Chương V. Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm

Bài 12. Số gần đúng và sai số

SGK Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 16 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 74— So sánh độ gần của các số gần đúng

HĐ1 (trang 74). Ngày 8-12-2020, Trung Quốc và Nepal ra thông cáo chung khẳng định chiều cao mới đo được của đỉnh núi cao nhất thế giới Everest là 8 848,86 m. (Theo Tuoitre.vn)
Trong các số được đưa ra ở tình huống mở đầu, số nào gần nhất với số được công bố ở trên?
(Tình huống mở đầu, trang 73: các con số đã từng được công bố về chiều cao của đỉnh Everest là 8 848 m; 8 848,13 m; 8 844,43 m; 8 850 m.)

Kiến thức cần nhớ

Số $x$ càng gần số $b$ khi $∣ x - b ∣$ càng nhỏ.
So sánh số thập phân: so phần nguyên trước, rồi so lần lượt từng hàng thập phân.

🧠 Phân tích tư duy

Cụm "số nào gần nhất" nghĩa là so khoảng cách

∣ x - 8848, 86∣

của từng số tới số công bố. Tính bốn hiệu là chắc ăn nhất; muốn nhanh hơn thì loại ngay số lệch hàng đơn vị rồi chỉ so phần thập phân. Bẫy: thấy 8 850 "tròn" và lớn hơn nên tưởng gần, thật ra nó lệch hơn 1 m.

1Cách 1. Tính khoảng cách tới số công bố

Định hướng. Lấy từng số trừ 8 848,86 rồi lấy giá trị tuyệt đối, số nào có hiệu nhỏ nhất là gần nhất.

∣8 848 - 8848, 86∣ = 0, 86

∣8 848, 13 - 8848, 86∣ = 0, 73

∣8 844, 43 - 8848, 86∣ = 4, 43

∣8 850 - 8848, 86∣ = 1, 14

0, 73 < 0, 86 < 1, 14 < 4, 43

Vậy số gần nhất với 8 848,86 m là 8 848,13 m.

2Cách 2. Loại trừ theo phần nguyên

Định hướng. Số lệch phần nguyên nhiều thì loại trước, còn lại chỉ phải so phần thập phân.

8844, 43 < 8848 < 8848, 86

nên 8 844,43 xa hơn 8 848, loại 8 844,43

8850 - 8848, 86 = 1, 14 > 1

, còn

8848, 86 - 8848 < 1

nên loại 8 850

8848 < 8848, 13 < 8848, 86

nên 8 848,13 gần 8 848,86 hơn 8 848

Vậy số gần nhất là 8 848,13 m.

3Cách 3. Đặt các số lên trục số

Định hướng. Trên trục số, các số nằm cùng một phía của 8 848,86 thì số đứng sát nó nhất là số gần nhất; hai phía thì so hai "ứng viên" sát nhất.

Bên trái 8 848,86:

8844, 43 < 8848 < 8848, 13

, ứng viên sát nhất là

8848, 13

, cách

0, 73

Bên phải 8 848,86: chỉ có

8850

, cách

1, 14

0, 73 < 1, 14

Vậy số gần nhất là 8 848,13 m.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy không cần tính cả bốn hiệu: mỗi phía chỉ cần một ứng viên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: bốn phép trừ ngắn, đọc thẳng ra số nhỏ nhất, không phải lập luận.

Đáp số. 8 848,13 m (cách số công bố 0,73 m).

Sai lầm thường gặp. Chọn 8 848 vì "trùng phần nguyên" là sai: 8 848 cách 0,86 m còn 8 848,13 chỉ cách 0,73 m. Chọn 8 850 vì nghĩ làm tròn 8 848,86 lên hàng chục cũng sai, 8 850 lệch tới 1,14 m.

🚀 Mở rộng. Nếu công bố mới là 8 849,5 m thì số nào trong bốn số trên gần nhất? (Đáp số: 8 850 m, cách 0,5 m.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ2★Trang 74— Đọc số đo trên dụng cụ có vạch chia

HĐ2 (trang 74). Trang và Hoà thực hiện đo thể tích một cốc nước bằng hai ống đong có vạch chia được kết quả như Hình 5.1. Hãy cho biết số đo thể tích trên mỗi ống.
(Hình 5.1: ống thứ nhất chỉ có vạch chia 10, 11, …, 15 cm³, mực nước ngang vạch 13; ống thứ hai chia thêm vạch nhỏ 0,1 cm³, mực nước ở ngay trên vạch 13, sát vạch 13,1.)

Kiến thức cần nhớ

Số đo đọc trên dụng cụ lấy theo vạch chia gần mực chất lỏng nhất.
Độ chia nhỏ nhất quyết định số đo chính xác tới hàng nào.

🧠 Phân tích tư duy

Hai ống đựng cùng một lượng nước nhưng độ chia khác nhau, nên số đọc được khác nhau. Mỗi ống chỉ đọc được tới đơn vị vạch chia nhỏ nhất của nó: ống 1 tới 1 cm³, ống 2 tới 0,1 cm³. Bẫy là cố đọc ống 1 ra số lẻ thập phân, trong khi ống 1 không có vạch nào giữa 13 và 14.

1Cách 1. Đọc vạch gần nhất theo độ chia

Định hướng. Tìm vạch chia gần mực nước nhất trên từng ống.

Ống 1: độ chia

1 cm^{3}

, mực nước ngang vạch

13

nên

V_{1} = 13 cm^{3}

Ống 2: độ chia

0, 1 cm^{3}

, mực nước nằm giữa vạch

13

và

13, 1

, sát vạch

13, 1

nên

V_{2} = 13, 1 cm^{3}

Vậy ống thứ nhất cho số đo 13 cm³, ống thứ hai cho số đo 13,1 cm³.

2Cách 2. Khoanh đoạn chứa thể tích thật

Định hướng. Mực nước nằm giữa hai vạch liền kề nào thì thể tích thật nằm trong đoạn đó; lấy đầu mút gần mực nước.

Ống 1:

12, 5 \leq \overline{a} \leq 13, 5

, mọi giá trị trong đoạn này đều đọc thành

13

Ống 2:

13 \leq \overline{a} \leq 13, 1

, mực nước sát đầu mút

13, 1

Vậy $V_{1} = 13$ cm³ và $V_{2} = 13, 1$ cm³.

Nhận xét. Cùng một cốc nước mà hai ống cho hai số khác nhau: cả hai đều là số gần đúng của thể tích thật $\overline{a}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn vạch gần mực nước nhất là đọc ngay.

Đáp số. Ống thứ nhất: 13 cm³; ống thứ hai: 13,1 cm³.

Sai lầm thường gặp. Đọc ống thứ nhất là 13,1 cm³ là sai vì ống này không có vạch 13,1 để so. Đọc ống thứ hai là 13 cm³ là bỏ phí độ chia 0,1 cm³ (mực nước sát 13,1 hơn).

🚀 Mở rộng. Nếu ống thứ ba có vạch chia 0,01 cm³ thì số đo có thể tới hàng nào và vì sao gần thể tích thật hơn?

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Câu hỏi trang 74★Trang 74— Nhận biết số gần đúng

Câu hỏi (trang 74). Hãy lấy một ví dụ khác về số gần đúng.

Kiến thức cần nhớ

Số đúng $\overline{a}$ thường không biết hoặc khó biết; giá trị $a$ xấp xỉ nó là số gần đúng.
Kết quả mọi phép đo đều là số gần đúng.

