Chương V. Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm

Bài 14. Các số đặc trưng đo độ phân tán

SGK Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 13 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Mở đầu★★Trang 84— Dùng số đo độ phân tán so sánh hai mẫu cùng số trung bình

Mở đầu (trang 84). Dưới đây là điểm trung bình môn học kì I của hai bạn An và Bình:

	Toán	Vật lí	Hoá học	Ngữ văn	Lịch sử	Địa lí	Tin học	Tiếng Anh
An	9,2	8,7	9,5	6,8	8,0	8,0	7,3	6,5
Bình	8,2	8,1	8,0	7,8	8,3	7,9	7,6	8,1

Điểm trung bình môn học kì của An và Bình đều là 8,0 nhưng rõ ràng Bình “học đều” hơn An. Có thể dùng những số đặc trưng nào để đo mức độ “học đều”?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên $R$ là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu.
Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán; nó rất dễ bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.
Khoảng tứ phân vị: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ — là khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa của mẫu đã sắp xếp.
Phương sai: $s^{2} = \frac{( x _{1} - x ) ^{2} + ( x _{2} - x ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ) ^{2}}{n}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai mẫu có cùng số trung bình

8, 0

nên số đo xu thế trung tâm không phân biệt được — phải đo xem điểm tản ra quanh

8

nhiều hay ít. Có ba thước đo: khoảng biến thiên (chỉ nhìn hai đầu), khoảng tứ phân vị (nhìn 50% giữa) và độ lệch chuẩn (dùng mọi giá trị). Tính cả ba để thấy chúng cùng một kết luận.

1Cách 1. Khoảng biến thiên

Định hướng. Lấy điểm cao nhất trừ điểm thấp nhất của mỗi bạn.

R_{A} = 9, 5 - 6, 5 = 3

R_{B} = 8, 3 - 7, 6 = 0, 7

R_{B} < R_{A}

Vậy điểm của Bình dao động hẹp hơn nhiều, Bình học đều hơn.

2Cách 2. Khoảng tứ phân vị

Định hướng. Sắp xếp $8$ điểm, $Q_{1}$ là trung bình của giá trị thứ $2$ và $3$ , $Q_{3}$ là trung bình của giá trị thứ $6$ và $7$ .

An:

6, 5; 6, 8; 7, 3; 8, 0; 8, 0; 8, 7; 9, 2; 9, 5

Q_{1} = \frac{6 , 8 + 7 , 3}{2} = 7, 05; Q_{3} = \frac{8 , 7 + 9 , 2}{2} = 8, 95; Δ_{Q} = 1, 9

Bình:

7, 6; 7, 8; 7, 9; 8, 0; 8, 1; 8, 1; 8, 2; 8, 3

Q_{1} = \frac{7 , 8 + 7 , 9}{2} = 7, 85; Q_{3} = \frac{8 , 1 + 8 , 2}{2} = 8, 15; Δ_{Q} = 0, 3

Vậy khoảng tứ phân vị của Bình ( $0, 3$ ) nhỏ hơn của An ( $1, 9$ ): Bình học đều hơn.

3Cách 3. Phương sai và độ lệch chuẩn

Định hướng. Cả hai có $\overline{x} = 8$ , nên chỉ cần cộng bình phương độ lệch so với $8$ .

s_{A}^{2} = \frac{1 , 2 ^{2} + 0 , 7 ^{2} + 1 , 5 ^{2} + 1 , 2 ^{2} + 0 ^{2} + 0 ^{2} + 0 , 7 ^{2} + 1 , 5 ^{2}}{8} = \frac{8 , 36}{8} = 1, 045

s_{A} = 1, 045 \approx 1, 02

s_{B}^{2} = \frac{0 , 2 ^{2} + 0 , 1 ^{2} + 0 ^{2} + 0 , 2 ^{2} + 0 , 3 ^{2} + 0 , 1 ^{2} + 0 , 4 ^{2} + 0 , 1 ^{2}}{8} = \frac{0 , 36}{8} = 0, 045

s_{B} = 0, 045 \approx 0, 21

Vậy độ lệch chuẩn của Bình ( $\approx 0, 21$ ) nhỏ hơn khoảng năm lần của An ( $\approx 1, 02$ ): Bình học đều hơn.

Nhận xét. Ba số đo cho cùng kết luận. Độ lệch chuẩn dùng thông tin của cả tám môn nên tin cậy nhất; khoảng biến thiên nhanh nhất nhưng chỉ dựa vào hai môn cao nhất, thấp nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Muốn trả lời nhanh dùng Cách 1 (hai phép trừ); muốn kết luận chắc chắn nhất dùng Cách 3 vì độ lệch chuẩn dùng hết mọi điểm số.

Đáp số. Dùng các số đo độ phân tán: khoảng biến thiên (

R_{A} = 3

R_{B} = 0, 7

), khoảng tứ phân vị (

1, 9

và

0, 3

), phương sai – độ lệch chuẩn (

s_{A} \approx 1, 02

s_{B} \approx 0, 21

); số đo nhỏ hơn thì học đều hơn.

Sai lầm thường gặp. Dùng số trung bình hoặc trung vị để so "học đều": hai bạn cùng trung bình

8, 0

nên không phân biệt được. "Đều" là chuyện phân tán, không phải chuyện trung tâm.

🚀 Mở rộng. Nếu An có thêm môn thứ chín được

8, 0

thì trung bình vẫn

8

, còn

s_{A}^{2} = \frac{8 , 36}{9} \approx 0, 93

— thêm giá trị trùng trung bình làm phương sai giảm dù dữ liệu cũ không đổi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ1★★Trang 84— So sánh độ ổn định của hai mẫu số liệu

HĐ1 (trang 84). Một cổ động viên đã thống kê điểm số mà hai câu lạc bộ Leicester City và Everton đạt được trong 5 mùa giải Ngoại hạng Anh gần đây, từ mùa giải 2014 – 2015 đến mùa giải 2018 – 2019 như sau:

Leicester City	41	81	44	47	52
Everton	47	47	61	49	54

Cổ động viên đó cho rằng, Everton thi đấu ổn định hơn Leicester City. Em có đồng ý với nhận định này không? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên $R$ là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu.
Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán; nó rất dễ bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.
Khoảng tứ phân vị: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ — là khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa của mẫu đã sắp xếp.
Phương sai: $s^{2} = \frac{( x _{1} - x ) ^{2} + ( x _{2} - x ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ) ^{2}}{n}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

"Ổn định" nghĩa là điểm số ít dao động giữa các mùa — tức là mẫu ít phân tán. Nhìn qua đã thấy Leicester có mùa

81

điểm vượt hẳn các mùa khác. Đo bằng khoảng biến thiên là nhanh nhất; khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn giúp khẳng định kết luận không chỉ do một giá trị lạ.

1Cách 1. Khoảng biến thiên

Định hướng. Điểm cao nhất trừ điểm thấp nhất của mỗi đội.

R_{L} = 81 - 41 = 40

R_{E} = 61 - 47 = 14

R_{E} < R_{L}

Vậy điểm số của Everton dao động ít hơn — đồng ý với nhận định của cổ động viên.

