Chương VI. Hàm số, đồ thị và ứng dụng

Bài 17. Dấu của tam thức bậc hai

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 6.21★★Trang 18— Xét dấu tam thức bậc hai

Bài 6.21 (trang 18). Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a)

f (x) = - x^{2} + 6 x + 7

;

g (x) = 3 x^{2} - 2 x + 2

;
c)

h (x) = - 16 x^{2} + 24 x - 9

;

k (x) = 2 x^{2} - 6 x + 1

Kiến thức cần nhớ

Định lí về dấu của tam thức bậc hai (có thể dùng $Δ^{'}$ thay $Δ$ ).
$- (4 x - 3)^{2} \leq 0$ với mọi $x$ , dấu bằng khi $x = \frac{3}{4}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn tam thức phủ đủ ba trường hợp của

Δ

: a) và d) có hai nghiệm, b) vô nghiệm, c) là âm của một bình phương. Hệ số

b

đều chẵn nên dùng

Δ^{'}

cho gọn. Bẫy: a) và c) có

a < 0

1Cách 1. Định lí về dấu với biệt thức thu gọn.

Định hướng. Tính $Δ^{'}$ , xét dấu $a$ , lập bảng xét dấu khi có hai nghiệm.

Δ^{'} = 9 + 7 = 16 > 0

x_{1} = \frac{- 3 + 4}{- 1} = - 1

x_{2} = \frac{- 3 - 4}{- 1} = 7

a = - 1 < 0

$x$	$- \infty$		$- 1$		$7$		$+ \infty$
$f (x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Δ^{'} = 1 - 6 = - 5 < 0

a = 3 > 0

\Rightarrow g (x) > 0

với mọi

x \in R

Δ^{'} = 144 - 144 = 0

, nghiệm kép

x = \frac{- 12}{- 16} = \frac{3}{4}

a = - 16 < 0

$x$	$- \infty$		$\frac{3}{4}$		$+ \infty$
$h (x)$		$-$	$0$	$-$

Δ^{'} = 9 - 2 = 7 > 0

x_{1, 2} = \frac{3 \mp 7}{2}

a = 2 > 0

$x$	$- \infty$		$\frac{3 - 7}{2}$		$\frac{3 + 7}{2}$		$+ \infty$
$k (x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Vậy a) $f > 0$ trên $(- 1; 7)$ , $f < 0$ trên $(- \infty; - 1) \cup (7; + \infty)$ ; b) $g > 0$ với mọi $x$ ; c) $h < 0$ với mọi $x \neq = \frac{3}{4}$ , $h (\frac{3}{4}) = 0$ ; d) $k < 0$ trên $(\frac{3 - 7}{2}; \frac{3 + 7}{2})$ , $k > 0$ ngoài đoạn đó.

2Cách 2. Phân tích nhân tử và hằng đẳng thức.

Định hướng. a) hai số có tích $(- 1) \cdot 7 = - 7$ , tổng $6$ là $7$ và $- 1$ ; b), d) tách bình phương; c) nhận ra $- (4 x - 3)^{2}$ .

- x^{2} + 6 x + 7 = - x^{2} + 7 x - x + 7 = - x (x - 7) - (x - 7) = (x + 1) (7 - x)

$x$	$- \infty$		$- 1$		$7$		$+ \infty$
$x + 1$		$-$	$0$	$+$		$+$
$7 - x$		$+$		$+$	$0$	$-$
$f (x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

3 x^{2} - 2 x + 2 = 3 (x - \frac{1}{3})^{2} + \frac{5}{3} > 0

với mọi

x

- 16 x^{2} + 24 x - 9 = - (16 x^{2} - 24 x + 9) = - (4 x - 3)^{2} \leq 0

, bằng

0

khi

x = \frac{3}{4}

2 x^{2} - 6 x + 1 = 2 (x - \frac{3}{2})^{2} - \frac{7}{2}

;

k (x) < 0 \Leftrightarrow x - \frac{3}{2} < \frac{7}{2} \Leftrightarrow \frac{3 - 7}{2} < x < \frac{3 + 7}{2}

Vậy kết quả như Cách 1.

3Cách 3. Đỉnh parabol và chiều bề lõm.

Định hướng. Đỉnh $I (- \frac{b}{2 a}; - \frac{Δ ^{'}}{a})$ ; so vị trí đỉnh với $O x$ và chiều bề lõm.

a < 0

I (3; 16)

trên

O x

\Rightarrow

đồ thị cắt

O x

tại

- 1

7

; phần giữa ở trên

O x

a > 0

I (\frac{1}{3}; \frac{5}{3})

trên

O x

, bề lõm lên

\Rightarrow

đồ thị nằm hẳn trên

O x

a < 0

I (\frac{3}{4}; 0)

\Rightarrow

đồ thị dưới

O x

, tiếp xúc tại

x = \frac{3}{4}

a > 0

I (\frac{3}{2}; - \frac{7}{2})

dưới

O x

\Rightarrow

đồ thị cắt

O x

tại hai điểm, phần giữa ở dưới

O x

Vậy được đúng các kết luận về dấu như hai cách trên.

Nhận xét. Tung độ đỉnh $- \frac{Δ}{4 a}$ cho thấy vì sao dấu của $Δ$ quyết định số giao điểm với $O x$ : đỉnh và bề lõm "cùng phía" thì không cắt, "khác phía" thì cắt hai điểm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 với

Δ^{'}

vì cả bốn tam thức có

b

chẵn; ý c) nên nhận ra ngay hằng đẳng thức như Cách 2.

