Chương VI. Hàm số, đồ thị và ứng dụng

Bài 15. Hàm số

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 6.1★★Trang 6— Nhận biết quan hệ nào cho

y

là hàm số của

x

Bài 6.1 (trang 6). Xét hai đại lượng

x

y

phụ thuộc vào nhau theo các hệ thức dưới đây. Những trường hợp nào thì

y

là một hàm số của

x

?
a)

x^{2} + y = 4

; b)

4 x + 2 y = 6

; c)

x + y^{2} = 4

; d)

x - y^{3} = 0

Kiến thức cần nhớ

$y$ là hàm số của $x$ khi mỗi giá trị của $x$ cho ĐÚNG MỘT giá trị tương ứng của $y$ .
Phương trình $y^{2} = k$ với $k > 0$ có hai nghiệm; phương trình $y^{3} = k$ luôn có đúng một nghiệm thực.
Chỉ cần một giá trị của $x$ ứng với hai giá trị của $y$ là đủ để kết luận không phải hàm số.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn hệ thức đều cho phép rút

y

ra, nên chỉ cần xem khi rút xong thì mỗi

x

ứng với mấy giá trị của

y

. Hai ý a), b) chỉ chứa

y

ở bậc nhất nên rút ra duy nhất; ý c) chứa

y^{2}

nên sẽ sinh dấu cộng trừ; ý d) chứa

y^{3}

— chỗ này dễ nhầm, nhưng căn bậc ba của một số thực luôn có đúng một giá trị nên vẫn là hàm số. Bẫy chính là đánh đồng

y^{2}

với

y^{3}

1Cách 1. Rút

y

theo

x

ở từng hệ thức.

Định hướng. Giải mỗi hệ thức theo $y$ ; ra một biểu thức duy nhất thì có hàm số, ra dấu cộng trừ thì không.

x^{2} + y = 4

nên

y = 4 - x^{2}

, mỗi

x

cho đúng một

y

4 x + 2 y = 6

nên

2 y = 6 - 4 x

, suy ra

y = 3 - 2 x

, mỗi

x

cho đúng một

y

x + y^{2} = 4

nên

y^{2} = 4 - x

, với

x < 4

thì

y = 4 - x

hoặc

y = - 4 - x

x - y^{3} = 0

nên

y^{3} = x

, suy ra

y = 3 x

, mỗi

x

cho đúng một

y

Vậy ba trường hợp a), b), d) cho $y$ là hàm số của $x$ ; riêng trường hợp c) thì không.

2Cách 2. Đếm số nghiệm

y

của phương trình ứng với mỗi

x

Định hướng. Cố định $x$ rồi coi hệ thức là một phương trình ẩn $y$ ; bậc của $y$ và dấu của vế phải quyết định số nghiệm.

a) Với mỗi

x

, phương trình

y = 4 - x^{2}

là bậc nhất theo

y

nên có đúng một nghiệm
b) Với mỗi

x

, phương trình

2 y = 6 - 4 x

là bậc nhất theo

y

nên có đúng một nghiệm
c) Với mỗi

x < 4

, phương trình

y^{2} = 4 - x

có vế phải dương nên có hai nghiệm trái dấu
d) Với mỗi

x

, phương trình

y^{3} = x

có đúng một nghiệm thực vì hàm luỹ thừa bậc ba đồng biến trên

R

Vậy a), b), d) cho $y$ là hàm số của $x$ , còn c) thì không.

3Cách 3. Chỉ một phản ví dụ cho trường hợp c) và thử lại ba trường hợp kia.

Định hướng. Muốn bác bỏ thì một phản ví dụ là đủ; muốn khẳng định thì kiểm tra rằng phép rút $y$ không sinh thêm nghiệm nào.

c) Lấy

x = 0

0 + y^{2} = 4

nên

y^{2} = 4

, suy ra

y = 2

hoặc

y = - 2

Hai điểm

(0; 2)

và

(0; - 2)

cùng thoả mãn hệ thức
a) Lấy

x = 0

y = 4

, chỉ một giá trị
b) Lấy

x = 0

2 y = 6

nên

y = 3

, chỉ một giá trị
d) Lấy

x = 8

y^{3} = 8

nên

y = 2

, chỉ một giá trị; lấy

x = - 27

y^{3} = - 27

nên

y = - 3

, cũng chỉ một giá trị

Vậy chỉ trường hợp c) bị bác bỏ, còn a), b), d) đều cho $y$ là hàm số của $x$ .

Nhận xét. Điểm tinh tế là ý d): bậc lẻ nên phương trình $y^{3} = x$ luôn có đúng một nghiệm thực với MỌI $x$ , kể cả $x$ âm; còn bậc chẵn như $y^{2} = k$ thì hoặc vô nghiệm, hoặc có hai nghiệm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì rút

y

ra là thấy ngay bản chất của cả bốn ý; riêng ý c) nên viết kèm một phản ví dụ cụ thể cho chắc chắn.

Đáp số. Các trường hợp a)

x^{2} + y = 4

, b)

4 x + 2 y = 6

và d)

x - y^{3} = 0

cho

y

là hàm số của

x

. Trường hợp c)

x + y^{2} = 4

thì không, vì chẳng hạn

x = 0

ứng với cả

y = 2

lẫn

y = - 2

Sai lầm thường gặp. Loại luôn ý d) vì thấy

y

có số mũ

3

nên tưởng cũng sinh nhiều nghiệm như

y^{2}

; thực ra

y^{3} = 8

chỉ có một nghiệm thực

y = 2

. Sai thứ hai là bác bỏ ý a) vì thấy

y = 4 - x^{2}

nhận cùng giá trị tại

x = 1

và

x = - 1

— điều đó không vi phạm định nghĩa, vì định nghĩa chỉ đòi mỗi

x

cho một

y

🚀 Mở rộng. Cũng với bốn hệ thức trên, hãy xét xem trường hợp nào thì ngược lại

x

là hàm số của

y

— kết quả sẽ khác hẳn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 6.2★★Trang 6— Tìm tập xác định của hàm số có mẫu và có căn thức

Bài 6.2 (trang 6). Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a)

f (x) = \frac{1}{2 x - 4}

; b)

f (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 3 x + 2}

; c)

f (x) = 2 x - 3

; d)

f (x) = \frac{3}{4 - x}

Kiến thức cần nhớ

Phân thức $\frac{A}{B}$ xác định khi $B \neq = 0$ .
Căn bậc hai $A$ xác định khi $A \geq 0$ .
Biểu thức $\frac{A}{B}$ xác định khi $B > 0$ (vừa có nghĩa vừa khác $0$ ).
$x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn ý bày ra đúng bốn tình huống hay gặp: mẫu là nhị thức, mẫu là tam thức, căn đứng một mình, căn nằm dưới mẫu. Ba tình huống đầu chỉ cần một điều kiện, còn ý d) thì căn vừa phải không âm vừa phải khác

0

nên gộp lại thành điều kiện dương ngặt. Bẫy lớn nhất là ý d): viết

4 - x \geq 0

sẽ lấy nhầm cả

x = 4

làm mẫu bằng

0

1Cách 1. Đặt điều kiện cho từng biểu thức rồi giải.

Định hướng. Soi xem biểu thức có mẫu hay có căn, đặt đúng điều kiện tương ứng rồi giải; riêng ý d) phải gộp cả hai điều kiện thành một.

a) Điều kiện:

2 x - 4 \neq = 0

2 x \neq = 4

x \neq = 2

, nên

D = R ∖ {2}

b) Điều kiện:

x^{2} - 3 x + 2 \neq = 0

(x - 1) (x - 2) \neq = 0

x \neq = 1

và

x \neq = 2

, nên

D = R ∖ {1; 2}

c) Điều kiện:

2 x - 3 \geq 0

x \geq \frac{3}{2}

, nên

D = [\frac{3}{2}; + \infty)

d) Điều kiện:

4 - x > 0

x < 4

, nên

D = (- \infty; 4)

Vậy $D = R ∖ {2}$ ; $D = R ∖ {1; 2}$ ; $D = [\frac{3}{2}; + \infty)$ ; $D = (- \infty; 4)$ .

