Chương V. Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm

Bài 13. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 5.7★Trang 76— Tính số trung bình của mẫu số liệu

Bài 5.7 (trang 76). Để ước lượng xem trung bình cần thực hiện bao nhiêu lần gieo xúc xắc để xuất hiện mặt 6 chấm, một nhóm học sinh đã gieo xúc xắc và đếm số lần thực hiện cho đến khi xuất hiện mặt 6 chấm cho kết quả như sau:

8 5 7 10 4 6 7 5 7 6 4 5 5 7 6 5 4 2

Tính số lần gieo trung bình để xuất hiện mặt 6 chấm.

Kiến thức cần nhớ

Số trung bình: $\overline{x} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}$ ; với bảng tần số: $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hỏi "số lần gieo trung bình" nên tính thẳng số trung bình của

18

giá trị. Các giá trị lặp lại nhiều (nhiều số

5

7

) nên gom thành bảng tần số hoặc chọn số gốc

5

sẽ cộng nhanh hơn. Bẫy: đếm sai số giá trị

n

1Cách 1. Cộng trực tiếp

Định hướng. Đếm $n = 18$ , cộng tất cả rồi chia.

n = 18

8 + 5 + 7 + 10 + 4 + 6 + 7 + 5 + 7 + 6 + 4 + 5 + 5 + 7 + 6 + 5 + 4 + 2 = 103

\overline{x} = \frac{103}{18} \approx 5, 72

Vậy trung bình cần khoảng 5,72 lần gieo thì xuất hiện mặt 6 chấm.

2Cách 2. Bảng tần số

Định hướng. Gom các giá trị giống nhau.

Giá trị

2; 4; 5; 6; 7; 8; 10

có tần số

1; 3; 5; 3; 4; 1; 1

(

n = 18

)

\overline{x} = \frac{2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 5 + 6 \cdot 3 + 7 \cdot 4 + 8 \cdot 1 + 10 \cdot 1}{18} = \frac{103}{18} \approx 5, 72

Vậy $\overline{x} \approx 5, 72$ lần.

3Cách 3. Số gốc 5

Định hướng. Đặt $x = 5 + d$ ; các độ lệch nhỏ, cộng nhẩm.

\sum d = (- 3) \cdot 1 + (- 1) \cdot 3 + 0 \cdot 5 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 1 + 5 \cdot 1 = 13

\overline{x} = 5 + \frac{13}{18} \approx 5 + 0, 72 = 5, 72

Vậy $\overline{x} \approx 5, 72$ lần.

Nhận xét. Kết quả thực nghiệm 5,72 khá gần con số lí thuyết 6 (mỗi lần gieo có xác suất 1/6 ra mặt 6 chấm); gieo càng nhiều lượt thì số trung bình càng gần 6.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: bảng tần số giúp kiểm tra ngay tổng tần số bằng 18 và tránh cộng sót.

Đáp số.

\overline{x} = \frac{103}{18} \approx 5, 72

(lần).

Sai lầm thường gặp. Đếm thiếu một giá trị rồi chia cho

17

\frac{103}{17} \approx 6, 06

— sai; mẫu có đúng

18

giá trị.

🚀 Mở rộng. Nếu nhóm gieo thêm một lượt mà phải tới lần thứ 20 mới ra mặt 6 thì trung bình tăng thành 123 : 19 ≈ 6,47 — một lượt "xui" kéo trung bình lên khá mạnh.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.8★★Trang 76— Tìm giá trị chưa biết để số trung bình đạt ngưỡng

Bài 5.8 (trang 76). Tại một lớp học chứng chỉ Tin học, nếu mức độ hoàn thành trung bình 5 bài kiểm tra của học viên lớn hơn hoặc bằng 85% thì học viên sẽ được giảm 30% học phí. An đã làm 4 bài kiểm tra với kết quả là 94%, 82%, 78%, 80%. Hỏi bài cuối cùng An cần đạt được ít nhất bao nhiêu phần trăm để được giảm 30% học phí?

Kiến thức cần nhớ

Số trung bình: $\overline{x} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}$ ; với bảng tần số: $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
$\overline{x} \geq a \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} \geq na$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điều kiện đặt lên số trung bình của

5

bài, trong đó một bài chưa biết: đặt ẩn

x

và lập bất phương trình

\overline{x} \geq 85

. Có thể đổi sang điều kiện về tổng hoặc về độ lệch so với

85

cho gọn. Bẫy: lấy trung bình

4

bài rồi so với

85

mà quên bài thứ năm.