Đáp số. a)

f (x) > 0 \Leftrightarrow x \in (- 1; 7)

;

f (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; - 1) \cup (7; + \infty)

. b)

g (x) > 0

với mọi

x \in R

. c)

h (x) < 0

với mọi

x \neq = \frac{3}{4}

h (\frac{3}{4}) = 0

. d)

k (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (\frac{3 - 7}{2}; \frac{3 + 7}{2})

;

k (x) > 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; \frac{3 - 7}{2}) \cup (\frac{3 + 7}{2}; + \infty)

Sai lầm thường gặp. Ý a) lập bảng "

+

0

-

0

+

" như khi

a > 0

— sai, thử

f (0) = 7 > 0

thì

0 \in (- 1; 7)

phải dương. Ý c) quên điểm

x = \frac{3}{4}

mà viết "

h (x) < 0

với mọi

x

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để

- 16 x^{2} + 24 x + m < 0

với mọi

x

: cần

Δ^{'} = 144 + 16 m < 0

, tức

m < - 9

(ý c là trường hợp biên

m = - 9

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 6.22★★★Trang 18— Bất phương trình bậc hai và quy về bậc hai

Bài 6.22 (trang 18). Giải các bất phương trình sau:
a)

3 x^{2} - 36 x + 108 > 0

;

- x^{2} + 2 x - 2 \geq 0

;
c)

x^{4} - 3 x^{2} + 2 \leq 0

;

\frac{1}{x ^{2} - x + 1} \leq \frac{1}{2 x ^{2} + x + 2}

Kiến thức cần nhớ

$a > 0$ , $Δ = 0$ : $f (x) > 0$ với mọi $x \neq = - \frac{b}{2 a}$ .
Với $A > 0$ , $B > 0$ : $\frac{1}{A} \leq \frac{1}{B} \Leftrightarrow B \leq A$ .
$1 \leq x^{2} \leq 2 \Leftrightarrow 1 \leq ∣ x ∣ \leq 2$ .

🧠 Phân tích tư duy

a), b) là bất phương trình bậc hai trực tiếp (một ý có

Δ = 0

, một ý có

Δ < 0

). c) là trùng phương: đặt

t = x^{2}

đưa về bậc hai. d) có hai mẫu đều là tam thức luôn dương, nên nghịch đảo được và đổi chiều. Bẫy: ở d) không được "nhân chéo" khi chưa chắc mẫu dương.

1Cách 1. Định lí về dấu, đặt ẩn phụ, nghịch đảo hai vế dương.

Định hướng. a), b) xét dấu trực tiếp; c) đặt $t = x^{2} \geq 0$ ; d) chứng minh hai mẫu dương rồi nghịch đảo.

3 x^{2} - 36 x + 108

Δ^{'} = 324 - 324 = 0

, nghiệm kép

x = 6

a = 3 > 0

\Rightarrow

dương với mọi

x \neq = 6

\Rightarrow S = R ∖ {6}

- x^{2} + 2 x - 2

Δ^{'} = 1 - 2 = - 1 < 0

a = - 1 < 0

\Rightarrow

âm với mọi

x

\Rightarrow S = \emptyset

t = x^{2} \geq 0

t^{2} - 3 t + 2 \leq 0

;

Δ = 9 - 8 = 1

t_{1} = 1

t_{2} = 2

a = 1 > 0

\Rightarrow 1 \leq t \leq 2

1 \leq x^{2} \leq 2 \Leftrightarrow 1 \leq ∣ x ∣ \leq 2 \Leftrightarrow - 2 \leq x \leq - 1

hoặc

1 \leq x \leq 2

x^{2} - x + 1

Δ = - 3 < 0

a > 0

;

2 x^{2} + x + 2

Δ = - 15 < 0

a > 0

\Rightarrow

hai mẫu dương với mọi

x

\frac{1}{x ^{2} - x + 1} \leq \frac{1}{2 x ^{2} + x + 2} \Leftrightarrow 2 x^{2} + x + 2 \leq x^{2} - x + 1 \Leftrightarrow x^{2} + 2 x + 1 \leq 0 \Leftrightarrow (x + 1)^{2} \leq 0 \Leftrightarrow x = - 1

Vậy a) $S = R ∖ {6}$ ; b) $S = \emptyset$ ; c) $S = [- 2; - 1] \cup [1; 2]$ ; d) $S = {- 1}$ .

2Cách 2. Phân tích nhân tử, lập bảng xét dấu tích và thương.

Định hướng. Đưa mọi vế trái về tích (thương) các nhân tử đơn giản; c) hai số có tổng $- 3$ , tích $2$ là $- 1$ và $- 2$ .

3 x^{2} - 36 x + 108 = 3 (x - 6)^{2} > 0 \Leftrightarrow x \neq = 6

- x^{2} + 2 x - 2 = - [(x - 1)^{2} + 1] \leq - 1 < 0

với mọi

x

\Rightarrow

vô nghiệm
c)

x^{4} - 3 x^{2} + 2 = x^{4} - x^{2} - 2 x^{2} + 2 = x^{2} (x^{2} - 1) - 2 (x^{2} - 1) = (x^{2} - 1) (x^{2} - 2)

$x$	$- \infty$		$- 2$		$- 1$		$1$		$2$		$+ \infty$
$x^{2} - 1$		$+$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$		$+$
$x^{2} - 2$		$+$	$0$	$-$		$-$		$-$	$0$	$+$
$x^{4} - 3 x^{2} + 2$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

\frac{1}{x ^{2} - x + 1} - \frac{1}{2 x ^{2} + x + 2} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{( 2 x ^{2} + x + 2 ) - ( x ^{2} - x + 1 )}{( x ^{2} - x + 1 ) ( 2 x ^{2} + x + 2 )} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{( x + 1 ) ^{2}}{( x ^{2} - x + 1 ) ( 2 x ^{2} + x + 2 )} \leq 0

mẫu dương

\Rightarrow (x + 1)^{2} \leq 0 \Leftrightarrow x = - 1

Vậy a) $x \neq = 6$ ; b) vô nghiệm; c) $- 2 \leq x \leq - 1$ hoặc $1 \leq x \leq 2$ ; d) $x = - 1$ .

