Chương V. Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm

Bài 14. Các số đặc trưng đo độ phân tán

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 5.13★★Trang 80— Đọc biểu đồ chấm điểm, so sánh độ phân tán

Bài 5.13 (trang 80). Cho hai biểu đồ chấm điểm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B như hình dưới, trong đó mỗi chấm biểu diễn một giá trị trong mẫu số liệu.
Không tính, hãy cho biết:
a) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu nào lớn hơn?
b) Khoảng biến thiên của hai mẫu số liệu có như nhau không?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên $R$ là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu.
Phương sai: $s^{2} = \frac{( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ) ^{2}}{n} = \frac{x _{1}^{2} + \dots + x _{n}^{2}}{n} - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ .
Độ lệch chuẩn càng lớn thì số liệu càng phân tán (kém ổn định).

🧠 Phân tích tư duy

"Không tính" nên phải nhìn hình: độ lệch chuẩn đo mức các chấm trải rộng quanh trung tâm, khoảng biến thiên chỉ nhìn chấm xa nhất hai bên. A có chấm ở cả

1

lẫn

5

, B không có chấm nào ở

1

và dồn vào

3; 4

. Bẫy: B có nhiều chấm hơn nên tưởng "phân tán hơn".

1Cách 1. Nhìn độ trải của các chấm

Định hướng. Đọc hai đầu của mỗi biểu đồ và mức độ dồn của các chấm.

A: chấm trải từ

1

đến

5

, khá đều; B: chấm dồn vào

3

và

4

\Rightarrow s_{A} > s_{B}

x_{m i n} = 1, x_{m a x} = 5 \Rightarrow R_{A} = 4

x_{m i n} = 2, x_{m a x} = 5 \Rightarrow R_{B} = 3

Vậy a) mẫu A có độ lệch chuẩn lớn hơn; b) khoảng biến thiên hai mẫu không như nhau ( $R_{A} = 4$ , $R_{B} = 3$ ).

2Cách 2. So tỉ lệ chấm ở hai đầu

Định hướng. Độ lệch chuẩn lớn khi tỉ lệ giá trị nằm xa trung tâm lớn. So phần chấm ở các giá trị ngoài 3; 4.

16

chấm, trong đó

2 + 3 + 2 = 7

chấm ở

1; 2; 5

— gần một nửa
B:

17

chấm, chỉ

2 + 2 = 4

chấm ở

2; 5

, còn

13

chấm ở

3; 4

\Rightarrow

A phân tán hơn,

s_{A} > s_{B}

Vậy mẫu A có độ lệch chuẩn lớn hơn; $R_{A} = 4 \neq = R_{B} = 3$ .

3Cách 3. Kiểm chứng bằng tính toán

Định hướng. Đếm tần số rồi tính để khẳng định (ngoài yêu cầu của đề).

A: giá trị

1; 2; 3; 4; 5

— tần số

2; 3; 5; 4; 2

n = 16

\overline{x}_{A} = \frac{49}{16} \approx 3, 06; s_{A}^{2} = \frac{2 + 12 + 45 + 64 + 50}{16} - (\frac{49}{16})^{2} \approx 1, 43; s_{A} \approx 1, 20

B: giá trị

2; 3; 4; 5

— tần số

2; 7; 6; 2

n = 17

\overline{x}_{B} = \frac{59}{17} \approx 3, 47; s_{B}^{2} = \frac{8 + 63 + 96 + 50}{17} - (\frac{59}{17})^{2} \approx 0, 72; s_{B} \approx 0, 85

Vậy $s_{A} \approx 1, 20 > s_{B} \approx 0, 85$ , khớp với nhận xét trực quan.

Nhận xét. Số chấm nhiều hơn không có nghĩa là phân tán hơn; điều quyết định là chấm nằm xa trung tâm hay không.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 đúng yêu cầu "không tính": nhìn hai đầu cho câu b), nhìn độ dồn cho câu a).

Đáp số. a) Mẫu A có độ lệch chuẩn lớn hơn; b) không như nhau:

R_{A} = 5 - 1 = 4

R_{B} = 5 - 2 = 3

Sai lầm thường gặp. Đọc khoảng biến thiên của B từ vạch

1

trên trục (vì trục bắt đầu ở

1

) thành

R_{B} = 4

— sai,

R

tính từ chấm nhỏ nhất (

2

), không tính từ vạch trục.

