Chương V. Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm

Bài 12. Số gần đúng và sai số

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 5.1★Trang 73— Phân biệt số đúng và số gần đúng

Bài 5.1 (trang 73). Hãy xác định số đúng, số gần đúng trong các trường hợp sau:
a) Kết quả 2 lần đo chiều cao đỉnh Phan-xi-păng như sau:
– Kết quả đo của người Pháp năm 1909 là 3 143 m;
– Kết quả đo của Cục Đo đạc, Bản đồ và Thông tin địa lí Việt Nam ngày 26-6-2019 là 3 147,3 m. (Theo Thông tấn xã Việt Nam)
b) Hai giá trị thể hiện chu vi của hình tròn trung tâm sân bóng đá 11 người với bán kính 9,15 m là:

18, 3 π

m và

57, 462

Kiến thức cần nhớ

Kết quả của mọi phép đo đều là số gần đúng.
Chu vi đường tròn $C = 2 π R$ ; $π$ là số vô tỉ nên $2 π R$ khác mọi số thập phân hữu hạn (khi $R$ hữu tỉ khác 0).

🧠 Phân tích tư duy

Ý a) là hai kết quả đo đạc, mà mọi phép đo đều có sai số, nên cả hai là số gần đúng. Ý b) có một biểu thức chứa

π

và một số thập phân hữu hạn: tính số đúng

2 π R

rồi xem số nào trùng khớp. Bẫy: nghĩ số đo mới hơn (3 147,3 m) là số đúng; nó chỉ chính xác hơn chứ vẫn là số gần đúng.

1Cách 1. Tính số đúng rồi đối chiếu

Định hướng. Ý a) xét bản chất phép đo; ý b) tính đúng $2 π R$ rồi so với hai giá trị đề cho.

3143

m và

3147, 3

m đều là kết quả đo, chiều cao thật không biết chính xác: cả hai là số gần đúng
b)

C = 2 π R = 2 π \cdot 9, 15 = 18, 3 π

(m)

18, 3 π

là số đúng

18, 3 \cdot 3, 14 = 57, 462

nên

57, 462

có được do thay

π \approx 3, 14

: số gần đúng

Vậy a) 3 143 m và 3 147,3 m đều là số gần đúng; b) $18, 3 π$ m là số đúng, $57, 462$ m là số gần đúng.

2Cách 2. Dùng tính vô tỉ của

π

Định hướng. Số hữu tỉ không thể bằng số vô tỉ, nên $57, 462$ không thể bằng $18, 3 π$ .

a) Hai lần đo cho hai số khác nhau:

3147, 3 - 3143 = 4, 3 \neq = 0

, không thể cả hai cùng là số đúng; mà cả hai đều qua đo đạc nên đều là số gần đúng
b)

18, 3 π = 2 π \cdot 9, 15

đúng bằng chu vi
Nếu

57, 462 = 18, 3 π

thì

π = \frac{57 , 462}{18 , 3} = 3, 14

hữu tỉ, vô lí

Vậy a) cả hai số đều gần đúng; b) $18, 3 π$ m là số đúng, $57, 462$ m là số gần đúng.

3Cách 3. Tính sai số tuyệt đối

Định hướng. Số gần đúng có sai số tuyệt đối khác 0 so với số đúng; tính thử bằng máy.

18, 3 π \approx 57, 491146

∣57, 462 - 18, 3 π ∣ \approx 0, 029 > 0

a) Hai kết quả chênh nhau

4, 3

m, ít nhất một số lệch khỏi chiều cao thật; cả hai là kết quả đo nên đều mang sai số

Vậy a) 3 143 m và 3 147,3 m là số gần đúng; b) $18, 3 π$ m là số đúng, $57, 462$ m là số gần đúng với sai số khoảng 0,029 m.

