Chương VI. Hàm số, đồ thị và ứng dụng

Bài 17. Dấu của tam thức bậc hai

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang18–19 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 6.21★★Trang 18— Xét dấu tam thức bậc hai

Bài 6.21 (trang 18). Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a)

f (x) = - x^{2} + 6 x + 7

;

g (x) = 3 x^{2} - 2 x + 2

;
c)

h (x) = - 16 x^{2} + 24 x - 9

;

k (x) = 2 x^{2} - 6 x + 1

Kiến thức cần nhớ

Định lí về dấu của tam thức bậc hai (có thể dùng $Δ^{'}$ thay $Δ$ ).
$- (4 x - 3)^{2} \leq 0$ với mọi $x$ , dấu bằng khi $x = \frac{3}{4}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn tam thức phủ đủ ba trường hợp của

Δ

: a) và d) có hai nghiệm, b) vô nghiệm, c) là âm của một bình phương. Hệ số

b

đều chẵn nên dùng

Δ^{'}

cho gọn. Bẫy: a) và c) có

a < 0

1Cách 1. Định lí về dấu với biệt thức thu gọn.

Định hướng. Tính $Δ^{'}$ , xét dấu $a$ , lập bảng xét dấu khi có hai nghiệm.

Δ^{'} = 9 + 7 = 16 > 0

x_{1} = \frac{- 3 + 4}{- 1} = - 1

x_{2} = \frac{- 3 - 4}{- 1} = 7

a = - 1 < 0

$x$	$- \infty$		$- 1$		$7$		$+ \infty$
$f (x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Δ^{'} = 1 - 6 = - 5 < 0

a = 3 > 0

\Rightarrow g (x) > 0

với mọi

x \in R

Δ^{'} = 144 - 144 = 0

, nghiệm kép

x = \frac{- 12}{- 16} = \frac{3}{4}

a = - 16 < 0

$x$	$- \infty$		$\frac{3}{4}$		$+ \infty$
$h (x)$		$-$	$0$	$-$

Δ^{'} = 9 - 2 = 7 > 0

x_{1, 2} = \frac{3 \mp 7}{2}

a = 2 > 0

$x$	$- \infty$		$\frac{3 - 7}{2}$		$\frac{3 + 7}{2}$		$+ \infty$
$k (x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Vậy a) $f > 0$ trên $(- 1; 7)$ , $f < 0$ trên $(- \infty; - 1) \cup (7; + \infty)$ ; b) $g > 0$ với mọi $x$ ; c) $h < 0$ với mọi $x \neq = \frac{3}{4}$ , $h (\frac{3}{4}) = 0$ ; d) $k < 0$ trên $(\frac{3 - 7}{2}; \frac{3 + 7}{2})$ , $k > 0$ ngoài đoạn đó.

2Cách 2. Phân tích nhân tử và hằng đẳng thức.

Định hướng. a) hai số có tích $(- 1) \cdot 7 = - 7$ , tổng $6$ là $7$ và $- 1$ ; b), d) tách bình phương; c) nhận ra $- (4 x - 3)^{2}$ .

- x^{2} + 6 x + 7 = - x^{2} + 7 x - x + 7 = - x (x - 7) - (x - 7) = (x + 1) (7 - x)

$x$	$- \infty$		$- 1$		$7$		$+ \infty$
$x + 1$		$-$	$0$	$+$		$+$
$7 - x$		$+$		$+$	$0$	$-$
$f (x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

3 x^{2} - 2 x + 2 = 3 (x - \frac{1}{3})^{2} + \frac{5}{3} > 0

với mọi

x

- 16 x^{2} + 24 x - 9 = - (16 x^{2} - 24 x + 9) = - (4 x - 3)^{2} \leq 0

, bằng

0

khi

x = \frac{3}{4}

2 x^{2} - 6 x + 1 = 2 (x - \frac{3}{2})^{2} - \frac{7}{2}

;

k (x) < 0 \Leftrightarrow x - \frac{3}{2} < \frac{7}{2} \Leftrightarrow \frac{3 - 7}{2} < x < \frac{3 + 7}{2}

Vậy kết quả như Cách 1.