3Cách 3. Đánh giá bằng bình phương (không lập bảng).

Định hướng. Viết các biểu thức thành tổng/hiệu bình phương để thấy ngay dấu; c) hoàn thành bình phương theo $x^{2}$ .

3 (x - 6)^{2} > 0 \Leftrightarrow x - 6 \neq = 0

- (x - 1)^{2} - 1 \geq 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2} \leq - 1

: vô lí
c)

x^{4} - 3 x^{2} + 2 = (x^{2} - \frac{3}{2})^{2} - \frac{1}{4} \leq 0 \Leftrightarrow x^{2} - \frac{3}{2} \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow 1 \leq x^{2} \leq 2

x = - 1

: hai vế cùng bằng

\frac{1}{3}

(thoả)

x \neq = - 1

(2 x^{2} + x + 2) - (x^{2} - x + 1) = (x + 1)^{2} > 0 \Rightarrow \frac{1}{2 x ^{2} + x + 2} < \frac{1}{x ^{2} - x + 1}

(không thoả)

Vậy a) $S = R ∖ {6}$ ; b) $S = \emptyset$ ; c) $S = [- 2; - 1] \cup [1; 2]$ ; d) $S = {- 1}$ .

Nhận xét. Ý d) thực chất là so sánh hai mẫu dương: bất phương trình chỉ đúng khi hai mẫu bằng nhau. Ý c) là trùng phương — đặt $t = x^{2}$ là cách chuẩn, nhưng bảng xét dấu tích (Cách 2) cho tập nghiệm trực quan nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là quy trình chuẩn; riêng ý c) nên dùng Cách 2 (bảng xét dấu hai thừa số

x^{2} - 1

x^{2} - 2

) để khỏi sót nhánh âm của

x

Đáp số. a)

S = R ∖ {6}

. b)

S = \emptyset

. c)

S = [- 2; - 1] \cup [1; 2]

. d)

S = {- 1}

Sai lầm thường gặp. Ý c) giải ra

1 \leq t \leq 2

rồi kết luận

1 \leq x \leq 2

— mất nhánh

- 2 \leq x \leq - 1

. Ý d) nhân chéo thành

2 x^{2} + x + 2 \leq x^{2} - x + 1

mà không chứng minh hai mẫu dương là lập luận thiếu (với mẫu âm chiều bất đẳng thức sẽ khác). Ý a) viết

S = R

là quên

x = 6

làm vế trái bằng

0

🚀 Mở rộng. Với bất phương trình trùng phương

x^{4} + p x^{2} + q \leq 0

: nếu

t^{2} + pt + q \leq 0

có

0 \leq t_{1} \leq t \leq t_{2}

thì

S = [- t_{2}; - t_{1}] \cup [t_{1}; t_{2}]

; nếu

t_{1} < 0 \leq t_{2}

thì

S = [- t_{2}; t_{2}]

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 6.23★★★Trang 18— Điều kiện nghiệm của phương trình bậc hai chứa tham số

Bài 6.23 (trang 18). Tìm các giá trị của tham số

m

để phương trình

x^{2} - 2 (m - 1) x + 4 m^{2} - m = 0

a) có hai nghiệm phân biệt;
b) có hai nghiệm trái dấu.

Kiến thức cần nhớ

$a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq = 0$ ) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ > 0$ .
Có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow a c < 0$ (vì khi đó $Δ = b^{2} - 4 a c > 0$ và $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} < 0$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Phương trình có

a = 1 \neq = 0

nên luôn là bậc hai. "Hai nghiệm phân biệt" dịch thành

Δ^{'} > 0

; "hai nghiệm trái dấu" dịch thành

a c < 0

(khi đó tự động có

Δ > 0

). Cả hai điều kiện đều là bất phương trình bậc hai ẩn

m

1Cách 1. Điều kiện Δ′ và ac, giải bằng định lí về dấu.

Định hướng. Lập $Δ^{'}$ theo $m$ , giải $Δ^{'} > 0$ ; câu b) giải $a c < 0$ .

Δ^{'} = (m - 1)^{2} - (4 m^{2} - m) = m^{2} - 2 m + 1 - 4 m^{2} + m = - 3 m^{2} - m + 1

- 3 m^{2} - m + 1 > 0

;

Δ_{m} = 1 + 12 = 13

m_{1, 2} = \frac{1 \pm 13}{- 6}

, tức

m_{1} = \frac{- 1 - 13}{6}

m_{2} = \frac{- 1 + 13}{6}

, hệ số

- 3 < 0

$m$	$- \infty$		$\frac{- 1 - 13}{6}$		$\frac{- 1 + 13}{6}$		$+ \infty$
$- 3 m^{2} - m + 1$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Δ^{'} > 0 \Leftrightarrow \frac{- 1 - 13}{6} < m < \frac{- 1 + 13}{6}

a c = 4 m^{2} - m < 0 \Leftrightarrow m (4 m - 1) < 0

$m$	$- \infty$		$0$		$\frac{1}{4}$		$+ \infty$
$m (4 m - 1)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

m (4 m - 1) < 0 \Leftrightarrow 0 < m < \frac{1}{4}

Vậy a) $\frac{- 1 - 13}{6} < m < \frac{- 1 + 13}{6}$ ; b) $0 < m < \frac{1}{4}$ .