2Cách 2. Khoảng tứ phân vị

Định hướng. Với $n = 5$ : $Q_{2}$ là giá trị thứ $3$ , $Q_{1}$ là trung bình giá trị thứ $1$ và $2$ , $Q_{3}$ là trung bình giá trị thứ $4$ và $5$ .

Leicester:

41; 44; 47; 52; 81

Q_{1} = \frac{41 + 44}{2} = 42, 5; Q_{3} = \frac{52 + 81}{2} = 66, 5; Δ_{Q} = 24

Everton:

47; 47; 49; 54; 61

Q_{1} = \frac{47 + 47}{2} = 47; Q_{3} = \frac{54 + 61}{2} = 57, 5; Δ_{Q} = 10, 5

Vậy $Δ_{Q}$ của Everton nhỏ hơn: Everton ổn định hơn.

3Cách 3. Độ lệch chuẩn

Định hướng. Tính số trung bình rồi bình phương độ lệch của từng mùa.

\overline{x}_{L} = \frac{41 + 81 + 44 + 47 + 52}{5} = 53

s_{L}^{2} = \frac{1 2 ^{2} + 2 8 ^{2} + 9 ^{2} + 6 ^{2} + 1 ^{2}}{5} = \frac{1046}{5} = 209, 2 \Rightarrow s_{L} \approx 14, 46

\overline{x}_{E} = \frac{47 + 47 + 61 + 49 + 54}{5} = 51, 6

s_{E}^{2} = \frac{4 , 6 ^{2} + 4 , 6 ^{2} + 9 , 4 ^{2} + 2 , 6 ^{2} + 2 , 4 ^{2}}{5} = \frac{143 , 2}{5} = 28, 64 \Rightarrow s_{E} \approx 5, 35

Vậy $s_{E} \approx 5, 35 < s_{L} \approx 14, 46$ : Everton thi đấu ổn định hơn.

Nhận xét. Cả ba số đo đều nghiêng về Everton, nên nhận định không phải do riêng mùa 81 điểm của Leicester.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai phép trừ là đủ trả lời; nếu đề hỏi "vì sao" chặt chẽ hơn thì bổ sung Cách 3.

Đáp số. Đồng ý:

R_{L} = 40

R_{E} = 14

(và

s_{L} \approx 14, 46

s_{E} \approx 5, 35

), Everton ổn định hơn.

Sai lầm thường gặp. So sánh tổng điểm hoặc điểm trung bình (

53

và

51, 6

) rồi kết luận Leicester "tốt hơn" — đó là câu hỏi khác; ổn định là về độ phân tán, không phải về mức điểm.

🚀 Mở rộng. Nếu bỏ mùa

81

điểm thì Leicester còn

41; 44; 47; 52

có

R = 11 < 14

— chỉ một giá trị bất thường đã đảo ngược kết luận theo khoảng biến thiên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★Trang 85— Tính khoảng biến thiên

Luyện tập 1 (trang 85). Mẫu số liệu sau cho biết chiều cao (đơn vị cm) của các bạn trong tổ:

163 159 172 167 165 168 170 161

Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu này.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên $R$ là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu.
Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán; nó rất dễ bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.

🧠 Phân tích tư duy

Chỉ cần tìm đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong

8

số. Bẫy duy nhất là lấy nhầm số đầu và số cuối của dãy chưa sắp xếp (

161 - 163

1Cách 1. Dò trực tiếp

Định hướng. Dò một lượt tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất.

max = 172, min = 159

R = 172 - 159 = 13

Vậy $R = 13$ cm.

2Cách 2. Sắp xếp mẫu

Định hướng. Sắp xếp theo thứ tự không giảm; hai đầu dãy là min và max.

159; 161; 163; 165; 167; 168; 170; 172

R = 172 - 159 = 13

Vậy $R = 13$ cm.

3Cách 3. Chọn gốc 160

Định hướng. Trừ mọi giá trị cho $160$ : khoảng biến thiên không đổi khi tịnh tiến mẫu, mà các số nhỏ dễ so sánh hơn.

Độ lệch:

3; - 1; 12; 7; 5; 8; 10; 1

R = 12 - (- 1) = 13

Vậy $R = 13$ cm.

Nhận xét. Cách sắp xếp tốn công hơn nhưng dùng lại được ngay khi đề hỏi tiếp tứ phân vị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu chỉ hỏi

R

; nếu đề còn hỏi tứ phân vị thì dùng Cách 2 để sắp xếp một lần dùng hai lần.

Đáp số.

R = 13

cm.

Sai lầm thường gặp. Lấy số cuối trừ số đầu của dãy chưa sắp xếp:

161 - 163 = - 2

— vô lí vì khoảng biến thiên không bao giờ âm.

🚀 Mở rộng. Nếu tổ có thêm một bạn cao

185

cm thì

R = 185 - 159 = 26

, gấp đôi — một giá trị lạ đủ làm

R

thay đổi mạnh.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ2★★Trang 85— Khoảng biến thiên, tứ phân vị và ảnh hưởng của giá trị bất thường

HĐ2 (trang 85). Trong một tuần, nhiệt độ cao nhất trong ngày (đơn vị °C) tại Hà Nội và Điện Biên được cho như sau:

Hà Nội	23	25	28	28	32	33	35
Điện Biên	16	24	26	26	26	27	28

a) Tính các khoảng biến thiên của mỗi mẫu số liệu và so sánh.
b) Em có nhận xét gì về sự ảnh hưởng của giá trị 16 đến khoảng biến thiên của mẫu số liệu về nhiệt độ cao nhất trong ngày tại Điện Biên?
c) Tính các tứ phân vị và hiệu

Q_{3} - Q_{1}

cho mỗi mẫu số liệu. Có thể dùng hiệu này để đo độ phân tán của mẫu số liệu không?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên $R$ là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu.
Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán; nó rất dễ bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.
Khoảng tứ phân vị: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ — là khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa của mẫu đã sắp xếp.
$Q_{2}$ là trung vị; $Q_{1}$ là trung vị nửa bên trái, $Q_{3}$ là trung vị nửa bên phải $Q_{2}$ (không tính $Q_{2}$ khi $n$ lẻ).

🧠 Phân tích tư duy

Hai mẫu đã sắp xếp sẵn,

n = 7

lẻ nên

Q_{2}

là giá trị thứ

4

Q_{1}

và

Q_{3}

là giá trị thứ

2

và thứ

6

. Điểm mấu chốt: hai khoảng biến thiên bằng nhau nhưng Điện Biên thực chất rất tập trung — con số

16

đã "kéo giãn"

R

. Hiệu

Q_{3} - Q_{1}

bỏ qua hai đầu nên phản ánh đúng hơn.

1Cách 1. Tính theo định nghĩa

Định hướng. Tính $R$ từ hai đầu dãy; tứ phân vị lấy trung vị của từng nửa.