2Cách 2. Tìm tập phải LOẠI rồi lấy phần bù.

Định hướng. Đi tìm những giá trị làm biểu thức mất nghĩa; tập xác định là phần còn lại của $R$ — cách này làm lộ rõ vì sao ý d) mất cả đầu mút $x = 4$ .

a) Mất nghĩa khi

2 x - 4 = 0

, tức

x = 2

, nên

D = R ∖ {2}

b) Mất nghĩa khi

x^{2} - 3 x + 2 = 0

x^{2} - x - 2 x + 2 = 0

x (x - 1) - 2 (x - 1) = 0

(x - 1) (x - 2) = 0

, tức

x = 1

hoặc

x = 2

, nên

D = R ∖ {1; 2}

c) Mất nghĩa khi

2 x - 3 < 0

, tức

x < \frac{3}{2}

, nên

D = [\frac{3}{2}; + \infty)

d) Mất nghĩa khi

4 - x < 0

(căn vô nghĩa) hoặc

4 - x = 0

(mẫu bằng

0

), tức

x \geq 4

, nên

D = (- \infty; 4)

Vậy ta lại được bốn tập xác định như Cách 1.

3Cách 3. Thử các giá trị đầu mút để kiểm tra lại.

Định hướng. Sau khi có kết quả, thay các số nằm sát ranh giới vào biểu thức gốc; đây là phép thử phát hiện ngay lỗi lấy nhầm hay bỏ sót đầu mút.

a) Thay

x = 2

: mẫu

2 \cdot 2 - 4 = 0

, không xác định, nên loại

x = 2

là đúng
b) Thay

x = 1

: mẫu

1 - 3 + 2 = 0

, không xác định; thay

x = 2

: mẫu

4 - 6 + 2 = 0

, không xác định
c) Thay

x = \frac{3}{2}

2 \cdot \frac{3}{2} - 3 = 0 = 0

, có nghĩa, nên lấy cả đầu mút
Thay

x = 1

2 - 3 = - 1

, vô nghĩa
d) Thay

x = 4

\frac{3}{0} = \frac{3}{0}

, vô nghĩa, nên phải loại đầu mút

x = 4

Thay

x = 3

\frac{3}{1} = 3

, có nghĩa

Vậy các tập xác định tìm được đều đúng: $R ∖ {2}$ , $R ∖ {1; 2}$ , $[\frac{3}{2}; + \infty)$ và $(- \infty; 4)$ .

Nhận xét. So sánh ý c) với ý d) thấy rõ điểm khác nhau: căn đứng một mình thì đầu mút làm căn bằng $0$ vẫn được lấy, còn căn nằm dưới mẫu thì đầu mút đó phải loại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì trình bày ngắn và chuẩn; Cách 3 nên làm nhẩm trong đầu ở hai ý c), d) để khỏi nhầm dấu bằng ở đầu mút.

Đáp số. a)

D = R ∖ {2}

. b)

D = R ∖ {1; 2}

. c)

D = [\frac{3}{2}; + \infty)

. d)

D = (- \infty; 4)

Sai lầm thường gặp. Ở ý d) viết điều kiện

4 - x \geq 0

rồi kết luận

D = (- \infty; 4]

; thay

x = 4

thì mẫu

0 = 0

nên biểu thức vô nghĩa. Ở ý b) rút gọn rồi chỉ loại

x = 2

, quên mất

x = 1

cũng làm mẫu bằng

0

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, hãy tìm tập xác định của

f (x) = \frac{2 x - 3}{4 - x}

và cho biết tập đó là giao của hai tập nào ở trên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 6.3★★Trang 7— Nhận biết hàm số cho bằng bảng, tìm tập xác định và tập giá trị

Bài 6.3 (trang 7). Cho bảng các giá trị tương ứng của hai đại lượng

x

và

y

. Đại lượng

y

có là hàm số của đại lượng

x

không? Nếu có, hãy tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số đó.
a)

x

- 5

;

- 3

;

- 1

;

0

;

1

;

2

;

5

;

8

;

9

—

y

- 6

;

- 8

;

- 4

;

1

;

3

;

2

;

3

;

12

;

15

.
b)

x

- 10

;

- 8

;

- 4

;

2

;

3

;

6

;

7

;

6

;

13

—

y

- 16

;

- 14

;

- 2

;

4

;

5

;

20

;

18

;

24

;

25

Kiến thức cần nhớ

Bảng cho một hàm số khi các giá trị ở dòng $x$ đôi một khác nhau.
Tập xác định là tập các giá trị ở dòng $x$ ; tập giá trị là tập các giá trị ở dòng $y$ .
Trong một tập hợp, phần tử trùng nhau chỉ được viết một lần.

🧠 Phân tích tư duy

Chỉ có một việc phải soi: dòng

x

có giá trị nào xuất hiện hai lần không. Ở bảng a) chín số của dòng

x

đôi một khác nhau nên chắc chắn có hàm số; ở bảng b) số

6

xuất hiện hai lần với hai giá trị

y

khác nhau nên hỏng ngay. Bẫy của bảng a) nằm ở tập giá trị: số

3

xuất hiện hai lần ở dòng

y

nhưng chỉ được kể một lần.

1Cách 1. Soi trực tiếp dòng

x

của mỗi bảng.

Định hướng. Rà dòng $x$ xem có số nào lặp lại không; nếu không lặp thì viết ngay tập xác định và tập giá trị, nhớ bỏ phần tử trùng.

a) Dòng

x

gồm

- 5

;

- 3

;

- 1

;

0

;

1

;

2

;

5

;

8

;

9

— chín số đôi một khác nhau
Tập xác định:

D = {- 5; - 3; - 1; 0; 1; 2; 5; 8; 9}

Dòng

y

gồm

- 6

;

- 8

;

- 4

;

1

;

3

;

2

;

3

;

12

;

15

, trong đó số

3

lặp hai lần
Tập giá trị:

T = {- 8; - 6; - 4; 1; 2; 3; 12; 15}

b) Dòng

x

có số

6

xuất hiện hai lần, ứng với

y = 20

và

y = 24

Vậy bảng a) cho một hàm số với $D = {- 5; - 3; - 1; 0; 1; 2; 5; 8; 9}$ và $T = {- 8; - 6; - 4; 1; 2; 3; 12; 15}$ ; bảng b) không cho một hàm số.

2Cách 2. Sắp xếp lại các cặp số theo thứ tự tăng của

x

Định hướng. Viết mỗi bảng thành dãy các cặp $(x; y)$ rồi sắp theo $x$ tăng dần — hai cặp có cùng $x$ sẽ đứng cạnh nhau nên lỗi lộ ra lập tức.

a) Các cặp sắp theo

x

(- 5; - 6)

(- 3; - 8)

(- 1; - 4)

(0; 1)

(1; 3)

(2; 2)

(5; 3)

(8; 12)

(9; 15)

Không có hai cặp nào cùng hoành độ
b) Các cặp sắp theo

x

(- 10; - 16)

(- 8; - 14)

(- 4; - 2)

(2; 4)

(3; 5)

(6; 20)

(6; 24)

(7; 18)

(13; 25)

Hai cặp

(6; 20)

và

(6; 24)

cùng hoành độ nhưng khác tung độ

Vậy a) cho một hàm số còn b) thì không, vì với $x = 6$ ta nhận được hai giá trị $y = 20$ và $y = 24$ .

3Cách 3. Dùng phép thử đường thẳng đứng trên tập điểm.

