Bài 13. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Định hướng. Cộng năm hàng, mỗi hàng $5$ số, rồi cộng các tổng hàng và chia cho $25$.

Vậy điểm trung bình lớp A là $5,92$, lớp B là $6,28$.

Định hướng. Mỗi điểm lặp lại nhiều lần nên gom thành bảng tần số rồi dùng công thức số trung bình có trọng số.

Vậy ${\overline{x}}_A=5,92$ và ${\overline{x}}_B=6,28$.

Định hướng. Điểm quanh $6$ nên đặt $x=6+d$; trung bình bằng $6$ cộng trung bình các độ lệch $d$ — số nhỏ, cộng nhẩm được.

Vậy ${\overline{x}}_A=5,92$, ${\overline{x}}_B=6,28$.

Nhận xét. Tổng độ lệch lớp A âm ($-2$), lớp B dương ($+7$) — nhìn dấu là biết ngay lớp B có điểm trung bình cao hơn, trước cả khi chia.

Định hướng. Dùng kết quả HĐ1 và so sánh.

Vậy phương pháp học tập áp dụng cho lớp B hiệu quả hơn.

Định hướng. Hai lớp cùng $n=25$ nên so sánh số trung bình tương đương so sánh tổng điểm, khỏi phải chia.

Vậy phương pháp của lớp B hiệu quả hơn.

Định hướng. Lấy lại tổng độ lệch so với 6 ở HĐ1: dấu của tổng độ lệch cho biết lớp nào nằm trên hay dưới mốc.

Vậy lớp B có điểm trung bình cao hơn nên phương pháp của lớp B hiệu quả hơn.

Nhận xét. Chênh lệch 0,36 điểm là không lớn; phần Vận dụng cuối bài sẽ dùng thêm trung vị, tứ phân vị, mốt để khẳng định kết luận chắc chắn hơn.

Định hướng. Tính số bạn, rồi tổng thời gian có trọng số, chia cho số bạn.

Vậy thời gian chạy trung bình khoảng 14,08 giây.

Định hướng. Đặt $x=14+d$ với $d\in \{-2;-1;0;1;2\}$; tổng độ lệch nhỏ nên tính nhẩm được.

Vậy $\overline{x}\approx 14,08$ giây.

Định hướng. Số trung bình bằng tổng các giá trị nhân với tỉ lệ số bạn tương ứng.

Vậy $\overline{x}\approx 14,08$ giây.

Nhận xét. Cách viết qua tần số tương đối cho thấy số trung bình là "trọng tâm" của các giá trị với trọng lượng bằng tỉ lệ: nhóm 14 giây đông nhất kéo trung bình về gần 14.

Định hướng. Mẫu gồm $6$ giá trị: $20;4;4;4;4;4$ (triệu đồng).

Vậy a) thu nhập trung bình khoảng 6,67 triệu đồng; b) không phản ánh đúng thu nhập của nhân viên (mỗi nhân viên chỉ 4 triệu đồng).

Định hướng. Lấy mức $4$ triệu làm gốc: chỉ giám đốc vượt $16$ triệu, phần vượt này bị chia đều cho $6$ người.

Vậy $\overline{x}\approx 6,67$ triệu đồng, cao hơn thu nhập thật của mỗi nhân viên khoảng $2,67$ triệu — số trung bình không phản ánh đúng.

Định hướng. Sắp xếp mẫu và tìm giá trị "ở giữa", so với số trung bình.

Vậy a) $\overline{x}\approx 6,67$ triệu đồng; b) không phản ánh đúng: giá trị đại diện hợp lí là trung vị $4$ triệu đồng.

Nhận xét. Một giá trị bất thường (20 triệu) đủ kéo số trung bình lên cao hơn hẳn đa số; trung vị thì đứng yên — đây chính là lí do SGK đưa ra khái niệm trung vị.

Định hướng. Tính số trung bình, sắp xếp để tìm trung vị, rồi xem số nào gần đa số giá trị.

Vậy $\overline{x}\approx 57,14$ feet, $\text{Me}=52$ feet; trung vị phù hợp hơn để đại diện.

Định hướng. Các giá trị quanh $50$: cộng độ lệch so với $50$ để tính trung bình, đồng thời thấy rõ độ lệch nào "trội".

Vậy $\overline{x}\approx 57,14$, $\text{Me}=52$; số trung bình bị con cá voi dài $112$ feet kéo lên, nên chọn trung vị.

Định hướng. Thử bỏ $112$: số nào thay đổi ít thì số đó "bền" và đại diện tốt hơn.

Vậy $\overline{x}\approx 57,14$ feet, $\text{Me}=52$ feet; trung vị gần như không đổi khi bỏ giá trị bất thường nên trung vị phù hợp hơn.