R_{H N} = 35 - 23 = 12; R_{D B} = 28 - 16 = 12

b) Bỏ

16

R = 28 - 24 = 4

c) Hà Nội:

Q_{2} = 28

; nửa trái

23; 25; 28 \Rightarrow Q_{1} = 25

; nửa phải

32; 33; 35 \Rightarrow Q_{3} = 33

Q_{3} - Q_{1} = 33 - 25 = 8

Điện Biên:

Q_{2} = 26

; nửa trái

16; 24; 26 \Rightarrow Q_{1} = 24

; nửa phải

26; 27; 28 \Rightarrow Q_{3} = 27

Q_{3} - Q_{1} = 27 - 24 = 3

Vậy a) hai khoảng biến thiên bằng nhau ( $12$ ); b) riêng giá trị $16$ làm $R$ của Điện Biên tăng từ $4$ lên $12$ — $R$ rất nhạy với giá trị bất thường; c) $Δ_{Q}$ của Hà Nội là $8$ , của Điện Biên là $3$ ; hiệu này dùng được để đo độ phân tán và không bị giá trị $16$ chi phối.

2Cách 2. Công thức vị trí

Định hướng. Với $n = 7$ , vị trí $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$ là $\frac{n + 1}{4} = 2$ , $\frac{n + 1}{2} = 4$ , $\frac{3 ( n + 1 )}{4} = 6$ — đọc thẳng trên dãy đã sắp xếp.

Hà Nội:

x_{2} = 25, x_{4} = 28, x_{6} = 33 \Rightarrow Δ_{Q} = 33 - 25 = 8

Điện Biên:

x_{2} = 24, x_{4} = 26, x_{6} = 27 \Rightarrow Δ_{Q} = 27 - 24 = 3

R_{H N} = x_{7} - x_{1} = 35 - 23 = 12; R_{D B} = 28 - 16 = 12

Vậy $R$ bằng nhau nhưng $Δ_{Q}$ của Điện Biên nhỏ hơn nhiều — dùng $Δ_{Q}$ đo độ phân tán được và phản ánh đúng thực tế hơn.

3Cách 3. Thử thay giá trị 16

Định hướng. Để thấy rõ ảnh hưởng, thay $16$ bằng một giá trị "bình thường" như $24$ rồi so $R$ và $Δ_{Q}$ .

Mẫu mới:

24; 24; 26; 26; 26; 27; 28

R = 28 - 24 = 4

(giảm từ

12

)

Q_{1} = 24, Q_{3} = 27 \Rightarrow Δ_{Q} = 3

(không đổi)

Vậy giá trị $16$ chi phối hoàn toàn $R$ nhưng không ảnh hưởng tới $Δ_{Q} = 3$ ; vì thế $Q_{3} - Q_{1}$ là một số đo độ phân tán tốt, bền vững trước giá trị bất thường.

Nhận xét. Thí nghiệm "thay một giá trị" là cách nhanh nhất để thấy số đo nào nhạy, số đo nào bền với giá trị bất thường.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: công thức vị trí

\frac{n + 1}{4}

cho ngay

Q_{1}, Q_{3}

khi

n

lẻ, không phải tách nửa dãy.

Đáp số. a)

R_{H N} = R_{D B} = 12

; b) giá trị

16

làm

R

Điện Biên tăng từ

4

lên

12

; c) Hà Nội

Q_{1} = 25

Q_{2} = 28

Q_{3} = 33

Q_{3} - Q_{1} = 8

; Điện Biên

Q_{1} = 24

Q_{2} = 26

Q_{3} = 27

Q_{3} - Q_{1} = 3

; có thể dùng hiệu này để đo độ phân tán.

Sai lầm thường gặp. Khi

n

lẻ lại đưa

Q_{2}

vào hai nửa: nửa trái Hà Nội thành

23; 25; 28; 28

, cho

Q_{1} = 26, 5

— sai; phải bỏ

Q_{2}

ra, mỗi nửa còn

3

giá trị.

🚀 Mở rộng. Nếu một ngày ở Hà Nội nóng bất thường

45^{\circ} C

thay cho

35

thì

R_{H N} = 22

nhưng

Δ_{Q}

vẫn là

8

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 2★★Trang 86— Tìm khoảng tứ phân vị

Luyện tập 2 (trang 86). Mẫu số liệu sau đây cho biết số bài hát ở mỗi album trong bộ sưu tập của An:

12 7 10 9 12 9 10 11 10 14

Hãy tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng tứ phân vị: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ — là khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa của mẫu đã sắp xếp.
$Q_{2}$ là trung vị; $Q_{1}$ là trung vị nửa bên trái, $Q_{3}$ là trung vị nửa bên phải $Q_{2}$ (không tính $Q_{2}$ khi $n$ lẻ).

🧠 Phân tích tư duy

Muốn có

Δ_{Q}

phải sắp xếp mẫu trước.

n = 10

chẵn nên

Q_{2}

là trung bình hai giá trị giữa và mỗi nửa gồm đúng

5

giá trị. Nhiều giá trị lặp (

9

10

12

) nên bảng tần số tích luỹ giúp đọc vị trí nhanh mà không sót.

1Cách 1. Sắp xếp và chia đôi

Định hướng. Sắp xếp rồi lấy trung vị của nửa trái, nửa phải.

7; 9; 9; 10; 10; 10; 11; 12; 12; 14

Q_{2} = \frac{10 + 10}{2} = 10

Nửa trái

7; 9; 9; 10; 10 \Rightarrow Q_{1} = 9

Nửa phải

10; 11; 12; 12; 14 \Rightarrow Q_{3} = 12

Δ_{Q} = 12 - 9 = 3

Vậy $Δ_{Q} = 3$ .

2Cách 2. Bảng tần số tích luỹ

Định hướng. Gom các giá trị lặp, cộng dồn tần số để biết giá trị ở vị trí thứ 3 và thứ 8.

Giá trị

7; 9; 10; 11; 12; 14

— tần số

1; 2; 3; 1; 2; 1

Tần số tích luỹ:

1; 3; 6; 7; 9; 10

Q_{1} = x_{3} = 9; Q_{3} = x_{8} = 12

Δ_{Q} = 12 - 9 = 3

Vậy $Δ_{Q} = 3$ .

3Cách 3. Công thức vị trí

Định hướng. Với $n = 10$ , mỗi nửa có $5$ giá trị nên $Q_{1}$ là giá trị thứ $3$ , $Q_{3}$ là giá trị thứ $5 + 3 = 8$ của dãy đã sắp xếp.

Q_{1} = x_{3} = 9

Q_{3} = x_{8} = 12

Δ_{Q} = 3

Vậy khoảng tứ phân vị là $3$ (bài hát).

Nhận xét. Khi $n = 4 k + 2$ thì $Q_{1}, Q_{3}$ luôn là các giá trị đúng ở vị trí $k + 1$ và $3 k + 2$ , không phải lấy trung bình.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: xác định trước vị trí thứ 3 và thứ 8 rồi đọc thẳng trên dãy đã sắp xếp, không phải viết lại hai nửa.

Đáp số.