🚀 Mở rộng. Nếu thêm vào B một chấm ở giá trị

1

thì

R_{B} = 4 = R_{A}

nhưng

s_{B}^{2} = \frac{218}{18} - (\frac{60}{18})^{2} \approx 1, 0

vẫn nhỏ hơn

s_{A}^{2}

— cùng

R

chưa chắc cùng độ phân tán.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 5.14★★Trang 80— Số đo độ phân tán khi tịnh tiến mẫu

Bài 5.14 (trang 80). Cho hai dãy số liệu sau:

A	4	5	7	9	10
B	9	10	12	14	15

Không tính, hãy cho biết:
a) Khoảng biến thiên của hai dãy có như nhau không?
b) Độ lệch chuẩn của hai dãy có như nhau không?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên $R$ là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu.
Phương sai: $s^{2} = \frac{( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ) ^{2}}{n} = \frac{x _{1}^{2} + \dots + x _{n}^{2}}{n} - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ .
Độ lệch chuẩn càng lớn thì số liệu càng phân tán (kém ổn định).
Nếu $y_{i} = x_{i} + b$ thì $R_{y} = R_{x}$ , $s_{y} = s_{x}$ .

🧠 Phân tích tư duy

So từng cặp:

9 - 4 = 10 - 5 = 12 - 7 = 14 - 9 = 15 - 10 = 5

— dãy B chính là dãy A cộng thêm

5

. Tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách giữa các giá trị nên mọi số đo độ phân tán giữ nguyên. Bẫy: thấy B có số lớn hơn liền cho rằng B phân tán hơn.

1Cách 1. Nhận ra phép tịnh tiến

Định hướng. Mỗi số của B bằng số tương ứng của A cộng 5.

y_{i} = x_{i} + 5 \Rightarrow y_{m a x} - y_{m i n} = x_{m a x} - x_{m i n}

\overline{y} = \overline{x} + 5 \Rightarrow y_{i} - \overline{y} = x_{i} - \overline{x} \Rightarrow s_{y} = s_{x}

Vậy a) khoảng biến thiên như nhau; b) độ lệch chuẩn như nhau.

2Cách 2. Hình ảnh trên trục số

Định hướng. Đặt hai dãy lên trục số: đám điểm B là đám điểm A trượt sang phải 5 đơn vị.

Khoảng cách giữa hai điểm bất kì không đổi khi trượt

\Rightarrow

độ rộng (

R

) và độ trải quanh tâm (

s

) không đổi

Vậy cả khoảng biến thiên lẫn độ lệch chuẩn của hai dãy bằng nhau.

3Cách 3. Kiểm chứng bằng tính toán

Định hướng. Tính trực tiếp để khẳng định (ngoài yêu cầu của đề).

R_{A} = 10 - 4 = 6; R_{B} = 15 - 9 = 6

\overline{x}_{A} = 7 : s_{A}^{2} = \frac{9 + 4 + 0 + 4 + 9}{5} = 5, 2

\overline{x}_{B} = 12 : s_{B}^{2} = \frac{9 + 4 + 0 + 4 + 9}{5} = 5, 2

s_{A} = s_{B} = 5, 2 \approx 2, 28

Vậy $R_{A} = R_{B} = 6$ , $s_{A} = s_{B} \approx 2, 28$ .

Nhận xét. Bảng độ lệch của hai dãy trùng khít nhau — đó chính là lí do các số đo độ phân tán bằng nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng "B = A + 5" trả lời cả hai câu mà không cần tính.

Đáp số. a) Có, cùng bằng 6; b) có, độ lệch chuẩn như nhau (cùng bằng

5, 2 \approx 2, 28

) vì dãy B có được bằng cách cộng 5 vào mỗi giá trị của dãy A.

Sai lầm thường gặp. Cho rằng độ lệch chuẩn của B lớn hơn vì các giá trị của B lớn hơn — độ lệch chuẩn đo độ trải, không đo độ lớn; số trung bình mới tăng thêm

5

🚀 Mở rộng. Nếu dãy C có được bằng cách nhân mỗi giá trị của A với

2

thì

R_{C} = 12

s_{C} = 2 s_{A} \approx 4, 56

— nhân thì số đo độ phân tán đổi, cộng thì không.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 5.15★★Trang 80— Tính khoảng biến thiên, độ lệch chuẩn và so sánh độ ổn định

Bài 5.15 (trang 80). Điểm số của hai vận động viên bắn cung trong 10 lần bắn thử để chuẩn bị cho Olympic Tokyo 2020 được ghi lại như sau:

Vận động viên A	10	9	8	10	9	9	9	10	9	8
Vận động viên B	5	10	10	10	10	7	9	10	10	10

a) Tìm khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của mỗi dãy số liệu trên.
b) Vận động viên nào có thành tích bắn thử ổn định hơn?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên $R$ là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu.
Phương sai: $s^{2} = \frac{( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ) ^{2}}{n} = \frac{x _{1}^{2} + \dots + x _{n}^{2}}{n} - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ .
Độ lệch chuẩn càng lớn thì số liệu càng phân tán (kém ổn định).