🧠 Phân tích tư duy

Số gần đúng xuất hiện khi ta không biết hoặc không viết được hết số đúng. Có ba nguồn điển hình: số vô tỉ phải cắt bớt, phân số có dạng thập phân vô hạn, và kết quả của phép đo. Mỗi nguồn cho một kiểu ví dụ; ví dụ phải nêu rõ đâu là số đúng, đâu là số gần đúng.

1Cách 1. Từ số vô tỉ

Định hướng. Số vô tỉ có phần thập phân vô hạn không tuần hoàn nên chỉ viết được xấp xỉ.

\overline{a} = π = 3, 14159 \dots

a = 3, 14

Vậy $3, 14$ là một số gần đúng của $π$ .

2Cách 2. Từ phân số thập phân vô hạn

Định hướng. Phân số có mẫu chứa thừa số nguyên tố khác 2 và 5 cho số thập phân vô hạn tuần hoàn, phải cắt bớt.

\overline{a} = \frac{1}{3} = 0, 333 \dots

a = 0, 33

Vậy $0, 33$ là một số gần đúng của $\frac{1}{3}$ .

3Cách 3. Từ một phép đo

Định hướng. Mọi dụng cụ đo đều có độ chia nhỏ nhất, nên số đọc được chỉ xấp xỉ đại lượng thật.

Đo chiều dài quyển sách bằng thước chia tới milimét:

a = 26, 5 cm

Chiều dài thật

\overline{a}

không biết chính xác

Vậy $26, 5$ cm là một số gần đúng của chiều dài quyển sách.

Nhận xét. Ba ví dụ ứng với ba nguồn sinh ra số gần đúng: làm tròn số vô tỉ, cắt số thập phân vô hạn, và đo đạc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Nên dùng Cách 1 khi trả lời nhanh:

π \approx 3, 14

ai cũng biết và chỉ rõ ngay số đúng là

π

Đáp số. Ví dụ:

π \approx 3, 14

(số đúng

π

, số gần đúng 3,14); hoặc

\frac{1}{3} \approx 0, 33

; hoặc kết quả đo chiều dài bằng thước.

Sai lầm thường gặp. Nêu "số 5 là số gần đúng" mà không nói nó xấp xỉ đại lượng nào là sai: một số chỉ là số gần đúng khi đem so với một số đúng cụ thể. Nêu

4 \approx 2

cũng sai vì

4 = 2

đúng tuyệt đối.

🚀 Mở rộng. Thử tìm một số gần đúng của

2

sao cho sai số tuyệt đối nhỏ hơn 0,001 (chẳng hạn 1,414).

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 1★Trang 74— Tìm giá trị gần đúng của biểu thức chứa số vô tỉ

Luyện tập 1 (trang 74). Gọi

P

là chu vi của đường tròn bán kính 1 cm. Hãy tìm một giá trị gần đúng của

P

Kiến thức cần nhớ

Chu vi đường tròn bán kính $R$ : $P = 2 π R$ .
$π = 3, 14159 \dots$ là số vô tỉ; hay dùng $π \approx 3, 14$ hoặc $π \approx \frac{22}{7}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chu vi đường tròn

P = 2 π R

chứa

π

vô tỉ, nên số đúng là

2 π

và chỉ viết được giá trị gần đúng. Mỗi cách xấp xỉ

π

khác nhau cho một giá trị gần đúng khác nhau; đề chỉ cần một giá trị. Bẫy: viết

P = 6, 28

bằng dấu "=" là sai về ý nghĩa, phải dùng "

\approx

1Cách 1. Lấy

π \approx 3, 14

Định hướng. Tính số đúng $P = 2 π$ rồi thay $π$ bằng giá trị quen thuộc 3,14.

P = 2 π R = 2 π \cdot 1 = 2 π

P \approx 2 \cdot 3, 14

P \approx 6, 28

Vậy một giá trị gần đúng của $P$ là $6, 28$ cm.

2Cách 2. Lấy

π \approx \frac{22}{7}

(phân số Archimedes)

Định hướng. Dùng xấp xỉ phân số cổ điển của $π$ , rồi đổi ra số thập phân.

P = 2 π

P \approx 2 \cdot \frac{22}{7}

P \approx \frac{44}{7}

P \approx 6, 29

Vậy một giá trị gần đúng khác của $P$ là $6, 29$ cm.

3Cách 3. Dùng máy tính cầm tay

Định hướng. Máy tính lưu $π$ tới nhiều chữ số, cho giá trị sát $2 π$ hơn hẳn.

Bấm

2 \times π =

được

6, 283185307

P \approx 6, 283

Vậy một giá trị gần đúng của $P$ là $6, 283$ cm.

Nhận xét. Ba giá trị 6,28; 6,29; 6,283 đều là số gần đúng của cùng một số đúng $2 π$ ; giá trị của máy tính sát nhất vì $π$ được lấy nhiều chữ số nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phép nhân nhẩm, và

π \approx 3, 14

là quy ước quen thuộc nhất.

Đáp số.

P = 2 π \approx 6, 28

cm (cũng có thể lấy 6,283 cm hoặc 6,29 cm).

Sai lầm thường gặp. Viết "

P = 6, 28

cm" là sai kí hiệu:

6, 28

chỉ xấp xỉ

2 π

, phải viết

P \approx 6, 28

cm. Nhầm công thức diện tích

π R^{2}

sẽ ra

3, 14

, không phải chu vi.

🚀 Mở rộng. Tìm giá trị gần đúng của diện tích hình tròn bán kính 2 cm với

π \approx 3, 14

(đáp số

12, 56

cm²).

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · HĐ3★★Trang 74— So sánh sai số tuyệt đối của hai số gần đúng

HĐ3 (trang 74). Trong HĐ2, Hoà dùng kính lúp để quan sát mực nước trên ống đo thứ hai được hình ảnh như Hình 5.2. Kí hiệu

\overline{a}

(cm³) là số đo thể tích của nước.
Quan sát hình vẽ để so sánh

∣13 - \overline{a} ∣

và

∣13, 1 - \overline{a} ∣

rồi cho biết trong hai số đo thể tích 13 cm³ và 13,1 cm³, số đo nào gần với thể tích của cốc nước hơn.
(Hình 5.2: qua kính lúp, mực nước $\overline{a}$ nằm giữa vạch 13 và vạch 13,1, gần vạch 13,1 hơn.)

Kiến thức cần nhớ

$∣ x - \overline{a} ∣$ là khoảng cách giữa $x$ và $\overline{a}$ trên trục số.
Sai số tuyệt đối của số gần đúng $a$ : $Δ_{a} = ∣ a - \overline{a} ∣$ .

🧠 Phân tích tư duy

∣13 - \overline{a} ∣

và

∣13, 1 - \overline{a} ∣

chính là độ dài hai đoạn từ mực nước tới hai vạch trên Hình 5.2. So hai đoạn đó là so sai số tuyệt đối của hai số đo. Bẫy: không biết

\overline{a}

bằng bao nhiêu vẫn so được, vì chỉ cần biết

\overline{a}

nằm nửa trên hay nửa dưới đoạn

[13; 13, 1]

1Cách 1. So độ dài hai đoạn trên hình

Định hướng. Đọc trực tiếp hai khoảng cách từ mực nước tới hai vạch trên Hình 5.2.

13 < \overline{a} < 13, 1

Đoạn từ

\overline{a}

tới vạch

13, 1

ngắn hơn đoạn từ

\overline{a}

tới vạch

13

∣13, 1 - \overline{a} ∣ < ∣13 - \overline{a} ∣

Vậy số đo 13,1 cm³ gần thể tích cốc nước hơn.

