Chương V. Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm

Bài 14. Các số đặc trưng đo độ phân tán

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngV #SáchBàiTập_Tập1 #trang80–81 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 5.13★★Trang 80— Đọc biểu đồ chấm điểm, so sánh độ phân tán

Bài 5.13 (trang 80). Cho hai biểu đồ chấm điểm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B như hình dưới, trong đó mỗi chấm biểu diễn một giá trị trong mẫu số liệu.
Không tính, hãy cho biết:
a) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu nào lớn hơn?
b) Khoảng biến thiên của hai mẫu số liệu có như nhau không?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên $R$ là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu.
Phương sai: $s^{2} = \frac{( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ) ^{2}}{n} = \frac{x _{1}^{2} + \dots + x _{n}^{2}}{n} - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ .
Độ lệch chuẩn càng lớn thì số liệu càng phân tán (kém ổn định).

🧠 Phân tích tư duy

"Không tính" nên phải nhìn hình: độ lệch chuẩn đo mức các chấm trải rộng quanh trung tâm, khoảng biến thiên chỉ nhìn chấm xa nhất hai bên. A có chấm ở cả

1

lẫn

5

, B không có chấm nào ở

1

và dồn vào

3; 4

. Bẫy: B có nhiều chấm hơn nên tưởng "phân tán hơn".

1Cách 1. Nhìn độ trải của các chấm

Định hướng. Đọc hai đầu của mỗi biểu đồ và mức độ dồn của các chấm.

A: chấm trải từ

1

đến

5

, khá đều; B: chấm dồn vào

3

và

4

\Rightarrow s_{A} > s_{B}

x_{m i n} = 1, x_{m a x} = 5 \Rightarrow R_{A} = 4

x_{m i n} = 2, x_{m a x} = 5 \Rightarrow R_{B} = 3

Vậy a) mẫu A có độ lệch chuẩn lớn hơn; b) khoảng biến thiên hai mẫu không như nhau ( $R_{A} = 4$ , $R_{B} = 3$ ).

2Cách 2. So tỉ lệ chấm ở hai đầu

Định hướng. Độ lệch chuẩn lớn khi tỉ lệ giá trị nằm xa trung tâm lớn. So phần chấm ở các giá trị ngoài 3; 4.

16

chấm, trong đó

2 + 3 + 2 = 7

chấm ở

1; 2; 5

— gần một nửa
B:

17

chấm, chỉ

2 + 2 = 4

chấm ở

2; 5

, còn

13

chấm ở

3; 4

\Rightarrow

A phân tán hơn,

s_{A} > s_{B}

Vậy mẫu A có độ lệch chuẩn lớn hơn; $R_{A} = 4 \neq = R_{B} = 3$ .

3Cách 3. Kiểm chứng bằng tính toán

Định hướng. Đếm tần số rồi tính để khẳng định (ngoài yêu cầu của đề).

A: giá trị

1; 2; 3; 4; 5

— tần số

2; 3; 5; 4; 2

n = 16

\overline{x}_{A} = \frac{49}{16} \approx 3, 06; s_{A}^{2} = \frac{2 + 12 + 45 + 64 + 50}{16} - (\frac{49}{16})^{2} \approx 1, 43; s_{A} \approx 1, 20

B: giá trị

2; 3; 4; 5

— tần số

2; 7; 6; 2

n = 17

\overline{x}_{B} = \frac{59}{17} \approx 3, 47; s_{B}^{2} = \frac{8 + 63 + 96 + 50}{17} - (\frac{59}{17})^{2} \approx 0, 72; s_{B} \approx 0, 85

Vậy $s_{A} \approx 1, 20 > s_{B} \approx 0, 85$ , khớp với nhận xét trực quan.

Nhận xét. Số chấm nhiều hơn không có nghĩa là phân tán hơn; điều quyết định là chấm nằm xa trung tâm hay không.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 đúng yêu cầu "không tính": nhìn hai đầu cho câu b), nhìn độ dồn cho câu a).

