Bài 15. Hàm số

Định hướng. Hoá đơn đã có sẵn ô "Số dùng" và dòng "Cộng", việc cần làm chỉ là đọc đúng ô và không nhầm sang dòng đã cộng thuế.

Vậy tổng lượng điện tiêu thụ trong tháng là $118$ kWh và số tiền phải trả chưa tính thuế giá trị gia tăng là $206852$ đồng.

Định hướng. Lấy hiệu hai chỉ số để ra lượng điện, sau đó rải lượng điện đó vào các bậc giá rồi cộng tiền từng bậc.

Vậy lượng điện tiêu thụ là $118$ kWh, tiền điện chưa thuế là $206852$ đồng, đúng bằng các số in trên hoá đơn.

Định hướng. Tổng tiền thanh toán bằng tiền điện cộng thêm $10\%$ của chính nó, tức bằng $1,1$ lần tiền điện; chia ngược lại là ra tiền chưa thuế, đồng thời đây cũng là phép thử lại cho hai cách trên.

Vậy tiền điện chưa thuế là $206852$ đồng, khớp với dòng "Cộng" của hoá đơn.

Nhận xét. Câu hỏi thứ hai của đề đã có lời đáp ngay trong chính cấu tạo của hoá đơn: số tiền $y$ phụ thuộc vào lượng điện $x$ theo từng bậc giá, mỗi giá trị của $x$ cho đúng một giá trị của $y$ — đó chính là một hàm số, và công thức của nó sẽ được lập ở HĐ3 và Vận dụng 1.

Định hướng. Mỗi thời điểm nằm ở một cột, chỉ cần đọc ô ngay bên dưới cột đó.

Vậy nồng độ bụi PM 2.5 lúc $8$ giờ là $57,9$ μg/m³, lúc $12$ giờ là $69,07$ μg/m³, lúc $16$ giờ là $81,78$ μg/m³; mỗi thời điểm ứng với đúng một giá trị của nồng độ.

Định hướng. Gọi tên quan hệ đó là một hàm số ngay từ đầu; khi đã viết được $f(8)$, $f(12)$, $f(16)$ thì tính duy nhất của giá trị tương ứng tự hiện ra.

Vậy ba giá trị cần tìm lần lượt là $57,9$; $69,07$; $81,78$ (μg/m³) và bảng cho ta một hàm số.

Định hướng. Chấm năm cặp số của bảng lên mặt phẳng toạ độ rồi kẻ thử một đường thẳng đứng: nếu mọi đường thẳng đứng chỉ cắt tập điểm nhiều nhất một lần thì quan hệ là hàm số.

Vậy mỗi thời điểm ứng với đúng một nồng độ, và các giá trị cần tìm là $57,9$; $69,07$; $81,78$ (μg/m³).

Nhận xét. Cách 3 tuy dài hơn nhưng lại là cách dùng được cho cả trường hợp quan hệ được cho bằng hình vẽ chứ không phải bằng bảng, nên rất đáng nhớ.

Định hướng. Trục ngang cho ngay khoảng thời gian; còn muốn so mực nước chỉ cần so độ cao của bảy điểm đã đánh dấu.

Vậy thời gian theo dõi là từ năm $2013$ đến năm $2019$; mực nước biển trung bình cao nhất vào năm $2018$ và thấp nhất vào năm $2015$.

Định hướng. Chuyển hình vẽ về bảng số liệu — khi đã có số thì việc so sánh không còn phụ thuộc vào mắt nhìn nữa.

Vậy khoảng theo dõi là $2013$ đến $2019$, cao nhất năm $2018$, thấp nhất năm $2015$.

Định hướng. Hạ dần một đường ngang từ trên xuống, nó chạm điểm nào trước thì đó là năm cao nhất; nâng dần một đường ngang từ dưới lên, nó chạm điểm nào trước thì đó là năm thấp nhất.

Vậy ta lại được đúng kết quả của hai cách trên.

Nhận xét. Trục đứng của biểu đồ bắt đầu từ $234$ mm nên hình vẽ phóng đại sự chênh lệch: mức cao nhất và thấp nhất chỉ chênh nhau khoảng $5$ mm, chứ không "gấp mấy lần" như cảm giác khi nhìn hình.