2Cách 2. Hoàn thành bình phương theo m và định lí Vi-ét.

Định hướng. a) viết $Δ^{'}$ theo dạng đỉnh để giải bằng giá trị tuyệt đối; b) hai nghiệm trái dấu khi tích $P = x_{1} x_{2} < 0$ .

Δ^{'} = - 3 (m^{2} + \frac{m}{3}) + 1 = - 3 (m + \frac{1}{6})^{2} + \frac{13}{12} > 0

\Leftrightarrow (m + \frac{1}{6})^{2} < \frac{13}{36} \Leftrightarrow m + \frac{1}{6} < \frac{13}{6} \Leftrightarrow \frac{- 1 - 13}{6} < m < \frac{- 1 + 13}{6}

P = x_{1} x_{2} = 4 m^{2} - m < 0

(điều kiện

P < 0

kéo theo

Δ^{'} = (m - 1)^{2} - P > 0

)

4 m^{2} - m < 0 \Leftrightarrow 4 (m - \frac{1}{8})^{2} < \frac{1}{16} \Leftrightarrow m - \frac{1}{8} < \frac{1}{8} \Leftrightarrow 0 < m < \frac{1}{4}

Vậy a) $m \in (\frac{- 1 - 13}{6}; \frac{- 1 + 13}{6})$ ; b) $m \in (0; \frac{1}{4})$ .

3Cách 3. Nhìn theo đồ thị y = f(x).

Định hướng. Đặt $f (x) = x^{2} - 2 (m - 1) x + 4 m^{2} - m$ , parabol bề lõm lên. Hai nghiệm phân biệt khi đỉnh nằm dưới $O x$ ; hai nghiệm trái dấu khi $O$ nằm giữa hai giao điểm, tức $f (0) < 0$ .

y_{I} = f (m - 1) = - (m - 1)^{2} + 4 m^{2} - m = 3 m^{2} + m - 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{- 1 - 13}{6} < m < \frac{- 1 + 13}{6}

f (0) = 4 m^{2} - m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < \frac{1}{4}

Vậy được cùng kết quả a) $\frac{- 1 - 13}{6} < m < \frac{- 1 + 13}{6}$ , b) $0 < m < \frac{1}{4}$ .

Nhận xét. Điều kiện $f (0) < 0$ ở câu b) cho thấy vì sao "trái dấu" không cần xét thêm $Δ$ : một parabol bề lõm lên có điểm dưới trục hoành thì chắc chắn cắt trục hoành tại hai điểm. Để ý $(0; \frac{1}{4})$ nằm trọn trong khoảng của câu a).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1:

Δ^{'} > 0

và

a c < 0

là hai điều kiện chuẩn, mỗi điều kiện chỉ là một bất phương trình bậc hai ẩn

m

Đáp số. a)

\frac{- 1 - 13}{6} < m < \frac{- 1 + 13}{6}

. b)

0 < m < \frac{1}{4}

Sai lầm thường gặp. Câu b) giải hệ "

Δ^{'} > 0

và

P < 0

" vẫn đúng nhưng thừa; còn chỉ xét "

S < 0

" (tổng âm) là sai hoàn toàn — tổng không quyết định trái dấu. Câu a) giải

- 3 m^{2} - m + 1 > 0

mà quên hệ số

- 3 < 0

sẽ lấy nhầm phần ngoài hai nghiệm.

🚀 Mở rộng. Thử thêm: tìm

m

để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt — cần

Δ^{'} > 0

S = 2 (m - 1) > 0

P = 4 m^{2} - m > 0

; hệ này vô nghiệm vì

m > 1

mâu thuẫn với

m < \frac{- 1 + 13}{6} \approx 0, 43

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 6.24★★★Trang 18— Tìm tham số để bất phương trình bậc hai nghiệm đúng với mọi x

Bài 6.24 (trang 18). Tìm các giá trị của tham số

m

để
a)

- x^{2} + (m + 1) x - 2 m + 1 \leq 0

\forall x \in R

;
b)

x^{2} - (2 m + 1) x + m + 2 > 0

\forall x \in R

Kiến thức cần nhớ

$a x^{2} + b x + c \leq 0$ , $\forall x \Leftrightarrow a < 0$ và $Δ \leq 0$ .
$a x^{2} + b x + c > 0$ , $\forall x \Leftrightarrow a > 0$ và $Δ < 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

"Đúng với mọi

x

" nghĩa là tam thức không đổi dấu trên

R

. Câu a) có

a = - 1 < 0

nên cần

Δ \leq 0

(được phép bằng

0

vì dấu

\leq

); câu b) có

a = 1 > 0

nên cần

Δ < 0

. Bẫy: nhầm giữa

<

và

\leq

ở điều kiện

Δ

1Cách 1. Điều kiện về a và Δ.

Định hướng. Tính $Δ$ theo $m$ , đặt điều kiện đúng chiều rồi giải bất phương trình bậc hai ẩn $m$ .

a = - 1 < 0

Δ = (m + 1)^{2} - 4 (- 1) (- 2 m + 1) = m^{2} + 2 m + 1 - 8 m + 4 = m^{2} - 6 m + 5

Δ \leq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 6 m + 5 \leq 0

; nghiệm

m = 1

m = 5

(

a + b + c = 0

)

$m$	$- \infty$		$1$		$5$		$+ \infty$
$m^{2} - 6 m + 5$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

\Leftrightarrow 1 \leq m \leq 5

a = 1 > 0

Δ = (2 m + 1)^{2} - 4 (m + 2) = 4 m^{2} + 4 m + 1 - 4 m - 8 = 4 m^{2} - 7

Δ < 0 \Leftrightarrow 4 m^{2} - 7 < 0 \Leftrightarrow (2 m - 7) (2 m + 7) < 0 \Leftrightarrow - \frac{7}{2} < m < \frac{7}{2}

Vậy a) $1 \leq m \leq 5$ ; b) $- \frac{7}{2} < m < \frac{7}{2}$ .