Định hướng. Chấm các cặp số lên mặt phẳng toạ độ rồi kẻ đường thẳng đứng: cắt quá một điểm là không phải đồ thị hàm số; phép chiếu lên hai trục cho luôn tập xác định và tập giá trị.

a) Chín điểm có chín hoành độ khác nhau nên mọi đường thẳng đứng cắt tập điểm nhiều nhất một lần
Hình chiếu của tập điểm lên trục hoành:

{- 5; - 3; - 1; 0; 1; 2; 5; 8; 9}

Hình chiếu lên trục tung:

{- 8; - 6; - 4; 1; 2; 3; 12; 15}

(hai điểm

(1; 3)

và

(5; 3)

chiếu trùng nhau)
b) Đường thẳng

x = 6

cắt tập điểm tại hai điểm

(6; 20)

và

(6; 24)

Vậy bảng a) cho một hàm số với tập xác định và tập giá trị đúng như trên, còn bảng b) thì không.

Nhận xét. Bảng b) hỏng chỉ vì một cột duy nhất; nếu đổi cột $(6; 24)$ thành $(9; 24)$ thì bảng lập tức trở thành một hàm số với tập xác định gồm chín số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì soi dòng

x

là xong, chỉ mất một dòng lập luận; Cách 2 để dành cho bảng dài khi mắt dễ bỏ sót số trùng.

Đáp số. a) Có;

D = {- 5; - 3; - 1; 0; 1; 2; 5; 8; 9}

và

T = {- 8; - 6; - 4; 1; 2; 3; 12; 15}

. b) Không, vì

x = 6

ứng với cả

y = 20

lẫn

y = 24

Sai lầm thường gặp. Viết tập giá trị của bảng a) thành chín phần tử vì chép nguyên dòng

y

, trong khi số

3

chỉ được kể một lần nên tập giá trị chỉ có tám phần tử. Sai thứ hai là kết luận bảng b) vẫn là hàm số vì "mỗi cột đều có một giá trị

y

" — phải soi theo GIÁ TRỊ của

x

chứ không theo cột.

🚀 Mở rộng. Hãy sửa đúng MỘT ô ở dòng

x

của bảng b) để bảng trở thành một hàm số, rồi viết tập xác định và tập giá trị khi đó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 6.4★★★Trang 7— Nhận biết đồ thị của hàm số bằng phép thử đường thẳng đứng

Bài 6.4 (trang 7). Trong các hình: Hình 6.6, Hình 6.7, Hình 6.8, hình nào là đồ thị của hàm số? Nếu là đồ thị hàm số thì hãy nêu tập xác định và tập giá trị của hàm số đó.
Hình 6.6 là một đường tròn tâm

(4; 0)

bán kính

3

; Hình 6.7 là một đường gồm hai nhánh nhận hai điểm

(- 1; 0)

và

(1; 0)

làm đỉnh, mỗi nhánh mở về hai phía trên dưới; Hình 6.8 là đường gấp khúc hình chữ V nối

(- 6; 8)

với

(2; 0)

rồi nối tiếp tới

(10; 8)

Kiến thức cần nhớ

Một đường trong mặt phẳng toạ độ là đồ thị của hàm số khi mọi đường thẳng đứng cắt nó nhiều nhất một điểm.
Tập xác định là hình chiếu của đồ thị lên trục hoành; tập giá trị là hình chiếu của đồ thị lên trục tung.

🧠 Phân tích tư duy

Cả ba hình đều là đường liền nét nên không thể phân biệt bằng cảm giác; phải dùng phép thử đường thẳng đứng. Hình 6.6 và Hình 6.7 đều có chỗ mà một hoành độ ứng với hai tung độ đối nhau nên bị loại. Hình 6.8 là đường gấp khúc đi từ trái sang phải, mỗi hoành độ đúng một điểm; khi đó tập xác định là hình chiếu lên trục hoành, tập giá trị là hình chiếu lên trục tung.

1Cách 1. Kẻ thử đường thẳng đứng qua từng hình.

Định hướng. Chọn ở mỗi hình một hoành độ cụ thể rồi đếm xem đường thẳng đứng qua đó cắt hình tại mấy điểm.

Hình 6.6: đường thẳng

x = 4

cắt đường tròn tại

(4; 3)

và

(4; - 3)

, hai điểm
Hình 6.7: đường thẳng

x = 2

cắt nhánh phải tại

(2; 3)

và

(2; - 3)

, hai điểm
Hình 6.8: mỗi đường thẳng đứng

x = x_{0}

với

- 6 \leq x_{0} \leq 10

cắt đường gấp khúc đúng một điểm
Hình chiếu của đường gấp khúc lên trục hoành là đoạn từ

- 6

đến

10

Hình chiếu lên trục tung là đoạn từ

0

đến

8

Vậy chỉ Hình 6.8 là đồ thị của hàm số, với tập xác định $D = [- 6; 10]$ và tập giá trị $T = [0; 8]$ .

2Cách 2. Viết phương trình của từng đường rồi rút

y

Định hướng. Đưa mỗi hình về một hệ thức giữa $x$ và $y$ ; nếu rút $y$ ra mà xuất hiện dấu cộng trừ thì hình đó không phải đồ thị hàm số.

Hình 6.6 là đường tròn tâm

(4; 0)

bán kính

3

(x - 4)^{2} + y^{2} = 9

y^{2} = 9 - (x - 4)^{2}

, ứng với mỗi

x

trong khoảng

(1; 7)

có hai giá trị

y

đối nhau
Hình 6.7 có hai nhánh nhận

(\pm 1; 0)

làm đỉnh và đi qua

(2; \pm 3)

y^{2} = 3 (x^{2} - 1)

y^{2} = 3 (x^{2} - 1)

, ứng với mỗi

x

mà

x^{2} > 1

có hai giá trị

y

đối nhau
Hình 6.8 là đường gấp khúc:

y = 2 - x

khi

- 6 \leq x < 2

và

y = x - 2

khi

2 \leq x \leq 10

, tức

y = ∣ x - 2∣

trên

[- 6; 10]

Mỗi

x

trong

[- 6; 10]

cho đúng một

y

Vậy Hình 6.6 và Hình 6.7 không phải đồ thị hàm số, còn Hình 6.8 là đồ thị của hàm số $y = ∣ x - 2∣$ với $D = [- 6; 10]$ và $T = [0; 8]$ .

3Cách 3. Chiếu đồ thị Hình 6.8 lên hai trục để lấy hai tập.

Định hướng. Khi đã biết Hình 6.8 là đồ thị hàm số thì tập xác định và tập giá trị chính là hai hình chiếu; chỉ cần đọc toạ độ ba điểm đặc biệt là đủ.

Ba điểm đặc biệt của đường gấp khúc:

(- 6; 8)

(2; 0)

(10; 8)

Khi

x

chạy từ

- 6

tới

2

thì

y

giảm từ

8

xuống

0

Khi

x

chạy từ

2

tới

10

thì

y

tăng từ

0

lên

8

Hoành độ nhỏ nhất là

- 6

, hoành độ lớn nhất là

10

Tung độ nhỏ nhất là

0

(tại

x = 2

), tung độ lớn nhất là

8

(tại

x = - 6

và

x = 10

)

Vậy tập xác định là $D = [- 6; 10]$ và tập giá trị là $T = [0; 8]$ .

Nhận xét. Chú ý tung độ $8$ đạt tại hai hoành độ khác nhau là $- 6$ và $10$ — điều đó hoàn toàn hợp lệ, vì định nghĩa hàm số chỉ cấm một hoành độ ứng với hai tung độ chứ không cấm điều ngược lại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ cần nêu một hoành độ phản ví dụ cho hai hình đầu và một câu cho hình thứ ba; Cách 2 để dành khi đề đòi giải thích bằng công thức.

Đáp số. Chỉ Hình 6.8 là đồ thị của hàm số; tập xác định

D = [- 6; 10]

và tập giá trị

T = [0; 8]

(đó là đồ thị của hàm số

y = ∣ x - 2∣

trên đoạn

[- 6; 10]

Sai lầm thường gặp. Kết luận Hình 6.6 là đồ thị hàm số vì thấy nó là một đường liền nét khép kín "vẽ được bằng một nét"; thực ra đường thẳng

x = 4

cắt nó tại hai điểm

(4; 3)

và

(4; - 3)

. Sai thứ hai là ghi tập giá trị của Hình 6.8 thành

[- 6; 10]

vì lẫn với tập xác định.