Q_{1} = 9

Q_{3} = 12

Δ_{Q} = 3

Sai lầm thường gặp. Không sắp xếp mà lấy trung vị trên dãy gốc: nửa trái

12; 7; 10; 9; 12

cho "

Q_{1} = 10

" — sai, mọi tứ phân vị chỉ đọc trên dãy đã sắp xếp.

🚀 Mở rộng. Nếu An có thêm album

30

bài (

n = 11

) thì

Q_{1} = 9

Q_{3} = 12

Δ_{Q}

vẫn bằng

3

trong khi

R

tăng từ

7

lên

23

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập 3★★Trang 87— Tính phương sai, độ lệch chuẩn và nhận xét

Luyện tập 3 (trang 87). Dùng đồng hồ đo thời gian có độ chia nhỏ nhất đến 0,001 giây để đo 7 lần thời gian rơi tự do của một vật bắt đầu từ điểm

A

(

v_{A} = 0

) đến điểm

B

. Kết quả đo như sau:

0,398 0,399 0,408 0,410 0,406 0,405 0,402

(Theo Bài tập Vật lí 10, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2018)

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này. Qua các đại lượng này, em có nhận xét gì về độ chính xác của phép đo trên?

Kiến thức cần nhớ

Phương sai: $s^{2} = \frac{( x _{1} - x ) ^{2} + ( x _{2} - x ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ) ^{2}}{n}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ .
Công thức tương đương: $s^{2} = \frac{x _{1}^{2} + x _{2}^{2} + \dots + x _{n}^{2}}{n} - \overline{x}^{2}$ .
Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì số liệu càng phân tán.
Nếu $y_{i} = a x_{i} + b$ thì $\overline{y} = a \overline{x} + b$ , $s_{y} = ∣ a ∣ s_{x}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Số liệu có ba chữ số thập phân, sai khác nhau chỉ ở hàng phần nghìn — tính thẳng rất dễ nhầm. Đổi sang đơn vị phần nghìn giây và trừ gốc

400

để có các số nguyên nhỏ; độ lệch chuẩn đổi đơn vị theo đúng tỉ lệ. Độ lệch chuẩn so với độ chia

0, 001

s cho biết phép đo chính xác cỡ nào.

1Cách 1. Bảng độ lệch theo định nghĩa

Định hướng. Tính $\overline{x}$ , rồi cộng bình phương các độ lệch.

\overline{x} = \frac{0 , 398 + 0 , 399 + 0 , 408 + 0 , 410 + 0 , 406 + 0 , 405 + 0 , 402}{7} = \frac{2 , 828}{7} = 0, 404

Độ lệch:

- 0, 006; - 0, 005; 0, 004; 0, 006; 0, 002; 0, 001; - 0, 002

s^{2} = \frac{0 , 000036 + 0 , 000025 + 0 , 000016 + 0 , 000036 + 0 , 000004 + 0 , 000001 + 0 , 000004}{7}

s^{2} = \frac{0 , 000122}{7} \approx 0, 0000174

s \approx 0, 0042

Vậy $s^{2} \approx 1, 74 \cdot 1 0^{- 5}$ , $s \approx 0, 0042$ giây.

2Cách 2. Đổi biến về số nguyên

Định hướng. Đặt $y = 1000 x - 400$ (đơn vị phần nghìn giây, gốc $400$ ): $y$ là số nguyên nhỏ, $s_{x} = \frac{s _{y}}{1000}$ .

y : - 2; - 1; 8; 10; 6; 5; 2

\overline{y} = \frac{28}{7} = 4

s_{y}^{2} = \frac{36 + 25 + 16 + 36 + 4 + 1 + 4}{7} = \frac{122}{7} \approx 17, 43

s_{x}^{2} = \frac{s _{y}^{2}}{100 0 ^{2}} \approx 1, 74 \cdot 1 0^{- 5}; s_{x} = \frac{17 , 43}{1000} \approx 0, 0042

Vậy $s^{2} \approx 1, 74 \cdot 1 0^{- 5}$ , $s \approx 0, 0042$ giây.

3Cách 3. Công thức trung bình của các bình phương

Định hướng. Dùng $s^{2} = \overline{y^{2}} - \overline{y}^{2}$ trên biến $y$ của Cách 2.

\overline{y^{2}} = \frac{4 + 1 + 64 + 100 + 36 + 25 + 4}{7} = \frac{234}{7}

s_{y}^{2} = \frac{234}{7} - 4^{2} = \frac{234 - 112}{7} = \frac{122}{7}

s = \frac{1}{1000} \frac{122}{7} \approx 0, 0042

Vậy $s \approx 0, 0042$ giây, rất nhỏ so với thời gian rơi $0, 404$ giây.

Nhận xét. Độ lệch chuẩn chỉ khoảng $1%$ của giá trị trung bình ( $0, 0042 : 0, 404 \approx 1, 03%$ ) nên các lần đo khá sát nhau: phép đo có độ chính xác cao.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đổi sang số nguyên nhỏ, mọi phép bình phương làm nhẩm được, không sợ đặt sai dấu phẩy.

Đáp số.

\overline{x} = 0, 404

;

s^{2} \approx 0, 0000174

;

s \approx 0, 0042

giây. Độ lệch chuẩn rất nhỏ (khoảng

1%

giá trị trung bình) nên phép đo khá chính xác.

Sai lầm thường gặp. Đổi biến

y = 1000 x - 400

rồi quên chia lại: báo

s \approx 4, 17

giây — vô lí. Tịnh tiến không đổi

s

, còn nhân

1000

thì

s

cũng nhân

1000

(phương sai nhân

1 0^{6}

🚀 Mở rộng. Nếu dùng

\overset{s}{^}^{2} = \frac{\sum ( x _{i} - x ) ^{2}}{n - 1}

(chú ý SGK) thì

\overset{s}{^}^{2} = \frac{0 , 000122}{6} \approx 2, 03 \cdot 1 0^{- 5}

\overset{s}{^} \approx 0, 0045

— lớn hơn chút vì chia cho

6

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Luyện tập 4★★Trang 87— Phát hiện giá trị bất thường

Luyện tập 4 (trang 87). Một mẫu số liệu có tứ phân vị thứ nhất là 56 và tứ phân vị thứ ba là 84. Hãy kiểm tra xem trong hai giá trị 10 và 100 giá trị nào được xem là giá trị bất thường.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng tứ phân vị: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ — là khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa của mẫu đã sắp xếp.
Giá trị lớn hơn $Q_{3} + 1, 5 \cdot Δ_{Q}$ hoặc bé hơn $Q_{1} - 1, 5 \cdot Δ_{Q}$ được xem là giá trị bất thường.

🧠 Phân tích tư duy

Chỉ cần

Q_{1}, Q_{3}

là dựng được "hàng rào"

Q_{1} - 1, 5 Δ_{Q}

và

Q_{3} + 1, 5 Δ_{Q}

. Giá trị nằm ngoài hàng rào là bất thường. Bẫy: nghĩ

100

"to" nên bất thường, trong khi nó vẫn trong rào.

1Cách 1. Dựng hai cận

Định hướng. Tính $Δ_{Q}$ rồi hai cận dưới, trên.