2Cách 2. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất tại đỉnh.

Định hướng. a) tam thức có $a < 0$ nên đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh; cần giá trị lớn nhất $\leq 0$ . b) cần giá trị nhỏ nhất $> 0$ .

max = - \frac{Δ}{4 a} = \frac{m ^{2} - 6 m + 5}{4} \leq 0 \Leftrightarrow (m - 3)^{2} \leq 4 \Leftrightarrow ∣ m - 3∣ \leq 2 \Leftrightarrow 1 \leq m \leq 5

min = - \frac{Δ}{4 a} = \frac{7 - 4 m ^{2}}{4} > 0 \Leftrightarrow m^{2} < \frac{7}{4} \Leftrightarrow ∣ m ∣ < \frac{7}{2}

Vậy a) $m \in [1; 5]$ ; b) $m \in (- \frac{7}{2}; \frac{7}{2})$ .

3Cách 3. Tách tham số và dùng bất đẳng thức Cô-si.

Định hướng. Viết tam thức thành phần không chứa $m$ cộng $m$ nhân một biểu thức bậc nhất; tại nghiệm của biểu thức bậc nhất thì kiểm tra trực tiếp, còn lại cô lập $m$ .

- x^{2} + x + 1 + m (x - 2) \leq 0

;

x = 2

- 1 \leq 0

đúng

u = x - 2 \neq = 0

- x^{2} + x + 1 = - (u^{2} + 3 u + 1)

, điều kiện

m u \leq u^{2} + 3 u + 1

u > 0

m \leq u + \frac{1}{u} + 3

min (u + \frac{1}{u}) = 2 \Rightarrow m \leq 5

u < 0

m \geq u + \frac{1}{u} + 3

max (u + \frac{1}{u}) = - 2 \Rightarrow m \geq 1

x^{2} - x + 2 - m (2 x - 1) > 0

;

x = \frac{1}{2}

\frac{7}{4} > 0

đúng

v = 2 x - 1 \neq = 0

x^{2} - x + 2 = \frac{v ^{2} + 7}{4}

, điều kiện

4 m v < v^{2} + 7

v > 0

m < \frac{1}{4} (v + \frac{7}{v})

min = \frac{2 7}{4} = \frac{7}{2}

\Rightarrow m < \frac{7}{2}

v < 0

m > \frac{1}{4} (v + \frac{7}{v})

max = - \frac{7}{2}

\Rightarrow m > - \frac{7}{2}

Vậy a) $1 \leq m \leq 5$ ; b) $- \frac{7}{2} < m < \frac{7}{2}$ .

Nhận xét. Ở a) giá trị nhỏ nhất $2$ của $u + \frac{1}{u}$ đạt được (tại $u = 1$ ) nên được lấy dấu bằng $m = 5$ ; ở b) giá trị $\frac{7}{2}$ cũng đạt được nhưng bất đẳng thức là chặt nên phải bỏ đầu mút — khớp đúng với $Δ \leq 0$ và $Δ < 0$ ở Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ cặp điều kiện (

a

Δ

) cho bốn dạng

>

\geq

<

\leq

là giải trong ba dòng.

Đáp số. a)

1 \leq m \leq 5

. b)

- \frac{7}{2} < m < \frac{7}{2}

Sai lầm thường gặp. Câu a) dùng

Δ < 0

(mất

m = 1

m = 5

): với

m = 1

, tam thức là

- (x - 1)^{2} \leq 0

vẫn thoả. Câu b) dùng

Δ \leq 0

(thừa

m = \pm \frac{7}{2}

): khi đó tam thức bằng

0

tại nghiệm kép, không

> 0

. Tính

Δ

câu a) quên dấu của

a = - 1

trong

- 4 a c

sẽ ra

m^{2} + 10 m - 3

sai.

🚀 Mở rộng. Bài ngược: tìm

m

để

- x^{2} + (m + 1) x - 2 m + 1 > 0

có nghiệm — là phủ định của câu a), được

m < 1

hoặc

m > 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 6.25★★★Trang 18— Bài toán kinh tế dẫn đến bất phương trình bậc hai

Bài 6.25 (trang 18). Một công ti đồ gia dụng sản xuất bình đựng nước thấy rằng khi đơn giá của bình đựng nước là

x

nghìn đồng thì doanh thu

R

(tính theo đơn vị nghìn đồng) sẽ là

R (x) = - 560 x^{2} + 50000 x

.
a) Theo mô hình doanh thu này, thì đơn giá nào là quá cao dẫn đến doanh thu từ việc bán bình đựng nước bằng

0

(tức là sẽ không có người mua)?
b) Với khoảng đơn giá nào của bình đựng nước thì doanh thu từ việc bán bình đựng nước vượt mức

1

tỉ đồng?

Kiến thức cần nhớ

$1$ tỉ đồng $= 1 0^{6}$ nghìn đồng.
$a > 0$ , hai nghiệm $x_{1} < x_{2}$ : $f (x) < 0 \Leftrightarrow x_{1} < x < x_{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) là phương trình

R (x) = 0

với

x > 0

. Câu b) cần đổi đơn vị:

1

tỉ đồng

= 1000000

nghìn đồng, rồi giải

R (x) > 1000000

. Chia hai vế cho

40

để hệ số gọn trước khi tính

Δ^{'}

1Cách 1. Giải phương trình và bất phương trình bằng định lí về dấu.