🚀 Mở rộng. Hãy cắt bỏ nửa dưới của đường tròn ở Hình 6.6: phần còn lại có là đồ thị hàm số không, và khi đó tập xác định cùng tập giá trị là gì?

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 6.5★★Trang 8— Đọc đồ thị quãng đường theo thời gian trong bài toán thực tế

Bài 6.5 (trang 8). Trong một cuộc thi chạy

100

m, có ba học sinh dự thi. Biểu đồ trên Hình 6.9 mô tả quãng đường chạy được

y

(m) theo thời gian

t

(s) của mỗi học sinh.
a) Đường biểu diễn quãng đường chạy được của mỗi học sinh có là đồ thị hàm số hay không?
b) Học sinh nào về đích đầu tiên? Hãy cho biết ba học sinh đó có chạy hết quãng đường thi theo quy định hay không.

Kiến thức cần nhớ

Đường biểu diễn là đồ thị của hàm số khi mỗi giá trị của biến cho đúng một giá trị của hàm số.
Học sinh về đích khi quãng đường chạy được đạt $100$ m.
Về đích sớm nhất tương ứng với hoành độ nhỏ nhất trong các điểm có tung độ $100$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đường biểu diễn quãng đường theo thời gian luôn đi từ trái sang phải và không bao giờ quay lại, nên mỗi thời điểm chỉ có một quãng đường — đó là lí do câu a) trả lời được ngay. Câu b) đòi đọc theo chiều ngược: kẻ đường ngang ở mức

100

m rồi xem nó gặp đường nào trước theo trục thời gian. Bẫy là nhìn đường nào nằm trên cao hơn ở giữa chặng rồi vội kết luận, trong khi ba đường cắt nhau nhiều lần.

1Cách 1. Dùng phép thử đường thẳng đứng và đường thẳng ngang.

Định hướng. Đường thẳng đứng trả lời câu a), còn đường thẳng ngang $y = 100$ trả lời câu b) — hai phép thử vuông góc nhau cho hai câu hỏi.

a) Với mỗi thời điểm

t

, mỗi học sinh chỉ ở đúng một vị trí nên đường thẳng đứng

t = t_{0}

cắt mỗi đường biểu diễn nhiều nhất một điểm
b) Đường thẳng ngang

y = 100

cắt ba đường biểu diễn tại ba điểm

A

B

C

Điểm

A

có hoành độ nhỏ nhất trong ba điểm đó
Cả ba đường đều chạm tới mức

y = 100

Vậy mỗi đường biểu diễn là đồ thị của một hàm số; học sinh $A$ về đích đầu tiên và cả ba học sinh đều chạy hết $100$ m theo quy định.

2Cách 2. Đọc thời gian về đích của từng học sinh rồi so sánh.

Định hướng. Thay vì so hình, ta lấy ra ba con số: thời gian ứng với quãng đường $100$ m của mỗi học sinh, rồi so sánh ba số đó.

Gọi

t_{A}

t_{B}

t_{C}

lần lượt là hoành độ của

A

B

C

trên Hình 6.9
Trên trục thời gian,

A

nằm bên trái

B

, còn

B

nằm bên trái

C

t_{A} < t_{B} < t_{C}

Ba điểm

A

B

C

đều nằm trên đường thẳng

y = 100

Vậy học sinh $A$ về đích sớm nhất, sau đó là $B$ rồi $C$ ; cả ba đều hoàn thành cự li $100$ m.

3Cách 3. Xét tính đơn điệu của quãng đường theo thời gian.

Định hướng. Quãng đường chạy được không bao giờ giảm theo thời gian, nên mỗi đường biểu diễn là một hàm số đồng biến; điều đó vừa khẳng định câu a) vừa cho biết mỗi học sinh chỉ chạm mức $100$ m đúng một lần.

Với

t_{1} < t_{2}

, quãng đường chạy được tại thời điểm

t_{2}

không nhỏ hơn quãng đường tại thời điểm

t_{1}

Do đó mỗi đường biểu diễn đi lên từ trái sang phải, không có đoạn nào quay ngược lại
Mỗi đường như vậy cắt đường thẳng

y = 100

tại đúng một điểm
Ba giao điểm đó lần lượt là

A

B

C

với

t_{A}

nhỏ nhất

Vậy ba đường đều là đồ thị hàm số, học sinh $A$ về đích đầu tiên và cả ba đều chạy hết cự li.

Nhận xét. Ba đường cắt nhau ở giữa chặng, nghĩa là thứ tự dẫn đầu thay đổi trong lúc chạy; chỉ có điểm chạm mức $100$ m mới quyết định ai về đích trước.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì hai phép thử đường thẳng đứng và đường thẳng ngang trả lời gọn cả hai câu và luôn đúng với mọi biểu đồ dạng này.

Đáp số. a) Có, mỗi đường biểu diễn là đồ thị của một hàm số vì mỗi thời điểm ứng với đúng một quãng đường. b) Học sinh

A

về đích đầu tiên; cả ba học sinh đều chạy hết quãng đường

100

m theo quy định vì cả ba đường biểu diễn đều đạt tới mức

y = 100

Sai lầm thường gặp. Kết luận học sinh nào đó về nhất chỉ vì đường của bạn ấy nằm trên cao nhất ở khoảng giữa chặng — ba đường cắt nhau nên vị trí dẫn đầu thay đổi liên tục, chỉ điểm chạm mức

100

m mới có ý nghĩa. Sai thứ hai là nói có học sinh chưa chạy hết cự li vì đường của bạn ấy ngắn hơn trên hình, trong khi cả ba đường đều chạm mức

100

🚀 Mở rộng. Nếu bổ sung thêm mốc

y = 50

m, hãy cho biết thứ tự dẫn đầu ở nửa chặng có trùng với thứ tự về đích hay không, và điều đó nói lên gì về chiến thuật chạy.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 6.6★★★Trang 8— Vẽ đồ thị, tìm tập giá trị và khoảng biến thiên, kể cả hàm số cho bằng hai công thức

Bài 6.6 (trang 8). Vẽ đồ thị của các hàm số sau và chỉ ra tập giá trị, các khoảng đồng biến, nghịch biến của chúng.
a)

y = - \frac{1}{2} x + 5

; b)

y = 3 x^{2}

; c)

y = {x^{2} - x - 1 khi x \geq 0 khi x < 0

Kiến thức cần nhớ

Hàm số bậc nhất $y = a x + b$ có tập giá trị $R$ ; nghịch biến khi $a < 0$ .
Hàm số $y = a x^{2}$ với $a > 0$ có tập giá trị $[0; + \infty)$ , nghịch biến trên $(- \infty; 0)$ và đồng biến trên $(0; + \infty)$ .
Với hàm số cho bằng nhiều công thức, tập giá trị là HỢP các tập giá trị trên từng miền.

🧠 Phân tích tư duy

Hai ý đầu là hai dạng quen thuộc nên chỉ cần vài điểm là vẽ xong. Ý c) mới là chỗ đáng nghĩ: đồ thị gồm hai mảnh rời của hai hàm số khác nhau, phải vẽ mỗi mảnh đúng trên miền của nó và đánh dấu rỗng ở đầu mút không được lấy. Bẫy của ý c) là tập giá trị: nhánh trái tiến tới

- 1

nhưng không bao giờ đạt, nên đầu mút

- 1

bị loại.

1Cách 1. Lập bảng giá trị, vẽ từng đồ thị rồi đọc kết quả.