Nhận xét. Mẫu có giá trị bất thường thì trung vị đại diện tốt hơn số trung bình — đúng như ý nghĩa SGK nêu sau Ví dụ 2.

Định hướng. Sắp xếp, tìm $Q_2$, rồi tìm trung vị của hai nửa.

Vậy các ngưỡng là $Q_1=71,5$; $Q_2=76$; $Q_3=87,5$: điểm trên $87,5$ đạt giải Nhất; từ $76$ đến $87,5$ giải Nhì; từ $71,5$ đến $76$ giải Ba; dưới $71,5$ giải Tư.

Định hướng. Xếp hạng từ cao xuống, cắt thành bốn nhóm 3 người; ngưỡng đặt ở giữa hai điểm kề nhau tại mỗi chỗ cắt.

Vậy ba ngưỡng điểm là $87,5$; $76$; $71,5$ — trùng với $Q_3,Q_2,Q_1$.

Định hướng. Đặt 12 điểm lên trục số rồi kẻ ba vạch chia chúng thành bốn cụm 3 điểm (hình bên).

Vậy ngưỡng điểm: $71,5$ (Tư/Ba), $76$ (Ba/Nhì), $87,5$ (Nhì/Nhất).

Nhận xét. Hình trục số cho thấy các điểm dồn dày ở khoảng 69–77 và thưa dần về phía điểm cao: khoảng giải Nhì rộng 11,5 điểm, còn khoảng giải Ba chỉ rộng 4,5 điểm.

Định hướng. Bảng đã theo thứ tự tăng của số lần, viết đủ 35 giá trị rồi áp dụng quy tắc.

Vậy $Q_1=2$; $Q_2=3$; $Q_3=4$.

Định hướng. Cộng dồn tần số để biết mỗi giá trị chiếm những vị trí nào.

Vậy $Q_1=2$, $Q_2=3$, $Q_3=4$.

Định hướng. Vì $Q_1$ là giá trị thứ $9$ tính từ đầu và $Q_3$ là giá trị thứ $9$ tính từ cuối, chỉ cần đếm $9$ bước từ mỗi phía.

Vậy $Q_1=2$; $Q_2=3$; $Q_3=4$.

Nhận xét. Một nửa số học sinh học từ 2 đến 4 lần mỗi tuần; khoảng cách Q₂ − Q₁ = Q₃ − Q₂ = 1 cho thấy số liệu phân bố khá cân đối quanh 3 lần.

Định hướng. Đếm tần số từng cỡ, tính trung bình, đọc cỡ có tần số lớn nhất.

Vậy a) cỡ trung bình $\approx 39,07$, không có cỡ giày này nên số trung bình không có ý nghĩa với việc nhập hàng; b) nên nhập nhiều nhất cỡ 39.

Định hướng. Chọn $39$ làm gốc: phần lớn độ lệch bằng $0$, cộng nhẩm tức thì.

Vậy $\overline{x}\approx 39,07$ — không phải một cỡ giày thật; cửa hàng nên nhập nhiều nhất cỡ $39$.

Định hướng. Đánh dấu từng khách vào cột cỡ giày tương ứng; cột cao nhất là mốt.

Vậy a) $\overline{x}\approx 39,07$, chỉ cho biết cỡ giày của khách tập trung quanh 39, không dùng để quyết định nhập hàng; b) nhập nhiều nhất cỡ 39.

Nhận xét. Với dữ liệu mà các giá trị trùng nhau nhiều (cỡ giày, cỡ áo…) thì mốt mới là số đặc trưng có ý nghĩa thực tế.

Định hướng. Từ bảng tần số ở HĐ1, cộng dồn để định vị các giá trị thứ 6, 7, 13, 19, 20.

Vậy lớp A: $\overline{x}=5,92$, $\text{Me}=6$, $Q_1=4,5$, $Q_3=7,5$, $M_o=7$; lớp B: $\overline{x}=6,28$, $\text{Me}=6$, $Q_1=5$, $Q_3=7$, $M_o=7$.

Định hướng. Lập bảng so sánh, chỉ ra số nào hơn, số nào bằng và ý nghĩa của từng số.

Vậy phương pháp của lớp B hiệu quả hơn: điểm trung bình cao hơn, nhóm học sinh yếu nhất được nâng lên (Q₁ cao hơn) và điểm đồng đều hơn; trung vị và mốt hai lớp như nhau.

Định hướng. Vẽ cho mỗi lớp một "hộp" từ Q₁ đến Q₃, vạch ở trung vị, hai râu tới giá trị nhỏ nhất, lớn nhất (hình bên).

Vậy lớp B có ít điểm thấp hơn, điểm tập trung quanh 5–7, nên phương pháp của lớp B hiệu quả hơn.