2Cách 2. Dùng trung điểm của đoạn

[13; 13, 1]

Định hướng. Điểm nào nằm trên trung điểm của một đoạn thì gần đầu mút trên hơn.

\frac{13 + 13 , 1}{2} = 13, 05

13, 05 < \overline{a} < 13, 1

∣13, 1 - \overline{a} ∣ = 13, 1 - \overline{a} < 0, 05 < \overline{a} - 13 = ∣13 - \overline{a} ∣

Vậy $∣13, 1 - \overline{a} ∣ < ∣13 - \overline{a} ∣$ , số đo 13,1 cm³ gần hơn.

3Cách 3. Ước lượng số bằng tỉ lệ trên hình

Định hướng. Chia đoạn $[13; 13, 1]$ thành 10 phần bằng nhau, mực nước ở khoảng phần thứ 7 tính từ vạch 13.

\overline{a} \approx 13 + 0, 07 = 13, 07

∣13 - \overline{a} ∣ \approx 0, 07

∣13, 1 - \overline{a} ∣ \approx 0, 03

0, 03 < 0, 07

Vậy số đo 13,1 cm³ gần thể tích cốc nước hơn.

Nhận xét. Hai số đo đều là số gần đúng; số nào có sai số tuyệt đối nhỏ hơn thì gần số đúng hơn. Cách 3 chỉ là ước lượng bằng mắt, Cách 1 và Cách 2 mới là lập luận chặt.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần so

\overline{a}

với trung điểm 13,05, lập luận chặt mà không phải đoán giá trị

\overline{a}

Đáp số.

∣13, 1 - \overline{a} ∣ < ∣13 - \overline{a} ∣

; số đo 13,1 cm³ gần thể tích cốc nước hơn.

Sai lầm thường gặp. Cho rằng 13 cm³ gần hơn vì "số tròn" là sai: độ gần chỉ phụ thuộc khoảng cách tới

\overline{a}

. Viết

13 - \overline{a}

mà bỏ dấu giá trị tuyệt đối sẽ ra số âm, không so sánh độ dài được.

🚀 Mở rộng. Nếu mực nước nằm đúng giữa hai vạch (

\overline{a} = 13, 05

) thì hai số đo 13 và 13,1 có sai số tuyệt đối bằng nhau, cùng bằng 0,05 cm³.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập 2★Trang 75— Xác định đoạn chứa số đúng từ cách viết

a \pm d

Luyện tập 2 (trang 75). Một phép đo đường kính nhân tế bào cho kết quả là

5 \pm 0, 3

µm. Đường kính thực của nhân tế bào thuộc đoạn nào?

Kiến thức cần nhớ

$\overline{a} = a \pm d \Leftrightarrow a - d \leq \overline{a} \leq a + d$ , tức $\overline{a} \in [a - d; a + d]$ .
$d$ gọi là độ chính xác của số gần đúng $a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cách viết

\overline{a} = a \pm d

nghĩa là

a - d \leq \overline{a} \leq a + d

. Ở đây

a = 5

d = 0, 3

nên chỉ việc trừ và cộng 0,3. Bẫy: ghi đoạn

[5; 5, 3]

(chỉ cộng một phía) hoặc quên đơn vị µm.

1Cách 1. Dùng thẳng công thức đoạn

[a - d; a + d]

Định hướng. Đọc $a$ và $d$ rồi thay vào hai đầu mút.

a = 5

d = 0, 3

\overline{a} \in [5 - 0, 3; 5 + 0, 3]

\overline{a} \in [4, 7; 5, 3]

Vậy đường kính thực của nhân tế bào thuộc đoạn $[4, 7; 5, 3]$ (µm).

2Cách 2. Giải bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Định hướng. Sai số tuyệt đối không vượt quá $d$ viết thành một bất đẳng thức rồi gỡ dấu giá trị tuyệt đối.

∣ \overline{a} - 5∣ \leq 0, 3

\Leftrightarrow - 0, 3 \leq \overline{a} - 5 \leq 0, 3

\Leftrightarrow 5 - 0, 3 \leq \overline{a} \leq 5 + 0, 3

\Leftrightarrow 4, 7 \leq \overline{a} \leq 5, 3

Vậy $\overline{a} \in [4, 7; 5, 3]$ (µm).

3Cách 3. Nhìn trên trục số

Định hướng. Tập các số cách 5 không quá 0,3 là đoạn có tâm 5, bán kính 0,3.

Tâm

5

, đi sang trái

0, 3

4, 7

Tâm

5

, đi sang phải

0, 3

5, 3

Hai đầu mút được lấy (dấu

\leq

)

Vậy đường kính thực thuộc đoạn $[4, 7; 5, 3]$ (µm).

Nhận xét. Hình trục số cho thấy $a$ luôn là trung điểm của đoạn chứa số đúng, còn $d$ là nửa độ dài đoạn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay số vào

[a - d; a + d]

là xong trong một dòng.

Đáp số. Đường kính thực thuộc đoạn

[4, 7; 5, 3]

(µm).

Sai lầm thường gặp. Viết khoảng mở

(4, 7; 5, 3)

là sai vì

Δ_{a} \leq d

cho phép dấu bằng. Viết

[5; 5, 3]

là quên rằng số đúng có thể nhỏ hơn 5.

🚀 Mở rộng. Ngược lại: số đúng thuộc đoạn

[2, 46; 2, 54]

thì viết được

\overline{a} = 2, 5 \pm 0, 04

(tâm là trung điểm,

d

là nửa độ dài).

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · HĐ4★★Trang 75— So sánh chất lượng hai phép đo có độ lớn khác nhau

HĐ4 (trang 75). Công ty (trong Ví dụ 2) cũng sử dụng dây chuyền B để đóng gạo với khối lượng mong muốn là 20 kg. Trên bao bì ghi thông tin khối lượng là

20 \pm 0, 5

kg.
Khẳng định "Dây chuyền A tốt hơn dây chuyền B" là đúng hay sai?
(Ví dụ 2: dây chuyền A đóng gạo vào bao với khối lượng mong muốn 5 kg, trên bao bì ghi $5 \pm 0, 2$ kg.)

Kiến thức cần nhớ

Muốn so độ chính xác của hai đại lượng có độ lớn khác nhau, phải so tỉ số $\frac{d}{∣ a ∣}$ chứ không so $d$ .
So sánh hai phân số dương: $\frac{p}{q} > \frac{r}{s} \Leftrightarrow p s > q r$ .

🧠 Phân tích tư duy

Nhìn qua thấy

0, 2 < 0, 5

nên dễ tin A tốt hơn, nhưng bao B nặng gấp 4 lần bao A nên không thể so sai lệch tuyệt đối. Phải so sai lệch trên mỗi ki-lô-gam, tức tỉ số

\frac{d}{a}

. Đó chính là lí do SGK đưa ra khái niệm sai số tương đối ngay sau hoạt động này.

1Cách 1. So sai lệch trên mỗi ki-lô-gam

Định hướng. Chia sai lệch tối đa cho khối lượng bao để được sai lệch tính trên 1 kg.

\frac{0 , 2}{5} = 0, 04

(kg trên mỗi kg)
B:

\frac{0 , 5}{20} = 0, 025

(kg trên mỗi kg)

0, 025 < 0, 04

Vậy tính trên cùng 1 kg gạo thì B sai lệch ít hơn A, khẳng định "Dây chuyền A tốt hơn dây chuyền B" là sai.