1Cách 1. Lập bất phương trình

Định hướng. Gọi $x$ (%) là kết quả bài cuối ( $0 \leq x \leq 100$ ).

\frac{94 + 82 + 78 + 80 + x}{5} \geq 85

\Leftrightarrow 334 + x \geq 425

\Leftrightarrow x \geq 91

Vậy bài cuối An cần đạt ít nhất 91%.

2Cách 2. Tính tổng cần đạt

Định hướng. Trung bình $5$ bài đạt $85%$ nghĩa là tổng $5$ bài đạt ít nhất $5 \cdot 85 = 425$ .

Tổng cần:

5 \cdot 85 = 425

Tổng đã có:

94 + 82 + 78 + 80 = 334

Còn thiếu:

425 - 334 = 91

Vậy bài cuối cần ít nhất 91%.

3Cách 3. Cân bằng độ lệch so với 85

Định hướng. Trung bình bằng $85$ khi tổng các độ lệch so với $85$ bằng $0$ ; bài cuối phải bù phần thiếu.

Độ lệch 4 bài:

+ 9; - 3; - 7; - 5

Tổng:

9 - 3 - 7 - 5 = - 6

Bài cuối cần lệch ít nhất

+ 6

x \geq 85 + 6 = 91

Vậy An cần ít nhất 91% ở bài cuối.

Nhận xét. Cách độ lệch cho thấy ngay "An đang hụt 6 điểm phần trăm so với chuẩn", một con số dễ hình dung hơn tổng 334.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: chỉ cộng các số nhỏ 9, −3, −7, −5 là ra ngay 91, gần như không thể sai.

Đáp số. Bài cuối An cần đạt ít nhất 91%.

Sai lầm thường gặp. Tính trung bình

4

bài

= 83, 5

rồi cho rằng bài cuối chỉ cần

85 + 1, 5 = 86, 5

— sai, vì phần hụt

1, 5

của mỗi bài trong

4

bài cộng lại là

6

, không phải

1, 5

🚀 Mở rộng. Tổng quát: đã có k bài với trung bình m, muốn trung bình n bài đạt a thì mỗi bài còn lại cần trung bình ít nhất (na − km) : (n − k); ở đây (425 − 334) : 1 = 91.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.9★★Trang 77— Số trung bình, trung vị khi có giá trị bất thường

Bài 5.9 (trang 77). Tổng số ca mắc Covid-19 tính đến ngày 26 – 8 – 2021 tại Thành phố Hồ Chí Minh và một số tỉnh lân cận được thống kê như sau:

190 174 81 182 19 728 19 048 8 155 6 103 5 807
4 544 3 760 3 297 2 541 2 000 1 934 1 602 1 195.

(Theo Bộ Y tế)

a) Tính số trung bình và trung vị cho dãy số liệu trên.
b) Giải thích tại sao số trung bình và trung vị lại khác nhau nhiều?

Kiến thức cần nhớ

Số trung bình: $\overline{x} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}$ ; với bảng tần số: $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Trung vị: sắp xếp không giảm; $n$ lẻ lấy giá trị chính giữa, $n$ chẵn lấy trung bình cộng hai giá trị chính giữa. Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.

🧠 Phân tích tư duy

Có

15

giá trị (lẻ) nên trung vị là giá trị thứ

8

sau khi sắp xếp; dãy đã cho vốn xếp giảm dần nên chỉ cần đọc số thứ

8

. Hai giá trị

190174

và

81182

lớn vượt trội, đoán trước số trung bình sẽ lớn hơn trung vị rất nhiều. Bẫy: cộng

15

số năm, sáu chữ số dễ sai — nên cộng theo nhóm.

1Cách 1. Tính trực tiếp

Định hướng. Cộng 15 giá trị chia 15; dãy đã xếp giảm dần nên trung vị là số đứng thứ 8.

n = 15

\overline{x} = \frac{190 174 + 81 182 + \dots + 1 602 + 1 195}{15} = \frac{351 070}{15} \approx 23404, 67

Sắp xếp tăng dần:

1195; 1602; 1934; 2000; 2541; 3297; 3760; 4544; 5807; \dots; 190174

Me = x_{8} = 4544

Vậy a) $\overline{x} \approx 23404, 67$ ca, $Me = 4544$ ca; b) khác nhau nhiều vì có giá trị bất thường rất lớn ( $190174$ của TP. Hồ Chí Minh, $81182$ ) kéo số trung bình lên, còn trung vị không bị ảnh hưởng.

