Chương VI. Hàm số, đồ thị và ứng dụng

Bài 16. Hàm số bậc hai

SGK Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 17 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Mở đầu★★★Trang 11— Bài toán thực tế tìm giá trị lớn nhất của diện tích — hàm số bậc hai

Mở đầu (trang 11). Bác Việt có một tấm lưới hình chữ nhật dài

20

m. Bác muốn dùng tấm lưới này rào chắn ba mặt áp bên bờ tường của khu vườn nhà mình thành một mảnh đất hình chữ nhật để trồng rau.
Hỏi hai cột góc hàng rào cần phải cắm cách bờ tường bao xa để mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích lớn nhất? (Hình 6.8)

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $y = a x^{2} + b x + c$ với $a < 0$ đạt giá trị lớn nhất bằng $- \frac{Δ}{4 a}$ tại $x = - \frac{b}{2 a}$ .
Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm: $uv \leq (\frac{u + v}{2})^{2}$ , dấu bằng khi $u = v$ .

🧠 Phân tích tư duy

Lưới chỉ rào ba mặt (mặt thứ tư là bờ tường) nên tổng hai cạnh vuông góc với tường và cạnh

P Q

bằng

20

m; gọi khoảng cách cần tìm là

x

thì diện tích là một biểu thức bậc hai của

x

. Diện tích lớn nhất chính là tung độ đỉnh của parabol quay bề lõm xuống. Bẫy: nhiều bạn quen chu vi bốn cạnh nên viết

2 x + 2 y = 20

, ra sai hẳn kích thước.

1Cách 1. Lập hàm số bậc hai rồi dùng toạ độ đỉnh.

Định hướng. Diện tích là hàm bậc hai có $a < 0$ nên đạt lớn nhất tại hoành độ đỉnh.

P Q = 20 - 2 x (0 < x < 10)

S (x) = x (20 - 2 x) = - 2 x^{2} + 20 x

a = - 2 < 0, - \frac{b}{2 a} = - \frac{20}{2 \cdot ( - 2 )} = 5 \in (0; 10)

S (5) = - 2 \cdot 5^{2} + 20 \cdot 5 = - 50 + 100 = 50

Vậy hai cột góc cần cắm cách bờ tường $5$ m; khi đó mảnh đất là hình chữ nhật $5 \times 10$ (m) có diện tích lớn nhất $50 m^{2}$ .

2Cách 2. Biến đổi về dạng bình phương.

Định hướng. Tách $S (x)$ thành hằng số trừ đi một bình phương để thấy ngay giá trị lớn nhất.

S (x) = - 2 x^{2} + 20 x

S (x) = - 2 (x^{2} - 10 x)

S (x) = - 2 (x^{2} - 2 \cdot 5 \cdot x + 25) + 50

S (x) = - 2 (x - 5)^{2} + 50 \leq 50

S (x) = 50 \Leftrightarrow x = 5

Vậy diện tích lớn nhất là $50 m^{2}$ khi cắm hai cột cách bờ tường $5$ m.

3Cách 3. Bất đẳng thức Cô-si.

Định hướng. Tổng $2 x + (20 - 2 x) = 20$ không đổi nên tích $2 x (20 - 2 x)$ lớn nhất khi hai thừa số bằng nhau.

S = x (20 - 2 x) = \frac{1}{2} \cdot 2 x \cdot (20 - 2 x)

S \leq \frac{1}{2} (\frac{2 x + 20 - 2 x}{2})^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1 0^{2} = 50

S = 50 \Leftrightarrow 2 x = 20 - 2 x \Leftrightarrow x = 5

Vậy cắm hai cột cách bờ tường $5$ m thì diện tích lớn nhất bằng $50 m^{2}$ .

Nhận xét. Cạnh $P Q = 10$ m gấp đôi cạnh vuông góc với tường — quy luật chung của bài rào ba mặt: cạnh song song với tường luôn dùng đúng một nửa số lưới.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một dòng biến đổi bình phương vừa cho giá trị lớn nhất vừa cho điều kiện dấu bằng, không cần nhớ công thức đỉnh; Cách 3 nhanh hơn nhưng phải khéo nhân thêm hệ số

2

Đáp số. Cắm hai cột cách bờ tường

5

m; diện tích lớn nhất

50 m^{2}

(mảnh đất

5 m \times 10 m

Sai lầm thường gặp. Viết nhầm chu vi bốn cạnh

2 x + 2 y = 20

rồi ra hình vuông cạnh

5

m, diện tích

25 m^{2}

— sai vì mặt áp tường không cần lưới. Một lỗi khác là quên điều kiện

0 < x < 10

(cạnh

P Q

phải dương).

🚀 Mở rộng. Tổng quát: lưới dài

L

rào ba mặt áp tường thì diện tích lớn nhất là

\frac{L ^{2}}{8}

, đạt khi cạnh vuông góc với tường bằng

\frac{L}{4}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ1★Trang 11— Lập biểu thức bậc hai theo biến

x

từ bài toán thực tế

HĐ1 (trang 11). Xét bài toán rào vườn ở tình huống mở đầu. Gọi

x

mét

(0 < x < 10)

là khoảng cách từ điểm cắm cọc đến bờ tường (H.6.8). Hãy tính theo

x

:
a) Độ dài cạnh

P Q

của mảnh đất.
b) Diện tích

S (x)

của mảnh đất được rào chắn.

Kiến thức cần nhớ

Diện tích hình chữ nhật bằng tích chiều dài và chiều rộng.
Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức $y = a x^{2} + b x + c$ với $a \neq = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tấm lưới dài

20

m được chia cho đúng ba cạnh: hai cạnh dài

x

và cạnh

P Q

. Biết

P Q

thì diện tích là tích hai kích thước. Chú ý bài hỏi "theo

x

" nên kết quả phải là biểu thức của

x

, khai triển gọn để nhận ra dạng

a x^{2} + b x + c

1Cách 1. Trừ phần lưới của hai cạnh bên.

Định hướng. Hai cạnh vuông góc với tường đã dùng $2 x$ mét lưới, phần còn lại là cạnh $P Q$ .

P Q = 20 - x - x = 20 - 2 x

(m)
b)

S (x) = x \cdot P Q = x (20 - 2 x) = - 2 x^{2} + 20 x

(m²)

Vậy $P Q = 20 - 2 x$ (m) và $S (x) = - 2 x^{2} + 20 x$ (m²) với $0 < x < 10$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ cho cạnh PQ rồi lập phương trình.

Định hướng. Gọi $P Q = y$ để viết ra đúng ràng buộc "tổng chiều dài lưới bằng 20", sau đó rút $y$ theo $x$ .

x + x + y = 20

y = 20 - 2 x

S = x y = x (20 - 2 x) = - 2 x^{2} + 20 x

y > 0 \Leftrightarrow 20 - 2 x > 0 \Leftrightarrow x < 10

Vậy $P Q = 20 - 2 x$ (m), $S (x) = - 2 x^{2} + 20 x$ (m²); điều kiện $y > 0$ giải thích vì sao đề cho $x < 10$ .

Nhận xét. $S (x)$ có dạng $a x^{2} + b x + c$ với $a = - 2, b = 20, c = 0$ — đây chính là một hàm số bậc hai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1: chỉ hai dòng, đúng cách viết trong vở; Cách 2 hữu ích khi cần giải thích nguồn gốc điều kiện

0 < x < 10

Đáp số. a)

P Q = 20 - 2 x

(m); b)

S (x) = - 2 x^{2} + 20 x

(m²).

Sai lầm thường gặp. Viết

P Q = 20 - x

vì quên rằng có hai cạnh dài

x

; hoặc viết

P Q = 20 - 4 x

do tưởng lưới rào đủ bốn mặt.

🚀 Mở rộng. Nếu bác Việt rào sát một góc tường vuông (hai mặt tựa tường) thì chỉ còn hai cạnh cần lưới, khi đó

S (x) = x (20 - x)

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Câu hỏi★Trang 12— Nhận biết hàm số bậc hai

Câu hỏi (trang 12). Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?
A.

y = x^{4} + 3 x^{2} + 2

. B.

y = \frac{1}{x ^{2}}

. C.

y = - 3 x^{2} + 1

. D.

y = 3 (\frac{1}{x})^{2} + 3 \frac{1}{x} - 1

Kiến thức cần nhớ

Hàm số bậc hai: $y = a x^{2} + b x + c$ với $a \neq = 0$ ; tập xác định là $R$ .
Với hàm bậc hai, hiệu cấp hai $f (x + 1) - 2 f (x) + f (x - 1)$ luôn bằng hằng số $2 a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hàm số bậc hai phải là đa thức bậc đúng bằng

2

của biến

x

, xác định trên cả

R

. Phương án D trông giống

a y^{2} + b y + c

nhưng biến ở đây là

\frac{1}{x}

chứ không phải

x

— đó là cái bẫy chính của câu hỏi.

1Cách 1. Đối chiếu từng phương án với định nghĩa.

Định hướng. Xem mỗi công thức có viết được dưới dạng $a x^{2} + b x + c$ , $a \neq = 0$ hay không.

y = x^{4} + 3 x^{2} + 2

có bậc

4

y = \frac{1}{x ^{2}}

không là đa thức của

x

y = - 3 x^{2} + 0 \cdot x + 1

a = - 3 \neq = 0

y = \frac{3}{x ^{2}} + \frac{3}{x} - 1

không là đa thức của

x

Vậy chọn C.

2Cách 2. Loại trừ bằng tập xác định và bậc.

Định hướng. Hàm bậc hai xác định trên $R$ và có bậc $2$ ; loại dần các phương án vi phạm.

B, D: không xác định tại

x = 0

nên tập xác định là

R ∖ {0} \neq = R

— loại
A: số mũ cao nhất là

4 \neq = 2

— loại
Còn lại C

Vậy đáp án là C.

3Cách 3. Kiểm tra hiệu cấp hai không đổi.