3Cách 3. Đỉnh parabol và chiều bề lõm.

Định hướng. Đỉnh $I (- \frac{b}{2 a}; - \frac{Δ ^{'}}{a})$ ; so vị trí đỉnh với $O x$ và chiều bề lõm.

a < 0

I (3; 16)

trên

O x

\Rightarrow

đồ thị cắt

O x

tại

- 1

7

; phần giữa ở trên

O x

a > 0

I (\frac{1}{3}; \frac{5}{3})

trên

O x

, bề lõm lên

\Rightarrow

đồ thị nằm hẳn trên

O x

a < 0

I (\frac{3}{4}; 0)

\Rightarrow

đồ thị dưới

O x

, tiếp xúc tại

x = \frac{3}{4}

a > 0

I (\frac{3}{2}; - \frac{7}{2})

dưới

O x

\Rightarrow

đồ thị cắt

O x

tại hai điểm, phần giữa ở dưới

O x

Vậy được đúng các kết luận về dấu như hai cách trên.

Nhận xét. Tung độ đỉnh $- \frac{Δ}{4 a}$ cho thấy vì sao dấu của $Δ$ quyết định số giao điểm với $O x$ : đỉnh và bề lõm "cùng phía" thì không cắt, "khác phía" thì cắt hai điểm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 với

Δ^{'}

vì cả bốn tam thức có

b

chẵn; ý c) nên nhận ra ngay hằng đẳng thức như Cách 2.

Đáp số. a)

f (x) > 0 \Leftrightarrow x \in (- 1; 7)

;

f (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; - 1) \cup (7; + \infty)

. b)

g (x) > 0

với mọi

x \in R

. c)

h (x) < 0

với mọi

x \neq = \frac{3}{4}

h (\frac{3}{4}) = 0

. d)

k (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (\frac{3 - 7}{2}; \frac{3 + 7}{2})

;

k (x) > 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; \frac{3 - 7}{2}) \cup (\frac{3 + 7}{2}; + \infty)

Sai lầm thường gặp. Ý a) lập bảng "

+

0

-

0

+

" như khi

a > 0

— sai, thử

f (0) = 7 > 0

thì

0 \in (- 1; 7)

phải dương. Ý c) quên điểm

x = \frac{3}{4}

mà viết "

h (x) < 0

với mọi

x

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để

- 16 x^{2} + 24 x + m < 0

với mọi

x

: cần

Δ^{'} = 144 + 16 m < 0

, tức

m < - 9

(ý c là trường hợp biên

m = - 9

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 6.22★★★Trang 18— Bất phương trình bậc hai và quy về bậc hai

Bài 6.22 (trang 18). Giải các bất phương trình sau:
a)

3 x^{2} - 36 x + 108 > 0

;

- x^{2} + 2 x - 2 \geq 0

;
c)

x^{4} - 3 x^{2} + 2 \leq 0

;

\frac{1}{x ^{2} - x + 1} \leq \frac{1}{2 x ^{2} + x + 2}

Kiến thức cần nhớ

$a > 0$ , $Δ = 0$ : $f (x) > 0$ với mọi $x \neq = - \frac{b}{2 a}$ .
Với $A > 0$ , $B > 0$ : $\frac{1}{A} \leq \frac{1}{B} \Leftrightarrow B \leq A$ .
$1 \leq x^{2} \leq 2 \Leftrightarrow 1 \leq ∣ x ∣ \leq 2$ .

🧠 Phân tích tư duy

a), b) là bất phương trình bậc hai trực tiếp (một ý có

Δ = 0

, một ý có

Δ < 0

). c) là trùng phương: đặt

t = x^{2}

đưa về bậc hai. d) có hai mẫu đều là tam thức luôn dương, nên nghịch đảo được và đổi chiều. Bẫy: ở d) không được "nhân chéo" khi chưa chắc mẫu dương.