Nhận xét. Phép đo năm 2019 dùng thiết bị hiện đại nên sát chiều cao thật hơn, nhưng vẫn là số gần đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính

2 π \cdot 9, 15 = 18, 3 π

là lộ ngay số đúng, còn hai số đo thì hiển nhiên là gần đúng.

Đáp số. a) 3 143 m và 3 147,3 m đều là số gần đúng (chiều cao thật là số đúng, chưa biết). b)

18, 3 π

m là số đúng;

57, 462

m là số gần đúng.

Sai lầm thường gặp. Cho rằng 3 147,3 m là số đúng vì đo sau và bằng máy hiện đại: mọi phép đo đều có sai số. Cho rằng 57,462 m là số đúng vì "có nhiều chữ số thập phân": nó chỉ là

18, 3 \cdot 3, 14

🚀 Mở rộng. Diện tích hình tròn trung tâm là

83, 7225 π

m²; lấy

π \approx 3, 14

thì được số gần đúng khoảng

262, 89

m².

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.2★★Trang 73— Đánh giá sai số tuyệt đối và sai số tương đối của phép đo

Bài 5.2 (trang 73). Dùng thước đo có độ chia nhỏ nhất 1 cm để đo chiều cao của một học sinh được giá trị là 163 cm. Đánh giá sai số tuyệt đối và sai số tương đối của phép đo này.

Kiến thức cần nhớ

Trong phép đo, độ chính xác $d$ bằng một nửa đơn vị của thước đo.
$Δ_{a} \leq d$ và $δ_{a} = \frac{Δ _{a}}{∣ a ∣} \leq \frac{d}{∣ a ∣}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho độ chia nhỏ nhất của thước, không cho

d

: dùng chú ý của SGK, độ chính xác bằng nửa đơn vị của thước đo. Có

d

rồi thì

Δ_{a} \leq d

và

δ_{a} \leq \frac{d}{∣ a ∣}

. Bẫy: lấy

d = 1

cm (cả độ chia) thay vì

0, 5

cm.

1Cách 1. Lấy

d

bằng nửa độ chia

Định hướng. Độ chia 1 cm nên $d = 0, 5$ cm; thay vào hai công thức đánh giá.

a = 163

cm,

d = \frac{1}{2} = 0, 5

Δ_{a} \leq 0, 5

δ_{a} \leq \frac{0 , 5}{163} \approx 0, 00307 \approx 0, 31%

Vậy sai số tuyệt đối không vượt quá 0,5 cm, sai số tương đối không vượt quá khoảng 0,31%.

2Cách 2. Khoanh đoạn chứa chiều cao thật

Định hướng. Số đọc 163 nghĩa là chiều cao thật gần vạch 163 hơn mọi vạch khác.

162, 5 \leq \overline{a} \leq 163, 5

∣ \overline{a} - 163∣ \leq 0, 5

Δ_{a} \leq 0, 5

δ_{a} \leq \frac{0 , 5}{163} \approx 0, 31%

Vậy $Δ_{a} \leq 0, 5$ cm và $δ_{a} \leq$ khoảng 0,31%.

3Cách 3. Ước lượng sai số tương đối không cần máy

Định hướng. Kẹp mẫu 163 giữa 160 và 170 để có ngay khoảng giá trị của $\frac{0 , 5}{163}$ .

Δ_{a} \leq 0, 5

\frac{0 , 5}{170} < \frac{0 , 5}{163} < \frac{0 , 5}{160}

0, 294% < \frac{0 , 5}{163} < 0, 3125%

δ_{a} \leq \frac{0 , 5}{163} < 0, 32%

Vậy sai số tuyệt đối không quá 0,5 cm; sai số tương đối không quá khoảng 0,3%.

Nhận xét. Sai số tương đối chỉ khoảng 0,3% nên phép đo chiều cao bằng thước chia xentimét là khá tốt.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ "d bằng nửa độ chia" là ra ngay hai kết quả.

Đáp số.

