Bài 16. Hàm số bậc hai

Định hướng. Tìm đỉnh nhờ hai đường gióng nét đứt, rồi nhìn đồ thị đi lên hay đi xuống khi đi từ trái sang phải.

Vậy hàm $f$ có đỉnh $(3;4)$, đạt giá trị lớn nhất bằng $4$ tại $x=3$, $T=(-\infty ;4]$; hàm $g$ có đỉnh $(1;-4)$, đạt giá trị nhỏ nhất bằng $-4$ tại $x=1$, $T=[-4;+\infty )$.

Định hướng. Giao điểm với trục hoành là chỗ đọc chính xác nhất trên lưới; trung điểm của chúng cho hoành độ đỉnh mà không phải ước lượng.

Vậy ta được lại đúng hai đỉnh $(3;4)$, $(1;-4)$ và các kết luận như Cách 1.

Định hướng. Biết đỉnh và thêm một điểm là dựng lại được công thức; khi đó tập giá trị được chứng minh chặt chẽ bằng $(x-h{)}^2\ge 0$ thay vì chỉ nhìn hình.

Vậy $f(x)=-x^2+6x-5$ có giá trị lớn nhất $4$ tại $x=3$, $g(x)=x^2-2x-3$ có giá trị nhỏ nhất $-4$ tại $x=1$.

Nhận xét. Kiểm tra chéo với hình: $f(0)=-5$ và $g(0)=-3$ đúng là chỗ hai đồ thị cắt trục tung, nên hai công thức dựng lại khớp với Hình 6.14 và Hình 6.15.

Định hướng. Đặt $a$ ra ngoài nhóm chứa $x$, thêm bớt bình phương của nửa hệ số $x$; từ dạng đỉnh đọc thẳng ra cực trị và lập bảng giá trị đối xứng để vẽ.

Vậy $f(x)=-{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{5}{4}$ có giá trị lớn nhất $\frac{5}{4}$ tại $x=-\frac{1}{2}$; $g(x)=(x-4{)}^2-8$ có giá trị nhỏ nhất $-8$ tại $x=4$. Đồ thị là hai parabol như hình, đỉnh lần lượt $\left(-\frac{1}{2};\frac{5}{4}\right)$ và $(4;-8)$.

Định hướng. Tính $h=-\frac{b}{2a}$ và $k=-\frac{\Delta }{4a}$ rồi lắp vào dạng $a(x-h{)}^2+k$, không cần biến đổi từng bước.

Vậy ta được cùng hai dạng đỉnh, cùng giá trị lớn nhất $\frac{5}{4}$ của $f$ và giá trị nhỏ nhất $-8$ của $g$.

Định hướng. Hai điểm của parabol có cùng tung độ thì đối xứng qua trục; chọn ngay giao điểm với trục tung và điểm đối xứng của nó, trung điểm cho hoành độ đỉnh.

Vậy hai dạng đỉnh và hai giá trị cực trị trùng với Cách 1; đồ thị vẽ nhờ các cặp điểm đối xứng $(0;1)$, $(-1;1)$ của $f$ và $(0;8)$, $(8;8)$ của $g$.

Nhận xét. Cách này đặc biệt hợp để VẼ: cặp điểm đối xứng có sẵn giúp nét vẽ cân hai bên trục, không bị lệch.

Định hướng. Thêm bớt để có bình phương, rồi dùng $(x-h{)}^2\ge 0$ chặn một phía của $f(x)$.

Vậy a) $D=\mathbb{R}$, $T=(-\infty ;1]$; b) $D=\mathbb{R}$, $T=\left[-\frac{1}{4};+\infty \right)$.

Định hướng. Tung độ đỉnh là đầu mút của tập giá trị, dấu của $a$ cho biết tập giá trị mở lên hay mở xuống.

Vậy tập giá trị lần lượt là $(-\infty ;1]$ và $\left[-\frac{1}{4};+\infty \right)$, tập xác định đều là $\mathbb{R}$.

Định hướng. Tập giá trị chính là tập các số $m$ mà phương trình $f(x)=m$ giải được; điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là biệt thức không âm.

Vậy a) $T=(-\infty ;1]$; b) $T=\left[-\frac{1}{4};+\infty \right)$; cả hai hàm có $D=\mathbb{R}$.

Nhận xét. Cách này không cần biết gì về đồ thị và dùng được cả cho hàm phân thức như $y=\frac{x}{x^2+1}$, nơi không có "đỉnh" để đọc.

Định hướng. Dịch mỗi điều kiện thành một phương trình bậc nhất theo $a$, $b$ rồi giải hệ.

Vậy a) $y=2x^2+x+2$; b) $y=-\frac{1}{3}{x}^2-x+2$; c) $y=x^2-4x+2$.

Định hướng. Parabol luôn qua $P(0;2)$; biết trục đối xứng là biết ngay điểm đối xứng của $P$, và hai điểm cùng tung độ $2$ cho dạng $y-2=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Vậy kết quả trùng Cách 1: $y=2x^2+x+2$, $y=-\frac{1}{3}{x}^2-x+2$, $y=x^2-4x+2$.

Định hướng. Với $x\ne 0$, $\frac{y-2}{x}=ax+b$ là một hàm bậc nhất; mỗi điểm của parabol cho một điểm của đường thẳng $u=ax+b$, nên $a$ là hệ số góc.

Vậy ba parabol cần tìm là $y=2x^2+x+2$, $y=-\frac{1}{3}{x}^2-x+2$ và $y=x^2-4x+2$.