1Cách 1. Định lí về dấu, đặt ẩn phụ, nghịch đảo hai vế dương.

Định hướng. a), b) xét dấu trực tiếp; c) đặt $t = x^{2} \geq 0$ ; d) chứng minh hai mẫu dương rồi nghịch đảo.

3 x^{2} - 36 x + 108

Δ^{'} = 324 - 324 = 0

, nghiệm kép

x = 6

a = 3 > 0

\Rightarrow

dương với mọi

x \neq = 6

\Rightarrow S = R ∖ {6}

- x^{2} + 2 x - 2

Δ^{'} = 1 - 2 = - 1 < 0

a = - 1 < 0

\Rightarrow

âm với mọi

x

\Rightarrow S = \emptyset

t = x^{2} \geq 0

t^{2} - 3 t + 2 \leq 0

;

Δ = 9 - 8 = 1

t_{1} = 1

t_{2} = 2

a = 1 > 0

\Rightarrow 1 \leq t \leq 2

1 \leq x^{2} \leq 2 \Leftrightarrow 1 \leq ∣ x ∣ \leq 2 \Leftrightarrow - 2 \leq x \leq - 1

hoặc

1 \leq x \leq 2

x^{2} - x + 1

Δ = - 3 < 0

a > 0

;

2 x^{2} + x + 2

Δ = - 15 < 0

a > 0

\Rightarrow

hai mẫu dương với mọi

x

\frac{1}{x ^{2} - x + 1} \leq \frac{1}{2 x ^{2} + x + 2} \Leftrightarrow 2 x^{2} + x + 2 \leq x^{2} - x + 1 \Leftrightarrow x^{2} + 2 x + 1 \leq 0 \Leftrightarrow (x + 1)^{2} \leq 0 \Leftrightarrow x = - 1

Vậy a) $S = R ∖ {6}$ ; b) $S = \emptyset$ ; c) $S = [- 2; - 1] \cup [1; 2]$ ; d) $S = {- 1}$ .

2Cách 2. Phân tích nhân tử, lập bảng xét dấu tích và thương.

Định hướng. Đưa mọi vế trái về tích (thương) các nhân tử đơn giản; c) hai số có tổng $- 3$ , tích $2$ là $- 1$ và $- 2$ .

3 x^{2} - 36 x + 108 = 3 (x - 6)^{2} > 0 \Leftrightarrow x \neq = 6

- x^{2} + 2 x - 2 = - [(x - 1)^{2} + 1] \leq - 1 < 0

với mọi

x

\Rightarrow

vô nghiệm
c)

x^{4} - 3 x^{2} + 2 = x^{4} - x^{2} - 2 x^{2} + 2 = x^{2} (x^{2} - 1) - 2 (x^{2} - 1) = (x^{2} - 1) (x^{2} - 2)

$x$	$- \infty$		$- 2$		$- 1$		$1$		$2$		$+ \infty$
$x^{2} - 1$		$+$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$		$+$
$x^{2} - 2$		$+$	$0$	$-$		$-$		$-$	$0$	$+$
$x^{4} - 3 x^{2} + 2$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

\frac{1}{x ^{2} - x + 1} - \frac{1}{2 x ^{2} + x + 2} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{( 2 x ^{2} + x + 2 ) - ( x ^{2} - x + 1 )}{( x ^{2} - x + 1 ) ( 2 x ^{2} + x + 2 )} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{( x + 1 ) ^{2}}{( x ^{2} - x + 1 ) ( 2 x ^{2} + x + 2 )} \leq 0

mẫu dương

\Rightarrow (x + 1)^{2} \leq 0 \Leftrightarrow x = - 1

Vậy a) $x \neq = 6$ ; b) vô nghiệm; c) $- 2 \leq x \leq - 1$ hoặc $1 \leq x \leq 2$ ; d) $x = - 1$ .