Định hướng. Ba mốc đề cho đều rơi đúng vào đầu mút của một bậc nên chỉ việc cắt lượng điện thành các phần trọn bậc.

Vậy số tiền lần lượt là $83,9$; $170,6$; $372$ (nghìn đồng) và công thức cần tìm là $y=1,678x$ với $0\le x\le 50$.

Định hướng. Mốc sau chỉ hơn mốc trước đúng một bậc, nên lấy kết quả cũ cộng thêm tiền của bậc mới là xong, đỡ phải tính lại từ đầu.

Vậy ta điền được Bảng 6.3 là $83,9$; $170,6$; $372$ (nghìn đồng), kèm công thức $y=1,678x$ với $0\le x\le 50$.

Định hướng. Đổi đơn giá sang nghìn đồng/kWh trước khi nhân thì kết quả ra thẳng đơn vị mà đề hỏi, khỏi phải chia $1000$ ở cuối và tránh được lỗi đơn vị.

Vậy kết quả trùng khít hai cách trên và công thức trên bậc 1 là $y=1,678x$ với $0\le x\le 50$.

Nhận xét. Công thức $y=1,678x$ chỉ đúng trên đoạn $[0;50]$; vượt quá $50$ kWh là phải đổi sang công thức khác, đó là lí do sau này hàm số tiền điện được cho bằng nhiều công thức trên nhiều khoảng.

Định hướng. Ý a) soi dòng thời điểm xem có năm nào lặp lại không; ý b) dóng vạch $2018$ lên biểu đồ; ý c) thay số vào công thức rồi xét dấu của $-2x^2$.

Vậy Bảng 6.4 cho một hàm số với $D=\{2013;2014;2015;2016;2017;2018\}$ và $T=\{73,1;73,2;73,3;73,4;73,5\}$; giá trị của hàm số ở HĐ2 tại $x=2018$ là $242$ mm; còn $f(1)=-2$, $f(2)=-8$, $D=\mathbb{R}$, $T=(-\infty ;0]$.

Định hướng. Đường thẳng đứng cắt đồ thị nhiều nhất một lần thì là hàm số; còn đường thẳng ngang $y=m$ có cắt đồ thị hay không sẽ cho biết $m$ có thuộc tập giá trị hay không — một phép thử dùng chung cho cả ba ý.

Vậy ta lại được $T=\{73,1;73,2;73,3;73,4;73,5\}$ ở ý a), giá trị $242$ ở ý b) và $T=(-\infty ;0]$ ở ý c).

Định hướng. Một số $m$ thuộc tập giá trị khi và chỉ khi phương trình $f(x)=m$ có nghiệm; giải bất phương trình điều kiện có nghiệm là ra ngay cả tập giá trị, không cần vẽ hình.

Vậy tập giá trị của hàm số $y=-2x^2$ là $T=(-\infty ;0]$, khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 là cách mạnh nhất vì dùng được cho cả những hàm số mà ta chưa biết vẽ đồ thị: chỉ cần biết giải phương trình $f(x)=m$ theo tham số $m$.

Định hướng. Với mỗi điểm, thay hoành độ vào $y=\frac{1}{2}{x}^2$ rồi đối chiếu kết quả với tung độ đã cho.

Vậy ba điểm $(0;0)$, $(2;2)$, $(-2;2)$ nằm trên đồ thị; hai điểm $(1;2)$, $(-1;2)$ không nằm trên đồ thị.

Định hướng. Nhân hai vế của $y=\frac{1}{2}{x}^2$ với $2$ được điều kiện tương đương $x^2=2y$ — chỉ còn phép bình phương và phép nhân đôi, không còn phân số nên tính nhẩm được cả năm điểm.

Vậy chỉ ba điểm $(0;0)$, $(2;2)$, $(-2;2)$ nằm trên đồ thị.

Định hướng. Hình vẽ cho biết ngay tại $x=1$ đường cong mới chỉ cao $0,5$ chứ chưa tới $2$; dùng hình để loại nhanh rồi mới thay số xác nhận, đây là lối làm quen thuộc khi đề đã cho sẵn đồ thị.

Vậy ba điểm $(0;0)$, $(2;2)$, $(-2;2)$ nằm trên đồ thị và với mọi điểm nằm trên đồ thị thì tung độ bằng $\frac{1}{2}$ lần bình phương hoành độ.