2Cách 2. Quy về cùng 20 kg gạo

Định hướng. Đóng 20 kg gạo bằng dây chuyền A cần 4 bao; so sai lệch tối đa của 20 kg ở hai dây chuyền.

4

bao

\times (5 \pm 0, 2)

= 20 \pm 4 \cdot 0, 2 = 20 \pm 0, 8

kg
B:

1

bao

= 20 \pm 0, 5

0, 5 < 0, 8

Vậy với cùng 20 kg gạo, dây chuyền B có sai lệch tối đa nhỏ hơn, khẳng định trên là sai.

3Cách 3. Nhân chéo hai tỉ số

Định hướng. So hai phân số $\frac{0 , 2}{5}$ và $\frac{0 , 5}{20}$ bằng tích chéo, không cần chia.

0, 2 \cdot 20 = 4

0, 5 \cdot 5 = 2, 5

4 > 2, 5 \Rightarrow \frac{0 , 2}{5} > \frac{0 , 5}{20}

Vậy dây chuyền A có sai lệch tương đối lớn hơn, khẳng định "A tốt hơn B" là sai.

Nhận xét. Cả ba cách đều cho thấy thứ cần so là tỉ số $\frac{d}{a}$ , chính là cận trên của sai số tương đối $δ_{a}$ học ở mục sau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính hai tỉ số rồi so, đúng tinh thần sai số tương đối và dùng lại được cho mọi bài cùng dạng.

Đáp số. Khẳng định sai: tính trên mỗi ki-lô-gam, A sai lệch tới 4% còn B chỉ 2,5%, nên B tốt hơn.

Sai lầm thường gặp. Kết luận "A tốt hơn vì 0,2 < 0,5" là sai lầm điển hình: so sai số tuyệt đối của hai đại lượng lớn nhỏ khác nhau. Phản ví dụ: cân xe tải 10 tấn sai 1 kg vẫn chính xác hơn cân 1 kg gạo sai 0,1 kg.

🚀 Mở rộng. Dây chuyền C đóng bao 50 kg ghi

50 \pm 1

kg thì tốt hơn hay kém hơn B? (C:

\frac{1}{50} = 2%

, tốt hơn B.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Luyện tập 3★★Trang 76— Đánh giá sai số tương đối và so sánh độ chính xác

Luyện tập 3 (trang 76). Đánh giá sai số tương đối của khối lượng bao gạo được đóng gói theo hai dây chuyền A, B ở Ví dụ 2 và HĐ4. Dựa trên tiêu chí này, dây chuyền nào tốt hơn?
(Dây chuyền A: $5 \pm 0, 2$ kg; dây chuyền B: $20 \pm 0, 5$ kg.)

Kiến thức cần nhớ

Sai số tương đối: $δ_{a} = \frac{Δ _{a}}{∣ a ∣}$ .
Nếu $\overline{a} = a \pm d$ thì $δ_{a} \leq \frac{d}{∣ a ∣}$ ; thường viết dưới dạng phần trăm.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho dạng

a \pm d

và hỏi sai số tương đối: dùng ngay

δ_{a} \leq \frac{d}{∣ a ∣}

. Tỉ số nào nhỏ hơn thì dây chuyền đó tốt hơn. Bẫy: viết

δ_{a} = \frac{d}{∣ a ∣}

bằng dấu "=" là sai, vì

Δ_{a}

chỉ không vượt quá

d

1Cách 1. Tính cận trên

\frac{d}{∣ a ∣}

dưới dạng phần trăm

Định hướng. Mỗi dây chuyền tính một tỉ số rồi đổi ra phần trăm.

δ_{A} \leq \frac{0 , 2}{5} = 0, 04 = 4%

δ_{B} \leq \frac{0 , 5}{20} = 0, 025 = 2, 5%

2, 5% < 4%

Vậy sai số tương đối của A không vượt quá 4%, của B không vượt quá 2,5%; dây chuyền B tốt hơn.

2Cách 2. Quy đồng mẫu hai tỉ số

Định hướng. Đưa hai tỉ số về cùng mẫu 20 để so tử.

\frac{0 , 2}{5} = \frac{0 , 2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{0 , 8}{20}

\frac{0 , 8}{20} > \frac{0 , 5}{20}

\frac{d _{A}}{a _{A}} > \frac{d _{B}}{a _{B}}

Vậy cận trên sai số tương đối của B nhỏ hơn, dây chuyền B tốt hơn.

3Cách 3. Quy về sai lệch trên 100 kg gạo

Định hướng. Phần trăm chính là sai lệch tính trên 100 kg; nhân mỗi tỉ số với 100 kg.

100 \cdot \frac{0 , 2}{5} = 4

kg trên 100 kg
B:

100 \cdot \frac{0 , 5}{20} = 2, 5

kg trên 100 kg

2, 5 < 4

Vậy $δ_{A} \leq 4%$ , $δ_{B} \leq 2, 5%$ ; dây chuyền B tốt hơn.

Nhận xét. Kết quả khớp với HĐ4: sai số tuyệt đối của A nhỏ hơn nhưng sai số tương đối lại lớn hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng định nghĩa, ra ngay phần trăm để kết luận.

Đáp số.

δ_{A} \leq 4%

δ_{B} \leq 2, 5%

; dây chuyền B tốt hơn.

Sai lầm thường gặp. Tính

\frac{a}{d}

(lộn ngược) sẽ ra 25 và 40 rồi kết luận ngược. Viết

δ_{A} = 4%

là sai: 4% chỉ là cận trên, sai số tương đối thật có thể nhỏ hơn.

🚀 Mở rộng. Dây chuyền A phải có độ chính xác

d

tối đa bao nhiêu để tốt ngang B? (

\frac{d}{5} = 2, 5%

, tức

d = 0, 125

kg.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Luyện tập 4★★Trang 77— Viết số quy tròn của số gần đúng khi biết độ chính xác

Luyện tập 4 (trang 77). Hãy viết số quy tròn của số gần đúng trong những trường hợp sau:
a)

11251900 \pm 300

;
b)

18, 2857 \pm 0, 01

Kiến thức cần nhớ

Cho $a$ với độ chính xác $d$ , không nói rõ hàng thì làm tròn $a$ đến hàng thấp nhất mà $d$ nhỏ hơn 1 đơn vị của hàng đó.
Quy tắc làm tròn: chữ số ngay bên phải hàng làm tròn nhỏ hơn 5 thì giữ nguyên, lớn hơn hoặc bằng 5 thì tăng 1 đơn vị.

🧠 Phân tích tư duy

Đề không nói làm tròn đến hàng nào, nên dùng quy tắc: làm tròn

a

đến hàng thấp nhất mà

d

nhỏ hơn 1 đơn vị của hàng đó. Việc đầu tiên là xác định

d

đứng ở hàng nào: 300 ở hàng trăm, 0,01 ở hàng phần trăm; hàng làm tròn là hàng ngay trên. Bẫy: câu a) làm tròn đến hàng trăm thì giữ lại chữ số hàng trăm vốn không chắc chắn.

1Cách 1. Áp dụng quy tắc chọn hàng làm tròn

Định hướng. Tìm hàng thấp nhất có 1 đơn vị lớn hơn $d$ , rồi làm tròn theo quy tắc.

d = 300 < 1000

, còn

300 \geq 100

nên làm tròn đến hàng nghìn

11251900 \approx 11252000

(chữ số hàng trăm là

9 \geq 5

)
b)

d = 0, 01 < 0, 1

, còn

0, 01 \geq 0, 01

nên làm tròn đến hàng phần mười

18, 2857 \approx 18, 3

(chữ số hàng phần trăm là

8 \geq 5

)

Vậy số quy tròn là: a) 11 252 000; b) 18,3.