Δ_{Q} = 84 - 56 = 28

Q_{1} - 1, 5 \cdot Δ_{Q} = 56 - 42 = 14

Q_{3} + 1, 5 \cdot Δ_{Q} = 84 + 42 = 126

10 < 14; 14 \leq 100 \leq 126

Vậy $10$ là giá trị bất thường, $100$ không phải.

2Cách 2. So khoảng cách tới tứ phân vị gần nhất

Định hướng. Một giá trị bất thường khi nó cách $Q_{1}$ (phía dưới) hoặc $Q_{3}$ (phía trên) hơn $1, 5 Δ_{Q} = 42$ .

56 - 10 = 46 > 42

100 - 84 = 16 < 42

Vậy chỉ $10$ là giá trị bất thường.

3Cách 3. Đo theo bội của khoảng tứ phân vị

Định hướng. Đổi khoảng cách ra bội của $Δ_{Q} = 28$ rồi so với $1, 5$ .

\frac{56 - 10}{28} = \frac{46}{28} \approx 1, 64 > 1, 5

\frac{100 - 84}{28} = \frac{16}{28} \approx 0, 57 < 1, 5

Vậy $10$ bất thường, $100$ không bất thường.

Nhận xét. Cách đo theo bội $Δ_{Q}$ cho biết luôn "mức độ bất thường": $10$ vượt rào khá sít ( $1, 64$ so với $1, 5$ ).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai cận 14 và 126 viết một lần, kiểm được mọi giá trị đề cho.

Đáp số. Cận dưới

14

, cận trên

126

: giá trị

10

là bất thường;

100

không bất thường.

Sai lầm thường gặp. Dùng

Δ_{Q}

thay cho

1, 5 Δ_{Q}

: cận trên thành

84 + 28 = 112

, vẫn đúng với

100

nhưng cận dưới

28

sẽ bắt oan mọi giá trị trong khoảng

14

đến

28

🚀 Mở rộng. Giá trị nhỏ nhất của mẫu phải lớn hơn hoặc bằng bao nhiêu để mẫu không có giá trị bất thường phía dưới? Đáp:

\geq 14

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 5.11★Trang 88— Hiểu ý nghĩa các số đo độ phân tán

Bài 5.11 (trang 88). Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?
(1) Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng lớn.
(2) Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất, bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại.
(3) Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất.
(4) Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu đã sắp xếp.
(5) Các số đo độ phân tán đều không âm.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên $R$ là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu.
Khoảng tứ phân vị: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ — là khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa của mẫu đã sắp xếp.
Phương sai: $s^{2} = \frac{( x _{1} - x ) ^{2} + ( x _{2} - x ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ) ^{2}}{n}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi mệnh đề đối chiếu với định nghĩa:

R

dùng hai đầu,

Δ_{Q}

dùng

50%

giữa,

s

dùng mọi giá trị. Mệnh đề nghe "gần đúng" như (4) cần soi kĩ chữ "nửa dưới". Phản ví dụ bằng số cụ thể là cách chắc nhất để bác bỏ.

1Cách 1. Đối chiếu định nghĩa

Định hướng. So từng câu với định nghĩa và ý nghĩa của từng số đo.

(1)

s

nhỏ khi số liệu tập trung quanh

\overline{x}

\Rightarrow

Sai
(2)

R = x_{m a x} - x_{m i n}

\Rightarrow

Đúng
(3)

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}

chỉ dùng 50% giữa

\Rightarrow

Sai
(4)

Δ_{Q}

là khoảng biến thiên của 50% chính giữa, không phải nửa dưới

\Rightarrow

Sai
(5)

R \geq 0

Δ_{Q} \geq 0

s^{2} \geq 0

s \geq 0

\Rightarrow

Đúng

Vậy (1) Sai; (2) Đúng; (3) Sai; (4) Sai; (5) Đúng.

2Cách 2. Phản ví dụ bằng số

Định hướng. Dùng mẫu nhỏ cụ thể để kiểm tra các câu (1), (3), (4).

(1)

5; 5; 5

có

s = 0

;

1; 5; 9

có

s = \frac{32}{3} \approx 3, 27

— tập trung hơn thì

s

nhỏ hơn
(3)

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

có

Δ_{Q} = 6, 5 - 2, 5 = 4

; đổi

8

thành

80

thì

Δ_{Q}

vẫn

4

(4) Cùng mẫu đó: nửa dưới

1; 2; 3; 4

có

R = 3 \neq = 4 = Δ_{Q}

Vậy (1), (3), (4) sai; (2), (5) đúng.

3Cách 3. Nhìn công thức

Định hướng. Đọc trực tiếp công thức xem nó chứa những giá trị nào và dấu của nó.

R = x_{m a x} - x_{m i n}

: chỉ có hai giá trị

\Rightarrow

(2) đúng

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}

: không chứa

x_{m a x}, x_{m i n}

\Rightarrow

(3) sai

s^{2} = \frac{1}{n} \sum (x_{i} - \overline{x})^{2}

: các độ lệch nhỏ thì

s^{2}

nhỏ

\Rightarrow

(1) sai
Tổng các bình phương, hiệu "lớn trừ bé" đều

\geq 0

\Rightarrow

(5) đúng

Vậy chỉ có (2) và (5) đúng.

Nhận xét. Câu (4) là bẫy hay gặp: $Q_{1}$ và $Q_{3}$ lần lượt là trung vị của nửa dưới và nửa trên, nên $Δ_{Q}$ trải trên 50% giữa, vắt qua cả hai nửa.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1, và khi phân vân một câu thì thử ngay một phản ví dụ nhỏ như Cách 2.

Đáp số. (1) Sai; (2) Đúng; (3) Sai; (4) Sai; (5) Đúng.

Sai lầm thường gặp. Chọn (4) đúng vì nhớ lẫn "khoảng tứ phân vị" với "khoảng biến thiên của nửa dưới"; phản ví dụ

1; 2; \dots; 8

cho

3 \neq = 4

🚀 Mở rộng. Mở rộng (5): các số đo độ phân tán bằng

0

khi và chỉ khi nào?

R = 0

và

s = 0

khi mọi giá trị bằng nhau; còn

Δ_{Q}

có thể bằng

0

dù các giá trị không bằng nhau (ví dụ

1; 5; 5; 5; 5; 5; 9

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 5.12★★Trang 88— Đọc biểu đồ chấm điểm, so sánh độ phân tán

Bài 5.12 (trang 88). Cho hai biểu đồ chấm điểm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B như hình dưới (số chấm trên mỗi giá trị biểu diễn cho tần số của giá trị đó).
Không tính toán, hãy cho biết:
a) Hai mẫu số liệu này có cùng khoảng biến thiên và số trung bình không?
b) Mẫu số liệu nào có phương sai lớn hơn?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên $R$ là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu.
Phương sai: $s^{2} = \frac{( x _{1} - x ) ^{2} + ( x _{2} - x ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ) ^{2}}{n}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ .
Mẫu đối xứng quanh $a$ (tần số của $a - d$ và $a + d$ bằng nhau) có số trung bình bằng $a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai biểu đồ đều trải từ

3

đến

9

và đối xứng quanh

6

— hai dấu hiệu cho câu a) mà không cần tính. Câu b) nhìn độ "dồn": A trải đều mọi giá trị, B dồn vào

5; 6; 7

. Bẫy: đếm chấm rồi tính dài dòng trong khi đề cấm tính.