Định hướng. a) giải $R (x) = 0$ bằng đặt nhân tử chung; b) đưa về $14 x^{2} - 1250 x + 25000 < 0$ rồi xét dấu.

- 560 x^{2} + 50000 x = 0 \Leftrightarrow x (50000 - 560 x) = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = \frac{50 000}{560} = \frac{625}{7} \approx 89, 29

R (x) > 1000000 \Leftrightarrow 560 x^{2} - 50000 x + 1000000 < 0 \Leftrightarrow 14 x^{2} - 1250 x + 25000 < 0

Δ^{'} = 62 5^{2} - 14 \cdot 25000 = 390625 - 350000 = 40625

Δ^{'} = 2565

x_{1} = \frac{625 - 25 65}{14} \approx 30, 25

x_{2} = \frac{625 + 25 65}{14} \approx 59, 04

a = 14 > 0

$x$	$- \infty$		$x_{1}$		$x_{2}$		$+ \infty$
$14 x^{2} - 1250 x + 25000$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

14 x^{2} - 1250 x + 25000 < 0 \Leftrightarrow x_{1} < x < x_{2}

Vậy a) đơn giá $\frac{625}{7} \approx 89, 29$ nghìn đồng (khoảng $89290$ đồng) làm doanh thu bằng $0$ ; b) doanh thu vượt $1$ tỉ đồng khi đơn giá trong khoảng $(\frac{625 - 25 65}{14}; \frac{625 + 25 65}{14})$ , tức khoảng từ $30, 25$ đến $59, 04$ nghìn đồng.

2Cách 2. Hoàn thành bình phương (doanh thu cực đại).

Định hướng. Viết $R (x)$ theo đỉnh: doanh thu lớn nhất tại $x = \frac{625}{14}$ ; khoảng cần tìm đối xứng quanh giá trị này.

R (x) = - 560 (x - \frac{625}{14})^{2} + \frac{7 812 500}{7}

R (x) = 0 \Leftrightarrow (x - \frac{625}{14})^{2} = \frac{7 812 500}{3 920} = (\frac{625}{14})^{2} \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = \frac{625}{7}

R (x) > 1000000 \Leftrightarrow 560 (x - \frac{625}{14})^{2} < \frac{812 500}{7} \Leftrightarrow (x - \frac{625}{14})^{2} < \frac{40 625}{196}

\Leftrightarrow x - \frac{625}{14} < \frac{25 65}{14} \Leftrightarrow \frac{625 - 25 65}{14} < x < \frac{625 + 25 65}{14}

Vậy a) $x = \frac{625}{7}$ ; b) $30, 25 < x < 59, 04$ (nghìn đồng, làm tròn).

3Cách 3. Tính đối xứng của parabol và máy tính cầm tay.

Định hướng. Hai nghiệm của $R (x) = 0$ là $0$ và $\frac{625}{7}$ , nên đỉnh ở $x = \frac{625}{14}$ ; dùng máy tính giải bất phương trình ở b) để lấy số gần đúng.

R (x) = 40 x (1250 - 14 x)

, nghiệm dương

x = \frac{1 250}{14} = \frac{625}{7}

b) MODE

↓

1

1

, dạng

a x^{2} + b x + c > 0

, nhập

- 560

;

50000

;

- 1000000

: máy hiển thị

30, 2459 \dots < x < 59, 0397 \dots

kiểm tra

x_{1} + x_{2} = \frac{1 250}{14} = \frac{625}{7}

(trùng tổng hai nghiệm của

R = 0

)

Vậy đơn giá khoảng $89, 29$ nghìn đồng là quá cao; doanh thu vượt $1$ tỉ khi đơn giá khoảng từ $30, 25$ đến $59, 04$ nghìn đồng.

Nhận xét. Doanh thu lớn nhất khoảng $1, 116$ tỉ đồng tại đơn giá $\frac{625}{14} \approx 44, 64$ nghìn đồng, nằm đúng giữa hai mốc của câu b). Nhiều tài liệu làm tròn thành "từ $31$ đến $59$ nghìn đồng" nếu đơn giá lấy theo số nguyên nghìn đồng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (rút gọn chia

40

rồi dùng

Δ^{'}

); Cách 3 kiểm tra nhanh số gần đúng.

Đáp số. a) Đơn giá

\frac{625}{7} \approx 89, 29

nghìn đồng thì doanh thu bằng

0

. b)

\frac{625 - 25 65}{14} < x < \frac{625 + 25 65}{14}

, tức khoảng

30, 25 < x < 59, 04

(nghìn đồng).

Sai lầm thường gặp. Quên đổi đơn vị, giải

R (x) > 1

hoặc

R (x) > 1 0^{9}

(trong khi

R

tính bằng nghìn đồng) — đúng phải là

R (x) > 1 0^{6}

. Câu a) kết luận cả

x = 0

là "đơn giá quá cao" là sai về nghĩa:

x = 0

là bán miễn phí.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

R (x) = - a x^{2} + b x

vượt mức

K

khi

x - \frac{b}{2 a} < \frac{b ^{2} - 4 a K}{2 a}

, chỉ có nghiệm khi

K < \frac{b ^{2}}{4 a}

(doanh thu tối đa).