2Cách 2. Tìm chữ số không chắc chắn qua đoạn chứa số đúng

Định hướng. Viết đoạn $[a - d; a + d]$ ; chữ số nào đã thay đổi trong đoạn là không đáng tin, làm tròn bỏ đi từ hàng đó.

\overline{a} \in [11251600; 11252200]

: chữ số hàng trăm chạy từ 6 tới 2, không chắc chắn
Bỏ hàng trăm, làm tròn đến hàng nghìn:

11251900 \approx 11252000

\overline{a} \in [18, 2757; 18, 2957]

: chữ số hàng phần trăm chạy từ 7 tới 9, không chắc chắn
Bỏ hàng phần trăm, làm tròn đến hàng phần mười:

18, 2857 \approx 18, 3

Vậy a) 11 252 000; b) 18,3.

3Cách 3. Thử lần lượt từng hàng từ thấp lên

Định hướng. Đi từ hàng thấp lên, hàng đầu tiên có 1 đơn vị vượt $d$ là hàng cần làm tròn.

a) Hàng trăm:

1

đơn vị

= 100 < 300

, loại; hàng nghìn:

1000 > 300

, chọn

11251900 \approx 11252000

b) Hàng phần trăm:

0, 01 = d

, không nhỏ hơn, loại; hàng phần mười:

0, 1 > 0, 01

, chọn

18, 2857 \approx 18, 3

Vậy a) 11 252 000; b) 18,3.

Nhận xét. Cách 2 giải thích vì sao có quy tắc ở Cách 1: hàng mà $d$ còn "chạm tới" chứa chữ số không đáng tin, giữ lại chỉ làm số trông chính xác giả tạo.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn

d

ở hàng nào là biết làm tròn ở hàng ngay trên, chỉ hai dòng mỗi ý.

Đáp số. a) 11 252 000; b) 18,3.

Sai lầm thường gặp. Câu a) làm tròn đến hàng trăm ra 11 251 900 (giữ nguyên) là sai: chữ số hàng trăm không chắc chắn vì

d = 300

. Câu b) làm tròn đến hàng phần trăm ra 18,29 là sai vì

d = 0, 01

không nhỏ hơn 0,01.

🚀 Mở rộng. Với

a = 581268

và

d = 200

ta cũng làm tròn đến hàng nghìn được

581000

(Ví dụ 5 trang 77); thử lại với

d = 20

(đáp số

581300

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Vận dụng★★Trang 77— Đánh giá sai số tương đối và so sánh độ chính xác

Vận dụng (trang 77). Các nhà vật lí sử dụng hai phương pháp khác nhau để đo tuổi của vũ trụ (đơn vị tỉ năm) lần lượt cho hai kết quả là:

13, 807 \pm 0, 026

và

13, 799 \pm 0, 021

.
Hãy đánh giá sai số tương đối của mỗi phương pháp. Căn cứ trên tiêu chí này, phương pháp nào cho kết quả chính xác hơn?

Kiến thức cần nhớ

Nếu $\overline{a} = a \pm d$ thì $δ_{a} \leq \frac{d}{∣ a ∣}$ .
So sánh hai phân số dương: $\frac{p}{q} < \frac{r}{s} \Leftrightarrow p s < q r$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai kết quả ở dạng

a \pm d

nên sai số tương đối được chặn bởi

\frac{d}{∣ a ∣}

. Hai giá trị

a

gần bằng nhau (cùng khoảng 13,8) nên dự đoán phương pháp có

d

nhỏ hơn sẽ thắng, nhưng vẫn phải tính hoặc nhân chéo để kết luận chặt. Sai số rất nhỏ nên phải giữ đủ chữ số khi đổi ra phần trăm.

1Cách 1. Tính cận trên sai số tương đối

Định hướng. Tính $\frac{d}{a}$ cho từng phương pháp, đổi ra phần trăm.

δ_{1} \leq \frac{0 , 026}{13 , 807} \approx 0, 00188 = 0, 188%

δ_{2} \leq \frac{0 , 021}{13 , 799} \approx 0, 00152 = 0, 152%

0, 152% < 0, 188%

Vậy sai số tương đối của phương pháp thứ nhất không vượt quá khoảng 0,188%, của phương pháp thứ hai không vượt quá khoảng 0,152%; phương pháp thứ hai chính xác hơn.

2Cách 2. Nhân chéo, không cần chia

Định hướng. So hai phân số $\frac{0 , 021}{13 , 799}$ và $\frac{0 , 026}{13 , 807}$ qua tích chéo.

0, 021 \cdot 13, 807 = 0, 289947

0, 026 \cdot 13, 799 = 0, 358774

0, 289947 < 0, 358774 \Rightarrow \frac{0 , 021}{13 , 799} < \frac{0 , 026}{13 , 807}

Vậy phương pháp thứ hai có cận trên sai số tương đối nhỏ hơn, chính xác hơn.

3Cách 3. Chặn bằng mẫu chung đơn giản

Định hướng. Hai mẫu đều kẹp giữa 13,7 và 13,9; thay mẫu để so dễ mà vẫn chặt.

\frac{0 , 021}{13 , 799} < \frac{0 , 021}{13 , 7} \approx 0, 00153

\frac{0 , 026}{13 , 807} > \frac{0 , 026}{13 , 9} \approx 0, 00187

0, 00153 < 0, 00187

Vậy $\frac{0 , 021}{13 , 799} < \frac{0 , 026}{13 , 807}$ , phương pháp thứ hai chính xác hơn.

Nhận xét. Khi hai giá trị $a$ gần như bằng nhau, sai số tương đối gần như tỉ lệ với $d$ ; Cách 3 biến trực giác đó thành lập luận chặt.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đề yêu cầu "đánh giá sai số tương đối" nên phải ra con số phần trăm; bấm máy hai phép chia là xong.

Đáp số. Phương pháp 1:

δ \leq

khoảng 0,188%; phương pháp 2:

δ \leq

khoảng 0,152%. Phương pháp thứ hai chính xác hơn.

Sai lầm thường gặp. Chỉ so

0, 021 < 0, 026

rồi kết luận mà không tính sai số tương đối là chưa trả lời đúng yêu cầu đề. Làm tròn quá sớm (ví dụ

\frac{0 , 026}{13 , 8} \approx 0, 002

và

\frac{0 , 021}{13 , 8} \approx 0, 002

) sẽ tưởng hai phương pháp ngang nhau.

🚀 Mở rộng. Phương pháp thứ nhất phải có

d

tối đa bao nhiêu để sai số tương đối ngang phương pháp thứ hai? (

d \approx 13, 807 \cdot 0, 00152 \approx 0, 021

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 5.1★Trang 77— Nhận biết số gần đúng

Bài 5.1 (trang 77). Trong các số sau, những số nào là số gần đúng?
a) Cân một túi gạo cho kết quả là 10,2 kg.
b) Bán kính Trái Đất là 6 371 km.
c) Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời mất 365 ngày.

Kiến thức cần nhớ

Kết quả của phép đo (cân, đo độ dài, đo thời gian) đều là số gần đúng.
Số được làm tròn là một số gần đúng của số ban đầu.

🧠 Phân tích tư duy

Câu hỏi "số nào là số gần đúng" buộc xét nguồn gốc từng số: do đo đạc, do làm tròn, hay là giá trị chính xác. Cả ba số đều đến từ đo đạc hoặc làm tròn một đại lượng tự nhiên, không có số nào là giá trị chính xác. Bẫy: 365 ngày trông như số nguyên "chắc chắn", nhưng một vòng quay thật dài khoảng 365,25 ngày.