1Cách 1. Nhìn hai đầu và trục đối xứng

Định hướng. Đọc giá trị nhỏ nhất, lớn nhất; nhận ra tính đối xứng quanh 6.

x_{m i n} = 3, x_{m a x} = 9

; B:

x_{m i n} = 3, x_{m a x} = 9

\Rightarrow R_{A} = R_{B} = 6

A và B đều đối xứng quanh

6

\Rightarrow \overline{x}_{A} = \overline{x}_{B} = 6

B dồn quanh

6

, A trải đều

\Rightarrow s_{A}^{2} > s_{B}^{2}

Vậy a) cùng khoảng biến thiên và cùng số trung bình; b) mẫu A có phương sai lớn hơn.

2Cách 2. Ghép cặp độ lệch

Định hướng. Cùng $n = 15$ và cùng $\overline{x} = 6$ , nên chỉ cần so tổng bình phương độ lệch khỏi $6$ theo từng mức $∣ x - 6∣$ .

∣ x - 6∣ = 3

: A có

4

chấm, B có

2

chấm

∣ x - 6∣ = 2

: A có

4

chấm, B có

0

chấm

∣ x - 6∣ = 1

: A có

4

chấm, B có

8

chấm
A có nhiều chấm ở xa

6

hơn

\Rightarrow s_{A}^{2} > s_{B}^{2}

Vậy mẫu A có phương sai lớn hơn.

3Cách 3. Kiểm chứng bằng tính toán

Định hướng. Tính thử để khẳng định nhận định trực quan (ngoài yêu cầu của đề).

s_{A}^{2} = \frac{4 \cdot 9 + 4 \cdot 4 + 4 \cdot 1}{15} = \frac{56}{15} \approx 3, 73

s_{B}^{2} = \frac{2 \cdot 9 + 0 \cdot 4 + 8 \cdot 1}{15} = \frac{26}{15} \approx 1, 73

Vậy $s_{A}^{2} > s_{B}^{2}$ , khớp với nhận xét trực quan.

Nhận xét. Cùng khoảng biến thiên nhưng phương sai khác hẳn: khoảng biến thiên không đủ để so độ phân tán.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 đúng tinh thần "không tính toán": hai đầu + trục đối xứng + độ dồn là đủ.

Đáp số. a) Có: cùng khoảng biến thiên (6) và cùng số trung bình (6); b) mẫu A có phương sai lớn hơn.

Sai lầm thường gặp. Thấy cột ở

6

của B cao hơn rồi cho rằng B "phân tán hơn" — ngược lại: chấm dồn quanh trung bình làm phương sai nhỏ.

🚀 Mở rộng. Nếu dời một chấm của B từ

9

sang

10

thì

R_{B} = 7 > R_{A}

nhưng

s_{B}^{2} = \frac{26 + 7}{15} - (\frac{1}{15})^{2} \approx 2, 20

vẫn nhỏ hơn

s_{A}^{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 5.13★★★Trang 88— Ảnh hưởng của phép biến đổi tuyến tính lên số đo độ phân tán

Bài 5.13 (trang 88). Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) sẽ thay đổi như thế nào nếu:
a) Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.
b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.

Kiến thức cần nhớ

Nếu $y_{i} = a x_{i} + b$ ( $a > 0$ ) thì $R_{y} = a R_{x}$ , $Δ_{Q, y} = a Δ_{Q, x}$ , $s_{y} = a s_{x}$ , $s_{y}^{2} = a^{2} s_{x}^{2}$ .
Cộng cùng một số vào mọi giá trị không làm thay đổi các số đo độ phân tán.

🧠 Phân tích tư duy

Đây là bài tổng quát: đặt

y_{i} = 2 x_{i}

và

y_{i} = x_{i} + 2

rồi theo dõi từng công thức. Số đo độ phân tán đều là "hiệu" hoặc "độ lệch", nên cộng thêm hằng số thì triệt tiêu, nhân hệ số thì kéo theo hệ số. Ví dụ số cụ thể giúp kiểm tra lại.

1Cách 1. Biến đổi công thức

Định hướng. Sắp xếp không đổi thứ tự khi nhân số dương hoặc cộng hằng số, nên $max$ , $min$ , $Q_{1}$ , $Q_{3}$ biến đổi y như từng giá trị.

y_{i} = 2 x_{i}

R_{y} = 2 x_{m a x} - 2 x_{m i n} = 2 R_{x}

Δ_{Q, y} = 2 Q_{3} - 2 Q_{1} = 2 Δ_{Q, x}

\overline{y} = 2 \overline{x}; s_{y}^{2} = \frac{1}{10} \sum (2 x_{i} - 2 \overline{x})^{2} = 4 s_{x}^{2} \Rightarrow s_{y} = 2 s_{x}

y_{i} = x_{i} + 2

R_{y} = (x_{m a x} + 2) - (x_{m i n} + 2) = R_{x}

Δ_{Q, y} = (Q_{3} + 2) - (Q_{1} + 2) = Δ_{Q, x}

\overline{y} = \overline{x} + 2; y_{i} - \overline{y} = x_{i} - \overline{x} \Rightarrow s_{y} = s_{x}

Vậy a) cả ba số đo đều tăng gấp đôi; b) cả ba số đo không đổi.

2Cách 2. Thử một mẫu cụ thể

Định hướng. Chọn $10$ số dương đơn giản $1; 2; 3; \dots; 10$ và tính trực tiếp.

Gốc:

R = 9, Δ_{Q} = 8 - 3 = 5, s^{2} = 8, 25

Nhân 2 (

2; 4; \dots; 20

R = 18, Δ_{Q} = 16 - 6 = 10, s^{2} = 33 = 4 \cdot 8, 25

Cộng 2 (

3; 4; \dots; 12

R = 9, Δ_{Q} = 10 - 5 = 5, s^{2} = 8, 25

Vậy nhân 2 thì các số đo gấp đôi (phương sai gấp bốn), cộng 2 thì không đổi.

3Cách 3. Hình ảnh trên trục số

Định hướng. Cộng 2 là tịnh tiến cả đám điểm sang phải 2 đơn vị; nhân 2 là giãn trục số gấp đôi từ gốc O.

Tịnh tiến: mọi khoảng cách giữa hai điểm giữ nguyên

\Rightarrow R, Δ_{Q}, s

giữ nguyên
Giãn hệ số

2

: mọi khoảng cách giữa hai điểm gấp đôi

\Rightarrow R, Δ_{Q}, s

gấp đôi

Vậy a) các số đo tăng gấp đôi; b) các số đo giữ nguyên.

Nhận xét. Mọi số đo độ phân tán chỉ phụ thuộc vào khoảng cách giữa các giá trị, nên chúng "không thấy" phép tịnh tiến và tỉ lệ thuận với phép giãn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 để trả lời ngay, rồi viết Cách 1 làm lí lẽ nếu đề yêu cầu giải thích.