Δ_{a} \leq 0, 5

cm;

δ_{a} \leq \frac{0 , 5}{163} \approx 0, 31%

Sai lầm thường gặp. Lấy

d = 1

cm dẫn tới

δ_{a} \leq 0, 61%

, gấp đôi thực tế. Viết

δ_{a} \approx 31 \cdot 1 0^{- 3}

là sai hàng:

\frac{0 , 5}{163} \approx 3, 1 \cdot 1 0^{- 3}

🚀 Mở rộng. Đo bằng thước chia tới milimét được 163,2 cm thì

d = 0, 05

cm và

δ_{a} \leq

khoảng 0,031%, chính xác gấp 10 lần.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.3★★Trang 74— Đánh giá sai số khi biết số đúng nằm trong một khoảng

Bài 5.3 (trang 74). Biết

e

là một số vô tỉ và

2, 7182 < e < 2, 7183

. Lấy

e \approx 2, 71828

.
a) Xác định số đúng, số gần đúng.
b) Đánh giá sai số tuyệt đối và sai số tương đối của phép xấp xỉ này.

Kiến thức cần nhớ

Nếu $\overline{a} \in (m; M)$ và $m \leq a \leq M$ thì $Δ_{a} < max {a - m; M - a}$ .
$δ_{a} = \frac{Δ _{a}}{∣ a ∣}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Không biết

e

chính xác nhưng biết nó kẹp giữa 2,7182 và 2,7183, nên sai số tuyệt đối bị chặn bởi khoảng cách từ 2,71828 tới đầu mút xa hơn. Có cận trên

d

của

Δ

thì chia cho

∣ a ∣

để được cận trên của

δ

. Bẫy: lấy đầu mút gần (0,00002) làm cận là sai, vì

e

có thể nằm phía bên kia.

1Cách 1. Chặn bằng đầu mút xa hơn

Định hướng. Tính khoảng cách từ 2,71828 tới hai đầu mút, lấy số lớn hơn làm cận của sai số tuyệt đối.

e

là số đúng;

2, 71828

là số gần đúng
b)

2, 71828 - 2, 7182 = 0, 00008

2, 7183 - 2, 71828 = 0, 00002

- 0, 00008 < e - 2, 71828 < 0, 00002

Δ = ∣ e - 2, 71828∣ < 0, 00008

δ < \frac{0 , 00008}{2 , 71828} \approx 2, 94 \cdot 1 0^{- 5} \approx 0, 003%

Vậy a) $e$ là số đúng, 2,71828 là số gần đúng; b) $Δ < 0, 00008$ và $δ <$ khoảng $2, 94 \cdot 1 0^{- 5}$ (khoảng 0,003%).

2Cách 2. Chặn thô bằng độ dài khoảng

Định hướng. Cả $e$ lẫn 2,71828 đều nằm trong $[2, 7182; 2, 7183]$ , nên cách nhau không quá độ dài đoạn này.

e, 2, 71828 \in [2, 7182; 2, 7183]

Δ = ∣ e - 2, 71828∣ \leq 2, 7183 - 2, 7182 = 0, 0001

δ \leq \frac{0 , 0001}{2 , 71828} \approx 3, 68 \cdot 1 0^{- 5}

Vậy $Δ \leq 0, 0001$ và $δ \leq$ khoảng $3, 68 \cdot 1 0^{- 5}$ ; đánh giá này đúng nhưng thô hơn Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra bằng giá trị

e

trên máy tính

Định hướng. Máy tính lưu $e \approx 2, 718281828$ ; tính sai số thực để thấy các cận ở trên là hợp lí.

e \approx 2, 718281828

Δ = ∣ e - 2, 71828∣ \approx 1, 83 \cdot 1 0^{- 6} < 0, 00008

δ \approx \frac{1 , 83 \cdot 1 0 ^{- 6}}{2 , 71828} \approx 6, 7 \cdot 1 0^{- 7}

Vậy sai số thực nhỏ hơn nhiều so với cận $0, 00008$ ; với dữ kiện đề cho, ta đánh giá $Δ < 0, 00008$ , $δ <$ khoảng $2, 94 \cdot 1 0^{- 5}$ .