Định hướng. Với hàm bậc hai, dãy giá trị tại $0, 1, 2, 3$ có hiệu cấp hai không đổi; hàm bậc bốn thì không.

f (0), f (1), f (2), f (3) = 2; 6; 30; 110

hiệu cấp một:

4; 24; 80

, hiệu cấp hai:

20; 56

— thay đổi
C:

f (0), f (1), f (2), f (3) = 1; - 2; - 11; - 26

hiệu cấp một:

- 3; - 9; - 15

, hiệu cấp hai:

- 6; - 6 = 2 a

a = - 3

B, D: không tính được

f (0)

Vậy chỉ có C là hàm số bậc hai.

Nhận xét. Hiệu cấp hai không đổi còn cho luôn $a$ : $2 a = - 6$ nên $a = - 3$ , khớp với hệ số của C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhìn mẫu có

x

là loại ngay B, D; nhìn số mũ

4

loại A — chưa tới năm giây.

Đáp số. C.

y = - 3 x^{2} + 1

Sai lầm thường gặp. Chọn D vì thấy dạng "

3 t^{2} + 3 t - 1

" — thực ra biến là

t = \frac{1}{x}

, còn theo

x

thì hàm này không là đa thức. Chọn A vì có hạng tử

3 x^{2}

— nhưng bậc của đa thức là số mũ cao nhất, ở đây bằng

4

🚀 Mở rộng. Hàm số

y = (m - 1) x^{2} + 2 x + 3

là hàm số bậc hai khi và chỉ khi

m \neq = 1

; với

m = 1

nó trở thành hàm số bậc nhất.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 1★★Trang 12— Nhận biết hàm số bậc hai dạng tích và lập bảng giá trị

Luyện tập 1 (trang 12). Cho hàm số

y = (x - 1) (2 - 3 x)

.
a) Hàm số đã cho có phải là hàm số bậc hai không? Nếu có, hãy xác định các hệ số

a, b, c

của nó.
b) Thay dấu "?" bằng các số thích hợp để hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số đã cho.

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$
$y$	?	?	?	?

Kiến thức cần nhớ

Khai triển $(x - 1) (2 - 3 x) = 2 x - 3 x^{2} - 2 + 3 x$ .
Với hàm bậc hai, $f (x + 1) - 2 f (x) + f (x - 1) = 2 a$ với mọi $x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hàm cho dưới dạng tích hai nhị thức bậc nhất nên khai triển sẽ ra bậc hai, hệ số

a

là tích hai hệ số của

x

. Bảng giá trị có thể thay thẳng vào dạng tích — dạng tích tính nhanh hơn và ít sai dấu hơn dạng khai triển. Bẫy: khi khai triển dễ quên đổi dấu tích

(- 1) \cdot 2

1Cách 1. Khai triển rồi thay số.

Định hướng. Đưa về dạng $a x^{2} + b x + c$ để đọc hệ số, rồi thay từng giá trị $x$ .

y = (x - 1) (2 - 3 x) = 2 x - 3 x^{2} - 2 + 3 x = - 3 x^{2} + 5 x - 2

a = - 3, b = 5, c = - 2

y (- 2) = - 3 \cdot 4 + 5 \cdot (- 2) - 2 = - 12 - 10 - 2 = - 24

y (- 1) = - 3 \cdot 1 + 5 \cdot (- 1) - 2 = - 3 - 5 - 2 = - 10

y (0) = - 2

y (1) = - 3 + 5 - 2 = 0

Vậy hàm số là hàm bậc hai với $a = - 3$ , $b = 5$ , $c = - 2$ ; bảng giá trị: $- 24; - 10; - 2; 0$ .

2Cách 2. Thay trực tiếp vào dạng tích.

Định hướng. Dạng tích chỉ cần nhân hai số, không phải bình phương.

a = 1 \cdot (- 3) = - 3

c = (- 1) \cdot 2 = - 2

b = 1 \cdot 2 + (- 1) \cdot (- 3) = 5

y (- 2) = (- 3) (2 + 6) = (- 3) \cdot 8 = - 24

y (- 1) = (- 2) (2 + 3) = (- 2) \cdot 5 = - 10

y (0) = (- 1) \cdot 2 = - 2

y (1) = 0 \cdot (2 - 3) = 0

Vậy $a = - 3$ , $b = 5$ , $c = - 2$ ; bảng giá trị: $- 24; - 10; - 2; 0$ .

3Cách 3. Dùng hiệu cấp hai bằng 2a.

Định hướng. Đã biết $2 a = - 6$ và hai giá trị dễ nhất $y (0), y (1)$ , các giá trị còn lại suy ra dây chuyền.

y (1) - 2 y (0) + y (- 1) = 2 a = - 6

y (- 1) = - 6 - y (1) + 2 y (0) = - 6 - 0 - 4 = - 10

y (0) - 2 y (- 1) + y (- 2) = - 6

y (- 2) = - 6 - y (0) + 2 y (- 1) = - 6 + 2 - 20 = - 24

Vậy bảng giá trị là $y (- 2) = - 24$ , $y (- 1) = - 10$ , $y (0) = - 2$ , $y (1) = 0$ .

Nhận xét. Cách này biến việc tính bảng giá trị thành phép cộng trừ, rất tiện khi bảng dài với bước đều.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đọc hệ số và tính bảng ngay trên dạng tích, không phải khai triển nên hầu như không sai dấu.

Đáp số. a) Có;

y = - 3 x^{2} + 5 x - 2

với

a = - 3

b = 5

c = - 2

. b) Với

x = - 2; - 1; 0; 1

thì

y = - 24; - 10; - 2; 0

Sai lầm thường gặp. Khai triển thành

- 3 x^{2} + 5 x + 2

(quên dấu của

(- 1) \cdot 2

), dẫn tới

c = 2

và cả bảng lệch đi

4

đơn vị; hoặc tính

y (- 2) = - 3 \cdot (- 2)^{2} = 12

do bình phương mất dấu trừ phía trước.

🚀 Mở rộng. Hàm

y = (x - x_{1}) (p - q x)

với

q \neq = 0

luôn là hàm bậc hai có

a = - q

và đồ thị cắt trục hoành tại

x_{1}

và

\frac{p}{q}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Vận dụng 1★★Trang 12— Hàm số bậc hai trong chuyển động rơi tự do: tập xác định, tập giá trị

Vận dụng 1 (trang 12). Một viên bi rơi tự do từ độ cao

19, 6

m xuống mặt đất. Độ cao

h

(mét) so với mặt đất của viên bi trong khi rơi phụ thuộc vào thời gian

t

(giây) theo công thức:

h = 19, 6 - 4, 9 t^{2}

;

h, t \geq 0

.
a) Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi rơi thì viên bi chạm đất?
b) Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số

h

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $y = a x^{2} + c$ với $a < 0$ nghịch biến trên $[0; + \infty)$ .
Tập giá trị của hàm số trên một đoạn mà hàm đơn điệu là đoạn nối hai giá trị ở hai đầu mút.

🧠 Phân tích tư duy

Chạm đất nghĩa là độ cao

h = 0

, dẫn tới phương trình bậc hai khuyết

b

. Tập xác định ở đây không phải

R

mà bị ràng buộc bởi điều kiện thực tế

t \geq 0

và

h \geq 0

. Bẫy: lấy luôn nghiệm

t = - 2

hoặc ghi tập xác định là

R

1Cách 1. Giải phương trình rồi xét điều kiện.

Định hướng. Cho $h = 0$ để tìm lúc chạm đất; điều kiện $h \geq 0$ cho tập xác định.

19, 6 - 4, 9 t^{2} = 0 \Leftrightarrow t^{2} = 4 \Leftrightarrow t = 2

(vì

t \geq 0

)
b)

t \geq 0, h \geq 0 \Leftrightarrow t \geq 0, t^{2} \leq 4 \Leftrightarrow 0 \leq t \leq 2

D = [0; 2]

0 \leq t \leq 2 \Rightarrow 0 \leq t^{2} \leq 4 \Rightarrow 0 \leq 4, 9 t^{2} \leq 19, 6 \Rightarrow 0 \leq h \leq 19, 6

Vậy viên bi chạm đất sau $2$ giây; tập xác định $D = [0; 2]$ , tập giá trị $T = [0; 19, 6]$ .

2Cách 2. Phân tích thành nhân tử.

Định hướng. Đặt nhân tử chung $4, 9$ để thấy hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

h = 4, 9 (4 - t^{2}) = 4, 9 (2 - t) (2 + t)

h = 0, t \geq 0 \Leftrightarrow 2 - t = 0 \Leftrightarrow t = 2

h \geq 0, t \geq 0 \Leftrightarrow 2 - t \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq t \leq 2

h (0) = 19, 6, h (2) = 0

Vậy chạm đất sau $2$ giây; $D = [0; 2]$ và $T = [0; 19, 6]$ .

3Cách 3. Dựa vào tính đơn điệu của hàm bậc hai.

Định hướng. Parabol $h = - 4, 9 t^{2} + 19, 6$ có đỉnh tại $t = 0$ , quay bề lõm xuống, nên trên $[0; + \infty)$ hàm giảm liên tục từ $19, 6$ .

a = - 4, 9 < 0

, đỉnh

I (0; 19, 6)

h

nghịch biến trên

[0; + \infty)

h (2) = 19, 6 - 4, 9 \cdot 4 = 0

t \in [0; 2] \Rightarrow h (2) \leq h (t) \leq h (0) \Rightarrow 0 \leq h \leq 19, 6

Vậy sau $2$ giây viên bi chạm đất; $D = [0; 2]$ , $T = [0; 19, 6]$ .

Nhận xét. Tính đơn điệu cho luôn cả tập giá trị mà không phải giải bất phương trình; đây là cách nhìn "theo đồ thị" mà cả Bài 16 hướng tới.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhân tử

(2 - t) (2 + t)

trả lời cả hai ý trong một dòng và tự loại nghiệm âm.