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 6.26★★★Trang 18— Bài toán quỹ đạo ném xiên dẫn đến bất phương trình bậc hai

Bài 6.26 (trang 18). Một viên đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu

500

m/s, hợp với phương ngang một góc bằng

4 5^{\circ}

. Biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí, quỹ đạo chuyển động của một vật ném xiên sẽ tuân theo phương trình

y = \frac{- g}{2 v _{0}^{2} cos ^{2} α} x^{2} + x tan α

, trong đó

x

là khoảng cách (tính bằng mét) vật bay được theo phương ngang, vận tốc ban đầu

v_{0}

của vật hợp với phương ngang một góc

α

và

g = 9, 8

m/s

^{2}

là gia tốc trọng trường.
a) Viết phương trình chuyển động của viên đạn.
b) Để viên đạn bay qua một ngọn núi cao

4000

mét thì khẩu pháo phải đặt cách chân núi một khoảng bao xa?

Kiến thức cần nhớ

$cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , $tan 4 5^{\circ} = 1$ .
$a > 0$ , hai nghiệm $x_{1} < x_{2}$ : $f (x) < 0 \Leftrightarrow x_{1} < x < x_{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) chỉ là thay số:

cos^{2} 4 5^{\circ} = \frac{1}{2}

tan 4 5^{\circ} = 1

. Câu b) mô hình hoá ngọn núi như một vách thẳng đứng cao

4000

m đặt cách pháo

x

mét; viên đạn bay qua khi độ cao tại đó lớn hơn

4000

, tức

y (x) > 4000

. Hệ số rất nhỏ nên nhân lên để làm việc với số nguyên.

1Cách 1. Thay số rồi dùng định lí về dấu.

Định hướng. Thay $v_{0} = 500$ , $α = 4 5^{\circ}$ , $g = 9, 8$ ; câu b) giải $y > 4000$ .

y = \frac{- 9 , 8}{2 \cdot 50 0 ^{2} \cdot \frac{1}{2}} x^{2} + x \cdot 1 = - \frac{9 , 8}{250 000} x^{2} + x = - \frac{49}{1 250 000} x^{2} + x

- \frac{49}{1 250 000} x^{2} + x > 4000 \Leftrightarrow 49 x^{2} - 1250000 x + 5000000000 < 0

Δ^{'} = 62500 0^{2} - 49 \cdot 5 \cdot 1 0^{9} = 1 0^{9} (390, 625 - 245) = 145625 \cdot 1 0^{6}

Δ^{'} = 25000233

x_{1} = \frac{625 000 - 25 000 233}{49} \approx 4967

x_{2} = \frac{625 000 + 25 000 233}{49} \approx 20543

a = 49 > 0

$x$	$- \infty$		$x_{1}$		$x_{2}$		$+ \infty$
$49 x^{2} - 1250000 x + 5 \cdot 1 0^{9}$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

49 x^{2} - 1250000 x + 5 \cdot 1 0^{9} < 0 \Leftrightarrow x_{1} < x < x_{2}

Vậy a) $y = - \frac{49}{1 250 000} x^{2} + x$ ; b) khẩu pháo phải đặt cách chân núi trong khoảng từ khoảng $4967$ m đến khoảng $20543$ m.

2Cách 2. Hoàn thành bình phương (đỉnh quỹ đạo).

Định hướng. Viết $y$ theo đỉnh để thấy độ cao cực đại và khoảng bay trên $4000$ m đối xứng quanh hoành độ đỉnh.

y = - \frac{49}{1 250 000} (x - \frac{625 000}{49})^{2} + \frac{312 500}{49}

y > 4000 \Leftrightarrow \frac{49}{1 250 000} (x - \frac{625 000}{49})^{2} < \frac{312 500 - 196 000}{49} = \frac{116 500}{49}

\Leftrightarrow (x - \frac{625 000}{49})^{2} < \frac{116 500 \cdot 1 250 000}{4 9 ^{2}} \Leftrightarrow x - \frac{625 000}{49} < \frac{25 000 233}{49}

Vậy $\frac{625 000 - 25 000 233}{49} < x < \frac{625 000 + 25 000 233}{49}$ , tức khoảng $4967$ m đến $20543$ m.

3Cách 3. Đọc đồ thị quỹ đạo.

Định hướng. Vẽ quỹ đạo và đường thẳng $y = 4000$ : phần quỹ đạo nằm trên đường thẳng cho các vị trí đặt núi mà đạn bay qua; hai mốc đối xứng qua hoành độ đỉnh $\frac{625 000}{49} \approx 12755$ m.

y = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = \frac{1 250 000}{49} \approx 25510

(tầm xa)

y_{m a x} = \frac{312 500}{49} \approx 6378 > 4000

x_{1} + x_{2} = \frac{1 250 000}{49}

x_{1} \approx 4967

\Rightarrow x_{2} \approx 25510 - 4967 = 20543

Vậy khoảng cách từ pháo đến chân núi phải nằm trong khoảng $(4967; 20543)$ mét (làm tròn).

Nhận xét. Mô hình coi ngọn núi như một vách đứng tại khoảng cách $x$ ; núi thật có sườn thoải thì cần xét thêm độ cao sườn núi. Độ cao lớn nhất của viên đạn khoảng $6378$ m nên núi cao hơn mức này thì không vị trí nào bắn qua được.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là lời giải chuẩn; Cách 3 (dùng tổng hai nghiệm bằng tầm xa) giúp kiểm tra số gần đúng rất nhanh.