Nhận xét. Cận ở Cách 1 là tốt nhất có thể suy ra từ dữ kiện $2, 7182 < e < 2, 7183$ ; muốn cận nhỏ hơn phải biết thêm chữ số của $e$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ dùng dữ kiện đề cho và cho cận chặt nhất.

Đáp số. a)

e

là số đúng, 2,71828 là số gần đúng. b)

Δ < 0, 00008

;

δ < \frac{0 , 00008}{2 , 71828} \approx 2, 94 \cdot 1 0^{- 5}

(khoảng 0,003%).

Sai lầm thường gặp. Lấy

Δ < 0, 00002

(khoảng cách tới đầu mút gần) là sai:

e

có thể bằng 2,71821, khi đó sai số gần 0,00007. Gọi 2,71828 là số đúng vì "có nhiều chữ số" là nhầm:

e

vô tỉ nên không số thập phân hữu hạn nào bằng nó.

🚀 Mở rộng. Biết

1, 414 < 2 < 1, 415

và lấy

2 \approx 1, 4142

; khi đó

Δ < 0, 0008

và

δ <

khoảng 0,057%.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.4★Trang 74— Tìm số gần đúng bằng máy tính cầm tay

Bài 5.4 (trang 74). Sử dụng máy tính cầm tay tìm số gần đúng (làm tròn đến hàng phần nghìn) cho các số sau:
a)

1 + 23

;
b)

4 π - 1

Kiến thức cần nhớ

Làm tròn đến hàng phần nghìn: nhìn chữ số hàng phần vạn, nhỏ hơn 5 giữ nguyên, từ 5 trở lên tăng 1.
Nên giữ nhiều chữ số trong lúc tính, chỉ làm tròn ở bước cuối.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ rõ làm tròn đến hàng phần nghìn, nên chỉ cần giá trị đủ 4 chữ số thập phân rồi nhìn chữ số hàng phần vạn. Có thể bấm máy cả biểu thức, hoặc xấp xỉ

3

π

trước rồi tính. Bẫy: làm tròn

3 \approx 1, 732

trước rồi mới tính có thể lệch ở chữ số cuối.

1Cách 1. Bấm máy cả biểu thức

Định hướng. Nhập nguyên biểu thức vào máy, làm tròn kết quả ở bước cuối.

1 + 23 = 4, 464101615 \dots \approx 4, 464

(chữ số hàng phần vạn là

1 < 5

)
b)

4 π - 1 = 11, 56637061 \dots \approx 11, 566

(chữ số hàng phần vạn là

3 < 5

)

Vậy a) 4,464; b) 11,566.

2Cách 2. Xấp xỉ

3

π

với nhiều chữ số rồi tính tay

Định hướng. Lấy $3$ , $π$ với 7 chữ số thập phân, tính rồi mới làm tròn.

3 \approx 1, 7320508

1 + 23 \approx 1 + 3, 4641016 = 4, 4641016 \approx 4, 464

π \approx 3, 1415927

4 π - 1 \approx 12, 5663708 - 1 = 11, 5663708 \approx 11, 566

Vậy a) 4,464; b) 11,566.

3Cách 3. Kẹp giá trị để chắc chắn chữ số làm tròn

Định hướng. Kẹp $3$ và $π$ giữa hai số thập phân, đủ để biết chữ số hàng phần vạn của kết quả.

1, 732 < 3 < 1, 7321 \Rightarrow 4, 464 < 1 + 23 < 4, 4642

1 + 23 \approx 4, 464

3, 14159 < π < 3, 1416 \Rightarrow 11, 56636 < 4 π - 1 < 11, 5664

4 π - 1 \approx 11, 566

Vậy a) 4,464; b) 11,566.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy vì sao kết quả làm tròn chắc chắn đúng: cả khoảng chứa số đúng đều cho cùng một số quy tròn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng yêu cầu "sử dụng máy tính cầm tay", bấm một lần là có kết quả.