1Cách 1. Xét nguồn gốc của từng số

Định hướng. Số có được từ phép đo hoặc từ làm tròn thì là số gần đúng.

10, 2

kg là kết quả của phép cân, cân có độ chia nhỏ nhất nên là số gần đúng
b)

6371

km là kết quả đo đạc rồi làm tròn (Trái Đất không phải hình cầu hoàn hảo), là số gần đúng
c)

365

ngày là số làm tròn của thời gian một vòng quay, khoảng

365, 25

ngày, là số gần đúng

Vậy cả ba số 10,2 kg; 6 371 km; 365 ngày đều là số gần đúng.

2Cách 2. Chỉ ra số đúng tương ứng và sai lệch

Định hướng. Một số là số gần đúng khi ta chỉ ra được số đúng mà nó xấp xỉ, và hai số không trùng nhau (hoặc không thể biết chắc).

a) Số đúng: khối lượng thật của túi gạo, không biết chính xác;

10, 2

chỉ xấp xỉ
b) Số đúng: bán kính thật, thay đổi từ khoảng

6357

km (ở cực) tới khoảng

6378

km (ở xích đạo);

6371

là giá trị trung bình làm tròn
c) Số đúng:

365, 25

ngày (xấp xỉ);

∣365 - 365, 25∣ = 0, 25 > 0

Vậy cả ba số đều là số gần đúng.

Nhận xét. Đó cũng là lí do cứ bốn năm lại có một năm nhuận 366 ngày: bù phần 0,25 ngày mà con số 365 bỏ đi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gắn mỗi số với "đo" hoặc "làm tròn" là kết luận được ngay.

Đáp số. Cả ba số 10,2 kg; 6 371 km; 365 ngày đều là số gần đúng.

Sai lầm thường gặp. Cho rằng 365 ngày là số đúng vì là số nguyên: thực tế một năm thiên văn dài khoảng 365,25 ngày. Cho rằng 6 371 km là số đúng vì "có trong sách": số liệu trong sách vẫn là kết quả đo đạc đã làm tròn.

🚀 Mở rộng. Trong hai số

3

và 1,732 (độ dài đường cao tam giác đều cạnh 2), số nào là số đúng? (Đáp số:

3

là số đúng.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 5.2★★Trang 77— Ý nghĩa của

a \pm d

và làm tròn số gần đúng

Bài 5.2 (trang 77). Giải thích kết quả "Đo độ cao của một ngọn núi cho kết quả là

1235 \pm 5

m" và thực hiện làm tròn số gần đúng.

Kiến thức cần nhớ

$\overline{a} = a \pm d \Leftrightarrow a - d \leq \overline{a} \leq a + d$ .
Không nói rõ hàng thì làm tròn $a$ đến hàng thấp nhất mà $d$ nhỏ hơn 1 đơn vị của hàng đó.

🧠 Phân tích tư duy

Cách viết

1235 \pm 5

gồm số gần đúng

a = 1235

và độ chính xác

d = 5

, nên độ cao thật nằm trong đoạn

[a - d; a + d]

. Làm tròn không nói rõ hàng thì dùng quy tắc: hàng thấp nhất mà

d

nhỏ hơn 1 đơn vị của hàng đó, ở đây là hàng chục. Bẫy: chữ số hàng đơn vị của 1 235 là 5 nên phải làm tròn lên.

1Cách 1. Đọc

a

d

rồi dùng quy tắc làm tròn

Định hướng. Giải thích bằng đoạn chứa số đúng, rồi chọn hàng làm tròn theo $d$ .

a = 1235

d = 5

1235 - 5 \leq \overline{a} \leq 1235 + 5

1230 \leq \overline{a} \leq 1240

d = 5 < 10

nên làm tròn đến hàng chục:

1235 \approx 1240

(chữ số hàng đơn vị là

5 \geq 5

)

Vậy độ cao thật của ngọn núi nằm trong đoạn $[1230; 1240]$ (m), sai lệch so với 1 235 m không quá 5 m; số quy tròn là 1 240 m.

2Cách 2. Tìm chữ số không chắc chắn

Định hướng. Chữ số nào thay đổi khi $\overline{a}$ chạy trong đoạn $[a - d; a + d]$ thì không chắc chắn, làm tròn bỏ đi từ hàng đó.

\overline{a} \in [1230; 1240]

Chữ số hàng đơn vị chạy từ 0 tới 9 (và 0 ở 1 240): không chắc chắn
Bỏ hàng đơn vị, làm tròn đến hàng chục:

1235 \approx 1240

Vậy kết quả nghĩa là độ cao thật thuộc $[1230; 1240]$ m; số quy tròn là 1 240 m.

3Cách 3. Chọn số tròn chục gần nhất

Định hướng. Làm tròn đến hàng chục là chọn số tròn chục gần 1 235 nhất; khi cách đều thì theo quy tắc lấy số lớn hơn.

Hai số tròn chục kề nhau:

1230

và

1240

1235 - 1230 = 5

1240 - 1235 = 5

Cách đều, chữ số hàng đơn vị là

5

nên lấy

1240

Vậy số quy tròn là 1 240 m.

Nhận xét. Số quy tròn 1 240 lệch so với độ cao thật tối đa $∣1 240 - \overline{a} ∣ \leq ∣1 240 - 1 235∣ + 5 = 10$ m, nên viết 1 240 m không giả vờ chính xác hơn phép đo.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: giải thích và làm tròn gói gọn trong bốn dòng.

Đáp số. Độ cao thật thuộc đoạn

[1230; 1240]

(m), độ chính xác 5 m; số quy tròn là 1 240 m.

Sai lầm thường gặp. Làm tròn thành 1 230 là sai quy tắc: chữ số bỏ đi là 5 nên phải tăng 1 đơn vị ở hàng chục. Giữ nguyên 1 235 là sai vì chữ số hàng đơn vị không chắc chắn (d = 5).

🚀 Mở rộng. Nếu kết quả là

1235 \pm 50

m thì làm tròn đến hàng trăm được

1200

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 5.3★★Trang 77— Tìm số gần đúng với độ chính xác cho trước

Bài 5.3 (trang 77). Sử dụng máy tính cầm tay tìm số gần đúng cho

37

với độ chính xác 0,0005.

Kiến thức cần nhớ

Làm tròn đến một hàng thì sai số tuyệt đối không vượt quá nửa đơn vị của hàng đó.
Nửa đơn vị hàng phần nghìn là $0, 0005$ .

🧠 Phân tích tư duy

Độ chính xác 0,0005 là nửa đơn vị hàng phần nghìn, nên chỉ cần làm tròn

37

đến hàng phần nghìn. Máy tính cho nhiều chữ số; việc còn lại là làm tròn đúng và kiểm tra sai số không vượt 0,0005. Bẫy: cắt cụt (bỏ đuôi) thay cho làm tròn có thể làm sai số vượt 0,0005.

1Cách 1. Máy tính rồi làm tròn đến hàng phần nghìn

Định hướng. Bấm máy lấy nhiều chữ số, làm tròn đến hàng mà nửa đơn vị bằng 0,0005.

Bấm

37 =

được

1, 912931183

37 \approx 1, 913

∣1, 913 - 37 ∣ \approx 0, 000069 < 0, 0005

Vậy số gần đúng của $37$ với độ chính xác 0,0005 là 1,913.