2Cách 2. Cộng theo nhóm và tách giá trị bất thường

Định hướng. Tách hai giá trị lớn nhất ra, cộng phần còn lại theo nhóm, rồi xem riêng hai giá trị đó đóng góp bao nhiêu vào trung bình.

Hai giá trị lớn:

190174 + 81182 = 271356

13

giá trị còn lại:

(19728 + 19048) + (8155 + 6103 + 5807) + (4544 + 3760 + 3297) + (2541 + 2000 + 1934 + 1602 + 1195)

= 38776 + 20065 + 11601 + 9272 = 79714

\overline{x} = \frac{271 356 + 79 714}{15} = \frac{351 070}{15} \approx 23404, 67

;

Me = 4544

Riêng hai giá trị lớn chiếm

\frac{271 356}{351 070} \approx 77, 3%

tổng

Vậy $\overline{x} \approx 23404, 67$ , $Me = 4544$ ; số trung bình lớn gấp hơn $5$ lần trung vị vì hai địa phương có số ca rất lớn chiếm tới $77%$ tổng số ca.

3Cách 3. Bỏ thử giá trị bất thường

Định hướng. So sánh các số đặc trưng khi bỏ giá trị lớn nhất để thấy số nào bị ảnh hưởng.

Đủ

15

giá trị:

\overline{x} \approx 23404, 67

;

Me = 4544

Bỏ

190174

\overline{x}^{'} = \frac{160 896}{14} \approx 11492, 57

;

Me^{'} = \frac{3 760 + 4 544}{2} = 4152

Vậy a) $\overline{x} \approx 23404, 67$ ; $Me = 4544$ . b) Một giá trị bất thường làm số trung bình thay đổi gấp đôi, trung vị gần như không đổi — đó là lí do hai số khác nhau nhiều.

Nhận xét. Với số liệu dịch bệnh theo địa phương, trung vị 4 544 ca mô tả "địa phương điển hình" đúng hơn nhiều so với số trung bình.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a) (bấm máy phần tổng), và lấy lí lẽ Cách 2 ("hai giá trị chiếm 77% tổng") cho câu b) — thuyết phục nhất.

Đáp số. a)

\overline{x} = \frac{351 070}{15} \approx 23404, 67

(ca);

Me = 4544

(ca). b) Mẫu có giá trị bất thường rất lớn (

190174

81182

) kéo số trung bình lên; trung vị không bị ảnh hưởng nên hai số chênh nhau nhiều.

Sai lầm thường gặp. Lấy trung bình của hai giá trị giữa

\frac{4 544 + 3 760}{2}

làm trung vị — sai, vì

n = 15

lẻ, trung vị là đúng một giá trị thứ

8

🚀 Mở rộng. Có thể dùng thêm tứ phân vị: Q₁ = 2 000, Q₃ = 19 048 — ba phần tư số địa phương có dưới 19 048 ca, trong khi số trung bình còn vượt cả Q₃.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.10★Trang 77— Tìm mốt và nêu ý nghĩa

Bài 5.10 (trang 77). Lan thống kê số anh, chị, em ruột của các bạn trong lớp thu được bảng số liệu sau:

Số anh, chị, em ruột	0	1	2	3
Số bạn	4	25	5	1

Xác định mốt cho mẫu số liệu trên và giải thích ý nghĩa.

Kiến thức cần nhớ

Mốt là giá trị có tần số lớn nhất; dùng khi mẫu có nhiều giá trị trùng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Hỏi "mốt" trong bảng tần số: chỉ cần tìm cột có tần số lớn nhất. Phần ý nghĩa phải nói về số con trong gia đình: bạn có

1

anh, chị, em ruột tức là gia đình có

2

con. Bẫy: nhầm mốt là tần số

25

thay vì giá trị

1

1Cách 1. Đọc tần số lớn nhất

Định hướng. So sánh các tần số trong hàng "Số bạn".

Tần số:

4; 25; 5; 1

max = 25

, ứng với giá trị

1

M_{o} = 1

Vậy mốt là $1$ : nhiều bạn nhất trong lớp có đúng $1$ anh, chị hoặc em ruột, tức là gia đình $2$ con phổ biến nhất.

