Bài 17. Dấu của tam thức bậc hai

Định hướng. Đưa về $f(x)\le 0$ với $f(x)=2x^2-20x+48$ có hệ số $a>0$, tìm nghiệm rồi lập bảng xét dấu.

Vậy hai cột góc cần cắm cách bờ tường từ $4$ m đến $6$ m.

Định hướng. Tách hạng tử giữa: hai số có tích $1\cdot 24=24$, tổng $-10$ là $-4$ và $-6$, nên $f(x)=2(x-4)(x-6)$.

Vậy khoảng cách từ cột góc đến bờ tường là $x\in [4;6]$ (mét).

Định hướng. Viết $S(x)$ theo đỉnh: $S(x)=50-2(x-5{)}^2$, điều kiện $S\ge 48$ thành một bất đẳng thức về $|x-5|$.

Vậy cột góc cách bờ tường từ $4$ m đến $6$ m.

Nhận xét. Cách 3 còn cho thấy diện tích lớn nhất là $50$ m${}^2$ tại $x=5$ (kết quả của Bài 16) và các giá trị $x$ thoả mãn đối xứng quanh $5$.

Định hướng. Khai triển $D$, sắp xếp các biểu thức theo lũy thừa giảm dần của $x$ rồi đọc bộ hệ số $(a;b;c)$.

Vậy cả bốn biểu thức đều là đa thức một biến $x$ có dạng $a{x}^2+bx+c$ với hệ số $a\ne 0$ (bậc đúng bằng $2$).

Định hướng. Không cần khai triển hết, chỉ tìm hạng tử có lũy thừa cao nhất của $x$ trong từng biểu thức.

Vậy đặc điểm chung: là đa thức bậc hai một biến $x$, xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Định hướng. Coi mỗi biểu thức là vế phải của một hàm số $y=\dots$ và liên hệ với Bài 16.

Vậy bốn biểu thức là bốn tam thức bậc hai; đồ thị các hàm số tương ứng đều là parabol.

Nhận xét. Đặc điểm chung này chính là định nghĩa tam thức bậc hai mà SGK nêu ngay sau HĐ1.

Định hướng. Với từng biểu thức, kiểm tra có đưa được về dạng $a{x}^2+bx+c$ ($a\ne 0$) với $a$, $b$, $c$ là hằng số hay không.

Vậy chỉ có $C$ là tam thức bậc hai.

Định hướng. Tam thức bậc hai xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ và là đa thức; biểu thức nào không thoả một trong hai điều này bị loại ngay.

Vậy biểu thức là tam thức bậc hai: $C$.

Nhận xét. Với đa thức bậc hai, "hiệu bậc hai" $f(n+2)-2f(n+1)+f(n)$ luôn không đổi (bằng $2a$); $B$ cho hai giá trị khác nhau nên không thể là bậc hai.

Định hướng. Thay số tính trực tiếp, rồi đọc vị trí đồ thị H.6.17 trên từng khoảng.

Vậy $f(x)$ cùng dấu với $a$ ở ngoài đoạn $[1;3]$, trái dấu với $a$ trong khoảng $(1;3)$.

Định hướng. Hai số có tổng $-4$, tích $3$ là $-1$ và $-3$ nên $f(x)=(x-1)(x-3)$; dấu của tích suy từ dấu từng thừa số.

Vậy trên $(-\infty ;1)$ và $(3;+\infty )$ đồ thị ở trên $Ox$ ($f>0$, cùng dấu $a=1$); trên $(1;3)$ đồ thị ở dưới $Ox$ ($f<0$, trái dấu $a$).

Định hướng. $f(x)=(x-2{)}^2-1$: dấu của $f(x)$ phụ thuộc $|x-2|$ lớn hơn hay nhỏ hơn $1$.

Vậy $f(x)$ cùng dấu $a$ khi $x<1$ hoặc $x>3$, trái dấu $a$ khi $1<x<3$.

Nhận xét. Cách 3 giải thích vì sao đồ thị đối xứng qua đường $x=2$: hai khoảng "ngoài" cách đều đỉnh.

Định hướng. Quan sát phần parabol nằm trên và dưới trục hoành, chia theo hai giao điểm $x=-1$, $x=\frac{3}{2}$.

Vậy ngoài đoạn hai nghiệm $g(x)$ cùng dấu $a$, trong khoảng hai nghiệm $g(x)$ trái dấu $a$.

Định hướng. Tách hạng tử giữa: hai số có tích $(-2)\cdot 3=-6$, tổng $1$ là $3$ và $-2$.

Vậy $g(x)<0$ (cùng dấu $a$) trên $(-\infty ;-1)$ và $\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$, $g(x)>0$ (trái dấu $a$) trên $\left(-1;\frac{3}{2}\right)$.

Định hướng. Giữa hai nghiệm liên tiếp đồ thị không cắt $Ox$, nên dấu trên cả khoảng bằng dấu tại một điểm bất kì của khoảng đó.

Vậy đồ thị ở dưới $Ox$ trên $(-\infty ;-1)$ và $\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$, ở trên $Ox$ trên $\left(-1;\frac{3}{2}\right)$; so với $a=-2$: ngoài cùng dấu, trong trái dấu.

Nhận xét. HĐ2 ($a>0$) và HĐ3 ($a<0$) cho cùng một quy luật — đó là nội dung Nhận xét ngay sau HĐ3 trong SGK.

Định hướng. Parabol bề lõm quay xuống; đếm số điểm chung với $Ox$ trong từng trường hợp.