🧠 Phân tích tư duy

"Ổn định hơn" là "ít phân tán hơn", nên so

R

và

s

. Điểm số chỉ gồm vài giá trị lặp lại nên lập bảng tần số; chọn gốc

10

(điểm tối đa) cho độ lệch là số nguyên nhỏ. Hai vận động viên cùng trung bình

9, 1

nên trung bình không phân biệt được.

1Cách 1. Bảng độ lệch theo định nghĩa

Định hướng. Tính trung bình rồi cộng bình phương độ lệch theo tần số.

A: điểm

8; 9; 10

— tần số

2; 5; 3

;

R_{A} = 10 - 8 = 2

\overline{x}_{A} = \frac{8 \cdot 2 + 9 \cdot 5 + 10 \cdot 3}{10} = 9, 1

s_{A}^{2} = \frac{2 \cdot 1 , 1 ^{2} + 5 \cdot 0 , 1 ^{2} + 3 \cdot 0 , 9 ^{2}}{10} = \frac{4 , 9}{10} = 0, 49 \Rightarrow s_{A} = 0, 7

B: điểm

5; 7; 9; 10

— tần số

1; 1; 1; 7

;

R_{B} = 10 - 5 = 5

\overline{x}_{B} = \frac{5 + 7 + 9 + 70}{10} = 9, 1

s_{B}^{2} = \frac{4 , 1 ^{2} + 2 , 1 ^{2} + 0 , 1 ^{2} + 7 \cdot 0 , 9 ^{2}}{10} = \frac{26 , 9}{10} = 2, 69 \Rightarrow s_{B} \approx 1, 64

Vậy $R_{A} = 2$ , $s_{A} = 0, 7$ ; $R_{B} = 5$ , $s_{B} \approx 1, 64$ — A ổn định hơn.

2Cách 2. Gốc 10, độ lệch nguyên

Định hướng. Đặt $d = x - 10$ ; phương sai không đổi khi tịnh tiến, $s^{2} = \overline{d^{2}} - \overline{d}^{2}$ .

d \in {0; - 1; - 2}

với tần số

3; 5; 2

\overline{d} = \frac{- 5 - 4}{10} = - 0, 9; \overline{d^{2}} = \frac{5 + 8}{10} = 1, 3

s_{A}^{2} = 1, 3 - 0, 81 = 0, 49 \Rightarrow s_{A} = 0, 7

d \in {- 5; - 3; - 1; 0}

với tần số

1; 1; 1; 7

\overline{d} = \frac{- 9}{10} = - 0, 9; \overline{d^{2}} = \frac{25 + 9 + 1}{10} = 3, 5

s_{B}^{2} = 3, 5 - 0, 81 = 2, 69 \Rightarrow s_{B} \approx 1, 64

Vậy $s_{A} = 0, 7 < s_{B} \approx 1, 64$ : vận động viên A ổn định hơn.

3Cách 3. Khoảng biến thiên và giá trị lạc

Định hướng. So hai đầu của mỗi dãy và tìm lần bắn "lạc" hẳn khỏi phần còn lại.

R_{A} = 2 < R_{B} = 5

Q_{1} = 9, Q_{3} = 10, Δ_{Q} = 1

;

Q_{1} - 1, 5 Δ_{Q} = 7, 5

5 < 7, 5

và

7 < 7, 5

\Rightarrow

hai lần bắn

5

và

7

của B là bất thường

Vậy B có hai lần bắn bất thường còn A không có lần nào: A ổn định hơn.

Nhận xét. B thường xuyên đạt 10 điểm (7 lần) nhưng có lần tụt hẳn xuống 5 — kiểu "lúc rất hay, lúc rất dở" chính là thiếu ổn định, dù trung bình bằng A.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: độ lệch so với 10 là số nguyên nhỏ, tính nhẩm được cả hai phương sai.

Đáp số. a)

R_{A} = 2

s_{A} = 0, 7

;

R_{B} = 5

s_{B} = 2, 69 \approx 1, 64

. b) Vận động viên A ổn định hơn.