2Cách 2. Tính tỉ lệ phần trăm

Định hướng. Tính tỉ lệ số bạn ứng với mỗi giá trị để thấy mốt chiếm ưu thế đến đâu.

n = 4 + 25 + 5 + 1 = 35

Tỉ lệ:

\frac{4}{35} \approx 11, 4%

;

\frac{25}{35} \approx 71, 4%

;

\frac{5}{35} \approx 14, 3%

;

\frac{1}{35} \approx 2, 9%

71, 4%

lớn nhất:

M_{o} = 1

Vậy $M_{o} = 1$ ; khoảng $71%$ số bạn trong lớp có đúng một anh, chị hoặc em ruột (gia đình hai con).

3Cách 3. Đối chiếu với trung vị và số trung bình

Định hướng. Tính thêm trung vị, số trung bình để xem mốt có đại diện tốt không.

n = 35

lẻ:

Me = x_{18}

; tích luỹ

4; 29; 34; 35

, vị trí

18 \leq 29

Me = 1

\overline{x} = \frac{0 \cdot 4 + 1 \cdot 25 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 1}{35} = \frac{38}{35} \approx 1, 09

M_{o} = 1 = Me \approx \overline{x}

Vậy $M_{o} = 1$ , và cả ba số đặc trưng đều quanh $1$ : đa số các bạn trong lớp thuộc gia đình có hai con.

Nhận xét. Số anh, chị, em là số nguyên, nhiều giá trị trùng nhau: mốt là số đặc trưng dễ hiểu nhất ("phổ biến nhất"), còn số trung bình 1,09 không phải số người thực tế.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1, thêm một câu tỉ lệ 25/35 ≈ 71% (Cách 2) để phần ý nghĩa có sức nặng.

Đáp số.

M_{o} = 1

. Ý nghĩa: phần lớn các bạn trong lớp (

25/35 \approx 71%

) có đúng một anh, chị hoặc em ruột, tức là gia đình có hai con là phổ biến nhất.

Sai lầm thường gặp. Ghi "mốt là

25

" — sai,

25

là tần số; mốt là giá trị

1

. Cũng sai khi diễn giải "gia đình một con là nhiều nhất": bạn có

1

anh, chị, em ruột thì gia đình có

2

con.

🚀 Mở rộng. Nếu lớp có thêm 21 bạn là con một thì giá trị 0 và 1 cùng có tần số 25: mẫu có hai mốt là 0 và 1.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.11★★Trang 77— Tứ phân vị và vị trí của một giá trị trong mẫu

Bài 5.11 (trang 77). Thống kê GDP năm 2020 (đơn vị: tỉ đô la Mỹ) của 10 nước tại khu vực Đông Nam Á được kết quả như sau:

Brunei	Campuchia	Indonesia	Lào	Malaysia
12,02	25,95	1 059,64	19,08	338,28
Myanmar	Philippines	Singapore	Thái Lan	Việt Nam
81,26	362,24	339,98	501,89	340,82

(Theo statista.com)

a) Tìm các tứ phân vị cho dãy số liệu trên.
b) Giải thích ý nghĩa của các tứ phân vị này. Việt Nam có thuộc nhóm 25% quốc gia có GDP năm 2020 cao nhất trong khu vực Đông Nam Á không?

Kiến thức cần nhớ

Tứ phân vị: $Q_{2}$ = trung vị; $Q_{1}$ , $Q_{3}$ là trung vị của nửa trái, nửa phải $Q_{2}$ (không tính $Q_{2}$ khi $n$ lẻ); $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$ chia mẫu thành bốn phần, mỗi phần khoảng 25%.

🧠 Phân tích tư duy

n = 10

chẵn:

Q_{2}

là trung bình giá trị thứ

5

6

; mỗi nửa có

5

giá trị nên

Q_{1} = x_{3}

Q_{3} = x_{8}

. Câu hỏi "nhóm 25% cao nhất" chính là so sánh GDP Việt Nam với

Q_{3}

, không phải với

Q_{2}

. Bẫy: các số

338, 28

;

339, 98

;

340, 82

rất sát nhau, dễ xếp nhầm thứ tự.

1Cách 1. Sắp xếp và áp dụng quy tắc

Định hướng. Sắp xếp 10 giá trị tăng dần rồi tìm Q₂, Q₁, Q₃.