Nhận xét. Hai điểm $(2;2)$ và $(-2;2)$ có tung độ bằng nhau vì $x^2=(-x{)}^2$ — đó là lí do parabol này nhận trục tung làm trục đối xứng.

Định hướng. Đề cho tung độ nên thay thẳng $y=8$ vào công thức rồi giải phương trình theo $x$.

Vậy có hai giá trị của $x$ thoả mãn là $x=4$ và $x=-4$.

Định hướng. Kẻ đường thẳng ngang ở độ cao $8$ rồi nhìn xem nó cắt parabol tại những hoành độ nào — hình vẽ cho thấy ngay là có hai giao điểm đối xứng nhau qua trục tung.

Vậy hai giao điểm là $(4;8)$ và $(-4;8)$, tức $x=4$ hoặc $x=-4$.

Định hướng. Lập bảng giá trị vừa là bước bắt buộc để vẽ đồ thị ở ý b), vừa cho ngay cả cặp điểm cần tìm ở ý a) nếu mở rộng bảng tới $x=\pm 4$.

Vậy đồ thị $y=2x+1$ là đường thẳng qua $(0;1)$ và $\left(-\frac{1}{2};0\right)$, đồ thị $y=2x^2$ là parabol đỉnh $O$ qua $(\pm 1;2)$ và $(\pm 2;8)$; còn ở ý a) thì $x=4$ hoặc $x=-4$.

Nhận xét. Hai đồ thị ở ý b) cắt nhau tại hai điểm vì $2x^2=2x+1$ là phương trình bậc hai có hai nghiệm; đó là ý tưởng sẽ dùng lại nhiều lần khi giải phương trình bằng đồ thị.

Định hướng. Hàm số bậc nhất trên nửa khoảng nên đồ thị là một đoạn thẳng; chỉ cần hai đầu mút là vẽ được.

Vậy đồ thị cần vẽ thêm là đoạn thẳng nối $(50;83,9)$ với $(100;170,6)$, hở ở đầu $x=50$ và kín ở đầu $x=100$.

Định hướng. Đồ thị Hình 6.3 kết thúc đúng tại $(50;83,9)$, mà công thức mới cũng cho giá trị $83,9$ tại $x=50$, nên chỉ việc kéo tiếp từ đúng điểm đó với độ dốc mới.

Vậy đoạn mới xuất phát từ $(50;83,9)$ và kết thúc tại $(100;170,6)$, dốc hơn đoạn cũ một chút nên đồ thị bị gãy khúc tại $x=50$.

Định hướng. Chấm thêm vài điểm trung gian là cách an toàn nhất để chắc chắn đường vẽ ra đúng độ dốc, đồng thời kiểm tra lại được tập giá trị mà đề đã công bố.

Vậy đồ thị là đoạn thẳng hở đầu tại $(50;83,9)$, đi qua $(60;101,24)$, $(80;135,92)$ và kín đầu tại $(100;170,6)$, đúng với tập giá trị $(83,9;170,6]$.

Nhận xét. Hai đoạn nối nhau tại cùng một độ cao $83,9$ nên đồ thị liền nét, chỉ đổi độ dốc; nếu bậc giá sau rẻ hơn bậc trước thì đồ thị sẽ gãy theo chiều ngược lại.

Định hướng. Thay lần lượt năm giá trị của $x$ vào hai công thức, sau đó nhìn dãy $y$ vừa thu được đi lên hay đi xuống.

Vậy khi $x$ tăng thì $y=-x+1$ giảm, còn $y=x$ tăng.

Định hướng. Thay vì thử vài số, ta so sánh giá trị tại hai điểm bất kì — cách này cho kết luận đúng trên toàn bộ $\mathbb{R}$ chứ không chỉ tại năm giá trị của bảng.

Vậy hàm số $y=-x+1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$, còn hàm số $y=x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Định hướng. Cả hai đều là hàm số bậc nhất, đồ thị là đường thẳng; đường thẳng "đi lên" hay "đi xuống" từ trái sang phải hoàn toàn do dấu của hệ số góc quyết định.

Vậy ta lại được: $y=-x+1$ giảm khi $x$ tăng, $y=x$ tăng khi $x$ tăng.