Sai lầm thường gặp. Kết luận B "giỏi hơn" vì có

7

lần đạt

10

điểm — câu hỏi là ổn định, tức là độ phân tán; cùng trung bình

9, 1

thì A có

s

nhỏ hơn nên ổn định hơn.

🚀 Mở rộng. Nếu lần bắn

5

điểm của B được thay bằng

9

điểm thì

\overline{x}_{B} = 9, 5

s_{B}^{2} = 0, 85

s_{B} \approx 0, 92

— vẫn lớn hơn

s_{A}

dù trung bình B đã cao hơn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 5.16★★Trang 81— So sánh độ lệch chuẩn của các dãy số liệu

Bài 5.16 (trang 81). Trong các dãy số liệu sau, dãy nào có độ lệch chuẩn lớn nhất?
(a) 98 99 100 101 102.
(b) 2 4 6 8 10.
(c) 2 10.

Kiến thức cần nhớ

Phương sai: $s^{2} = \frac{( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ) ^{2}}{n} = \frac{x _{1}^{2} + \dots + x _{n}^{2}}{n} - \overline{x}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ .
Độ lệch chuẩn càng lớn thì số liệu càng phân tán (kém ổn định).
Nếu $y_{i} = a x_{i} + b$ thì $s_{y} = ∣ a ∣ s_{x}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Độ lệch chuẩn đo khoảng cách trung bình tới số trung bình, không phụ thuộc giá trị lớn hay nhỏ. Dãy (a) toàn số lớn nhưng sát nhau; (b) là (c) có thêm các số ở giữa; (c) chỉ có hai số ở hai đầu, cách trung bình xa nhất. Bẫy: dãy (a) có số lớn nên tưởng độ lệch chuẩn lớn.

1Cách 1. Tính trực tiếp

Định hướng. Tính số trung bình và phương sai của từng dãy.

(a)

\overline{x} = 100; s^{2} = \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{5} = 2 \Rightarrow s = 2 \approx 1, 41

(b)

\overline{x} = 6; s^{2} = \frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = 8 \Rightarrow s = 22 \approx 2, 83

(c)

\overline{x} = 6; s^{2} = \frac{16 + 16}{2} = 16 \Rightarrow s = 4

Vậy dãy (c) có độ lệch chuẩn lớn nhất.

2Cách 2. Biến đổi tuyến tính

Định hướng. Dãy (a) là $1; 2; 3; 4; 5$ cộng $97$ ; dãy (b) là $1; 2; 3; 4; 5$ nhân $2$ .

s_{(b)} = 2 s_{(a)} \Rightarrow s_{(b)} > s_{(a)}

(b) và (c) cùng

\overline{x} = 6

; (c) chỉ giữ hai giá trị xa nhất

∣ x - 6∣ = 4

s_{(c)}^{2} = 16 = max (x_{i} - 6)^{2} \geq s_{(b)}^{2}

, dấu bằng chỉ khi mọi giá trị cách

6

đúng

4

\Rightarrow s_{(c)} > s_{(b)}

Vậy dãy (c) có độ lệch chuẩn lớn nhất.

3Cách 3. Trung bình của các bình phương

Định hướng. Dùng $s^{2} = \overline{x^{2}} - \overline{x}^{2}$ .

(a)

\overline{x^{2}} = \frac{9 8 ^{2} + 9 9 ^{2} + 10 0 ^{2} + 10 1 ^{2} + 10 2 ^{2}}{5} = \frac{50 010}{5} = 10002; s^{2} = 10002 - 10000 = 2

(b)

\overline{x^{2}} = \frac{4 + 16 + 36 + 64 + 100}{5} = 44; s^{2} = 44 - 36 = 8

(c)

\overline{x^{2}} = \frac{4 + 100}{2} = 52; s^{2} = 52 - 36 = 16

Vậy $s^{2}$ lần lượt là $2; 8; 16$ nên dãy (c) có độ lệch chuẩn lớn nhất ( $s = 4$ ).

Nhận xét. Với dãy có số lớn như (a), cách trừ đi trung bình (Cách 1) an toàn hơn vì tránh phải bình phương số ba chữ số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: các độ lệch đều là số nguyên nhỏ, ba dòng là xong.