Đáp số. a) Sau

2

giây. b) Tập xác định

D = [0; 2]

; tập giá trị

T = [0; 19, 6]

Sai lầm thường gặp. Ghi tập xác định là

R

như hàm bậc hai thông thường — quên điều kiện thực tế

h, t \geq 0

. Viết tập giá trị là

(- \infty; 19, 6]

cũng sai vì độ cao không âm.

🚀 Mở rộng. Nếu thả từ độ cao

y_{0}

mét thì thời gian rơi chạm đất là

t = \frac{2 y _{0}}{g}

, với

g \approx 9, 8

; thử với

y_{0} = 44, 1

m sẽ được

t = 3

giây.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · HĐ2★★Trang 12— Đồ thị hàm số bậc hai: hình dạng, điểm cao nhất, giá trị lớn nhất

HĐ2 (trang 12–13). Xét hàm số

y = S (x) = - 2 x^{2} + 20 x (0 < x < 10)

.
a) Trên mặt phẳng toạ độ

O x y

, biểu diễn toạ độ các điểm trong bảng giá trị của hàm số lập được ở Ví dụ 1. Nối các điểm đã vẽ lại ta được dạng đồ thị hàm số

y = - 2 x^{2} + 20 x

trên khoảng

(0; 10)

như trong Hình 6.10. Dạng đồ thị của hàm số

y = - 2 x^{2} + 20 x

có giống với đồ thị của hàm số

y = - 2 x^{2}

hay không?
b) Quan sát dạng đồ thị của hàm số

y = - 2 x^{2} + 20 x

trong Hình 6.10, tìm toạ độ điểm cao nhất của đồ thị.
c) Thực hiện phép biến đổi:

y = - 2 x^{2} + 20 x = - 2 (x^{2} - 10 x) = - 2 (x^{2} - 2 \cdot 5 \cdot x + 25) + 50 = - 2 (x - 5)^{2} + 50

.
Hãy cho biết giá trị lớn nhất của diện tích mảnh đất được rào chắn. Từ đó suy ra lời giải của bài toán ở phần mở đầu.

Kiến thức cần nhớ

Đồ thị hàm số $y = a (x - h)^{2} + k$ là parabol $y = a x^{2}$ tịnh tiến sao cho đỉnh về $I (h; k)$ .
Với $a < 0$ , $a (x - h)^{2} + k \leq k$ , dấu bằng khi $x = h$ .

🧠 Phân tích tư duy

Các điểm của bảng giá trị xếp đối xứng quanh đường thẳng

x = 5

và cong xuống giống parabol

y = - 2 x^{2}

đã học ở lớp 9, chỉ khác vị trí đỉnh. Điểm cao nhất là điểm trên trục đối xứng. Dạng

- 2 (x - 5)^{2} + 50

cho thấy ngay giá trị lớn nhất mà không cần đồ thị.

1Cách 1. Đọc trên đồ thị Hình 6.10.

Định hướng. So sánh hình dạng, rồi tìm điểm có tung độ lớn nhất trong bảng giá trị.

Bảng:

(1; 18), (2; 32), (3; 42), (4; 48), (5; 50), (6; 48), (7; 42), (8; 32), (9; 18)

a) Đồ thị là đường cong quay bề lõm xuống, đối xứng qua

x = 5

— cùng dạng parabol

y = - 2 x^{2}

b) Điểm cao nhất:

(5; 50)

max S = 50

khi

x = 5

Vậy a) có dạng giống (một parabol quay bề lõm xuống); b) điểm cao nhất $(5; 50)$ ; c) diện tích lớn nhất $50 m^{2}$ , hai cột góc cắm cách bờ tường $5$ m.

2Cách 2. Dùng dạng chính tắc −2(x − 5)² + 50.

Định hướng. Dạng chính tắc cho thấy đồ thị là $y = - 2 x^{2}$ dời đỉnh $O$ tới $(5; 50)$ và cho ngay giá trị lớn nhất.

y = - 2 (x - 5)^{2} + 50

(x - 5)^{2} \geq 0 \Rightarrow y \leq 50

y = 50 \Leftrightarrow x = 5 \in (0; 10)

Đồ thị

y = - 2 x^{2} + 20 x

là đồ thị

y = - 2 x^{2}

tịnh tiến theo

v = (5; 50)

Vậy đồ thị cùng hình dạng với $y = - 2 x^{2}$ ; điểm cao nhất $(5; 50)$ ; diện tích lớn nhất $50 m^{2}$ khi cắm cột cách tường $5$ m.

3Cách 3. Tính đối xứng của bảng giá trị.

Định hướng. Hai giá trị $x$ đối xứng qua $5$ cho cùng diện tích nên điểm cao nhất phải nằm chính giữa.

S (5 + d) = - 2 (5 + d)^{2} + 20 (5 + d) = 50 - 2 d^{2}

S (5 - d) = - 2 (5 - d)^{2} + 20 (5 - d) = 50 - 2 d^{2}

S (5) - S (5 \pm d) = 2 d^{2} \geq 0

Vậy đồ thị đối xứng qua đường $x = 5$ giống parabol $y = - 2 x^{2}$ đối xứng qua $O y$ ; điểm cao nhất $(5; 50)$ ; $max S = 50 m^{2}$ tại $x = 5$ .

Nhận xét. Ba cách cùng nói một điều: điểm cao nhất của parabol luôn nằm trên trục đối xứng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 2 khi làm bài: dạng

- 2 (x - 5)^{2} + 50

vừa giải thích hình dạng (tịnh tiến), vừa chứng minh giá trị lớn nhất chặt chẽ, không phụ thuộc hình vẽ.

Đáp số. a) Có, cùng là parabol quay bề lõm xuống (đồ thị

y = - 2 x^{2}

tịnh tiến); b)

(5; 50)

; c) diện tích lớn nhất

50 m^{2}

, cắm cột cách bờ tường

5

Sai lầm thường gặp. Đọc điểm cao nhất là

(50; 5)

— đảo hoành độ và tung độ; hoặc kết luận "khác dạng" chỉ vì đỉnh không nằm tại gốc

O

🚀 Mở rộng. Mọi hàm

y = a x^{2} + b x + c

đều viết được thành

a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a}

, nên đồ thị luôn là parabol

y = a x^{2}

đã tịnh tiến.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · HĐ3★★Trang 13— Đọc tính chất đồ thị hàm số bậc hai: bề lõm, đỉnh, trục đối xứng

HĐ3 (trang 13). Tương tự HĐ2, ta có dạng đồ thị của một số hàm số bậc hai:

y = x^{2} + 2 x + 2

và

y = - 2 x^{2} - 3 x + 1

(xem hình trong sách). Từ các đồ thị hàm số trên, hãy nêu nội dung thay vào ô có dấu "?" trong bảng sau cho thích hợp.

Hàm số	Hệ số $a$	Bề lõm của đồ thị (Quay lên/Quay xuống)	Toạ độ điểm cao nhất/điểm thấp nhất	Trục đối xứng
$y = x^{2} + 2 x + 2$	$1$	Quay lên	$(- 1; 1)$	$x = - 1$
$y = - 2 x^{2} - 3 x + 1$	?	?	?	?

Kiến thức cần nhớ

Parabol $y = a x^{2} + b x + c$ quay bề lõm lên nếu $a > 0$ , xuống nếu $a < 0$ .
Đỉnh $I (- \frac{b}{2 a}; - \frac{Δ}{4 a})$ , trục đối xứng $x = - \frac{b}{2 a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dấu của

a

quyết định bề lõm:

a = - 2 < 0

nên quay xuống và đỉnh là điểm cao nhất. Toạ độ đỉnh trên hình là phân số

- \frac{3}{4}

\frac{17}{8}

nên phải tính chứ không đọc ước lượng. Hai điểm có cùng tung độ đối xứng nhau qua trục là chìa khoá cho cách tìm trục nhanh nhất.

1Cách 1. Dùng công thức toạ độ đỉnh.

Định hướng. Đọc $a, b, c$ rồi thay vào công thức đỉnh.

a = - 2, b = - 3, c = 1

x_{I} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 3}{2 \cdot ( - 2 )} = - \frac{3}{4}

Δ = b^{2} - 4 a c = 9 + 8 = 17

y_{I} = - \frac{Δ}{4 a} = - \frac{17}{- 8} = \frac{17}{8}

Vậy hệ số $a = - 2$ ; quay xuống; điểm cao nhất $(- \frac{3}{4}; \frac{17}{8})$ ; trục đối xứng $x = - \frac{3}{4}$ .

2Cách 2. Biến đổi về dạng chính tắc.

Định hướng. Làm như phép biến đổi ở HĐ2c: tách $a$ ra rồi thêm bớt để được bình phương đủ.

y = - 2 x^{2} - 3 x + 1

y = - 2 (x^{2} + \frac{3}{2} x) + 1

y = - 2 (x^{2} + 2 \cdot \frac{3}{4} x + \frac{9}{16}) + \frac{9}{8} + 1

y = - 2 (x + \frac{3}{4})^{2} + \frac{17}{8} \leq \frac{17}{8}

Vậy $a = - 2$ , đồ thị quay xuống, điểm cao nhất $(- \frac{3}{4}; \frac{17}{8})$ , trục đối xứng $x = - \frac{3}{4}$ .

3Cách 3. Hai điểm cùng tung độ.

Định hướng. Tìm hai điểm của đồ thị có tung độ $1$ ; trục đối xứng đi qua trung điểm của chúng.

- 2 x^{2} - 3 x + 1 = 1 \Leftrightarrow - x (2 x + 3) = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = - \frac{3}{2}

x_{I} = \frac{1}{2} (0 + (- \frac{3}{2})) = - \frac{3}{4}

y_{I} = - 2 \cdot \frac{9}{16} - 3 \cdot (- \frac{3}{4}) + 1 = - \frac{9}{8} + \frac{18}{8} + \frac{8}{8} = \frac{17}{8}

Vậy ô trống lần lượt là: $- 2$ ; Quay xuống; $(- \frac{3}{4}; \frac{17}{8})$ ; $x = - \frac{3}{4}$ .