Đáp số. a)

1 + 23 \approx 4, 464

; b)

4 π - 1 \approx 11, 566

Sai lầm thường gặp. Viết b)

\approx 11, 567

vì làm tròn hai lần (11,5663… → 11,5664 → 11,567) là sai: chỉ làm tròn một lần từ số ban đầu. Bấm

4 π - 1

thành

4 (π - 1)

sẽ ra 8,566, sai thứ tự phép tính.

🚀 Mở rộng. Tìm số gần đúng của

5 - 2

làm tròn đến hàng phần nghìn (đáp số 0,822).

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.5★Trang 74— Làm tròn số đến hàng cho trước

Bài 5.5 (trang 74). Thực hiện làm tròn số:
a) 23 167 đến hàng trăm;
b) 18,062 đến hàng phần trăm.

Kiến thức cần nhớ

Chữ số ngay bên phải hàng làm tròn nhỏ hơn 5 thì giữ nguyên, lớn hơn hoặc bằng 5 thì tăng 1 đơn vị.
Chữ số sau hàng làm tròn: bỏ đi nếu ở phần thập phân, thay bằng 0 nếu ở phần số nguyên.

🧠 Phân tích tư duy

Hàng làm tròn đã cho sẵn, chỉ cần nhìn chữ số ngay bên phải hàng đó. Phần số nguyên thì các chữ số sau hàng làm tròn thay bằng 0; phần thập phân thì bỏ đi. Bẫy: câu a) nhìn nhầm chữ số hàng đơn vị (7) thay cho hàng chục (6).

1Cách 1. Theo quy tắc làm tròn

Định hướng. Xét chữ số ngay bên phải hàng làm tròn.

a) Hàng trăm là

1

, chữ số hàng chục là

6 \geq 5

nên

23167 \approx 23200

b) Hàng phần trăm là

6

, chữ số hàng phần nghìn là

2 < 5

nên

18, 062 \approx 18, 06

Vậy a) 23 200; b) 18,06.

2Cách 2. Chọn số tròn gần nhất

Định hướng. Làm tròn đến một hàng là chọn số tròn hàng đó gần nhất.

23100 < 23167 < 23200

;

23167 - 23100 = 67

23200 - 23167 = 33

33 < 67

23167 \approx 23200

18, 06 < 18, 062 < 18, 07

;

18, 062 - 18, 06 = 0, 002

18, 07 - 18, 062 = 0, 008

0, 002 < 0, 008

18, 062 \approx 18, 06

Vậy a) 23 200; b) 18,06.

3Cách 3. Đổi sang đơn vị của hàng làm tròn

Định hướng. Viết số theo đơn vị trăm (hoặc phần trăm), làm tròn đến số nguyên rồi đổi lại.

23167 = 231, 67

trăm

\approx 232

trăm

= 23200

18, 062 = 1806, 2

phần trăm

\approx 1806

phần trăm

= 18, 06

Vậy a) 23 200; b) 18,06.

Nhận xét. Sai số của hai số quy tròn là 33 và 0,002, đều không quá nửa đơn vị hàng làm tròn (50 và 0,005).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn đúng một chữ số là xong.

Đáp số. a) 23 200; b) 18,06.

Sai lầm thường gặp. Câu a) viết 232 là quên thay các chữ số sau hàng trăm bằng 0. Câu a) viết 23 100 vì chỉ bỏ đi chữ số là cắt cụt, không phải làm tròn.

🚀 Mở rộng. Làm tròn 23 167 đến hàng nghìn và 18,062 đến hàng phần mười (đáp số 23 000 và 18,1).