Nhận xét. Thử lại ý c): $y=x^2-4x+2=(x-2{)}^2-2$ có đỉnh đúng là $(2;-2)$; ý b): $x=3$ cho $y=-3-3+2=-4$, đúng điểm $A$.

Định hướng. Ba ẩn $a$, $b$, $c$ ứng với ba điều kiện: hoành độ đỉnh, đỉnh thuộc parabol, $A$ thuộc parabol.

Vậy parabol cần tìm là $y=x^2+2x+3$.

Định hướng. Đỉnh $I(-1;2)$ cho ngay $y=a(x+1{)}^2+2$, thay toạ độ $A$ để tìm $a$.

Vậy $y=x^2+2x+3$.

Định hướng. Trục đối xứng $x=-1$ nên điểm $A^{\prime }$ đối xứng với $A$ cũng thuộc parabol; hai điểm cùng tung độ $6$ cho dạng $y-6=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Vậy phương trình parabol là $y=x^2+2x+3$.

Nhận xét. Thử lại: $-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2}=-1$ và $y(-1)=1-2+3=2$, đúng đỉnh $I$; $y(1)=1+2+3=6$, đúng điểm $A$.

Định hướng. Đi lần lượt: bề lõm cho $a$, giao trục tung cho $c$, hoành độ đỉnh cho $b$, số giao điểm với trục hoành cho $\Delta$.

Vậy $a>0$, $b<0$, $c>0$, $\Delta >0$.

Định hướng. Hai giao điểm với trục hoành đều có hoành độ dương, nên phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có hai nghiệm dương phân biệt; tổng và tích nghiệm cho dấu của $b$, $c$ so với $a$.

Vậy $a>0$, $b<0$, $c>0$, $\Delta >0$.

Định hướng. Đỉnh $(h;k)$ nằm ở góc phần tư thứ tư nên $h>0$, $k<0$; khai triển dạng đỉnh để đọc $b$ và $\Delta$ theo $a$, $h$, $k$.

Vậy $a>0$, $b<0$, $c>0$, $\Delta >0$.

Nhận xét. Một hàm cụ thể có đồ thị dạng này là $y=2x^2-5x+2$: $a=2>0$, $b=-5<0$, $c=2>0$, $\Delta =25-16=9>0$, đỉnh $\left(\frac{5}{4};-\frac{9}{8}\right)$.

Định hướng. Nửa chu vi $100$ m cho chiều dài $100-x$; diện tích là hàm bậc hai hệ số $a=-1$, đạt lớn nhất tại đỉnh.

Vậy $S(x)=-x^2+100x$; mảnh vườn có diện tích lớn nhất là hình vuông cạnh $50$ m, diện tích $2500$ m${}^2$.

Định hướng. Viết $S(x)$ dưới dạng hằng số trừ một bình phương thì thấy ngay giá trị lớn nhất.

Vậy diện tích lớn nhất là $2500$ m${}^2$ khi mảnh vườn là hình vuông $50$ m $\times$ $50$ m.

Định hướng. Chiều rộng và chiều dài có tổng không đổi $100$, nên tích của chúng lớn nhất khi hai số bằng nhau.

Vậy kích thước cần tìm là $50$ m $\times$ $50$ m, diện tích lớn nhất $2500$ m${}^2$.

Nhận xét. Nếu coi chiều rộng không vượt quá chiều dài thì miền thực tế là $0<x\le 50$; điểm $x=50$ vẫn nằm trong miền nên đáp số không đổi.

Định hướng. Hoành độ đỉnh trả lời ý a), thay vào hàm được ý b), giải $h(t)=0$ được ý c).

Vậy sau $1,5$ giây bóng đạt độ cao lớn nhất $11,025$ m và sau $3$ giây thì chạm đất.

Định hướng. Đưa $h(t)$ về dạng hằng số trừ bình phương: hằng số là độ cao lớn nhất, điểm làm bình phương bằng $0$ là thời điểm đạt độ cao đó.

Vậy thời điểm cao nhất là $1,5$ s, độ cao lớn nhất $11,025$ m, chạm đất sau $3$ s.

Định hướng. Hai lúc bóng ở mặt đất là $t=0$ và lúc chạm đất; đỉnh nằm chính giữa hai thời điểm đó.

Vậy bóng lên cao nhất $11,025$ m sau $1,5$ s và chạm đất sau $3$ s.

Nhận xét. Viết $h(t)=4,9t(3-t)$ thì cả ba ý đều ra bằng tính nhẩm; thời gian bay lên bằng đúng thời gian rơi xuống vì bỏ qua sức cản không khí.

Định hướng. Dịch hai dữ kiện thành $n=y(0)$ và $\frac{m}{9,8}=1,2$, rồi thay số và giải phương trình.

Vậy $y=-4,9t^2+11,76t+1,5$; sau $2$ giây hòn đá ở độ cao $5,42$ m; hòn đá chạm đất sau khoảng $2,52$ giây.

Định hướng. Thời điểm cao nhất $1,2$ s cho ngay dạng đỉnh; độ cao ban đầu $1,5$ m xác định $k$ là độ cao lớn nhất; giải ý c) chỉ cần khai căn.

Vậy phương trình là $y=-4,9t^2+11,76t+1,5$, $y(2)=5,42$ m, chạm đất sau khoảng $2,52$ s; thêm nữa độ cao lớn nhất là $8,556$ m.

Định hướng. Lúc ném ($t=0$) và lúc $t=2,4$ đối xứng qua $t=1,2$ nên cùng độ cao $1,5$ m; lúc $t=2$ cùng độ cao với lúc $t=0,4$.