Đáp số. a) Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn đều tăng gấp 2 (phương sai gấp 4); b) cả ba số đo không thay đổi.

Sai lầm thường gặp. Cho rằng nhân 2 thì độ lệch chuẩn gấp 4 — gấp 4 là phương sai; độ lệch chuẩn là căn bậc hai nên chỉ gấp 2.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

y_{i} = a x_{i} + b

thì

R_{y} = ∣ a ∣ R_{x}

Δ_{Q, y} = ∣ a ∣ Δ_{Q, x}

s_{y} = ∣ a ∣ s_{x}

— kể cả khi

a < 0

(thứ tự đảo nhưng khoảng cách vẫn nhân

∣ a ∣

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 5.14★★Trang 88— Ý nghĩa của tứ phân vị

Bài 5.14 (trang 88). Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của 51 thành phố tại một quốc gia, người ta tính được:
Giá trị nhỏ nhất bằng 2,5;

Q_{1} = 36

;

Q_{2} = 60

;

Q_{3} = 100

; giá trị lớn nhất bằng 205.
a) Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là bao nhiêu?
b) Chỉ ra hai giá trị sao cho có 50% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này.
c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng tứ phân vị: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ — là khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa của mẫu đã sắp xếp.
$Q_{2}$ là trung vị; $Q_{1}$ là trung vị nửa bên trái, $Q_{3}$ là trung vị nửa bên phải $Q_{2}$ (không tính $Q_{2}$ khi $n$ lẻ).

🧠 Phân tích tư duy

Tứ phân vị chia mẫu đã sắp xếp thành bốn phần, mỗi phần khoảng

25%

. "Lớn hơn

Q_{1}

" là ba phần trên, "giữa

Q_{1}

và

Q_{3}

" là hai phần giữa. Với

n = 51

có thể đếm chính xác vị trí:

Q_{2}

là giá trị thứ

26

Q_{1}

là thứ

13

Q_{3}

là thứ

39

1Cách 1. Theo ý nghĩa 25% – 50% – 25%

Định hướng. $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$ chia mẫu thành bốn phần xấp xỉ bằng nhau.

a) Trên

Q_{1} = 36

có khoảng

3 \cdot 25% = 75%

số thành phố
b) Giữa

Q_{1} = 36

và

Q_{3} = 100

có khoảng

50%

giá trị
c)

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 100 - 36 = 64

Vậy a) khoảng $75%$ ; b) $36$ và $100$ ; c) $Δ_{Q} = 64$ .

2Cách 2. Đếm theo vị trí với n = 51

Định hướng. $n = 51$ lẻ: $Q_{2} = x_{26}$ ; nửa trái $x_{1} \dots x_{25}$ cho $Q_{1} = x_{13}$ ; nửa phải $x_{27} \dots x_{51}$ cho $Q_{3} = x_{39}$ .

a) Các giá trị đứng sau

x_{13}

x_{14}, \dots, x_{51}

— tối đa

38

giá trị

\frac{38}{51} \approx 74, 5% \approx 75%

b) Từ

x_{13} = 36

đến

x_{39} = 100

có

39 - 13 + 1 = 27

giá trị,

\frac{27}{51} \approx 53% \approx 50%

Δ_{Q} = 100 - 36 = 64

Vậy a) khoảng $75%$ (chính xác tối đa $38/51$ ); b) $36$ và $100$ ; c) $64$ .

3Cách 3. Biểu đồ hộp

Định hướng. Vẽ biểu đồ hộp từ năm số: râu 2,5 đến 205, hộp từ 36 đến 100, vạch giữa 60.

Mỗi đoạn

[2, 5; 36]

[36; 60]

[60; 100]

[100; 205]

chứa khoảng

25%

giá trị
a) Phần bên phải

36

: ba đoạn

\Rightarrow 75%

b) Chiếc hộp

[36; 100]

chứa

50%

c) Độ dài hộp

= 100 - 36 = 64

Vậy a) $75%$ ; b) $36$ và $100$ ; c) $64$ .

Nhận xét. Chiều dài các đoạn khác nhau (33,5; 24; 40; 105) nhưng số giá trị trong mỗi đoạn như nhau — râu phải rất dài cho thấy một vài thành phố có thuế rất cao.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ "mỗi tứ phân vị cắt 25%" là trả lời ngay cả ba ý.

Đáp số. a) Khoảng

75%

; b) hai giá trị

36

và

100

(tức

Q_{1}

và

Q_{3}

); c)

Δ_{Q} = 64

Sai lầm thường gặp. Trả lời a) là

\frac{205 - 36}{205 - 2 , 5}

— nhầm tỉ lệ số lượng với tỉ lệ độ dài; tứ phân vị chia theo số giá trị, không chia theo khoảng giá trị.

🚀 Mở rộng. Với các số liệu này, thuế

205

có phải giá trị bất thường không?

Q_{3} + 1, 5 Δ_{Q} = 100 + 96 = 196 < 205

nên có.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 5.15★★Trang 88— Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn

Bài 5.15 (trang 88). Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của 10 trẻ sơ sinh (đơn vị kg):

2,977	3,155	3,920	3,412	4,236
2,593	3,270	3,813	4,042	3,387

Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên $R$ là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu.
Khoảng tứ phân vị: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ — là khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa của mẫu đã sắp xếp.
$Q_{2}$ là trung vị; $Q_{1}$ là trung vị nửa bên trái, $Q_{3}$ là trung vị nửa bên phải $Q_{2}$ (không tính $Q_{2}$ khi $n$ lẻ).
Phương sai: $s^{2} = \frac{( x _{1} - x ) ^{2} + ( x _{2} - x ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ) ^{2}}{n}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ .
Công thức tương đương: $s^{2} = \frac{x _{1}^{2} + x _{2}^{2} + \dots + x _{n}^{2}}{n} - \overline{x}^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba số đo, một dãy sắp xếp dùng chung cho

R

và

Δ_{Q}

n = 10

chẵn nên

Q_{1} = x_{3}

Q_{3} = x_{8}

. Độ lệch chuẩn nhiều chữ số thập phân — đổi sang gam (

\times 1000

) để làm việc với số nguyên, cuối cùng chia lại.

1Cách 1. Theo định nghĩa

Định hướng. Sắp xếp, đọc R và tứ phân vị; tính phương sai bằng tổng bình phương độ lệch.

2, 593; 2, 977; 3, 155; 3, 270; 3, 387; 3, 412; 3, 813; 3, 920; 4, 042; 4, 236

R = 4, 236 - 2, 593 = 1, 643

Q_{1} = x_{3} = 3, 155; Q_{3} = x_{8} = 3, 920; Δ_{Q} = 0, 765

\overline{x} = \frac{34 , 805}{10} = 3, 4805

s^{2} = \frac{\sum ( x _{i} - 3 , 4805 ) ^{2}}{10} = \frac{2 , 3946425}{10} \approx 0, 2395

s \approx 0, 489

Vậy $R = 1, 643$ kg, $Δ_{Q} = 0, 765$ kg, $s \approx 0, 489$ kg.