Đáp số. a)

y = - \frac{49}{1 250 000} x^{2} + x

. b) Khẩu pháo đặt cách chân núi trong khoảng

\frac{625 000 - 25 000 233}{49} < x < \frac{625 000 + 25 000 233}{49}

, tức khoảng

4967

m đến

20543

Sai lầm thường gặp. Thay

cos 4 5^{\circ}

thay vì

cos^{2} 4 5^{\circ}

vào mẫu (được hệ số sai

2

lần). Chỉ trả lời "cách ít nhất

4967

m" là thiếu: đặt quá xa (hơn

20543

m) thì khi tới núi đạn đã hạ xuống thấp hơn

4000

🚀 Mở rộng. Tổng quát với góc bắn

4 5^{\circ}

: đạn vượt độ cao

H

khi

x - \frac{v _{0}^{2}}{2 g} < \frac{v _{0}}{2 g} v_{0}^{2} - 4 g H

, cần

H < \frac{v _{0}^{2}}{4 g}

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 6.27★★★★Trang 19— Chứng minh tam thức luôn dương bằng dấu của Δ

Bài 6.27 (trang 19). Cho

a

b

c

là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

b^{2} x^{2} - (b^{2} + c^{2} - a^{2}) x + c^{2} > 0

\forall x \in R

Kiến thức cần nhớ

$a x^{2} + b x + c > 0$ , $\forall x \Leftrightarrow a > 0$ và $Δ < 0$ .
Bất đẳng thức tam giác: $∣ b - c ∣ < a < b + c$ .
Định lí côsin: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vế trái là tam thức bậc hai ẩn

x

với hệ số đầu

b^{2} > 0

, nên chỉ cần chứng minh

Δ < 0

Δ

là hiệu hai bình phương, phân tích được thành tích bốn thừa số, mỗi thừa số có dấu xác định nhờ bất đẳng thức tam giác. Cũng có thể nhìn

b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 b c cos A

(định lí côsin).

1Cách 1. Phân tích Δ thành tích và dùng bất đẳng thức tam giác.

Định hướng. $Δ = (b^{2} + c^{2} - a^{2})^{2} - (2 b c)^{2}$ là hiệu hai bình phương; tách thành tích rồi xét dấu từng thừa số.

Δ = (b^{2} + c^{2} - a^{2})^{2} - 4 b^{2} c^{2} = (b^{2} + c^{2} - a^{2} - 2 b c) (b^{2} + c^{2} - a^{2} + 2 b c)

= [(b - c)^{2} - a^{2}] [(b + c)^{2} - a^{2}] = (b - c - a) (b - c + a) (b + c - a) (b + c + a)

b - c - a < 0

b - c + a > 0

b + c - a > 0

b + c + a > 0

\Rightarrow Δ < 0

hệ số

b^{2} > 0

Δ < 0

\Rightarrow b^{2} x^{2} - (b^{2} + c^{2} - a^{2}) x + c^{2} > 0

\forall x \in R

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

2Cách 2. Dùng định lí côsin.

Định hướng. Thay $b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 b c cos A$ để $Δ$ trở thành một biểu thức theo $sin A$ .

b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 b c cos A

Δ = 4 b^{2} c^{2} cos^{2} A - 4 b^{2} c^{2} = - 4 b^{2} c^{2} (1 - cos^{2} A) = - 4 b^{2} c^{2} sin^{2} A

0^{\circ} < A < 18 0^{\circ} \Rightarrow sin A > 0 \Rightarrow Δ < 0

;

b^{2} > 0

Vậy tam thức luôn dương với mọi $x \in R$ .

3Cách 3. Hoàn thành bình phương.

Định hướng. Viết tam thức thành $b^{2} (x - p)^{2} + q$ và chứng minh $q > 0$ , quy về bất đẳng thức tam giác.

b^{2} x^{2} - (b^{2} + c^{2} - a^{2}) x + c^{2} = b^{2} (x - \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b ^{2}})^{2} + \frac{4 b ^{2} c ^{2} - ( b ^{2} + c ^{2} - a ^{2} ) ^{2}}{4 b ^{2}}

4 b^{2} c^{2} - (b^{2} + c^{2} - a^{2})^{2} > 0 \Leftrightarrow b^{2} + c^{2} - a^{2} < 2 b c

\Leftrightarrow - 2 b c < b^{2} + c^{2} - a^{2} < 2 b c \Leftrightarrow (b - c)^{2} < a^{2} < (b + c)^{2} \Leftrightarrow ∣ b - c ∣ < a < b + c

(đúng)

\Rightarrow

tam thức

\geq

một số dương

\Rightarrow

luôn dương

Vậy $b^{2} x^{2} - (b^{2} + c^{2} - a^{2}) x + c^{2} > 0$ với mọi $x \in R$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy điều ngược lại cũng đúng: nếu tam thức dương với mọi $x$ (và $a$ , $b$ , $c > 0$ ) thì $a$ , $b$ , $c$ là ba cạnh của một tam giác. Cách 2 gọn nhất khi đã quen định lí côsin.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 ngắn và đẹp nhất (một dòng ra

Δ = - 4 b^{2} c^{2} sin^{2} A

); Cách 1 là cách thuần đại số, không cần lượng giác.

Đáp số.

Δ = (b - c - a) (b - c + a) (b + c - a) (b + c + a) = - 4 b^{2} c^{2} sin^{2} A < 0

và

b^{2} > 0

nên tam thức dương với mọi

x \in R

Sai lầm thường gặp. Nhầm hệ số đầu là

b

(thiếu bình phương) hoặc quên kiểm tra hệ số đầu dương. Khi xét dấu

Δ

, cho rằng cả bốn thừa số đều dương rồi kết luận

Δ > 0

— sai, thừa số

b - c - a

âm vì

b < a + c

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật: chứng minh

a^{2} x^{2} + (a^{2} + b^{2} - c^{2}) x + b^{2} > 0

\forall x

khi

a

b

c

là ba cạnh tam giác (hệ số giữa mang dấu cộng,

Δ = - 4 a^{2} b^{2} sin^{2} C

Mở bài này trong app ↗