Nhận xét. Với hàm số bậc nhất $y=ax+b$ thì chỉ dấu của $a$ quyết định tính đồng biến hay nghịch biến, còn $b$ không có vai trò gì trong chuyện đó.

Định hướng. Chỉ cần xem mỗi nhánh của parabol đi lên hay đi xuống theo chiều từ trái sang phải.

Vậy trên khoảng $(-\infty ;0)$ giá trị của $f(x)$ tăng khi $x$ tăng; trên khoảng $(0;+\infty )$ giá trị của $f(x)$ giảm khi $x$ tăng.

Định hướng. Đưa việc "nhìn hình" về một phép so sánh đại số: xét dấu của hiệu $f(x_2)-f(x_1)$ khi $x_1<x_2$ cùng thuộc một khoảng.

Vậy hàm số $y=-x^2$ đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và nghịch biến trên $(0;+\infty )$.

Định hướng. Đồ thị $y=-x^2$ là ảnh của đồ thị $y=x^2$ qua phép lấy đối xứng trục hoành, mà phép đối xứng đó biến đường đi lên thành đường đi xuống, nên chiều biến thiên đảo ngược hoàn toàn.

Vậy hàm số $y=-x^2$ có chiều biến thiên ngược hẳn với $y=x^2$: tăng trên $(-\infty ;0)$ và giảm trên $(0;+\infty )$.

Nhận xét. Nhân hai vế của một bất đẳng thức với số âm thì phải đổi chiều — chính chi tiết nhỏ này làm chiều biến thiên của $y=-x^2$ ngược với $y=x^2$.

Định hướng. Vẽ hình trước rồi đọc kết luận từ hình là con đường tự nhiên nhất, và đề cũng yêu cầu vẽ đồ thị.

Vậy hàm số $y=3x+1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$; hàm số $y=-2x^2$ đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và nghịch biến trên $(0;+\infty )$.

Định hướng. Cả hai hàm số đều thuộc dạng đã có kết luận sẵn, nên chỉ cần đọc dấu của hệ số đứng trước $x$ và trước $x^2$.

Vậy ta được ngay kết luận như Cách 1 mà không cần vẽ hình.

Định hướng. Muốn kết luận có căn cứ chứ không mượn kết quả có sẵn, ta xét dấu hiệu hai giá trị hàm số tại hai điểm bất kì.

Vậy hàm số $y=3x+1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, hàm số $y=-2x^2$ đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và nghịch biến trên $(0;+\infty )$.

Nhận xét. Ba cách cho cùng kết luận, nhưng chỉ Cách 3 là chứng minh; hai cách kia dựa vào hình vẽ hoặc dựa vào kết quả đã học nên chỉ nhanh chứ không thay được lập luận khi đề yêu cầu chứng minh.

Định hướng. Tách quãng đường thành chặng mở cửa và chặng tính theo kilômét, rồi cộng tiền của từng chặng.

Vậy đi $25$ km phải trả $327200$ đồng, và công thức cước là $y=10000$ khi $0<x\le 0,6$; $y=13000x+2200$ khi $0,6<x\le 25$; $y=11000x+52200$ khi $x>25$.

Định hướng. Làm ý b) trước: dựng công thức trên từng khoảng, sau đó ý a) chỉ còn là một phép thay số, đồng thời có luôn phép thử tính liên tục ở hai chỗ nối.

Vậy số tiền đi $25$ km là $327200$ đồng và ba công thức nối khít nhau tại hai điểm $x=0,6$, $x=25$.

Định hướng. Vẽ đồ thị gồm một đoạn nằm ngang và hai đoạn dốc rồi đọc mọi thứ trên hình: tiền đi $25$ km là tung độ của điểm gãy thứ hai, còn chiều biến thiên là chiều đi lên hay nằm ngang của từng đoạn.

Vậy đồ thị gồm ba đoạn nối liền nhau; hàm số đồng biến trên khoảng $(0,6;+\infty )$, không đồng biến cũng không nghịch biến trên $(0;0,6)$ vì ở đó giá cước không đổi, và hàm số không nghịch biến trên bất kì khoảng nào.

Nhận xét. Đoạn 3 thoải hơn đoạn 2 vì từ kilômét thứ $25$ đơn giá giảm từ $13000$ xuống $11000$ đồng/km — đồ thị gãy khúc tại đúng chỗ đơn giá đổi.