2Cách 2. Kẹp bằng lập phương

Định hướng. Chỉ ra $37$ nằm trong đoạn tâm 1,913 bán kính 0,0005 bằng cách lập phương hai đầu mút.

1, 912 5^{3} \approx 6, 9953 < 7

1, 913 5^{3} \approx 7, 0062 > 7

1, 9125 < 37 < 1, 9135

1, 913 - 0, 0005 < 37 < 1, 913 + 0, 0005

Vậy $37 = 1, 913 \pm 0, 0005$ , số gần đúng cần tìm là 1,913.

3Cách 3. Lặp Newton cho phương trình

x^{3} = 7

Định hướng. Công thức lặp $x_{n + 1} = \frac{2 x _{n} + \frac{7}{x _{n}^{2}}}{3}$ hội tụ rất nhanh về $37$ ; bấm máy vài lần.

x_{0} = 2

x_{1} = \frac{2 \cdot 2 + \frac{7}{4}}{3} \approx 1, 91667

x_{2} = \frac{2 \cdot 1 , 91667 + \frac{7}{1 , 9166 7 ^{2}}}{3} \approx 1, 91294

x_{3} \approx 1, 91293

37 \approx 1, 913

Vậy số gần đúng là 1,913.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy máy tính "biết" $37$ bằng cách nào: mỗi bước lặp số chữ số đúng tăng gần gấp đôi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (đề yêu cầu máy tính cầm tay); nếu cần chứng minh chặt thì thêm hai dòng lập phương của Cách 2.

Đáp số.

37 \approx 1, 913

(độ chính xác 0,0005).

Sai lầm thường gặp. Viết 1,912 (cắt cụt 1,912931…) là sai:

∣1, 912 - 37 ∣ \approx 0, 00093 > 0, 0005

. Viết 1,9129 cũng được nhưng dư chữ số so với yêu cầu; viết 1,91 thì sai số có thể tới 0,005, vượt độ chính xác.

🚀 Mở rộng. Tìm số gần đúng của

310

với độ chính xác 0,005 (đáp số 2,15).

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 5.4★★Trang 77— So sánh độ chính xác bằng sai số tương đối

Bài 5.4 (trang 77). Các nhà vật lí sử dụng ba phương pháp đo hằng số Hubble lần lượt cho kết quả như sau:

67, 31 \pm 0, 96

;

67, 90 \pm 0, 55

;

67, 74 \pm 0, 46

.
Phương pháp nào chính xác nhất tính theo sai số tương đối?

Kiến thức cần nhớ

$δ_{a} \leq \frac{d}{∣ a ∣}$ khi $\overline{a} = a \pm d$ .
Phân số dương: $\frac{p}{q} > \frac{r}{s} \Leftrightarrow p s > q r$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba kết quả dạng

a \pm d

; so sai số tương đối nghĩa là so ba tỉ số

\frac{d}{a}

. Ba giá trị

a

xấp xỉ nhau (khoảng 67–68) còn

d

khác nhau rõ, nên dự đoán phương pháp thứ ba thắng; tính ra để khẳng định. Bẫy: phương pháp 2 có

a

lớn nhất nhưng điều đó không đủ bù cho

d

lớn hơn phương pháp 3.

1Cách 1. Tính ba tỉ số

\frac{d}{a}

Định hướng. Tính cận trên sai số tương đối của từng phương pháp, đổi ra phần trăm.

δ_{1} \leq \frac{0 , 96}{67 , 31} \approx 1, 426%

δ_{2} \leq \frac{0 , 55}{67 , 90} \approx 0, 810%

δ_{3} \leq \frac{0 , 46}{67 , 74} \approx 0, 679%

0, 679% < 0, 810% < 1, 426%

Vậy phương pháp thứ ba ( $67, 74 \pm 0, 46$ ) chính xác nhất.

2Cách 2. Nhân chéo từng cặp

Định hướng. So từng cặp tỉ số bằng tích chéo, không phải chia.

0, 96 \cdot 67, 90 = 65, 184 > 37, 0205 = 0, 55 \cdot 67, 31 \Rightarrow \frac{0 , 96}{67 , 31} > \frac{0 , 55}{67 , 90}

0, 55 \cdot 67, 74 = 37, 257 > 31, 234 = 0, 46 \cdot 67, 90 \Rightarrow \frac{0 , 55}{67 , 90} > \frac{0 , 46}{67 , 74}

\frac{0 , 46}{67 , 74} < \frac{0 , 55}{67 , 90} < \frac{0 , 96}{67 , 31}

Vậy phương pháp thứ ba chính xác nhất.

3Cách 3. So

d

nhỏ nhất kèm

a

đủ lớn

Định hướng. Phương pháp 3 có $d$ nhỏ nhất; chỉ cần kiểm tra $a$ của nó không nhỏ tới mức làm tỉ số vượt các phương pháp khác.

d_{3} = 0, 46 < d_{2} = 0, 55 < d_{1} = 0, 96

\frac{0 , 46}{67 , 74} < \frac{0 , 46}{67} \approx 0, 687%

\frac{0 , 55}{67 , 90} > \frac{0 , 55}{68} \approx 0, 809%

và

\frac{0 , 96}{67 , 31} > \frac{0 , 96}{68} \approx 1, 41%

0, 687% < 0, 809% < 1, 41%

Vậy phương pháp thứ ba có sai số tương đối nhỏ nhất.

Nhận xét. Khi các giá trị $a$ gần bằng nhau, thứ tự sai số tương đối trùng thứ tự của $d$ ; Cách 3 biến nhận xét này thành lập luận chặt bằng cách chặn mẫu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba phép chia trên máy, ra ngay phần trăm để so.

Đáp số.

δ_{1} \leq

khoảng 1,426%;

δ_{2} \leq

khoảng 0,810%;

δ_{3} \leq

khoảng 0,679%. Phương pháp thứ ba (

67, 74 \pm 0, 46

) chính xác nhất.

Sai lầm thường gặp. Chọn phương pháp 2 vì "

a

lớn nhất nên tỉ số nhỏ nhất" là bỏ qua

d

. Tính

\frac{a}{d}

thay cho

\frac{d}{a}

rồi chọn số nhỏ nhất sẽ ra phương pháp 1, sai hoàn toàn.

🚀 Mở rộng. Phương pháp thứ nhất phải giảm

d

xuống dưới bao nhiêu để chính xác hơn phương pháp thứ ba? (

d < 67, 31 \cdot \frac{0 , 46}{67 , 74} \approx 0, 457

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 5.5★★Trang 77— So sánh hai số gần đúng của cùng một số đúng

Bài 5.5 (trang 77). An và Bình cùng tính chu vi của hình tròn bán kính 2 cm với hai kết quả như sau:
Kết quả của An:

S_{1} = 2 π R \approx 2 \cdot 3, 14 \cdot 2 = 12, 56

cm;
Kết quả của Bình:

S_{2} = 2 π R \approx 2 \cdot 3, 1 \cdot 2 = 12, 4

cm.
Hỏi:
a) Hai giá trị tính được có phải là các số gần đúng không?
b) Giá trị nào chính xác hơn?

Kiến thức cần nhớ

Chu vi đường tròn $C = 2 π R$ ; với $R = 2$ cm thì số đúng là $4 π$ cm.
Số gần đúng nào có sai số tuyệt đối nhỏ hơn thì chính xác hơn.