Định hướng. Lấy vài điểm đặc trưng cho mỗi hàm số, vẽ hình, sau đó đọc tập giá trị và chiều biến thiên ngay trên hình.

x = 0

cho

y = 5

;

x = 10

cho

y = 0

, đồ thị là đường thẳng qua

(0; 5)

và

(10; 0)

, đi xuống từ trái sang phải
Tập giá trị:

T = R

; hàm số nghịch biến trên

R

x = 0

cho

y = 0

;

x = \pm 1

cho

y = 3

;

x = \pm 2

cho

y = 12

, đồ thị là parabol đỉnh

O

bề lõm quay lên
Tập giá trị:

T = [0; + \infty)

; nghịch biến trên

(- \infty; 0)

, đồng biến trên

(0; + \infty)

c) Với

x \geq 0

y = x^{2}

, nửa parabol từ

(0; 0)

đi qua

(1; 1)

và

(2; 4)

Với

x < 0

y = - x - 1

, nửa đường thẳng đi qua

(- 3; 2)

(- 1; 0)

và tiến tới

(0; - 1)

nhưng không lấy điểm đó
Tập giá trị:

[0; + \infty) \cup (- 1; + \infty) = (- 1; + \infty)

; nghịch biến trên

(- \infty; 0)

, đồng biến trên

(0; + \infty)

Vậy ba hàm số có tập giá trị lần lượt là $R$ , $[0; + \infty)$ , $(- 1; + \infty)$ ; hàm số a) nghịch biến trên $R$ , còn hai hàm số b) và c) đều nghịch biến trên $(- \infty; 0)$ và đồng biến trên $(0; + \infty)$ .

2Cách 2. Giải phương trình

f (x) = m

để lấy tập giá trị.

Định hướng. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình $f (x) = m$ có nghiệm — cách này cho tập giá trị chính xác đến từng đầu mút, đặc biệt hợp với ý c).

- \frac{1}{2} x + 5 = m

nên

x = 2 (5 - m) = 10 - 2 m

, luôn có nghiệm với mọi

m

, do đó

T = R

3 x^{2} = m

nên

x^{2} = \frac{m}{3}

, có nghiệm khi

m \geq 0

, do đó

T = [0; + \infty)

c) Trên miền

x \geq 0

x^{2} = m

có nghiệm không âm khi

m \geq 0

Trên miền

x < 0

- x - 1 = m

nên

x = - m - 1

, điều kiện

- m - 1 < 0

tức

m > - 1

Hợp hai điều kiện:

m \geq 0

hoặc

m > - 1

, tức

m > - 1

Vậy $T = R$ ở ý a), $T = [0; + \infty)$ ở ý b) và $T = (- 1; + \infty)$ ở ý c).

3Cách 3. Xét hiệu

f (x_{2}) - f (x_{1})

để khẳng định chiều biến thiên.

Định hướng. Chiều biến thiên đọc trên hình chỉ là quan sát; muốn chắc chắn thì so sánh giá trị hàm số tại hai điểm bất kì của cùng một khoảng.

a) Với

x_{1} < x_{2}

f (x_{2}) - f (x_{1}) = - \frac{1}{2} (x_{2} - x_{1}) < 0

b) Với

g (x) = 3 x^{2}

g (x_{2}) - g (x_{1}) = 3 (x_{2} - x_{1}) (x_{2} + x_{1})

Trên

(- \infty; 0)

thì

x_{2} + x_{1} < 0

nên hiệu âm; trên

(0; + \infty)

thì

x_{2} + x_{1} > 0

nên hiệu dương
c) Trên

(- \infty; 0)

hàm số là

h (x) = - x - 1

nên

h (x_{2}) - h (x_{1}) = - (x_{2} - x_{1}) < 0

Trên

(0; + \infty)

hàm số là

h (x) = x^{2}

nên

h (x_{2}) - h (x_{1}) = (x_{2} - x_{1}) (x_{2} + x_{1}) > 0

Vậy hàm số a) nghịch biến trên $R$ ; hai hàm số b) và c) cùng nghịch biến trên $(- \infty; 0)$ và đồng biến trên $(0; + \infty)$ .

Nhận xét. Ở ý c), tuy hai nhánh có chiều biến thiên giống hệt ý b) nhưng đồ thị lại đứt quãng tại $x = 0$ : nhánh trái tiến sát mức $- 1$ còn giá trị thật tại $x = 0$ lại là $0$ — chính chỗ đứt này làm tập giá trị hở đầu tại $- 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho hai ý đầu vì nhanh, nhưng ý c) phải dùng Cách 2 để xác định đúng đầu mút

- 1

là hở hay kín.

Đáp số. a) Đồ thị là đường thẳng qua

(0; 5)

và

(10; 0)

;

T = R

; nghịch biến trên

R

. b) Đồ thị là parabol đỉnh

O (0; 0)

qua

(\pm 1; 3)

;

T = [0; + \infty)

; nghịch biến trên

(- \infty; 0)

, đồng biến trên

(0; + \infty)

. c) Đồ thị gồm nửa parabol

y = x^{2}

với

x \geq 0

và nửa đường thẳng

y = - x - 1

với

x < 0

;

T = (- 1; + \infty)

; nghịch biến trên

(- \infty; 0)

, đồng biến trên

(0; + \infty)

Sai lầm thường gặp. Ở ý c) ghi

T = [- 1; + \infty)

vì tưởng nhánh trái đạt được giá trị

- 1

; muốn

- x - 1 = - 1

thì

x = 0

, nhưng

x = 0

lại thuộc nhánh

y = x^{2}

nên giá trị

- 1

không bao giờ đạt được. Sai thứ hai là vẽ cả đường thẳng

y = - x - 1

trên toàn trục số, kể cả phần

x > 0

, trong khi ở đó hàm số đã đổi sang công thức

y = x^{2}

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, hãy đổi nhánh trái của ý c) thành

y = - x + 1

rồi cho biết tập giá trị mới là gì và vì sao đầu mút lại trở thành kín.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 6.7★★Trang 8— Lập hàm số bậc nhất từ mô tả bằng lời và vẽ đồ thị trên một đoạn

Bài 6.7 (trang 8). Để đổi nhiệt độ từ thang Celsius sang thang Fahrenheit, ta nhân nhiệt độ theo thang Celsius với

\frac{9}{5}

sau đó cộng với

32

.
a) Viết công thức tính nhiệt độ

F

ở thang Fahrenheit theo nhiệt độ

C

ở thang Celsius. Như vậy ta có

F

là một hàm số của

C

.
b) Hoàn thành bảng sau:

C

nhận các giá trị

- 10

;

0

;

10

;

20

;

30

;

40

, tính

F

tương ứng.
c) Vẽ đồ thị của hàm số

F = F (C)

trên đoạn

[- 10; 40]

Kiến thức cần nhớ

Dịch một quy tắc mô tả bằng lời sang công thức phải giữ đúng thứ tự phép tính.
Hàm số bậc nhất $F = a C + b$ có đồ thị trên một đoạn là một đoạn thẳng, chỉ cần hai đầu mút.
$\frac{9}{5} = 1, 8$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề mô tả quy tắc bằng lời theo đúng thứ tự thực hiện: nhân trước, cộng sau — dịch sang công thức là ra ngay một hàm số bậc nhất. Vì là hàm bậc nhất nên đồ thị trên một đoạn là một đoạn thẳng, chỉ cần hai đầu mút, còn bốn điểm giữa chỉ để kiểm tra. Bẫy là đảo thứ tự thành "cộng

32

trước rồi mới nhân", khi đó

C = 0

sẽ cho

F = 57, 6

chứ không phải

32

1Cách 1. Dịch thẳng quy tắc thành công thức rồi thay số.

Định hướng. Viết đúng thứ tự "nhân với $\frac{9}{5}$ rồi cộng $32$ ", sau đó thay lần lượt sáu giá trị của $C$ .

F = \frac{9}{5} C + 32

C = - 10

F = \frac{9}{5} \cdot (- 10) + 32 = - 18 + 32 = 14

C = 0

F = 0 + 32 = 32

C = 10

F = 18 + 32 = 50

C = 20

F = 36 + 32 = 68

C = 30

F = 54 + 32 = 86

C = 40

F = 72 + 32 = 104

c) Đồ thị là đoạn thẳng nối

(- 10; 14)

với

(40; 104)

Vậy công thức là $F = \frac{9}{5} C + 32$ ; bảng giá trị là $14$ ; $32$ ; $50$ ; $68$ ; $86$ ; $104$ và đồ thị trên $[- 10; 40]$ là đoạn thẳng nối $(- 10; 14)$ với $(40; 104)$ .

