nhau

4, 3

m, ít nhất một số lệch khỏi chiều cao thật; cả hai là kết quả đo nên đều mang sai số

Vậy a) 3 143 m và 3 147,3 m là số gần đúng; b) $18, 3 π$ m là số đúng, $57, 462$ m là số gần đúng với sai số khoảng 0,029 m.

Nhận xét. Phép đo năm 2019 dùng thiết bị hiện đại nên sát chiều cao thật hơn, nhưng vẫn là số gần đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính

2 π \cdot 9, 15 = 18, 3 π

là lộ ngay số đúng, còn hai số đo thì hiển nhiên là gần đúng.

Đáp số. a) 3 143 m và 3 147,3 m đều là số gần đúng (chiều cao thật là số đúng, chưa biết). b)

18, 3 π

m là số đúng;

57, 462

m là số gần đúng.

Sai lầm thường gặp. Cho rằng 3 147,3 m là số đúng vì đo sau và bằng máy hiện đại: mọi phép đo đều có sai số. Cho rằng 57,462 m là số đúng vì "có nhiều chữ số thập phân": nó chỉ là

18, 3 \cdot 3, 14

🚀 Mở rộng. Diện tích hình tròn trung tâm là

83, 7225 π

m²; lấy

π \approx 3, 14

thì được số gần đúng khoảng

262, 89

m².

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.2★★Trang 73— Đánh giá sai số tuyệt đối và sai số tương đối của phép đo

Bài 5.2 (trang 73). Dùng thước đo có độ chia nhỏ nhất 1 cm để đo chiều cao của một học sinh được giá trị là 163 cm. Đánh giá sai số tuyệt đối và sai số tương đối của phép đo này.

Kiến thức cần nhớ

Trong phép đo, độ chính xác $d$ bằng một nửa đơn vị của thước đo.
$Δ_{a} \leq d$ và $δ_{a} = \frac{Δ _{a}}{∣ a ∣} \leq \frac{d}{∣ a ∣}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho độ chia nhỏ nhất của thước, không cho

d

: dùng chú ý của SGK, độ chính xác bằng nửa đơn vị của thước đo. Có

d

rồi thì

Δ_{a} \leq d

và

δ_{a} \leq \frac{d}{∣ a ∣}

. Bẫy: lấy

d = 1

cm (cả độ chia) thay vì

0, 5

cm.

1Cách 1. Lấy

d

bằng nửa độ chia

Định hướng. Độ chia 1 cm nên $d = 0, 5$ cm; thay vào hai công thức đánh giá.

a = 163

cm,

d = \frac{1}{2} = 0, 5

Δ_{a} \leq 0, 5

δ_{a} \leq \frac{0 , 5}{163} \approx 0, 00307 \approx 0, 31%

Vậy sai số tuyệt đối không vượt quá 0,5 cm, sai số tương đối không vượt quá khoảng 0,31%.

2Cách 2. Khoanh đoạn chứa chiều cao thật

Định hướng. Số đọc 163 nghĩa là chiều cao thật gần vạch 163 hơn mọi vạch khác.

162, 5 \leq \overline{a} \leq 163, 5

∣ \overline{a} - 163∣ \leq 0, 5

Δ_{a} \leq 0, 5

δ_{a} \leq \frac{0 , 5}{163} \approx 0, 31%

Vậy $Δ_{a} \leq 0, 5$ cm và $δ_{a} \leq$ khoảng 0,31%.

3Cách 3. Ước lượng sai số tương đối không cần máy

Định hướng. Kẹp mẫu 163 giữa 160 và 170 để có ngay khoảng giá trị của $\frac{0 , 5}{163}$ .

Δ_{a} \leq 0, 5

\frac{0 , 5}{170} < \frac{0 , 5}{163} < \frac{0 , 5}{160}

0, 294% < \frac{0 , 5}{163} < 0, 3125%

δ_{a} \leq \frac{0 , 5}{163} < 0, 32%

Vậy sai số tuyệt đối không quá 0,5 cm; sai số tương đối không quá khoảng 0,3%.

Nhận xét. Sai số tương đối chỉ khoảng 0,3% nên phép đo chiều cao bằng thước chia xentimét là khá tốt.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ "d bằng nửa độ chia" là ra ngay hai kết quả.

Đáp số.

Δ_{a} \leq 0, 5

cm;

δ_{a} \leq \frac{0 , 5}{163} \approx 0, 31%

Sai lầm thường gặp. Lấy

d = 1

cm dẫn tới

δ_{a} \leq 0, 61%

, gấp đôi thực tế. Viết

δ_{a} \approx 31 \cdot 1 0^{- 3}

là sai hàng:

\frac{0 , 5}{163} \approx 3, 1 \cdot 1 0^{- 3}

🚀 Mở rộng. Đo bằng thước chia tới milimét được 163,2 cm thì

d = 0, 05

cm và

δ_{a} \leq

khoảng 0,031%, chính xác gấp 10 lần.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.3★★Trang 74— Đánh giá sai số khi biết số đúng nằm trong một khoảng

Bài 5.3 (trang 74). Biết

e

là một số vô tỉ và

2, 7182 < e < 2, 7183

. Lấy

e \approx 2, 71828

.
a) Xác định số đúng, số gần đúng.
b) Đánh giá sai số tuyệt đối và sai số tương đối của phép xấp xỉ này.

Kiến thức cần nhớ

Nếu $\overline{a} \in (m; M)$ và $m \leq a \leq M$ thì $Δ_{a} < max {a - m; M - a}$ .
$δ_{a} = \frac{Δ _{a}}{∣ a ∣}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.4★Trang 74— Tìm số gần đúng bằng máy tính cầm tay

Bài 5.4 (trang 74). Sử dụng máy tính cầm tay tìm số gần đúng (làm tròn đến hàng phần nghìn) cho các số sau:
a)

1 + 23

;
b)

4 π - 1

Kiến thức cần nhớ

Làm tròn đến hàng phần nghìn: nhìn chữ số hàng phần vạn, nhỏ hơn 5 giữ nguyên, từ 5 trở lên tăng 1.
Nên giữ nhiều chữ số trong lúc tính, chỉ làm tròn ở bước cuối.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.5★Trang 74— Làm tròn số đến hàng cho trước

Bài 5.5 (trang 74). Thực hiện làm tròn số:
a) 23 167 đến hàng trăm;
b) 18,062 đến hàng phần trăm.

Kiến thức cần nhớ

Chữ số ngay bên phải hàng làm tròn nhỏ hơn 5 thì giữ nguyên, lớn hơn hoặc bằng 5 thì tăng 1 đơn vị.
Chữ số sau hàng làm tròn: bỏ đi nếu ở phần thập phân, thay bằng 0 nếu ở phần số nguyên.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 5.6★★Trang 74— Viết số quy tròn của số gần đúng khi biết độ chính xác

Bài 5.6 (trang 74). Thực hiện làm tròn các số gần đúng sau:
a) Phép đo hiệu điện thế với kết quả là

120 \pm 7, 5

V;
b) Phép đo gia tốc trọng trường với kết quả là

9, 78 \pm 0, 20

m/s².

Kiến thức cần nhớ

Cho $a$ với độ chính xác $d$ , không nói rõ hàng thì làm tròn $a$ đến hàng thấp nhất mà $d$ nhỏ hơn 1 đơn vị của hàng đó.
$\overline{a} = a \pm d \Leftrightarrow a - d \leq \overline{a} \leq a + d$ .