Chương V. Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm

Bài 13. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngV #SáchBàiTập_Tập1 #trang76–77 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 5.7★Trang 76— Tính số trung bình của mẫu số liệu

Bài 5.7 (trang 76). Để ước lượng xem trung bình cần thực hiện bao nhiêu lần gieo xúc xắc để xuất hiện mặt 6 chấm, một nhóm học sinh đã gieo xúc xắc và đếm số lần thực hiện cho đến khi xuất hiện mặt 6 chấm cho kết quả như sau:

8 5 7 10 4 6 7 5 7 6 4 5 5 7 6 5 4 2

Tính số lần gieo trung bình để xuất hiện mặt 6 chấm.

Kiến thức cần nhớ

Số trung bình: $\overline{x} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}$ ; với bảng tần số: $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hỏi "số lần gieo trung bình" nên tính thẳng số trung bình của

18

giá trị. Các giá trị lặp lại nhiều (nhiều số

5

7

) nên gom thành bảng tần số hoặc chọn số gốc

5

sẽ cộng nhanh hơn. Bẫy: đếm sai số giá trị

n

1Cách 1. Cộng trực tiếp

Định hướng. Đếm $n = 18$ , cộng tất cả rồi chia.

n = 18

8 + 5 + 7 + 10 + 4 + 6 + 7 + 5 + 7 + 6 + 4 + 5 + 5 + 7 + 6 + 5 + 4 + 2 = 103

\overline{x} = \frac{103}{18} \approx 5, 72

Vậy trung bình cần khoảng 5,72 lần gieo thì xuất hiện mặt 6 chấm.

2Cách 2. Bảng tần số

Định hướng. Gom các giá trị giống nhau.

Giá trị

2; 4; 5; 6; 7; 8; 10

có tần số

1; 3; 5; 3; 4; 1; 1

(

n = 18

)

\overline{x} = \frac{2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 5 + 6 \cdot 3 + 7 \cdot 4 + 8 \cdot 1 + 10 \cdot 1}{18} = \frac{103}{18} \approx 5, 72

Vậy $\overline{x} \approx 5, 72$ lần.

3Cách 3. Số gốc 5

Định hướng. Đặt $x = 5 + d$ ; các độ lệch nhỏ, cộng nhẩm.

\sum d = (- 3) \cdot 1 + (- 1) \cdot 3 + 0 \cdot 5 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 1 + 5 \cdot 1 = 13

\overline{x} = 5 + \frac{13}{18} \approx 5 + 0, 72 = 5, 72

Vậy $\overline{x} \approx 5, 72$ lần.

Nhận xét. Kết quả thực nghiệm 5,72 khá gần con số lí thuyết 6 (mỗi lần gieo có xác suất 1/6 ra mặt 6 chấm); gieo càng nhiều lượt thì số trung bình càng gần 6.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: bảng tần số giúp kiểm tra ngay tổng tần số bằng 18 và tránh cộng sót.

Đáp số.

\overline{x} = \frac{103}{18} \approx 5, 72

(lần).

Sai lầm thường gặp. Đếm thiếu một giá trị rồi chia cho

17

\frac{103}{17} \approx 6, 06

— sai; mẫu có đúng

18

giá trị.

🚀 Mở rộng. Nếu nhóm gieo thêm một lượt mà phải tới lần thứ 20 mới ra mặt 6 thì trung bình tăng thành 123 : 19 ≈ 6,47 — một lượt "xui" kéo trung bình lên khá mạnh.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.8★★Trang 76— Tìm giá trị chưa biết để số trung bình đạt ngưỡng

Bài 5.8 (trang 76). Tại một lớp học chứng chỉ Tin học, nếu mức độ hoàn thành trung bình 5 bài kiểm tra của học viên lớn hơn hoặc bằng 85% thì học viên sẽ được giảm 30% học phí. An đã làm 4 bài kiểm tra với kết quả là 94%, 82%, 78%, 80%. Hỏi bài cuối cùng An cần đạt được ít nhất bao nhiêu phần trăm để được giảm 30% học phí?

Kiến thức cần nhớ

Số trung bình: $\overline{x} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}$ ; với bảng tần số: $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
$\overline{x} \geq a \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} \geq na$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điều kiện đặt lên số trung bình của

5

bài, trong đó một bài chưa biết: đặt ẩn

x

và lập bất phương trình

\overline{x} \geq 85

. Có thể đổi sang điều kiện về tổng hoặc về độ lệch so với

85

cho gọn. Bẫy: lấy trung bình

4

bài rồi so với

85

mà quên bài thứ năm.

1Cách 1. Lập bất phương trình

Định hướng. Gọi $x$ (%) là kết quả bài cuối ( $0 \leq x \leq 100$ ).

\frac{94 + 82 + 78 + 80 + x}{5} \geq 85

\Leftrightarrow 334 + x \geq 425

\Leftrightarrow x \geq 91

Vậy bài cuối An cần đạt ít nhất 91%.

2Cách 2. Tính tổng cần đạt

Định hướng. Trung bình $5$ bài đạt $85%$ nghĩa là tổng $5$ bài đạt ít nhất $5 \cdot 85 = 425$ .