Vậy ba ô "?" lần lượt là: hoàn toàn phía dưới $Ox$; phía dưới $Ox$ và tiếp xúc tại $x=-\frac{b}{2a}$; dưới $Ox$ ở ngoài $[x_1;x_2]$, trên $Ox$ trong $(x_1;x_2)$.

Định hướng. Viết $f(x)=a\left[{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{\Delta }{4a^2}\right]$ rồi xét dấu ngoặc vuông theo $\Delta$, nhân với $a<0$.

Vậy đồ thị lần lượt: dưới hẳn $Ox$; dưới $Ox$ và tiếp xúc tại $x=-\frac{b}{2a}$; dưới $Ox$ ngoài hai nghiệm, trên $Ox$ giữa hai nghiệm.

Định hướng. Nếu $a<0$ thì $-f(x)$ có hệ số $-a>0$ và cùng $\Delta$; đồ thị của $f$ là đồ thị của $-f$ lật qua trục $Ox$.

Vậy được đúng ba kết quả như Cách 1.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy chỉ cần nhớ một trường hợp $a>0$; trường hợp $a<0$ suy ra bằng phép đối xứng qua $Ox$. Đây là tiền đề của định lí về dấu của tam thức bậc hai.

Định hướng. Tính $\Delta$, xét dấu $a$; ý c) lập bảng xét dấu.

Vậy a) âm với mọi $x$; b) dương với mọi $x\ne -4$; c) $h(x)>0$ khi $\frac{1}{2}<x<3$, $h(x)<0$ khi $x<\frac{1}{2}$ hoặc $x>3$.

Định hướng. a) tách bình phương để thấy biểu thức âm; b) hằng đẳng thức; c) tách hạng tử giữa: hai số có tích $(-2)(-3)=6$, tổng $7$ là $1$ và $6$.

Vậy kết quả trùng Cách 1.

Định hướng. Tung độ đỉnh $y_I=-\frac{\Delta }{4a}$ cùng với chiều bề lõm cho biết parabol có cắt $Ox$ hay không.

Vậy a) $f(x)<0$ với mọi $x$; b) $g(x)>0$ với mọi $x\ne -4$; c) $h(x)>0\iff \frac{1}{2}<x<3$, $h(x)<0\iff x\in \left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)\cup (3;+\infty )$.

Nhận xét. Cách 3 là hình ảnh trực quan của định lí: $a$ cho chiều bề lõm, $\Delta$ cho vị trí đỉnh so với trục hoành.

Định hướng. Dịch nguyên văn yêu cầu thành bất đẳng thức.

Vậy bất đẳng thức cần viết là $-2x^2+20x\ge 48$, tương đương $2x^2-20x+48\le 0$ (1).

Định hướng. Hai cạnh của mảnh đất là $x$ và $20-2x$ (m), nên diện tích là tích hai cạnh.

Vậy được cùng bất phương trình $2x^2-20x+48\le 0$ với điều kiện $0<x<10$.

Định hướng. Chia hai vế cho $-2<0$ và đổi chiều để được bất phương trình gọn nhất.

Vậy bất đẳng thức có thể viết gọn $x^2-10x+24\le 0$, tương đương với (1).

Nhận xét. Ba cách cho ba dạng tương đương của cùng một bất phương trình bậc hai; SGK chọn dạng $2x^2-20x+48\le 0$ để có hệ số $a>0$.

Định hướng. Xét dấu vế trái bằng $a$ và $\Delta$, rồi đọc tập nghiệm.

Vậy a) $S=\mathbb{R}$; b) $S=\{4\}$; c) $S=(-\infty ;-2)\cup (3;+\infty )$.

Định hướng. a) tách bình phương; b) hằng đẳng thức; c) hai số có tổng $-1$, tích $-6$ là $2$ và $-3$.

Vậy a) $S=\mathbb{R}$; b) $S=\{4\}$; c) $S=(-\infty ;-2)\cup (3;+\infty )$.

Định hướng. $x^2-x-6={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{25}{4}$, nên bất phương trình c) là so sánh khoảng cách từ $x$ đến $\frac{1}{2}$ với $\frac{5}{2}$.

Vậy a) $S=\mathbb{R}$; b) $S=\{4\}$; c) $S=(-\infty ;-2)\cup (3;+\infty )$.

Nhận xét. Nghiệm của c) đối xứng quanh $\frac{1}{2}=-\frac{b}{2a}$ — hoành độ đỉnh parabol; đó là lí do hai mốc $-2$ và $3$ cách đều $\frac{1}{2}$.

Định hướng. Chuyển về $49t^2-200t+40<0$ rồi xét dấu tam thức ẩn $t$.

Vậy quả bóng ở độ cao trên $5$ m khi $\frac{100-2\sqrt{2010}}{49}<t<\frac{100+2\sqrt{2010}}{49}$, tức khoảng từ $0,21$ giây đến $3,87$ giây sau khi ném.

Định hướng. Đưa $h(t)$ về dạng đỉnh để thấy độ cao lớn nhất và khoảng thời gian đối xứng quanh thời điểm đạt đỉnh $t=\frac{100}{49}$.

Vậy khoảng thời gian cần tìm là $(0,21;3,87)$ giây (làm tròn).

Định hướng. Vẽ parabol $h(t)$ và đường thẳng $h=5$; phần parabol nằm trên đường thẳng ứng với khoảng thời gian cần tìm. Dùng máy tính (mục Tìm hiểu thêm) để lấy nghiệm.