3Cách 3. Đánh giá bằng bình phương (không lập bảng).

Định hướng. Viết các biểu thức thành tổng/hiệu bình phương để thấy ngay dấu; c) hoàn thành bình phương theo $x^{2}$ .

3 (x - 6)^{2} > 0 \Leftrightarrow x - 6 \neq = 0

- (x - 1)^{2} - 1 \geq 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2} \leq - 1

: vô lí
c)

x^{4} - 3 x^{2} + 2 = (x^{2} - \frac{3}{2})^{2} - \frac{1}{4} \leq 0 \Leftrightarrow x^{2} - \frac{3}{2} \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow 1 \leq x^{2} \leq 2

x = - 1

: hai vế cùng bằng

\frac{1}{3}

(thoả)

x \neq = - 1

(2 x^{2} + x + 2) - (x^{2} - x + 1) = (x + 1)^{2} > 0 \Rightarrow \frac{1}{2 x ^{2} + x + 2} < \frac{1}{x ^{2} - x + 1}

(không thoả)

Vậy a) $S = R ∖ {6}$ ; b) $S = \emptyset$ ; c) $S = [- 2; - 1] \cup [1; 2]$ ; d) $S = {- 1}$ .

Nhận xét. Ý d) thực chất là so sánh hai mẫu dương: bất phương trình chỉ đúng khi hai mẫu bằng nhau. Ý c) là trùng phương — đặt $t = x^{2}$ là cách chuẩn, nhưng bảng xét dấu tích (Cách 2) cho tập nghiệm trực quan nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là quy trình chuẩn; riêng ý c) nên dùng Cách 2 (bảng xét dấu hai thừa số

x^{2} - 1

x^{2} - 2

) để khỏi sót nhánh âm của

x

Đáp số. a)

S = R ∖ {6}

. b)

S = \emptyset

. c)

S = [- 2; - 1] \cup [1; 2]

. d)

S = {- 1}

Sai lầm thường gặp. Ý c) giải ra

1 \leq t \leq 2

rồi kết luận

1 \leq x \leq 2

— mất nhánh

- 2 \leq x \leq - 1

. Ý d) nhân chéo thành

2 x^{2} + x + 2 \leq x^{2} - x + 1

mà không chứng minh hai mẫu dương là lập luận thiếu (với mẫu âm chiều bất đẳng thức sẽ khác). Ý a) viết

S = R

là quên

x = 6

làm vế trái bằng

0

🚀 Mở rộng. Với bất phương trình trùng phương

x^{4} + p x^{2} + q \leq 0

: nếu

t^{2} + pt + q \leq 0

có

0 \leq t_{1} \leq t \leq t_{2}

thì

S = [- t_{2}; - t_{1}] \cup [t_{1}; t_{2}]

; nếu

t_{1} < 0 \leq t_{2}

thì

S = [- t_{2}; t_{2}]

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 6.23★★★Trang 18— Điều kiện nghiệm của phương trình bậc hai chứa tham số

Bài 6.23 (trang 18). Tìm các giá trị của tham số

m

để phương trình

x^{2} - 2 (m - 1) x + 4 m^{2} - m = 0

a) có hai nghiệm phân biệt;
b) có hai nghiệm trái dấu.

Kiến thức cần nhớ

$a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq = 0$ ) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ > 0$ .
Có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow a c < 0$ (vì khi đó $Δ = b^{2} - 4 a c > 0$ và $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} < 0$ ).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 6.24★★★Trang 18— Tìm tham số để bất phương trình bậc hai nghiệm đúng với mọi x

Bài 6.24 (trang 18). Tìm các giá trị của tham số

m

để
a)