Đáp số. Dãy (c):

s_{(a)} = 2 \approx 1, 41

;

s_{(b)} = 22 \approx 2, 83

;

s_{(c)} = 4

Sai lầm thường gặp. Chọn (a) vì các số lớn nhất — nhầm độ lệch chuẩn với số trung bình; hoặc chọn (b) vì có nhiều giá trị hơn — số lượng giá trị không làm tăng độ phân tán.

🚀 Mở rộng. Thêm số

6

vào dãy (c) thành

2; 6; 10

thì

s^{2} = \frac{32}{3} \approx 10, 67

: thêm giá trị bằng trung bình luôn làm độ lệch chuẩn giảm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 5.17★★Trang 81— Tính khoảng tứ phân vị và tính bền vững của nó

Bài 5.17 (trang 81). Mẫu số liệu sau là chiều cao (đơn vị: cm) của các bạn trong tổ của Lan:

165 168 157 162 165 165 179 148 170 167

a) Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
b) Khoảng tứ phân vị có bị ảnh hưởng bởi chiều cao của bạn cao nhất, bạn thấp nhất không?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng tứ phân vị: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ — khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa của mẫu đã sắp xếp.
$Q_{2}$ là trung vị; $Q_{1}$ , $Q_{3}$ là trung vị của nửa trái, nửa phải (không tính $Q_{2}$ khi $n$ lẻ).

🧠 Phân tích tư duy

n = 10

chẵn nên mỗi nửa có

5

giá trị:

Q_{1} = x_{3}

Q_{3} = x_{8}

của dãy đã sắp xếp. Câu b) hỏi về bản chất:

Q_{1}, Q_{3}

không dùng

x_{1}, x_{10}

, nên thử thay đổi hai giá trị đó sẽ thấy ngay.

1Cách 1. Sắp xếp và chia đôi

Định hướng. Sắp xếp rồi tìm trung vị của nửa trái, nửa phải.

148; 157; 162; 165; 165; 165; 167; 168; 170; 179

Q_{2} = \frac{165 + 165}{2} = 165

Nửa trái

148; 157; 162; 165; 165 \Rightarrow Q_{1} = 162

Nửa phải

165; 167; 168; 170; 179 \Rightarrow Q_{3} = 168

Δ_{Q} = 168 - 162 = 6

Vậy a) $Δ_{Q} = 6$ cm; b) $Q_{1} = x_{3}$ , $Q_{3} = x_{8}$ không phụ thuộc $x_{1} = 148$ và $x_{10} = 179$ nên khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng.

2Cách 2. Công thức vị trí

Định hướng. Với $n = 10$ : $Q_{1}$ ở vị trí $3$ , $Q_{3}$ ở vị trí $8$ .

Q_{1} = x_{3} = 162; Q_{3} = x_{8} = 168

Δ_{Q} = 6

Thay

x_{10} = 179

bằng

200

hoặc

x_{1} = 148

bằng

120

x_{3}, x_{8}

không đổi

\Rightarrow Δ_{Q} = 6

Vậy $Δ_{Q} = 6$ cm và không bị ảnh hưởng bởi bạn cao nhất, thấp nhất.

3Cách 3. Đối chiếu với khoảng biến thiên

Định hướng. So $Δ_{Q}$ với $R$ để thấy vai trò của hai giá trị đầu mút.

R = 179 - 148 = 31

Δ_{Q} = 6

Bỏ hai bạn đầu mút:

157; 162; 165; 165; 165; 167; 168; 170

có

R = 13

Vậy $R$ giảm từ $31$ xuống $13$ khi bỏ hai đầu mút, còn $Δ_{Q} = 6$ chỉ dựa vào 50% ở giữa nên không phụ thuộc bạn cao nhất, thấp nhất.

Nhận xét. Hai bạn cao nhất và thấp nhất ở đây còn là giá trị bất thường: cận $162 - 9 = 153$ và $168 + 9 = 177$ , mà $148 < 153$ , $179 > 177$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: xác định vị trí

3

và

8

là đọc được ngay, và chính vị trí đó trả lời luôn câu b).

Đáp số. a)

Q_{1} = 162

Q_{3} = 168

Δ_{Q} = 6

cm. b) Không, vì khoảng tứ phân vị chỉ phụ thuộc 50% số liệu chính giữa.

Sai lầm thường gặp. Với

n

chẵn lại gộp cả

Q_{2}

vào nửa: nửa trái

148; 157; 162; 165; 165; 165

cho "

Q_{1} = 163, 5

" — sai;

n = 10

thì mỗi nửa đúng

5

giá trị.