2Cách 2. Dùng nhận xét mỗi bước

10

độ C thì

F

tăng

18

độ.

Định hướng. Hệ số góc $\frac{9}{5}$ cho biết cứ tăng $1$ độ C thì $F$ tăng $1, 8$ độ, nên tăng $10$ độ C thì $F$ tăng đúng $18$ — bảng giá trị cách đều nên chỉ cần cộng dồn.

\frac{9}{5} \cdot 10 = 18

C = - 10

F = \frac{9}{5} \cdot (- 10) + 32 = 14

C = 0

F = 14 + 18 = 32

C = 10

F = 32 + 18 = 50

C = 20

F = 50 + 18 = 68

C = 30

F = 68 + 18 = 86

C = 40

F = 86 + 18 = 104

Sáu điểm cách đều nhau nên cùng nằm trên một đường thẳng

Vậy bảng giá trị là $14$ ; $32$ ; $50$ ; $68$ ; $86$ ; $104$ và sáu điểm đó thẳng hàng, xác nhận đồ thị là một đoạn thẳng.

3Cách 3. Xác định đường thẳng qua hai mốc quen thuộc.

Định hướng. Hai mốc ai cũng nhớ là nước đá tan ( $0$ độ C ứng với $32$ độ F) và nước sôi ( $100$ độ C ứng với $212$ độ F); từ hai điểm đó dựng lại phương trình đường thẳng rồi đối chiếu với quy tắc của đề.

Đường thẳng đi qua

(0; 32)

và

(100; 212)

có hệ số góc

a = \frac{212 - 32}{100 - 0} = \frac{180}{100} = \frac{9}{5}

Đi qua

(0; 32)

nên

b = 32

F = \frac{9}{5} C + 32

Thay

C = - 10

F = 14

; thay

C = 40

F = 104

Trên đoạn

[- 10; 40]

F

chạy từ

14

tới

104

Vậy công thức trùng khít với quy tắc đề cho, đồ thị trên $[- 10; 40]$ là đoạn thẳng nối $(- 10; 14)$ và $(40; 104)$ , tập giá trị là $[14; 104]$ .

Nhận xét. Có đúng một nhiệt độ mà hai thang chỉ cùng một số: giải $\frac{9}{5} C + 32 = C$ cho $C = - 40$ , tức $- 40$ độ C cũng chính là $- 40$ độ F.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì bám sát lời đề nên không thể nhầm thứ tự phép tính; Cách 2 chỉ dùng để tính nhanh bảng và kiểm tra rằng sáu điểm thẳng hàng.

Đáp số. a)

F = \frac{9}{5} C + 32

. b)

F

lần lượt là

14

;

32

;

50

;

68

;

86

;

104

. c) Đồ thị trên đoạn

[- 10; 40]

là đoạn thẳng nối

(- 10; 14)

với

(40; 104)

, đi qua cả bốn điểm

(0; 32)

(10; 50)

(20; 68)

(30; 86)

Sai lầm thường gặp. Viết

F = \frac{9}{5} (C + 32)

do đảo thứ tự phép tính; khi đó

C = 0

cho

F = 57, 6

, trái hẳn với mốc quen thuộc nước đá tan là

32

độ F. Sai thứ hai là vẽ đồ thị thành cả đường thẳng vô hạn, trong khi đề chỉ yêu cầu trên đoạn

[- 10; 40]

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, hãy lập công thức ngược tính

C

theo

F

và cho biết

100

độ F tương ứng bao nhiêu độ C.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 6.8★★Trang 8— Lập hàm số cho bằng hai công thức từ bài toán giá phòng khách sạn

Bài 6.8 (trang 8). Giá phòng của một khách sạn là

750

nghìn đồng một ngày cho hai ngày đầu tiên và

500

nghìn đồng cho mỗi ngày tiếp theo. Tổng số tiền

T

phải trả là một hàm số của số ngày

x

mà khách ở tại khách sạn.
a) Viết công thức của hàm số

T = T (x)

.
b) Tính

T (2)

T (5)

T (7)

và cho biết ý nghĩa của mỗi giá trị này.

Kiến thức cần nhớ

Bài toán tính tiền theo hai mức giá được mô tả bằng hàm số cho bằng hai công thức trên hai khoảng.
Hai công thức kề nhau phải cho cùng giá trị tại điểm chia thì mô hình mới hợp lí.
Số ngày ở là số nguyên dương.

🧠 Phân tích tư duy

Giá phòng chia hai mức nên hàm số phải có hai công thức: một cho

x \leq 2

, một cho

x > 2

. Điều cần bám chắc là hai ngày đầu luôn tính trọn

750

nghìn mỗi ngày, phần vượt mới hưởng giá

500

nghìn. Bẫy là dùng một công thức duy nhất cho mọi

x

: với

x = 1

thì công thức của chặng sau cho

1000

nghìn đồng, sai hẳn so với

750

nghìn đồng.

1Cách 1. Tách theo hai chặng ngày ở.

Định hướng. Xét riêng trường hợp ở không quá hai ngày và trường hợp ở quá hai ngày, mỗi trường hợp một công thức, rồi rút gọn công thức chặng sau.

Với

0 < x \leq 2

T (x) = 750 x

(nghìn đồng)
Với

x > 2

T (x) = 750 \cdot 2 + 500 (x - 2)

T (x) = 1500 + 500 x - 1000

T (x) = 500 x + 500

(nghìn đồng)

T (2) = 750 \cdot 2 = 1500

(nghìn đồng)

T (5) = 500 \cdot 5 + 500 = 2500 + 500 = 3000

(nghìn đồng)

T (7) = 500 \cdot 7 + 500 = 3500 + 500 = 4000

(nghìn đồng)

Vậy $T (x) = 750 x$ khi $0 < x \leq 2$ và $T (x) = 500 x + 500$ khi $x > 2$ ; còn $T (2) = 1500$ nghìn đồng, $T (5) = 3000$ nghìn đồng, $T (7) = 4000$ nghìn đồng.

2Cách 2. Cộng dồn tiền từng ngày để tìm quy luật.

Định hướng. Cứ cộng tiền theo từng ngày rồi nhìn ra quy luật; từ ngày thứ ba trở đi mỗi ngày cộng thêm đúng $500$ nghìn nên $T$ là hàm số bậc nhất của $x$ .

Ngày

1

: cộng dồn

750

Ngày

2

: thêm

750

, cộng dồn

1500

Ngày

3

: thêm

500

, cộng dồn

2000

Ngày

4

: thêm

500

, cộng dồn

2500

Ngày

5

: thêm

500

, cộng dồn

3000

Ngày

6

: thêm

500

, cộng dồn

3500

Ngày

7

: thêm

500

, cộng dồn

4000

Từ

x \geq 2

trở đi các giá trị cách đều

500

nên

T (x) = 500 (x - 2) + 1500 = 500 x + 500

Vậy $T (2) = 1500$ nghìn đồng, $T (5) = 3000$ nghìn đồng, $T (7) = 4000$ nghìn đồng, phù hợp với công thức tìm được ở Cách 1.

3Cách 3. Viết tiền thành phần cố định cộng phần biến đổi rồi thử tại điểm chia.

Định hướng. Với $x > 2$ , tiền gồm $1500$ nghìn của hai ngày đầu cộng phần tính theo số ngày vượt; thử lại tại $x = 2$ để chắc chắn hai công thức khớp nhau.