2Cách 2. Đổi sang gam, dùng trung bình của các bình phương

Định hướng. Đặt $y = 1000 x$ (gam) thì $s_{x} = \frac{s _{y}}{1000}$ ; dùng $s_{y}^{2} = \overline{y^{2}} - \overline{y}^{2}$ .

\overline{y} = 3480, 5

\overline{y^{2}} = \frac{297 7 ^{2} + 315 5 ^{2} + \dots + 338 7 ^{2}}{10} = \frac{123 533 445}{10} = 12353344, 5

s_{y}^{2} = 12353344, 5 - 3480, 5^{2} = 12353344, 5 - 12113880, 25 = 239464, 25

s_{y} \approx 489, 35 \Rightarrow s_{x} \approx 0, 489

Vậy $s \approx 0, 49$ kg; $R$ và $Δ_{Q}$ như Cách 1.

3Cách 3. Máy tính cầm tay

Định hướng. Nhập 10 giá trị ở chế độ thống kê một biến, đọc σx; R và ΔQ đọc từ dãy đã sắp xếp.

MODE STAT 1-VAR, nhập

10

giá trị

\overline{x} = 3, 4805; σ_{x} \approx 0, 4894

min X = 2, 593; max X = 4, 236 \Rightarrow R = 1, 643

Vậy $s \approx 0, 489$ kg.

Nhận xét. Máy hiện cả $σ_{x}$ (chia $n$ ) và $s_{x}$ (chia $n - 1 \approx 0, 516$ ); SGK định nghĩa độ lệch chuẩn chia cho $n$ nên đọc $σ_{x}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho

R

Δ_{Q}

và Cách 3 (máy tính) cho độ lệch chuẩn — số liệu ba chữ số thập phân tính tay rất dễ sai.

Đáp số.

R = 1, 643

kg;

Δ_{Q} = 3, 920 - 3, 155 = 0, 765

kg;

s \approx 0, 49

kg (

s^{2} \approx 0, 2395

Sai lầm thường gặp. Đọc nhầm

s_{x}

(chia

n - 1

) trên máy tính thành độ lệch chuẩn: ra

0, 516

thay vì

0, 489

🚀 Mở rộng. Nếu có thêm một bé nặng

1, 2

kg (sinh non) thì

R

nhảy lên

3, 036

trong khi

Δ_{Q}

chỉ tăng nhẹ (

Q_{1} = 2, 977

Q_{3} = 3, 920

Δ_{Q} = 0, 943

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 5.16★★Trang 88— Tìm giá trị bất thường bằng tứ phân vị

Bài 5.16 (trang 88). Tỉ lệ thất nghiệp ở một số quốc gia vào năm 2007 (đơn vị %) được cho như sau:

7,8	3,2	7,7	8,7	8,6	8,4	7,2	3,6
5,0	4,4	6,7	7,0	4,5	6,0	5,4

Hãy tìm các giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng tứ phân vị: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ — là khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa của mẫu đã sắp xếp.
$Q_{2}$ là trung vị; $Q_{1}$ là trung vị nửa bên trái, $Q_{3}$ là trung vị nửa bên phải $Q_{2}$ (không tính $Q_{2}$ khi $n$ lẻ).
Giá trị lớn hơn $Q_{3} + 1, 5 \cdot Δ_{Q}$ hoặc bé hơn $Q_{1} - 1, 5 \cdot Δ_{Q}$ được xem là giá trị bất thường.

🧠 Phân tích tư duy

15

giá trị,

n

lẻ:

Q_{2} = x_{8}

Q_{1} = x_{4}

Q_{3} = x_{12}

. Tính hai cận rồi chỉ cần so giá trị nhỏ nhất và lớn nhất với hai cận — nếu hai đầu nằm trong rào thì mọi giá trị đều trong rào. Chữ "nếu có" gợi ý đáp án có thể là "không có".

1Cách 1. Hai cận của hàng rào

Định hướng. Sắp xếp, tìm tứ phân vị, dựng hai cận.

3, 2; 3, 6; 4, 4; 4, 5; 5, 0; 5, 4; 6, 0; 6, 7; 7, 0; 7, 2; 7, 7; 7, 8; 8, 4; 8, 6; 8, 7

Q_{2} = x_{8} = 6, 7; Q_{1} = x_{4} = 4, 5; Q_{3} = x_{12} = 7, 8

Δ_{Q} = 7, 8 - 4, 5 = 3, 3

Q_{1} - 1, 5 \cdot Δ_{Q} = 4, 5 - 4, 95 = - 0, 45

Q_{3} + 1, 5 \cdot Δ_{Q} = 7, 8 + 4, 95 = 12, 75

- 0, 45 < 3, 2 \leq x_{i} \leq 8, 7 < 12, 75

Vậy mẫu số liệu không có giá trị bất thường.

2Cách 2. Khoảng cách tới tứ phân vị

Định hướng. Chỉ hai đầu mút có khả năng bất thường; so khoảng cách của chúng tới $Q_{1}$ , $Q_{3}$ với $1, 5 Δ_{Q} = 4, 95$ .

Q_{1} - x_{m i n} = 4, 5 - 3, 2 = 1, 3 < 4, 95

x_{m a x} - Q_{3} = 8, 7 - 7, 8 = 0, 9 < 4, 95

Vậy không có giá trị bất thường.

3Cách 3. Biểu đồ hộp

Định hướng. Vẽ biểu đồ hộp: hai râu kéo tới giá trị nhỏ nhất và lớn nhất mà vẫn còn rất xa hai cận.

Hộp

[4, 5; 7, 8]

, vạch giữa

6, 7

, râu

[3, 2; 8, 7]

Râu trái dài

1, 3

, râu phải dài

0, 9

, đều ngắn hơn

1, 5 Δ_{Q} = 4, 95

Vậy không có điểm nào nằm ngoài râu, mẫu không có giá trị bất thường.

Nhận xét. Hai râu ngắn hơn chiều dài hộp — dấu hiệu nhìn là biết mẫu "sạch", không có giá trị bất thường.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: sau khi có

Q_{1}, Q_{3}

chỉ cần hai phép trừ ở hai đầu mút.

Đáp số.

Q_{1} = 4, 5

Q_{3} = 7, 8

Δ_{Q} = 3, 3

; hai cận

- 0, 45

và

12, 75

— mẫu không có giá trị bất thường.

Sai lầm thường gặp. Thấy

3, 2

và

3, 6

"tách xa" các số còn lại nên kết luận bất thường — phải so với cận

Q_{1} - 1, 5 Δ_{Q}

, không kết luận bằng cảm giác.

🚀 Mở rộng. Nếu một quốc gia có tỉ lệ thất nghiệp

13%

được thêm vào (

n = 16

) thì

Q_{1} = 4, 75

Q_{3} = 8, 1

, cận trên

8, 1 + 1, 5 \cdot 3, 35 = 13, 125

nên

13

vẫn chưa bất thường.

Mở bài này trong app ↗