Nhận xét. Hai điểm $(0; 1)$ và $(- \frac{3}{2}; 1)$ luôn có sẵn vì $c = 1$ ; mẹo "cho $y = c$ " áp dụng được cho mọi hàm bậc hai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho nhanh; nếu sợ nhầm dấu công thức thì Cách 3 (cho

y = c

) chỉ cần giải một phương trình tích rất gọn.

Đáp số.

a = - 2

; Quay xuống; điểm cao nhất

(- \frac{3}{4}; \frac{17}{8})

; trục đối xứng

x = - \frac{3}{4}

Sai lầm thường gặp. Viết

x_{I} = \frac{- 3}{4}

thành

\frac{3}{4}

do quên dấu trừ của

b

; hoặc ghi "điểm thấp nhất" trong khi

a < 0

— với

a < 0

đỉnh là điểm cao nhất.

🚀 Mở rộng. Parabol

y = a x^{2} + b x + c

luôn đi qua

(0; c)

và

(- \frac{b}{a}; c)

, nên trục đối xứng là trung trực của hai điểm đó:

x = - \frac{b}{2 a}

— đây là một cách chứng minh công thức trục đối xứng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Luyện tập 2★★Trang 15— Vẽ parabol, đọc khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị nhỏ nhất

Luyện tập 2 (trang 15). Vẽ parabol

y = 3 x^{2} - 10 x + 7

. Từ đó tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = 3 x^{2} - 10 x + 7

Kiến thức cần nhớ

Với $a > 0$ : hàm nghịch biến trên $(- \infty; - \frac{b}{2 a})$ , đồng biến trên $(- \frac{b}{2 a}; + \infty)$ , giá trị nhỏ nhất là $- \frac{Δ}{4 a}$ .
Nếu $a + b + c = 0$ thì phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ có nghiệm $x = 1$ và $x = \frac{c}{a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hệ số

a = 3 > 0

nên parabol quay lên, đỉnh là điểm thấp nhất. Tổng hệ số

3 - 10 + 7 = 0

nên

x = 1

là một nghiệm — biết ngay giao điểm với trục hoành. Đỉnh có toạ độ phân số nên cần thêm các điểm đối xứng để vẽ cho cân.

1Cách 1. Vẽ theo bốn bước của SGK.

Định hướng. Tìm đỉnh, trục đối xứng, các giao điểm với trục toạ độ, thêm điểm đối xứng rồi nối.

a = 3 > 0

: quay bề lõm lên

x_{I} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}, y_{I} = 3 \cdot \frac{25}{9} - \frac{50}{3} + 7 = \frac{25 - 50 + 21}{3} = - \frac{4}{3}

Đỉnh

I (\frac{5}{3}; - \frac{4}{3})

, trục đối xứng

x = \frac{5}{3}

Giao

O y

A (0; 7)

; điểm đối xứng

B (\frac{10}{3}; 7)

Giao

O x

3 x^{2} - 10 x + 7 = 0 \Leftrightarrow x = 1

hoặc

x = \frac{7}{3}

Vậy hàm số nghịch biến trên $(- \infty; \frac{5}{3})$ , đồng biến trên $(\frac{5}{3}; + \infty)$ , giá trị nhỏ nhất bằng $- \frac{4}{3}$ khi $x = \frac{5}{3}$ .

2Cách 2. Dạng chính tắc.

Định hướng. Viết $y = 3 (x - \frac{5}{3})^{2} - \frac{4}{3}$ : đồ thị là $y = 3 x^{2}$ tịnh tiến, giá trị nhỏ nhất đọc ngay.

y = 3 (x^{2} - \frac{10}{3} x) + 7

y = 3 (x^{2} - 2 \cdot \frac{5}{3} x + \frac{25}{9}) - \frac{25}{3} + 7

y = 3 (x - \frac{5}{3})^{2} - \frac{4}{3} \geq - \frac{4}{3}

Vậy parabol có đỉnh $I (\frac{5}{3}; - \frac{4}{3})$ ; hàm nghịch biến trên $(- \infty; \frac{5}{3})$ , đồng biến trên $(\frac{5}{3}; + \infty)$ ; $min y = - \frac{4}{3}$ tại $x = \frac{5}{3}$ .

3Cách 3. Nghiệm trước, đỉnh sau.

Định hướng. Nhẩm nghiệm nhờ $a + b + c = 0$ ; trục đối xứng là trung điểm hai nghiệm.

3 - 10 + 7 = 0 \Rightarrow x_{1} = 1, x_{2} = \frac{7}{3}

y = (x - 1) (3 x - 7)

x_{I} = \frac{1}{2} (1 + \frac{7}{3}) = \frac{5}{3}

y_{I} = (\frac{5}{3} - 1) (5 - 7) = \frac{2}{3} \cdot (- 2) = - \frac{4}{3}

Vậy giá trị nhỏ nhất $- \frac{4}{3}$ tại $x = \frac{5}{3}$ ; nghịch biến trên $(- \infty; \frac{5}{3})$ , đồng biến trên $(\frac{5}{3}; + \infty)$ .

Nhận xét. Tính $y_{I}$ trên dạng tích tránh được bình phương phân số — nhanh và khó sai hơn thay vào dạng khai triển.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhẩm nghiệm

1

và

\frac{7}{3}

trong đầu, trung điểm cho trục đối xứng, dạng tích cho tung độ đỉnh chỉ bằng một phép nhân.

Đáp số. Đỉnh

I (\frac{5}{3}; - \frac{4}{3})

; nghịch biến trên

(- \infty; \frac{5}{3})

, đồng biến trên

(\frac{5}{3}; + \infty)

; giá trị nhỏ nhất

- \frac{4}{3}

tại

x = \frac{5}{3}

Sai lầm thường gặp. Viết ngược khoảng: "đồng biến trên

(- \infty; \frac{5}{3})

" — đó là trường hợp

a < 0

; ở đây

a = 3 > 0

nên bên trái đỉnh hàm giảm. Ghi giá trị nhỏ nhất là

\frac{5}{3}

(hoành độ) thay vì

- \frac{4}{3}

(tung độ).

🚀 Mở rộng. Với

y = 3 x^{2} - 10 x + m

, giá trị nhỏ nhất là

m - \frac{25}{3}

; thử tìm

m

để giá trị nhỏ nhất bằng

0

(parabol tiếp xúc trục hoành):

m = \frac{25}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Vận dụng 2★★★Trang 15— Mô hình hoá thực tế bằng parabol, tìm độ cao đỉnh

Vận dụng 2 (trang 15). Bạn Nam đứng dưới chân cầu vượt ba tầng ở nút giao ngã ba Huế, thuộc thành phố Đà Nẵng để ngắm cầu vượt (H.6.13). Biết rằng trụ tháp cầu có dạng đường parabol, khoảng cách giữa hai chân trụ tháp khoảng

27

m, chiều cao của trụ tháp tính từ điểm trên mặt đất cách chân trụ tháp

2, 26

m là

20

m. Hãy giúp bạn Nam ước lượng độ cao của đỉnh trụ tháp cầu (so với mặt đất).
Hướng dẫn. Chọn hệ trục toạ độ

O x y

sao cho một chân trụ tháp đặt tại gốc toạ độ, chân còn lại đặt trên tia

O x

. Khi đó trụ tháp là một phần của đồ thị hàm số dạng

y = a x^{2} + b x

Kiến thức cần nhớ

Parabol cắt trục hoành tại $x_{1}, x_{2}$ có dạng $y = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .
Trục đối xứng của parabol đi qua trung điểm hai giao điểm với trục hoành.

🧠 Phân tích tư duy

Hai chân trụ là hai giao điểm của parabol với trục hoành:

O (0; 0)

và

B (27; 0)

; điểm

M (2, 26; 20)

thuộc parabol cho thêm một phương trình. Đỉnh nằm chính giữa hai chân nên hoành độ đỉnh là

13, 5

. Bẫy: điểm "cách chân trụ

2, 26

m" có hoành độ

2, 26

chứ không phải

27 - 2, 26

lẫn lộn với chân kia — nhưng nhờ đối xứng, chọn chân nào cũng ra cùng đáp số.

1Cách 1. Lập hệ phương trình theo a, b.

Định hướng. Thay toạ độ hai điểm $B$ và $M$ vào $y = a x^{2} + b x$ .

B (27; 0)

729 a + 27 b = 0 \Leftrightarrow b = - 27 a

M (2, 26; 20)

2, 2 6^{2} a + 2, 26 b = 20

a (5, 1076 - 61, 02) = 20 \Leftrightarrow a = - \frac{20}{55 , 9124} \approx - 0, 3577

y_{I} = y (13, 5) = a \cdot 13, 5^{2} + b \cdot 13, 5 = - 182, 25 a \approx 65, 19

Vậy đỉnh trụ tháp cao khoảng $65, 19$ m so với mặt đất.

2Cách 2. Dạng tích qua hai chân trụ.

Định hướng. Hai nghiệm đã biết là $0$ và $27$ nên chỉ còn một ẩn $a$ .

y = a x (x - 27)

20 = a \cdot 2, 26 \cdot (2, 26 - 27) = - 55, 9124 a

a = - \frac{20}{55 , 9124}

h = y (13, 5) = a \cdot 13, 5 \cdot (- 13, 5) = \frac{20 \cdot 182 , 25}{55 , 9124} \approx 65, 19

Vậy độ cao đỉnh trụ tháp khoảng $65, 19$ m.

3Cách 3. Tỉ lệ theo khoảng cách tới trục đối xứng.

Định hướng. Đặt gốc tại đỉnh: $y = h - k (x - 13, 5)^{2}$ với $k \cdot 13, 5^{2} = h$ , nên $y = h [1 - (\frac{x - 13 , 5}{13 , 5})^{2}]$ .