Với

x > 2

T (x) = 1500 + 500 (x - 2)

Thay

x = 2

vào công thức này:

T = 1500 + 0 = 1500

Thay

x = 2

vào công thức chặng đầu:

T = 750 \cdot 2 = 1500

Hai kết quả bằng nhau nên hai công thức nối khít tại

x = 2

T (5) = 1500 + 500 \cdot 3 = 1500 + 1500 = 3000

T (7) = 1500 + 500 \cdot 5 = 1500 + 2500 = 4000

Vậy $T (2) = 1500$ nghìn đồng là tiền phòng $2$ ngày, $T (5) = 3000$ nghìn đồng là tiền phòng $5$ ngày, $T (7) = 4000$ nghìn đồng là tiền phòng $7$ ngày.

Nhận xét. Vì hai công thức khớp nhau tại $x = 2$ nên có thể dùng chung $T (x) = 500 x + 500$ cho mọi $x \geq 2$ ; nhưng với $x = 1$ công thức đó cho $1000$ nghìn đồng, sai so với $750$ nghìn đồng, nên vẫn phải giữ đủ hai khoảng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì tách hai chặng là lối trình bày chuẩn cho mọi bài giá bậc thang, lại rút gọn ngay được công thức để tính ý b).

Đáp số. a)

T (x) = 750 x

(nghìn đồng) khi

0 < x \leq 2

và

T (x) = 500 x + 500

(nghìn đồng) khi

x > 2

. b)

T (2) = 1500

nghìn đồng

= 1, 5

triệu đồng — tiền phòng khi ở

2

ngày;

T (5) = 3000

nghìn đồng

= 3

triệu đồng — tiền phòng khi ở

5

ngày;

T (7) = 4000

nghìn đồng

= 4

triệu đồng — tiền phòng khi ở

7

ngày.

Sai lầm thường gặp. Tính

T (7) = 750 \cdot 7 = 5250

nghìn đồng vì áp giá hai ngày đầu cho cả bảy ngày, lệch tới

1250

nghìn đồng so với đáp số đúng

4000

nghìn đồng. Sai thứ hai là viết công thức chặng sau thành

T (x) = 500 x

, khi đó

T (2) = 1000

nghìn đồng, không khớp với

1500

nghìn đồng của chặng đầu nên đồ thị bị đứt.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, hãy tìm số ngày ở nhỏ nhất để tiền phòng trung bình mỗi ngày không vượt quá

600

nghìn đồng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 6.9★★★Trang 8— Tính tiền theo biểu giá bậc thang và lập hàm số cho bằng bốn công thức

Bài 6.9 (trang 8). Bảng sau đây cho biết giá nước sinh hoạt (chưa tính thuế VAT) của hộ dân cư theo mức sử dụng:

10

m³ đầu tiên giá

5973

VND/m³; từ trên

10

m³ đến

20

m³ giá

7052

VND/m³; từ trên

20

m³ đến

30

m³ giá

8669

VND/m³; trên

30

m³ giá

15929

VND/m³ (theo hdđt.nshn.com.vn).
a) Hãy tính số tiền phải trả ứng với mỗi lượng nước sử dụng

10

;

20

;

30

;

40

(m³).
b) Gọi

x

là lượng nước đã sử dụng (đơn vị m³) và

y

là số tiền phải trả tương ứng (đơn vị VND). Hãy viết công thức mô tả sự phụ thuộc của

y

vào

x

Kiến thức cần nhớ

Giá nước bậc thang: phần lượng nước thuộc bậc nào thì tính theo đơn giá của bậc đó, rồi cộng lại.
Hàm số cho bằng nhiều công thức trên nhiều khoảng, các công thức phải nối khít tại điểm chia.
Mỗi bậc trong bài rộng đúng $10$ m³ nên tiền của trọn một bậc bằng đơn giá nhân $10$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn mốc mà đề hỏi rơi đúng vào bốn đầu mút của các bậc, nên mỗi lần chỉ phải cộng thêm tiền của trọn một bậc

10

m³ — đó là chỗ đề giấu sự khéo léo. Khi lập công thức, mỗi bậc cho một biểu thức riêng và phải nối khít với bậc trước tại điểm chia. Bẫy là nhân thẳng lượng nước với đơn giá của bậc cuối, sẽ ra con số lớn hơn thực tế rất nhiều.

1Cách 1. Cộng dồn tiền của từng bậc.

Định hướng. Mốc sau hơn mốc trước đúng một bậc $10$ m³, nên lấy kết quả cũ cộng thêm tiền của bậc mới.

x = 10

y = 5973 \cdot 10 = 59730

(VND)

x = 20

y = 59730 + 7052 \cdot 10 = 59730 + 70520 = 130250

(VND)

x = 30

y = 130250 + 8669 \cdot 10 = 130250 + 86690 = 216940

(VND)

x = 40

y = 216940 + 15929 \cdot 10 = 216940 + 159290 = 376230

(VND)

Vậy số tiền phải trả lần lượt là $59730$ ; $130250$ ; $216940$ ; $376230$ (VND).

2Cách 2. Lập công thức trên từng khoảng rồi thay số.

Định hướng. Dựng trước công thức cho từng bậc, sau đó ý a) chỉ còn là bốn phép thay số, đồng thời có luôn phép thử tính khớp tại các điểm chia.

Với

0 \leq x \leq 10

y = 5973 x

Với

10 < x \leq 20

y = 59730 + 7052 (x - 10)

Với

20 < x \leq 30

y = 130250 + 8669 (x - 20)

Với

x > 30

y = 216940 + 15929 (x - 30)

Thay

x = 10

vào công thức đầu:

y = 59730

Thay

x = 20

vào công thức thứ hai:

y = 59730 + 7052 \cdot 10 = 130250

Thay

x = 30

vào công thức thứ ba:

y = 130250 + 8669 \cdot 10 = 216940

Thay

x = 40

vào công thức thứ tư:

y = 216940 + 15929 \cdot 10 = 376230

Vậy bốn số tiền cần điền là $59730$ ; $130250$ ; $216940$ ; $376230$ (VND) và công thức mô tả sự phụ thuộc của $y$ vào $x$ chính là bốn biểu thức trên.

3Cách 3. Rút gọn mỗi công thức về dạng

y = a x + b

rồi kiểm tra bằng đồ thị.

Định hướng. Khai triển từng biểu thức về dạng bậc nhất giúp thấy ngay đồ thị là đường gấp khúc gồm bốn đoạn, mỗi đoạn một độ dốc, và dễ kiểm tra tính nối khít tại ba điểm gãy.

Với

10 < x \leq 20

y = 59730 + 7052 x - 70520 = 7052 x - 10790

Với

20 < x \leq 30

y = 130250 + 8669 x - 173380 = 8669 x - 43130

Với

x > 30

y = 216940 + 15929 x - 477870 = 15929 x - 260930

Tại

x = 20

7052 \cdot 20 - 10790 = 141040 - 10790 = 130250

và

8669 \cdot 20 - 43130 = 173380 - 43130 = 130250

Tại

x = 30

8669 \cdot 30 - 43130 = 260070 - 43130 = 216940

và

15929 \cdot 30 - 260930 = 477870 - 260930 = 216940

Bốn độ dốc

5973 < 7052 < 8669 < 15929

tăng dần

Vậy đồ thị là đường gấp khúc liền nét gồm bốn đoạn mỗi lúc một dốc hơn, đi qua các điểm $(10; 59730)$ , $(20; 130250)$ , $(30; 216940)$ , $(40; 376230)$ .

Nhận xét. Độ dốc tăng dần qua từng bậc chính là chủ ý của biểu giá: càng dùng nhiều nước thì mỗi mét khối càng đắt, nhằm khuyến khích tiết kiệm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì lập công thức trước thì cả hai ý cùng rơi ra từ đó, lại có sẵn phép thử tại ba điểm chia nên khó sai.