12, 02; 19, 08; 25, 95; 81, 26; 338, 28; 339, 98; 340, 82; 362, 24; 501, 89; 1059, 64

Q_{2} = \frac{338 , 28 + 339 , 98}{2} = 339, 13

Nửa trái

12, 02; 19, 08; 25, 95; 81, 26; 338, 28

Q_{1} = 25, 95

Nửa phải

339, 98; 340, 82; 362, 24; 501, 89; 1059, 64

Q_{3} = 362, 24

Việt Nam:

339, 13 < 340, 82 < 362, 24 = Q_{3}

Vậy a) $Q_{1} = 25, 95$ ; $Q_{2} = 339, 13$ ; $Q_{3} = 362, 24$ . b) Khoảng $25%$ số nước có GDP dưới $25, 95$ tỉ USD, một nửa dưới $339, 13$ tỉ USD, $75%$ dưới $362, 24$ tỉ USD; GDP Việt Nam nhỏ hơn $Q_{3}$ nên Việt Nam không thuộc nhóm 25% nước có GDP cao nhất.

2Cách 2. Xếp hạng theo vị trí

Định hướng. Với $n = 10$ : $Q_{1}$ ở vị trí $3$ , $Q_{3}$ ở vị trí $8$ , $Q_{2}$ giữa vị trí $5$ và $6$ ; chỉ cần xếp hạng rồi đọc.

Hạng (tăng dần): Brunei

1

, Lào

2

, Campuchia

3

, Myanmar

4

, Malaysia

5

, Singapore

6

, Việt Nam

7

, Philippines

8

, Thái Lan

9

, Indonesia

10

Q_{1} = x_{3} = 25, 95

(Campuchia);

Q_{3} = x_{8} = 362, 24

(Philippines)

Q_{2} = \frac{x _{5} + x _{6}}{2} = 339, 13

Nhóm trên

Q_{3}

: Thái Lan, Indonesia; Việt Nam hạng

7

(thứ

4

từ trên xuống)

Vậy $Q_{1} = 25, 95$ ; $Q_{2} = 339, 13$ ; $Q_{3} = 362, 24$ ; Việt Nam đứng thứ $4$ về GDP nhưng không thuộc nhóm 25% cao nhất (chỉ gồm các nước có GDP lớn hơn $Q_{3}$ : Thái Lan, Indonesia).

3Cách 3. Máy tính cầm tay (kiểm tra)

Định hướng. Máy tính cầm tay (fx-580VN X): MENU 6 (Thống kê) → 1 (1-Variable), nhập 10 giá trị, bấm OPTN → 1-Variable Calc.

Q_{1} = 25, 95

;

Med = 339, 13

;

Q_{3} = 362, 24

340, 82 < 362, 24

Vậy kết quả trùng Cách 1; Việt Nam không thuộc nhóm 25% nước có GDP cao nhất.

Nhận xét. Q₂ − Q₁ ≈ 313 trong khi Q₃ − Q₂ ≈ 23: bốn nước giữa bảng (Malaysia, Singapore, Việt Nam, Philippines) có GDP rất sát nhau, còn nửa dưới trải rất rộng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 và ghi rõ phép so sánh 340,82 với Q₃ = 362,24 — đó là mấu chốt của câu b).

Đáp số. a)

Q_{1} = 25, 95

;

Q_{2} = 339, 13

;

Q_{3} = 362, 24

(tỉ USD). b) Ba tứ phân vị chia

10

nước thành bốn nhóm, mỗi nhóm khoảng

25%

; GDP Việt Nam

340, 82 < Q_{3}

nên Việt Nam không thuộc nhóm 25% nước có GDP cao nhất.

Sai lầm thường gặp. So sánh với

Q_{2}

: thấy

340, 82 > 339, 13

rồi kết luận Việt Nam "thuộc nhóm cao" — sai,

Q_{2}

chỉ cho biết Việt Nam thuộc nửa trên; nhóm 25% cao nhất phải vượt

Q_{3}

🚀 Mở rộng. Tính thêm số trung bình ≈ 308,12 tỉ USD: nhỏ hơn cả Q₂ dù Indonesia rất lớn, vì nửa dưới gồm các nền kinh tế rất nhỏ — ví dụ hiếm gặp số trung bình và trung vị lệch theo hướng này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 5.12★★Trang 77— Số trung bình, trung vị và ý nghĩa

Bài 5.12 (trang 77). Diện tích của các tỉnh đồng bằng sông Cửu Long năm 2022 (đơn vị: nghìn km²) là:

1,44 3,54 2,67 2,39 4,49 5,29 3,31
1,62 2,36 3,38 1,53 6,35 2,51.

a) Tính số trung bình, trung vị cho dãy số liệu trên.
b) Giải thích ý nghĩa của mỗi số thu được ở câu a.