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 5.6★★Trang 74— Viết số quy tròn của số gần đúng khi biết độ chính xác

Bài 5.6 (trang 74). Thực hiện làm tròn các số gần đúng sau:
a) Phép đo hiệu điện thế với kết quả là

120 \pm 7, 5

V;
b) Phép đo gia tốc trọng trường với kết quả là

9, 78 \pm 0, 20

m/s².

Kiến thức cần nhớ

Cho $a$ với độ chính xác $d$ , không nói rõ hàng thì làm tròn $a$ đến hàng thấp nhất mà $d$ nhỏ hơn 1 đơn vị của hàng đó.
$\overline{a} = a \pm d \Leftrightarrow a - d \leq \overline{a} \leq a + d$ .

🧠 Phân tích tư duy

Không nói hàng làm tròn nên dùng quy tắc: hàng thấp nhất mà

d

nhỏ hơn 1 đơn vị của hàng đó.

d = 7, 5

nhỏ hơn 10 nhưng không nhỏ hơn 1, nên làm tròn đến hàng chục;

d = 0, 20

nhỏ hơn 1 nhưng không nhỏ hơn 0,1, nên làm tròn đến hàng đơn vị. Bẫy: câu b) làm tròn đến hàng phần mười ra 9,8 là giữ lại chữ số không chắc chắn.

1Cách 1. Áp dụng quy tắc chọn hàng làm tròn

Định hướng. Xác định hàng làm tròn theo $d$ , rồi làm tròn $a$ .

1 \leq d = 7, 5 < 10

nên làm tròn đến hàng chục:

120 \approx 120

(chữ số hàng đơn vị là

0 < 5

)
b)

0, 1 \leq d = 0, 20 < 1

nên làm tròn đến hàng đơn vị:

9, 78 \approx 10

(chữ số hàng phần mười là

7 \geq 5

)

Vậy số quy tròn: a) 120 V; b) 10 m/s².

2Cách 2. Tìm chữ số không chắc chắn

Định hướng. Viết đoạn chứa số đúng; hàng mà chữ số thay đổi được là không chắc chắn, làm tròn bỏ hàng đó.

\overline{a} \in [112, 5; 127, 5]

: chữ số hàng đơn vị có thể là bất kì số nào, không chắc chắn
Làm tròn đến hàng chục:

120 \approx 120

\overline{a} \in [9, 58; 9, 98]

: chữ số hàng phần mười chạy từ 5 tới 9, không chắc chắn
Làm tròn đến hàng đơn vị:

9, 78 \approx 10

Vậy a) 120 V; b) 10 m/s².

3Cách 3. Thử lần lượt từng hàng từ thấp lên

Định hướng. Hàng đầu tiên có 1 đơn vị lớn hơn $d$ là hàng cần làm tròn.

a) Hàng đơn vị:

1 < 7, 5

, loại; hàng chục:

10 > 7, 5

, chọn;

120 \approx 120

b) Hàng phần trăm:

0, 01 < 0, 2

, loại; hàng phần mười:

0, 1 < 0, 2

, loại; hàng đơn vị:

1 > 0, 2

, chọn;

9, 78 \approx 10

Vậy a) 120 V; b) 10 m/s².

Nhận xét. Câu b) cho thấy số quy tròn (10) có thể "trông" khác nhiều so với 9,78, nhưng phù hợp với độ chính xác 0,2 của phép đo.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn

d

ở hàng nào thì làm tròn ở hàng ngay trên.

Đáp số. a) 120 V; b) 10 m/s².

Sai lầm thường gặp. Câu b) làm tròn thành 9,8 là giữ chữ số hàng phần mười không chắc chắn (vì

d = 0, 2 \geq 0, 1

). Câu a) làm tròn đến hàng trăm ra 100 là làm tròn quá tay:

d = 7, 5 < 10

nên hàng chục đã đủ.

🚀 Mở rộng. Nếu phép đo gia tốc cho

9, 78 \pm 0, 02

m/s² thì làm tròn đến hàng phần mười được 9,8 m/s².

Mở bài này trong app ↗