Đáp số. a) Mẫu A có độ lệch chuẩn lớn hơn; b) không như nhau:

R_{A} = 5 - 1 = 4

R_{B} = 5 - 2 = 3

Sai lầm thường gặp. Đọc khoảng biến thiên của B từ vạch

1

trên trục (vì trục bắt đầu ở

1

) thành

R_{B} = 4

— sai,

R

tính từ chấm nhỏ nhất (

2

), không tính từ vạch trục.

🚀 Mở rộng. Nếu thêm vào B một chấm ở giá trị

1

thì

R_{B} = 4 = R_{A}

nhưng

s_{B}^{2} = \frac{218}{18} - (\frac{60}{18})^{2} \approx 1, 0

vẫn nhỏ hơn

s_{A}^{2}

— cùng

R

chưa chắc cùng độ phân tán.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.14★★Trang 80— Số đo độ phân tán khi tịnh tiến mẫu

Bài 5.14 (trang 80). Cho hai dãy số liệu sau:

A	4	5	7	9	10
B	9	10	12	14	15

Không tính, hãy cho biết:
a) Khoảng biến thiên của hai dãy có như nhau không?
b) Độ lệch chuẩn của hai dãy có như nhau không?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên $R$ là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu.
Phương sai: $s^{2} = \frac{( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ) ^{2}}{n} = \frac{x _{1}^{2} + \dots + x _{n}^{2}}{n} - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ .
Độ lệch chuẩn càng lớn thì số liệu càng phân tán (kém ổn định).
Nếu $y_{i} = x_{i} + b$ thì $R_{y} = R_{x}$ , $s_{y} = s_{x}$ .

🧠 Phân tích tư duy

So từng cặp:

9 - 4 = 10 - 5 = 12 - 7 = 14 - 9 = 15 - 10 = 5

— dãy B chính là dãy A cộng thêm

5

. Tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách giữa các giá trị nên mọi số đo độ phân tán giữ nguyên. Bẫy: thấy B có số lớn hơn liền cho rằng B phân tán hơn.

1Cách 1. Nhận ra phép tịnh tiến

Định hướng. Mỗi số của B bằng số tương ứng của A cộng 5.

y_{i} = x_{i} + 5 \Rightarrow y_{m a x} - y_{m i n} = x_{m a x} - x_{m i n}

\overline{y} = \overline{x} + 5 \Rightarrow y_{i} - \overline{y} = x_{i} - \overline{x} \Rightarrow s_{y} = s_{x}

Vậy a) khoảng biến thiên như nhau; b) độ lệch chuẩn như nhau.

2Cách 2. Hình ảnh trên trục số

Định hướng. Đặt hai dãy lên trục số: đám điểm B là đám điểm A trượt sang phải 5 đơn vị.

Khoảng cách giữa hai điểm bất kì không đổi khi trượt

\Rightarrow

độ rộng (

R

) và độ trải quanh tâm (

s

) không đổi

Vậy cả khoảng biến thiên lẫn độ lệch chuẩn của hai dãy bằng nhau.

3Cách 3. Kiểm chứng bằng tính toán

Định hướng. Tính trực tiếp để khẳng định (ngoài yêu cầu của đề).

R_{A} = 10 - 4 = 6; R_{B} = 15 - 9 = 6

\overline{x}_{A} = 7 : s_{A}^{2} = \frac{9 + 4 + 0 + 4 + 9}{5} = 5, 2

\overline{x}_{B} = 12 : s_{B}^{2} = \frac{9 + 4 + 0 + 4 + 9}{5} = 5, 2

s_{A} = s_{B} = 5, 2 \approx 2, 28

Vậy $R_{A} = R_{B} = 6$ , $s_{A} = s_{B} \approx 2, 28$ .

Nhận xét. Bảng độ lệch của hai dãy trùng khít nhau — đó chính là lí do các số đo độ phân tán bằng nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng "B = A + 5" trả lời cả hai câu mà không cần tính.