- x^{2} + (m + 1) x - 2 m + 1 \leq 0

\forall x \in R

;
b)

x^{2} - (2 m + 1) x + m + 2 > 0

\forall x \in R

Kiến thức cần nhớ

$a x^{2} + b x + c \leq 0$ , $\forall x \Leftrightarrow a < 0$ và $Δ \leq 0$ .
$a x^{2} + b x + c > 0$ , $\forall x \Leftrightarrow a > 0$ và $Δ < 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 6.25★★★Trang 18— Bài toán kinh tế dẫn đến bất phương trình bậc hai

Bài 6.25 (trang 18). Một công ti đồ gia dụng sản xuất bình đựng nước thấy rằng khi đơn giá của bình đựng nước là

x

nghìn đồng thì doanh thu

R

(tính theo đơn vị nghìn đồng) sẽ là

R (x) = - 560 x^{2} + 50000 x

.
a) Theo mô hình doanh thu này, thì đơn giá nào là quá cao dẫn đến doanh thu từ việc bán bình đựng nước bằng

0

(tức là sẽ không có người mua)?
b) Với khoảng đơn giá nào của bình đựng nước thì doanh thu từ việc bán bình đựng nước vượt mức

1

tỉ đồng?

Kiến thức cần nhớ

$1$ tỉ đồng $= 1 0^{6}$ nghìn đồng.
$a > 0$ , hai nghiệm $x_{1} < x_{2}$ : $f (x) < 0 \Leftrightarrow x_{1} < x < x_{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 6.26★★★Trang 18— Bài toán quỹ đạo ném xiên dẫn đến bất phương trình bậc hai

Bài 6.26 (trang 18). Một viên đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu

500

m/s, hợp với phương ngang một góc bằng

4 5^{\circ}

. Biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí, quỹ đạo chuyển động của một vật ném xiên sẽ tuân theo phương trình

y = \frac{- g}{2 v _{0}^{2} cos ^{2} α} x^{2} + x tan α

, trong đó

x

là khoảng cách (tính bằng mét) vật bay được theo phương ngang, vận tốc ban đầu

v_{0}

của vật hợp với phương ngang một góc

α

và

g = 9, 8

m/s

^{2}

là gia tốc trọng trường.
a) Viết phương trình chuyển động của viên đạn.
b) Để viên đạn bay qua một ngọn núi cao

4000

mét thì khẩu pháo phải đặt cách chân núi một khoảng bao xa?

Kiến thức cần nhớ

$cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , $tan 4 5^{\circ} = 1$ .
$a > 0$ , hai nghiệm $x_{1} < x_{2}$ : $f (x) < 0 \Leftrightarrow x_{1} < x < x_{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 6.27★★★★Trang 19— Chứng minh tam thức luôn dương bằng dấu của Δ

Bài 6.27 (trang 19). Cho

a

b

c

là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

b^{2} x^{2} - (b^{2} + c^{2} - a^{2}) x + c^{2} > 0

\forall x \in R

Kiến thức cần nhớ

$a x^{2} + b x + c > 0$ , $\forall x \Leftrightarrow a > 0$ và $Δ < 0$ .
Bất đẳng thức tam giác: $∣ b - c ∣ < a < b + c$ .
Định lí côsin: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 16. Hàm số bậc hai Bài tiếp theo ›Bài 18. Phương trình quy về phương trình bậc hai

📚 Cùng chương: Chương VI. Hàm số, đồ thị và ứng dụng

Bài 15. Hàm số
Bài 16. Hàm số bậc hai
▶ Bài 17. Dấu của tam thức bậc hai
Bài 18. Phương trình quy về phương trình bậc hai
Bài tập cuối chương VI

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Học sâu hơn về Hàm số bậc hai & đồ thị — đọc thử miễn phí trước khi mua.

📘 Sách

Bài 17. Dấu của tam thức bậc hai

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Chương VI. Hàm số, đồ thị và ứng dụng

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Tuyển tập đề HSG Toán 10

Sổ tay Toán học THPT 10–12

Hàm số bậc hai & đồ thị

Toán 10 Toàn diện — cả năm