🧠 Phân tích tư duy

Số đúng là

4 π

; An và Bình khác nhau ở chỗ lấy

π \approx 3, 14

hay

π \approx 3, 1

. Vì cùng nhân với 4, sai số của chu vi gấp 4 lần sai số khi xấp xỉ

π

; xấp xỉ

π

nào tốt hơn thì kết quả đó chính xác hơn. Bẫy: đề kí hiệu chu vi là

S

nhưng đây là chu vi, không phải diện tích.

1Cách 1. So với giá trị

4 π

của máy tính

Định hướng. Lấy $4 π$ trên máy làm mốc, tính sai số tuyệt đối của hai kết quả.

2 π R = 4 π

là số vô tỉ;

12, 56

và

12, 4

có được do thay

π

bằng

3, 14

và

3, 1

nên đều là số gần đúng
b)

4 π \approx 12, 566371

∣12, 56 - 4 π ∣ \approx 0, 0064

∣12, 4 - 4 π ∣ \approx 0, 1664

0, 0064 < 0, 1664

Vậy a) cả hai giá trị đều là số gần đúng; b) kết quả của An (12,56 cm) chính xác hơn.

2Cách 2. So hai xấp xỉ của

π

Định hướng. Sai số của chu vi bằng 4 lần sai số khi xấp xỉ $π$ , nên chỉ cần so $∣ π - 3, 14∣$ và $∣ π - 3, 1∣$ .

∣ S_{1} - 4 π ∣ = 4 ∣3, 14 - π ∣

∣ S_{2} - 4 π ∣ = 4 ∣3, 1 - π ∣

3, 1 < 3, 14 < π

∣3, 14 - π ∣ = π - 3, 14 < π - 3, 1 = ∣3, 1 - π ∣

∣ S_{1} - 4 π ∣ < ∣ S_{2} - 4 π ∣

Vậy giá trị của An chính xác hơn.

3Cách 3. Kẹp

π

giữa hai số thập phân

Định hướng. Dùng $3, 14 < π < 3, 15$ để kẹp $4 π$ , rồi chặn hai sai số mà không cần máy tính.

3, 14 < π < 3, 15 \Rightarrow 12, 56 < 4 π < 12, 6

∣12, 56 - 4 π ∣ = 4 π - 12, 56 < 12, 6 - 12, 56 = 0, 04

∣12, 4 - 4 π ∣ = 4 π - 12, 4 > 12, 56 - 12, 4 = 0, 16

0, 04 < 0, 16

Vậy sai số của An nhỏ hơn 0,04 cm còn của Bình lớn hơn 0,16 cm; giá trị của An chính xác hơn.

Nhận xét. Cách 3 không cần biết $π$ tới nhiều chữ số, chỉ cần biết $π$ nằm giữa 3,14 và 3,15.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một dòng so

π - 3, 14

với

π - 3, 1

là thấy ngay, không phải tính chu vi.

Đáp số. a) Cả hai giá trị 12,56 cm và 12,4 cm đều là số gần đúng (số đúng là

4 π

cm). b) Giá trị của An (12,56 cm) chính xác hơn.

Sai lầm thường gặp. Cho rằng 12,56 là số đúng vì "tính theo công thức": công thức đúng nhưng đã thay

π

bằng 3,14 nên kết quả chỉ gần đúng. Kết luận Bình chính xác hơn vì số "gọn" hơn là nhầm: gọn hơn không có nghĩa sát số đúng hơn.

🚀 Mở rộng. Nếu Chi lấy

π \approx \frac{22}{7}

thì

S_{3} = \frac{88}{7} \approx 12, 571

; so với An, ai chính xác hơn? (An: sai số khoảng 0,0064; Chi: khoảng 0,0051, Chi chính xác hơn.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 5.6★Trang 77— Làm tròn số và tính sai số tuyệt đối của số quy tròn

Bài 5.6 (trang 77). Làm tròn số 8 316,4 đến hàng chục và 9,754 đến hàng phần trăm rồi tính sai số tuyệt đối của số quy tròn.

Kiến thức cần nhớ

Chữ số ngay bên phải hàng làm tròn nhỏ hơn 5 thì giữ nguyên, lớn hơn hoặc bằng 5 thì tăng 1 đơn vị.
Sai số tuyệt đối của số quy tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng làm tròn.

🧠 Phân tích tư duy

Ở đây biết số ban đầu nên sai số tuyệt đối tính được chính xác:

Δ

bằng giá trị tuyệt đối của hiệu giữa số quy tròn và số ban đầu. Chỉ cần nhìn chữ số ngay bên phải hàng làm tròn để quyết định giữ hay tăng. Bẫy: 8 316,4 làm tròn đến hàng chục phải thay chữ số hàng đơn vị bằng 0 và bỏ phần thập phân.

1Cách 1. Theo quy tắc làm tròn rồi trừ

Định hướng. Làm tròn theo chữ số ngay bên phải hàng làm tròn, rồi tính giá trị tuyệt đối của hiệu.

8316, 4

: chữ số hàng đơn vị là

6 \geq 5

nên

8316, 4 \approx 8320

Δ = ∣8 320 - 8316, 4∣ = 3, 6

9, 754

: chữ số hàng phần nghìn là

4 < 5

nên

9, 754 \approx 9, 75

Δ = ∣9, 75 - 9, 754∣ = 0, 004

Vậy số quy tròn là 8 320 với sai số tuyệt đối 3,6; và 9,75 với sai số tuyệt đối 0,004.

2Cách 2. Chọn số tròn gần nhất

Định hướng. Làm tròn đến một hàng chính là chọn số tròn hàng đó gần số ban đầu nhất.

8310 < 8316, 4 < 8320

8316, 4 - 8310 = 6, 4

8320 - 8316, 4 = 3, 6

3, 6 < 6, 4

nên chọn

8320

Δ = 3, 6

9, 75 < 9, 754 < 9, 76

9, 754 - 9, 75 = 0, 004

9, 76 - 9, 754 = 0, 006

0, 004 < 0, 006

nên chọn

9, 75

Δ = 0, 004

Vậy 8 320 (sai số 3,6) và 9,75 (sai số 0,004).

3Cách 3. Đổi sang đơn vị của hàng làm tròn

Định hướng. Viết số theo đơn vị của hàng làm tròn (chục, phần trăm), làm tròn thành số nguyên rồi đổi lại.

8316, 4 = 831, 64

chục

\approx 832

chục

= 8320

Δ = ∣832 - 831, 64∣

chục

= 0, 36

chục

= 3, 6

9, 754 = 975, 4

phần trăm

\approx 975

phần trăm

= 9, 75

Δ = ∣975 - 975, 4∣

phần trăm

= 0, 4

phần trăm

= 0, 004

Vậy 8 320 với sai số 3,6; 9,75 với sai số 0,004.

Nhận xét. Kiểm tra lại nhận xét của SGK: $3, 6 \leq 5$ (nửa của 10) và $0, 004 \leq 0, 005$ (nửa của 0,01).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn một chữ số để làm tròn, một phép trừ để ra sai số.

Đáp số. 8 316,4 ≈ 8 320, sai số tuyệt đối 3,6; 9,754 ≈ 9,75, sai số tuyệt đối 0,004.

Sai lầm thường gặp. Viết 8 316,4 ≈ 8 310 (chỉ bỏ chữ số) là cắt cụt chứ không phải làm tròn; khi đó sai số là 6,4, vượt nửa đơn vị hàng chục. Viết 8 316,4 ≈ 832 là quên thay chữ số hàng đơn vị bằng 0.

🚀 Mở rộng. Làm tròn 8 316,4 đến hàng trăm rồi tính sai số (đáp số 8 300, sai số 16,4 và

16, 4 \leq 50

Mở bài này trong app ↗