Kiến thức cần nhớ

Số trung bình: $\overline{x} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}$ ; với bảng tần số: $\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Trung vị: sắp xếp không giảm; $n$ lẻ lấy giá trị chính giữa, $n$ chẵn lấy trung bình cộng hai giá trị chính giữa. Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.

🧠 Phân tích tư duy

13

giá trị (lẻ) nên trung vị là giá trị thứ

7

sau khi sắp xếp. Các giá trị thập phân quanh

3

, chọn số gốc

3

để tính trung bình nhanh. Phần ý nghĩa: trung bình là diện tích "chia đều", trung vị là mốc chia đôi số tỉnh.

1Cách 1. Tính trực tiếp

Định hướng. Cộng 13 giá trị chia 13; sắp xếp để lấy giá trị thứ 7.

\overline{x} = \frac{1 , 44 + 3 , 54 + 2 , 67 + \dots + 6 , 35 + 2 , 51}{13} = \frac{40 , 88}{13} \approx 3, 14

1, 44; 1, 53; 1, 62; 2, 36; 2, 39; 2, 51; 2, 67; 3, 31; 3, 38; 3, 54; 4, 49; 5, 29; 6, 35

Me = x_{7} = 2, 67

Vậy a) $\overline{x} \approx 3, 14$ nghìn km², $Me = 2, 67$ nghìn km². b) Nếu chia đều tổng diện tích cho $13$ tỉnh thì mỗi tỉnh khoảng $3, 14$ nghìn km²; có $6$ tỉnh diện tích nhỏ hơn $2, 67$ nghìn km² và $6$ tỉnh lớn hơn.

2Cách 2. Số gốc 3

Định hướng. Đặt $x = 3 + d$ ; cộng các độ lệch nhỏ.

d

- 1, 56; 0, 54; - 0, 33; - 0, 61; 1, 49; 2, 29; 0, 31; - 1, 38; - 0, 64; 0, 38; - 1, 47; 3, 35; - 0, 49

\sum d = 8, 36 - 6, 48 = 1, 88

\overline{x} = 3 + \frac{1 , 88}{13} \approx 3 + 0, 145 = 3, 145 \approx 3, 14

Vậy $\overline{x} \approx 3, 14$ ; kết hợp dãy sắp xếp ở Cách 1: $Me = 2, 67$ .

3Cách 3. So sánh số trung bình với trung vị

Định hướng. Đặt hai số cạnh nhau để giải thích ý nghĩa và vì sao chúng khác nhau.

\overline{x} \approx 3, 14 > 2, 67 = Me

Số tỉnh có diện tích lớn hơn

\overline{x}

3, 31; 3, 38; 3, 54; 4, 49; 5, 29; 6, 35

(

6

tỉnh)
Vài tỉnh rất lớn (

5, 29

;

6, 35

) kéo

\overline{x}

lên trên Me

Vậy $\overline{x} \approx 3, 14$ nghìn km² là diện tích bình quân một tỉnh; $Me = 2, 67$ nghìn km² chia các tỉnh thành hai nửa bằng nhau về số lượng.

Nhận xét. Vì có vài tỉnh diện tích lớn hẳn nên trung vị mô tả "tỉnh điển hình" sát hơn số trung bình.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (bấm máy phần tổng) rồi viết ý nghĩa như Cách 3 — ngắn và đủ ý.

Đáp số. a)

\overline{x} = \frac{40 , 88}{13} \approx 3, 14

(nghìn km²);

Me = 2, 67

(nghìn km²). b) Diện tích bình quân mỗi tỉnh khoảng

3, 14

nghìn km²; một nửa số tỉnh có diện tích không quá

2, 67

nghìn km², nửa còn lại không nhỏ hơn

2, 67

nghìn km².

Sai lầm thường gặp. Không sắp xếp mà lấy luôn giá trị thứ

7

của dãy gốc là

3, 31

làm trung vị — sai; sau khi sắp xếp, giá trị thứ

7

là

2, 67

🚀 Mở rộng. Tính thêm các tứ phân vị: Q₁ = 1,99; Q₃ = 4,015 — một nửa số tỉnh có diện tích từ khoảng 2 đến 4 nghìn km².

Mở bài này trong app ↗