🚀 Mở rộng. Theo quy tắc

1, 5 Δ_{Q}

, cả

148

và

179

đều là giá trị bất thường; loại chúng đi thì

R

còn

13

nhưng

Δ_{Q}

của

8

giá trị còn lại là

167, 5 - 163, 5 = 4

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 5.18★★Trang 81— Phát hiện giá trị bất thường

Bài 5.18 (trang 81). Bình dùng đồng hồ đo thời gian để một vật rơi tự do (đơn vị: giây) từ vị trí A đến vị trí B trong 10 lần cho kết quả như sau:

0,398	0,399	0,408	0,410	0,406
0,405	0,402	0,401	0,290	0,402

Bình nghĩ là giá trị 0,290 ở lần đo thứ 9 không chính xác. Hãy kiểm tra nghi ngờ của Bình.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng tứ phân vị: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ — khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa của mẫu đã sắp xếp.
Giá trị lớn hơn $Q_{3} + 1, 5 \cdot Δ_{Q}$ hoặc bé hơn $Q_{1} - 1, 5 \cdot Δ_{Q}$ được xem là giá trị bất thường.

🧠 Phân tích tư duy

"Không chính xác" ứng với "giá trị bất thường": dựng hàng rào

Q_{1} - 1, 5 Δ_{Q}

Q_{3} + 1, 5 Δ_{Q}

rồi xem

0, 290

có lọt ra ngoài không.

n = 10

nên

Q_{1} = x_{3}

Q_{3} = x_{8}

. Đổi sang phần nghìn giây cho gọn số.

1Cách 1. Hai cận theo tứ phân vị

Định hướng. Sắp xếp, tìm tứ phân vị, dựng hai cận.

0, 290; 0, 398; 0, 399; 0, 401; 0, 402; 0, 402; 0, 405; 0, 406; 0, 408; 0, 410

Q_{1} = x_{3} = 0, 399; Q_{3} = x_{8} = 0, 406; Δ_{Q} = 0, 007

Q_{1} - 1, 5 \cdot Δ_{Q} = 0, 399 - 0, 0105 = 0, 3885

0, 290 < 0, 3885

Vậy $0, 290$ là giá trị bất thường — nghi ngờ của Bình là đúng.

2Cách 2. Đơn vị phần nghìn giây

Định hướng. Đặt $y = 1000 x$ : các giá trị thành số nguyên, cận đổi theo cùng tỉ lệ.

y : 290; 398; 399; 401; 402; 402; 405; 406; 408; 410

Q_{1} = 399; Q_{3} = 406; Δ_{Q} = 7; 1, 5 Δ_{Q} = 10, 5

Q_{1} - y_{m i n} = 399 - 290 = 109 > 10, 5

Vậy $0, 290$ cách $Q_{1}$ tới $109$ phần nghìn giây, gấp khoảng $10$ lần mức cho phép: đây là giá trị bất thường.

3Cách 3. Biểu đồ hộp

Định hướng. Vẽ biểu đồ hộp: hộp rất hẹp quanh 0,4 giây, điểm 0,290 nằm xa bên ngoài cận dưới.

Hộp

[0, 399; 0, 406]

, vạch giữa

Q_{2} = 0, 402

Cận dưới

0, 3885

, cận trên

0, 4165

Chỉ có

0, 290

nằm ngoài hai cận

Vậy điểm 0,290 tách hẳn khỏi hộp — lần đo thứ 9 không chính xác.

Nhận xét. Bỏ lần đo lỗi thì $9$ lần còn lại có trung bình $\approx 0, 4034$ giây và độ lệch chuẩn chỉ $\approx 0, 0038$ giây, khớp với thời gian rơi ở bài đo của SGK.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dãy sắp xếp, hai phép tính là có cận dưới để so.

Đáp số.

Q_{1} = 0, 399

Q_{3} = 0, 406

Δ_{Q} = 0, 007

; cận dưới

0, 3885 > 0, 290

nên

0, 290

là giá trị bất thường — Bình nghi đúng.

Sai lầm thường gặp. So

0, 290

với số trung bình

0, 3921

rồi nói "lệch ít, chỉ

0, 1

" — cảm tính; phải so với cận

Q_{1} - 1, 5 Δ_{Q}

(hoặc với độ lệch chuẩn).

🚀 Mở rộng. Giá trị đo nhỏ nhất bao nhiêu thì còn chấp nhận được? Mọi lần đo từ

0, 3885

giây trở lên đều không bị coi là bất thường.

Mở bài này trong app ↗