Đáp số. a) Có, cùng bằng 6; b) có, độ lệch chuẩn như nhau (cùng bằng

5, 2 \approx 2, 28

) vì dãy B có được bằng cách cộng 5 vào mỗi giá trị của dãy A.

Sai lầm thường gặp. Cho rằng độ lệch chuẩn của B lớn hơn vì các giá trị của B lớn hơn — độ lệch chuẩn đo độ trải, không đo độ lớn; số trung bình mới tăng thêm

5

🚀 Mở rộng. Nếu dãy C có được bằng cách nhân mỗi giá trị của A với

2

thì

R_{C} = 12

s_{C} = 2 s_{A} \approx 4, 56

— nhân thì số đo độ phân tán đổi, cộng thì không.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.15★★Trang 80— Tính khoảng biến thiên, độ lệch chuẩn và so sánh độ ổn định

Bài 5.15 (trang 80). Điểm số của hai vận động viên bắn cung trong 10 lần bắn thử để chuẩn bị cho Olympic Tokyo 2020 được ghi lại như sau:

Vận động viên A	10	9	8	10	9	9	9	10	9	8
Vận động viên B	5	10	10	10	10	7	9	10	10	10

a) Tìm khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của mỗi dãy số liệu trên.
b) Vận động viên nào có thành tích bắn thử ổn định hơn?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên $R$ là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu.
Phương sai: $s^{2} = \frac{( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ) ^{2}}{n} = \frac{x _{1}^{2} + \dots + x _{n}^{2}}{n} - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ .
Độ lệch chuẩn càng lớn thì số liệu càng phân tán (kém ổn định).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.16★★Trang 81— So sánh độ lệch chuẩn của các dãy số liệu

Bài 5.16 (trang 81). Trong các dãy số liệu sau, dãy nào có độ lệch chuẩn lớn nhất?
(a) 98 99 100 101 102.
(b) 2 4 6 8 10.
(c) 2 10.

Kiến thức cần nhớ

Phương sai: $s^{2} = \frac{( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ) ^{2}}{n} = \frac{x _{1}^{2} + \dots + x _{n}^{2}}{n} - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ .
Độ lệch chuẩn càng lớn thì số liệu càng phân tán (kém ổn định).
Nếu $y_{i} = a x_{i} + b$ thì $s_{y} = ∣ a ∣ s_{x}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.17★★Trang 81— Tính khoảng tứ phân vị và tính bền vững của nó

Bài 5.17 (trang 81). Mẫu số liệu sau là chiều cao (đơn vị: cm) của các bạn trong tổ của Lan:

165 168 157 162 165 165 179 148 170 167

a) Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
b) Khoảng tứ phân vị có bị ảnh hưởng bởi chiều cao của bạn cao nhất, bạn thấp nhất không?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng tứ phân vị: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ — khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa của mẫu đã sắp xếp.
$Q_{2}$ là trung vị; $Q_{1}$ , $Q_{3}$ là trung vị của nửa trái, nửa phải (không tính $Q_{2}$ khi $n$ lẻ).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 5.18★★Trang 81— Phát hiện giá trị bất thường

Bài 5.18 (trang 81). Bình dùng đồng hồ đo thời gian để một vật rơi tự do (đơn vị: giây) từ vị trí A đến vị trí B trong 10 lần cho kết quả như sau:

0,398	0,399	0,408	0,410	0,406
0,405	0,402	0,401	0,290	0,402

Bình nghĩ là giá trị 0,290 ở lần đo thứ 9 không chính xác. Hãy kiểm tra nghi ngờ của Bình.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng tứ phân vị: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ — khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa của mẫu đã sắp xếp.
Giá trị lớn hơn $Q_{3} + 1, 5 \cdot Δ_{Q}$ hoặc bé hơn $Q_{1} - 1, 5 \cdot Δ_{Q}$ được xem là giá trị bất thường.