Tổng cần:

5 \cdot 85 = 425

Tổng đã có:

94 + 82 + 78 + 80 = 334

Còn thiếu:

425 - 334 = 91

Vậy bài cuối cần ít nhất 91%.

3Cách 3. Cân bằng độ lệch so với 85

Định hướng. Trung bình bằng $85$ khi tổng các độ lệch so với $85$ bằng $0$ ; bài cuối phải bù phần thiếu.

Độ lệch 4 bài:

+ 9; - 3; - 7; - 5

Tổng:

9 - 3 - 7 - 5 = - 6

Bài cuối cần lệch ít nhất

+ 6

x \geq 85 + 6 = 91

Vậy An cần ít nhất 91% ở bài cuối.

Nhận xét. Cách độ lệch cho thấy ngay "An đang hụt 6 điểm phần trăm so với chuẩn", một con số dễ hình dung hơn tổng 334.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: chỉ cộng các số nhỏ 9, −3, −7, −5 là ra ngay 91, gần như không thể sai.

Đáp số. Bài cuối An cần đạt ít nhất 91%.

Sai lầm thường gặp. Tính trung bình

4

bài

= 83, 5

rồi cho rằng bài cuối chỉ cần

85 + 1, 5 = 86, 5

— sai, vì phần hụt

1, 5

của mỗi bài trong

4

bài cộng lại là

6

, không phải

1, 5

🚀 Mở rộng. Tổng quát: đã có k bài với trung bình m, muốn trung bình n bài đạt a thì mỗi bài còn lại cần trung bình ít nhất (na − km) : (n − k); ở đây (425 − 334) : 1 = 91.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.9★★Trang 77— Số trung bình, trung vị khi có giá trị bất thường

Bài 5.9 (trang 77). Tổng số ca mắc Covid-19 tính đến ngày 26 – 8 – 2021 tại Thành phố Hồ Chí Minh và một số tỉnh lân cận được thống kê như sau:

190 174 81 182 19 728 19 048 8 155 6 103 5 807
4 544 3 760 3 297 2 541 2 000 1 934 1 602 1 195.

(Theo Bộ Y tế)

a) Tính số trung bình và trung vị cho dãy số liệu trên.
b) Giải thích tại sao số trung bình và trung vị lại khác nhau nhiều?

Kiến thức cần nhớ

Số trung bình: $\overline{x} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}$ ; với bảng tần số: $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Trung vị: sắp xếp không giảm; $n$ lẻ lấy giá trị chính giữa, $n$ chẵn lấy trung bình cộng hai giá trị chính giữa. Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.10★Trang 77— Tìm mốt và nêu ý nghĩa

Bài 5.10 (trang 77). Lan thống kê số anh, chị, em ruột của các bạn trong lớp thu được bảng số liệu sau:

Số anh, chị, em ruột	0	1	2	3
Số bạn	4	25	5	1

Xác định mốt cho mẫu số liệu trên và giải thích ý nghĩa.

Kiến thức cần nhớ

Mốt là giá trị có tần số lớn nhất; dùng khi mẫu có nhiều giá trị trùng nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.11★★Trang 77— Tứ phân vị và vị trí của một giá trị trong mẫu

Bài 5.11 (trang 77). Thống kê GDP năm 2020 (đơn vị: tỉ đô la Mỹ) của 10 nước tại khu vực Đông Nam Á được kết quả như sau:

Brunei	Campuchia	Indonesia	Lào	Malaysia
12,02	25,95	1 059,64	19,08	338,28
Myanmar	Philippines	Singapore	Thái Lan	Việt Nam
81,26	362,24	339,98	501,89	340,82

(Theo statista.com)

a) Tìm các tứ phân vị cho dãy số liệu trên.
b) Giải thích ý nghĩa của các tứ phân vị này. Việt Nam có thuộc nhóm 25% quốc gia có GDP năm 2020 cao nhất trong khu vực Đông Nam Á không?

Kiến thức cần nhớ

Tứ phân vị: $Q_{2}$ = trung vị; $Q_{1}$ , $Q_{3}$ là trung vị của nửa trái, nửa phải $Q_{2}$ (không tính $Q_{2}$ khi $n$ lẻ); $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$ chia mẫu thành bốn phần, mỗi phần khoảng 25%.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 5.12★★Trang 77— Số trung bình, trung vị và ý nghĩa

Bài 5.12 (trang 77). Diện tích của các tỉnh đồng bằng sông Cửu Long năm 2022 (đơn vị: nghìn km²) là:

1,44 3,54 2,67 2,39 4,49 5,29 3,31
1,62 2,36 3,38 1,53 6,35 2,51.

a) Tính số trung bình, trung vị cho dãy số liệu trên.
b) Giải thích ý nghĩa của mỗi số thu được ở câu a.

Kiến thức cần nhớ

Số trung bình: $\overline{x} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}$ ; với bảng tần số: $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Trung vị: sắp xếp không giảm; $n$ lẻ lấy giá trị chính giữa, $n$ chẵn lấy trung bình cộng hai giá trị chính giữa. Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.