M

∣ 2, 26 - 13, 5 ∣ = 11, 24

20 = h [1 - (\frac{11 , 24}{13 , 5})^{2}]

h = \frac{20}{1 - ( \frac{11 , 24}{13 , 5} ) ^{2}} \approx \frac{20}{0 , 30679} \approx 65, 19

Vậy đỉnh trụ tháp cao khoảng $65, 19$ m.

Nhận xét. Công thức $h = \frac{y _{M}}{1 - ( \frac{d}{ℓ} ) ^{2}}$ ( $ℓ$ là nửa khoảng cách hai chân, $d$ là khoảng cách từ $M$ tới trục) dùng lại được ngay cho Bài tập 6.12.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: dạng tích dùng thẳng hai chân trụ, chỉ một ẩn, một phép chia là xong; bấm máy một lần ra

65, 19

Đáp số. Khoảng

65, 19

m (làm tròn khoảng

65

m).

Sai lầm thường gặp. Tính độ cao tại

x = 13, 5

nhưng lại dùng

a

làm tròn quá sớm (

a \approx - 0, 36

cho

65, 61

m, lệch gần nửa mét). Nhầm "độ cao đỉnh" là

a

hoặc

b

thay vì

y

tại hoành độ đỉnh.

🚀 Mở rộng. Nếu biết độ cao thật của trụ là

H

thì có thể kiểm tra lại số liệu

2, 26

m bằng cách giải ngược

d = ℓ 1 - \frac{20}{H}

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 6.7★★Trang 16— Vẽ đồ thị hàm số bậc hai

Bài 6.7 (trang 16). Vẽ các đường parabol sau:
a)

y = x^{2} - 3 x + 2

; b)

y = - 2 x^{2} + 2 x + 3

;
c)

y = x^{2} + 2 x + 1

; d)

y = - x^{2} + x - 1

Kiến thức cần nhớ

Đỉnh $I (- \frac{b}{2 a}; - \frac{Δ}{4 a})$ , trục đối xứng $x = - \frac{b}{2 a}$ .
Điểm $(x_{0}; y_{0})$ thuộc parabol thì điểm $(2 x_{I} - x_{0}; y_{0})$ cũng thuộc parabol.

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi parabol cần đúng ba thông tin khung: bề lõm (dấu

a

), đỉnh và trục đối xứng; sau đó lấy giao điểm với trục toạ độ và các điểm đối xứng. Câu c là bình phương đủ

(x + 1)^{2}

nên đỉnh nằm trên trục hoành; câu d có

Δ < 0

nên không cắt trục hoành, phải lấy thêm điểm khác.

1Cách 1. Bốn bước: đỉnh, trục, giao điểm, điểm đối xứng.

Định hướng. Tính các yếu tố khung cho từng parabol rồi nối các điểm theo bề lõm.

a = 1 > 0

;

I (\frac{3}{2}; - \frac{1}{4})

; trục

x = \frac{3}{2}

; qua

(0; 2), (3; 2), (1; 0), (2; 0)

a = - 2 < 0

;

I (\frac{1}{2}; \frac{7}{2})

; trục

x = \frac{1}{2}

; qua

(0; 3), (1; 3), (- 1; - 1), (2; - 1)

; cắt

O x

tại

x = \frac{1 \pm 7}{2}

a = 1 > 0

;

I (- 1; 0)

; trục

x = - 1

; qua

(0; 1), (- 2; 1), (1; 4), (- 3; 4)

a = - 1 < 0

;

I (\frac{1}{2}; - \frac{3}{4})

; trục

x = \frac{1}{2}

;

Δ = 1 - 4 = - 3 < 0

; qua

(0; - 1), (1; - 1), (- 1; - 3), (2; - 3)

Vậy bốn parabol được vẽ như hình: a, c quay bề lõm lên; b, d quay bề lõm xuống.

2Cách 2. Dạng chính tắc và phép tịnh tiến.

Định hướng. Viết mỗi hàm thành $a (x - h)^{2} + k$ : đồ thị là parabol $y = a x^{2}$ tịnh tiến để đỉnh về $(h; k)$ .

y = (x - \frac{3}{2})^{2} - \frac{1}{4}

y = - 2 (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{7}{2}

y = (x + 1)^{2}

y = - (x - \frac{1}{2})^{2} - \frac{3}{4}

Vậy đồ thị lần lượt là parabol $y = x^{2}$ , $y = - 2 x^{2}$ , $y = x^{2}$ , $y = - x^{2}$ dời đỉnh về $(\frac{3}{2}; - \frac{1}{4})$ , $(\frac{1}{2}; \frac{7}{2})$ , $(- 1; 0)$ , $(\frac{1}{2}; - \frac{3}{4})$ .

3Cách 3. Bảng giá trị đối xứng quanh đỉnh.

Định hướng. Lấy các giá trị $x$ cách đều hai bên hoành độ đỉnh; tung độ lặp lại đối xứng nên chỉ phải tính một nửa.

x

0; 1; \frac{3}{2}; 2; 3

y

2; 0; - \frac{1}{4}; 0; 2

x

- 1; 0; \frac{1}{2}; 1; 2

y

- 1; 3; \frac{7}{2}; 3; - 1

x

- 3; - 2; - 1; 0; 1

y

4; 1; 0; 1; 4

x

- 1; 0; \frac{1}{2}; 1; 2

y

- 3; - 1; - \frac{3}{4}; - 1; - 3

Vậy nối các điểm của mỗi bảng thành đường cong trơn ta được bốn parabol như hình.

Nhận xét. Bảng đối xứng là cách tự kiểm tra: nếu hai giá trị đối xứng không bằng nhau thì đã tính sai đỉnh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm bài dùng Cách 1 kết hợp bảng của Cách 3: bốn bước cho khung chắc chắn, bảng đối xứng giúp vẽ đẹp và tự kiểm tra.

Đáp số. a) Đỉnh

(\frac{3}{2}; - \frac{1}{4})

, cắt

O x

tại

1

và

2

, cắt

O y

tại

2

; b) đỉnh

(\frac{1}{2}; \frac{7}{2})

, cắt

O y

tại

3

, cắt

O x

tại

\frac{1 \pm 7}{2}

; c) đỉnh

(- 1; 0)

tiếp xúc

O x

, cắt

O y

tại

1

; d) đỉnh

(\frac{1}{2}; - \frac{3}{4})

, không cắt

O x

, cắt

O y

tại

- 1

Sai lầm thường gặp. Vẽ parabol câu d cắt trục hoành chỉ vì "parabol nào cũng cắt" — thực ra

Δ = - 3 < 0

nên nằm hoàn toàn dưới trục hoành. Vẽ đồ thị gãy khúc nhọn tại đỉnh, hoặc không đối xứng qua trục.

🚀 Mở rộng. Parabol

y = x^{2} - 3 x + m

cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi

m < \frac{9}{4}

; thử vẽ với

m = \frac{9}{4}

để thấy parabol tiếp xúc trục hoành.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 6.8★★Trang 16— Đọc tính đơn điệu của hàm số bậc hai

Bài 6.8 (trang 16). Từ các parabol đã vẽ ở Bài tập 6.7, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của mỗi hàm số bậc hai tương ứng.

Kiến thức cần nhớ

$a > 0$ : nghịch biến trên $(- \infty; - \frac{b}{2 a})$ , đồng biến trên $(- \frac{b}{2 a}; + \infty)$ .
$a < 0$ : đồng biến trên $(- \infty; - \frac{b}{2 a})$ , nghịch biến trên $(- \frac{b}{2 a}; + \infty)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tính đơn điệu của hàm bậc hai chỉ phụ thuộc hai thứ: dấu của

a

và hoành độ đỉnh. Trên đồ thị: đi từ trái sang phải, đường cong đi lên là đồng biến, đi xuống là nghịch biến. Bẫy: đem tung độ đỉnh ghi vào khoảng.

1Cách 1. Đọc trên đồ thị đã vẽ.

Định hướng. Nhìn phần đồ thị hai bên trục đối xứng: đi lên hay đi xuống khi $x$ tăng.

a) Bên trái

x = \frac{3}{2}

đi xuống, bên phải đi lên
b) Bên trái

x = \frac{1}{2}

đi lên, bên phải đi xuống
c) Bên trái

x = - 1

đi xuống, bên phải đi lên
d) Bên trái

x = \frac{1}{2}

đi lên, bên phải đi xuống

Vậy a) nghịch biến trên $(- \infty; \frac{3}{2})$ , đồng biến trên $(\frac{3}{2}; + \infty)$ ; b) đồng biến trên $(- \infty; \frac{1}{2})$ , nghịch biến trên $(\frac{1}{2}; + \infty)$ ; c) nghịch biến trên $(- \infty; - 1)$ , đồng biến trên $(- 1; + \infty)$ ; d) đồng biến trên $(- \infty; \frac{1}{2})$ , nghịch biến trên $(\frac{1}{2}; + \infty)$ .

2Cách 2. Áp bảng tính chất theo dấu của a.

Định hướng. Chỉ cần dấu $a$ và $- \frac{b}{2 a}$ là điền được ngay.

a = 1 > 0

- \frac{b}{2 a} = \frac{3}{2}

a = - 2 < 0

- \frac{b}{2 a} = \frac{1}{2}

a = 1 > 0

- \frac{b}{2 a} = - 1

a = - 1 < 0

- \frac{b}{2 a} = \frac{1}{2}

Vậy kết quả như Cách 1.

3Cách 3. Xét dấu tỉ số biến thiên.

Định hướng. Với $x_{1} \neq = x_{2}$ : $\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{2} )}{x _{1} - x _{2}} = a (x_{1} + x_{2}) + b$ ; hàm đồng biến trên khoảng mà tỉ số này dương.

\frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{2} )}{x _{1} - x _{2}} = x_{1} + x_{2} - 3

: dương khi

x_{1}, x_{2} > \frac{3}{2}

, âm khi

x_{1}, x_{2} < \frac{3}{2}

- 2 (x_{1} + x_{2}) + 2

: dương khi

x_{1}, x_{2} < \frac{1}{2}

, âm khi

x_{1}, x_{2} > \frac{1}{2}

x_{1} + x_{2} + 2

: dương khi

x_{1}, x_{2} > - 1

, âm khi

x_{1}, x_{2} < - 1

- (x_{1} + x_{2}) + 1

: dương khi

x_{1}, x_{2} < \frac{1}{2}

, âm khi

x_{1}, x_{2} > \frac{1}{2}

Vậy a, c nghịch biến bên trái và đồng biến bên phải hoành độ đỉnh; b, d đồng biến bên trái và nghịch biến bên phải hoành độ đỉnh, với các khoảng cụ thể như Cách 1.

Nhận xét. Cách 3 là chứng minh bằng định nghĩa, không phụ thuộc hình vẽ — chính là lí do bảng tính chất ở SGK đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ đọc dấu

a

và hoành độ đỉnh, bốn câu điền xong trong nửa phút.

Đáp số. a) NB

(- \infty; \frac{3}{2})

, ĐB

(\frac{3}{2}; + \infty)

; b) ĐB

(- \infty; \frac{1}{2})

, NB

(\frac{1}{2}; + \infty)

; c) NB

(- \infty; - 1)

, ĐB

(- 1; + \infty)

; d) ĐB

(- \infty; \frac{1}{2})

, NB

(\frac{1}{2}; + \infty)

Sai lầm thường gặp. Viết khoảng theo tung độ, chẳng hạn câu b ghi "đồng biến trên

(- \infty; \frac{7}{2})

" — khoảng đơn điệu luôn là khoảng của biến

x

, mốc là hoành độ đỉnh

\frac{1}{2}

🚀 Mở rộng. Hàm

y = x^{2} - 2 m x + 1

đồng biến trên

(1; + \infty)

khi và chỉ khi hoành độ đỉnh

m \leq 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 6.9★★★Trang 16— Xác định hàm số bậc hai từ các điều kiện của đồ thị

Bài 6.9 (trang 16). Xác định parabol

y = a x^{2} + b x + 1

, trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua hai điểm

A (1; 0)

và

B (2; 4)

;
b) Đi qua điểm

A (1; 0)

và có trục đối xứng

x = 1

;
c) Có đỉnh

I (1; 2)

;
d) Đi qua điểm

C (- 1; 1)

và có tung độ đỉnh bằng

- 0, 25

Kiến thức cần nhớ

Điểm $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc parabol $\Leftrightarrow y_{0} = a x_{0}^{2} + b x_{0} + c$ .
Đỉnh $I (x_{I}; y_{I})$ : $x_{I} = - \frac{b}{2 a}$ , $y_{I} = - \frac{Δ}{4 a}$ ; hai điểm cùng tung độ thì đối xứng qua trục.

🧠 Phân tích tư duy

Hệ số

c = 1

đã biết nên mỗi câu chỉ cần hai phương trình cho

a, b

. Mỗi dữ kiện "đi qua điểm", "trục đối xứng", "đỉnh", "tung độ đỉnh" đổi được thành một phương trình. Câu d là phương trình bậc hai theo

a

, phải loại nghiệm

a = 0

1Cách 1. Lập hệ hai phương trình ẩn a, b.

Định hướng. Chuyển mỗi dữ kiện thành một phương trình rồi giải hệ.

{a + b + 1 = 0 4 a + 2 b + 1 = 4 \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ a + b = - 1 2 a + b = \frac{3}{2} \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ a = \frac{5}{2} b = - \frac{7}{2}

⎩ ⎨ ⎧ a + b + 1 = 0 - \frac{b}{2 a} = 1 \Leftrightarrow {a + b = - 1 b = - 2 a \Leftrightarrow {a = 1 b = - 2

⎩ ⎨ ⎧ - \frac{b}{2 a} = 1 a + b + 1 = 2 \Leftrightarrow {b = - 2 a - a = 1 \Leftrightarrow {a = - 1 b = 2

⎩ ⎨ ⎧ a - b + 1 = 1 - \frac{b ^{2} - 4 a}{4 a} = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow {b = a b^{2} - 4 a = a \Leftrightarrow {b = a a^{2} = 5 a \Leftrightarrow a = b = 5

(vì

a \neq = 0

)

Vậy a) $y = \frac{5}{2} x^{2} - \frac{7}{2} x + 1$ ; b) $y = x^{2} - 2 x + 1$ ; c) $y = - x^{2} + 2 x + 1$ ; d) $y = 5 x^{2} + 5 x + 1$ .

2Cách 2. Dùng dạng tích và dạng đỉnh.

Định hướng. Biết nghiệm thì viết dạng tích; biết đỉnh (hoặc trục) thì viết dạng $a (x - h)^{2} + k$ ; hằng số $1$ cho phương trình còn lại.

A (1; 0)

và

c = 1

y = (x - 1) (m x - 1)

;

B

(2 - 1) (2 m - 1) = 4 \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}

y = (x - 1) (\frac{5}{2} x - 1) = \frac{5}{2} x^{2} - \frac{7}{2} x + 1

A (1; 0)

nằm trên trục

x = 1

nên là đỉnh:

y = a (x - 1)^{2}

;

x = 0

a = 1

y = x^{2} - 2 x + 1

y = a (x - 1)^{2} + 2

;

x = 0

a + 2 = 1 \Leftrightarrow a = - 1

y = - x^{2} + 2 x + 1

y = a (x - h)^{2} - \frac{1}{4}

;

a h^{2} = \frac{5}{4}

và

a (1 + h)^{2} = \frac{5}{4}

(1 + h)^{2} = h^{2} \Leftrightarrow h = - \frac{1}{2}

a = 5

y = 5 (x + \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4} = 5 x^{2} + 5 x + 1

Vậy bốn parabol như Cách 1.

3Cách 3. Tính đối xứng và hiệu cấp hai.

Định hướng. Dùng điểm $(0; 1)$ luôn có sẵn, tìm điểm đối xứng với nó qua trục; hiệu cấp hai với bước $d$ bằng $2 a d^{2}$ .

f (0), f (1), f (2) = 1; 0; 4

2 a = 4 - 0 + 1 = 5 \Rightarrow a = \frac{5}{2}

b = f (1) - a - 1 = - \frac{7}{2}

A (1; 0)

là đỉnh,

(0; 1)

đối xứng thành

(2; 1)

2 a = 1 - 0 + 1 = 2 \Rightarrow a = 1

b = - 2 a = - 2

(0; 1)

đối xứng qua

x = 1

thành

(2; 1)

2 a = 1 - 2 \cdot 2 + 1 = - 2 \Rightarrow a = - 1

b = 2

C (- 1; 1)

và

(0; 1)

cùng tung độ

\Rightarrow

trục

x = - \frac{1}{2}

, đỉnh

(- \frac{1}{2}; - \frac{1}{4})

bước

\frac{1}{2}

2 a \cdot \frac{1}{4} = 1 - 2 \cdot (- \frac{1}{4}) + 1 = \frac{5}{2} \Rightarrow a = 5

b = - 2 a \cdot (- \frac{1}{2}) = 5

Vậy a) $y = \frac{5}{2} x^{2} - \frac{7}{2} x + 1$ ; b) $y = x^{2} - 2 x + 1$ ; c) $y = - x^{2} + 2 x + 1$ ; d) $y = 5 x^{2} + 5 x + 1$ .

Nhận xét. Câu d theo cách này không phải giải phương trình bậc hai và không có nghiệm ngoại lai $a = 0$ cần loại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: dạng đỉnh cho câu b, c chỉ một dòng; câu d thì Cách 3 (nhận ra

C (- 1; 1)

và

(0; 1)

cùng tung độ) là nhanh nhất.

Đáp số. a)

y = \frac{5}{2} x^{2} - \frac{7}{2} x + 1

; b)

y = x^{2} - 2 x + 1

; c)

y = - x^{2} + 2 x + 1

; d)

y = 5 x^{2} + 5 x + 1

Sai lầm thường gặp. Câu d giữ cả nghiệm

a = 0

(khi đó hàm không còn là bậc hai); hoặc lập phương trình tung độ đỉnh là

\frac{Δ}{4 a} = - 0, 25

(quên dấu trừ) nên ra

a^{2} = 3 a

a = 3

— thử lại tung độ đỉnh của

3 x^{2} + 3 x + 1

là

\frac{1}{4}

, sai.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: parabol

y = a x^{2} + b x + c

đi qua

(x_{0}; c)

với

x_{0} \neq = 0

thì trục đối xứng là

x = \frac{x _{0}}{2}

— đây là cách nhanh nhất để khai thác dữ kiện "đi qua điểm có tung độ bằng

c

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 6.10★★Trang 16— Xác định parabol biết đỉnh và một điểm

Bài 6.10 (trang 16). Xác định parabol

y = a x^{2} + b x + c

, biết rằng parabol đó đi qua điểm

A (8; 0)

và có đỉnh là

I (6; - 12)

.
Gợi ý. Phương trình parabol có thể viết dưới dạng

y = a (x - h)^{2} + k

, trong đó

I (h; k)

là toạ độ đỉnh của parabol.

Kiến thức cần nhớ

Parabol có đỉnh $I (h; k)$ : $y = a (x - h)^{2} + k$ .
Parabol cắt $O x$ tại $x_{1}, x_{2}$ : $y = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biết đỉnh là biết hai trong ba hệ số theo nghĩa dạng

a (x - 6)^{2} - 12

, chỉ còn một ẩn

a

. Điểm

A (8; 0)

nằm trên trục hoành nên điểm đối xứng

A^{'} (4; 0)

cũng là giao điểm với trục hoành, mở ra cách dạng tích.

1Cách 1. Lập hệ ba phương trình.

Định hướng. Đỉnh cho hai phương trình (hoành độ đỉnh và điểm $I$ thuộc đồ thị), điểm $A$ cho phương trình thứ ba.