Nhận xét. Hai lớp có cùng trung vị 6 và mốt 7 nên chỉ nhìn một số đặc trưng thì khó phân định; phải phối hợp số trung bình với tứ phân vị mới thấy rõ ưu thế của lớp B.

Định hướng. Sắp xếp từng mẫu, tính lần lượt các số đặc trưng.

Vậy kết quả như trên, với Q₂ = Me.

Định hướng. Trung vị, mốt, tứ phân vị giữ như Cách 1; riêng số trung bình tính qua độ lệch với một số gốc gần tâm để tránh cộng số lớn.

Vậy $\overline{x}$ lần lượt là $12$; $387,5$; $34$ — khớp Cách 1.

Định hướng. Máy tính cầm tay (fx-580VN X): MENU 6 (Thống kê) → 1 (1-Variable), nhập dữ liệu, bấm OPTN → 1-Variable Calc để đọc x̄, Q₁, Med, Q₃.

Vậy máy cho cùng kết quả; mốt đọc từ dãy đã sắp xếp: 8; 300; 34.

Nhận xét. Ở a) số trung bình 12 lớn hơn trung vị 9 vì có giá trị 20 lệch xa; ở c) các số đặc trưng gần như trùng nhau (đều quanh 34) vì mẫu phân bố cân đối.

Định hướng. Sắp xếp mỗi mẫu, xem có giá trị nào lệch hẳn không.

Vậy a) trung vị $7,5$; b) số trung bình $22,6$; c) số trung bình $99$; d) trung vị $15$.

Định hướng. Tính cả $\overline{x}$ và Me: nếu hai số lệch nhau nhiều thì mẫu bị giá trị bất thường chi phối, nên dùng Me; nếu gần nhau thì dùng $\overline{x}$.

Vậy a) $\text{Me}=7,5$; b) $\overline{x}=22,6$; c) $\overline{x}=99$; d) $\text{Me}=15$.

Định hướng. Kiểm tra xem mốt có dùng được không (mẫu có nhiều giá trị trùng không).

Vậy kết luận như Cách 1; riêng d) có thể dùng trung vị hoặc mốt, cùng bằng $15$.

Nhận xét. Sai số của phép đo thường tập trung quanh một giá trị và thỉnh thoảng có lần đo hỏng (42): trung vị hay mốt đều "miễn nhiễm" với lần đo hỏng ấy.

Định hướng. Sắp xếp, tính số trung bình, mốt và ba tứ phân vị.

Vậy a) $\overline{x}=2$; $M_o=0$; $Q_1=0$, $Q_2=0$, $Q_3=4$. b) Có $7$ giá trị $0$ chiếm từ vị trí $1$ đến $7$, mà $Q_1$ (vị trí $3$) và $Q_2$ (vị trí $5$, $6$) đều nằm trong khối đó nên cùng bằng $0$.

Định hướng. Chỉ có 4 giá trị khác nhau, dùng tần số tích luỹ để định vị.

Vậy $\overline{x}=2$, $M_o=0$, $Q_1=Q_2=0$, $Q_3=4$; $Q_1=Q_2$ vì tần số của $0$ ($70\%$) vượt quá $50\%$.

Định hướng. Q₁ là mốc 25%, Q₂ là mốc 50%; nếu một giá trị chiếm hơn 50% số liệu tính từ nhỏ nhất thì cả hai mốc đều rơi vào giá trị đó.

Vậy kết quả như trên; $Q_1$ trùng trung vị vì hơn một nửa số trường không có học sinh giỏi Quốc gia.

Nhận xét. Số trung bình 2 không đại diện tốt: 7/10 trường có 0 học sinh giỏi, trong khi 3 trường mạnh kéo trung bình lên. Ở mẫu này mốt 0 mô tả đúng thực tế hơn.

Định hướng. Sắp xếp, tính ba số đặc trưng với 5 sân, rồi với 4 sân.

Vậy bỏ Mỹ Đình thì số trung bình giảm 3 261,2 chỗ, trung vị giảm 597,5 chỗ, mốt không đổi (20 120).

Định hướng. Bỏ một giá trị $a$ khỏi mẫu $n$ giá trị: ${\overline{x}}^{\prime }=\frac{n\overline{x}-a}{n-1}$, nên $\overline{x}-{\overline{x}}^{\prime }=\frac{a-\overline{x}}{n-1}$.

Vậy số trung bình giảm $3261,2$ (còn $21240$), trung vị giảm $597,5$ (còn $20717,5$), mốt giữ nguyên $20120$.

Định hướng. Mốt chỉ phụ thuộc giá trị lặp lại; trung vị chỉ phụ thuộc vị trí; số trung bình phụ thuộc mọi giá trị.