Đáp số. a)

10

m³:

59730

VND;

20

m³:

130250

VND;

30

m³:

216940

VND;

40

m³:

376230

VND. b)

y = 5973 x

khi

0 \leq x \leq 10

;

y = 59730 + 7052 (x - 10)

khi

10 < x \leq 20

;

y = 130250 + 8669 (x - 20)

khi

20 < x \leq 30

;

y = 216940 + 15929 (x - 30)

khi

x > 30

Sai lầm thường gặp. Tính

40 \cdot 15929 = 637160

VND vì tưởng dùng

40

m³ thì cả

40

m³ đều tính giá bậc bốn, trong khi đáp số đúng chỉ là

376230

VND. Sai thứ hai là viết công thức bậc bốn thành

y = 15929 x

; tại

x = 30

nó cho

477870

VND, không khớp với

216940

VND của bậc trước nên đồ thị bị đứt.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, hãy tính số tiền phải trả khi dùng

25

m³ và cho biết đơn giá trung bình mỗi mét khối khi đó là bao nhiêu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 6.10★★★★Trang 9— Lập phương trình chuyển động thẳng đều và tìm thời điểm gặp nhau bằng đồ thị

Bài 6.10 (trang 9). Có hai địa điểm

A

B

cùng nằm trên một tuyến quốc lộ thẳng. Khoảng cách giữa

A

và

B

là

20

km. Một xe máy xuất phát từ

A

lúc

6

giờ và chạy với vận tốc

40

km/h theo chiều từ

A

đến

B

. Một ô tô xuất phát từ

B

lúc

8

giờ và chạy với vận tốc

80

km/h theo cùng chiều với xe máy. Coi chuyển động của xe máy và ô tô là thẳng đều. Chọn

A

làm mốc, chọn thời điểm

6

giờ làm mốc thời gian và chọn chiều từ

A

đến

B

làm chiều dương. Khi đó toạ độ của xe máy và ô tô sẽ là những hàm số của biến thời gian.
a) Viết phương trình chuyển động của xe máy và ô tô (tức là công thức của hàm toạ độ theo thời gian).
b) Vẽ đồ thị hàm toạ độ của xe máy và ô tô trên cùng một hệ trục toạ độ.
c) Căn cứ vào đồ thị vẽ được, hãy xác định vị trí và thời điểm ô tô đuổi kịp xe máy.
d) Kiểm tra lại kết quả tìm được ở câu c) bằng cách giải các phương trình chuyển động của xe máy và ô tô.

Kiến thức cần nhớ

Chuyển động thẳng đều có phương trình toạ độ $y = y_{0} + v (t - t_{0})$ với $y_{0}$ là toạ độ ban đầu, $t_{0}$ là thời điểm xuất phát.
Hai vật gặp nhau khi hai hàm toạ độ nhận cùng một giá trị, tức hai đồ thị cắt nhau.
Thời điểm thật bằng mốc thời gian cộng với giá trị $t$ tìm được.

🧠 Phân tích tư duy

Ba lựa chọn mốc mà đề nêu ra quyết định toàn bộ lời giải: mốc toạ độ ở

A

nên xe máy xuất phát tại

0

còn ô tô xuất phát tại

20

; mốc thời gian lúc

6

giờ nên ô tô chỉ bắt đầu chạy khi

t = 2

. Vì vậy hàm toạ độ của ô tô phải trừ đi

2

giờ chờ, nếu bỏ qua chi tiết này thì kết quả sai hoàn toàn. Bẫy cuối cùng là đọc đáp số:

t = 3, 5

là thời gian tính từ mốc, phải cộng thêm

6

giờ mới ra thời điểm thật.

1Cách 1. Lập hai phương trình toạ độ rồi tìm giao điểm trên đồ thị.

Định hướng. Viết toạ độ mỗi xe theo $t$ dựa vào mốc đã chọn, vẽ hai đường thẳng rồi đọc giao điểm của chúng.

Xe máy xuất phát tại

A

lúc

t = 0

với vận tốc

40

km/h:

y_{1} = 40 t

Ô tô xuất phát tại

B

(cách

A

là

20

km) lúc

t = 2

với vận tốc

80

km/h:

y_{2} = 20 + 80 (t - 2)

y_{2} = 20 + 80 t - 160

y_{2} = 80 t - 140

Đồ thị

y_{1} = 40 t

là đường thẳng qua

(0; 0)

và

(4; 160)

Đồ thị

y_{2} = 80 t - 140

là đường thẳng qua

(2; 20)

và

(4; 180)

Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm

(3, 5; 140)

Thời điểm thật:

6 + 3, 5 = 9, 5

giờ, tức

9

giờ

30

phút

Vậy ô tô đuổi kịp xe máy lúc $9$ giờ $30$ phút, tại vị trí cách $A$ là $140$ km.

2Cách 2. Giải phương trình hoành độ giao điểm.

Định hướng. Thay vì đọc hình, cho hai biểu thức toạ độ bằng nhau rồi giải phương trình bậc nhất theo $t$ — đây chính là yêu cầu kiểm tra ở ý d).

40 t = 80 t - 140

40 t - 80 t = - 140

- 40 t = - 140

t = \frac{140}{40}

t = 3, 5

(giờ)
Thay vào:

y = 40 \cdot 3, 5 = 140

(km)
Điều kiện

t \geq 2

được thoả mãn vì

3, 5 > 2

Thời điểm thật:

6 + 3, 5 = 9, 5

giờ

Vậy ô tô đuổi kịp xe máy sau $3, 5$ giờ kể từ $6$ giờ, tức lúc $9$ giờ $30$ phút, tại vị trí cách $A$ là $140$ km — đúng như đọc trên đồ thị.

3Cách 3. Tính theo khoảng cách phải đuổi và vận tốc tương đối.

Định hướng. Lúc ô tô xuất phát, xe máy đã đi trước một quãng; chia khoảng cách phải đuổi cho hiệu hai vận tốc sẽ ra ngay thời gian đuổi kịp mà không cần lập phương trình.

Lúc

8

giờ (tức

t = 2

), xe máy đã đi được

40 \cdot 2 = 80

(km) kể từ

A

Lúc đó ô tô ở

B

, tức cách

A

là

20

km
Khoảng cách ô tô phải đuổi:

80 - 20 = 60

(km)
Vận tốc tương đối:

80 - 40 = 40

(km/h)
Thời gian đuổi kịp kể từ

8

giờ:

60 : 40 = 1, 5

(giờ)
Thời điểm gặp nhau:

8 + 1, 5 = 9, 5

giờ
Vị trí gặp nhau cách

A

40 \cdot 3, 5 = 140

(km)

Vậy ô tô đuổi kịp xe máy lúc $9$ giờ $30$ phút tại điểm cách $A$ là $140$ km, khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Ba cách cho cùng một kết quả nhưng Cách 3 ngắn nhất vì bỏ hẳn bước lập phương trình; đổi lại nó chỉ dùng được khi hai vật chuyển động cùng chiều và vận tốc không đổi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì đó chính là điều ý d) yêu cầu và phép giải chỉ vài dòng; Cách 3 để kiểm tra nhanh xem đáp số có hợp lí không.

Đáp số. a) Xe máy:

y = 40 t

; ô tô:

y = 80 t - 140

(với

t \geq 2

), trong đó

t

tính bằng giờ kể từ

6

giờ,

y

tính bằng km kể từ

A

. b) Hai đồ thị là hai đường thẳng cắt nhau tại

(3, 5; 140)

. c) và d) Ô tô đuổi kịp xe máy lúc

9

giờ

30

phút, tại vị trí cách

A

là

140

km.

Sai lầm thường gặp. Viết toạ độ ô tô là

y = 20 + 80 t

vì quên rằng ô tô xuất phát muộn

2

giờ; khi đó phương trình

40 t = 20 + 80 t

cho

t = - 0, 5

, tức thời điểm trước cả lúc xe máy xuất phát — vô lí. Sai thứ hai là trả lời "ô tô đuổi kịp lúc

3

giờ

30

phút" vì quên cộng mốc

6

giờ.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, hãy tìm thời điểm ô tô cách xe máy đúng

20

km và cho biết vì sao bài toán này có tới hai đáp số.

Mở bài này trong app ↗