⎩ ⎨ ⎧ - \frac{b}{2 a} = 6 36 a + 6 b + c = - 12 64 a + 8 b + c = 0 \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ b = - 12 a - 36 a + c = - 12 - 32 a + c = 0 \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ a = 3 b = - 36 c = 96

Vậy $y = 3 x^{2} - 36 x + 96$ .

2Cách 2. Dạng đỉnh (theo gợi ý).

Định hướng. Thay đỉnh vào $a (x - h)^{2} + k$ , dùng $A$ tìm $a$ .

y = a (x - 6)^{2} - 12

A (8; 0)

a \cdot 2^{2} - 12 = 0 \Leftrightarrow a = 3

y = 3 (x - 6)^{2} - 12 = 3 (x^{2} - 12 x + 36) - 12 = 3 x^{2} - 36 x + 96

Vậy $y = 3 x^{2} - 36 x + 96$ .

3Cách 3. Điểm đối xứng và dạng tích.

Định hướng. $A (8; 0)$ đối xứng qua trục $x = 6$ được $A^{'} (4; 0)$ , nên parabol cắt $O x$ tại $4$ và $8$ .

y = a (x - 4) (x - 8)

I (6; - 12)

a \cdot 2 \cdot (- 2) = - 12 \Leftrightarrow a = 3

y = 3 (x - 4) (x - 8) = 3 (x^{2} - 12 x + 32) = 3 x^{2} - 36 x + 96

Vậy $y = 3 x^{2} - 36 x + 96$ .

Nhận xét. Thử lại nhanh: $y (8) = 192 - 288 + 96 = 0$ và $y (6) = 108 - 216 + 96 = - 12$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đúng hướng gợi ý của đề, chỉ một phương trình bậc nhất ẩn

a

Đáp số.

y = 3 x^{2} - 36 x + 96

Sai lầm thường gặp. Viết dạng đỉnh thành

a (x + 6)^{2} - 12

(sai dấu của

h

), dẫn tới

a \cdot 196 = 12

và kết quả vô lí. Hoặc khai triển

3 (x - 6)^{2} - 12

thành

3 x^{2} - 36 x + 36

— quên nhân

3

vào

36

🚀 Mở rộng. Tổng quát: parabol có đỉnh

I (h; k)

đi qua

A (h + d; 0)

thì

a = - \frac{k}{d ^{2}}

; ở đây

a = \frac{12}{4} = 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 6.11★★Trang 16— Liên hệ vị trí parabol với trục hoành và dấu của

a

Δ

Bài 6.11 (trang 16). Gọi

(P)

là đồ thị hàm số bậc hai

y = a x^{2} + b x + c

. Hãy xác định dấu của hệ số

a

và biệt thức

Δ

, trong mỗi trường hợp sau:
a)

(P)

nằm hoàn toàn phía trên trục hoành;
b)

(P)

nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành;
c)

(P)

cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía dưới trục hoành;
d)

(P)

tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành.

Kiến thức cần nhớ

Số giao điểm của $(P)$ với $O x$ bằng số nghiệm của $a x^{2} + b x + c = 0$ : $Δ > 0$ hai điểm, $Δ = 0$ một điểm (tiếp xúc), $Δ < 0$ không có.
Tung độ đỉnh $y_{I} = - \frac{Δ}{4 a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dấu của

a

cho biết parabol quay lên hay xuống; dấu của

Δ

cho biết số giao điểm với trục hoành. Tung độ đỉnh

- \frac{Δ}{4 a}

gói cả hai dấu vào một biểu thức. Cần phân biệt "nằm phía trên" (không cắt) với "tiếp xúc" (một điểm chung).

1Cách 1. Bề lõm và số giao điểm.

Định hướng. Nằm phía trên trục hoành với mọi $x$ thì phải quay lên; số điểm chung với $O x$ cho dấu $Δ$ .

a) Quay lên, không cắt

O x

a > 0, Δ < 0

b) Quay xuống, không cắt

O x

a < 0, Δ < 0

c) Hai giao điểm:

Δ > 0

; đỉnh dưới

O x

mà vẫn cắt

O x

nên quay lên:

a > 0

d) Một điểm chung:

Δ = 0

; nằm phía trên:

a > 0

Vậy a) $a > 0, Δ < 0$ ; b) $a < 0, Δ < 0$ ; c) $a > 0, Δ > 0$ ; d) $a > 0, Δ = 0$ .

2Cách 2. Dấu của tung độ đỉnh.

Định hướng. Vị trí đỉnh so với $O x$ là dấu của $- \frac{Δ}{4 a}$ ; kết hợp với bề lõm.

a > 0

, đỉnh ở trên:

- \frac{Δ}{4 a} > 0 \Rightarrow Δ < 0

a < 0

, đỉnh ở dưới:

- \frac{Δ}{4 a} < 0 \Rightarrow Δ < 0

a > 0

(đỉnh là điểm thấp nhất, dưới

O x

- \frac{Δ}{4 a} < 0 \Rightarrow Δ > 0

a > 0

, đỉnh trên

O x

- \frac{Δ}{4 a} = 0 \Rightarrow Δ = 0

Vậy a) $a > 0, Δ < 0$ ; b) $a < 0, Δ < 0$ ; c) $a > 0, Δ > 0$ ; d) $a > 0, Δ = 0$ .

3Cách 3. Dạng chính tắc và dấu của y với mọi x.

Định hướng. Viết $y = a [(x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a ^{2}}]$ : dấu của $y$ với mọi $x$ phụ thuộc $a$ và $Δ$ .

Δ < 0 \Rightarrow (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a ^{2}} > 0

với mọi

x

\Rightarrow y

cùng dấu

a

với mọi

x

y > 0

với mọi

x

\Leftrightarrow a > 0, Δ < 0

; b)

y < 0

với mọi

x

\Leftrightarrow a < 0, Δ < 0

Δ = 0 \Rightarrow y = a (x + \frac{b}{2 a})^{2}

: d)

y \geq 0

\Leftrightarrow a > 0

Δ > 0

y

đổi dấu, hai nghiệm; c) giá trị nhỏ nhất âm

\Rightarrow a > 0

Vậy a) $a > 0, Δ < 0$ ; b) $a < 0, Δ < 0$ ; c) $a > 0, Δ > 0$ ; d) $a > 0, Δ = 0$ .

Nhận xét. Đây chính là nền tảng của định lí về dấu tam thức bậc hai sẽ học ở Bài 17.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: vẽ nhanh một parabol phác trong đầu, đọc bề lõm ra dấu

a

, đếm giao điểm ra dấu

Δ

Đáp số. a)

a > 0

Δ < 0

; b)

a < 0

Δ < 0

; c)

a > 0

Δ > 0

; d)

a > 0

Δ = 0

Sai lầm thường gặp. Câu c kết luận "

a

tuỳ ý" vì chỉ chú ý hai giao điểm — nhưng đỉnh nằm dưới trục hoành mà parabol vẫn cắt trục hoành thì bắt buộc quay lên,

a > 0

(nếu

a < 0

và đỉnh dưới

O x

thì

(P)

không cắt

O x

🚀 Mở rộng. Nếu

(P)

cắt

O x

tại hai điểm và có đỉnh nằm phía trên trục hoành thì

a < 0, Δ > 0

— tổng quát: đỉnh và bề lõm "trái chiều" với trục hoành thì luôn có hai giao điểm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 6.12★★★Trang 16— Mô hình hoá cổng parabol, tính chiều cao đỉnh

Bài 6.12 (trang 16). Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau.
An nói: Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói rằng cổng Đại học Bách khoa Hà Nội (H.6.14) có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là $8$ m và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng $0, 5$ m là $2, 93$ m. Từ đó tớ tính ra được chiều cao của cổng parabol đó là $12$ m.
Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra ở trên là không chính xác.
Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy tính chiều cao của cổng Đại học Bách khoa Hà Nội để xem kết quả bạn An tính được có chính xác không nhé!

Kiến thức cần nhớ

Parabol qua $O (0; 0)$ và $B (8; 0)$ : $y = a x (x - 8)$ .
Chiều cao cổng là tung độ đỉnh, đạt tại trung điểm hai chân cổng.

🧠 Phân tích tư duy

Cùng dạng với Vận dụng 2: chọn hai chân cổng là

O (0; 0)

và

B (8; 0)

, điểm

M (0, 5; 2, 93)

thuộc parabol. Đỉnh nằm trên trục

x = 4

nên chiều cao là

y (4)

. Chỉ cần tính đúng đến hàng phần trăm là thấy

12

m lệch khoảng nửa mét.

1Cách 1. Lập hệ theo y = ax² + bx.

Định hướng. Parabol đi qua gốc nên $c = 0$ ; thay $B$ và $M$ .

B (8; 0)

64 a + 8 b = 0 \Leftrightarrow b = - 8 a

M (0, 5; 2, 93)

0, 25 a + 0, 5 b = 2, 93 \Leftrightarrow 0, 25 a - 4 a = 2, 93

a = - \frac{2 , 93}{3 , 75} \approx - 0, 7813

y (4) = 16 a + 4 b = 16 a - 32 a = - 16 a = \frac{16 \cdot 2 , 93}{3 , 75} \approx 12, 50

Vậy chiều cao cổng khoảng $12, 5$ m, nên con số $12$ m của An không chính xác (Bình nói đúng).

2Cách 2. Dạng tích qua hai chân cổng.

Định hướng. Một ẩn $a$ duy nhất, xác định bằng điểm $M$ .

y = a x (x - 8)

2, 93 = a \cdot 0, 5 \cdot (0, 5 - 8) = - 3, 75 a \Leftrightarrow a = - \frac{2 , 93}{3 , 75}

h = y (4) = a \cdot 4 \cdot (- 4) = \frac{16 \cdot 2 , 93}{3 , 75} = \frac{46 , 88}{3 , 75} \approx 12, 50

Vậy cổng cao khoảng $12, 50$ m; kết quả $12$ m của An là sai.

3Cách 3. Công thức tỉ lệ quanh trục đối xứng.

Định hướng. Nửa khoảng cách hai chân là $ℓ = 4$ , điểm $M$ cách trục $d = 3, 5$ ; khi đó $y_{M} = h [1 - (\frac{d}{ℓ})^{2}]$ .

2, 93 = h [1 - (\frac{3 , 5}{4})^{2}] = h (1 - 0, 765625) = 0, 234375 h

h = \frac{2 , 93}{0 , 234375} \approx 12, 50

Vậy chiều cao cổng xấp xỉ $12, 5$ m, không phải $12$ m.

Nhận xét. Ngược lại, nếu cổng cao đúng $12$ m thì điểm cách chân $0, 5$ m chỉ cao $12 \cdot 0, 234375 = 2, 8125$ m chứ không phải $2, 93$ m.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (dạng tích): một ẩn, một phép chia; nếu đã làm Vận dụng 2 thì Cách 3 ra kết quả chỉ trong một dòng.

Đáp số. Chiều cao cổng khoảng

12, 5

m (chính xác là

\frac{4688}{375} \approx 12, 50

m), nên kết quả

12

m của An không chính xác.

Sai lầm thường gặp. Đặt điểm

M

tại

x = 7, 5

nhưng vẫn dùng khoảng cách

0, 5

tới trục đối xứng; hoặc lấy chiều cao tại

x = 8

(chân cổng, bằng

0

). Làm tròn

a \approx - 0, 78

rồi mới tính

h = 12, 48

m cũng lệch không cần thiết.

🚀 Mở rộng. Với cổng rộng

2 ℓ

và một điểm cách chân

e

mét có độ cao

y_{M}

, chiều cao cổng là

h = \frac{ℓ ^{2} y _{M}}{e ( 2 ℓ - e )}

; ở đây

h = \frac{16 \cdot 2 , 93}{0 , 5 \cdot 7 , 5}

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 6.13★★Trang 16— Bài toán diện tích lớn nhất với chu vi cho trước

Bài 6.13 (trang 16). Bác Hùng dùng

40

m lưới thép gai rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.
a) Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng

x

(mét) của nó.
b) Tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác Hùng có thể rào được.

Kiến thức cần nhớ

Chu vi hình chữ nhật bằng hai lần tổng chiều dài và chiều rộng.
Hàm $y = - x^{2} + 20 x$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = 10$ .

🧠 Phân tích tư duy

Lưới rào đủ bốn cạnh nên

40

m là chu vi, nửa chu vi

20

m; chiều dài là

20 - x

. Diện tích là hàm bậc hai quay xuống, lớn nhất tại đỉnh. Khác với bài mở đầu (rào ba mặt), ở đây kết quả là hình vuông.

1Cách 1. Hàm bậc hai và toạ độ đỉnh.

Định hướng. Lập $S (x)$ , dùng hoành độ đỉnh.

a) Chiều dài

20 - x

0 < x < 20

S (x) = x (20 - x) = - x^{2} + 20 x

a = - 1 < 0

x_{I} = - \frac{20}{2 \cdot ( - 1 )} = 10

S (10) = - 100 + 200 = 100

chiều dài

20 - 10 = 10

Vậy $S (x) = - x^{2} + 20 x$ (m²); mảnh vườn có diện tích lớn nhất là hình vuông cạnh $10$ m, diện tích $100 m^{2}$ .

2Cách 2. Biến đổi bình phương.

Định hướng. Viết $S$ thành $100$ trừ một bình phương.

S (x) = - x^{2} + 20 x = - (x^{2} - 20 x + 100) + 100 = 100 - (x - 10)^{2} \leq 100

S = 100 \Leftrightarrow x = 10

Vậy kích thước $10 m \times 10 m$ , diện tích lớn nhất $100 m^{2}$ .

3Cách 3. Bất đẳng thức Cô-si.

Định hướng. Tổng hai kích thước $x + (20 - x) = 20$ không đổi nên tích lớn nhất khi hai kích thước bằng nhau.

S = x (20 - x) \leq (\frac{x + 20 - x}{2})^{2} = 1 0^{2} = 100

S = 100 \Leftrightarrow x = 20 - x \Leftrightarrow x = 10

Vậy mảnh vườn là hình vuông cạnh $10$ m, diện tích $100 m^{2}$ .

Nhận xét. Trong các hình chữ nhật cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: Cô-si cho kết quả trong một dòng và giải thích ngay vì sao là hình vuông.

Đáp số. a)

S (x) = x (20 - x) = - x^{2} + 20 x

(m²),

0 < x < 20

; b) hình vuông cạnh

10

m, diện tích lớn nhất

100 m^{2}

Sai lầm thường gặp. Viết chiều dài là

40 - x

(lấy cả chu vi trừ chiều rộng) nên

S = x (40 - x)

, ra

x = 20

và "hình vuông

20 \times 20

" có chu vi

80

m — gấp đôi số lưới.

🚀 Mở rộng. Nếu một cạnh của vườn áp vào tường (chỉ rào ba mặt) thì với

40

m lưới, diện tích lớn nhất là

\frac{4 0 ^{2}}{8} = 200 m^{2}

— gấp đôi, như ở bài Mở đầu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 6.14★★★Trang 16— Ứng dụng parabol: độ cao cực đại và tầm xa của vật ném

Bài 6.14 (trang 16–17). Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc

O

(được chọn là điểm ném) trong mặt phẳng toạ độ

O x y

là một parabol có phương trình

y = \frac{- 3}{1 000} x^{2} + x

, trong đó

x

(mét) là khoảng cách theo phương ngang trên mặt đất từ vị trí của vật đến gốc

O

y

(mét) là độ cao của vật so với mặt đất (H.6.15).
a) Tìm độ cao lớn nhất của vật trong quá trình bay.
b) Tính khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc

O

. Khoảng cách này gọi là tầm xa của quỹ đạo.

Kiến thức cần nhớ

Parabol $y = a x^{2} + b x$ ( $a < 0$ ) đạt giá trị lớn nhất $- \frac{b ^{2}}{4 a}$ tại $x = - \frac{b}{2 a}$ .
Hoành độ đỉnh bằng trung bình cộng hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ của $y = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Độ cao lớn nhất là tung độ đỉnh vì

a = - \frac{3}{1 000} < 0

. Tầm xa là nghiệm dương của

y = 0

. Hai nghiệm

0

và tầm xa đối xứng qua trục, nên đỉnh nằm chính giữa — hai câu hỏi liên hệ chặt chẽ với nhau.

1Cách 1. Công thức toạ độ đỉnh và giải phương trình.

Định hướng. Tung độ đỉnh cho độ cao lớn nhất; nghiệm khác $0$ của $y = 0$ cho tầm xa.

a = - \frac{3}{1 000}, b = 1, c = 0

Δ = 1

x_{I} = - \frac{1}{2 \cdot ( - \frac{3}{1 000} )} = \frac{500}{3}, y_{I} = - \frac{Δ}{4 a} = \frac{1 000}{12} = \frac{250}{3} \approx 83, 33

- \frac{3}{1 000} x^{2} + x = 0 \Leftrightarrow x (1 - \frac{3 x}{1 000}) = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = \frac{1 000}{3}

Vậy độ cao lớn nhất $\frac{250}{3} \approx 83, 33$ m; tầm xa $\frac{1 000}{3} \approx 333, 33$ m.

2Cách 2. Dạng chính tắc.

Định hướng. Tách bình phương để đọc giá trị lớn nhất, rồi giải $y = 0$ từ dạng chính tắc.

y = - \frac{3}{1 000} (x^{2} - \frac{1 000}{3} x) = - \frac{3}{1 000} (x - \frac{500}{3})^{2} + \frac{3}{1 000} \cdot \frac{250 000}{9}

y = - \frac{3}{1 000} (x - \frac{500}{3})^{2} + \frac{250}{3} \leq \frac{250}{3}

y = 0 \Leftrightarrow (x - \frac{500}{3})^{2} = \frac{250 000}{9} \Leftrightarrow x - \frac{500}{3} = \pm \frac{500}{3}

Vậy độ cao lớn nhất $\frac{250}{3} \approx 83, 33$ m (tại $x = \frac{500}{3}$ ); vật chạm đất tại $x = \frac{1 000}{3}$ , tầm xa $\approx 333, 33$ m.

3Cách 3. Tầm xa trước, đỉnh sau.

Định hướng. Nghiệm của $y = 0$ nhẩm được ngay; đỉnh nằm chính giữa hai nghiệm.

y = x (1 - \frac{3 x}{1 000}) = 0 \Rightarrow x_{1} = 0, x_{2} = \frac{1 000}{3}

x_{I} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 000}{3} = \frac{500}{3}

y_{I} = \frac{500}{3} (1 - \frac{3}{1 000} \cdot \frac{500}{3}) = \frac{500}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{250}{3}

Vậy độ cao lớn nhất khoảng $83, 33$ m, tầm xa khoảng $333, 33$ m.

Nhận xét. Với quỹ đạo $y = a x^{2} + x$ luôn có độ cao lớn nhất bằng một phần tư tầm xa: $\frac{250}{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 000}{3}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: dạng tích

x (1 - \frac{3 x}{1 000})

cho tầm xa ngay, lấy trung điểm ra đỉnh, tránh được phép chia phân số phức tạp trong công thức

- \frac{Δ}{4 a}

Đáp số. a) Độ cao lớn nhất

\frac{250}{3} \approx 83, 33

m; b) tầm xa

\frac{1 000}{3} \approx 333, 33

Sai lầm thường gặp. Trả lời câu a bằng hoành độ đỉnh

\frac{500}{3}

(đó là khoảng cách ngang, không phải độ cao). Câu b ghi cả nghiệm

x = 0

— đó là điểm ném, không phải điểm chạm đất.

🚀 Mở rộng. Với quỹ đạo

y = - k x^{2} + x

(

k > 0

), tầm xa là

\frac{1}{k}

và độ cao lớn nhất là

\frac{1}{4 k}

; thử kiểm tra với

k = \frac{3}{1 000}

Mở bài này trong app ↗